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2015年重庆市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）（2015•重庆）已知集合A={1，2，3}，B={2，3}，则（）A．A=B B．A∩B=∅C．A B D．B A考点：子集与真子集．专题：集合．分析：直接利用集合的运算法则求解即可．解答：解：集合A={1，2，3}，B={2，3}，可得A≠B，A∩B={2，3}，B A，所以D正确．故选：D．点评：本题考查集合的基本运算，基本知识的考查．2．（5分）（2015•重庆）在等差数列{a n}中，若a2=4，a4=2，则a6=（）A．﹣1 B．0C．1D．6考点：等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：直接利用等差中项求解即可．解答：解：在等差数列{a n}中，若a2=4，a4=2，则a4=（a2+a6）==2，解得a6=0．故选：B．点评：本题考查等差数列的性质，等差中项个数的应用，考查计算能力．3．（5分）（2015•重庆）重庆市2013年各月的平均气温（℃）数据的茎叶图如，则这组数据的中位数是（）A．19 B．20 C．21.5 D．23考点：茎叶图．专题：概率与统计．分析：根据中位数的定义进行求解即可．解答：解：样本数据有12个，位于中间的两个数为20，20，则中位数为，故选：B点评：本题主要考查茎叶图的应用，根据中位数的定义是解决本题的关键．比较基础．4．（5分）（2015•重庆）“x＞1”是“（x+2）＜0”的（）A．充要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件考点：充要条件．专题：简易逻辑．分析：解“（x+2）＜0”，求出其充要条件，再和x＞1比较，从而求出答案．解答：解：由“（x+2）＜0”得：x+2＞1，解得：x＞﹣1，故“x＞1”是“（x+2）＜0”的充分不必要条件，故选：B．点评：本题考察了充分必要条件，考察对数函数的性质，是一道基础题．5．（5分）（2015•重庆）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：判断三视图对应的几何体的形状，利用三视图的数据，求解几何体的体积即可．解答：解：由三视图可知，几何体是组合体，左侧是三棱锥，底面是等腰三角形，腰长为，高为1，一个侧面与底面垂直，并且垂直底面三角形的斜边，右侧是半圆柱，底面半径为1，高为2，所求几何体的体积为：=．故选：A．点评：本题考查三视图与直观图的关系，组合体的体积的求法，判断几何体的形状是解题的关键．6．（5分）（2015•重庆）若非零向量，满足||=||，且（﹣）⊥（3+2），则与的夹角为（）A．B．C．D．π考点：数量积表示两个向量的夹角．专题：平面向量及应用．分析：根据向量垂直的等价条件以及向量数量积的应用进行求解即可．解答：解：∵（﹣）⊥（3+2），∴（﹣）•（3+2）=0，即32﹣22﹣•=0，即•=32﹣22=2，∴cos＜，＞===，即＜，＞=，故选：A点评：本题主要考查向量夹角的求解，利用向量数量积的应用以及向量垂直的等价条件是解决本题的关键．7．（5分）（2015•重庆）执行如图所示的程序框图，若输出k的值为8，则判断框图可填入的条件是（）A．s≤B．s≤C．s≤D．s≤考点：循环结构．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的k，S的值，当S＞时，退出循环，输出k的值为8，故判断框图可填入的条件是S．解答：解：模拟执行程序框图，k的值依次为0，2，4，6，8，因此S=（此时k=6），因此可填：S．故选：C ．点评： 本题考查了当型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断程序运行的S 值是解题的关键．8．（5分）（2015•重庆）已知直线l ：x+ay ﹣1=0（a ∈R ）是圆C ：x 2+y 2﹣4x ﹣2y+1=0的对称轴．过点A （﹣4，a ）作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB|=（ ） A ． 2 B ． C ． 6 D ．考点： 直线与圆的位置关系． 专题： 直线与圆．分析： 求出圆的标准方程可得圆心和半径，由直线l ：x+ay ﹣1=0经过圆C 的圆心（2，1），求得a 的值，可得点A 的坐标，再利用直线和圆相切的性质求得|AB|的值．解答： 解：圆C ：x 2+y 2﹣4x ﹣2y+1=0，即（x ﹣2）2+（y ﹣1）2 =4，表示以C （2，1）为圆心、半径等于2的圆．由题意可得，直线l ：x+ay ﹣1=0经过圆C 的圆心（2，1），故有2+a ﹣1=0，∴a=﹣1，点A （﹣4，﹣1）．由于AC==2，CB=R=2，∴切线的长|AB|===6，故选：C ．点评： 本题主要考查圆的标准方程，直线和圆相切的性质，属于基础题．9．（5分）（2015•重庆）若tan α=2tan ，则=（ ）A ． 1B ． 2C ． 3D ． 4 考点： 三角函数的积化和差公式；三角函数的化简求值． 专题： 三角函数的求值． 分析： 直接利用两角和与差的三角函数化简所求表达式，利用同角三角函数的基本关系式结合已知条件以及积化和差个数化简求解即可． 解答：解：tan α=2tan ，则=============3．故答案为：3．点评：本题考查两角和与差的三角函数，积化和差以及诱导公式的应用，考查计算能力．10．（5分）（2015•重庆）设双曲线=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，右顶点为A，过F作AF 的垂线与双曲线交于B，C两点，过B，C分别作AC，AB的垂线，两垂线交于点D．若D到直线BC 的距离小于a+，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是（）A．（﹣1，0）∪（0，1）B．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）C．（﹣，0）∪（0，）D．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；创新题型；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由双曲线的对称性知D在x轴上，设D（x，0），则由BD⊥AC 得，求出c ﹣x，利用D到直线BC的距离小于a+，即可得出结论．解答：解：由题意，A（a，0），B（c ，），C（c ，﹣），由双曲线的对称性知D在x轴上，设D（x，0），则由BD⊥AC 得，∴c﹣x=，∵D到直线BC的距离小于a+，∴c﹣x=＜a+，∴＜c2﹣a2=b2，∴0＜＜1，∴双曲线的渐近线斜率的取值范围是（﹣1，0）∪（0，1）．故选：A．点评：本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，确定D到直线BC的距离是关键．二、填空题：本大题共3小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分.把答案填写在答题卡相应位置上.11．（5分）（2015•重庆）设复数a+bi（a，b∈R）的模为，则（a+bi）（a﹣bi）=3．考点：复数代数形式的乘除运算；复数求模．专题：数系的扩充和复数．分析：将所求利用平方差公式展开得到a2+b2，恰好为已知复数的模的平方．解答：解：因为复数a+bi（a，b∈R）的模为，所以a2+b2==3，则（a+bi）（a﹣bi）=a2+b2=3；故答案为：3．点评：本题考查了复数的模以及复数的乘法运算；属于基础题．12．（5分）（2015•重庆）的展开式中x8的系数是（用数字作答）．考点：二项式定理．专题：二项式定理．分析：先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于8，求得r的值，即可求得展开式中的x8的系数．解答：解：由于的展开式的通项公式为T r+1=••，令15﹣=8，求得r=2，故开式中x8的系数是•=，故答案为：．点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题．13．（5分）（2015•重庆）在△ABC中，B=120°，AB=，A的角平分线AD=，则AC=．考点：余弦定理的应用．专题：解三角形．分析：利用已知条件求出A，C，然后利用正弦定理求出AC即可．解答：解：由题意以及正弦定理可知：，即，∠ADB=45°，A=180°﹣120°﹣45°，可得A=30°，则C=30°，三角形ABC是等腰三角形，AC=2=．故答案为：．点评：本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，三角形的解法，考查计算能力．三、考生注意：（14）、（15）、（16）三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分．14．（5分）（2015•重庆）如题图，圆O的弦AB，CD相交于点E，过点A作圆O的切线与DC的延长线交于点P，若PA=6，AE=9，PC=3，CE：ED=2：1，则BE=2．考点：与圆有关的比例线段．专题：选作题；推理和证明．分析：利用切割线定理计算CE，利用相交弦定理求出BE即可．解答：解：设CE=2x，ED=x，则∵过点A作圆O的切线与DC的延长线交于点P，∴由切割线定理可得PA2=PC•PD，即36=3×（3+3x），∵x=3，由相交弦定理可得9BE=CE•ED，即9BE=6×3，∴BE=2．故答案为：2．点评：本题考查切割线定理、相交弦定理，考查学生的计算能力，比较基础．15．（5分）（2015•重庆）已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为，则直线l与曲线C的交点的极坐标为（2，π）．考点：简单曲线的极坐标方程；直线的参数方程．专题：坐标系和参数方程．分析：求出直线以及曲线的直角坐标方程，然后求解交点坐标，转化我2极坐标即可．解答：解：直线l的参数方程为（t为参数），它的直角坐标方程为：x﹣y+2=0；曲线C的极坐标方程为，可得它的直角坐标方程为：x2﹣y2=4，x＜0．由，可得x=﹣2，y=0，交点坐标为（﹣2，0），它的极坐标为（2，π）．故答案为：（2，π）．点评：本题考查曲线的极坐标方程直线的参数方程与普通方程的互化，基本知识的考查．16．（2015•重庆）若函数f（x）=|x+1|+2|x﹣a|的最小值为5，则实数a=﹣6或4．考点：带绝对值的函数．专题：创新题型；函数的性质及应用．分析：分类讨论a与﹣1的大小关系，化简函数f（x）的解析式，利用单调性求得f（x）的最小值，再根据f（x）的最小值等于5，求得a的值．解答：解：∵函数f（x）=|x+1|+2|x﹣a|，故当a＜﹣1时，f（x）=，根据它的最小值为f（a）=﹣3a+2a﹣1=5，求得a=﹣6．当a=﹣1时，f（x）=3|x+1|，它的最小值为0，不满足条件．当a≥﹣1时，f（x）=，根据它的最小值为f（a）=a+1=5，求得a=4．综上可得，a=﹣6 或a=4，故答案为：﹣6或4．点评：本题主要考查对由绝对值的函数，利用单调性求函数的最值，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．四、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（13分）（2015•重庆）端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个．（Ⅰ）求三种粽子各取到1个的概率；（Ⅱ）设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与数学期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）根据古典概型的概率公式进行计算即可；（Ⅱ）随机变量X的取值为：0，1，2，别求出对应的概率，即可求出分布列和期望．解答：解：（Ⅰ）令A表示事件“三种粽子各取到1个”，则由古典概型的概率公式有P（A）==．（Ⅱ）随机变量X的取值为：0，1，2，则P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，X 0 1 2PEX=0×+1×+2×=个．点评：本题主要考查离散型随机变量的分布列和期望的计算，求出对应的概率是解决本题的关键．18．（13分）（2015•重庆）已知函数f（x）=sin（﹣x）sinx﹣x（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和最大值；（Ⅱ）讨论f（x）在上的单调性．考点：二倍角的余弦；三角函数的周期性及其求法；复合三角函数的单调性．专题：三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性和最值求得f（x）的最小正周期和最大值．（Ⅱ）根据2x﹣∈[0，π]，利用正弦函数的单调性，分类讨论求得f（x）在上的单调性．解答：解：（Ⅰ）函数f（x）=sin（﹣x）sinx﹣x=cosxsinx﹣（1+cos2x）=sin2x﹣sin2x ﹣=sin（2x﹣）﹣，故函数的周期为=π，最大值为1﹣．（Ⅱ）当x∈时，2x﹣∈[0，π]，故当0≤2x﹣≤时，即x∈[，]时，f （x）为增函数；当≤2x﹣≤π时，即x∈[，]时，f（x）为减函数．点评：本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性和最值，正弦函数的单调性，属于中档题．19．（13分）（2015•重庆）如题图，三棱锥P﹣ABC中，PC⊥平面ABC，PC=3，∠ACB=．D，E分别为线段AB，BC上的点，且CD=DE=，CE=2EB=2．（Ⅰ）证明：DE⊥平面PCD（Ⅱ）求二面角A﹣PD﹣C的余弦值．考点：二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．