高中不等式的常用证明方法归纳总结

不等式证明的基本方法
1.数学归纳法：归纳法是数学证明中最常用的方法之一，通常用来证
明自然数的性质。

对于不等式证明来说，如果我们希望证明不等式对于所
有自然数都成立，可以使用数学归纳法。

首先证明当自然数为1时不等式
成立，然后假设当自然数为k时不等式成立，再证明当自然数为k+1时不
等式也成立。

通过这种逐步推导的方法，可以证明不等式对于所有自然数
都成立。

2.数学推理法：数学推理法是一种基于数学定理和公理的推理方法，
通过逻辑推理来证明不等式的成立。

这种方法通常需要使用一些已知的数
学定理和性质来推导出不等式。

例如，可以使用数学的四则运算定律、平
方差公式、三角不等式等来推导不等式。

3.数学变换法：数学变换法是一种将不等式进行变换的方法，通过变
换不等式的形式来证明不等式的成立。

这种方法通常需要使用一些数学中
常见的变换方法，例如平方去根、换元法、倍加倍减等。

通过适当的变换，可以将不等式转化为更简单的形式，从而更容易证明。

无论采用哪种方法，不等式的证明都需要逻辑严谨、推理正确，以及
对数学定理和性质的熟练应用。

在实际证明中，常常需要综合运用多种方
法来解决问题，使得证明更加简洁和明了。

此外，证明中的每一步变换和
推理都需要严格地说明和证明，避免出现漏洞和错误。

高中数学：不等式题目的七种证明方法压轴题目一般是开放型的题目，每年都是会变化。

但大概率题目是函数、数列、圆锥曲线、不等式等知识的综合问题。

我就来总结一下不等式的证明方法。

01比较法所谓比较法，就是通过两个实数a与b的差或商的符号（范围）确定a与b大小关系的方法，即通过来确定a,b大小关系的方法。

前者为作差法，后者为作商法。

但要注意作差法适用范围较广；作商法再用时注意符号问题，如果同为正的话是没有问题的，同为负的话记得改变不等式的符号。

02分析法和综合这两个方法我们一般会一起使用。

分析法是从求证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件，把证明这个不等式的问题转化为证明这些条件是否具备的问题。

如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以判定所证的不等式成立。

综合法是从已知或证明过的不等式出发，根据不等式的性质及公理推导出欲证的不等式。

我们来看一个例题，已知如果要用综合法或者分析法的话，对于过程上需要写明，即证，所以要证，也就是说，即等价于……一些转化的语句来过渡我们的题目。

当然这两个方法我们经常一起用，因为分析完条件，分析结论，两个一起分析做题速度更快一些呢。

03反证法从否定结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的。

这个方法其实是按照集合的补集理论来的，正难则反，但是要注意用反证法证明不等式时，必须将命题结论的反面的各种情形都要考虑到，不能少的。

反证法证明一个命题的思路及步骤：1）假定命题的结论不成立；2）进行推理，在推理中出现下列情况之一：与已知条件矛盾；与公理或定理矛盾;3）由于上述矛盾的出现，可以断言，原来的假定“结论不成立”是错误的;4）肯定原来命题的结论是正确的。

