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线性代数第五习题答案详解[5]

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1

第五章 n维向量空间

习题一

1． 解：a-b = a+(-b)

= (1,1,0)T +(0,-1,-1)T

= (1,0,-1)T

3a+2b-c = 3a+2b+(-c)

= (3,3,0)T+(0,2,2)T+(-3,-4,0)T

= (0,1,2)T

2． 解： 3(a1-a)+2(a2+a) = 5(a3+a)

3a1+2a2+(-3+2)a = 5a3+5a

3a1+2a2+(-a) = 5a3+5a

3a1+2a2+(-a)+a+(-5)a3 = 5a3+5a+a+(-5)a3

3a1+2a2+(-5)a3 = 6a

61[3a1+2a2+(-5)a3] = 616a

21a1+31a2+(-65)a3 = a

将a1=(2,5,1,3)T,a2=(10,1,5,10)T,a3=(4,1,-1,1)T代入a =21a1+31a2+(-65)a3 中可得：

a=(1,2,3,4)T.

3． (1) V1是向量空间.由(0,0,…,0)V1知V1非空.设a=(x1,x2,…,xn)V1,b=(y1,y2,…,yn)V1,则有x1+x2+…+xn=0，y1+y2+…+yn=0.因为

(x1+y1)+(x2+y2)+…+(xn+yn)= (x1+x2+…+xn)+( y1+y2+…+yn)=0

所以a+b=( x1+y1,x2+y2,…,xn+yn)V1.对于kR，有

kx1+kx2+…+kxn=k(x1+x2+…+xn)=0

所以ka=( kx1,kx2,…,kxn) V1.因此V1是向量空间.

(2) V2不是向量空间.因为取a=(1, x2,…,xn)V2 ,b=(1, y2,…,yn)V2,但a+b=(2, x2+y2,…,

xn+yn)V2.因此V2不是向量空间.

习 题 二

1． 求向量b关于向量组a1,a2,a3,a4的线性组合表达式：

(1) 解：设向量b关于向量组a1,a2,a3,a4的线性组合表达式为：

b=k1a1+k2a2+k3a3+k4a4

其中, k1,k2,k3,k4为待定常数.则将b=(0,2,0,-1)T,a1=(1,1,1,1)T,a2=(1,1,1,0)T,

a3=(1,1,0,0)T,a4=(1,0,0,0)T向量b关于向量组a1,a2,a3,a4的线性组合表达式中可得：

(0,2,0,-1)T=k1(1,1,1,1)T+k2(1,1,1,0)T+k3(1,1,0,0)T+k4(1,0,0,0)T

2 根据对分量相等可得下列线性方程组：

10201213214321kkkkkkkkkk

解此方程组可得：k1=－1,k2=1,k3=2,k4=－2.

因此向量b关于向量组a1,a2,a3,a4的线性组合表达式为：

b=－a1+a2+2a3－2a4 .

(2) 与(1)类似可有下列线性方程组：

121332223212143214321kkkkkkkkkkkkk

由方程组中的第一和第二个方程易解得：k2=4,于是依次可解得：k1=-2,k3=-9,

k4=2.

因此向量b关于向量组a1,a2,a3,a4的线性组合表达式为：

b=－2a1+4a2－9a3+2a4 .

2．(1) 解：因为向量组中向量的个数大于每个向量的维数，由推论2知a1,a2 ,a3,a4线性相关.

(2) 解：400510111220510111331621111321aaa

因为3321aaaR

所以a1,a2,a3线性无关.

(3) 解：00021011142012601117131442111321aaa

因为32321aaaR

所以a1,a2,a3线性相关.

(4) 解：500410111320410111211301111321aaa

因为3321aaaR

3 所以a1,a2,a3线性无关.

3. 证明：假设有常数k1,k2,k3,使

k1b1+k2b2+k3b3=0

又由于b1=a1,b2=a1+a2,b3=a1+a2+a3,于是可得

k1a1+k2(a1+a2)+k3(a1+a2+a3)=0

即

(k1+k2+k3)a1+ (k2+k3)a2+k3a3=0

因为a1,a2,a3线性无关，所以有

000332321kkkkkk 解得000321kkk

因此向量组b1,b2,b3线性无关.

