第一章 实数与极限

高等数学教材同济 目录

第一章 函数与极限

1.1 实数与数集

1.2 函数的概念与性质

1.3 极限的概念与性质

1.4 极限的运算法则

1.5 无穷小量与无穷大量

1.6 函数的连续性

第二章 导数与微分

2.1 导数的概念与几何意义

2.2 导数的基本性质

2.3 已知导函数求原函数

2.4 高阶导数与高阶微分

2.5 隐函数与参数方程的导数

2.6 微分中值定理与导数的应用

第三章 微分中值定理与极值问题

3.1 罗尔中值定理与介值定理 3.2 拉格朗日中值定理与柯西中值定理

3.3 函数的单调性与曲线的凹凸性

3.4 函数的极值与最值

3.5 函数图形的描绘与计算

第四章 不定积分与定积分

4.1 不定积分的概念与性质

4.2 基本不定积分公式与换元积分法

4.3 分部积分法与三角代换法

4.4 定积分的概念与性质

4.5 定积分的计算方法与应用

第五章 微分方程

5.1 微分方程的基本概念与解的存在唯一性

5.2 一阶线性微分方程与可分离变量方程

5.3 高阶线性微分方程的解法

5.4 非齐次线性微分方程的解法

5.5 变量可分离的非线性微分方程解法

第六章 无穷级数 6.1 数项级数与基本概念

6.2 收敛级数与发散级数

6.3 正项级数收敛的判别法

6.4 幂级数与泰勒级数

6.5 函数展开成幂级数的应用

第七章 多元函数的微分学

7.1 多元函数的极限与连续性

7.2 偏导数与全微分

7.3 多元复合函数的求导法则

7.4 隐函数的求导与导数的几何应用

7.5 微分中值定理与泰勒公式

第八章 重积分与曲线积分

8.1 二重积分的概念与性质

8.2 二重积分的计算方法

8.3 二重积分的应用

8.4 曲线积分的概念与性质

8.5 曲线积分的计算方法与应用 第九章 曲面积分与空间曲线积分

1 第一章 实数和数列极限

第六节 单调有界原理与

闭区间套定理

我们知道，有界数列不一定收敛。我们就问，对有界数列再加上什么条件，就能使它收敛呢。

在本节中将要引入一类特殊

的数列—单调数列；单调有界的数列必有极限，对单调数列而言，有界性和收敛性是等价的。

一 、单调数列 的概念

定义1.8 设}{na是一个数列。（1）如果数列}{na满足

1nnaa，,2,1n

则称此数列为递增数列；

2 （2）如果数列}{na满足

1nnaa，,2,1n

则称此数列为递减数列；

（3）如果上面两个不等式都是严格的，即1nnaa

（或1nnaa），,2,1n，

则称此数列为严格递增的

（或严格递减的）。

（4）递增或递减的数列通称为单调数列 。

显然，递增的数列有下界，

递减的数列有上界。

显然，}{na是递增数列

等价于}{na是递减数列。

（递增数列与递减数列两者可以互相转换，所以只讨论一种就可以了。）

例如 （1）nan1211，*Nn， 3 }{na是递增数列；

（2）121211nna，*Nn，}{na是递增数列，

（3）!1!211nsn，*Nn，

}{ns是递增数列 。

（4）}1{n是递减数列，

}{2n是递增数列，

}1{nn是递增数列

（11)1(1nnnn0)1](1)1[(1nn）。

例 设21x，并定义

nnxx21，*Nn

则}{nx是递增数列。

事实上 222x，,,2223x

可以从中观察出来有

1321nnxxxxx，*Nn； 4 或者从考察

1122nnnnxxxx

)(22111nnnnxxxx，

由此递推，得

第一章 函数与极限

区间

在数轴上来说，区间是指介于某两点之间的线段上点的全体。

区间的名称 区间的满足的不等式 区间的记号 区间在数轴上的表示

闭区间 a≤x≤b [a，b]

开区间 a＜x＜b （a，b）

半开区间 a＜x≤b或a≤x＜b （a，b]或[a，b）

以上我们所述的都是有限区间，除此之外，还有无限区间：

[a，+∞)：表示不小于a的实数的全体，也可记为：a≤x＜+∞；

(-∞，b)：表示小于b的实数的全体，也可记为：-∞＜x＜b；

(-∞，+∞)：表示全体实数R，也可记为：-∞＜x＜+∞

注：其中-∞和+∞，分别读作"负无穷大"和"正无穷大",它们不是数,仅仅是记号。

邻域

设α与δ是两个实数，且δ＞0.满足不等式│x-α│＜δ的实数x的全体称为点α的δ邻域，点α称为此邻域的中心，δ称为此邻域的半径。

函 数

函数 y=f(x)、y=F(x) Dx(D为非空实数集)

D为函数的定义域。通常x叫做自变量，y叫做因变量。

函数的有界性

如果对属于某一区间I的所有x值总有│f(x)│≤M成立，其中M是一个与x无关的常数，那么我们就称f(x)在区间I有界，否则便称无界。

注意：一个函数，如果在其整个定义域内有界，则称为有界函数

例题：函数cosx在(-∞,+∞)内是有界的.

函数的单调性

如果函数在区间(a,b)内随着x增大而增大，即：对于(a,b)内任意两点x1及x2，当x1＜x2时，有

，

则称函数在区间(a,b)内是单调增加的。

如果函数在区间(a,b)内随着x增大而减小，即：对于(a,b)内任意两点x1及x2，当x1＜x2时，有

，

则称函数在区间(a,b)内是单调减小的。

函数的奇偶性

如果函数对于定义域内的任意x都满足=，则叫做偶函数；

第十三章.实数 - 1 - 南雄市八年级数学(上)质量检测

第十三章.实数(总分:100)

一、选择题（每小题3分，共21分）

1、在下列各数中是无理数的有（ ）

-0.3333…，4 ，5 ，- ，3 ，3.1415，2.010101…（相邻两个1之间有1个0，）,76.0123456…（小数部分由相继的正整数组成）。

A、3个 B、4个 C、5个 D、6个

2、与数轴上的点一一对应的是 ( )

A.有理数, B.无理数, C.整数, D.实数

3、下列说法错误的是（ ）

A、24的平方根是-4 B、-1的立方根是-1

C、 2 是2的平方根 D、-3是4)3(的平方根

4、若规定误差小于1，那么60的估算值为（ ）

A、3 B、7 C、8 D、7或8

5.下列运算中，正确的是（ ）

A.23+32=55 B.（3+7）·10=10·10=10

C. 24 D. ∣32∣=23

6.下列各式中，无意义的是( )

A.23 B.33)3( C.2)3( D.3

7．若225a，3b，则ab（ ）

A．8 B．±8 C．±2 D．±8或±2

二、填空题（每小题4分，共28分）

8、25的算术平方根是 ，-0.027的立方根是 。 第十三章.实数 - 2 - 9、2的相反数是_______，-36 的绝对值是______。

10、比较大小：5______6; 310______5; (填“＞”或“＜”)

11、2)4(=______, 44.1—21.1 =