常用逻辑用语

集合与常用逻辑用语

一、集合

1、特定集合的表示

①自然数集：N ②正整数集：N ③整数集：Z ④有理数集：Q

⑤实数集：R ⑥正实数集：R

2、集合之间的关系

①子集：AB x∈Ax∈B。

真子集：ABAB且AB。

集合相等：A=BAB且BA。

②空集是任何集合的子集，是任意非空集合的真子集。

③n个元素的集合有n2个子集；n个元素的集合有12n个真子集。

3、集合的运算关系

①交集：A∩Bx∈A且x∈B。

并集：A∪Bx∈A或x∈B。

补集：ACUx∈U且xA。

②基本性质：A∩=；A∪=A；A∩B=AAB；A∪B=ABA。

③容斥原理：Card(A)+Card(B)=Card(A∩B)+Card(A∪B)；

Card(A)+Card(B)+Card(C)=Card(A∪B∪C)+Card(A∩B)+Card(B∩C)

+Card(C∩A)-Card(A∩B∩C)。

④德摩根定律：(ACU)∩(BCU)=)(BACU；(ACU)∪(BCU)=)(BACU。

⑤其它性质：

若{a1,a2…am}A{a1,a2…am,am+1…an}，则集合A的个数为mn2。

若{a1,a2…am}∪B={a1,a2…am,am+1…an}，则集合B的个数为m2。 二、常用逻辑用语

1、量词

①全称量词：。含有全称量词的命题为全称命题：x∈M，p(x)。

②存在量词：。含有存在量词的命题为存在性命题：x∈M，p(x)。

2、基本逻辑连结词

①(且)：若p、q全真，则pq为真；若p、q一真一假，则pq为假。

②(或)：若p、q至少一真，则pq为真；若p、q全假，则pq为假。

③(非)：若p真则p假；若p假则p真。

㈠正面叙述的否定：

都是→不都是；任意的→某个；任意n个→某n个；所有的→某些；

至多有n个→至少有n+1个；至少有n个→至多有n-1个；

第 1 页 共 2 页 常用逻辑用语

1．充要条件的判断：

（1）定义法----正、反方向推理

注意区分：“甲是乙的充分条件（甲乙）”与“甲的充分条件是乙（乙甲）”

（2）利用集合间的包含关系：例如：若BA，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A=B，则A是B的充要条件。

2．逻辑联结词：

⑴且(and) ：命题形式 pq； p q pq pq p

⑵或（or）： 命题形式 pq； 真 真 真 真 假

⑶非（not）：命题形式p . 真 假 假 真 假

假 真 假 真 真

假 假 假 假 真

3．四种命题的相互关系

原命题 互逆 逆命题

若ｐ则ｑ 若ｑ则ｐ

互 互

互 为 为 互

否 否

逆 逆

否 否

否命题 逆否命题

若非ｐ则非ｑ 互逆 若非ｑ则非ｐ

4。四种命题：

⑴原命题：若p则q； ⑵逆命题：若q则p；

⑶否命题：若p则q； ⑷逆否命题：若q则p

注：原命题与逆否命题等价；逆命题与否命题等价。

5.全称量词与存在量词

⑴全称量词-------“所有的”、“任意一个”等，用表示；

全称命题p：)(,xpMx； 全称命题p的否定p：)(,xpMx。

⑵存在量词--------“存在一个”、“至少有一个”等，用表示；

专题二 常用逻辑用语

第一节 命题及其关系、充分条件与必要条件

[考情展望]

1.直接考查“若p，则q”形式的四种命题及其真假性的判定.

2.以函数、方程、不等式等知识为载体，考查充分必要条件的判定方式.

3.借助充要条件探索命题成立的依据

一、四种命题及其关系

1．四种命题间的相互关系：

2．四种命题的真假关系

(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；

(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．

二、充分条件与必要条件

1．如果p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．

2．如果p⇔q，那么p与q互为充要条件．

3．如果p ≠q，且q ≠ p，则p是q的既不充分又不必要条件．

充分条件与必要条件的两个特征

(1)对称性：若p是q的充分条件，则q是p的必要条件，即“p⇒q”⇔“q ⇐p”；

(2)传递性：若p是q的充分(必要)条件，q是r的充分(必要)条件，则p是r的充分(必要)条件．注意区分“p是q的充分不必要条件”与“p的一个充分不必要条件是q”两者的不同，前者是“p⇒q”而后者是“q⇒p”．

1．已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是( )

A．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2＜3 B．若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2＜3

C．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2≥3 D．若a2＋b2＋c2≥3，则a＋b＋c＝3

2．命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是( )

A．若α≠π4，则tan α≠1 B．若α＝π4，则tan α≠1

C．若tan α≠1，则α≠π4 D．若tan α≠1，则α＝π4

3．命题“若a＞－3，则a＞－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中假命题的个数为( )

A．1 B．2 C．3 D．4

4．下列命题正确的有________ ．

常用逻辑用语

一、命题

1、命题的概念

在数学中用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．

2、四种命题及其关系

(1)、四种命题

命题 表述形式

原命题 若p，则q

逆命题 若q，则p

否命题 若p则q

逆否命题 若q则p

(2)、四种命题间的逆否关系

(3)、四种命题的真假关系

**两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；

*两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．

二、充分条件与必要条件

1、定义

1．如果p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．

2．如果p⇒q，q⇒p，则p是q的充要条件．

2、四种条件的判断

1.如果“若p则q”为真，记为pq，如果“若p则q”为假，记为pq.

2.若pq，则p是q的充分条件，q是p的必要条件

3.判断充要条件方法：

（1）定义法：①p是q的充分不必要条件pqpq ②p是q的必要不充分条件pqpq

③p是q的充要条件pqqp ④ p是q的既不充分也不必要条件pqpq

（2）集合法：设P={p}，Q={q}，

①若PQ，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件. ②若P=Q，则p是q的充要条件（q也是p的充要条件）.

③若PQ且QP，则p是q的既不充分也不必要条件.

（3）逆否命题法：

①q是p的充分不必要条件p是q的充分不必要条件

②q是p的必要不充分条件p是q的充分不必要条件

③q是p的充分要条件p是q的充要条件

④q是p的既不充分又不必要条件p是q的既不充分又不必要条件

三、简单的逻辑联结词

(1)命题中的“且”“或”“非”叫做逻辑联结词．

①用联结词“且”联结命题p和命题q，记作p∧q，读作“p且q”．

②用联结词“或”联结命题p和命题q，记作p∨q，读作“p或q”．