常用逻辑用语

试卷第1页，总8页 第8讲 常用逻辑用语

一、重点

1.四种命题的相互关系及其真假判断；

2.充分性、必要性的判断；

3.命题p∧q，p∨q，p的真假判断；

4.全称量词与存在量词的意义.

难点：

1.充分性、必要性的判断；

2. 对含有一个量词的命题的否定.

三、典例分析

【题型一】四种命题及其关系

知识梳理

1．命题

(1)定义：用语言、符号或式子表达的可以 的陈述句．

(2)特点：能判断真假,是陈述句．

(3)分类：真命题、假命题．

2．四种命题及其关系

(1)四种命题间的相互关系

(2)四种命题的真假判断

①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的 ．

②两个命题互为逆命题或否命题，它们的真假性 ．

【例1】

1、判断下列命题的真假

（1）若BAx，则Ax且Bx;

（2）若022yx，则0xy；

（3）若yx或yx，则yx

2、下列命题：

试卷第2页，总8页 ①“全等三角形的面积相等”的逆命题；

②“若ab＝0，则a＝0”的否命题；

③“正三角形的三个角均为60°”的逆否命题；

④“若x≤－3，则x2＋x－6＞0”的否命题；

⑤“若a2＋b2＝0，a，b∈R，则a＝b＝0”的逆否命题．

其中真命题的序号是________(把所有真命题的序号填在横线上)．

解析 ①“全等三角形的面积相等”的逆命题为“面积相等的三角形全等”，显然该命题为假命题；②“若ab＝0，则a＝0”的否命题为“若ab≠0，则a≠0”，

而由ab≠0可得a，b都不为零，故a≠0，所以该命题是真命题；③由于原命题“正三角形的三个角均为60°”是一个真命题，故其逆否命题也是真命

题；④易判断原命题的逆命题假，则原命题的否命题假；⑤逆命题为“a，b∈R，若a≠0或b≠0，则a2＋b2≠0”为真命题．

答案 ②③⑤

【题型二】 充分、必要、充要条件的判断

知识梳理

1．充分条件与必要条件

命题真假 “若p，则q”是真命题 “若p，则q”是假命题

推出关系 p q p q

条件关系 p是q的_____条件

q是p的_____条件 p不是q的_____条件

q不是p的_____条件

注：在逻辑推理中p⇒q，能表达成以下5种说法：①“若p，则q”为真命题；②p是q的充分条件；③q是p的必要条件；④q的充分条件是p；⑤p的必要条件是q. 这五种说法表示的逻辑关系是一样的，都能表示p⇒q，只是说法不同而已．

2. 充要条件：一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q，此时，我们说p是q的充分必要条件，简称_________．显然，如果p是q的充要条件，那么q也是p的_________ ，即如果p⇔q，那么p与q互为充要条件．

3. 充分条件、必要条件、充要条件的判断

（1）若p⇒q，但qp，则p是q的充分而不必要条件；

（2）若q⇒p，但pq，则p是q的必要而不充分条件；

（3）若p⇒q且q⇒p，则p是q的充要条件；

（4）若pq且qp，则p是q的既不充分也不必要条件．

【例2】

1．（2016年江西师大附中高三上学期期末） “”是“曲线为双曲线”的（ ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A【解析】当3m时，02m，121)2(2222mymxymmx，原方程是双曲线方3m22(2)1mxmy

试卷第3页，总8页 程；当原方程为双曲线方程时，有202,0mmm；由以上说明可知3m是“曲线1)2(22ymmx是双曲线”充分而非必要条件．故本题正确选项为A.

2、(2016届安徽合肥中学等六校高三第二次联考）在等差数列{}na中，“13aa”是“数列{}na是单调递增数列”的 （ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要件

【答案C】

3. (2015—2016学年度內蒙古巴彥一中高二理数检测题）设()1:210,:021xpxmmqx-+<>>-，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为 ．

【答案: (]02，】

【变式训练2】

1. 若不等式ax|1|成立的充分条件是40x，则实数a的取值范围是 .

2. 已知p：020-8-2xx，q：0-12-22mxx（m>0）,且p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围。

m9≥

【题型三】 含有逻辑联结词的命题的真假判断

知识梳理

1．用逻辑联结词构成新命题

(1)用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作_____，读作_______．

(2)用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作_____，读作_______ ．

(3)对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作___，读作_____或__________ ．

2.命题p∧q，p∨q，p的真假判断

p q p∧q p∨q p

真 真 真 真 假

真 假 假 真 假

假 真 假 真 真

假 假 假 假 真

【例3】

试卷第4页，总8页 1、已知命题p：⊆{0}，q：{1}∈{1,2}，由它们构成的“p∨q”，“p∧q”，“p”形式的命题中，真命题有( B )．

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

解析 命题p为真命题，命题q为假命题，则p∨q为真命题，p∧q为假命题，┓p为假命题．

2、已知命题0,2,1:2axxp，命题022,:0200aaxxRxq，若命题“p或q”是假命题，求实数a的取值范围．

解：由“p且q”是真命题，则p为真命题，q也为真命题．若p为真命题，a≤x2恒成立，∵x∈[1,2]，∴a≤1.

