七年级正比例和反比例知识点总结

初三数学反比例函数知识点及经典例题

一、基础知识

1. 定义：一般地，形如xky（k为常数，ok）的函数称为反比例函数。xky还可以写成kxy1

2. 反比例函数解析式的特征：

⑴等号左边是函数y，等号右边是一个分式。分子是不为零的常数k（也叫做比例系数k），分母中含有自变量x，且指数为1.

⑵比例系数0k

⑶自变量x的取值为一切非零实数。

⑷函数y的取值是一切非零实数。

3. 反比例函数的图像

⑴图像的画法：描点法

① 列表（应以O为中心，沿O的两边分别取三对或以上互为相反的数）

② 描点（有小到大的顺序）

③ 连线（从左到右光滑的曲线）

⑵反比例函数的图像是双曲线，xky（k为常数，0k）中自变量0x，函数值0y，所以双曲线是不经过原点，断开的两个分支，延伸部分逐渐靠近坐标轴，但是永远不与坐标轴相交。

⑶反比例函数的图像是是轴对称图形（对称轴是xy或xy）。

⑷反比例函数xky（0k）中比例系数k的几何意义是：过双曲线xky

（0k）上任意引x轴y轴的垂线，所得矩形面积为k。

4．反比例函数性质如下表：

k的取值 图像所在象限 函数的增减性

ok 一、三象限 在每个象限内，y值随x的增大而减小

ok 二、四象限 在每个象限内，y值随x的增大而增大

5. 反比例函数解析式的确定：利用待定系数法（只需一对对应值或图像上一个点的坐标即可求出k）

6．“反比例关系”与“反比例函数”：成反比例的关系式不一定是反比例函数,但是反比例函数xky中的两个变量必成反比例关系。

7. 反比例函数的应用

二、例题

【例1】如果函数222kkkxy的图像是双曲线，且在第二，四象限内，那么的值是多少？

【解析】有函数图像为双曲线则此函数为反比例函数xky，（0k）即kxy1（0k）又在第二，四象限内，则0k可以求出的值

【答案】由反比例函数的定义，得：

01222kkk解得0211kkk或

初二数学反比例函数知识要点及经典例题解析

知识要点梳理

知识点一：反比例函数的应用

在实际生活问题中,应用反比例函数知识解题,关键是建立函数模型．即列出符合题意的反比例函数解析式,然后根据反比例函数的性质求解．

知识点二：反比例函数在应用时的注意事项

1．反比例函数在现实世界中普遍存在，在应用反比例函数知识解决实际问题时，要注意将实际问题转化为数学问题．

2．针对一系列相关数据探究函数自变量与因变量近似满足的函数关系．

3．列出函数关系式后，要注意自变量的取值范围．

知识点三：综合性题目的类型

1．与物理学知识相结合：如杠杆问题、电功率问题等.

2．与其他数学知识相结合：如反比例函数与一次函数的交点形成的直角三角形或矩形的面积．

规律方法指导

这一节是本章的重要内容，重点介绍反比例函数在现实世界中无处不在，以及如何应用反比例函数的知识解决现实世界中的实际问题．学生要学会从现实生活常见的问题中抽象出数学问题，这样可以更好地认识反比例函数概念的实际背景，体会数学与实际的关系，深刻认识数学理论来源于实际又反过来服务实际．

经典例题透析

类型一：反比例函数与一次函数相结合

1．（2010四川成都）如图1，已知反比例函数与一次函数的图象在第一象限相交于点．

（1）试确定这两个函数的表达式；

（2）求出这两个函数图象的另一个交点的坐标，并根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数值的的取值范围．

思路点拨: 由于A在反比例函数图象上，由反比例函数定义得，从而求出A点的坐标．再由待定系数法求出一次函数解析式．联立一次函数和反比例函数解析式，可求出B点坐标。根据数形结合的思想，求出反比例的图象在一次函数图象上方时x的取值范围．

