基础模块第五章三角函数练习册

人教A 版高一数学必修第一册第五章《三角函数》单元练习题卷5（共22题）一、选择题（共10题）1. 设函数 f (x )={21−x ,x ≤11−log 2x,x >1，则满足 f (x )≤2 的 x 的取值范围是 ( )A ． [−1,2]B ． [0,2]C ． [1,+∞)D ． [0,+∞)2. 函数 y =√−x 2−3x+4的定义域为 ( )A ． (−4,−1)B ． (−4,1)C ． (−1,1)D ． (−1,1]3. 函数 f (x )={log 12x,x ≥1e x ,x <1的值域为 ( )A ． (e,+∞)B ． (−∞,e )C ． (−∞,−e )D ． (−e,+∞)4. 已知函数 f (x )={12√x 2+1,x ≥0−ln (1−x ),x <0，若函数 F (x )=f (x )−kx 有且只有两个零点，则 k 的取值范围为 ( ) A ． (0,1)B ． (0,12)C ． (12,1)D ． (1,+∞)5. 2019 年 1 月 3 日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就．实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通信联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日 L 2 点的轨道运行．L 2 点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为 M 1，月球质量为 M 2，地月距离为 R ，L 2 点到月球的距离为 r ，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r 满足方程：M 1(R+r )2+M 2r 2=(R +r )M 1R 3．设 α=rR ．由于 α 的值很小，因此在近似计算中3α3+3α4+α5(1+α)2≈3α3，则 r 的近似值为 ( ) A ． √M2M 1RB ． √M22M 1RC ． √3M2M 13RD ． √M23M 13R6. 已知函数 f (x )={∣log 3(2−x )∣,x <2−(x −3)2+2,x ≥2，g (x )=x +1x −1，则方程 f(g (x ))=a 的实根个数最多为 ( ) A ． 6 B ． 7 C ． 8 D ． 97. 函数 y =1+1x 的零点是 ( )A ． (−1,0)B ． −1C ． 1D ． 08. 已知定义在 R 上的函数 f (x ) 满足： ① f (2−x )+f (x )=0； ② f (x −2)−f (−x )=0；③在 [−1,1] 上表达式为 f (x )={cos πx2,x ∈[−1,0]1−x,x ∈(0,1]．则函数 f (x ) 与函数 g (x )=(12)∣x∣的图象在区间 [−3,3] 上的交点个数为 ( )A ． 5B ． 6C ． 7D ． 49. 已知函数 f (x )=log a (x 2+2x −3)，若 f (2)<0，则此函数的单调递增区间是 ( ) A ． (−∞,−3)∪(1,+∞) B ． (1,+∞) C ． (−∞,−1)D ． (−∞,−3)10. 汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗 1 升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是 ( )A ．消耗 1 升汽油，乙车最多可行驶 5 千米B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D．某城市机动车最高限速80千米/小时.相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油二、填空题（共6题）11.已知函数f(x)=x，x∈R，分别给出下面几个结论：1+∣x∣①等式f(−x)+f(x)=0在x∈R时恒成立；②函数f(x)的值域为(−1,1)；③若x1≠x2，则一定有f(x1)≠f(x2)；④函数g(x)=f(x)−x在R上有三个零点．其中正确结论的序号有．12.若函数y=log3x+1的反函数的定义域为(3,+∞)，则此函数的定义域为．13.已知函数g(x)的图象与函数f(x)=log2(3x−1)的图象关于直线y=x对称，则g(3)=．14.方程2x−x−1=0解的个数是个．15.若f(x)=ln(e3x+1)+ax是偶函数，则a=．16.某商贸公司售卖某种水果．经市场调研可知：在未来20天内，这种水果每箱的销售利润r（单t+10，且日销售位：元）与时间t（1≤t≤20，t∈N，单位：天）之间的函数关系式为r=14量y（单位：箱）与时间t之间的函数关系式为y=120−2t．①第4天的销售利润为元；②在未来的这20天中，公司决定每销售1箱该水果就捐赠m(m∈N∗)元给“精准扶贫”对象．为保证销售积极性，要求捐赠之后每天的利润随时间t的增大而增大，则m的最小值是．三、解答题（共6题）17.求下列各式中x的值：x=−3；(1) log13(2) log x49=4；(3) lg0.00001=x；(4) ln √e =−x ．18. 函数 f (x )=k ⋅a −x （k ，a 为常数，a >0 且 a ≠1）的图象经过点 A (0,1)，B (3,8)．(1) 求函数 f (x ) 的解析式．(2) 若函数 g (x )=f (x )+bf (x )−1 是奇函数，求 b 的值．(3) 在（2）的条件下判断函数 g (x ) 的单调性（不需证明）．19. 已知二次函数 f (x )=4kx 2−4kx +k +1．(1) 若 x 1，x 2 是 f (x ) 的两个不同零点，是否存在实数 k ，使 (2x 1+x 2)(x 1+2x 2)=114成立？若存在，求 k 的值；若不存在，请说明理由．(2) 设 k =−1，函数 g (x )={f (x )−8x −t,x <04x 2−8x −t,x ≥0存在 3 个零点．①求 t 的取值范围．②设 m ，n 分别是这 3 个零点中的最小值与最大值，求 n −m 的最大值．20. 某商场趁双 11 来临之际，搞促销活动，经研究发现，其产品的销售量 T 万件与促销费用 x 万元满足 T =x+13．已知该批产品的进货成本为 6(T +1T ) 万元（不含促销费用），产品的促销价格定为 (3+14T) 元/件．(1) 试求当促销费用为 5 万元时，该产品的利润；(2) 在该产品赢利的情况下，试将该产品的利润 y 万元表示为促销费用 x 万元的函数；并求当促销费用投入多少万元时，该产品的利润最大？21. 回答下列问题．(1) 当 x =√2+√2，y =2−√2 时，计算 (x 23−y −13)⋅(x 43+x 23y −13+y −23)； (2) 若 a =2，b >0，求 a 2b+a 12a 12b+(a 12−b −13)(a +a 12b−13+b −23) 的值．22. 某商场经营一批进价是每件 30 元的商品，在市场试销中发现，该商品销售单价 x （不低于进价，单位：元）与日销售量 y （单位：件）之间有如下关系：x4550y2712(1) 确定 x 与 y 的一个一次函数关系式 y =f (x )（注明函数定义域）．(2) 若日销售利润为 P 元，根据（1）中的关系式写出 P 关于 x 的函数关系式，并指出当销售单价为多少元时，才能获得最大的日销售利润？答案一、选择题（共10题） 1. 【答案】D【解析】当 x ≤1 时，由 f (x )≤2，得 21−x ≤2，即 1−x ≤1，解得 x ≥0， 所以 0≤x ≤1；当 x >1 时，由 f (x )≤2，得 1−log 2x ≤2，即 log 2x ≥−1，解得 x ≥12， 所以 x >1．综上所述，满足 f (x )≤2 的 x 的取值范围是 [0,+∞)． 【知识点】分段函数、对数函数及其性质、指数函数及其性质2. 【答案】C【解析】要使函数有意义，需使 {x +1>0,−x 2−3x +4>0,即 {x >−1,−4<x <1,所以 −1<x <1．【知识点】对数函数及其性质3. 【答案】B【解析】当 x ≥1 时，log 12x ≤0；当 x <1 时，0<e x <e ，所以函数 f (x ) 的值域为 (−∞,e )．【知识点】函数的值域的概念与求法4. 【答案】C【解析】由题意，x ≥0，f (x )=12√x 2+1 为双曲线 4y 2−x 2=1 在第一象限的部分，渐近线方程为 y =±12x ；当 k =1 时，由 y =−ln (1−x )，可得 yʹ=11−x=1 可得 x =0，即 y =−ln (1−x ) 在 x =0 处的切线方程为 y =x ， 此时函数 F (x )=f (x )−kx 有且只有 1 个零点，所以若函数 F (x )=f (x )−kx 有且只有两个零点，则 k 的取值范围为 (12,1)．【知识点】函数零点的概念与意义5. 【答案】D【解析】由α=rR，得r=αR，代入M1(R+r)2+M2r2=(R+r)M1R3，整理得3α3+3α4+α5(1+α)2=M2M1．又3α3+3α4+α5(1+α)2≈3α3，即3α3=M2M1，所以α=√M23M13，故r=αR≈√M23M13R．【知识点】函数模型的综合应用6. 【答案】C【解析】由题得函数g(x)=x+1x−1的值域为(−∞,−3]∪[1,+∞)，设g(x)=t(t∈(−∞,−3]∪[1,+∞))，作出函数f(x)的图象为：则方程转化为f(t)=a，当1≤a<2时，直线和图象交点个数最多，有四个交点，也就是t有四个实根．且一个t≤−1，有三个t>1．因为函数g(x)=x+1x−1在(0,1)，(−1,0)上单调递减，在(1,+∞)，(−∞,−1)上单调递增．所以g(x)=t，当t在[1,+∞)∪(−∞,−3]每取一个t值时，x都有两个值和它对应，因为t最多有4个根，所以x最多有8个解．【知识点】函数的零点分布7. 【答案】B【知识点】函数零点的概念与意义8. 【答案】A【解析】由f(2−x)+f(x)=0，得函数f(x)的图象关于点(1,0)对称，f(x−2)−f(−x)=0，得函数f(x)的图象关于直线x=−1对称，则函数 f (x ) 与函数 g (x )=(12)∣x∣的图象在区间 [−3,3] 上的图象如图所示： 则函数 f (x ) 与函数 g (x )=(12)∣x∣的图象在区间 [−3,3] 上的交点个数为 5．【知识点】函数的零点分布、函数的对称性9. 【答案】D【解析】因为 f (2)=log a (22+2×2−3)=log a 5<0=log a 1， 所以 0<a <1．由 x 2+2x −3>0 得 x <−3 或 x >1，即函数的定义域为 (−∞,−3)∪(1,+∞)． 函数 y =x 2+2x −3 的图象为开口向上，且以直线 x =−1 为对称轴的抛物线．又因为 0<a <1，所以函数 f (x )=log a (x 2+2x −3) 的单调递增区间为 (−∞,−3)． 【知识点】对数函数及其性质、函数的单调性10. 【答案】D【解析】对于A 选项：由题图可知，当乙车速度大于 40 km/h 时，乙车每消耗 1 升汽油，行驶里程都超过 5 km ,则A 错；对于B 选项：由题意可知，以相同速度行驶相同路程，燃油效率越高，耗油越少，故三辆车中甲车耗油最少，则B 错；对于C 选项：甲车以 80 千米/小时的速度行驶时，燃油效率为 10 km/L ,则行驶 1 小时，消耗了汽油 80×1÷10=8 (升),则C 错；对于D 选项：当行驶速度小于 80 km/h 时，在相同条件下，丙车的燃油效率高于乙车，则在该市用丙车比用乙车更省油，则D 对. 【知识点】函数模型的综合应用二、填空题（共6题） 11. 【答案】①②③【知识点】函数的零点分布、函数的值域的概念与求法、恒成立问题12. 【答案】 (9,+∞)【解析】函数 y =log 3x +1 的反函数的定义域为 (3,+∞)，也即这个函数的值域为 (3,+∞)，所以 log 3x +1>3，得 log 3x >2，所以 x >9．则此函数的定义域为 (9,+∞)．【知识点】反函数13. 【答案】2【知识点】对数函数及其性质、反函数14. 【答案】2【知识点】函数的零点分布15. 【答案】−32【解析】由f(x)=ln(e3x+1)+ax是偶函数，得f(−x)=f(x)，即ln(e−3x+1)−ax=ln(e3x+1)+ax，化简得ln1+e 3xe3x+e6x=2ax=lne2ax，所以1+e 3xe3x+e6x=e2ax，e−3x=e2ax，所以−3x=2ax恒成立，所以−3=2a，即a=−32．【知识点】函数的奇偶性16. 【答案】1232；5【知识点】函数模型的综合应用三、解答题（共6题）17. 【答案】(1) 27(2) √7(3) −5(4) −12【知识点】对数的概念与运算18. 【答案】(1) f(x)=2x．(2) b=1．(3) g(x)为单调递减函数．【知识点】函数的单调性、函数的奇偶性、指数函数及其性质、函数的解析式的概念与求法19. 【答案】(1) 若 x 1，x 2 是 f (x ) 的两个不同零点，则 x =x 1，x =x 2 是方程 4kx 2−4kx +k +1=0 的两个不同根， 则 k ≠0，Δ=(−4k )2−16k (k +1)=−16k >0． x 1+x 2=−−4k 4k=1，x 1⋅x 2=k+14k，若 (2x 1+x 2)⋅(x 1+2x 2)=2x 12+5x 1x 2+2x 22=2(x 1+x 2)2+x 1x 2=2+k+14k=114．则 k =12不符合 Δ>0．所以不存在 k ，使 (2x 1+x 2)(x 1+2x 2)=114．(2) ①当 k =−1 时，f (x )=−4x 2+4x ．则 g (x )={−4x 2−4x −t,x <04x 2−8x −t,x ≥0，存在 3 个零点，当 x <0 时，g (x )=−4x 2−4x −t =−4(x +12)2+1−t ，所以 x <0 时，g (x )max =1−t ．当 x ≥0 时，g (x )=4x 2−8x −t =4(x −1)2−4−t ． 所以当 x ≥0 时，g (x )min =−4−t ，且 g (0)=−t ，又 g (x ) 存在 3 个零点，则：{g (−12)=1−t >0,g (1)=−4−t <0,解得：−4<t <1． 所以 t 的取值范围是 (−4,1)．