04放缩法在证明过程中,利用不等式的传递性,作适当的放大或缩小,证明有更好的不等式来代替原不等式。

放缩法的目的性强,必须恰到好处,。

同时在放缩时必须时刻注意放缩的跨度，放不能过头，缩不能不及，灵活性很大。

不等式证明的常用方法不等式是高中数学的重要内容，它几乎涉及整个高中数学的各个部分，因此，通过不等式这条纽带，可把中学数学的各部分内容有机地联系起来．而不等式的证明是高中数学的一个难点，加之题型广泛、方法灵活、涉及面广，常受各类考试命题者的青睐，亦成为历届高考中的热点问题．本节通过一些实例，归纳一下不等式证明的常用方法和技巧． 一、比较法证明不等式的比较法分为作差比较与作商比较两类，基本思想是把难于比较的式子变成其差再与0比较，或其商再与 l 比较．当欲证的不等式两端是乘积形式或幂指数形式时，常采用作商比较法．【例1】若,0,0>>b a 证明：2121212212)()(b a ab b a +≥+证法一 （作差比较） 左边－右边)()()(33b a abb a +-+=abb a ab b ab a b a )())((+-+-+=abb ab a b a )2)((+-+=0))((2≥-+=abb a b a∴原不等式成立证法二 （作商比较）右边左边ba ab b a ++=33)()()())((b a ab b ab a b a ++-+=abb ab a )(+-=12=-≥ababab∴原不等式成立．点评 用比较法证明不等式，一般要经历作差（或作商）、变形、判断三个步骤．变形的主要手段是通分、因式分解或配方；此外，在变形过程中，也可利用基本不等式放缩，如证法二．用作差比较法变形的结果都应是因式之积或完全平方式，这样有利于判断符号． 【例2】已知函数)(1)(2R x x x f ∈+=，证明：|||)()(|b a b f a f -≤- 证法一（作商比较）若||||b a =时，|||)()(|0b a b f a f -≤-=，当且仅当b a =时取等号． 若||||b a ≠时，∵0|)()(|>-b f a f ，0||>-b a∴=-+-+=--|||11||||)()(|22b a b a b a b f a f =-+-+b a b a 2211<+++--)11)((2222b a b a b a ≤++22b a ba 1即|||)()(|b a b f a f -≤-综上两种情况，得|||)()(|b a b f a f -≤-当且仅当b a =时取等号．证法二（作差比较）)2(])1)(1(22[|||11|2222222222b ab a b a b a b a b a +--++-++=--+-+0])()1()1[(2])1)(1()1[(22222≤-++-+=++-+=b a ab ab b a ab 当且仅当b a =时取等号．点评 作商比较通常在两正数之间进行．本题若直接作差，则表达式复杂很难变形．由于不等式两边均非负，所以先平方去掉绝对值符号后再作差．不论是作差比较还是作商比较，“变形整理”都是关键． 二、基本不等式法 常用的基本不等式① 若R b a ∈,，则ab b a 222≥+（当且仅当b a =时取等号）；② 若+∈R b a ,，则ab ba 22≥+（当且仅当b a =时取等号）； ③ 若b a ,同号，则2≥+baa b （当且仅当b a =时取等号）；④ 若R b a ∈,，则≥+222b a 2)2(b a +（当且仅当b a =时取等号）； ⑤ 若+∈R c b a ,,，则abc c b a 3333≥++（当且仅当c b a ==时取等号）；⑥ 若+∈R c b a ,,，则33abc cb a ≥++（当且仅当c b a ==时取等号）；⑦ 均值不等式nn n a a a na a a ⋅⋅≥+++ 2121（其中++∈∈N n R a a a n ,,,,21 ）及它的变式n nn n n a a na a a a ⋅⋅≥+++ 2121，na a a a a a nn n n n +++≤⋅⋅ 2121，nn n na a a a a a )(2121+++≤⋅⋅【 例 3 】 （ 2004 年湖南省高考题）设0,0>>b a ，则以下不等式中不恒成立的是（ ）A.4)11)((≥++b a b a B 2332ab b a ≥+ C.b a b a 22222+≥++ D.b a b a -≥-||解：∵4122)11)((=⋅≥++abab b a b a ∴A 恒成立∵b a b a b a 221122222+≥+++=++ ∴C 恒成立 当b a ≤时，b a b a -≥-||，显然D 成立；当b a >时，b a b a -≥-||⇔a b b a ≥+-||⇔⇔≥+-+-a b b b a b a )(2)(0)(2≥-b b a 也恒成立∴D 恒成立。

不等式的性质与证明方法总结在数学中，不等式是一种非常重要的数学工具，用于描述数值之间的大小关系。

不等式可以帮助我们解决各种实际问题，同时也是数学推理和证明的基础。

本文将总结一些常见的不等式性质和证明方法，帮助读者更好地理解和应用不等式。

一、基本不等式性质1. 传递性：如果a < b，b < c，则有a < c。

这个性质是不等式推理的基础，可以用于简化证明过程。

2. 加法性：如果a < b，则a + c < b + c。

这个性质表示在不等式两边同时加上一个相同的数，不等式的大小关系不变。

3. 乘法性：如果a < b，c > 0，则ac < bc；如果a < b，c < 0，则ac > bc。

这个性质表示在不等式两边同时乘以一个正数或负数，不等式的大小关系会发生改变。

4. 对称性：如果a < b，则-b < -a。

这个性质表示如果不等式两边同时取相反数，不等式的大小关系会发生改变。

二、常见不等式1. 平均不等式：对于任意非负实数a1, a2, ..., an，有以下不等式成立：(a1 + a2 + ... + an) / n >= (a1 * a2 * ... * an)^(1/n)平均不等式可以用于证明其他不等式，如均值不等式、柯西不等式等。

