近世代数的基础知识

近世代数的基础知识初等代数、高等代数和线性代数都称为经典代数（Classical algebra），它的研究对象主要是代数方程和线性方程组）。近世代数（modern algebra）又称为抽象代数（abstract algebra），它的研究对象是代数系，所谓代数系，是由一个集合和定义在这个集合中的一种或若干种运算所构成的一个系统。近世代数主要包括：群论、环论和域论等几个方面的理论，其中群论是基础。下面，我们首先简要回顾一下集合、映射和整数等方面的基础知识，然后介绍本文需要用到的近世代数的相关知识。

3．1 集合、映射、二元运算和整数

3．1．1 集合

集合是指一些对象的总体，这些对象称为集合的元或元素。“元素a是集合A的元”记作“Ax”，反之，“Aa”表示“x不是集合A的元”。

设有两个集合A和B，若对A中的任意一个元素a（记作Aa）均有Ba，则称A是B的子集，记作BA。若BA且AB，即A和B有完全相同的元素，则称它们相等，记作BA。若BA，但BA，则称A 是B的真子集，或称B真包含A，记作BA。

不含任何元素的集合叫空集，空集是任何一个集合的子集。

集合的表示方法通常有两种：一种是直接列出所有的元素，另一种是规定元素所具有的性质。例如：

cbaA,,；

)(xpxS，其中)(xp表示元素x具有的性质。

本文中常用的集合及记号有：

整数集合,3,2,1,0Z；

非零整数集合,3,2,10\ZZ；

正整数（自然数）集合,3,2,1Z；

有理数集合Q，实数集合R，复数集合C等。

一个集合A的元素个数用A表示。当A中有有限个元素时，称为有限集，否则称为无限集。用A表示A是无限集，A表示A是有限集。 3．1．2 映射

映射是函数概念的推广，它描述了两个集合的元素之间的关系。

定义1 设A，B为两个非空集合，若存在一个A到B的对应关系f，使得对A中的每一个元素x，都有B中唯一确定的一个元素y与之对应，则称f是A到B的一个映射，记作y=f(x)。

y称为x的像，x称为y的原像，A称为f的定义域，B称为f 的定值域。

定义2 设f是A到B的一个映射

(1) 若Axx21,和21xx均有)()(21xfxf，则称f是一个单射。

(2) 若By均有Ax使yxf)(，则称f是满射。

(3) 若f既是单射又是满射，则称f是双射。

3．1．3 二元运算

3．1．3．1 集合的笛卡儿积

由两个集合可以用如下方法构造一个新的集合。

定义3 设A，B是两个非空集合，由A的一个元素a和B的一个元素b可构成一个有序的元素对（a,b），所有这样的元素对构成的集合，称为A与B的笛卡儿积，记作BA，即BbAabaBA,),(。用笛卡儿积还可定义一个集合中的运算。

定义4 设S是一个非空集合，若有一个对应规则f，对S中每一对元素a和b都规定了一个唯一的元素Sc与之对应，即f是SSS的一个映射，则此对应规则就称为S中的一个二元运算，并表示为cba，其中“”表示运算符，若运算“”是通常的加法或乘法，ba就分别记作ba或ab。

由定义可见，一个二元运算必须满足：

(1) 封闭性：Sba；

(2) 唯一性：ba是唯一确定的。

定义5 设S是一个非空集合，若在S中定义了一种运算（或若干种运算+，，等），则称S是一个代数系统，记作（S，）或（S，+，）等。

3．1．3．2 二元关系

我们经常需要研究两个集合元素之间的关系或者一个集合内元素间的关系。

定义6 设A，B是两个集合，若规定一种规则R：使对Aa和对Bb均可确定a和b是否适合这个规则，若适合这个规则，就说a和b有二元关系R，记作aRb，否则就说a和b没有二元关系R，记作bRa。