②由（i ）可知，g (x )={−4x 2−4x −t,x <04x 2−8x −t,x ≥0，因为 m ，n 分别是这三个零点中的最小值与最大值， 所以 m =4+√16−16t2×(−4)=1+√1−t −2，n =8√64+16t 2×4=2+√4+t2，所以 n −m =2+√4+t2−1+√1−t −2=3+√4+t+√1−t2，t ∈(−4,1)，设 a =√4+t +√1−t ，则 a 2=4+t +1−t +2√(4+t )(1−t )， 所以当 t =−32 时，a 2 取最大值，最大值为 5+2×√(52)2=10． 所以 n −m 的最大值为3+√102．【知识点】函数的最大（小）值、函数的零点分布20. 【答案】(1) 当 x =5 万元时，T =x+13=2 万件，则进货成本为：6(T +1T)=15 万元，产品的促销单价为：(3+14T)=10 元/件；所以该产品此时的利润为：T (3+14T)−x −6(T +1T )=0， 所以该产品的利润为 0 万元．(2) y =T (3+14T)−x −6(T +1T )=15−6(T +1T )， 若要赢利，则必有 y >0，解得 12<T <2，从而解得 12<x <5． 所以 y =13−2x −18x+1(12<x <5)．由 y =15−6(T +1T ) 知，利用基本不等式得：当且仅当 T =1 时，y 的最大值为 3 万元，此时 x =2 万元．答：当促销费用投入 2 万元时，该产品的利润最大．【知识点】函数模型的综合应用、均值不等式的实际应用问题21. 【答案】(1) 原式=x 2+x 43y−13+x 23y−23−x 43⋅y−13−x 23y−23−y −1=x 2−y −1．因为 x =√2+√2，y =2−√2， 所以 原式=2+√22−√2=2+√2−2+√22=1+√22． (2)原式=a 12(a 12b+1)a 12b+a 12+ab −13+a 12⋅b −23−ab −13−a 12b −23−b −1=a 12+b−1+a 12−b−1=2a 32.因为 a =2，所以 原式=2×232=4√2． 【知识点】幂的概念与运算22. 【答案】(1) 因为 f (x ) 是一次函数，设 f (x )=ax +b (a ≠0)， 由表格得方程组 {45a +b =27,50a +b =12,解得 {a =−3,b =162,所以y=f(x)=−3x+162．又y≥0，所以30≤x≤54，故所求函数关系式为y=−3x+162,x∈[30,54]．(2) 由题意得，P=(x−30)y=(x−30)(162−3x)=−3x2+252x−4860=−3(x−42)2+432,x∈[30,54].当x=42时，最大的日销售利润P=432，即当销售单价为42元时，获得最大的日销售利润．【知识点】建立函数表达式模型、函数模型的综合应用11。

第五章 三角函数单元测试卷一、单选题(每题只有一个选项为正确答案，每题5分，共40分） 1．已知角α的终边经过点(,3)P x -，且3tan 4α=-，则cos α=（ ） A ．35±B ．45±C ．45-D ．452．已知3cos 4x =，则cos2x =( ) A ．14-B ．14C ．18-D ．183．如果函数y ＝3cos （2x +φ）的图象关于点（43π，0）中心对称，那么|φ|的最小值为（ ） A ．6πB ．4π C ．3π D ．2π4．已知函数()sin 3f x x x =，则在下列区间使函数()f x 单调递减的是（ ）A ．3,24ππ⎛⎫⎪⎝⎭B ．0,4π⎛⎫⎪⎝⎭C ．5,4ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．,24ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭5．若,αβ为锐角，45sin ,cos()513ααβ=+=，则sin β等于（ ） A ．1665B ．5665C ．865D ．47656．函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的部分图象如图所示，则下列说法中错误的是（ ）A ．()f x 的最小正周期是2πB ．()f x 在1931,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 C ．()f x 在175,1212ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增D ．直线1712x π=-是曲线()y f x =的一条对称轴7．已知7sin 6πα⎛⎫+=⎪⎝⎭2cos 23πα⎛⎫- ⎪⎝⎭=（ ） A ．23-B ．13-C ．23D ．138．将函数()2sin 2cos 2cos sin sin 22f x x x ππθθθθ⎛⎫=+--<< ⎪⎝⎭的图象向右平移()0ϕϕ>个单位长度后得到函数()g x 的图象，若()f x ，()g x 的图象都经过点P ⎛ ⎝⎭，则ϕ的值可以是（ ） A ．53πB ．56π C ．2π D ．6π 二、多选题（每题有多个选项为正确答案，每题5分，共20分） 9．设函数()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，给出下列命题，不正确的是（ ）． A ．()f x 的图象关于直线3x π=对称B ．()f x 的图象关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 C ．把()f x 的图象向左平移12π个单位长度，得到一个偶函数的图象D ．()f x 的最小正周期为π，且在06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数10．设函数()sin 2cos 244f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()f x ( ) A ．是偶函数 B ．在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 C ．最大值为2 D ．其图象关于点,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称 11．如图是函数sin()()y A x x R ωϕ=+∈在区间5,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象．为了得到这个函数的图象，只要将sin ()y x x R =∈的图象上所有的点（ ）．A ．向左平移3π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变 B ．向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标仲长到原来的12，纵坐标不变C ．把所得各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再向左平移6π个单位长度D ．向左平移3π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变12．函数()sin()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图像如图所示，将函数()f x 的图像向左平移3π个单位长度后得到()y g x =的图像，则下列说法正确的是（ ）A ．函数()g x 为奇函数B ．函数()g x 的最小正周期为πC ．函数()g x 的图像的对称轴为直线()6x k k ππ=+∈ZD ．函数()g x 的单调递增区间为5,()1212k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z三、填空题（每题5分，共20分）13．已知点P(tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在第________象限． 14．函数()f x =sin 6x π⎛⎫-⎪⎝⎭cos x 的最小值为_________．15．已知1sin 34πα⎛⎫+=⎪⎝⎭，则cos 6πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭______．16．已知函数()tan(),(0,0)2f x x πωϕωϕ=+><<的相邻两个对称中心距离为32π，且()f π=，将其上所有点的再向右平移3π个单位，纵坐标不变，横坐标变为原来的13，得()g x 的图像，则()g x 的表达式为_______四、解答题（17题10分，其余每题12分，共70分） 17．已知1tan 42πα⎛⎫+=⎪⎝⎭． （Ⅰ）求tan α的值；（Ⅱ）求()()22sin 22sin 21cos 2sin παπαπαα⎛⎫+-- ⎪⎝⎭--+的值．18.已知函数()24f x x π⎛⎫- ⎝=⎪⎭．（1）求函数()f x 的最小值和最大值及相应自变量x 的集合； （2）求函数()f x 的单调递增区间；（3）画出函数()y f x =区间[]0,π内的图象．19.已知()2sin cos cos 44f x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （1）求函数()f x 的单调递减区间；（2）若关于x 的函数()()()22sin 2g x f x k x =-+在区间,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有唯一零点，求实数k 的取值范围．20．一半径为2米的水轮如图所示，水轮圆心O 距离水面1米；已知水轮按逆时针做匀速转动，每3秒转一圈，如果当水轮上点P 从水中浮现时（图中点0P ）开始计算时间. （1）以水轮所在平面与水面的交线为x 轴，以过点O 且与水面垂直的直线为y 轴，建立如图所示的直角坐标系，试将点P 距离水面的高度h （单位：米）表示为时间t （单位：秒）的函数；（2）在水轮转动的任意一圈内，有多长时间点P 距水面的高度超过2米？21.已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的图象在y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为()02x ,和()0,2x +π-.若将函数()f x 的图象向左平移3π个单位长度后得到的图象关于原点对称. （1）求函数()f x 的解析式；（2）若函数()()10y f kx k =+>的周期为23π，当0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，方程()1f kx m +=恰有两个不同的解，求实数m 的取值范围.22．已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>≤⎪⎝⎭的图象如图所示.（1）求函数()f x 的单调递增区间； （2）将函数()y f x =的图象向右平移6π个单位长度得到曲线C ，把C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的曲线对应的函数记作()y g x =. （i ）求函数()()2x h x f g x ⎛⎫=⎪⎝⎭的最大值； （ii ）若函数()2()()2F x g x mg x m R π⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭在()()0,n n N π+∈内恰有2015个零点，求m 、n 的值.参考答案： 一、单选题 1．【答案】D【解析】角α的终边经过点(),3P x -，由3tan 4α=-，可得334x -=-，所以4x =. 所以4cos 5α==.故选D.2．【答案】D【解析】由3cos 4x =得2231cos 22cos 12148x x ⎛⎫=-=⨯-= ⎪⎝⎭，故选D ．. 3．【答案】A【解析】∵函数y ＝3cos （2x +φ）的图象关于点4,03π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称. ∴4232k ππϕπ⋅+=+∴13()6πϕπ=-∈k k Z 当2k =时，有min ||6πϕ=.故选：A. 4．【答案】C【解析】依题意，函数()2sin(3)3f x x π=-，令3232,232k x k k Z πππππ+≤-≤+∈， 解得52211,183318k k x k Z ππππ+≤≤+∈， 所以函数 在3,24ππ⎛⎫⎪⎝⎭ 上先增后减，在0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭ 上单调递增，在5,4ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减， 在,24ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 上先增后减.故选C . 5．【答案】A【解析】由角的关系可知根据同角三角函数关系式，可得()312cos ,sin 513ααβ=+= ()sin sin βαβα=+-⎡⎤⎣⎦ ()()sin cos cos sin αβααβα=+-+ 12354135135=⨯-⨯ 1665=所以选A 6．【答案】C【解析】由图可知，2A =，该三角函数的最小正周期7233T πππ=-=，故A 项正确； 所以21Tπω==，则()2sin()f x x ϕ=+. 因为563f f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎝ ⎝⎭⎭⎪，所以该函数的一条对称轴为5736212x πππ+==， 将7,212π⎛⎫⎪⎝⎭代入2sin()y x ϕ=+，则72()122k k ππϕπ+=+∈Z ，解得2()12k k πϕπ=-+∈Z ，故()2sin 22sin 1212f x x k x πππ⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.令22()2122k x k k πππππ--+∈Z ，得5722()1212k x k k ππππ-≤≤+∈Z ， 令1k =，则1931,1212x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦故函数()f x 在1931,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增.