解析：（1）∵已知反比例函数经过点，

∴，即

∴

∴A(1，2)

∵一次函数的图象经过点A(1，2)，

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亿库教育网 反比例函数

知识梳理

知识点l. 反比例函数的概念

重点：掌握反比例函数的概念 难点：理解反比例函数的概念

一般地，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成xky或y=kx-1（k为常数，0k）的形式，那么称y是x的反比例函数。反比例函数的概念需注意以下几点：

（1）k是常数，且k不为零；（2）xk中分母x的指数为1，如22yx不是反比例函数。

（3）自变量x的取值范围是0x一切实数.（4）自变量y的取值范围是0y一切实数。

知识点2. 反比例函数的图象及性质

重点：掌握反比例函数的图象及性质 难点：反比例函数的图象及性质的运用

反比例函数xky的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限。它们关于原点对称、反比例函数的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交。

画反比例函数的图象时要注意的问题：

（1）画反比例函数图象的方法是描点法；

（2）画反比例函数图象要注意自变量的取值范围是0x，因此不能把两个分支连接起来。

（3）由于在反比例函数中，x和y的值都不能为0，所以画出的双曲线的两个分支要分别体现出无限的接近坐标轴，但永远不能达到x轴和y轴的变化趋势。

反比例函数的性质

xky)0k(的变形形式为kxy（常数）所以：

（1）其图象的位置是：

当0k时，x、y同号，图象在第一、三象限；

当0k时，x、y异号，图象在第二、四象限。

（2）若点(m,n)在反比例函数xky的图象上，则点（-m,-n）也在此图象上，故反比例函数的图象关于原点对称。

（3）当0k时，在每个象限内，y随x的增大而减小；

当0k时，在每个象限内，y随x的增大而增大； 亿库教育网

亿库教育网 知识点3. 反比例函数解析式的确定。

重点：掌握反比例函数解析式的确定 难点：由条件来确定反比例函数解析式

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反比例函数知识点及经典例题

一、基础知识

1. 定义：一般地，形如xky（k为常数，ok）的函数称为反比例函数。xky还可以写成kxy1

2. 反比例函数解析式的特征：

⑴等号左边是函数y，等号右边是一个分式。分子是不为零的常数k（也叫做比例系数k），分母中含有自变量x，且指数为1.

⑵比例系数0k

⑶自变量x的取值为一切非零实数。

⑷函数y的取值是一切非零实数。

3. 反比例函数的图像

⑴图像的画法：描点法

① 列表（应以O为中心，沿O的两边分别取三对或以上互为相反的数）

② 描点（有小到大的顺序）

③ 连线（从左到右光滑的曲线）

⑵反比例函数的图像是双曲线，xky（k为常数，0k）中自变量0x，函数值0y，所以双曲线是不经过原点，断开的两个分支，延伸部分逐渐靠近坐标轴，但是永远不与坐标轴相交。

⑶反比例函数的图像是是轴对称图形（对称轴是xy或xy）。

⑷反比例函数xky（0k）中比例系数k的几何意义是：过双曲线xky （0k）上任意引x轴y轴的垂线，所得矩形面积为k。

4．反比例函数性质如下表：

k的取值 图像所在象限 函数的增减性

ok 一、三象限 在每个象限内，y值随x的增大而减小

ok 二、四象限 在每个象限内，y值随x的增大而增大

5. 反比例函数解析式的确定：利用待定系数法（只需一对对应值或图像上一个点的坐标即可求出k）

6．“反比例关系”与“反比例函数”：成反比例的关系式不一定是反比例函数,但是反比例函数xky中的两个变量必成反比例关系。

7. 反比例函数的应用

二、例题

【例1】如果函数222kkkxy的图像是双曲线，且在第二，四象限内，那么的值是多少？

【例2】在反比例函数xy1的图像上有三点1x，1y，2x，2y，3x，3y 。若3210xxx则下列各式正确的是（ ）

A．213yyy B．123yyy C．321yyy D．231yyy