3．1．2．3 等价关系和等价类

等价关系是集合中一类重要的二元关系。

定义7 设～是集合A上的一个二元关系，满足以下条件：

(1) 对Aa，有a～a； （反身性）

(2) 对Aba,，有a～bb～a ； （对称性）

(3) 对Acba,,，有a～b和b～ca～c 。 （传递性）

则称～为A中的一个等价关系。子集axAxxa~,即所有与a等价的元素的集合，称为a所在的一个等价类，a称为这个等价类的代表元。

例如：设n是一取定的正整数，在整数集合Z中定义一个二元关系)(modn如下：

)()(modbannba，

这个二元关系称为模n的同余（关系），a与b模n同余指a和b分别用n来除所得的余数相同。

同余关系是一个等价关系，每一个等价类记作)(mod,naxZxxa称为一个同余类或剩余类。

3．1．4 整数

在近世代数中整数是最基本的代数系。这里仅重述有关整数的基本性质和常用概念。

3．1．4．1 整数的运算

整数的运算包括加、减、乘、除、开方、乘方、取对数等，这些运算及其性质这里不再赘述。在整数运算中有以下两个基本的定理：

带余除法定理 设Zba,，0b，则存在唯一的整数q，r满足：

brrqba0,。

当0r时，称a能被b整除，或b整除a，记作ab；当0r时，称a不能被b整除。

只能被1和它本身整除的正整数称为素数；除1和本身外，还能被其它整数整除的正整数称为合数。

算术基本定理 每一个不等于1的正整数a可以分解为素数的幂之积： sspppa2121，

其中sppp,,,21为互不相同的素数，),2,1(,siZi。除因子的次序外分解式是唯一的。此分解式称为整数的标准分解式。

3．1．4．2 最大公因子和最小公倍数

设Zba,，不全为0，它们的正最大公因子记作),(ba，正最小公倍数记作ba,。

设Zba,，由算术基本定理可将它们表示为：

sxsxxpppa2121，

sysyypppb2121，

其中sppp,,,21为互不相同的素数，ix，),,2,1(siyi为非负整数，某些可以等于0。令：

),,2,1(,minsiyxiii，

),,2,1(,maxsiyxiii，

则

sspppba2121),(，

sspppba2121,，

且有

babaab,),(。

最大公因子还有以下重要性质：

最大公因子定理 设Zba,，ba,不全为0，),(bad，则存在Zqp,使

dqbpa。

3．1．4．3 互素

若Zba,，满足1),(ba，则称a与b互素。关于整数间的互素关系有以下性质：

(1)Zqpba,1),(，使1qbpa。

(2)bca且caba1),(。 (3)设Zba,，p为素数，则有：apabp或bp。

(4)1),(ba，1),(1),(bcaca。

(5)ca，cb且cabba1),(。

(6) 欧拉函数：设n为正整数，)(n为小于n并与n互素的正整数的个数，

小于n并与n互素的正整数的集合记为：)(2,,,1nnrrP。

若n的标准分解式为：

sspppn2121，

则

)11()11)(11()(21spppnn。

3．2 群

近世代数的研究对象是代数系，最简单的代数系是在一个集合中只定义一种运算，群是由一个集合和一个二元运算构成的代数系，它在近世代数中是最基本的一个代数系。

3．2．1 群的基本概念

定义1 设G是一个非空集合，若在G上定义一个二元运算满足：

(1)结合律：对Gcba,,，有)()(cbacba。则称G是一个半群，记作),(G。若),(G还满足：

(2)存在单位元e使对Ga，有aeaae；

(3)对Ga有逆元1a，使eaaaa11，则称),(G是一个群。

当二元运算“”为通常的加法时，),(G称为加法群或加群；当二元运算“”为通常的乘法时，),(G称为乘法群或乘群。

定义中条件(2)可改为：有一个左单位元Le（或右单位元Re），使aaeL（或aeaR），对Ga成立。因为由此可推出RRLLeeee。

定义中条件(3)可改为：对Ga，有一个左逆元1La（或右逆元1Ra），使eaaL1（或eaaR1）成立。因为由此可推出11111111)()(RRRLRLLLaaeaaaaaaeaa。

定理1 半群),(G是群的充要条件是：对Gba,，方程bax和bya在G中均有解。

定理2 半群),(G是群的充要条件是左、右消去律都成立：

yxayaxa,0，

yxyaxaa,0。

如果半群中含有单位元，则称为含幺半群。如果群),(G适合交换律：

对Gba,，有abba，则称G为可换群或阿贝尔(Abel)群。

通常把群的定义概括为四点：封闭性、结合律、单位元和逆元。

如果一个群G是个有限集，则称G是有限群，否则称为无限群。G的元素个数G称为群的阶。

元素的倍数和幂定义为：

anaaana个，

annaaaa个，

n为正整数，并规定ea0。且有：

nabnbabna)()(，mnmnaaa，nmmnaa)(，当baab时有nnnbaab)(。

满足aa2的元素称为幂等元，满足Znan,0的元素称为幂零元。

例1：1,,2,1,0nZn是整数模n的同余类集合，在nZ中定义加法（称为模n的加法）为baba。

由于同余类的代表元有不同的选择，我们必须验证以上定义的运算结果与代表元的选择无关。设21aa，21bb，则有)(21aan，22112211212121)()()()()(babababanbbaanbbn