数列的极限教学设计
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课题： 数列的极限
一、教学内容分析
极限概念是数学中最重要和最基本的概念之一，因为高等数学中其它重要的基本概念（如导数、微分、积分等）都是用极限概念来表述的，而且它们的运算和性质也要用极限的运算和性质来推导，所以，极限概念的掌握至关重要.
二、教学目标设计
1．理解数列极限的概念，能初步根据数列极限的定义确定一些简单数列的极限.
2．观察运动和变化的过程，初步认识有限与无限、近似与精确、量变与质变的辩证关系，提高的数学概括能力、抽象思维能力和审美能力.
三、教学重点及难点
重点：数列极限的概念以及简单数列的极限的求解.
难点：数列极限的定义的理解.
四、教学流程设计
五、教学过程设计
（一）、引入
1、创设情境，引出课题
1. 观察
举例：
[A] 战国时代哲学家庄周著的《庄子·天下篇》引用过一句话：
一尺之棰 日取其半 万世不竭.
[B] 三国时的刘徽提出的“割圆求周” 的方法。他把圆周分成三等分、六等分、十二等分、二十四等分······ 这样继续分割下去，所得多边形的周长就无限接近于圆的周长。
割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣。
（二）、学习新课
2、观察归纳，形成概念 实例引入
概念
符号 数列的极限 几何
理解
运用与深化(例题解析、巩固练习)
课堂小结并布置作业
（1）直观认识
请同学们考察下列几个数列的变化趋势
A.,101,,101,101,10132n
①“项”随n的增大而减小 ②但都大于0
③当n无限增大时，相应的项n101可以“无限趋近于”常数0
B.,1,,43,32,21nn
①“项”随n的增大而增大 ②但都小于1
③当n无限增大时，相应的项1nn可以“无限趋近于”常数1
C.,)1(,,31,21,1nn
①“项”的正负交错地排列，并且随n的增大其绝对值减小
②当n无限增大时，相应的项nn)1(可以“无限趋近于”常数0
概念辨析
归纳数列极限的描述性定义：
一般地，如果当项数n无限增大时，无穷数列}{na的项na无限趋近于．．．．．某个常数a（即naa无限趋近于0），那么就说数列}{na以a为极限，或者说a是数列}{na的极限．记作limnnaa，读作“当n趋向于无穷大时，na的极限等于a”
“n∞”表示“n趋向于无穷大”，即n无限增大的意思limnnaa有时也记作：当n∞时，naa．
（2）量化认识
问题拓展
给出数列极限的N定义：
一般地，设数列na是一个无穷数列，a是一个常数，如果对于预先给定的任意小的正数ε，总存在正整数N，使得只要正整数Nn，就有aan，那么就说数列na以a为极限，记作aannlim，或者n时aan.
（三）、巩固练习
讲授例题
【例1】.已知数列 1146512,,,,,.....,1(1),...2356nn
1)写出这个数列的各项与1的差的绝对值;
2)第几项后面的所有项与1的差的绝对值都小于0.1?都小于0.001? 都小于0.0003?
3)第几项后面的所有项与1的差的绝对值都小于任何预先指定的正数ε?
4)1是不是这个数列的极限?
【例2】考察下面的数列，写出它们的极限：
1) 31111,,,,,827n
2) 56.5,6.95,6.995,,7,,10n
3) 1111,,,,,248(2)n
【例3】求常数数列-1，-1，-1，···，-1，···的极限．
【例4】当a满足什么条件时，0limnna？试举例验证。
【例5】试判断下列数列是否存在极限，并解答相应问题。
数列 是否存在极限a 若存在极限
limnna naa limnnaa
41 nnan
(1)nna
2 na
1
(n100)nan
0.99 nna
1 5()3nna
(1)3nnan
nan
1nan
几个重要极限：
（1）01limnn （2）CCnlim（C是常数）
（3）无穷等比数列}{nq（1q）的极限是0，即 )1(0limqqnn
（四）、课堂小结
①无穷数列是该数列有极限的什么条件.
②常数数列的极限就是这个常数.
③数列极限的描述性定义.
④数列极限的N的定义.
（五）、作业布置
六、教学设计说明
对于数列极限的学习，对学生来说是有限到无限认识上的一次飞跃，由于学生知识结构的局限性和学习习惯、方法的影响，学习过程中的困难会较大，根据一般的认识规律和学生的心理特征，设计了直观认识、量化认识和极限定义三个教学步骤，由浅入深，由表及里，由感性到理性的逐步深化，力求使学生很好的理解极限的概念.