4. 设存在常数k1,k2,k3,k4使

k1b1+k2b2+k3b3+k4b4=0

因为b1=a1+a2,b2= a2+a3,b3=a3+a4,b4= a4+a1

于是可得：

k1 (a1+a2)+k2(a2+a3)+k3(a3+a4)+k4(a4+a1)=0

整理得：

(k1+k4)a1+ (k2+k1)a2+(k2+k3)a3+(k3+k4)a4=0，

（下用两种方法解）

法 一：因为a1,a2,a3,a4为同维向量，则

(1) 当向量组a1,a2,a3,a4线性无关时，

k1+k4=0， k2+k1=0，k2+k3=0，k3+k4=0

可解得：k2=- k1，k4=- k1，k3=k1

取k10可得不为0的常数k1,k2,k3,k4使

k1b1+k2b2+k3b3+k4b4=0

因此b1,b2,b3,b4线性相关。

(2) 当向量组a1,a2,a3,a4线性相关时，k1+k4，k2+k1，k2+k3，k3+k4中至少存 在 一个不为0，因此易知k1,k2,k3,k4不全为0，于是可得b1,b2,b3,b4线性相关。

法二：因为a1,a2,a3,a4为任意向量，

所以当000043322141kkkkkkkk，

而该方程组的系数矩阵对应的行列式

01100011000111001，所以有非零解

4 所以b1,b2,b3,b4线性相关。

5. 证明：假使向量组b1,b2,…,bm线性相关.即存在不全为0的常数k1,k2,…,km,使：

k1b1+k2b2+…+kmbm=0

由题意不妨设 a1=(a11,a12,…,a1r),

a2=(a21,a22,…,a2r),

…………………,

am=(am1,am2,…,amr)

则相应地， b1=(a11,a12,…,a1r,a1r+1,… a1n),

b2=(a21,a22,…,a2r,a2r+1,… a2n),

…………………,

bm=(am1,am2,…,amr,amr+1,… amn)

由k1b1+k2b2+…+kmbm=0可得：

k1a11+k2a21+…+kmam1=0

k1a12+k2a22+…+kmam2=0

…………………,

k1a1r+k2a2r+…+kmamr =0

k1a1r+1+k2a2r+1+…+kmamr+1 =0

…………………,

k1a1n+k2a2n+…+kmamn=0

去前面r个分量可得：

k1(a11,a12,…,a1r)+k2(a21,a22,…,a2r)+…+km(am1,am2,…,amr)=0

即

k1a1+k2a2+…+kmam=0

由假设知k1,k2,…,km不全为0，因此a1,a2,…,am线性相关，此与a1,a2,…,am线性

无关相矛盾，结论得证.

习 题 三

1．

(1) 解：对矩阵进行初等行变换为

48203225134539475132539475431731255310531032104317312500002100321043173125

该矩阵的秩为3，矩阵的第1,2,3列是它的列向量组的一个极大无关组.

(2) 解：对矩阵进行初等行变换为

5

011110001110200121101000111020011200100011102001

该矩阵的秩为4，因此矩阵的第1,2,3,4列是它的列向量组的一个极大无关组.

2．(1) 解：以a1,a2,a3为列作矩阵A：

A=74316514312110551189940001005100940001

该矩阵的秩为2,它的一个极大无关组为a1,a2

(3) 解：以a1,a2,a3为列作矩阵A=300021001

该矩阵为下三角矩阵，其0A，因此该矩阵的秩为3,它的一个极大无关组为向量组本身.

(4) 解：以a1,a2,a3,a4,a5为列作矩阵A,

00000222001512012211222000000015120122112220015120151201221114011313021512012211A

矩阵A的秩为3, 矩阵A的第1,2,3列构成它的一个极大无关组，

3. 证明：

（法 一）

设saaaA,,,:21；tbbbB,,,:21 ，且rBRAR)()(

tsbbbaaaC,,,,,,,:2121

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线性代数习题集第五章

线性代数习题集第五章

线性代数习题集第五章

1．设三维线性空间V内的⼀个线性变换σ在基ε1，ε2，ε3下的矩阵为

A=a b c

a1b1c1

a2b2c2

，则σ在基ε1,ε2,ε3下的矩阵为（）

（1）a2b2c2

a1b1c1

a b c

（2）c2b2a2

c1b1a1

c b a

（3）a b c

a1b1c1

a2b2c2

（4）a b c

a1b1c1

a2b2c2

2．设a,b,c是线性空间R3中的任意向量，下列对应法则哪⼀个是R3中的线性变换（）

（1）σa,b,c=(a2,0,0)（2）τa,b,c=a,b

（3）υa,b,c=0,0,a b（3）φa,b,c=0,b,03.线性空间R3的两个线性变换σ,τ为σx1,x2,x3=x1?x2,x2,x3?x1;

