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近世代数,第一章,基本概念,练习题

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第一章 基本概念 练习题

一、填空：

1、若A中有个m元素,B中有个n元素,则A×B中有 个元素.

2、设}2,1{A,}4,3{B.那么BA .

3、DBA到的映射叫做DBA到的一个

.

4、 若AAA到是的代数运算，则称是A的 ，也称A对是封闭的.

5、设是A的代数运算.若对任意Acba，，，有)()(cbacba，则称适合 .

6、A到A的映射叫做A的一个

.

7、建立实数集R到正实数集R的映射，:2xx，R的运算为数的加法，R的运算为数的乘法，该映射 （是或不是）R到正实数集R的一个同态映射．

8、建立正实数集R到实数集R的映射，:lnxx，R的运算为数的乘法，R的运算为数的加法，该映射________（是或不是）R到R的一个同态映射．

9、若存在映射是A到A的一个 时，则对于，来说，称A与A同态．

10、集合上满足反身性、对称性和 的一个关系叫做等价关系．

二、判断题

1、A={所有不等于零的实数}，是普通除法,则这个代数运算不适合结合律．( )

2、A={所有实数}，定义代数运算：2abab，则这个代数运算不适合结合律．( )

3、设,ZA“”是整的减法，则“”在Z中不满足结合律． ( )

4、设,ZA“”规定如下：3abb，则该代数运算不满足结合律． ( )

5、设,ZA“”规定如下：2abb，则该代数运算不满足结合律． ( )

6、一个有限集与它的真子集之间不可能有一一映射。 ( )

7、当A与A是无限集时，它们之间可能存在一一映射。 ( )

8、设，分别是集合AA,的代数运算，AA:是一个映射。若Aba,，有 )()()(baba，则称是A到A的一个同构映射。 ( )

9、实数域R上全体n阶可逆方阵组成的集合为nMR，建立映射：:AA。可知该映射是关于矩阵乘法和数的乘法的nMR到R的同态映射，但非满射。 ( ) 10、设对于代数运算，来说，A与A同态，若适合结合律，则未必也适合结合律（ ）

11、 设对于代数运算，来说，A与A同态，若适合交换律，则也适合交换律（ ）

12、A={所有实数}，A的元素间的关系不是等价关系 ( )

13、集合A的一个分类决定A的一个等价关系，但A的一个等价关系未必决定A的一个分类（ ）

14、设是集合A的一个等价关系，则元素a所在的等价类为[]{}axAxa（ ）

三、选择题

1、A{所有整数},令:AA，2aa,当a是偶数;12aa,当a是奇数.则为 ( )

(A) 单变换 (B) 满变换 (C) 一一变换 (D) 不是变换

2、设A＝B＝R(实数集)，如果A到B的映射：：2xx，x∈R，则是从A到B的（ ）

(A)满射而非单射 (B)单射而非满射 (C)一一映射 (D)既非单射也非满射

3、设A=R（实数集）， B=R+（正实数集）,:10aa，a∈A，则是从A到B的( )。

(A)满射而非单射 (B)单射而非满射 (C)一一映射 (D)既非单射也非满射

4、下列是代数运算（即二元运算）的是（ ）

(A)在整数集Z上，abbaba； (B)在有理数集Q上，abab；

(C)在正实数集R上，babaln； (D)在集合0nZn上，baba。

5、设A{所有实数},A的代数运算是普通乘法,则以下映射做成A到A的子集的同态满射的是 ( )

(A) xx10 (B) xx2 (C) xx (D) xx (E)10xx

四、解答题

1、设A是数域K上n阶矩阵全体构成的集合。证明矩阵的相似是A上的一个等价关系。

2、 设～是整数集Z上的模7同余关系，试证明～是Z上的等价关系，并求所有等价类。

3、（1）设1{}01xMxR，其代数运算为矩阵乘法，R为实数集，其代数运算为数的加法，证明

MR。

（2）设{1}AaQa，其代数运算为数的乘法，{01}BbQb，其代数运算为数的乘法，证明AB。

4、设是集合A的一个等价关系，,abA，证明：[][]ab当且仅当ab。

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近世代数复习(1)

近世代数复习(1)

第一章 基本概念

1.1 集合

1.集合：由一些事物所组成的一个整体.通常用大写拉丁字母,,,ABCLL表示.

