数值分析第五版第二章_插值法

第2章

复习与思考题

1、什么是拉格朗日插值基函数？他们是如何构造的？有何重要性质

答：形如

01()n

i

n

iiiikxx

lx

xx的基函数称为n节点的拉格朗日插值基函数。

主要性质有

1）,0,

()

1,nkkik

lx

ik

2）()1

nlx

2、什么是牛顿基函数？它与单项式基2{1,x,x,...,x}n有何不同

答：牛顿差值基函数为00101{1,(xx),(xx)(xx),...,(xx)(xx)...(xx)}

n

牛顿差值基函数中带有常数项01,,...

nxxx，这有单项式基不同。

3、什么是函数的n阶均差？它有何重要性质

答：形如01n2n01n2n-1

01n

1[,,...,,][,,...,,]

[,,...]

nnfxxxxfxxxx

fxxx

xx

称为()fx的k阶均差

具有以下的基本性质

1）均差与节点的排列次序无关，即均差具有对称性（拉格朗日插值函数的应用）

K阶均差可以表示为函数值0()fx，1()fx，…n()fx的线性组合，即

kj

01kj0j0jj-1jj+1j()

[,,...]

-

kfx

fxxx

xxxxxxxx（）...()()...()

2）由性质1和k阶均差的性质

0101k-1

01

0[,,...,][,,...,]

[,,...]k

k

kfxxxfxxx

fxxx

xx（分子前项多xk）

3）若(x)f在[a,b]上存在n阶导数，且节点01n2n,,...,,[a,b]xxxx，则n阶均差与导数的

关系为

1

01()

[,,...]

!n

nf

fxxx

n 4、写出n+1个点的拉格朗日插值多项式和牛顿插值多项式，他们有何异同

答：

n+1个点的拉格朗日插值多项式

000()()nnni

nkkk

kkiikikxx

Lxylxy

xx，(j1,2,....,n)

n+1个点的牛顿插值多项式

01[,,...,]

kkafxxx,(k1,2,....,n)

两者的主要差异是未知数不一致。

拉格朗日插值多项式是系数知道，但基函数不知道。

第一章　绪论（１２）１、设ｘ＞０，ｘ的相对误差为８６，求Ｉｎｘ的误差。［解］设ｘ＇＞０为ｘ的近似值，则有相对误差为ｃ（ｘ）＝６，绝对误差为Ｅ＇（ｘ）＝ａ２，从而Ｉｎｘ的误差为ｅ（ｎｘ）＝（Ｉｎｘｅ（ｘ＇）＝—à＇＝６

相对误差为ｅ；（（ｎ）＝二

２、设ｘ的相对误差为２求ｘ＂的相对误差。［解］设ｘ＇为ｘ的近似值，则有相对误差为ｃ，（ｘ）＝２绝对误差为ｅ＇（ｘ）＝２，

从而ｘ的误差为ｇ＇（ｈｘ）＝（ｘｒ）１ｅｔｘ）＝ｐ（ｘ））＂２？ｎ？，

误差为ｃ（（ｎｘ）＝Ｃｎ２＝（ｘ）ｙ３、下列各数都是经过四含五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：ｘ＝１．１０２１，ｘ２＝０．０３１，ｘ＝３８５．６，ｘ属＝５６．４３０，ｘ＇＝７×１．０，

［解】ｘ＝１．１０２１有５位有效数字；ｘ２＝０．００３１有２位有效数字：ｘ，＝３８５．６有４

位有效数字；ｘ＝５６．４３０有５位有效数字；ｘ＝７×１０有２位有效数字。

４、利用公式（３．３）求下列各近似值的误差限，其中ｘ，ｘ；，ｘ，ｘ；均为第３题所给的数。（１）ｘ＋ｘ２＋ｘ：

Ｅ（ｘ）＝Ｅ（ｘ）＋Ｅ（ｘ）＋Ｅ（ｘ；）ｅ（ｘ＋ｘ写＋ｘ）＝＞［解］３＋ｔｘ１０＝１．０５×１０３

（２）ｘｘｘ；

ｓ（ｘ）＝（ｘ３ｘ高）ｅ（ｘｉ）＋（ｘｘ）ｅ（ｘ３）＋（（ｘ１京）ｅ（ｘ）ｅ（ｘ；ｘｘ；）＝

［解］＝（０．０３１×３８５．６）—×６）５ｘ１０＇＋（１．１０２１×３８５．６｝ｘ１０３＋（１．１０２１×０．０３１）３ｘ１０→：＝０．５９７６８×１０３＋２１２．４８４８８×１０３＋０．０１７０８２５５ｘ１０３＝２１３．０９９６４２５５×１０３＝０．２１３０９９６４２５５