故B 项正确； 令322()2122k x k k πππππ+≤-≤+∈Z ， 得71922()1212k x k k ππππ+≤≤+∈Z ， 令1k =-，175,1212x ππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦ 故函数()f x 在175,1212ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减.故C 项错误； 令()122x k k πππ-=+∈Z ，得7()12x k k ππ=+∈Z ，令2k =-，1712x π=-故直线1712x π=-是()f x 的一条对称轴.故D 项正确.故选C. 7．【答案】B【解析】由题意7sin sin sin 666πππαπαα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=-+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以sin 63πα⎛⎫+=⎪⎝⎭， 所以2cos 2cos 2cos 2cos 23336ππππαπααα⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-+=-+⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ 2212sin 121633πα⎛⎛⎫=+-=⨯--=- ⎪ ⎝⎭⎝⎭． 故选B ． 8．【答案】B 【解析】易得()()2sin 2cos 2cos sin sin sin 2cos cos2sin sin 2f x x x x x x θθθθθθ=+-=+=+.因为函数()f x 的图象过点P ⎛ ⎝⎭,22ππθ-<<,所以代入函数解析式得3πθ=. 所以()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭.根据题意,得()()sin 23g x x πϕ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦,又因为()g x 的图象也经过点P ⎛ ⎝⎭,所以代入得sin 23πϕ⎛⎫-=⎪⎝⎭将53πϕ=、56π、2π或6π代入sin 23πϕ⎛⎫-=⎪⎝⎭只有56π成立. 故选B. 二、多选题 9．【答案】ABD【解析】因为sin 03f ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以A 不正确； 因为sin 1122f ππ⎛⎫==⎪⎝⎭，所以B 不正确；因为函数()f x 的最小正周期为π，但sin 112226f f πππ⎛⎫⎛⎫==>=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以D 不正确；把函数()f x 的图象向左平移12π个单位长度，得到函数sin 2sin 2cos21232y x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象，函数cos 2y x =为偶函数，所以C 正确． 故选：ABD. 10．【答案】AD【解析】()sin 2cos 2224444f x x x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ .选项A ：()2))()f x x x f x -=-== ，它是偶函数，正确；选项B ：0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()20,x π∈，因此()f x 是单调递减，错误；选项C ：()2f x x =，错误；选项D ：函数的对称中心为(,0)24k ππ+ ，k Z ∈，当0k =，图象关于点,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称， 错误. 故选：AD 11．【答案】AC【解析】由图象知，A=1,T=π，所以ω=2，y=sin （2x+ϕ），将（6π-，0）代入得：sin(ϕ3π-)=0，所以ϕ3π-=kπ，k z ∈，取ϕ=3π，得y=sin （2x+3π），sin y x =向左平移3π，得sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．然后各点的横坐标缩短到原来的12，得sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．故A 正确．sin y x =各点的横坐标缩短到原来的12，得sin 2y x =．然后向左平移6π个单位，得sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭sin 23x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．故C 正确．故选：AC 12．【答案】BD 【解析】由图象可知3A =，33253441234ππππω⎛⎫=⋅=--= ⎪⎝⎭T ， ∴2ω=，则()3sin(2)f x x ϕ=+.将点5,312π⎛⎫ ⎪⎝⎭的坐标代入()3sin(2)f x x ϕ=+中，整理得5sin 2112πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭， ∴522,Z 122k k ππϕπ⨯+=+∈，即2,Z 3k k πϕπ=-∈.||2ϕπ<，∴3πϕ=-，∴()3sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭. ∵将函数()f x 的图象向左平移3π个单位长度后得到()y g x =的图象， ∴()3sin 23sin 2,333πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+∈ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦g x x x x R . ∴()g x 既不是奇函数也不是偶函数，故A 错误； ∴()g x 的最小正周期22T ππ==，故B 正确. 令2,32x k k πππ+=+∈Z ，解得,122k x k ππ=+∈Z .则函数()g x 图像的对称轴为直线,122k x k ππ=+∈Z .故C 错误； 由222,232k x k k πππππ-++∈Z ，可得5,1212k x k k ππππ-+∈Z ，∴函数()g x 的单调递增区间为5,,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦.故D 正确. 故选：BD.三、填空题 13．【答案】二【解析】因为点P （tanα，cosα）在第三象限，所以tanα＜0，cosα＜0， 则角α的终边在第二象限，故答案为二． 14．【答案】34-【解析】由函数()211sin()cos (sin cos )cos cos cos 62222f x x x x x x x x x π=-=-=-1112(1cos 2)sin(2)44264x x x π=-+=--， 当sin(2)16x π-=-时，即,6x k k Z ππ=-+∈时，函数取得最小值34-. 15．【答案】14【解析】因为1sin()34πα+=，则1cos()sin(())sin()62634ππππααα-=--=+=． 16．【答案】2()tan()9g x x π=+. 【解析】由题意，函数()tan()f x x ωϕ=+的相邻两个对称中心距离为1322w ππ⋅=，解得13w =，且()f π=，即tan()3πϕ+=，因为02πϕ<<，解得3πϕ=，所以1()tan()33f x x π=+，将()f x 图象上的点向右平移3π个单位，可得112()tan[()]tan()33339f x x x πππ=-+=+， 再把所得图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的13，可得2()tan()9f x x π=+的图象， 即函数()g x 的解析式为2()tan()9f x x π=+. 故答案为：2()tan()9f x x π=+. 四、解答题17．【答案】（Ⅰ）1tan =-3α；（Ⅱ）15-19.【解析】解：（Ⅰ）tantan 1tan 14tan()41tan 21tantan 4παπααπαα+++===--，解得；（Ⅱ）22sin(22)sin ()21cos(2)sin παπαπαα+----+=22sin 2cos 1cos 2sin αααα-++ 2222sin cos cos 2cos sin ααααα-=+22tan 1152tan 19αα-==-+． 18.【答案】（1，取得最大值时相应x 的集合为3,8x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭； 最小值为，取得最小值时相应x 的集合为,8x x k k Z ππ⎧⎫=-+∈⎨⎬⎩⎭； （2）3,88k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈；（3）图象见解析． 【解析】（1）()f x ，当2242x k πππ-=+，即38x k ππ=+时，等号成立， ∴()f x 取得最大值时相应x 的集合为3,8x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭()f x 的最小值为，当2242x k πππ-=-+，即8x k ππ=-+时，等号成立，∴()f x 取得最大值时相应x 的集合为,8x x k k Z ππ⎧⎫=-+∈⎨⎬⎩⎭（2）由222242k x k πππππ-+≤-≤+求得388k x k ππππ-+≤≤+， ∴()f x 的单调递增区间是3,88k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈（3）列表：()f x 图像如图所示：19．【答案】（1）()7,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（2）14k k ⎧⎪<≤⎨⎪⎩或12k ⎫=-⎬⎭． 【解析】（1）()2sin cos cos 44f x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin 222sin 23x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭令3222232k x k πππππ+++，k Z ∈，解得71212k xk ππππ++，k Z ∈， ∴()f x 的单调递减区间()7,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦（2）由（1）知，函数()2sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭()g x 在,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦有零点等价于()()2sin 2f x k x =+在,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦有唯一根，∴可得2sin 2sin 23k x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭1sin 22cos 226x x x π⎛⎫=-+=+ ⎪⎝⎭设()cos 26h x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，,122x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦则72,636x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦ 根据函数()h x 在,122x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的图象， ∵2y k =与()y h x =有唯一交点，∴实数k 应满足1222k -<≤或21k =- ∴144k -<≤或12k =-．故实数k 的取值范围1{|4k k<或1}2k =-．20．【答案】（1）()22sin 1036t h t ππ⎛⎫=-+≥⎪⎝⎭；（2）有1s 时间点P 距水面的高度超过2米. 【解析】（1）设水轮上圆心O 正右侧点为A ，y 轴与水面交点为B ，如图所示：设()sin h a t b ωϕ=++，由1OB =，2OP =，可得03BOP π∠=，所以06AOP π∠=.2a ∴=，1b =，6πϕ=-，由题意可知，函数2sin 16h t πω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的最小正周期为3T =，223T ππω∴==， 所以点P 距离水面的高度h 关于时间t 的函数为()22sin 1036t h t ππ⎛⎫=-+≥⎪⎝⎭；（2）由22sin 1236t h ππ⎛⎫=-+>⎪⎝⎭，得21sin 362t ππ⎛⎫->⎪⎝⎭， 令[]0,3t ∈，则211,3666t ππππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， 由256366t ππππ<-<，解得1322<<t ，又31122-=， 所以在水轮转动的任意一圈内，有1s 时间点P 距水面的高度超过2米. 21．【答案】（1）()2sin 3f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭；（2）)1,3 【解析】（1）由题意可知函数()f x 的周期2T π=，且2A =，所以21Tπω==，故()()2sin f x x ϕ=+.将函数()f x 的图象向左平移3π个单位长度后得到的图象对应的函数解析式为2sin 3y x ϕπ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，因为函数2sin 3y x ϕπ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象关于原点对称，所以()3k k ϕπ+=π∈Z ，即()3k k ϕπ=π-∈Z . 