2.组成一个集合的各个事物称为这个集合的元素，通常用小写拉丁字母,,,abcLL表示.常见符号：;,.aAaAaA

3.子集：若,aAaB则称A是B的子集，B是A的扩集，或A包含于B，

B包含A，记作,ABBA.当A不是B的子集时，记作“AB”.

4.真子集：若AB，且bB，而bA，则称A是B的真子集，记作AB.

5.幂集：由给定集合A的全体子集所组成的集合称为A的幂集，记作()2APA.

6.设,AB是全集U的两个子集.

|ABxxAxB或

|ABxxAxB且

A的余：=|AxxUxA，

B在A中的余：\||.ABxxAxBxxAxBAB且 且

例. 设

},,,,,{},,,,{},,,,,,,,{gfedaNhecaMhgfedcbaU

求,\,.MNMNMN

解：,,,,,,;\,;,,,,,,;.MNacdefghMNchMbdfgNbchMNb

1.2 映射

1.映射：设,AB是两个给定的非空集合，若有一个对应法则f，使aA，通过f，!bB与其对应，则称f是A到B的一个映射，记作

:fAB或fAB A称为f的定义域，B称为f的陪域.b称为a在f下的像，a称为b在f下的

原像，记作

()bfa或:.faba

2.映射相等：设f是1A到1B的映射，g是2A到2B的映射，若1122,,ABAB且1xA，都有()()fxgx，则称f与g相等，记作fg.

3.设,,ABC是三个集合，f是A到B的映射，g是B到C的映射，规定

:(()),,hxgfxxAa

则h是A到C的映射，称为f与g的合成（或乘积），记作hgfo，即

《数与代数》综合习题1

《数与代数》综合习题1

1 / 2

《数与代数》综合习题

1. 填空。

（1）5×既表示（ ），也可以表示（ ）。把平均分成2份，求每份是多少？列式是（ ）。

（2）的倒数是（ ），（ ）和0.125互为倒数。

（3）90的等于40的（ ）。

（4）3÷（ ）＝×（ ）＝5：（ ）＝1.25

（5）张文将10g糖放在90g水中，溶解后，又喝了这杯糖水的，她喝掉了（ ）g糖水。

（6）六一班有男生26人，女生24人，女生人数与全班人数的比是（ ）：（ ），比值是（ ）。

（7）一个三角形三个内角的比是1:2:3，这是一个（ ）三角形，最小的角是（ ）度。

2. 仔细推敲，我会辨析。（对的画“√”，错的画“×”）

（1）a除以b（0除外），等于a乘b的倒数。（ ）

（2）比的前项和后项都同时加上或减去同一个数，比值不变。（ ）

（3）已知a、b都是整数，a×＝b÷，则b＞a。（ ）

（4）一根2m长的绳子，截去后，再接上余下的，这时绳子仍是2m。（ ）

（5）等腰直角三角形的顶角与一个底角的度数比是2:1。（ ）

3. 反复比较，认真选择。（将正确答案的字母填在括号里）

（1）下面算式中商小于被除数的是（ ）。

A. ÷ B. ÷1 C. 2÷

（3）甲乙两根毛线同样长，如果甲剪掉，乙剪掉m后，两根毛线比较，（ ）

A. 甲根长 B. 乙根长 C. 一样长 D. 无法确定

（4）有5吨煤，烧了后，又烧了吨，还剩下的量是（ ）。

A. 2.6吨 B. 2.76吨 C. 4.2吨

4. 计算。

（1）口算下列各题。

近世代数__第二版课后习题答案

近世代数__第二版课后习题答案

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近世代数题解

第一章 基本概念

§1. 1

1.

