工程电磁场数值分析2(基本理论二)__旧

例：列出边值问题（设两极板之间电压为U），要求： （1）忽略边缘效应； （2）关心电容器内部，但考虑边缘效应； （3）关心电容器边缘的场分布； （4）关心整个空间场的分布 结论：即便同一 对象，研究的目 的不同，建立的 数学模型也就各 异。
问题描述
有限元模型
电场分布
电位分布（等位线）
E D 线 线
二维静磁场问题：
一对直线电流产生的磁位：
0 I 2 0 I l cos / 2 ln ln A 2 1 2 l cos / 2 0 I l cos l 2
故：
A A 0
（新）一阶渐近边界条件，适合于净电流为0，正负电流呈两

旋转电机的气隙磁场

n
1 r
n 0 m 0
m P (cos )(cm cos m d m sin m ) n 1 n
n r 一般起支配作用的是实际存在的最低次项： n 1
n 0 有 r r
（新）n阶渐近边界条件，适合于净电荷为0，正负电荷呈n
极分布、球心位于正负电荷中心的球面。
（二维情况）
本节更多的参考文献：
金建铭. 电磁场有限元方法，西安电子科技大学出版社， 1998 马西奎，韩社教. 开放域静态电磁场问题数值解的渐近边 界条件技术研究. 中国科学（E辑），2003, 33(11): 10211027, 王颖，马西奎. 应用渐近边界条件技术计算螺管线圈的电 感与磁场分布. 西安交通大学学报, 1997: 31(11): 110-117 段耀勇, 陈荣华，盛剑霓. 矢量渐近边界条件在三维开域 涡流场计算中的应用 . 电工技术学报，1998, 13(6): 59-62
积分方 程法、 等效源 法、边 界元法 的基础
• 第一项（体积分项）：域内电荷的作用 • 第二项（面积分项）：边界条件的作用 面积分中： 第一项：等效面电荷密度 第二项：等效电偶极子层面密度
• 边界条件对解的影响
00 远处施加边界条件： n
• 边界条件对解的影响
远处施加齐次第 一类边界条件
极分布、圆心位于正负电流中心的圆边界。
时谐场问题与高频问题：
——高频问题中，渐近边界条件又称为 吸收边界条件 (Absorbing Boundary Condition, ABC) 或者辐射边界条件 (Radiation Boundary Condition, RBC) 时谐电偶极子产生的磁位：
e j r 0 I l A ez 4 r
• 数学上的意义：从微分方程的通解中确定所需要的唯一的 解答。——定解。 • 因此，边界条件不是自然的或天生必然的，而是为了求解 的需要和方便人为确定的。设立边界条件的合适与否直接 影响解题的正确性、难易和解题效率。 • 物理意义：边界条件反映了场外的源产生的效应，可以等效 为边界上的面电荷密度、电偶极子层密度、入射电流、面电 流密度等等。 • 作用效果：边界条件对域内场的影响具有“近距”特性，即对 靠近的区域影响大，远离的区域影响小。这意味着远处的边 界条件不需要那么精确，可以采用近似的描述。
0 故：
（新）二阶渐近边界条件，适合于净电荷为0，正负电荷呈两
极分布、圆心位于正负电荷中心的圆边界。
三维静磁场问题：
小电流环产生的磁位：( m a I )
2
0 m A sin e 2 4 r
故：
A 2 A 0 r r
一阶渐近边界条件，适合于电流 回路，球心位于回路中心的球面。 思考：如何推导矩形边界上的渐近条件？
• 电磁场的边界条件
表1.1 根据场线确定边界条件
强加边界条件， 在有限元法中不 能自动满足
位函数 电位 标量磁位 m 矢量磁位 A
场量 E H B
位与场的关系
E
沿着场线
0 n m 0 n
垂直于场线
const
H m
B A
m const
工程电磁场数值分析
（电磁场的基本理论）
华中科技大学电机与控制工程系
陈德智
2013.12
第1章 电磁场的基本理论
1. 电磁场的场与源 2. 矢量分析 3. 电磁场基本方程 4. 电磁场中的位函数 5. 电磁场边界条件 6. 电磁场中的力与能量
5. 场域与边界条件
什么是场域？
同轴方芯电缆
绝缘子
线圈
（Asymptotic Boundary Condition, ABC）
三维静电场问题：
点电荷产生的电位：