又2πϕ<，所以3πϕ=-，故()2sin 3f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.（2）由（1）得函数()12sin 13y f kx kx π⎛⎫=+=-+ ⎪⎝⎭，其周期为23π， 又0k >，所以2323k π==π.令33t x π=-，因为0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以2,33t ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， 若sin t s =在2,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦-上有两个不同的解，则s ⎫∈⎪⎪⎣⎭，所以当)1,3m ∈时，方程()1f kx m +=在0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恰有两个不同的解，即实数m的取值范围是)1,3.22．【答案】（1）5,1212k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈；（2）（i ）34；（ii ）1m =-，1343n =. 【解析】（1）由图象可得1A =，最小正周期721212T πππ⎛⎫=⨯-=⎪⎝⎭，则22T πω==，由77sin 211212f ππϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以523k πϕπ=-+，k Z ∈，又2πϕ≤，则易求得3πϕ=，所以()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由222232k x k πππππ-+≤+≤+，k Z ∈，得51212k x k ππππ-+≤≤+，k Z ∈， 所以单调递增区间为5,1212k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈.（2）（i ）由题意得()sin g x x =，()()sin sin 23x h x f g x x x π⎛⎫⎛⎫==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭112cos 2444x x =-+ 11sin 2264x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， 所以()()2x h x f g x ⎛⎫=⎪⎝⎭的最大值为34； （ii ）令()0F x =，可得22sin sin 10x m x --=，令[]sin 1,1t x =∈-， 得2210t mt --=，易知>0∆，方程必有两个不同的实数根1t 、2t ， 由1212t t =-，则1t 、2t 异号， ①当11t >且210t -<<或者101t <<且21t <-时，则方程1sin x t =和2sin x t =在区间()0,n π均有偶数个根，不合题意，舍去；②当101t <<且0201t <<时，则方程1sin x t =和2sin x t =在区间()0,n π均有偶数个根，不合题意，舍去； ③当11t =且212t =-，当()0,2x π∈时，1sin x t =，只有一根，2sin x t =有两根， 所以，关于x 的方程22sin sin 1x m x --在()0,2x π∈上有三个根，由于201536712=⨯+，则方程22sin sin 10x m x --=在()0,1342π上有2013个根，由于方程1sin x t =在区间()1342,1343ππ上只有一个根，方程2sin x t =在区间()1343,1344ππ上两个根，因此，不合题意，舍去；④当11t =-时，则212t =，当()0,2x π∈时，1sin x t =只有一根，2sin x t =有两根， 所以，关于x 的方程22sin sin 10x m x --=在()0,2x π∈上有三个根，由于201536712=⨯+，则方程22sin sin 10x m x --=在()0,1342π上有2013个根，由于方程2sin x t =在区间()1342,1343ππ上有两个根，方程1sin x t =在区间()1343,1344ππ上有一个根，此时，满足题意；因此，1343n =，21121022m ⎛⎫⎛⎫⨯-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 得1m =-，综上，1m =-，1343n =.。

必修一第五章三角函数单元训练题 (10)一、选择题（本大题共15小题，共75.0分）1.已知角α的顶点在坐标原点，始边为x轴非负半轴，终边在射线y=−43x(x≤0)上，则sin2α=A. −2425B. −45C. −35D. −12252.sin(α+π6)cosα+cos(5π6−α)sinα=A. −√32B. −12C. √32D. 123.所在圆的半径为2，圆心角为π5的扇形的弧长为A. 2π5B. π3C. π4D. π54.已知▵ABC的三个内角A，B，C，向量m⃗⃗⃗ =(sinA,sinB)，n⃗=(cosB,cosA)，若m⃗⃗⃗ ⋅n⃗=1+cos(A+B)，则C等于()A. π4B. π2C. 3π4D. 5π65.下列四个区间中，使函数f(x)=sin2x+√3cos2x单调递增的是A. [−π2,−π3] B. [−π3,0] C. [7π12,2π] D. [0,2π3]6.将函数y=cosωx+sinωx(ω>0)的图象向左平移m(m>0)个单位长度后，得到一个最小正周期为2π的奇函数，则m的取值可以是A. 5π4B. π2C. π3D. 3π47.设α，β∈[0,π]，且满足sinαcosβ+cosαsinβ=1，则sin(2α+β)+sin(α+2β)的取值范围为A. [−√2,1]B. [−1,√2]C. [0,1]D. [1,√2]8.我们把顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形，它的底和腰之比为黄金分割比√5−12≈0.618，该三角形被认为是最美的三角形．根据这些信息，可得cos36°=()A. 2√5−14B. 1+√54C. √5−14D. 4+√589.sin123°cos27°−sin33°sin27°=()A. −√32B. −12C. √32D. 1210.当x=α时，函数f(x)=3sinx−cosx取得最小值，则cosα=()A. −3√1010B. −√1010C. √1010D. 3√101011.已知θ为锐角，且满足sin(θ+π2)+cosθ=75，则cos2θ的值为()A. ±725B. 2425C. 150D. −15012. 为了得到函数y =sin x 的图象，只需把函数y =sin (2x +π3)图象上所有的点A. 横坐标缩短到原来的12倍，然后向左平移π3个单位 B. 横坐标伸长到原来的2倍，然后向右平移π3个单位 C. 横坐标伸长到原来的2倍，然后向左平移π6个单位 D. 横坐标缩短到原来的12倍，然后向右平移π6个单位13. 若tan αtan β=2，且cosαcosβ=√1010，则cos(α+β)=A. −√1010B. −√105C. √105D. 3√101014. 化简1+tan 15∘1−tan 15°等于( )A. √3B. √32C. 3D. 115. 已知sin(π3+α)=13，则cos (π3−2α)=( )A. 79B. 89C. −79D. −89二、填空题（本大题共2小题，共10.0分）16. 若sinθ−cosθ=75，且sinθ+cosθ<0，则tan2θ=______．17. 将函数f (x )=sinxsin (π2+x)+√3cos (x +π)cos (π−x )−√32的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的12，再把所得的函数图象向右平移π6个单位长度，得到函数y =g (x )的图象，则函数g (x )在[0,π4]上的取值范围为________． 三、解答题（本大题共8小题，共96.0分） 18. 已知tanβ=2，tan (α+β)=3．(Ⅰ)求tan (α−π4)的值； (Ⅱ)求sin2αsin 2α+sinαcosα−cos2α−1的值．19. 设质点M 受力F 的作用沿x 轴由点A(a,0)移动至点B(b,0)，并设F平行于x 轴．如果力F 是质点所在位置的函数F =F(x)，a ≤x ≤b ，求F 对质点M 所作的功．20. 已知向量m ⃗⃗⃗ =(cosx,−1)，n ⃗ =(√3sinx,cos 2x)，设函数f(x)=m⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ +1． (1)求函数y =f(x)的单调递减区间，并说明由函数y =sinx 的图象如何变换可得到函数y =f(x)的图象．(2)若x ∈[0,π2]，f(x)=56，求cos2x 的值．21. 在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，S 为△ABC 的面积，且2S +√3AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ =0． (1)求A 的大小；(2)若a =√7、b =1，D 为直线BC 上一点，且AD ⊥AB ，求△ABD 的周长．22. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2sin C −sin B =tan Acos B ．(Ⅰ)求角A 的大小；(Ⅱ)若a =6，求△ABC 的周长l 的最大值．23.已知函数f(x)=cosx(sinx+√3cosx)．(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；(2)若角α∈(0,π)，f(α2)=35+√32，求sin(α+2π3)的值．24.已知tanα=43，求下列各式的值．(1)sin2α+2sinαcosα2cos2α−sin2α；(2)sinαcosα．25.已知函数f(x)=4sinxcos(x+π3)+√3．(1)求函数f(x)的最小正周期及单调增区间；(2)求函数f(x)在区间[−π4,π6]上的值域和取得最大值时相应的x的值．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析： 【分析】本题考查三角函数的定义、同角三角函数关系、二倍角公式，考查了计算能力，属于基础题． 由题意，可得cosα=−35，sinα=45，从而利用二倍角公式求解即可． 【解答】解：由角α的终边在射线y =−43x(x ≤0)上可得cosα=−35，sinα=45， 所以sin2α=2sinαcosα=−2425． 故选A ． 2.答案：D解析： 【分析】本题考查了正弦函数的差角公式逆应用，应用诱导公式求三角函数值，属于基础题． 先应用诱导公式，再根据正弦的差角公式，逆用得到三角函数值，即可求解． 【解答】解：由诱导公式得：cos (5π6−α)=−cos (π6+α)，再由正弦的差角公式可得：sin (α+π6)cos α+cos (5π6−α)sin α=sin (α+π6)cos α−cos (π6+α)sin α=sin(α+π6−α)=sin π6=12故选D ．3.答案：A解析：【分析】本题考查了弧长公式，属于基础题． 利用弧长公式即可得出． 【解答】解：∵扇形的圆心角为α=π5，半径为r =2，∴扇形的弧长l =αr =π5×2=2π5．故选A ． 4.答案：B解析： 【分析】本题主要考查两个向量的数量积公式，两角和差的三角公式、诱导公式的应用，根据三角函数的值求角，属于中档题．由题意求得 m ⃗⃗⃗ ⋅ n ⃗ =sinC ，再根据 m ⃗⃗⃗ ⋅ n ⃗⃗⃗⃗⃗ =1+cos(A +B)=1−cosC ，可得sin(C + π 4 )= √2 2，再根据C 为△ABC 的内角，从而求得C 的值．【解答】解：m⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =sinAcosB +cosAsinB =sin(A +B)=sin(π−C)=sinC ，而1+cos(A +B)=1+cos(π−C)=1−cosC ， ∴sinC =1−cosC ， 即sinC +cosC =1，，．∵0<C <π，， ，解得．故选B 5.答案：B解析： 【分析】本题考查了三角恒等变换和三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 利用辅助角公式可得f(x)=2sin(2x +π3)，从而可求出函数f(x)的增区间：kπ−5π12≤x ≤kπ+π12(k ∈Z)，由此可得答案．【解答】解：∵f (x )=sin2x +√3cos2x =2sin(2x +π3)， 则2kπ−π2≤2x +π3≤2kπ+π2(k ∈Z)，解得kπ−5π12≤x≤kπ+π12(k∈Z)，所以函数f(x)的增区间是[kπ−5π12,kπ+π12](k∈Z)，只有区间[−π3,0]可以是区间[kπ−5π12,kπ+π12](k∈Z)的一个子区间．故选B．6.答案：D解析：【分析】本题考查了两角和与差的正弦函数公式，以及函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换，熟练掌握公式是解本题的关键，属于基础题．函数解析式提取√2变形后，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，利用最小正周期为2π，求出ω，再利用平移规律得到平移后的解析式，根据所得的函数为奇函数得m的值即可得答案．【解答】解：y=cos ωx+sin ωx=√2sin(ωx+π4)，∵最小正周期为T=2π，，∴y=√2sin(x+π4)，∴图象向左平移m(m>0)个单位长度得到y=√2sin[(x+m)+π4]=√2sin(x+m+π4)，∵所得的函数为奇函数，∴m+π4=kπ(k∈Z)，即m=kπ−π4，(k∈Z)由于m>0，当k=1时，得m=3π4．故选D．7.