2. 均值不等式：对于任意非负实数a1, a2, ..., an，有以下不等式成立：(a1 + a2 + ... + an) / n >= (a1^p + a2^p + ... + an^p)^(1/p)其中p为大于0的实数。

均值不等式可以用于证明其他不等式，如柯西不等式、夹逼定理等。

3. 柯西不等式：对于任意实数a1, a2, ..., an和b1, b2, ..., bn，有以下不等式成立：(a1b1 + a2b2 + ... + anbn)^2 <= (a1^2 + a2^2 + ... + an^2)(b1^2 + b2^2 + ... +bn^2)柯西不等式可以用于证明向量内积的性质，以及其他不等式的推导。

考点透视不等式证明问题比较常见，且具有较强的综合性，常与向量、集合、数列、函数等知识相结合.求解此类问题的方法很多，掌握一些常用的证明方法，有助于拓展解题的思路，提升解题的效率.本文主要谈一谈证明不等式的三种常用方法：比较法、换元法、放缩法.一、比较法比较法是证明不等式的常用方法，包括作差比较法和作商比较法.运用比较法证明不等式的步骤为：①根据不等式的结构特点，将不等式左右两边的式子作差或作商；②将差式或商式进行因式分解或配方；③将所得差值与0比较，所得的商式与1比较.比较法的适用范围广，适用于解答大多数不等式证明问题.例1.若集合M ={}|x -1<x <1，试证明：当a ，b ∈M 时，||a +b <||1+ab .证明：由题意可知，将不等式两边的式子平方后相减可得：()a +b 2-()1+ab 2=a 2+2ab +b 2-()1+2ab +a 2b 2=()a 2-1()1-b 2，∵-1<a <1，-1<b <1，∴0≤a 2<1，0≤b 2<1，即a 2-1<0，1-b 2>0，∴()a 2-1()1-b 2<0，()a +b 2<()1+ab 2，∴当a ,b ∈M 时，不等式||a +b <||1+ab 成立.不等式两边的式子均为平方式，很难比较出它们的大小，于是将其两边平方并作差，再将其结果与0比较，即可证明不等式.为了便于比较出差式与0的大小，往往要将差式化简为几个因式的积或完全平方式的形式.例2.已知a >0，b >0，试证明：a b +b a≥a +b .证明:∵aba +b =ab a +b=()a +b ()a -ab +bab ()a+b =+1，当a >0，b >0+1≥-1=1(当a =b 时等号成立)，∵aba +b≥1，∴+≥a +b成立.要证明的不等式中含有根式，需运用作商比较法证明不等式.在化简商式时，需将商式化为最简形式，以便判断该式与1的大小关系，从而证明不等式成立.二、换元法换元法适用于证明变量的个数较多或结构复杂的不等式.运用换元法证明不等式，需先仔细观察已知条件和所要证明不等式的结构，找到条件与所证目标之间的联系；然后根据二者之间的联系，选择合适的式子或某一部分用新变量替换；再化简换元后的不等式，并根据基本不等式、函数单调性、导函数的性质证明不等式成立.例3.若x ∈()0,+∞，试证明：x +1x -≤2-3，证明:令x +=u，∴u=x ≥2,u 2=x +1x +2,∴只需证明u -u 2-1=1u +u 2-1≤2-3，∵u ≥2，函数y =1u +u 2-1单调递减，∴1u +u 2-1≤2-3，∴x 1≤2-3.仔细观察该不等式，可发现x +1x 与x +1x 之间存在一定的联系：æèçx +2=x +1x+2，于是令x =u ，将不等式转化为关于u 且不含有根式的不等式，运用基本不等式即可证明目标不等式成立.例4.若x ,y 满足xy =100，x ≥10，y ≥10，试证明：34≤lg ()y lg x ≤1.