（３）ｘ，／ｘ；。

５６．４６１［解］＝－５６．４３０￣（５６．４３０３＇（５６．４３０）＂：５６．４６）ｘ１０＂＝０．８６５４ｘ１０３（５６．４３０）＇５、计算球体积要使相对误差限为１问度量半径Ｒ允许的相对误差是多少？＝ｒ（Ｒ））—可知，［解］由１？，（（二ｒ（Ｒ））＝－

第一章 绪论

1设x 0,x的相对误差为 ，求In x的误差

进而有(In x*)

2.设x的相对误差为2%，求xn的相对误差。

xf '(x)

解：设f(x) xn，则函数的条件数为 Cp | |

f(x)

n 1 x nxn 1

又Q f '(x) nx , Cp | | n

n

又Q r((x*) n) Cp r(x*)

且 er (x*)为 2

r((x*)n) 0.02 n

3•下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指

出它们是几位有效数字： x； 1.1021,x2 0.031 , x3 385.6, x4 56.430,x； 7 1.0.

解：x* 1.1021是五位有效数字；

x2 0.031是二位有效数字；

X3 385.6是四位有效数字；

x4 56.430是五位有效数字；

x； 7 1.0.是二位有效数字。

4.利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限： ⑴X； X； X；,(2) x；x；x；,(3) X；/X4.

其中x；,x2,x3,x4均为第3题所给的数。

解: 解：近似值x*的相对误差为 e* x* x

x* x*

而In x的误差为e In x* In x* Inx 1

x* e*

* 1 4

(X1) 2 10

* 1 ,亠3 (X2) 2 10

* 1 1

(X3) 2 10

* 1 ,亠3 (X4) 2 10

* 1 1

(X5) 10 2

(2) (x；x；x；)

* * * X1X2 (X3)

0.215

⑶(X；/X；)

* I * * * X2I (X4) X4 (X2)

n

&

4 3

解：球体体积为V - R 3

则何种函数的条件数为

CP

r(V*) Cpg r(R*) 3 r(R*) (1) (X1

* (X1)

1 10

2

1.05 10 X2 X4)

*

(X2)

4 1

2

3 10 (X4)

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1、设0x，x的相对误差为，求xln的误差。

[解]设0*x为x的近似值，则有相对误差为)(*xr，绝对误差为**)(xx，从而xln的误差为*****1)()(ln)(lnxxxxx，

相对误差为****lnln)(ln)(lnxxxxr。

2、设x的相对误差为2%，求nx的相对误差。

[解]设*x为x的近似值，则有相对误差为%2)(*xr，绝对误差为**%2)(xx，从而nx的误差为nnxxnxnxxnxxx**1***%2%2)()()()(ln*，

相对误差为%2)()(ln)(ln***nxxxnr。

3、下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：

1021.1*1x，031.0*2x，6.385*3x，430.56*4x，0.17*5x。

[解]1021.1*1x有5位有效数字；0031.0*2x有2位有效数字；6.385*3x有4位有效数字；430.56*4x有5位有效数字；0.17*5x有2位有效数字。

4、利用公式（3.3）求下列各近似值的误差限，其中*4*3*2*1,,,xxxx均为第3题所给的数。

（1）*4*2*1xxx；

[解]3334*4*2*11***4*2*1*1005.1102110211021)()()()()(xxxxxfxxxenkkk；

（2）*3*2*1xxx； word精品文档，可编辑，欢迎下载 [解]52130996425.01009964255.2131001708255.01048488.2121059768.01021)031.01021.1(1021)6.3851021.1(1021)6.385031.0()()()()()()()()(3333334*3*2*1*2*3*1*1*3*21***3*2*1*xxxxxxxxxxxfxxxenkkk；