答案：D解析：【分析】本题考查两角和的正弦、辅助角公式、三角函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．利用两角和的正弦，可推出，从而结合辅助角公式可得sin(2α+β)+sin(α+2β)=√2sin(α+π4)，从而由根据正弦型函数的性质可得答案．【解答】解：由sinαcosβ+cosαsinβ=1可得sin(α+β)=1，∵α，β∈[0,π]，，∴可得0≤α≤π2，∴sin(2α+β)+sin(α+2β)=sin(α+π2)+sin(π−α)=cosα+sinα=√2sin(α+π4)，∵0≤α≤π2，∴π4≤α+π4≤3π4，∴1≤√2sin(α+π4)≤√2，即取值范围是[1,√2].故选D．8.答案：B解析：解：由题意可知：把顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形，它的底和腰之比为黄金分割比√5−12≈0.618，该三角形被认为是最美的三角形．cosB=12BCAB=√5−12，可得cos72°=√5−14，cos72°=2cos236°−1即2cos236°−1=√5−14，所以cos236°=2√5+642=(√5+14)2，所以cos36°=√5+14．故选：B．利用已知条件求出cos72°的值，然后利用二倍角公式求解即可．本题考查二倍角公式的应用，三角函数化简求值，是基本知识的考查．9.答案：D解析：解：sin123°cos27°−sin33°sin27°=sin57°cos27°−cos57°sin27°=sin(57°−27°)=sin30°=12．故选：D．由题意利用诱导公式、两角差的正弦函数公式即可化简求解．本题主要考查诱导公式、两角差的正弦公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．10.答案：C解析：解：f(x)=3sinx −cosx =√10(sinx 10cosx ⋅10)=√10sin(x −φ)， (其中cosφ=√10，sinφ=√10，) 可得，当x −φ=2kπ+3π2，即x =2kπ+3π2+φ，k ∈Z 时，f(x)取得最小值．此时α=2kπ+3π2+φ，所以cosα=cos(2kπ+3π2+φ)=cos(3π2+φ)=sinφ=√1010． 故选：C ．把f(x)变成辅助角的形式，利用三角函数的性质可得．本题考查了三角函数的最值，考查了转化思想，属于基础题． 11.答案：D解析：解：∵θ为锐角，且sin(θ+π2)+cosθ=75， ∴cosθ+cosθ=2cosθ=75，可得cosθ=710， ∴cos2θ=2cos 2θ−1=2×(710)2−1=−150． 故选：D ．由已知利用诱导公式可求得cosθ=710，进而根据二倍角的余弦函数公式即可计算得解． 本题主要考查了诱导公式，二倍角的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题． 12.答案：B解析： 【分析】本题考查三角函数的图象的变换，属于基础题．直接利用三角函数的图象的伸缩变换和平移变换法则求出结果即可． 【解答】解：由三角函数的图象的变换的法则可知：先把y =sin (2x +π3)上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，可得y =sin (x +π3)的图象， 然后向右平移π3个单位，可得y =sin x 的图象． 故选B ． 13.答案：A解析： 【分析】本题考查同角三角函数基本关系，考查两角和与差的三角函数，属于基础题．由题意得到sin αsin β=2cos αcos β，进而求出sinαsinβ=√105，再利用两角和的余弦公式求解即可．【解答】解：由题意可知tan αtan β=2⇒sin αsin β=2cos αcos β， 又因为cosαcosβ=√1010，所以sinαsinβ=√105，所以cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ=−√1010．故选A ．14.答案：A解析：【分析】本题考查了和角公式，属于基础题.熟练掌握和角公式是解题的关键． 由两角和的正切公式求解． 【解答】解：1+tan15∘1−tan15∘=tan45∘+tan15∘1−tan45∘tan15∘ =tan (45∘+15∘)=tan60∘=√3． 故选A ． 15.答案：C解析： 【分析】本题主要考查诱导公式、二倍角的余弦公式的应用，属于基础题． 利用诱导公式、二倍角的余弦公式，求得要求式子的值． 【解答】解：∵sin(π3+α)=13=cos(π6−α)，则cos(π3−2α)=2cos 2(π6−α)−1=2×19−1=−79， 故选：C ．16.答案：−247解析：解：∵sinθ−cosθ=75，①∴两边平方，可得1−2sinθcosθ=4925，可得2sinθcosθ=2sinθcosθsin 2θ+cos 2θ=2tanθ1+tan 2θ=−2425，又∵sinθ+cosθ<0，∴sinθ+cosθ=−√1+2sinθcosθ=−√1−2425=−15，② ∴由①②可得sinθ=35，cosθ=−45，可得tanθ=sinθcosθ=−34，∴tan2θ=2tanθ1−tan2θ=−247．故答案为：−247．将sinθ−cosθ=75两边平方，可得2sinθcosθ=−2425，结合sinθ+cosθ<0，可求sinθ+cosθ=15，即可解得sinθ，cosθ，tanθ的值，进而根据二倍角的正切函数公式可求tan2θ的值．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角的正切函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．17.答案：[−√32,1]解析：【分析】本题考查两角和差的正弦公式，二倍角公式，三角函数图象变换，以及三角函数的值域，由图象变换得，然后得，根据正弦函数的性质求得值域．【解答】解：f(x)=sinxsin(π2+x)+√3cos(x+π)cos(π−x)−√32=sinxcosx+√3cos2x−√32=12sin2x+√3(1+cos2x)2−√32，函数y=f(x)的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的12，得到，再把所得的函数图象向右平移π6个单位长度，得到函数，即，当x∈[0,π4]时，，所以当时，即x=0时，g(x)min=−√32，当时，即max=1．∴y=g(x)在区间[0,π4]上的取值范围为[−√32,1]．故答案为[−√32,1]．18.答案：解：tanβ=2，tan (α+β)=3，则tanα=tan[(α+β)−β]=tan(α+β)−tanβ1+tan(α+β)·tanβ=3−21+3×2=17，(Ⅰ．(Ⅱ)sin2αsin 2α+sinαcosα−cos2α−1=2sinαcosαsin 2α+sinαcosα+1−2cos 2α−1=2tanαtan 2α+tanα−2=2×17(17)2+17−2=−745．解析：此题主要考查同角三角函数的基本关系、两角和差的正切公式的应用，属于基础题． 可先由tanα=tan[(α+β)−β]=tan(α+β)−tanβ1+tan(α+β)·tanβ求出tanα，再求解下面两问题．(Ⅰ)由条件利用两角差的正切公式，求得结果；(Ⅱ)由条件利用同角三角函数的基本关系将所求转化为与正切函数相关的分式，求得答案．19.答案：解：根据题意，F 是质点所在位置的函数F =F(x)，a ≤x ≤b ，则F 对质点M 所作的功为∫F ba (x)dx ．解析：根据题意，由定积分的几何意义分析可得答案．本题考查定积分的物理意义，注意定积分的定义，属于基础题． 20.答案：解：(1)由题可知，f(x)=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ +1=√3sinxcosx −cos 2x +1 =√32sin2x −12cos2x +12=sin(2x −π6)+12．令π2+2kπ≤2x −π6≤3π2+2kπ，则π3+kπ≤x ≤5π6+kπ,k ∈Z ，∴y =f(x)的单调递减区间为[π3+kπ,5π6+kπ],k ∈Z ．由y =sinx 变换成y =f(x)的过程如下所示：y =sinx 的图象纵坐标不变，横坐标先向右平移π6个单位，再缩小为原来的12，然后横坐标不变，纵坐标向上平移12个单位．(2)令f(x)=sin(2x −π6)+12=56，则sin(2x −π6)=13， ∵x ∈[0,π2]，∴2x −π6∈[−π6,5π6]，∴cos(2x −π6)=±2√23， 而cos2x =cos[(2x −π6)+π6]=√32cos(2x −π6)−12sin(2x −π6)，∴当cos(2x −π6)=2√23时，cos2x =√32×2√23−12×13=2√6−16；当cos(2x −π6)=−2√23时，cos2x =√32×(−2√23)−12×13=−2√6−16， 综上，cos2x 的值为2√6−16或−2√6−16．解析：(1)结合平面向量数量积的坐标运算和二倍角公式、辅助角公式可将函数f(x)化简为f(x)=sin(2x −π6)+12，再利用正弦函数的单调性即可求得f(x)的单调递减区间；结合三角函数的平移变换与伸缩变换法则即可得解．(2)由题可知，sin(2x −π6)=13，由于x ∈[0,π2]，所以2x −π6∈[−π6,5π6]，利用平方关系可求得cos(2x −π6)=±2√23，然后结合拼凑角的方法可知cos2x =cos[(2x −π6)+π6]，利用余弦的两角和公式展开后，代入数据进行运算即可得解．本题主要考查三角恒等变换与三角函数图象的综合，还涉及平面向量数量积的坐标运算，熟练运用二倍角公式、辅助角公式等基本公式是解题的关键，考查学生的分析能力和运算能力，属于基础题． 21.答案：解：(1)在△ABC 中，A +B +C =π，∵2S +√3AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0， ∴2×12b ⋅c ⋅sinA +√3b ⋅c ⋅cosA =0， 又b ⋅c >0，∴sinA +√3cosA =0，即tanA =−√3， 又A ∈(0,π)，∴A =2π3；(2)在△ABC 中，由余弦定理得：a 2=b 2+c 2−2bc ⋅cosA ， 又a =√7、b =1，A =2π3，∴c 2+c −6=0， 又c >0，∴c =2，在△ABC 中，由正弦定理得sinB =√2114，又a >b ，∴B 为锐角， ∴cosB =√1−sin 2B =5√714， 在中，ABBD =cosB ，∴BD =4√75，AD =BD ⋅sinB =4√75×√2114=2√35， ∴△ABD 的周长为2+2√35+4√75=10+2√3+4√75．解析：本题考查向量数量积运算，正余弦定理的应用以及三角形面积公式和同角三角函数关系，属于中档题．(1)根据已知结合三角形面积公式结合向量数量积可得sinA +√3cosA =0然后利用同角三角函数关系可得tanA=−√3，即可求出结果；(2)利用余弦定理求出c=2，然后根据正弦定理即可求出结果．22.答案：解：(Ⅰ)由2sinC−sinB=tanAcosB，得2sinC−sinB=sinAcosAcosB，得2sinCcosA−sinBcosA=sinAcosB，得2sinCcosA=sinAcosB+sinBcosA，得2sinCcosA=sin(A+B)，所以2sinCcosA=sinC．又sinC≠0，所以cosA=12．又A∈(0,π)，故A=π3．(Ⅱ)由余弦定理及(Ⅰ)得，a2=36=b2+c2−2bccosπ3=b2+c2−bc=(b+c)2−3bc，所以3bc=(b+c)2−36.而bc⩽(b+c2)2，所以3bc⩽3(b+c)24.所以(b+c)2−36⩽3(b+c)24，得b+c≤12，当且仅当b=c=6时等号成立．所以△ABC的周长l的最大值为a+12=6+12=18．解析：本题考查了余弦定理、两角和与差的三角函数公式和利用基本不等式求最值，是中档题．(Ⅰ)由2sinC−sinB=tanAcosB，根据切化弦结合两角和正弦公式得cosA=12，可得角A的大小；(Ⅱ)由余弦定理得36=b2+c2−bc=(b+c)2−3bc，由基本不等式得bc⩽(b+c2)2，可得b+c≤12，可得△ABC的周长l的最大值．23.答案：解：(1)f(x)=cos x(sin x+√3cos x)=cos xsin x+√3cos2 x=12sin2x+√32cos2x+√32=sin(2x+π3)+√32，∴T=π，令−π2+2kπ⩽2x+π3⩽π2+2kπ,k∈Z，解得−5π12+kπ⩽x⩽π12+kπ,k∈Z，所以函数f(x)的单调递增区间为[−5π12+kπ , π12+kπ],k∈Z(2)因为f(α2)=35+√32，所以sin(α+π3)+√32=35+√32，故sin(α+π3)=35，∵α∈(0,π)，α+π3∈(π3,4π3)又sin(α+π3)=35，∴cos(α+π3)=−45，∴sin(α+2π3)=sin(α+π3+π3)=35×12−45×√32=3−4√310，即sin(α+2π3)=3−4√310．解析：本题考查三角函数的化简和求值，以及三角函数的性质，属于基础题．(1)用二倍角公式和辅助角公式化简即可；(2)直接代入求解，但要注意角的范围，同时拆角α+2π3= (α+π3)+π3是关键．24.答案：解：(1)∵tanα=43，∴sin2α+2sinαcosα2cos2α−sin2α=tan2α+2tanα2−tan2α=169+832−169=20；(2)sinαcosα=sinαcosαsin2α+cos2α=tanαtan2α+1=4169+1=1225．解析：本题考查同角三角函数关系以及三角函数的化简，属于基础题．(1)分子分母同时除以cos2α即可求出结果；(2)sin2α+cos2α=1然后利用sinαcosα=sinαcosαsinα+cosα分子分母同时除以cos2α即可求出结果；25.答案：解：(1)化简可得f(x)=4sinx(cosxcosπ3−sinxsinπ3)+√3=2sinxcosx−2√3sin2x+√3 =sin2x+√3cos2x=2sin(2x+π3)，所以T=2π2=π；由，，得：，，∴单调增区间为；(2)因为−π4≤x≤π6，所以−π6≤2x+π3≤2π3，所以−12≤sin(2x+π3)≤1，所以−1≤f(x)≤2，∴函数在区间上的值域为，当2x+π3=π2，即x=π12时，f(x)max=2．解析：本题考查两角和与差的正弦函数，涉及三角函数的周期性、单调性和值域，属于中档题．(1)由三角函数的公式化简可得f(x)=2sin(2x+π3)，由周期公式和单调性可得答案；(2)由x的范围可得2x+π3的范围，进而可得sin(2x+π3)的范围，可得f(x)的范围，结合三角函数在该区间的单调性，可得最值及对应的x值．。