τx1,x2,x3=x1,0,0，并且α=1,0,1∈R3

则σ+τα为（）

（1）2,0,0（2）2,0,1（3）1,0,0（4）1,0,14.R2的两个线性变换σ,τ为

σx1,x2=x1,x230

0?1

；

τx1,x2=x1,?x2，则σ?τx1,x2为（）

（1）2x1,0（2）3x1,0（3）x1+x2，0（4）x1+x2，x25.R3的两个线性变换σ,τ为

σx1,x2,x3=0,x1,x2;

τx1,x2,x3=x1,0,x2;

则στ?L x1,x2,x3为（）

（1）1,1,x22（2）?x1,x1?x2,?x3

（3） ?1，x1?x2,?1（4）?x1,?x2,x1?x36.已知R2的线性变换σx1,x2=x1+x2,2x1+x2，则σ2x1,x2为（）

（1）（x1+x2）2,（2x1+x2）2（2）x12+x22，4x12+x22

（3）x1+x2，2x1+x2（4）3x1+2x2，4x1+3x2 7.“有相同的特征多项式”这是两个矩阵相似的（）条件。

（1）充分（2）必要（3）充分必要（4）既不充分也不必要8.在线性空间R3中，线性变换σx,y,z=z,x,y,则σ在基ε1=1,0,0,ε2= 0,1,0，ε3=0,0,1下的矩阵为

线性代数习题5参考答案

线性代数习题5参考答案

习题五

1 / 11

习题五（A）

1. 用施密特方法把向量组123(1,1,1),(1,2,3),(1,2,9)TTT正交化.

解:利用施密特正交化方法 ,可得

11111,1222121111[,]20[,]1

13233312112,21[,][,]2[,][]1

再单位化得到单位正交组

11111131e 22211021e 33311261e

2. 下列矩阵是不是正交矩阵,并说明理由

(1) 11123111;2211132 (2). 184999814.999447999

解:(1)矩阵111231112211132不是正交矩阵. 习题五

2 / 11

因为令111231112211132A,且假设A的列向量为

1231113211,1,2211123

125[,]06,故123,,不是单位正交组,即A不是正交矩阵.

(2).矩阵184999814999447999是正交矩阵.

因为令184999814999447999B=,且假设B的列向量为

线性代数第五章课后习题及解答

线性代数第五章课后习题及解答

第五章课后习题及解答

1. 求下列矩阵的特征值和特征向量：

(1) ;1332

解：,07313322AI

2373,237321

,001336371237121371AI

所以，0)(1xAI的基础解系为：.)371,6(T

因此，A的属于1的所有特征向量为：).0()371,6(11kkT

,001336371237123712AI

所以，0)(2xAI的基础解系为：.)371,6(T

因此，A的属于2的所有特征向量为：).0()371,6(22kkT

(2) ;211102113

解：2)2)(1(21112113AI

所以，特征值为：11(单根)，22(二重根)

0001100011111121121AI

所以，0)(1xAI的基础解系为：.)1,1,0(T

因此，A的属于1的所有特征向量为：).0()1,1,0(11kkT

0001000110111221112AI

所以，0)(2xAI的基础解系为：.)0,1,1(T

因此，A的属于2的所有特征向量为：).0()0,1,1(22kkT

(3) ;311111002

解：3)2(311111002AI

所以，特征值为：21(三重根)

线性代数课后答案_习题5和习题6

线性代数课后答案_习题5和习题6

习题五

1. 求下列矩阵的特征值和特征向量：

1）1124；2）123213336；3）001010100；4）310410482。

并说明哪些矩阵可以相似于对角形矩阵。

解：1）11(2)(3)24，特征值2,3 。

当2时， 1(1,1) ，故属于2的特征向量为 11k（10k）。

当3时 ，2(1,2) ，故属于3的特征向量为 22k（20k）。

由于线性无关的特征向量个数为2，故可以对角化。

2）123213(1)(9)336，特征值0,1,9 。

当0时， 1(1,1,1) ，故属于0的特征向量为 11k（10k）。

当1时， 2(1,1,0) ，故属于1的特征向量为 22k（20k）。

当9时， 3(1,1,2) ，故属于9的特征向量为 33k（30k）。

由于线性无关的特征向量个数为3，故可以对角化。

3）201010(1)(1)10，特征值1,1 。

当1时， 1(0,1,0) ，2(1,0,1)。故属于1的特征向量为

1122kk（12,kk不全为零）。

当1时， 3(1,0,1) ，故属于1的特征向量为 33k（30k）。

由于线性无关的特征向量个数为3，故可以对角化。 4）2310410(1)(2)482 ，特征值1,2 。

当1时， 1(3,6,20) ，故属于1的特征向量为 11k（10k）。

当2时， 2(0,0,1) ，故属于2的特征向量为 22k（20k）。