4.

5. 近世代数__第二版课后习题答案

近世代数题解 §1. 2

2.

3.

近世代数题解 §1. 3

1. 解 1)与3)是代数运算，2)不是代数运算．

2. 解 这实际上就是Mxxn个元素可重复的全排列数nn．

3. 解 例如AB＝E与AB＝AB—A—B．

4.

5.

近世代数__第二版课后习题答案

近世代数题解 §1. 4

1.

2.

3.解 1）略 2）例如规定

4．

5．略

近世代数题解 §1. 5

1. 解 1)是自同态映射，但非满射和单射；2)是双射，但不是自同构映射3)是自同态映射，但非满射和单射．4)是双射，但非自同构映射．

2.略

3. 近世代数__第二版课后习题答案

4.

5.

§1. 6

1.

2. 解 1)不是．因为不满足对称性；2)不是．因为不满足传递性；

3)是等价关系；4)是等价关系．

3. 解 3)每个元素是一个类，4)整个实数集作成一个类．

4. 近世代数__第二版课后习题答案

则易知此关系不满足反身性，但是却满足对称性和传递性(若把Q换成实数域的任一子域均可；实际上这个例子只有数0和0符合关系，此外任何二有理数都不符合关系)．

5.

6.证 1）略2）

7.

近世代数__第二版课后习题答案

8.

9.

近世代数__第二版课后习题答案

10.

11. 近世代数__第二版课后习题答案

12. 近世代数__第二版课后习题答案

第二章 群

§2. 1 群的定义和初步性质

一、主要内容

1．群和半群的定义和例子特别是一船线性群、n次单位根群和四元数群等例子．

2．群的初步性质

1)群中左单位元也是右单位元且惟一；

2)群中每个元素的左逆元也是右逆元且惟一：

3)半群G是群方程a x=b与y a=b在G中有解(a ,b∈G)．

近世代数作业

近世代数作业

近世代数作业

练习题

第一次作业

1、设A={x| x R, |x|5},B={x|x R, -6x<0}.求AB，AB，AB，BA。

2、设A，B是U的子集，规定A+B=(AB)(BA)。证明：

(1) A+B=B+A

(2) A+=A

(3) A+A=。

3、求下列集合的所有子集：

(1) A={a, b, }

(2) B={}

(3) C={1}

4、设f：AB和g：BC是映射，证明：

(1) 如果f和g是单射，则gf是单射

(2) 如果f和g是满射，则gf是满射

(3) 如果gf是单射，则f是单射

(4) 如果gf是满射，则g是满射.

5、对于下面给出的整数集Z到整数集Z的映射f, g ,h:

f: x3x

g: x3x+1

h: x3x+2

(1) 计算fg, gf, gh, hg, fgh

(2) 分别求f, g, h的一个左逆映射

(3) 求f, g, h的一个共同的左逆映射

(4) 求f, g的一个共同的左逆映射，但不是h的左逆映射。

6、设R是实数集合，在RR上规定二元关系“~”为：

（a, b）~ (c, d)a+d=b+c

证明“~”是R上的一个等价关系。

7、设A={a, b, c, d, e}, S={{a},{b},{c, d, e}},求A上的一个等价关系R，使A 在R下的分类恰为S。

8、设A={1，2，3，4}，在幂集中规定二元关系“~”：

S~TS与T所含元素个数相同

证明“~”是上的一个等价关系，并写出商集/~。

第二次作业

1、设G={(a, b)| a, b R, a0}, 规定G中元素运算：

(a, b)(c, d)=(ac, bc+d)

证明：G是一个群，但不是交换群。

2、设G={a, b, c},G的乘法表如下：

a b c

a a

b c

b a b c

c a b c

证明：（G，）是一个半群。

3、设G是群，证明：

(1) 如果G的每一个元素a的逆元还是a本身，则G是交换群，举例说明反之