q 4 r
或
q 故： 2 r 4 r r
0 r r
一阶渐近边界条件，适合于净电荷 不为0，球心位于电荷中心的球面。
三维静电场问题：
电偶极子产生的电位：( p = ql )
作业：
1. 一密闭导体空腔内外各 有若干个带电导体。设各 导体带电量已知，欲求腔 内外的电场分布，试确定 求解区域，列出边值问题。
静电屏蔽问题
作业： 2. 分别以标量磁位和矢量磁位为求解量列出边值问题。 设定子绕组的电流为沿定子内表面分布的面电流，面电 流密度为 K K m sin( x)e z ，b为极距。不计铁心饱和。 b
A 0 n
A const
自然边界条件， 从位与场的关系看，电位与标量磁位是相似的，都是梯度。 在有限元法中自 动满足
电场与磁场的对称性
(a) 异号的两平行电轴形成的电场
(b) 反向的两平行长直线电流形成的磁场
电场： 平行于对称面，垂至于反对称面
磁场： 垂直于对称面，平行于反对称面
• 电磁场的边界条件
二维静电场问题：
电轴产生的电位：
ln
0 故： ln
一阶渐近边界条件，适合于净电荷不为0，圆心位于电荷中 心的圆。
二维静电场问题：
一对电轴产生的电位：
2 l cos / 2 ln ln 2 1 2 l cos / 2 l cos l 2
A const
从场与源的关系看，电位与矢量磁位是相似的，都是泊松方程。
开域问题与渐近边界条件
开域问题——如何减小有限元求解场域
当所研究的场一直延伸到无穷远处时，称为开域问题。 对开域问题可使用边界元与有限元结合（FEM+BEM） 进行模拟。通过人为边界划分为内外两个区域，内部封 闭区域用有限元模拟，外部开放区域用边界元模拟，二 者通过边界粘接在一起（耦合）。 优点：准确 缺点：有限元矩阵的稀疏性和 对称性受到破坏，增加 计算量和求解难度。
m S 0 磁力线垂直
边界条件
适用：远处； 对称面，磁力线垂直
m 0 n S
磁力线平行 边界条件
适用：远处；反对称面，磁力线平行
磁场的边界条件：矢量磁位
• 齐次第一类边界条件和齐次第二类边界条件： (1)对称面； (2)远处；(3)易于确定力线走向的位置。
AS 0
（格林第二公式）

V
( 2 2 )dV ( ) dS
S
• 泊松方程的格林函数解
• 前述三维边值问题，V内任意一点的电位可以表示为：

1 4

V
1 dV 4 R

1 1 R n n R dS S
磁力线平行
边界条件
适用：远处；反对称面，磁力线平行
A 0 n S
磁力线垂直 边界条件
铁磁体槽内的线电流
适用：远处；对称面，磁力线垂直
铁磁材料表面的边界条件
• 以铁材料内部为求解场域时，如果忽略漏磁场，则铁的表面 可以看作磁力线平行边界条件。 • 以铁材料外部空气区域为求解场域时，如果忽略铁的饱和效 应，铁的表面可以看作磁力线垂直边界条件。
电容器边缘场 （平行平面场）
端部边缘效应
极板无限宽时外部电场
从电容器尖端发出的电力线方程为： y x(2 x) acos( x 1)
电容器边缘场（轴对称模型）
磁场的边界条件：标量磁位 m
• 第一类边界条件： mS
const
磁极表面（空气区）。
• 齐次第一类边界条件和齐次第二类边界条件： (1)对称面； (2)远处；(3)易于确定力线走向的位置。
5. 场域与边界条件
边值问题与边界条件（电位泊松方程为例）
2 / S1 f1 ( S ) n f 2 ( S ) S2
• 解的存在性、唯一性和稳定性 • 唯一性定理：满足给定第一、第二、 第三类边值问题 的解是唯一的。
• 边界条件的作用
远处施加齐次第 二类边界条件
估计一下：原理 上讲，哪个会更准确一些？
5. 电磁场的边界条件
• 对于远离所关心区域的位置，可以采用近似的边 界条件，只要合理，不会对关心区域的解造成很 大影响。 • 合理与否，取决于你对问题的分析和判断，取决 于电磁场基本概念、基本图象的掌握程度。
第一类边界条件与齐次第二类边界条件：最为常用
表1.2 根据对称面确定边界条件 场与源的关 系
场类型 静电场 与恒定 电场 恒定磁 场
对称面
反对称面

2
D
与E线平行
0 n
与E线垂直
const
m 0 n
H J
A J
2
m const
与B线垂直 与B线平行 A 0 n
pr p cos 3 4 r 4 r 2 p cos 2 故： 3 r 2 r r
或
2 0 r r
（新）二阶渐近边界条件，适合于净
电荷为0，正负电荷呈两极分布、 球心位于正负电荷中心的球面。