若q为真命题，即x2＋2ax＋2－a＝0有实根，Δ＝4a2－4(2－a)≥0，即a≥1或a≤－2.

综上，实数a的取值范围为a≤－2或a＝1.

3、已知m∈R，命题p：对任意x∈[0，1]，不等式2x﹣2≥m2﹣3m恒成立；命题q：存在x∈[﹣1，1]，使得m≤ax成立．

（1）若p为真命题，求m的取值范围；

（2）当a=1，若p∧q为假，p∨q为真，求m的取值范围．

【解答】解：（Ⅰ）∵对任意x∈[0，1]，不等式2x﹣2≥m2﹣3m恒成立，∴（2x﹣2）min≥m2﹣3m，

即m2﹣3m≤﹣2，解得1≤m≤2，即p为真命题时，m的取值范围是[1，2]．

（Ⅱ）∵a=1，且存在x∈[﹣1，1]，使得m≤ax成立∴m≤1，即命题q满足m≤1．

∵p且q为假，p或q为真，∴p、q一真一假．当p真q假时，则，即1＜m≤2，

当p假q真时，，即m＜1．综上所述，m＜1或1＜m≤2．

故答案为：（1）m∈[1，2]… 2）m∈（﹣∞，1）∪（1，2]…（10分）

【变式训练3】

1.如果命题“非p或非q”是假命题，给出下列四个结论：

①命题“p且q”是真命题； ②命题“p且q”是假命题；

③命题“p或q”是真命题； ④命题“p或q”是假命题；

其中证明的结论是（ A ）

A.①③ B.②④ C.②③ D.①④

2.(2016届湖南师大附中高三上学期文科月考题）已知命题p：“函数042axaxxf在2,上单调递减”，命题q：“0111616,2xaxRx”．若命题“pq”是假命题，“qp”为真命题，求实数a的取值范围。

解析：p真1,0 q真23,21

试卷第5页，总8页 3、下列说法正确的是（ ）

A．a∈R，“＜1”是“a＞1”的必要不充分条件

B．“p∧q为真命题”是“p∨q为真命题”的必要不充分条件

C．命题“∃x∈R使得x2+2x+3＜0”的否定是：“∀x∈R，x2+2x+3＞0”

D．命题p：“∀x∈R，sinx+cosx≤”，则￢p是真命题

【解答】解：A．由＜1得a＞1或a＜0，则“＜1”是“a＞1”的必要不充分条件，正确，

B．若p∧q为真命题，则p，q都是真命题，此时p∨q为真命题，即充分性成立，反之当p假q真时，p∨q为真命题，

但p∧q为假命题，故“p∧q为真命题”是“p∨q为真命题”的充分不必要条件，故B错误，

C．命题“∃x∈R使得x2+2x+3＜0”的否定是：“∀x∈R，x2+2x+3≥0”，故C错误，

D．∵sinx+cosx=sin（x+）≤恒成立，∴p是真命题，则￢p是假命题，故D错误，

故选：A．

4、下列选项中说法正确的是（ ）

A．命题“p∨q为真”是命题“p∧q为真”的必要条件

B．向量，满足，则与的夹角为锐角 C．若am2≤bm2，则a≤b

D．“∃x0∈R，x02﹣x0≤0”的否定是“∀x∈R，x2﹣x≥0”

【解答】解：对于A，若p∨q为真命题，则p，q至少有一个为真命题，若p∧q为真命题，则p，q都为真命题，则“p∨q为真命题”是“p∧q为真命题”的必要不充分条件，正确；

对于B，根据向量数量积的定义，向量，满足，则与的夹角为锐角或同向，故错；

对于C，如果m2=0时，am2≤bm2成立，a≤b不一定成立，故错；

对于D，“∃x0∈R，x02﹣x0≤0”的否定是“∀x∈R，x2﹣x＞0”，故错．

故选：A．

【题型四】 含有一个量词的命题的否定

知识梳理

1. 全称量词与存在量词、全称命题与特称命题

(1)短语“所有的”“任意一个”这样的词语，一般在指定的范围内都表示事物的全体，这样的词叫做全称量词，用符号“∀”表示，含有全称量词的命题，叫做 ．全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为： ．