专题：空间角．分析：（Ⅰ）由已知条件易得PC⊥DE，CD⊥DE，由线面垂直的判定定理可得；（Ⅱ）以C为原点，分别以，，的方向为xyz轴的正方向建立空间直角坐标系，易得，，的坐标，可求平面PAD的法向量，平面PCD的法向量可取，由向量的夹角公式可得．解答：（Ⅰ）证明：∵PC⊥平面ABC，DE⊂平面ABC，∴PC⊥DE，∵CE=2，CD=DE=，∴△CDE为等腰直角三角形，∴CD⊥DE，∵PC∩CD=C，DE垂直于平面PCD内的两条相交直线，∴DE⊥平面PCD（Ⅱ）由（Ⅰ）知△CDE为等腰直角三角形，∠DCE=，过点D作DF垂直CE于F，易知DF=FC=FE=1，又由已知EB=1，故FB=2，由∠ACB=得DF∥AC，，故AC=DF=，以C为原点，分别以，，的方向为xyz轴的正方向建立空间直角坐标系，则C（0，0，0），P（0，0，3），A（，0，0），E（0，2，0），D（1，1，0），∴=（1，﹣1，0），=（﹣1，﹣1，3），=（，﹣1，0），设平面PAD的法向量=（x，y，z），由，故可取=（2，1，1），由（Ⅰ）知DE⊥平面PCD，故平面PCD的法向量可取=（1，﹣1，0），∴两法向量夹角的余弦值cos＜，＞==∴二面角A﹣PD﹣C的余弦值为．点评：本题考查二面角，涉及直线与平面垂直的判定，建系化归为平面法向量的夹角是解决问题的关键，属难题．20．（12分）（2015•重庆）设函数f（x）=（a∈R）（Ⅰ）若f（x）在x=0处取得极值，确定a的值，并求此时曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若f（x）在[3，+∞）上为减函数，求a的取值范围．考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：（I）f′（x）=，由f（x）在x=0处取得极值，可得f′（0）=0，解得a．可得f（1），f′（1），即可得出曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（II）解法一：由（I）可得：f′（x）=，令g（x）=﹣3x2+（6﹣a）x+a，由g（x）=0，解得x1=，x2=．对x分类讨论：当x＜x1时；当x1＜x＜x2时；当x＞x2时．由f（x）在[3，+∞）上为减函数，可知：x2=≤3，解得即可．解法二：“分离参数法”：由f（x）在[3，+∞）上为减函数，可得f′（x）≤0，可得a≥，在[3，+∞）上恒成立．令u（x）=，利用导数研究其最大值即可．解答：解：（I）f′（x）==，∵f（x）在x=0处取得极值，∴f′（0）=0，解得a=0．当a=0时，f（x）=，f′（x）=，∴f（1）=，f′（1）=，∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为，化为：3x﹣ey=0；（II）解法一：由（I）可得：f′（x）=，令g（x）=﹣3x2+（6﹣a）x+a，由g（x）=0，解得x1=，x2=．当x＜x1时，g（x）＜0，即f′（x）＜0，此时函数f（x）为减函数；当x1＜x＜x2时，g（x）＞0，即f′（x）＞0，此时函数f（x）为增函数；当x＞x2时，g（x）＜0，即f′（x）＜0，此时函数f（x）为减函数．由f（x）在[3，+∞）上为减函数，可知：x2=≤3，解得a≥﹣．因此a的取值范围为：．解法二：由f（x）在[3，+∞）上为减函数，∴f′（x）≤0，可得a≥，在[3，+∞）上恒成立．令u（x）=，u′（x）=＜0，∴u（x）在[3，+∞）上单调递减，∴a≥u（3）=﹣．因此a的取值范围为：．点评：本题考查了导数的运算法则、利用导数的几何意义研究切线方程、利用导数研究函数的单调性极值，考查了分类讨论思想方法、“分离参数法”、推理能力与计算能力，属于难题．21．（12分）（2015•重庆）如题图，椭圆=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆于P，Q两点，且PQ⊥PF1（Ⅰ）若|PF1|=2+|=2﹣，求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若|PF1|=|PQ|，求椭圆的离心率e．考点：椭圆的简单性质．专题：创新题型；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）由椭圆的定义，2a=|PF1|+|PF2|，求出a，再根据2c=|F1F2|==2，求出c，进而求出椭圆的标准方程；（Ⅱ）由椭圆的定义和勾股定理，得|QF1|=|PF1|=4a﹣|PF1|，解得|PF1|=2（2﹣）a，从而|PF2|=2a﹣|PF1|=2（﹣1）a，再一次根据勾股定理可求出离心率．解答：解：（Ⅰ）由椭圆的定义，2a=|PF1|+|PF2|=2++2﹣=4，故a=2，设椭圆的半焦距为c，由已知PF2⊥PF1，因此2c=|F1F2|==2，即c=，从而b==1，故所求椭圆的标准方程为．（Ⅱ）连接F1Q，由椭圆的定义，|PF1|+|PF2|=2a，|QF1|+|QF2|=2a，从而由|PF1|=|PQ|=|PF2|+|QF2|，有|QF1|=4a﹣2|PF1|，又由PQ⊥PF1，|PF1|=|PQ|，知|QF1|=|PF1|=4a﹣2|PF1|，解得|PF1|=2（2﹣）a，从而|PF2|=2a ﹣|PF1|=2（﹣1）a，由PF2⊥PF1，知2c=|F1F2|=，因此e=====．点评：本题考查了椭圆的定义2a=|PF1|+|PF2|，椭圆的标准方程，直角三角形的勾股定理，属于中档题．22．（12分）（2015•重庆）在数列{a n}中，a1=3，a n+1a n+λa n+1+μa n2=0（n∈N+）（Ⅰ）若λ=0，μ=﹣2，求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若λ=（k0∈N+，k0≥2），μ=﹣1，证明：2+＜＜2+．考数列与不等式的综合．点：创新题型；等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．专题：分析：（Ⅰ）把λ=0，μ=﹣2代入数列递推式，得到（n∈N+），分析a n≠0后可得a n+1=2a n （n∈N+），即{a n}是一个公比q=2的等比数列．从而可得数列的通项公式；（Ⅱ）把代入数列递推式，整理后可得（n∈N）．进一步得到=，对n=1，2，…，k0求和后放缩可得不等式左边，结合，进一步利用放缩法证明不等式右边．解答：（Ⅰ）解：由λ=0，μ=﹣2，有（n∈N+）．若存在某个n0∈N+，使得，则由上述递推公式易得，重复上述过程可得a1=0，此与a1=3矛盾，∴对任意n∈N+，a n≠0．从而a n+1=2a n（n∈N+），即{a n}是一个公比q=2的等比数列．故．（Ⅱ）证明：由，数列{a n}的递推关系式变为，变形为：（n∈N）．由上式及a1=3＞0，归纳可得3=a1＞a2＞...＞a n＞a n+1＞ 0∵=，∴对n=1，2，…，k0求和得：=＞．另一方面，由上已证的不等式知，，得=2+．综上，2+＜＜2+．点评：本题考查了数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了放缩法证明数列不等式属难度较大的题目．。
2015年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． （1）【2015年重庆，理1】已知集合{}1,2,3A =，{}2,3B =，则（ ）（A ）A B = （B ）A B =∅ （C ）A B （D ）B A【答案】D【解析】A={1,2,2}B={2,3}B A B A B A ⇒⊂≠⇒⊂≠，且，故选D ．（2）【2015年重庆，理2】在等差数列{}n a 中，若24a =，42a =，则6a =（ ）（A ）1- （B ）0 （C ）1 （D ）6 【答案】B【解析】利用264+2a a a =可求得60a =，故选B ． （3）【2015年重庆，理3】重庆市2013年各月的平均气温（C ︒）数据的茎叶图如右，则这组数据的中位数是（ ） （A ）19（B ）20 （C ）21.5 （D ）23【答案】B 【解析】这组数据是8,9,12,15,18,20,20,23,23,28,31,32． 中位数是20+20202=，故选B ．（4）【2015年重庆，理4】“1x >”是“()12log 20x +<”的（ ）（A ）充要条件 （B ）充分不必要条件 （C ）必要不充分条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】12log (2)01x x +<⇒>-，故选B ．（5）【2015年重庆，理5】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）（A ）13π+ （B ）23π+ （C ）123π+ （D ）223π+【答案】A【解析】该立体图形是由一个三棱锥和一个半圆柱拼接而成的，其体积为两部分体积之和：211(1)212113223ππ⨯⨯⎛⎫⨯⨯⨯⨯+=+ ⎪⎝⎭，故选A ． （6）【2015年重庆，理6】若非零向量,a b 满足22||||3a b =，且()()32a b a b -⊥+，则a 与b 的夹角为（ ） （A ）4π （B ）2π （C ）34π （D ）π 【答案】A【解析】()(32)()(32)0a b a b a b a b -⊥+⇒-+=，结合22||||3a b =，可得2||3a b b =，2cos ,,,[0,],24||||a b a b a b a b a b ππ∴<>==<>∈⇒<>=，故选A ．（7）【2015年重庆，理7】执行如图所示的程序框图，若输入k 的值为8，则判断框图可填入的条件是（ ）（A ）34s ≤ （B ）56s ≤ （C ）1112s ≤ （D ）1524s ≤【答案】C【解析】10,022s k k s ==⇒==是，是，114+24k s ⇒==，是，1116++246k s ⇒==，是11118+++2468k s ⇒==，否，判断框内应该填11111++=24612s ≤，故选C ．（8）【2015年重庆，理8】已知直线l ：()10x ay a R +-=∈是圆C ：224210x y x y +--+=的对称轴，过点()4,A a -作圆C 的一条切线，切点为B ，则||AB =（ ）（A ）2 （B） （C ）6 （D）【答案】C【解析】()()22:-2-14C x y +=，其圆心坐标为2,1C （），半径2r =．由题意可知直线:10()l x ay a R +-=∈是圆的直径所在直线，它过圆心2,1C （），所以21101(4,1)a a A AC +⨯-=⇒=-⇒--⇒=知，6AB ==，故选C ．（9）【2015年重庆，理9】若tan 2tan 5πα=，则3cos()10sin()5παπα--＝（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 【答案】C【解析】2sin5tan 2tansin cos 5cos5ππαααπ=⇒=⊗，3cos()cos[()]sin()sin cos cos sin cos 1052555sin()sin()sin()sin cos cos sin cos55555ππππππαααααπππππααααα-+-++∴===---- 将⊗式带入上式可得：3cos()103sin()5παπα-=-，故选C ． （10）【2015年重庆，理10】设双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点为F ，右顶点为A ，过F 作AF 的垂线与双曲线交于,B C 两点，过,B C 分别作,AC AB 的垂线交于点D ．若D 到直线BC 的距离小于a ）（A ）()()1,00,1- （B ）()(),11,-∞-+∞ （C ）()()0,2 （D ）((),2,-∞+∞【答案】A【解析】由题意可得：22(,0),(,0),(,),b b A a F c B c AF c a BF a a ∴=-=．在Rt ABD ∆中，由射影定理有：22222()()()b BF c a c a a BF AF DF DF AF c a a +-=⋅⇒===-．即点D 到直线BC 的距离为22()()c a c a a +-，由题意得：22()()c a c a a +-<01ba a c a+⇒<<．而双曲线的渐近线斜率(1,0)(0,1)bk k a =±∴∈-，故选A ．二、填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置． （11）【2015年重庆，理11】设复数()i ,a b a b R +∈()()i i a b a b +-= ． 【答案】3【解析】复数i(,)a b a b R +∈223a b =+=．22(i)(i)3a b a b a b ∴+-=+=． （12）【2015年重庆，理12】53x ⎛+ ⎝的展开式中8x 的系数是 （用数字作答）．【答案】52【解析】71535215517()()1582222r r rrr r r r T C x C x r x --+=⋅=∴-=∴=．故35()2x x +的展开式中8x 的系数为2521522C =． （13）【2015年重庆，理13】在ABC ∆中，0120B =，2AB =，P ABC -的角平分线3AD =，则AC = ． 【答案】6【解析】由正弦定理可得：2sin 451530sin sin 2AD AB ADB ADB BAD BAC B ADB =⇒∠=⇒∠=⇒∠=⇒∠=∠， 30C ∴∠=，再由正弦定理可得：6sin sin AC ABAC B C=⇒=．考生注意：（14）、（15）、（16）三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分． （14）【2015年重庆，理14】如图，圆O 的弦,AB CD 相交于点E ，过点A 作圆O 的切线与DC 的延长线交于点P ，若6PA =，9AE =，3PC =，:2:1CE ED =，则BE = ． 