人教A版高一数学必修第一册第五章《三角函数》单元练习题卷（共22题）一、选择题（共10题）1.若α是第二象限角，则sin2α，cos2α，sinα2，tanα2中能确定为正值的有( )A．0个B．1个C．2个D．3个2.当3π<α<4π时，√1+cosα2−√1−cosα2=( )A．√2sin(α2+π4)B．−√2sin(α2+π4)C．√2sin(α2−π4)D．−√2sin(α2−π4)3.若函数f(x)=sin(2x−π3)与g(x)=cos(x+π4)都在区间(a,b)(0<a<b<π)上单调递减，则b−a的最大值为( )A．π6B．π3C．π2D．5π124.4sin80∘−cos10∘sin10∘等于( )A．√3B．−√3C．√2D．2√2−35.函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,∣φ∣<π2)的最小正周期为π，若其图象向右平移π6个单位后得到函数为奇函数，则函数f(x)的图象( )A．关于点(π3,0)对称B．在(−π2,π2)上单调递增C．关于直线x=π3对称D．在x=π6处取最大值6.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)（ω>0，且∣φ∣<π2）的部分图象如图所示，则函数f(x)的一个单调递增区间是( )A ． [−7π12,5π12] B ． [−7π12,−π12] C ． [−π12,7π12]D ． [−π12,5π12]7. 要得到函数 y =2sin2x 的图象，只需把函数 y =4sin (x +π6)cos (x +π6) 的图象 ( )A ．向左平移 π3 个单位 B ．向右平移 π3 个单位 C ．向左平移 π6 个单位D ．向右平移 π6 个单位8. 函数 f (x )=sinx −cos (x +π6) 的值域为 ( ) A ． [−2,2] B ． [−√3,√3] C ． [−1,1]D ． [−√32,√32]9. 函数 y ={kx +1,−2≤x <02sin (ωx +φ),0≤x ≤8π3的图象如图，则 ( )A ． k =12，ω=12，φ=π6B ． k =12，ω=12，φ=π3C ． k =−12，ω=2，φ=π6D ． k =−2，ω=2，φ=π310. 已知定义在 R 上的函数 f (x )=sin (ωx +φ)(ω>0,∣φ∣≤π2) 在 [1,2] 上有且仅有 3 个零点，其图象关于点 (14,0) 和直线 x =−14对称，给出下列结论：① f (12)=√22； ②函数 f (x ) 在 [0,1] 上有且仅有 3 个极值点； ③函数 f (x ) 在 (−32,−54) 上单调递增；④函数 f (x ) 的最小正周期是 2． 其中所有正确结论的编号是 ( ) A ．②③ B ．①④ C ．②③④ D ．①②二、填空题（共6题）11. 已知函数 f (x )=2cos (ωx +φ) 的部分图象如图所示，则 f (π2)= ．12. 已知 sinα=12+cosα，且 α∈(0,π2)，则 cos2αsin(α−π4)的值为 ．13. 若 tan (α−π4)=16，则 tanα= ．14. 在高中阶段，我们学习过函数的概念、性质和图象，以下两个结论是正确的：①偶函数 f (x ) 在区间 [a,b ]（a <b ）上的取值范围与在区间 [−b,−a ] 上的取值范围是相同的； ②周期函数 f (x ) 在一个周期内的取值范围也就是 f (x ) 在定义域上的值域，由此可求函 g (x )=2∣sinx ∣+19∣cosx ∣ 的值域为 ．15. 函数 y =sin (x −π6)cosx 的最小值是 ．16. 如图，A ，B 为某市的两个旅游中心，海岸线 l 可看做一条直线，且与 AB 所在直线平行，现计划将两个旅游中心与海岸线连接起来，由于地势原因，需在以 AB 为直径的半圆上选定一点 P ，修建 PA ，PB ，PQ 三段公路，其中 PQ ⊥l ，AB =20 km ，两平行直线 AB 与 l 之间的距离为 20 km ，公路 PA 和 PB 段的造价均为 6 千万元/km ，公路 PQ 段的造价为 5 千万元/km ，为便于筹备充足资金，需要计算该项工程的最大预算，根据以上信息，这三段公路总造价的最大值为 千万．三、解答题（共6题）17. 已知如图为函数 f (x )=2sin (ωx +φ)(ω>0,0<φ<π2) 的部分图象．(1) 求 f (x ) 的解析式及其单调递增区间； (2) 求函数 g (x )=f (x )+2f(x+π4)+2的值域．18. 已知二次函数 f (x )=ax 2+x ．(1) 若 f (sinx )(x ∈R ) 的最大值为 54，求实数 a 的值；(2) 对于任意的 x ∈R ，总有 ∣f (sinxcosx )∣≤1．求实数 a 的取值范围．19. 已知 tanα=−13，计算．(1) sinα+2cosα5cosα−sinα； (2) 12sinαcosα+cos 2α； (3) sinαcosα； (4) (sinα+cosα)2．20.已知f(x)=2x2−3x+1，g(x)=ksin(x−π6)(k≠0)．(1) 若对任意x1∈[0,3]，总存在x2∈[0,3]，使f(x1)=g(x2)，求实数k的取值范围．(2) 若方程f(sinx)+sinx−a=0在[0,11π6]上恰有两个解，求实数a的取值范围．21.已知θ∈(0,π),sinθ+cosθ=√3−12，求tanθ的值．22.化简：sin2θ1+cos2θ⋅cosθ1+cosθ．答案一、选择题（共10题）1. 【答案】B【解析】因α在第二象限，即2kπ+π2<α<2kπ+π(k∈Z)，所以4kπ+π<2α<4kπ+2π，所以2α为第三、四象限角或终边在y轴负半轴上．同理可知，α2为第一、三象限角，则五个式子中仅有tanα2能保证为正．【知识点】任意角的三角函数定义2. 【答案】A【解析】√1+cosα2−√1−cosα2=√cos2α2−√sin2α2 =∣cosα2∣−∣sinα2∣.因为3π<α<4π，所以3π2<α2<2π，所以sinα2<0，cosα2>0，所以原式=sinα2+cosα2=√2sin(α2+π4)．【知识点】二倍角公式3. 【答案】B【解析】对于函数f(x)，令π2+2kπ≤2x−π3≤3π2+2kπ(k∈Z)，解得5π12+kπ≤x≤11π12+kπ(k∈Z)，当x∈(0,π)时，令k=0，则5π12≤x≤11π12；对于函数g(x)，令2kπ≤x+π4≤π+2kπ(k∈Z)，解得−π4+2kπ≤x≤3π4+2kπ(k∈Z)，当x∈(0,π)时，令k=0，则0<x≤3π4.易得当函数 f (x ) 与 g (x ) 均在区间 (a,b )（0<a <b <π）上单调递减时，b 的最大值为 3π4，a 的最小值为5π12，所以 b −a 的最大值为 3π4−5π12=π3.【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质4. 【答案】B【解析】依题意，因为 sin80∘=cos10∘，所以4sin80∘−cos10∘sin10∘=4sin10∘cos10∘−cos10∘sin10∘=2sin20∘−cos10∘sin10∘=2sin (30∘−10∘)−cos10∘sin10∘=2(12cos10∘−√32sin10∘)−cos10∘sin10∘=−√3sin10∘sin10∘=−√3.【知识点】两角和与差的正弦5. 【答案】A【解析】函数 f (x ) 的最小正周期为 π，可得 ω=2，f (x ) 向右平移 π6 个单位后得到的函数为 y =2sin [2(x −π6)+φ]=2sin (2x −π3+φ)， 因为此函数为奇函数，又 ∣φ∣<π2，所以 φ=π3，故函数 f (x )=2sin (2x +π3)． 对于选项A ：f (π3)=sin (2π3+π3)=0，所以A 正确； 对于选项B ：当 x ∈(−π2,π2)，2x +π3∈(−2π3,4π3)，f (x ) 不具有单调性，故B 错； 对于选项C ：2x +π3=π2+kπ，k ∈Z ，x =π12+kπ2，k ∈Z ，故C 错；对于选项D ：f (π6)=2sin2π3=√3，没有取到最大值，故D 错．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质6. 【答案】D【解析】由函数的图象，得 14T =23π−512π，所以 T =π，则 ω=2．又图象过点 (512π,2)，所以 2sin (2×512π+φ)=2．所以 φ=−π3+2kπ，k∈Z．因为∣φ∣<π2，所以取k=0，即得f(x)=2sin(2x−π3)，其单调递增区间为[kπ−π12,kπ+5π12]，k∈Z，取k=0，即得选项D．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质7. 【答案】D【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质8. 【答案】B【解析】因为f(x)=sinx−cos(x+π6)=sinx−(√32cosx−12sinx)=32sinx−√32cosx=√3(√32sinx−12cosx)=√3sin(x−π6).所以−√3≤f(x)≤√3，即函数f(x)=sinx−cos(x+π6)的值域为[−√3,√3]．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质9. 【答案】A【解析】由图象可得k=12，T=4(8π3−5π3)=2πω，即得ω=12，将(8π3,−2)代入y=2sin(12x+φ)可得2sin(4π3+φ)=−2，取4π3+φ=3π2可得φ=3π2−4π3=π6，故选A．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质10. 【答案】A【解析】曲线关于点(−14,0)对称，所以：14ω+φ=k1π，k1∈Z, ⋯⋯①又因为其图象关于直线x=14对称，所以：−14ω+φ=k2π+π2，k2∈Z, ⋯⋯②由①②可得：ω=[2(k1−k2)−1]=π，即ω=(2n−1)π，n∈Z, ⋯⋯③因为数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,∣φ∣≤π2)在[1,2]上有且仅有3个零点，所以2πω≤2−1<4πω(ω>0)，即2π≤ω<4π, ⋯⋯④由③④可得ω=3π；因为 f (14)=0，所以3π4+φ=kπ，又 ∣φ∣≤π2， 所以 φ=π4，所以 f (x )=sin (3πx +π4)，所以易知 f (12)=−√22，所以①错误； 令 3πx 0+π4=π2+kπ，则 x 0=k3+112(k ∈Z )，令 0≤k3+112≤1，则可取 k =0,1,2， 所以 x 0=112,512,34，所以②正确；令 −π2+2kπ≤3πx +π4≤π2+2kπ⇒−14+23k ≤x ≤112+23k ，k ∈Z ， 当 k =−2 时，[−1912,−54] 为 f (x ) 的一个递增区间， 而 (−32,−54)⫋[−1912,−54]，所以 f (x ) 在 (−32,−54) 上单调递增，③正确； 因为 f (x )=sin (3πx +π4)， 所以 T =2π3π=23，④错误．综上所述，其中正确的结论为②③． 【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质二、填空题（共6题） 11. 【答案】 −√3【解析】由题意可得：34T =13π12−π3=3π4，所以 T =π，ω=2πT=2，当 x =13π12时，ωx +φ=2×13π12+φ=2kπ，所以φ=2kπ−136π(k∈Z)，令k=1可得：φ=−π6，据此有：f(x)=2cos(2x−π6)，f(π2)=2cos(2×π2−π6)=2cos5π6=−√3．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质12. 【答案】−√142【解析】因为sinα=12+cosα，所以sinα−cosα=12，所以sin(α−π2)=√24．又α∈(0,π2)，所以α−π4∈(−π4,π4)，所以cos(α−π4)=√144，所以cos2α=−sin[2(α−π4)]=−2sin(α−π4)⋅cos(α−π4)=−√74，所以cos2αsin(α−π4)=−√142．【知识点】二倍角公式13. 【答案】75【解析】tanα=tan(α−π4+π4)=tan(α−π4)+tanπ41−tan(α−π4)tanπ4=16+11−16×1=75．【知识点】两角和与差的正切14. 【答案】[2,√365]【解析】因为g(x)=2∣sinx∣+19∣cosx∣的周期为π，且为偶函数，则由题意可得：g(x)=2∣sinx∣+19∣cosx∣的值域即为ℎ(x)=2sinx+19cosx，x∈[0,π2]的值域，又ℎ(x)=2sinx+19cosx=√365sin(x+φ)，(sinφ=√365cosφ=√365)，又因为x∈[0,π2]，所以x+φ∈[φ,π2+φ]，则当sin(x+φ)=1时，函数ℎ(x)取最大值√365，又√365sinφ=√365√365=19，√365sin(π2+φ)=√365cosφ=√365√365=2，则函数ℎ(x)最小值为2，即函数ℎ(x)的值域为[2,√365]，即函数g(x)=2∣sinx∣+19∣cosx∣的值域为[2,√365]，故答案为：[2,√365]．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质15. 【答案】−34【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质16. 