证明:设u =lg ()y lg x=lg x lg y ，∵xy =100，∴y =100x，∴u =lg x ()2-lg x ，陈刚34考点透视∵x≥10，y≥10，∴lg x≥12，lg100x≥12，即lg x≤32，可知lg x∈éëùû12，32，令lg x=t，∴u=-()t-12+1，t∈éëùû12，32，∵函数u()t在æèöø12,1上单调递增，在æèöø1，32上单调递减，∴当lg x=1，即x=10,y=10时，u=lg x lg y=1，该值为函数的最大值，当lg x=12或lg x=32时，x=10,y=1010或x=1010,y=10，∴u=lg x lg y=34，该值为函数的最小值，∵u()t∈éëùû34，1，∴34≤lg()y lg x≤1.根据已知条件和对数函数的运算性质将所证目标不等式进行化简、消元，便可将函数式转化为关于lg x的函数式，再令lg x=t，通过换元，将函数式转化为关于t的简单二次函数，根据二次函数的性质和对数函数的值域即可解题.三、放缩法放缩法是证明不等式的常用方法.运用放缩法证明不等式，需仔细观察所要证明的不等式的结构特点，根据切线的几何意义，通过添项或减项，借助基本不等式，利用函数的单调性等对不等式进行适当的放大或缩小.例5.已知a>12，x>1，试证明：ax2-a-ln x>1x-e1-x成立.证明:由题意可得a>1x-e1-x+ln xx2-1，则当x趋近于1时，1x-e1-x+ln xx2-1趋近12，当x趋近于+∞时，1x-e1-x+ln xx2-1趋近0，可知a>12>1x-e1-x+ln xx2-1，只需证明1x-e1-x+ln xx2-1<12在()1,+∞上恒成立，即证明12x2-12-ln x-1x+e1-x>0在()1,+∞上恒成立，设g()x=12x2-12-ln x-1x+e1-x，则g′()x=x-1x+1x2-e1-x=x-e1-x+1-xx2，令h()x=e1-x，x∈()1,+∞，则h′()x=-e1-x<0，函数h()x在()1,+∞上单调递减，则h()x<1，所以g′()x=x-e1-x+1-x x2>x-1+1-x x2=()x-1æèçöø÷1-1x2>0，故函数g()x在()1,+∞上单调递增，则g()x>g()1=0，因为1x-e1-x+ln xx2-1<12在()1,+∞上恒成立，所以当a>12，x>1时，ax2-a-ln x>1x-e1-x.该不等式中含有指数函数式、对数函数式，较为复杂，需先把参数分离，将问题转化为证明12x2-12-ln x-1x+e1-x>0在()1,+∞上恒成立，然后构造函数，利用函数的单调性求得最值，进而证明不等式成立.例6.已知a,b∈R，且a≠b，若a3-b3=a2-b2，求证：1<a+b<43.证明:由a3-b3=a2-b2可得()a-b()a2+ab+b2=()a-b()a+b，因为a≠b，所以a2+ab+b2=a+b，则()a+b2>a2+ab+b2=a+b，由a+b>0可得a+b>1，且ab<14()a+b2，则a+b=()a+b2-ab>()a+b2-æèöøa+b22，即a+b<43,故不等式1<a+b<43成立.将已知关系式进行变形，可发现a2+ab+b2=a+b与基本不等式a2+b2≥2ab之间有联系，于是两次利用基本不等式将代数进行放缩，从而证明结论.在运用基本不等式放缩不等式时，要注意三个前提条件：一正、二定、三相等，尤其要注意等号成立的条件.总之，证明不等式，需仔细观察不等式的结构特征，建立已知条件和所要求证不等式之间的联系，再通过作差、作商、换元、放缩等方式来进行合理的变形、化简.（作者单位：江苏省苏州市昆山经济技术开发区高级中学）35。