【答案】2【解析】由切割线定理可得：21296,3PA PC PD PD CD CE ED =⋅⇒=⇒=⇒==．再由相交弦定理可得：2AE BE CE DE BE ⋅=⋅⇒=．（15）【2015年重庆，理15】已知直线l 的参数方程为11x ty t =-+⎧⎨=+⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为235cos24(0,)44ππρθρθ=><<．则直线l 与曲线C 的交点的极坐标为 ．【答案】()2,π【解析】直线l 的直角坐标方程为2y x =+．222222cos 24(cos sin )4 4.x y ρθρθθ=∴-=∴-=由 222240y x x x y y =+=-⎧⎧⇒⎨⎨-==⎩⎩222x y ρ∴=+=．由35sin 0=44y ππρθθθπ==<<⇒及． 故直线l 与曲线C 的交点的极坐标为2,π（）． （16）【2015年重庆，理16】若函数()1f x x x a =++-的最小值为5，则实数a = __．【答案】4或-6【解析】分情况讨论：（1）当1a ≤-时，利用零点分段讨论法分段讨论并结合函数图像可知：()f x 在a 处取得最小值5，所以|1|56a a +=⇒=-；（2）当1a >时，利用零点分段讨论法分段讨论并结合函数图像可知：()f x 在a 处取得最小值5，|1|54a a +=⇒=，综上，可得实数a =6-或4．三、解答题：本大题共6题，共75分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． （17）【2015年重庆，理17】（本小题满分13分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问8分）端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同， 从中任意选取3个．（Ⅰ）求三种粽子各取到1个的概率；（Ⅱ）设X 表示取到的豆沙粽个数，求X 的分布列与数学期望．解：（Ⅰ）令A 表示事件“三种粽子各取到一个”，则()11123531014C C C P A C ==． （Ⅱ）X 所有可能取值为0,1,2，且()383107015C P X C ===，()12283107115C C P X C ===， ()21283101215C C P X C ===．故分布列见表：且X 0 1 2 P715715 115()77130121515155E X =⨯+⨯+⨯=（个）． （18）【2015年重庆，理18】（本小题满分13分，（Ⅰ）小问7分，（Ⅱ）小问6分）设()2sin sin 3cos 2f x x x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．（Ⅰ）求()f x 的最小正周期和最大值；（Ⅱ）讨论()f x 在2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性．解：（Ⅰ）由题()()213cos sin 3cos sin 21cos22f x x x x x x =-=-+=3sin 23x π⎛⎫--⎪⎝⎭，故()f x 的最小正周期 T π=，最大值为23-． （Ⅱ）由2,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦知023x ππ≤-≤，从而当0232x ππ≤-≤即5612x ππ≤≤时，()f x 单调递增；当223x πππ≤-≤即52123x ππ≤≤时，()f x 单调递减．因此，()f x 在5,612ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，在52,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减．（19）【2015年重庆，理19】（本小题满分13分，（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问9分）如图，三棱锥P ABC -中，PC ⊥平面ABC ，3PC =，2ACB π∠=，,D E 分别为线段,AB BC 上的点，且2CD DE ==，22CE EB ==．（Ⅰ）证明：DE ⊥平面PCD ；（Ⅱ）求二面角A PD C --的余弦值．解：（Ⅰ）因PC ⊥平面ABC ，DE ⊂平面ABC ，故PC DE ⊥．又2CD DE ==，2CE =，故CDE ∆为等腰直角三角形，且CD DE ⊥．因PC CD C =，PC ⊂平面PCD ，CD ⊂平面PCD ， 所以DE ⊥平面PCD ．（Ⅱ）如图，取CE 的中点F ，连DF ．由（Ⅰ）知CDE ∆为等腰直角三角形，故DF CE ⊥，1DF CF FE ===．又2ACB π∠=，故//DF AC ，因此23DF FB AC CB ==，从而32AC =．以C 为原点，,,CA CB CP 的方向分别为,,x y z 轴的正方向建立空间直角坐标系C xyz -．则()0,0,0C ，3,0,02A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()0,2,0E ，()1,1,0D ，()0,0,3P ，故1,1,02DA ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()1,1,3DP =--，()1,1,0DE =-．设()1111,,n x y z =为平面APD 的法向量，则110n DA n DP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即111112030x y x y z -=⎧⎨--+=⎩，取11y =得()12,1,1n =．由（Ⅰ）知DE ⊥平面PCD ，故DE 即为平面PCD 的法向量．因1113cos ,||||n DE n DE n DE ⋅==⋅，故所求二面角A PD C --的余弦值为3． （20）【2015年重庆，理20】（本小题满分12分，（Ⅰ）小问7分，（Ⅱ）小问5分）设函数()()23xx axf x a R e +=∈．（Ⅰ）若()f x 在0x =处取得极值，确定a 的值，并求此时曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（Ⅱ）若()f x 在[)3,+∞上为减函数，求a 的取值范围． 解：（Ⅰ）由题()()()()2226336x xxxx a e x ax e x a x af x ee+-+-+-+'==，因()f x 在0x =处取得极值，故()00f '=，得0a =．因此()23x f x x e -=，()()263x f x x x e -'=-．从而()31f e =，()31f e'=，所以曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为()331y x e e-=-即30x ey -=．z yxF PEDC BA（Ⅱ）由题知()0f x '≤对3x ≥恒成立，故()2360x a x a -+-+≥即()3311a x x ≥---对3x ≥恒成立．显然()()3311g x x x =---在[)3,+∞单调递减，故()()max 932g x g ==-，所以92a ≥-，即a 的取值范围为9,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭． （21）【2015年重庆，理21】（本题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分）如图，椭圆()222210x y a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，过2F 的直线交椭圆于,P Q 两点，且 1PQ PF ⊥． （Ⅰ）若1||22PF =+，2||22PF =-，求椭圆的标准方程； （Ⅱ）若1||||PF PQ =，求椭圆的离心率e ．解：（Ⅰ）由题122||||4a PF PF =+=，故2a =．又222124||||12c PF PF =+=，故23c =，因此2221b a c =-=，从而椭圆方程为2214x y +=．（Ⅱ）连1F Q ，由题()1114||||||22||a F P PQ QF F P =++=+，故()1||222F P a =-，从而21||2||F P a F P =-()221a =-，因此()2222124||||4962c PF PF a =+=-，所以()2296263e =-=-，得63e =-．（22）【2015年重庆，理22】（本题满分12分，（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问8分）在数列{}n a 中，13a =，()2110n n n n a a a a n N λμ+++++=∈．（Ⅰ）若0λ=，2μ=-，求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若()0001,2k N k k λ+=∈≥，1μ=-，证明：010011223121k a k k ++<<+++． 解：（Ⅰ）由0λ=，2μ=-得212n n n a a a +=．因130a =>，故0n a >，得12n n a a +=．因此{}n a 是首项为3公比为2的等比数列，从而132n n a -=⋅．（Ⅱ）由题2101n n n a a a k +⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因130a =>，故1230n a a a =>>>>>．因21000011111n n n n n a a a k k k a a k +==-+⋅+⎛⎫+ ⎪⎝⎭，即1001111n n n a a k k a +⎛⎫-=-⎪+⎝⎭， 故()0011111100000111113131213131k k k k i i i i i i a a a a k k a k k k ++===⎛⎫⎛⎫=+-=+->+-=+ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭∑∑∑，因此001212k k a a a a +>>>>>，从而00110001113122121k k i a k k k +=⎛⎫<+-=+⎪++⎝⎭∑． 综上可知010011223121k a k k ++<<+++．。
2015年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数 学（理工类）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、已知集合A={}1,2,3,B={}2,3，则A 、A=B B 、A ⋂B=∅C 、A ØBD 、B ØA 2、在等差数列{}n a 中，若2a =4，4a =2，则6a =A 、-1B 、0C 、1D 、6 3、重庆市2013年各月的平均气温（oC ）数据的茎叶图如下：则这组数据的中位数是A 、19B 、20C 、21.5D 、23 4、 “1x >”是“12log (2)0x +<”的A 、充要条件B 、充分不必要条件C 、必要不充分条件D 、既不充分也不必要条件 5、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A 、13π+ B 、23π+ C 、123π+ D 、223π+6、若非零向量,a b 满足22||||a b =，且()(32)a b a b -⊥+，则a 与b 的夹角为A 、4π B 、2π C 、34π D 、π7、执行如题（7）图所示的程序框图，若输入K 的值为8，则判断框图可填入的条件是A 、34s ≤B 、56s ≤C 、1112s ≤D 、2524s ≤8、已知直线:10()l x ay a R +-=∈是圆22:4210C x y x y +--+=的对称轴.过点(4,)A a -作圆C 的一条切线，切点为B ，则||AB =A 、2B 、42C 、6D 、2109、若tan 2tan5a π=，则3cos()10sin()5παπα-=-A 、1B 、2C 、3D 、410、设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过F 作AF 的垂线与双曲线交于B,C 两点，过B,C 分别作AC ，AB 的垂线交于点D.若D 到直线BC 的距离小于22a a b ++，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是A 、(1,0)(0,1)-UB 、(,1)(1,)-∞-+∞UC 、(2,0)(0,2)-UD 、(,2)(2,)-∞-+∞U二、填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分.把答案填写在答题卡相应位置上.11、设复数(,)a bi a b R +∈的模为3，则()()a bi a bi +-=________.12、532x x ⎛+ ⎪⎝⎭的展开式中8x 的系数是________(用数字作答). 13、在ABC ∆中，B=120o，AB=2，A 的角平分线AD=3,则AC=_______.考生注意：（14）、（15）、（16）三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分.14、如题（14）图，圆O 的弦,AB CD 相交于点E ，过点A 作圆O 的切线与DC 的延长线交于点P ，若6PA =，9AE =，3PC =，:2:1CE ED =，则BE =_______.15、已知直线l 的参数方程为11x ty t=-+⎧⎨=+⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C 的极坐标方程为235cos 24(0,)44ππρθρθ=><<，则直线l 与曲线C 的交点的极坐标为_______. 16、若函数()|1|2||f x x x a =++-的最小值为5，则实数a =_______.三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