【答案】222【解析】根据题意，设∠PAD=θ，则0≤θ≤π2，过点P作PD⊥AB，则P，D，Q三点共线，设这三段公路总造价为y，又由AB=20km，则AP=20cosθkm，BP=20sinθkm，则PD=20cosθsinθkm，又由两平行直线AB与l之间的距离为20km，则PQ=(20−20cosθsinθ)km，则y=6×(20sinθ+20cosθ)+5×(20−20cosθsinθ)=120(sinθ+cosθ)+100(1−sinθcosθ)，设sinθ+cosθ=t，则t=√2sin(θ+π4)，则有1≤t≤√2，则sinθcosθ=t 2−12，则y=120t+100(1−t 2−12)=120t+100(3−t22)=−50t2+120t+150，1≤t≤√2，分析可得：t=65时，y取得最大值，且y max=222．【知识点】三角函数模型的应用三、解答题（共6题） 17. 【答案】(1) 因为函数图象过点 (0,1)， 所以 2sinφ=1，即 sinφ=12， 又因为 0<φ<π2，所以 φ=π6，又 ω2π3+φ=3π2，所以 ω=2，所以 f (x )=2sin (2x +π6)，由 2kπ−π2≤2x +π6≤2kπ+π2 可得 kπ−π3≤x ≤kπ+π6， 所以 f (x ) 的单调递增区间为 [kπ−π3,kπ+π6]，k ∈Z ．(2) 由（1）知 g (x )=f (x )+2f(x+π4)+2=sin(2x+π6)+12sin(2x+π6+π2)+1=sin(2x+π6)+1cos(2x+π6)+1，令 y =sin(2x+π6)+1cos(2x+π6)+1，可得 sin (2x +π6)+1=ycos (2x +π6)+y ，所以得 sin (2x +π6)−ycos (2x +π6)=√1+y 2sin (2x +π6+φ)=y −1， 所以 sin (2x +π6+φ)=√1+y 2，所以 ∣∣∣√1+y 2∣∣∣≤1，解得 y ≥0，即函数的值域为 [0,+∞)．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质18. 【答案】(1) 二次函数中 a ≠0， 设 s =sinx ，x ∈R ， 所以 s ∈[−1,1]，若 f (sinx )(x ∈R ) 的最大值为 54，即关于 S 的二次函数 g (s )=as 2+s 在区间上 s ∈[−1,1] 有最大值 54， 由二次函数图象性质可知此最大值只能是 g (−1)，g (1)，g (−12a ) 之一，若 g (−1)=−a −1=54⇒a =−94，此时二次函数开口向下且对称轴 s =−12a =29∈[−1,1]，函数在区间上最大值在顶点处取得，不是 g (−1)，不合题意；若 g (1)=a +1=54⇒a =14，此时二次函数开口向上且对称轴 s =−12a =−2<−1，最大值是 g (1)，符合题意；若 g (−12a )=54⇒a =−15，此时二次函数开口向下且对称轴 s =−12a =52∉[−1,1]，并不在顶点处有最大值，不符合题意， 综上所述 a =14．(2) 因为对于任意的 x ∈R ，总有 ∣f (sinxcosx )∣≤1， 令 t =sinxcosx =12sin2x ∈[−1,1]，则命题转化为 ∀t ∈[−12,12]，不等式 ∣f (t )∣≤1 恒成立，①当 t =0 时，f (t )=0 使 ∣f (t )∣≤1 成立； ②当 t ≠0 时，有 {a ≤1t 2−1t =(1t −12)2−14,a ≥−1t 2−1t =−(1t +12)2+14.对于任意的 t ∈[−12,0)∪(0,12] 恒成立， 因为 t ∈[−12,0)∪(0,12]，所以 1t ≥2 或 1t ≤−2，则 (1t −12)2−14≥2，故要使①式成立，则有 a ≤2， 又 −(1t +12)2+14≤−2，故要使②式成立，则有 a ≥−2， 由题设知 a ≠0，综上，a ∈[−2,0)∪(0,2] 为所求．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质、函数的最大（小）值19. 【答案】(1) 516(2)103(3) −103(4) 25【知识点】同角三角函数的基本关系20. 【答案】(1) k >10．(2) a ∈{a∣ a =12或1<B ≤5}．【知识点】函数的零点分布、Asin(ωx+ψ)形式函数的性质21. 【答案】因为 sinθ+cosθ=√3−12， 所以 2sinθcosθ=(√3−12)2−1=−√32<0．又因为 θ∈(0,π)，所以 sinθ>0,cosθ<0，即 θ∈(π2,π)， 所以 sinθ−cosθ=√1−2sinθcosθ=√32=√3+12． 由 {sinθ+cosθ=√3−12,sinθ−cosθ=√3+12,解得 {sinθ=√32,cosθ=−12, 所以 tanθ=sinθcosθ=−√3．【知识点】同角三角函数的基本关系22. 【答案】 tan θ2．【知识点】二倍角公式、半角公式。

人教A版高一数学必修第一册第五章《三角函数》单元练习题卷5（共22题）一、选择题（共10题）1.若f(x)=sin(2x−π4)，则( )A．f(1)>f(2)>f(3)B．f(3)>f(2)>f(1)C．f(2)>f(1)>f(3)D．.f(1)>f(3)>f(2)2.已知e是自然对数的底数，函数f(x)=e x+x−2的零点为a，函数g(x)=lnx+x−2的零点为b，则下列不等式中成立的是( )A．a<1<b B．a<b<1C．1<a<b D．b<1<a3.设函数f(x)=2cos(12x−π3)，若对任意x∈R都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则∣x1−x2∣的最小值为( )A．4πB．2πC．πD．π24.下列函数中，周期为π，且在[π4,π2]上单调递减的是( )A．y=sin(2x+π2)B．y=cos(2x+π2)C．y=sin(x+π2)D．y=cos(x+π2)5.函数f(x)=sin(ωx+φ)的部分图象如图所示，则f(x)的单调递增区间为( )A．[−54+kπ,−14+kπ]，k∈ZB．[−54+2kπ,−14+2kπ]，k∈ZC．[−54+k,−14+k]，k∈ZD ． [−54+2k,−14+2k]，k ∈Z6. 已知 θ=−2，则 ( ) A ． sinθ>0 且 cosθ>0 B ． sinθ>0 且 cosθ<0 C ． sinθ<0 且 cosθ>0D ． sinθ<0 且 cosθ<07. 已知定义域是全体实数的函数 y =f (x ) 满足 f (x +2π)=f (x )，且 g (x )=f (x )+f (−x )2，ℎ(x )=f (x )−f (−x )2，现定义函数 y =p (x )，y =q (x ) 为：p (x )={g (x )−g (x+π)2cosx,x ≠kπ+π20,x =kπ+π2，q (x )={ℎ(x )+ℎ(x+π)2sin2x,x ≠kπ20,x =kπ2， 其中 k ∈Z ，那么下列关于 y =p (x )，y =q (x ) 叙述正确的是 ( ) A ．都是偶函数且周期为 π B ．都是奇函数且周期为 πC ．都是周期函数但既不是奇函数又不是偶函数D ．都不是周期函数8. 设函数 f (x )=sin3x +∣sin3x∣，则 f (x ) 为 ( ) A ．周期函数，最小正周期为 23πB ．周期函数，最小正周期为 π3C ．周期函数，最小正周期为 2πD ．非周期函数9. 已知 α 为锐角，且满足 cos2α=sinα，则 α 等于 ( ) A ． 30∘ 或 60∘ B ． 45∘ C ． 60∘ D ． 30∘10. 函数 y =cos 2(x +π4)−sin 2(x +π4) 的最小正周期为 ( ) A ． π4B ． π2C ． πD ． 2π二、填空题（共6题）11. 关于 x 的函数 f (x )=tan (x +φ) 有以下说法：①对任意的 φ，f (x ) 既不是奇函数也不是偶函数；②不存在 φ，使 f (x ) 既是奇函数又是偶函数； ③存在 φ，使 f (x ) 是奇函数； ④对任意的 φ，f (x ) 都不是偶函数．其中不正确的说法的序号是 ．因为当 φ= 时，该说法的结论不成立．12. 已知 sinα+2cosα5cosα−sinα=516，则 tanα= ．13. 若 sinθ=15，则 cos (3π2−θ)= ．14. 如图，A ，B 为某市的两个旅游中心，海岸线 l 可看做一条直线，且与 AB 所在直线平行，现计划将两个旅游中心与海岸线连接起来，由于地势原因，需在以 AB 为直径的半圆上选定一点 P ，修建 PA ，PB ，PQ 三段公路，其中 PQ ⊥l ，AB =20 km ，两平行直线 AB 与 l 之间的距离为 20 km ，公路 PA 和 PB 段的造价均为 6 千万元/km ，公路 PQ 段的造价为 5 千万元/km ，为便于筹备充足资金，需要计算该项工程的最大预算，根据以上信息，这三段公路总造价的最大值为 千万．15. 已知 sin α2−cos α2=√55，π2<α<π，则 tan α2= ．16. 若 α 是第二象限角，cosα=−13，则 cos (α−π6)= ．三、解答题（共6题）17. 已知 θ=kπ+(−1)k ⋅π4，k ∈Z ，试判断角 θ 的终边所在的象限．18. 已知函数 f (x )=2√3sinxcosx +2cos 2x −1．(1) 求 f (x ) 在区间 [0,π2] 的最小值；(2) 将 f (x ) 的图象向左平移 π6 个单位后得到函数 y =g (x ) 的图象，求 g (x ) 的单调递减区间．19.设函数f(x)=2sin(2ωx−π6)+m的图象关于直线x=π对称，其中0<ω<12．(1) 求函数f(x)的最小正周期；(2) 若函数y=f(x)的图象过点(π,0)，求函数f(x)在[0,3π2]上的值域．20.函数f(x)=sin(tanωx)，其中ω≠0．(1) 讨论f(x)的奇偶性；(2) ω=1时，求证：f(x)的最小正周期是π；(3) ω∈(1.50,1.57)，当函数f(x)的图象与g(x)=12(x+1x)的图象有交点时，求满足条件的ω的个数，说明理由．21.已知f(x)=2x2−3x+1，g(x)=ksin(x−π6)(k≠0)．(1) 若对任意x1∈[0,3]，总存在x2∈[0,3]，使f(x1)=g(x2)，求实数k的取值范围．(2) 若方程f(sinx)+sinx−a=0在[0,11π6]上恰有两个解，求实数a的取值范围．22.已知函数y=12sinx+12∣sinx∣．(1) 画出函数的简图；(2) 这个函数是周期函数吗？如果是，求出它的最小正周期．答案一、选择题（共10题）1. 【答案】A【解析】由π2≤2x−π4≤3π2,可得3π8≤x≤7π8，所以函数f(x)在区间[3π8,7π8]上单调递减．由于1<3π8<2，且3π8−1<2−3π8，所以f(1)>f(2)．由于3π8<2<7π8<3，且7π8−2>3−7π8，所以f(2)>f(3)．所以f(1)>f(2)>f(3)．故选A．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质2. 【答案】A【解析】由f(x)=e x+x−2=0，得e x=2−x，由g(x)=lnx+x−2=0，得lnx=2−x．作出函数y=e x，y=lnx，y=2−x的图象，如图所示．因为函数f(x)=e x+x−2的零点为a，函数g(x)=lnx+x−2的零点为b，因为y=e x与y=2−x的图象的交点的横坐标为a，y=lnx与y=2−x的图象的交点的横坐标为b，由图象知a<1<b．【知识点】函数的零点分布3. 【答案】B【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质4. 【答案】A【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质5. 【答案】D【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质6. 【答案】D【解析】θ=−2在第三象限，sinθ和cosθ同为负．【知识点】任意角的三角函数定义7. 【答案】A【解析】因为g(x)=f(x)+f(−x)2，所以g(−x)=f(−x)+f(x)2=g(x)，且g(x+π)=f(x+π)+f(−x−π)2=f(x−π)+f(−x+π)2=g(x−π)，即g(x)的一个周期为2π，当x≠kπ+π2时，p(−x)=g(−x)−g(−x+π)2cos(−x)=g(x)−g(x−π)2cosx=g(x)−g(x+π)2cosx=p(x),且p(x+π)=g(x+π)−g(x+2π)2cos(x+π)=g(x+π)−g(x)−2cosx=p(x)，当x=kπ+π2时，p(x)=0，所以y=p(x)是偶函数且周期为π；同理，ℎ(x)=f(x)−f(−x)2，所以ℎ(−x)=f(−x)−f(x)2=−ℎ(x)，且ℎ(x+π)=f(x+π)−f(−x−π)2=f(x−π)−f(−x+π)2=ℎ(x−π)，即ℎ(x)的一个周期为2π，当x≠kπ+π2时，q(−x)=ℎ(−x)−ℎ(−x+π)2sin2(−x)=−ℎ(x)+ℎ(x−π)−2sin2x=ℎ(x)−ℎ(x−π)2sin2x=ℎ(x)−ℎ(x+π)2sin2x=q(x),且q(x+π)=ℎ(x+π)+ℎ(x+2π)2sin2(x+π)=ℎ(x+π)+ℎ(x)2sin2x=q(x)，当x=kπ+π2时，q(x)=0，所以y=q(x)是偶函数且周期为π．综上所述，选A．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质8. 【答案】A【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质9. 【答案】D【解析】因为cos2α=1−2sin2α，故由题意，知2sin2α+sinα−1=0，即(sinα+1)(2sinα−1)=0．因为α为锐角，所以sinα=12，所以α=30∘．故选D．【知识点】二倍角公式10. 【答案】C【解析】函数y=cos2(x+π4)−sin2(x+π4)=cos(2x+π2)=−sin2x,所以该函数的最小正周期是T=2π2=π．故选C．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质二、填空题（共6题）11. 【答案】①；kπ2，k∈Z【解析】对于①，显然当φ=kπ或kπ+π2，k∈Z，即φ=kπ2，k∈Z时，f(x)是奇函数，故①错误，③正确；既是奇函数又是偶函数的函数为y=0，显然对于任意的φ，f(x)都不可能恒为0，故②正确；④显然正确．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质12. 【答案】−13【知识点】同角三角函数的基本关系13. 