8-4直线、平面平行的判定与性质
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{ 真题演练集训 }
1．[2016·全国卷Ⅱ]α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：
①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β.
②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n.
③如果α∥β，m⊂α，那么m∥β.
④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等．
其中正确的命题有________．(填写所有正确命题的编号)
答案：②③④
解析： 对于命题①，可运用长方体举反例证明其错误：
如图，不妨设AA′为直线m，CD为直线n，ABCD所在的平面为α，ABC′D′所在的平面为β，
显然这些直线和平面满足题目条件，但α⊥β不成立；
命题②正确，证明如下：设过直线n的某平面与平面α相交于直线l，则l∥n，由m⊥α，知m⊥l，从而m⊥n，结论正确；
由平面与平面平行的定义知命题③正确； 由平行的传递性及线面角的定义知命题④正确．
2．[2016·山东卷节选]在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O′的直径，FB是圆台的一条母线．已知G，H分别为EC，FB的中点，求证：GH∥平面ABC.
证明：设FC的中点为I，连接GI，HI，在△CEF中，因为点G是CE的中点，
所以GI∥EF.
又EF∥OB，所以GI∥OB.
在△CFB中，因为H是FB的中点，所以HI∥BC.
又HI∩GI＝I，OB∩BC＝B，
所以平面GHI∥平面ABC.
因为GH⊂平面GHI，所以GH∥平面ABC.
3．[2016·全国卷Ⅲ节选]如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC的中点．证明：MN∥平面PAB.
证明：由已知，得AM＝23AD＝2.
取BP的中点T，连接AT，TN.
由N为PC的中点，知TN∥BC，TN＝12BC＝2.
又AD∥BC，故TN綊AM，四边形AMNT为平行四边形，于是MN∥AT.
因为AT⊂平面PAB，MN⊄平面PAB，
所以MN∥平面PAB.
4．[2015·江苏卷节选]如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC＝CC1，设AB1的中点为D，B1C∩BC1＝E.求证：DE∥平面AA1C1C.
证明：由题意，知E为B1C的中点，
又D为AB1的中点，因此DE∥AC.
又因为DE⊄平面AA1C1C，AC⊂平面AA1C1C，
所以DE∥平面AA1C1C.
5．[2014·全国新课标卷Ⅱ节选]如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．证明：PB∥平面AEC.
证明：连接BD交AC于点O，连接EO.
因为ABCD为矩形，所以O为BD的中点．
又E为PD的中点，所以EO∥PB.
又因为EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，
所以PB∥平面AEC.