数学试卷 第1页（共18页） 数学试卷 第2页（共18页）绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学试题卷（理工农医类）数学试题卷（理工农医类）共4页.满分150分.考试时间120分钟. 注意事项:1.答题前,务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上.2.答选择题时,必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦擦干净后,再选涂其他答案标号.3.答非选择题时,必须使用0.5毫米黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定的位置上.4.所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效.5.考试结束后,将试题卷和答题卡一并交回. 特别提醒:14、15、16三题为选做题,请从中任选两题作答,若三题全做,则按前两题给分. 一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合{1,2,3}A =,{2,3}B =,则( )A .AB =B .AB =∅C .A BD .B A 2.在等差数列{}n a 中,若24a =,42a =则6a =( )A .1-B .0C .1D .63.重庆市2013年各月的平均气温（℃）数据的茎叶图如下:则这组数据的中位数是( )A .19B .20C .21.5D .234.“1x >”是“12log (2)0x +<”的( )A .充要条件B .充分不必要条件C .必要不充分条件D .即不充分也不必要条件5.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A .1π3+ B .2π3+ C .12π3+D .22π3+ 6.若非零向量a ,b 满足|a|3=|b |,且(a -b )⊥(3a +2b ), 则a 与b 的夹角为 ( )A .π4 B .π2C .3π4D .π7.执行如图所示的程序框图,若输出k 的值为8,则判断框内 可填入的条件是 ( )A .34s ≤ B .56s ≤C .1112s ≤D .2524s ≤8.已知直线l :10()x ay a +-=∈R 是圆C :224210x y x y +--+=的对称轴.过点(4,)A a -作圆C 的一条切线,切点为B ,则||AB = ( ) A .2 B.C .6D.9.若πtan 2tan 5α=,则3πcos()10πsin()5αα-=- ( )A .1B .2姓名________________ 准考证号_____________--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第3页（共18页） 数学试卷 第4页（共18页）C .3D .410.设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ,右顶点为A ,过F 作AF 的垂线与双曲线交于B ,C 两点,过B ,C 分别作AC ,AB 的垂线,两垂线交于点D .若D 到直线BC的距离小于a +则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是 ( )A .(1,0)(0,1)- B .(,1)(1,)-∞-+∞C.((0,2) D.(,(2,)-∞+∞二、填空题:本大题共6小题,考生作答5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上.11.设复数i(,)a b a b +∈R 则(i)(i)a b a b +-= . 12.35(x 的展开式中8x 的系数是 （用数字作答）.13.在ABC △中,120B=︒,AB =,A 的角平分线AD =则AC = .考生注意:14、15、16三题为选做题,请从中任选两题作答,若三题全做,则按前两题给分.14.如图,圆O 的弦AB ,CD 相交于点E ,过点A 作圆O 的切线与DC 的延长线交于点P ,若6PA =,9AE =,3PC =,:2:1CE ED =,则BE = .15.已知直线l 的参数方程为1,1,x t y t =-+⎧⎨=+⎩(t 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为23π5πcos24(0,)44ρθρθ=><<,则直线l 与曲线C的交点的极坐标为 .16.若函数()|1|2||f x x x a =++-的最小值为5,则实数a = .三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分13分,（Ⅰ）小问5分,（Ⅱ）小问8分）端午节吃粽子是我国的传统习俗.设一盘中装有10个粽子,其中豆沙粽2个,肉粽3个,白粽5个,这三种粽子的外观完全相同.从中任意选取3个. （Ⅰ）求三种粽子各取到1个的概率;（Ⅱ）设X 表示取到的豆沙粽个数,求X 的分布列与数学期望. 18.（本小题满分13分,（Ⅰ）小问7分,（Ⅱ）小问6分）已知函数2π()sin()sin 2f x x x x =-.（Ⅰ）求()f x 的最小正周期和最大值;（Ⅱ）讨论()f x 在π2π,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性.19.（本小题满分13分,（Ⅰ）小问4分,（Ⅱ）小问9分）如图,三棱锥P ABC -中,PC ⊥平面ABC ,3PC =,π2ACB ∠=.D ,E 分别为线段AB ,BC 上的点,且CD DE =22CE EB ==. （Ⅰ）证明:DE ⊥平面PCD ; （Ⅱ）求二面角A PD C --的余弦值.20.（本小题满分12分,（Ⅰ）小问7分,（Ⅱ）小问5分）设函数23()()xx axf x a e+=∈R . （Ⅰ）若()f x 在0x =处取得极值,确定a 的值,并求此时曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程;（Ⅱ）若()f x 在[3,)+∞上为减函数,求a 的取值范围.21.21.（本小题满分12分,（Ⅰ）小问4分,（Ⅱ）小问8分）在数列{}n a 中,13a =,2*110()n n n na a a a n λμ++++=∈Ν. （Ⅰ）若0λ=,2μ=-,求数列的{}n a 的通项公式;数学试卷 第5页（共18页） 数学试卷 第6页（共18页）（Ⅱ）若*0001(,2)k k k λ=∈Ν≥,1μ=-,证明:010011223121k a k k ++<<+++.数学试卷 第7页（共18页） 数学试卷 第8页（共18页）2015年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学试题卷（理工农医类）答案解析一、选择题 1.【答案】D【解析】集合{1,2,3}A =，{2,3}B =，可得A B ≠，{2,3}A B =，所以B 是A 的真子集，所以D 正确.【提示】直接利用集合的运算法则求解即可. 【考点】子集，真子集 2.【答案】B【解析】在等差数列{}n a 中，若24a =，42a =，则426611()(4)222a a a a =+=+=，解得60a =.【提示】直接利用等差中项求解即可. 【考点】等差数列的性质 3.【答案】B【解析】样本数据有12个，位于中间的两个数为20，20，则中位数为2020202+=. 【提示】根据中位数的定义进行求解即可. 【考点】茎叶图4.【答案】B【解析】由“12log (2)0x +<”得21x +>，解得1x >-，故“1x >”是“12l o g (2)0x +<”的充分不必要条件.【提示】解“12log (2)0x +<”，求出其充要条件，再和1x >比较，从而求出答案.【考点】充要条件 5.【答案】A【解析】由三视图可知，几何体是组合体，左侧是三棱锥，底面是等腰三角形，腰长为，高为1，一个侧面与底面垂直，并且垂直底面三角形的斜边，右侧是半圆柱，底面半径为1，高为2，所求几何体的体积为22111111π2=π2323⨯⨯⨯+⨯⨯+.【提示】判断三视图对应的几何体的形状，利用三视图的数据，求解几何体的体积即可. 【考点】由三视图求面积和体积 6.【答案】A【解析】()(32)a b a b -⊥+，()(32)0a b a b ∴-+=，即22320a b a b --=，即2222323a b a b b =-=，22223cos ,||||22ba b a b a b b ∴<>===，即πcos ,4a b <>=. 【提示】根据向量垂直的等价条件以及向量数量积的应用进行求解即可. 【考点】数量积表示两个向量的夹角 7.【答案】C【解析】模拟执行程序框图，k 的值依次为0，2，4，6，8，因此1111124612S =++=（此时6k =），因此可填1112S ≤. 【提示】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的k ，S 的值，当1112S >时，退出循环，输出k 的值为8，故判断框图可填入的条件是1112S ≤. 【考点】循环结构 8.【答案】C【解析】圆C ：224210x y x y +--+=，即22(2)(1)4x y -+-=，表示以(2,1)C 为圆心、半径等于2的圆.由题意可得，直线l ：10xay +-=经过圆C 的圆心(2,1)，故有210a +-=，1a ∴=-，点(4,1)A --，由于AC =，2CB R ==，∴切线的长||6AB .【提示】求出圆的标准方程可得圆心和半径，由直线l ：10x ay +-=经过圆C 的圆心(2,1)，求得a 的值，可得点A 的坐标，再利用直线和圆相切的性质求得|AB 的值. 【考点】直线与圆的位置关系 9.【答案】C 【解析】πtan 2tan5α=，则数学试卷 第9页（共18页） 数学试卷 第10页（共18页）1a a c=--，D 4b (0,1).由双曲线的对称性知D 在x 轴上，设(,0)D x ，则由BD AC ⊥得2201b b a a c x a c -=---，c x -，利用D 到直线BC 的距离小于a +.【答案】3 解析】因为复数i (,)a b a b +∈R 的模为，所以222)3a b +==，则22i)(i)3b a b a b +-=+=.22a b +，恰好为已知复数的模的平方.【答案】5253x ⎛+ ⎝的展开式的通项公式为71521512rr r rT C x -+=T ，令71582r -=，2r =，故展开式中8x 的系数是251542C =. x 的幂指数等于8，求得r 的值，即可8x 的系数. 由题意以及正弦定理可知：sin sin AB ADADB B=∠，=，45ADB ∠=， 18012045A =--，可得30A =，则30C =，三角形ABC 是等腰三角形，606==.A ，C ，然后利用正弦定理求出AC 即可. 【答案】22CE x =，ED x =，过点A 作圆O 的切线与DC 的延长线交于点P ，∴由2PA PC PD =，即363(33)x =⨯+，3x =，由相交弦定理可得数学试卷 第11页（共18页） 数学试卷 第12页（共18页）9BE CE ED =，即963BE =⨯，2BE ∴=.【提示】利用切割线定理计算CE ，利用相交弦定理求出BE 即可. 【考点】相交弦定理，切割线定理 15.【答案】(2,π)【解析】直线l 的参数方程为11x ty t =-+⎧⎨=+⎩（t 为参数），它的直角坐标方程为：20x y -+=；曲线C 的极坐标方程为23π5πcos 240,44ρθρθ⎛⎫=><< ⎪⎝⎭，可得它的直角坐标方程为：224x y -=，0x <；由22204x y x y -+=⎧⎨-=⎩，可得2x =-，0y =，交点坐标为(2,0)-，它的极坐标为(2,π). 【提示】求出直线以及曲线的直角坐标方程，然后求解交点坐标，转化为极坐标即可. 【考点】简单曲线的极坐标方程，直线的参数方程 16.【答案】6-或4【解析】函数()|1|2||f x x x a =++-，故当1a <-时，321,()21,1321,1x a x af x x a a x x a x -+-<-⎧⎪=---≤<-⎨⎪-+≥-⎩，根据它的最小值为()3215f a a a =-+-=，求得6a =-；当1a =-时，()3|1|f x x =+，它的最小值为0，不满足条件；当1a ≥-时，321,1()21,1321,x a x f x x a x a x a x a -+-<-⎧⎪=-++-≤≤⎨⎪-+≥⎩，根据它的最小值为()15f a a =+=，求得4a =. 综上可得，6a =-或4a =.【提示】分类讨论a 与1-的大小关系，化简函数()f x 的解析式，利用单调性求得()f x 的最小值，再根据()f x 的最小值等于5，求得a 的值. 【考点】带绝对值的函数 三、解答题 17.【答案】（Ⅰ）14（Ⅱ）见解析【解析】（Ⅰ）令A 表示事件“三种粽子各取到1个”，则由古典概型的概率公式有1112353101()4C C C P A C ==. （Ⅱ）随机变量X 的取值为：0，1，2，则383107(0)15C P X C ===，12283107(1)15C C P X C ===，21283101(2)15C C P X C ===，3()0121515155E X =⨯+⨯+⨯=个. 【提示】（Ⅰ）根据古典概型的概率公式进行计算即可；（Ⅱ）随机变量X 的取值为：0，1，2，别求出对应的概率，即可求出分布列和期望.【考点】离散型随机变量的期望与方差，古典概型及其概率计算公式18.