不等式证明基本方法一、数学归纳法数学归纳法是证明自然数性质的一种基本方法，对于与整数有关的不等式，我们也可以利用数学归纳法进行证明。

其基本思路是先证明当n=1时不等式成立，再假设当n=k时不等式成立，然后通过数学推理证明当n=k+1时不等式也成立。

二、反证法当我们尝试利用数学归纳法证明不等式时，有时可能会遇到困难，这时我们可以尝试使用反证法。

反证法的证明过程是：先假设不等式不成立，然后推导出与已知条件或已证明的定理矛盾的结论，从而证明原不等式的正确性。

三、插值法插值法也是一种常见的不等式证明方法。

其基本思路是在待证不等式的两边加入适当的不等式，并利用不等式的传递性和可加减性进行推导，最终得到待证不等式的真假结论。

四、绝对值法对于涉及绝对值的不等式，我们可以利用绝对值的性质进行证明。

例如，对于，a-b，>c这样的绝对值不等式，我们可以根据绝对值的定义将其拆分为两个不等式，再分别进行证明。

另外，利用绝对值不等式的性质，我们还可以进行变量替换等操作，将原不等式化简为更简单的形式进行证明。

五、特殊化方法特殊化方法是指将不等式中的一些变量或参数取特殊值，从而达到简化不等式的目的。

例如，对于含有幂函数的不等式，我们可以通过取特殊值使得幂函数变为常数或者线性函数，从而将原不等式化简为更简单的形式。

综上所述，不等式证明的基本方法包括数学归纳法、反证法、插值法、绝对值法和特殊化方法等。

在具体的证明过程中，我们需要根据待证不等式的特点选择合适的方法，并灵活运用各种数学工具和技巧，从而得到准确的证明结论。

不等式证明方法大全1.推导法：推导法是指通过逻辑推理从已知不等式得出要证明的不等式。

常用的推导法有数学归纳法、递推法、代入法等。

其中，数学归纳法是一种常见的证明不等式的方法，它基于以下两个基本原理：基准步和归纳假设。

（1）基准步：证明当一些特定的变量取一些特定的值时，不等式成立。

（2）归纳假设：假设当一些特定的变量取小于等于一些特定值时，不等式成立。

通过利用以上两个原则，可以通过递推关系不断推导得出要证明的不等式。

2.数学运算法：数学运算法是指通过对不等式进行各种数学运算来得到要证明的不等式。

常用的数学运算包括加法、减法、乘法、除法等。

在进行这些运算时，需要注意运算规则和要证明的不等式所满足的条件，避免运算过程中引入新的限制条件。

3.几何法：几何法是指通过将不等式转化为几何问题进行证明。

几何法常用于证明平面图形的不等式定理，如三角形的不等式定理、平行四边形的不等式定理等。

通过将要证明的不等式几何化，可以通过几何性质和定理进行证明。

4.广义的带参数的方法：广义的带参数的方法是指将要证明的不等式引入参数，通过参数的取值范围来证明不等式的成立。

这种方法常用于证明含有多个变量的复杂不等式，通过引入参数使得不等式简化或者更易处理。

5.分情况讨论法：分情况讨论法是指将要证明的不等式拆分为几个不同的情况进行讨论，分别证明每个情况下不等式的成立。

通过逐个讨论每种情况，可以得出要证明的不等式的证明。

6.反证法：反证法是指假设要证明的不等式不成立，通过推理推出与已知条件矛盾的结论，从而证明不等式的成立。

反证法常用于证明不等式的唯一性和存在性。

7.递推法：递推法是指通过依次推导出不等式的前一项和后一项之间的关系，逐步逼近要证明的不等式。

通过不断进行递推，可以逐步证明不等式的成立。

以上是一些常见的不等式证明方法，它们可以单独使用，也可以结合使用。

在进行不等式证明时，需要注意逻辑严谨、计算准确和推导合理，同时还需要根据具体的题目和要求选择合适的证明方法。

不等式证明的几种方法1.直接证明法直接证明法是最常用的证明方法之一、该方法是通过运用数学定义、公理和已知条件，直接推导出要证明的不等式。

例如，要证明a+b≥2√ab，我们可以通过平方两边的方式将不等式变形为(a-b)^2≥0的形式，再通过数学运算的方式得出结论。

2.反证法反证法是常用的证明方法之一，尤其适用于不等式证明。

该方法是先假设要证明的不等式为假，然后通过推导得出与已知条件矛盾的结论，从而证明所假设的不等式为真。

例如，要证明3√ab≥2(a+b)不成立，我们可以先假设不等式成立，然后通过运算推导出与已知条件不符的结果。

由此可知，不等式不成立。

3.数学归纳法数学归纳法适用于一类特殊的不等式，即对于其中一自然数n，当n=1时不等式成立，且当n=k时不等式成立，则当n=k+1时不等式也成立。

通过反证法证明。

例如，要证明n^2<2^n，首先当n=1时，不等式成立。

假设当n=k时，不等式也成立，即k^2<2^k成立。

我们需要证明当n=k+1时，不等式也成立，即(k+1)^2<2^(k+1)成立。

通过反证法推导出与已知条件矛盾的结果，即可证明不等式成立。

4.几何法几何法可以通过将不等式转化为几何问题来证明。

例如，要证明a^2+b^2≥2ab，可以将不等式转化为平面上两点的距离的问题。

通过建立几何模型，可以直观地看出不等式成立的原因。

例如，可以将两个正方形的面积进行比较，或者使用勾股定理来解决问题。

5.代数方法代数方法是通过将不等式转化为代数方程或函数的性质来证明。

例如，要证明3a^2+3b^2+2c^2≥4ab+4bc+4ca，可以通过将不等式整理为一个二次函数的形式，然后通过对函数进行研究来得出结论。

以上是几种常见的不等式证明方法，其中每种方法都有其独特的适用范围和优势。

在实际应用中，根据具体的题目和情况选择合适的证明方法可以更高效地解决问题。