【答案】（Ⅰ）12-（Ⅱ）()f x 在5,612ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在52,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减【解析】（Ⅰ）函数2()sin sin cos sin cos 2)2f x x x x x x x π⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭1sin 22sin 223x x x π⎛⎫==- ⎪⎝⎭，故函数的周期为22π=π，最大值为1- （Ⅱ）当π2π,63x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，2[0,3x π-∈π]，故当0232x ππ≤-≤时，即5,612x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x 为增函数；当223x ππ≤-≤π时，即52,123x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x 为减函数.【提示】（Ⅰ）由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性和最值求得()f x 的最小正周期和最大值； （Ⅱ）根据2[0,3x π-∈π]，利用正弦函数的单调性，分类讨论求得()f x 在π2π,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性.【考点】二倍角的余弦，三角函数的周期性及其求法，复合三角函数的单调性数学试卷 第13页（共18页） 数学试卷 第14页（共18页）19.【答案】（Ⅰ）见解析【解析】（Ⅰ）证明：PC ⊥平面ABC ，DE ⊂平面ABC ，PC DE ∴⊥，2CE =，CD DE ==CDE ∴△为等腰直角三角形，CD DE ∴⊥，PC CD C =，DE 垂直于平面PCD 内的两条相交直线，DE ∴⊥平面PCD . （Ⅱ）由（Ⅰ）知CDE △为等腰直角三角形，4DCE π∠=， 过点D 作DF 垂直CE 于F ，易知1DF FC EF ===，又由已知1EB =，故2FB =，由2ACB π∠=得DF AC ∥，23DF FB AC BC ==，故3322AC DF ==， 以C 为原点，分别以CA ，CB ，CF 的方向为xyz 轴的正方向建立空间直角坐标系，则(0,0,0)C ，(0,0,3)P ，3,0,02A ⎛⎫⎪⎝⎭，(0,2,0)E ，(1,1,0)D ，(1,1,0)ED ∴=-，(1,1,3)DP =--，1,1,02DA ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，设平面P AD 的法向量1(,,)n x y z =，由113012n DP x y z n DA x y ⎧=--+=⎪⎨=-=⎪⎩，故可取1(2,1,1)n =， 由（Ⅰ）知DE ⊥平面PCD ，故平面PCD 的法向量2n 可取(1,1,0)ED =-，∴两法向量夹角的余弦值1212123cos ,6||||n n n n n n <>==∴二面角A PD C --.【提示】（Ⅰ）由已知条件易得PC DE ⊥，CD DE ⊥，由线面垂直的判定定理可得； （Ⅱ）以C 为原点，分别以CA ，CB ，CF 的方向为xyz 轴的正方向建立空间直角坐标系，易得ED ，DP ，DA 的坐标，可求平面P AD 的法向量1n ，平面PCD 的法向量2n 可取ED ，由向量的夹角公式可得.【考点】二面角的平面角及求法，直线与平面垂直的判定 20.【答案】（Ⅰ）3e 0x y -=（Ⅱ）9,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【解析】（Ⅰ）222(6)e (3)e 3(6)()(e )e x x x xx a x ax x a x af x +-+-+-+'==，()f x 在0x =处取得极值，(0)0f '∴=，解得0a =， 当0a =时，23()ex x f x =，236()e xx x f x -+'=， 3f (1)e∴=，3f (1)e '=，∴曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为33(1)e ey x -=-，化为3e 0x y -=. （Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）可得23(6)()exxa x af x -+-+'=， 令2()3(6)g x x a x a =-+-+，由()0g x =，解得1x ，2x =.当1x x <时，()0g x <，即()0f x '<，此时函数()f x 为减函数； 当12x x x <<时，()0g x >，即()0f x '>，此时函数()f x 为增函数；数学试卷 第15页（共18页） 数学试卷 第16页（共18页）当2x x >时，()0g x <，即()0f x '<，此时函数()f x 为减函数.由()f x 在[3,)+∞上为减函数，可知23x =≤，解得92a ≥-， 因此a 的取值范围为9,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭.解法二：由()f x 在[3,)+∞上为减函数，()0f x '∴≤，可得2361x xa x -+≥-，在[3,)+∞上恒成立.令236()1x x u x x -+=-，223[(1)1]()0(1)x u x x --+'=<-， ()u x ∴在[3,)+∞上单调递减，9(3)2a u ∴≥=-，因此a 的取值范围为9,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭.【提示】（Ⅰ）23(6)()exx a x af x -+-+'=，由()f x 在0x =处取得极值，可得(0)0f '=，解得A ，可得(1)f ，(1)f '，即可得出曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）可得23(6)()e xx a x a f x -+-+'=，令2()3(6)g x x a x a =-+-+，由()0g x =，解得1x，2x =.对x 分类讨论：当1x x <时；当12x x x <<时；当2x x >时.由()f x 在[3,)+∞上为减函数，可知2x =，解得即可. 解法二：“分离参数法”：由()f x 在[3,)+∞上为减函数，可得()0f x '≤，可得2361x xa x -+≥-，在[3,)+∞上恒成立，令236()1x xu x x -+=-，利用导数研究其最大值即可.【考点】利用导数研究函数的极值，利用导数研究曲线上某点切线方程21.（Ⅰ）2214x y +=【解析】（Ⅰ）由椭圆的定义，122||||224a PF PF =+=+-=，故2a =， 设椭圆的半焦距为c ，由已知12PF PF ⊥，因此122||c F F ==，即c =，从而1b ==，故所求椭圆的标准方程为2214x y +=.（Ⅱ）连接1F Q ，由椭圆的定义，12|||2|PF PF a =+，12|||2|QF QF a =+， 从而由122||||||||PF F PQ PF Q =++，有11||4||QF a PF =-， 又由1PQ PF ⊥，1||||PF PQ =，知111|||42||QF PF a PF ==-，解得1|2(2|PF a =，从而21|2|1|)|PF PF a a =-=， 由21PF PF ⊥，知122||c F F =，因此c a e === 【提示】（Ⅰ）由椭圆的定义，122||||a PF PF =+，求出a ，再根据122||c F F ==c ，进而求出椭圆的标准方程；（Ⅱ）由椭圆的定义和勾股定理，得111|||4a ||QF PF PF ==-，解得1|2(2|PF a =，从而21|2|1|)|PF PF a a =-=，再一次根据勾股定理可求出离心率.【考点】椭圆的简单性质22.【答案】（Ⅰ）132n n a -g（Ⅱ）见解析【解析】（Ⅰ）由0λ=，2u =-，有212()n n n a a a n ++=∈N .若存在某个0n +∈N ，使得00n a =，则由上述递推公式易得010n a +=， 重复上述过程可得10a =，此与13a =矛盾， ∴对任意,0n n a +∈≠N ，从而12()n n a a n ++=∈N ， 即{}n a 是一个公比2q =的等比数列，故11132n n n a a q --==g .（Ⅱ）证明：由01k λ=，1u =-，数列{}n a 的递推关系式变为211010n n n n a a a a k +++-=，变形为2101()n n n a a a n k ++⎛⎫+=∈ ⎪⎝⎭N ， 由上式及130a =>，归纳可得12130n n a a a a +=>>⋯>>>⋯>.数学试卷 第17页（共18页） 数学试卷 第18页（共18页）2222001000011111111n n n n n n n a a k k a a k k k a a a k k +-+===-++++Q g ， ∴对01,2,n k =⋯,求和得：00011211()()k k k a a a a a a ++=+-+⋯+-010000102000001111111112111313131k a k k k k a k a k a k k k k ⎛⎫⎛⎫=-++++>+++⋯+ ⎪ ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭g g g …，另一方面，由上已证的不等式知001212k k a a a a +>>>>>…， 得00110000102000001111111112111212121k k a a k k k k a k a k a k k k k +⎛⎫⎛⎫=-+++⋯+<+++⋯+ ⎪ ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭g g g01221k =++.综上，010011223121k a k k ++<<+++. 【提示】（Ⅰ）把0λ=，2u =-代入数列递推式，得到212()n n n a a a n ++=∈N ，分析0n a ≠后可得12n n a a +=()n +∈N ，即{}n a 是一个公比2q =的等比数列，从而可得数列的通项公式；（Ⅱ）把01k λ=，1u =-代入数列递推式，整理后可得2101()n n n a a a n k ++⎛⎫+=∈ ⎪⎝⎭N ，进一步得到22220010000011111111n n n nn n n a a k k a a k k k a a a k k +-+===-++++g ，对01,2,,n k =⋯求和后放缩可得不等式左边，结合001212k k a a a a +>>⋯>>>，进一步利用放缩法证明不等式右边.【考点】数列与不等式的综合。
2015年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数 学（理工类）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、 已知集合A={}1,2,3,B={}2,3，则A 、A=B B 、A ⋂B=∅C 、A ØBD 、B ØA2、在等差数列{}n a 中，若2a =4，4a =2，则6a =A 、-1B 、0C 、1D 、63、重庆市2013年各月的平均气温（o C ）数据的茎叶图如下：则这组数据的中位数是A 、19B 、20C 、21.5D 、234、 “x>1”是“12log （x+2）<0”的A 、充要条件B 、充分不必要条件C 、必要不充分条件D 、既不充分也不必要条件5、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A 、13π+ B 、23π+ C 、 123π+ D 、223π+6、若非零向量a ，b 满足|a|=3|b|，且（a -b ）⊥（3a +2b ），则a 与b 的夹角为 A 、4π B 、2π C 、34π D 、π 7、执行如题（7）图所示的程序框图，若输入K 的值为8，则判断框图可填入的条件是A 、s ≤34B 、s ≤56C 、s ≤1112D 、s ≤15248、已知直线l ：x+ay-1=0（a ∈R ）是圆C ：224210x y x y +--+=的对称轴.过点A （-4，a ）作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB|= A 、2B 、42C 、6D 、210 9、若tan α=2tan 5π，则3cos()10sin()5παπα-=- A 、1 B 、2 C 、3 D 、410、设双曲线22221x y a b-=（a>0,b>0）的右焦点为1，过F 作AF 的垂线与双曲线交于B,C 两点，过B,C 分别作AC ，AB 的垂线交于点D.若D 到直线BC 的距离小于22a ab ++，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是A 、（-1,0）⋃（0,1）B 、（-∞，-1）⋃（1，+∞）C 、（-2，0）⋃（0，2）D 、（-∞，-2）⋃（2，+∞）二、填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分.把答案填写在答题卡相应位置上.11、设复数a+bi （a ，b ∈R ）的模为3，则（a+bi ）（a-bi ）=________. 12、532x x ⎛+ ⎪⎝⎭的展开式中8x 的系数是________(用数字作答). 13、在ABC 中，B=120o ，AB=2，A 的角平分线AD=3,则AC=_______.考生注意：（14）、（15）、（16）三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分.14、如题（14）图，圆O 的弦AB ，CD 相交于点E ，过点A 作圆O 的切线与DC 的延长线交于点P ，若PA=6，AE=9，PC=3，CE:ED=2:1，则BE=_______.15、已知直线l 的参数方程为11x t y t=-+⎧⎨=+⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C 的极坐标方程为235cos 24(0,)44ππρθρθ=><<，则直线l 与曲线C 的交点的极坐标为_______.16、若函数f （x ）=|x+1|+2|x-a|的最小值为5，则实数a=_______.三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2015年高考重庆卷理数试题解析（精编版）（解析版）本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共6页，时量120分钟，满分150分.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A ={}1,2,3,B ={}2,3，则 （ ）A 、A =B B 、A ⋂B =∅C 、A ØBD 、B ØA 【答案】D【考点定位】本题考查子集的概念，考查学生对基础知识的掌握程度.2．在等差数列{}n a 中，若2a =4，4a =2，则6a = （ ）A 、-1B 、0C 、1D 、6 【答案】B【考点定位】本题属于数列的问题，考查等差数列的通项公式与等差数列的性质.3．重庆市2013年各月的平均气温（oC ）数据的茎叶图如下：0891258200338312则这组数据的中位数是 （ ）A 、19B 、20C 、21.5D 、23 【答案】B.【考点定位】本题考查茎叶图的认识，考查中位数的概念.4．“1x >”是“12log (2)0x +<”的 （ ）A 、充要条件B 、充分不必要条件C 、必要不充分条件D 、既不充分也不必要条件 【答案】B【考点定位】充分必要条件.5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A 、13π+B 、23π+ C 、 123π+ D 、223π+【答案】A【考点定位】组合体的体积.【名师点晴】本题涉及到三视图的认知，要求学生能由三视图画出几何体的直观图，从而分析出它是哪些基本几何体的组合，应用相应的体积公式求出几何体的体积，关键是画出直观图，本题考查了学生的空间想象能力和运算求解能力.6．若非零向量a ，b 满足|a |=3|b |，且（a -b ）⊥（3a +2b ），则a 与b 的夹角为 （ ） A 、4π B 、2π C 、34π D 、π【答案】A【考点定位】向量的夹角.7．执行如题（7）图所示的程序框图，若输入K 的值为8，则判断框图可填入的条件是 （ ） A 、s ≤34 B 、s ≤56 C 、s ≤1112 D 、s ≤1524【答案】C【解析】由程序框图，k 的值依次为0，2，4，6，8，因此1111124612S =++=（此时6k =）还必须计算一次，因此可填1112s ≤，选C . 【考点定位】程序框图.8．已知直线l ：x +ay -1=0（a ∈R ）是圆C ：224210x y x y +--+=的对称轴.过点A （-4，a ）作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB |= （ ）A 、2 B、、6 D、 【答案】C【考点定位】直线与圆的位置关系.9．若tan 2tan 5πα=，则3cos()10sin()5παπα-=- （ ）A 、1B 、2C 、3D 、4 【答案】C 【解析】【考点定位】两角和与差的正弦（余弦）公式，同角间的三角函数关系，三角函数的恒等变换.10．设双曲线22221x y a b-=（a >0,b >0）的右焦点为1，过F 作AF 的垂线与双曲线交于B ,C 两点，过B ,C 分别作AC ，AB 的垂线交于点D .若D 到直线BC 的距离小于a 围是 （ ）A 、(1,0)(0,1)-B 、(,1)(1,)-∞-+∞C 、(D 、(,)-∞+∞ 【答案】A【考点定位】双曲线的性质.二、填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分.把答案填写在答题卡相应位置上.11．设复数a +bi （a ，b ∈R a +bi ）（a -bi ）=________. 【答案】3【考点定位】复数的运算.12．53x⎛+⎝的展开式中8x的系数是________(用数字作答).【答案】5 2【考点定位】二项式定理13．在 ABC中，B=120o，AB A的角平分线AD则AC=_______.【考点定位】解三角形（正弦定理，余弦定理）考生注意：（14）、（15）、（16）三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分. 14．如图，圆O的弦AB，C D相交于点E，过点A作圆O的切线与DC的延长线交于点P，若PA=6，AE=9，PC=3，CE:ED=2:1，则BE=_______.【答案】2【考点定位】相交弦定理，切割线定理.15．已知直线l的参数方程为11x ty t=-+⎧⎨=+⎩（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C的极坐标方程为235 cos24(0,)44ππρθρθ=><<，则直线l与曲线C的交点的极坐标为_______.【答案】(2,)π【考点定位】参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与直角坐标方程的互化.16．若函数()12f x x x a =++-的最小值为5，则实数a =_______. 【答案】4a =或6a =-【考点定位】绝对值的性质，分段函数.三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2015年高考数学（理）试题（重庆卷）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.1．已知集合A=,B=，则A、A=BB、A∩B=C、A BD、B A【答案】D【解析】由于2∈A，2∈B，3∈A，3∈B，1∈A，1∉B，故A、B、C均错，D是正确的，选D.【考点】集合的关系.【关键字】高考真题金考卷新高考5年真题汇编2015年重庆卷理科试题集合运算2．在等差数列中，若=4，=2，则=A、-1B、0C、1D、6【答案】B【解析】由等差数列的性质得a6=2a4-a2=2×2-4=0，选B.【知识点】等差数列的性质.【关键字】高考真题金考卷新高考5年真题汇编2015年重庆卷理科试题等差数列的性质3．重庆市2013年各月的平均气温（）数据的茎叶图如下：0891258200338312则这组数据的中位数是A、19B、20C、21.5D、23【答案】B.【解析】从茎叶图知所有数据为8，9，12，15，18，20，20，23，23，28，31，32，中间两个数为20，20，故中位数为20，选B.. 【知识点】茎叶图，中位数.【关键字】高考真题金考卷新高考5年真题汇编 2015年重庆卷理科试题 茎叶图，中位数 4．“x>1”是“12log (2)0x +<”的A 、充要条件B 、充分不必要条件C 、必要不充分条件D 、既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】12log (2)0211x x x +<⇔+>⇔>-，因此选B.【知识点】充分必要条件.【关键字】高考真题金考卷新高考5年真题汇编 2015年重庆卷理科试题 充分必要条件5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A 、13π+B 、23π+C 、123π+D 、223π+【答案】A【解析】这是一个三棱锥与半个圆柱的组合体，2111112(12)12323V ππ=⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯=+，选A.【知识点】组合体的体积.【关键字】高考真题金考卷新高考5年真题汇编 2015年重庆卷理科试题 组合体的体积.6．若非零向量a ，b 满足|a |=3|b |，且（a -b ）⊥（3a +2b ），则a 与b 的夹角为（ ） A 、4π B 、2π C 、34πD 、π 【答案】A【解析】由题意()()2232320a b a b a ab b -⋅+=--= ，即223cos 20a a b b θ--= ，所以232033θ⎛⨯--= ⎝⎭，cos 4πθθ==，选A. 【知识点】向量的夹角.【关键字】高考真题金考卷新高考5年真题汇编 2015年重庆卷理科试题 向量的夹角7．执行如题（7）图所示的程序框图，若输入K 的值为8，则判断框图可填入的条件是A 、s ≤34B 、s ≤56C 、s ≤1112D 、s ≤1524【答案】C【解析】由程序框图，k的值依次为0，2，4，6，8，因此11111S=++=24612（此时k=6）还必须计算一次，因此可填11s≤，选C.12【知识点】程序框图.【关键字】高考真题金考卷新高考5年真题汇编2015年重庆卷理科试题程序框图.8．已知直线l：x+ay-1=0（a R）是圆C：224210+--+=的对称x y x y轴.过点A（-4，a）作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|=A、2B、C、6D、【答案】C【解析】圆C标准方程为22-+-=，圆心为(2,1)x y(2)(1)4C，半径为r=2，因此2110a=-，即(4,1)a+⨯-=，1A--，6AB===.选C.【知识点】直线与圆的位置关系.【关键字】高考真题金考卷新高考5年真题汇编 2015年重庆卷理科试题 直线与圆的位置关系 9．若tan α=2tan，则3cos()10sin()5παπα-=- A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 【答案】C【解析】由已知，3cos()10sin()5παπα-=-33cos cos sin sin 1010sin cos cos sin55ππααππαα+-33cos tan sin1010tan cos sin 55ππαππα+=-33cos 2tan sin 105102tan cos sin 555ππππππ+=-33cos cos 2sin sin 510510sin cos55ππππππ+=＝155(cos cos )(cos cos )210101010sin 25πππππ++-3cos 103cos 10ππ==，选C .【知识点】两角和与差的正弦（余弦）公式，同角间的三角函数关系，三角函数的恒等变换.【关键字】高考真题金考卷新高考5年真题汇编 2015年重庆卷理科试题 两角和与差的正弦（余弦）公式，同角间的三角函数关系，三角函数的恒等变换10．设双曲线22221x y a b-=（a >0,b >0）的右焦点为1，过F 作AF 的垂线与双曲线交于B ,C 两点，过B ,C 分别作AC ，AB 的垂线交于点D .若D 到直线BC 的距离小于a 范围是（ ）A 、(1,0)(0,1)-B 、(,1)(1,)-∞-+∞C、( D、(,)-∞+∞ 【答案】A【解析】由题意()22,0,,,,b b A a B c C c a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由双曲线的对称性知D 在x 轴上，设D(x,0)，由BD ⊥AC 得2201b b a a c x a c -⋅=---，解得()42b c x a c a -=-，所以()42b c x a a c a c a -=<=+-，所以4222222101b b b c a b a a a<-=⇒<⇒<<，因此渐近线的斜率取值范围是()()1,00,1- ，选A.【知识点】双曲线的性质.【关键字】高考真题金考卷新高考5年真题汇编 2015年重庆卷理科试题 双曲线的性质二、填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分11．设复数a+bi （a ，b R）的模为3，则（a+bi ）（a-bi ）=________. 【答案】3【解析】由a bi +=223a b +=，所以22()()3a bi a bi a b +-=+=.【知识点】复数的运算.【关键字】高考真题金考卷新高考5年真题汇编 2015年重庆卷理科试题 复数的运算.12．53x ⎛ ⎝的展开式中8x 的系数是________(用数字作答). 【答案】52【解析】二项展开式通项为7153521551()()2kk kkk k k T C x C x--+==，令71582k -=，解得k=2，因此8x 的系数为22515()22C =. 【知识点】二项式定理【关键字】高考真题金考卷新高考5年真题汇编 2015年重庆卷理科试题 二项式定理13．在ABC 中，B =120o ，AB A 的角平分线AD 则AC =_______.【解析】由正弦定理得sin sin AB AD ADB B =∠，即sin ADB =∠，解得sin 2ADB ∠=，45ADB ∠=︒，从而15BAD DAC ∠=︒=∠，所以1801203030C =︒-︒-︒=︒，2cos30AC AB =︒=【知识点】解三角形（正弦定理，余弦定理）【关键字】高考真题金考卷新高考5年真题汇编 2015年重庆卷理科试题 解三角形（正弦定理，余弦定理） （14）、（15）、（16）三题为选做题，14．如图，圆O 的弦AB ，CD 相交于点E ，过点A 作圆O 的切线与DC 的延长线交于点P ，若PA=6，AE=9，PC=3，CE:ED=2:1，则BE=_______.【答案】2【解析】首先由切割线定理得2PA PC PD =⋅，因此26123PD ==，9CD PD PC =-=，又:2:1CE ED =，因此6,3CE ED ==，再相交弦定理有AE EB CE ED ⋅=⋅，所以6329CE ED BE AE ⋅⨯===. 【知识点】相交弦定理，切割线定理.【关键字】高考真题金考卷新高考5年真题汇编 2015年重庆卷理科试题 相交弦定理，切割线定理. 15．已知直线l 的参数方程为11x ty t=-+⎧⎨=+⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C 的极坐标方程为235cos 24(0,)44ππρθρθ=><<，则直线l 与曲线C 的交点的极坐标为_______. 【答案】(2,)π【解析】直线l 的普通方程为2y x =+，由2cos24ρθ=得222(cos sin )4ρθθ-=，直角坐标方程为224x y -=，把2y x =+代入双曲线方程解得2x =-，因此交点.为(2,0)-，其极坐标为(2,)π.【知识点】参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与直角坐标方程的互化.题（14）图P【关键字】高考真题金考卷新高考5年真题汇编2015年重庆卷理科试题参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与直角坐标方程的互化.16．若函数f（x）=|x+1|+2|x-a|的最小值为5，则实数a=_______. 【答案】a=4或a=-6【解析】由绝对值的性质知在x=-1或x=a时()f x可能取得最小值，若(1)215f a-=--=，32a=或72a=-，经检验均不合；若()5f a=，则15x+=，a=4或a=-6，经检验合题意，因此a=4或a=-6【知识点】绝对值的性质，分段函数.【关键字】高考真题金考卷新高考5年真题汇编2015年重庆卷理科试题绝对值的性质，分段函数三、解答题：本大题共6小题，共75分。
2015年高考重庆卷理数试题解析（精编版）（解析版）本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共6页，时量120分钟，满分150分.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A ={}1,2,3,B={}2,3，则 （ ）A 、A =B B 、A ⋂B =∅C 、A ØBD 、B ØA【答案】D【考点定位】本题考查子集的概念，考查学生对基础知识的掌握程度.2．在等差数列{}n a 中，若2a =4，4a =2，则6a = （ ）A 、-1B 、0C 、1D 、6【答案】B【考点定位】本题属于数列的问题，考查等差数列的通项公式与等差数列的性质.3．重庆市2013年各月的平均气温（oC ）数据的茎叶图如下：0891258200338312则这组数据的中位数是 （ ）A 、19B 、20C 、21.5D 、23【答案】B .【考点定位】本题考查茎叶图的认识，考查中位数的概念.4．“1x >”是“12log (2)0x +<”的 （ ）A 、充要条件B 、充分不必要条件C 、必要不充分条件D 、既不充分也不必要条件【答案】B【考点定位】充分必要条件.5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A 、13π+ B 、23π+C 、 123π+D 、223π+ 【答案】A【考点定位】组合体的体积.【名师点晴】本题涉及到三视图的认知，要求学生能由三视图画出几何体的直观图，从而分析出它是哪些基本几何体的组合，应用相应的体积公式求出几何体的体积，关键是画出直观图，本题考查了学生的空间想象能力和运算求解能力.6．若非零向量a ，b 满足|a |=22|b |，且（a -b ）⊥（3a +2b ），则a 与b 的夹角为 （ ） A 、4π B 、2π C 、34π D 、π【答案】A【考点定位】向量的夹角.7．执行如题（7）图所示的程序框图，若输入K 的值为8，则判断框图可填入的条件是 （ ）A 、s ≤34 B 、s ≤56 C 、s ≤1112 D 、s ≤1524【答案】C【解析】由程序框图，k 的值依次为0，2，4，6，8，因此1111124612S =++=（此时6k =）还必须计算一次，因此可填1112s ≤，选C . 【考点定位】程序框图.8．已知直线l ：x +ay -1=0（a ∈R ）是圆C ：224210x y x y +--+=的对称轴.过点A （-4，a ）作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB |= （ ）A 、2B 、C 、6D 、【答案】C【考点定位】直线与圆的位置关系.9．若tan 2tan 5πα=，则3cos()10sin()5παπα-=- （ ）A 、1B 、2C 、3D 、4 【答案】C 【解析】【考点定位】两角和与差的正弦（余弦）公式，同角间的三角函数关系，三角函数的恒等变换.10．设双曲线22221x y a b-=（a >0,b >0）的右焦点为1，过F 作AF 的垂线与双曲线交于B ,C 两点，过B ,C 分别作AC ，AB 的垂线交于点D .若D 到直线BC的距离小于a 围是 （ ）A 、(1,0)(0,1)-B 、(,1)(1,)-∞-+∞ C、((0,2) D、(,(2,)-∞+∞【答案】A【考点定位】双曲线的性质.二、填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分.把答案填写在答题卡相应位置上.11．设复数a+bi（a，b∈R a+bi）（a-bi）=________.【答案】3【考点定位】复数的运算.12．53x⎛+⎝的展开式中8x的系数是________(用数字作答).【答案】5 2【考点定位】二项式定理13．在ABC中，B=120o，AB A的角平分线AD则AC=_______.【考点定位】解三角形（正弦定理，余弦定理）考生注意：（14）、（15）、（16）三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分. 14．如图，圆O的弦AB，C D相交于点E，过点A作圆O的切线与DC的延长线交于点P，若PA=6，AE=9，PC=3，CE:ED=2:1，则BE=_______.【答案】2【考点定位】相交弦定理，切割线定理.15．已知直线l的参数方程为11x ty t=-+⎧⎨=+⎩（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C 的极坐标方程为235cos 24(0,)44ππρθρθ=><<，则直线l 与曲线C 的交点的极坐标为_______.【答案】(2,)π【考点定位】参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与直角坐标方程的互化.16．若函数()12f x x x a =++-的最小值为5，则实数a =_______. 【答案】4a =或6a =-【考点定位】绝对值的性质，分段函数.三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2015年普通高等学校招生全国统一考试重庆理科数学数学试题卷(理工农医类)共4页.满分150分.考试时间120分钟.注意事项:1.答题前,务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上.2.答选择题时,必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦擦干净后,再选涂其他答案标号.3.答非选择题时,必须使用0.5毫米黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定的位置上.4.所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效.5.考试结束后,将试题卷和答题卡一并交回.特别提醒:14、15、16三题为选做题,请从中任选两题作答,若三题全做,则按前两题给分.一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个备选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2015重庆,理1)已知集合A={1,2,3},B={2,3},则()A.A=BB.A∩B=⌀C.A⫋BD.B⫋A答案:D解析:因为A={1,2,3},B={2,3},所以B⫋A.2.(2015重庆,理2)在等差数列{a n}中,若a2=4,a4=2,则a6=()A.-1B.0C.1D.6答案:B解析:因为{a n}是等差数列,所以2a4=a2+a6,于是a6=2a4-a2=2×2-4=0.3.(2015重庆,理3)重庆市2013年各月的平均气温(℃)数据的茎叶图如下:则这组数据的中位数是()A.19B.20C.21.5D.23答案:B解析:由茎叶图可知,这组数据的中位数为20+202=20.4.(2015重庆,理4)“x>1”是“lo g12(x+2)<0”的()A.充要条件B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件答案:B解析:由lo g12(x+2)<0可得x+2>1,即x>-1,而{x|x>1}⫋{x|x>-1},所以“x>1”是“lo g12(x+2)<0”的充分不必要条件.5.(2015重庆,理5)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A .13+π B .23+π C .13+2π D .23+2π 答案:A解析:由三视图可知,该几何体是一个组合体,其左边是一个三棱锥,底面是等腰直角三角形(斜边长等于2),高为1,所以体积V 1=13×12×2×1×1=13;其右边是一个半圆柱,底面半径为1,高为2,所以体积V 2=π·12·2·12=π,所以该几何体的体积V=V 1+V 2=13+π.6.(2015重庆,理6)若非零向量a ,b 满足|a|=2√23|b|,且(a-b )⊥(3a+2b ),则a 与b 的夹角为( )A .π4B .π2C .3π4D .π答案:A解析:由(a-b )⊥(3a+2b )知(a-b )·(3a+2b )=0,即3|a|2-a ·b-2|b|2=0.设a 与b 的夹角为θ,所以3|a|2-|a||b|cos θ-2|b|2=0,即3·(2√23|b|)2-2√23|b|2cos θ-2|b|2=0,整理,得cos θ=√22,故θ=π4.7.(2015重庆,理7)执行如图所示的程序框图,若输出k 的值为8,则判断框内可填入的条件是( )A .s ≤34B .s ≤56C .s ≤1112D .s ≤2524答案:C解析:由程序框图可知,程序执行过程如下: s=0,k=0,满足条件;k=2,s=12,满足条件;k=4,s=34,满足条件;k=6,s=1112,满足条件;k=8,s=2524,这时应不满足条件,才能输出k=8,故判断框内的条件是s ≤1112. 8.(2015重庆,理8)已知直线l :x+ay-1=0(a ∈R)是圆C :x 2+y 2-4x-2y+1=0的对称轴.过点A (-4,a )作圆C 的一条切线,切点为B ,则|AB|=( ) A .2 B .4√2C .6D .2√10答案:C解析:依题意,直线l 经过圆C 的圆心(2,1),因此2+a-1=0,所以a=-1,因此点A 的坐标为(-4,-1).又圆C 的半径r=2,由△ABC 为直角三角形可得|AB|=√|AC|2-r 2.又|AC|=2√10,所以|AB|=√(2√10)2-22=6. 9.(2015重庆,理9)若tan α=2tan π5,则cos (α-3π10)sin (α-π5)=( )A .1B .2C .3D .4解析:因为tan α=2tan π5,所以cos (α-3π10)sin (α-π5)=sin (α-3π10+π2)sin (α-π5)=sin (α+π5)sin (α-π5)=sinαcos π5+cosαsin π5sinαcos π5-cosαsin π5=tanα+tan π5tanα-tan π5=3tan π5tan π5=3.10.(2015重庆,理10)设双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F ,右顶点为A ,过F 作AF 的垂线与双曲线交于B ,C 两点,过B ,C 分别作AC ,AB 的垂线,两垂线交于点D.若D 到直线BC 的距离小于a+√a 2+b 2,则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是( ) A .(-1,0)∪(0,1) B .(-∞,-1)∪(1,+∞) C .(-√2,0)∪(0,√2) D .(-∞,-√2)∪(√2,+∞)答案:A解析:设双曲线半焦距为c ,则F (c ,0),A (a ,0),不妨设点B 在点F 的上方,点C 在点F 的下方,则B (c,b 2a ),C (c,-b 2a ).由于k AC =0−(-b2a )a -c =b 2a(a -c),且AC ⊥BD ,则k BD =-a(a -c)b2,于是直线BD 的方程为y-b 2a =-a(a -c)b 2(x-c ),由双曲线的对称性知AC 的垂线BD 与AB 的垂线CD 关于x 轴对称,所以两垂线的交点D 在x 轴上,于是x D =(-b 2a )×[-b 2a(a -c)]+c=b4a 2(a -c)+c ,从而D 到直线BC 的距离为c-x D =-b4a 2(a -c),由已知得-b4a 2(a -c)<a+√a 2+b 2,即-b 4a 2(a -c)<a+c , 所以b 4<a 2(c-a )(c+a ),即b 4<a 2b2,b2a 2<1, 从而0<b a<1.而双曲线渐近线斜率k=±b a, 所以k ∈(-1,0)∪(0,1).二、填空题:本大题共6小题,考生作答5小题,每小题5分,共25分.把答案填写在答题卡相应位置上. 11.(2015重庆,理11)设复数a+b i(a ,b ∈R)的模为√3,则(a+b i)(a-b i)= . 答案:3解析:因为复数a+b i 的模为√3,所以√a 2+b 2=√3,即a 2+b 2=3.于是(a+b i)(a-b i)=a 2-(b i)2=a 2+b 2=3. 12.(2015重庆,理12)(x 32x)5的展开式中x 8的系数是 (用数字作答).答案:52解析:展开式的通项公式T r+1=C 5r·(x 3)5-r ·(2√x)r =C 5r ·2-r ·x 15−72r(r=0,1,2,…,5). 令15-72r=8,得r=2,于是展开式中x 8项的系数是C 52·2-2=52.13.(2015重庆,理13)在△ABC 中,B=120°,AB=√2,A 的角平分线AD=√3,则AC= .解析:如图所示,在△ABD 中,由正弦定理得AD sinB =ABsin ∠ADB ,即√3sin120°=√2sin ∠ADB, 所以sin ∠ADB=√22,从而∠ADB=45°, 则∠BAD=∠DAC=15°, 所以∠ACB=30°,∠BAC=30°,所以△BAC 是等腰三角形,BC=AB=√2. 由余弦定理得AC=√AB 2+BC 2-2·AB ·BC ·cos120° =√(√2)2+(√2)2-2×√2×√2·(-12) =√6.考生注意:14、15、16三题为选做题,请从中任选两题作答,若三题全做,则按前两题给分. 14.(2015重庆,理14)如图,圆O 的弦AB ,CD 相交于点E ,过点A 作圆O 的切线与DC 的延长线交于点P ,若PA=6,AE=9,PC=3,CE ∶ED=2∶1,则BE= . 答案:2解析:因为PA 是圆的切线,所以有PA 2=PC ·PD ,于是PD=PA 2PC =623=12, 因此CD=PD-PC=9.又因为CE ∶ED=2∶1,所以CE=6,ED=3. 又由相交弦定理可得AE ·BE=CE ·ED , 所以BE=6×39=2. 15.(2015重庆,理15)已知直线l 的参数方程为{x =−1+t,y =1+t (t 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为ρ2cos 2θ=4(ρ>0,3π4<θ<5π4),则直线l 与曲线C 的交点的极坐标为 .答案:(2,π)解析:由{x =−1+t,y =1+t可得直线l 的普通方程为y=x+2.又ρ2cos 2θ=4可化为ρ2(cos 2θ-sin 2θ)=4,即(ρcos θ)2-(ρsin θ)2=4, 所以x 2-y 2=4,即曲线C 的直角坐标方程是x 2-y 2=4.由{y =x +2,x 2-y 2=4可解得{x =−2,y =0,即直线l 与曲线C 的交点坐标为(-2,0).又因为ρ>0,3π4<θ<5π4,所以ρ=2,θ=π,即交点的极坐标是(2,π).16.(2015重庆,理16)若函数f (x )=|x+1|+2|x-a|的最小值为5,则实数a= . 答案:-6或4 解析:当a ≤-1时,f (x )=|x+1|+2|x-a|={-3x +2a -1,x <a,x -2a -1,a ≤x ≤−1,3x -2a +1,x >−1,所以f (x )在(-∞,a )上单调递减,在(a ,+∞)上单调递增, 则f (x )在x=a 处取得最小值f (a )=-a-1, 由-a-1=5得a=-6,符合a ≤-1; 当a>-1时,f (x )=|x+1|+2|x-a|={-3x +2a -1,x <−1,-x +2a +1,−1≤x ≤a,3x -2a +1,x >a.所以f (x )在(-∞,a )上单调递减,在(a ,+∞)上单调递增, 则f (x )在x=a 处取最小值f (a )=a+1, 由a+1=5,得a=4,符合a>-1. 综上,实数a 的值为-6或4.三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分13分,(1)小问5分,(2)小问8分)(2015重庆,理17)端午节吃粽子是我国的传统习俗.设一盘中装有10个粽子,其中豆沙粽2个,肉粽3个,白粽5个,这三种粽子的外观完全相同.从中任意选取3个. (1)求三种粽子各取到1个的概率;(2)设X 表示取到的豆沙粽个数,求X 的分布列与数学期望.解:(1)令A 表示事件“三种粽子各取到1个”,则由古典概型的概率计算公式有P (A )=C 21C 31C 51C 103=14. (2)X 的所有可能值为0,1,2,且P (X=0)=C 83C 103=715, P (X=1)=C 21C 82C 103=715, P (X=2)=C 22C 81C 103=115.综上知,X 的分布列为故E (X )=0×715+1×715+2×115=35(个).18.(本小题满分13分,(1)小问7分,(2)小问6分)(2015重庆,理18)已知函数f (x )=sin (π2-x)sin x-√3cos 2x.(1)求f (x )的最小正周期和最大值; (2)讨论f (x )在[π6,2π3]上的单调性.解:(1)f (x )=sin (π2-x)sin x-√3cos 2x=cos x sin x-√32(1+cos 2x )=12sin 2x-√32cos 2x-√32=sin (2x -π3)-√32, 因此f (x )的最小正周期为π,最大值为2−√32. (2)当x ∈[π6,2π3]时,0≤2x-π3≤π,从而当0≤2x-π3≤π2,即π6≤x ≤5π12时,f (x )单调递增, 当π2≤2x-π3≤π,即5π12≤x ≤2π3时,f (x )单调递减.综上可知,f (x )在[π6,5π12]上单调递增;在[5π12,2π3]上单调递减.19.(本小题满分13分,(1)小问4分,(2)小问9分)(2015重庆,理19)如图,三棱锥P-ABC 中,PC ⊥平面ABC ,PC=3,∠ACB=π2.D ,E 分别为线段AB ,BC 上的点,且CD=DE=√2,CE=2EB=2.(1)证明:DE ⊥平面PCD ; (2)求二面角A-PD-C 的余弦值.(1)证明:由PC ⊥平面ABC ,DE ⊂平面ABC ,故PC ⊥DE.由CE=2,CD=DE=√2得△CDE 为等腰直角三角形,故CD ⊥DE.由PC ∩CD=C ,DE 垂直于平面PCD 内两条相交直线,故DE ⊥平面PCD. (2)解:由(1)知,△CDE 为等腰直角三角形,∠DCE=π4.如图,过D 作DF 垂直CE 于F ,易知DF=FC=FE=1, 又已知EB=1,故FB=2. 由∠ACB=π2得DF ∥AC ,DF AC =FB BC =23,故AC=32DF=32.以C 为坐标原点,分别以CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CP⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x 轴,y 轴,z 轴的正方向建立空间直角坐标系,则C (0,0,0),P (0,0,3),A (32,0,0),E (0,2,0),D (1,1,0),ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-1,0),DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,-1,3),DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,-1,0).设平面PAD 的法向量为n 1=(x 1,y 1,z 1),由n 1·DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n 1·DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,得{-x 1-y 1+3z 1=0,12x 1-y 1=0,故可取n 1=(2,1,1).由(1)可知DE ⊥平面PCD ,故平面PCD 的法向量n 2可取为ED ⃗⃗⃗⃗⃗ ,即n 2=(1,-1,0). 从而法向量n 1,n 2的夹角的余弦值为 cos <n 1,n 2>=n 1·n 2|n 1|·|n 2|=√36,故所求二面角A-PD-C 的余弦值为√36. 20.(本小题满分12分,(1)小问7分,(2)小问5分) (2015重庆,理20)设函数f (x )=3x 2+axe x(a ∈R). (1)若f (x )在x=0处取得极值,确定a 的值,并求此时曲线y=f (x )在点(1,f (1))处的切线方程; (2)若f (x )在[3,+∞)上为减函数,求a 的取值范围. 解:(1)对f (x )求导得f'(x )=(6x+a)e x -(3x 2+ax)e x (e x )2=-3x 2+(6−a)x+ae x . 因为f (x )在x=0处取得极值,所以f'(0)=0,即a=0. 当a=0时,f (x )=3x 2e x ,f'(x )=-3x 2+6xe x, 故f (1)=3e ,f'(1)=3e ,从而f (x )在点(1,f (1))处的切线方程为y-3e =3e(x-1),化简得3x-e y=0. (2)由(1)知f'(x )=-3x 2+(6−a)x+ae x.令g (x )=-3x 2+(6-a )x+a , 由g (x )=0解得x 1=6−a -√a 2+366,x 2=6−a+√a 2+366. 当x<x 1时,g (x )<0,即f'(x )<0,故f (x )为减函数; 当x 1<x<x 2时,g (x )>0,即f'(x )>0,故f (x )为增函数;当x>x 2时,g (x )<0,即f'(x )<0,故f (x )为减函数. 由f (x )在[3,+∞)上为减函数,知x 2=6−a+√a 2+366≤3,解得a ≥-92,故a 的取值范围为[-92,+∞).21.(本小题满分12分,(1)小问5分,(2)小问7分) (2015重庆,理21)如图,椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,过F 2的直线交椭圆于P ,Q 两点,且PQ ⊥PF 1.(1)若|PF 1|=2+√2,|PF 2|=2-√2,求椭圆的标准方程; (2)若|PF 1|=|PQ|,求椭圆的离心率e.解:(1)由椭圆的定义,2a=|PF 1|+|PF 2|=(2+√2)+(2-√2)=4,故a=2.设椭圆的半焦距为c ,由已知PF 1⊥PF 2,因此2c=|F 1F 2|=√|PF 1|2+|PF 2|2=√(2+√2)2+(2−√2)2=2√3, 即c=√3,从而b=√a 2-c 2=1. 故所求椭圆的标准方程为x 24+y 2=1.(2)解法一:如图,设点P (x 0,y 0)在椭圆上,且PF 1⊥PF 2,则x 02a 2+y 02b 2=1,x 02+y 02=c 2, 求得x 0=±a c √a 2-2b 2,y 0=±b 2c. 由|PF 1|=|PQ|>|PF 2|得x 0>0, 从而|PF 1|2=(a √a 2-2b2c+c)2+b4c 2=2(a 2-b 2)+2a √a 2-2b 2=(a+√a 2-2b 2)2. 由椭圆的定义,|PF 1|+|PF 2|=2a ,|QF 1|+|QF 2|=2a. 从而由|PF 1|=|PQ|=|PF 2|+|QF 2|, 有|QF 1|=4a-2|PF 1|.又由PF 1⊥PF 2,|PF 1|=|PQ|,知|QF 1|=√2|PF 1|, 因此(2+√2)|PF 1|=4a , 即(2+√2)(a+√a 2-2b 2)=4a , 于是(2+√2)(1+√2e 2-1)=4, 解得e=√12[1+(2+√21)2]=√6-√3. 解法二:如解法一中的图,由椭圆的定义,|PF 1|+|PF 2|=2a ,|QF 1|+|QF 2|=2a. 从而由|PF 1|=|PQ|=|PF 2|+|QF 2|,有|QF 1|=4a-2|PF 1|. 又由PF 1⊥PQ ,|PF 1|=|PQ|,知|QF 1|=√2|PF 1|, 因此,4a-2|PF 1|=√2|PF 1|,得|PF 1|=2(2-√2)a ,从而|PF 2|=2a-|PF 1|=2a-2(2-√2)a=2(√2-1)a. 由PF 1⊥PF 2,知|PF 1|2+|PF 2|2=|F 1F 2|2=(2c )2, 因此e=c a =√|PF 1|2+|PF 2|22a=√(2-√2)2+(√2-1)2=√9−6√2=√6-√3. 22.(本小题满分12分,(1)小问4分,(2)小问8分)(2015重庆,理22)在数列{a n }中,a 1=3,a n+1a n +λa n+1+μa n 2=0(n ∈N +).(1)若λ=0,μ=-2,求数列{a n }的通项公式; (2)若λ=1k 0(k 0∈N +,k 0≥2),μ=-1,证明:2+13k 0+1<a k 0+1<2+12k 0+1. 解:(1)由λ=0,μ=-2,有a n+1a n =2a n 2(n ∈N +).若存在某个n 0∈N +,使得a n 0=0,则由上述递推公式易得a n 0-1=0. 重复上述过程可得a 1=0,此与a 1=3矛盾,所以对任意n ∈N +,a n ≠0. 从而a n+1=2a n (n ∈N +),即{a n }是一个公比q=2的等比数列. 故a n =a 1q n-1=3·2n-1.(2)由λ=1k 0,μ=-1,数列{a n }的递推关系式变为a n+1a n +1k 0a n+1-a n 2=0,变形为a n+1(a n +1k 0)=a n 2(n ∈N +).由上式及a 1=3>0,归纳可得 3=a 1>a 2>...>a n >a n+1> 0因为a n+1=a n2a n +1k 0=a n 2-1k 02+1k2a n +1k 0=a n -1k 0+1k 0·1k 0a n +1, 所以对n=1,2,…,k 0求和得a k 0+1=a 1+(a 2-a 1)+…+(a k 0+1-a k 0)=a 1-k 0·1k 0+1k 0·(1k0a 1+1+1k 0a 2+1+…+1k 0a k 0+1)>2+1k 0·(13k0+1+13k 0+1+⋯+13k 0+1⏟ k 0个)=2+13k 0+1.另一方面,由上已证的不等式知a 1>a 2>…>a k 0>a k 0+1>2,得 a k 0+1=a 1-k 0·1k 0+1k 0·(1k 0a 1+1+1k 0a 2+1+…+1k 0a k 0+1)<2+1k 0·(12k0+1+12k 0+1+⋯+12k 0+1⏟ k 0个)=2+12k 0+1.综上,2+13k 0+1<a k 0+1<2+12k 0+1.。