【答案】−15【解析】cos(3π2−θ)=−sinθ=−15．【知识点】诱导公式14. 【答案】222【解析】根据题意，设∠PAD=θ，则0≤θ≤π2，过点P作PD⊥AB，则P，D，Q三点共线，设这三段公路总造价为y，又由AB=20km，则AP=20cosθkm，BP=20sinθkm，则PD=20cosθsinθkm，又由两平行直线AB与l之间的距离为20km，则PQ=(20−20cosθsinθ)km，则y=6×(20sinθ+20cosθ)+5×(20−20cosθsinθ)=120(sinθ+cosθ)+100(1−sinθcosθ)，设sinθ+cosθ=t，则t=√2sin(θ+π4)，则有1≤t≤√2，则sinθcosθ=t 2−12，则y=120t+100(1−t 2−12)=120t+100(3−t22)=−50t2+120t+150，1≤t≤√2，分析可得：t=65时，y取得最大值，且y max=222．【知识点】三角函数模型的应用15. 【答案】2【解析】因为(sinα2−cosα2)2=15，所以1−sinα=15．所以sinα=45．又因为π2<α<π，所以cosα=−35．所以tanα2=1−cosαsinα=1−(−35)45=2．【知识点】半角公式16. 【答案】2√2−√36【知识点】两角和与差的余弦三、解答题（共6题）17. 【答案】当k=2n(n∈Z)时，θ=2nπ+π4，n∈Z，所以角θ的终边位于第一象限；当k=2n+1(n∈Z)时，θ=2nπ+3π4，n∈Z，所以角θ的终边位于第二象限．所以角θ的终边位于第一或第二象限．【知识点】弧度制18. 【答案】(1) f(x)=√3sin2x+cos2x=2sin(2x+π6)，当x∈[0,π2]时，π6≤2x+π6≤7π6，所以−1≤2sin(2x+π6)≤2，所以当x=π2时，f(x)在区间[0,π2]的最小值为−1．(2) 由题意知g(x)=f(x+π6)，所以g(x)=2sin[2(x+π6)+π6]=2sin(2x+π2)=2cos2x，由2kπ≤2x≤π+2kπ，k∈Z解得kπ≤x≤π2+kπ，k∈Z．因此，函数g(x)的单调递减区间为[kπ,kπ+π2]，k∈Z．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质19. 【答案】(1) 由直线x=π是y=f(x)图象的一条对称轴，可得sin(2ωπ−π6)=±1，所以2ωπ−π6=kπ+π2(k∈Z)，即ω=k2+13(k∈Z)．又0<ω<12，所以ω=13，所以函数f(x)的最小正周期为3π．(2) 由（1）知f(x)=2sin(23x−π6)+m，因为f(π)=0，所以2sin(2π3−π6)+m=0，所以m=−2，所以f(x)=2sin(23x−π6)−2，当0≤x≤3π2时，−π6≤23x−π6≤5π6，−12≤sin(23x−π6)≤1.所以−3≤f(x)≤0，故函数f(x)在[0,3π2]上的值域为[−3,0]．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质20. 【答案】(1) 由ωx≠kx+π2得x≠2k+12ωπ，k∈Z，所以函数f(x)=sin(tanωx)的定义域为{x∣∣ x≠2k+12ωπ,k∈Z}．所以定义域关于原点对称．f(−x)=sin[tanω(−x)]=sin(−tanωx)=−sin(tanωx)=−f(x)．所以函数f(x)=sin(tanωx)是{x∣∣ x≠2k+12ωπ,k∈Z}上的奇函数．(2) ω=1，f(x)=sin(tanωx)．函数f(x)是周期函数，且π是它的一个周期．因为f(x+π)=sin[tan(x+π)]=sin(tanx)=f(x)，所以函数f(x)是周期函数，且π是它的一个周期假设T0是函数f(x)=sin(tanx)的最小正周期，且0<T0<π．那么对任意实数x，都有f(x+T0)=sin[tan(x+T0)]=sin(tanx)=f(x)成立，取x=0，则sin(tanT0)=0，所以tanT0=kπ，k∈Z(∗)．（法一）取x=T0，则sin(tan2T0)=sin(tanT0)，所以sin(2tanT01−tan2T0)=sin(tanT0)，把 (∗) 式代入上式，得 sin (2kπ1−k 2π2)=0， 所以 2kπ1−k 2π2=nπ，k,n ∈Z ，得 2k 1−k 2π2=n ，k,n ∈Z ． k ≠0 时，上式左边为无理数，右边为有理数，所以只能 k =0，但由 0<T 0<π，tanT 0=kπ，k ∈Z 知 k ≠0，所以假设错误，故 π 是 f (x ) 的最小正周期．（法二）取 x 的一个特殊值 x =π3，左边=sin [tan (π3+T)]=sin (tan π3+tanT1−tan π3⋅tanT)=sin (√3+kπ1−√3kπ, 右边=sin (tan π3)=sin √3，左右两边不等． 所以假设错误，故 π 是 f (x ) 的最小正周期．（法三）假设 T 0 是函数 f (x )=sin (tanx ) 的最小正周期，且 0<T 0<π， 即 f (x +T 0)=f (x ) 成立，取 x 0=π2−T 0，所以 x 0∈(−π2,π2)， 那么 f (x 0+T 0)=f (x 0) 有意义，但是 x 0+T 0=π2，显然是无意义的，所以假设错误，故 π 是 f (x ) 的最小正周期．(3) 因为 x >0，12(x +1x )≥12×2√x ⋅1x=1 且 f (x )=sin (tanωx )≤1， 由 f (x )=sin (tanωx )=g (x )=12(x +1x ) 成立，当且仅当 x =1 成立．sin (tanω)=1，得 tanω=2kπ+π2，所以 ω=arctan (2kπ+π2)+nπ，k,n ∈Z ． 因为 ω∈(1.50,1.57)，所以只能 n =0，得 ω=arctan (2kπ+π2)，k ∈Z ， 得 ω=tan (2kπ+π2) 是 k 的递增函数． 当 k <0 时，ω=arctan (2kπ+π2)<arctan (−3π2)<0，不符合； 当 k =0 时，ω=arctan π2≈1.00∉(1.50,1.57)；当 k =1 时，ω=arctan5π2≈1.44∉(1.50,1.57)； 当 k =2 时，ω=arctan9π2≈1.5001∈(1.50,1.57)；当k=3时，ω=arctan13π2≈1.52∈(1.50,1.57)；当k=199时，ω=arctan797π2≈1.5699∈(1.50,1.57)；当k=200时，ω=arctan801π2≈1.570001546∉(1.50,1.57)；当k>200时，ω>1.570001546∉(1.50,1.57)，无解．故满足条件的ω的个数有198个．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质、函数的奇偶性21. 【答案】(1) k>10．(2) a∈{a∣ a=12或1<B≤5}．【知识点】函数的零点分布、Asin(ωx+ψ)形式函数的性质22. 【答案】(1) y=12sinx+12∣sinx∣={sinx,x∈[2kπ,2kπ+π](k∈Z)0,x∈[2kπ−π,2kπ](k∈Z)．函数图象如图所示．(2) 由图象知该函数是周期函数，其图象每隔2π重复一次，则函数的周期是2π．【知识点】正弦函数的图象、Asin(ωx+ψ)形式函数的性质。

人教A 版高一数学必修第一册第五章《三角函数》单元练习题卷5（共22题）一、选择题（共10题）1. 函数 f(x)=sin (2x −π4)−2√2sin 2x ( ) A ．在区间 [−3π8,π8] 上单调递增B ．在区间 [π8,5π8] 上单调递增 C ．在区间 [−3π8,π8] 上单调递减D ．在区间 [−π4,π4] 上单调递减2. 已知 sin (α+π6)=45，则 sin (2α+5π6) 等于 ( )A ． 35B ． 2425C ． 725D ． −7253. ∘√1−sin20∘等于 ( ) A ．√32B ．√33C ． √2D ．√224. 已知 ω>13，函数 f (x )=sin (2ωx −π3) 在区间 (π,2π) 内没有最值，给出下列四个结论： ① f (x ) 在 (π,2π) 上单调递增； ② ω∈[512,1124]；③ f (x ) 在 [0,π] 上没有零点； ④ f (x ) 在 [0,π] 上只有一个零点． 其中所有正确结论的序号是 ( ) A ．②④ B ．①③ C ．②③ D ．①②④5. 设函数 y =x 3与 y =(12)x−2的图象的交点为 (x 0,y 0)，则 x 0 所在的区间是 ( )A ． (0,1)B ． (1,2)C ． (2,3)D ． (3,4)6. 下列命题中，错误的是 ( ) A ．度与弧度是度量角的两种不同的度量单位 B ． 1 度的角是周角的1360，1 弧度的角是周角的12πC ．根据弧度的定义，180∘ 一定等于 π 弧度D ．不论是用角度制还是用弧度制度量角，它们均与圆的半径长短有关7. 已知 a =log 0.32，b =20.1，c =sin789∘，则 a ，b ，c 的大小关系是 ( ) A ． a <b <c B ． a <c <b C ． c <a <b D ． b <c <a8. 函数 f (x )=Asin (ωx +φ)(A >0,ω>0,0<φ<π) 的部分图象如图所示，函数 g (x )=f (x +π8)，则下列结论正确的是 ( )A ． f (x )=2sin (x +π4)B ．函数 f (x ) 与 g (x ) 的图象均关于直线 x =−π4x 对称C ．函数 f (x ) 与 g (x ) 的图象均关于点 (−π4,0) 对称 D ．函数 f (x ) 与 g (x ) 在区间 (−π3,0) 上均单调递增9. 已知曲线 C 1:y =cosx ，C 2:y =sin (2x +2π3)，则下面结论正确的是 ( )A ．把 C 1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 π6个单位长度，得到曲线 C 2B ．把C 1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 π12 个单位长度，得到曲线 C 2C ．把 C 1 上各点的横坐标缩短到原来的 12 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 π6 个单位长度，得到曲线 C 2D ．把 C 1 上各点的横坐标缩短到原来的 12 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 π12 个单位长度，得到曲线 C 210. 已知函数 y =tanωx 在区间 (−π2,π2) 内单调递减，则 ( ) A ． 0<ω≤1 B ． −1≤ω<0 C ． ω≥1 D ． ω≤−1二、填空题（共6题）11. 已知函数 f (x )=sin (3x +φ)(−π2<φ<π2) 的图象关于直线 x =π4 对称，则 φ= ．12. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在 (0,1)，此时圆上一点 P 的位置在 (0,0)，圆在 x 轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于 (2,1) 时，P 的坐标为 ．13. 若 sinα=13，且 α 为第二象限，则 cos (π2+α)= ，tan (π−α)= ．14. 形如 ∣∣∣ab cd ∣∣∣ 的式子叫做行列式，其运算法则为 ∣∣∣a b c d ∣∣∣=ad −bc ，则行列式 ∣∣∣sin15∘√2cos15∘√2∣∣∣ 的值是 ．15. 11−tan15∘−11+tan15∘= ．16. 已知 tan (α+β)=23，tan (β−π4)=−1，则 tan (α+π4)= ．三、解答题（共6题）17. 已知函数 f (x )=(2+2tanx )cos 2x ．(1) 求函数 f (x ) 的定义域及最小正周期； (2) 求函数 f (x ) 的单调增区间．18.已知函数f(x)=√3cos(π2−x)cos(2π−x)−cos2x．(1) 求函数f(x)的单调递增区间．(2) 若θ∈[0,π2]，f(θ2+π3)=310，求tan(θ+π4)的值．19.用五点法作出函数y=2sin(12x+π6)在一个周期上的大致图象．20.已知函数y=f(x)的定义域D，值域为A．(1) 下列哪个函数满足值域为R，且单调递增？（不必说明理由）① f(x)=tan[(x−12)π]，x∈(0,1)，② g(x)=lg(1x−1)，x∈(0,1)．(2) 已知f(x)=log12(2x+1)，g(x)=sin2x，函数f[g(x)]的值域A=[−1,0]，试求出满足条件的函数f[g(x)]一个定义域D；(3) 若D=A=R，且对任意的x,y∈R，有∣f(x−y)∣=∣f(x)−f(y)∣，证明：f(x+y)=f(x)+f(y)．21.已知f(x)=2cosx(sinx−√3cosx)+√3．(1) 求函数f(x)的最小正周期及单调递减区间；(2) 求函数f(x)在区间[−π2,0]的取值范围．22.函数的性质通常指函数的定义域、值域、周期性、单调性、奇偶性、对称性等，请选择适当的探究顺序，研究函数f(x)=√1−sinx+√1+sinx的性质，并在此基础上填写下表，作出f(x)在区间[−π,2π]上的图象．答案一、选择题（共10题）1. 【答案】A【解析】因为f(x)=sin(2x−π4)−2√2sin2x=√22sin2x−√22cos2x−2√2⋅1−cos2x2=√22sin2x+√22cos2x−√2=sin(2x+π4)−√2.所以当2x+π4∈[−π2,π2]时，即x∈[−3π8,π8]时，f(x)单调递增．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质2. 【答案】D【解析】因为sin(2α+5π6)=sin(2α+π3+π2)=cos(2α+π3)=cos[2(α+π6)]=1−2sin2(α+π6),所以sin(2α+5π6)=1−2×(45)2=−725．【知识点】二倍角公式3. 【答案】D【解析】∘√1−sin20∘=∘√1−cos70∘=∘√2sin235∘=∘√2sin35∘=∘√2sin35∘=√22.【知识点】二倍角公式4. 【答案】A【解析】因为函数f(x)=sin(2ωx−π3)在区间(π,2π)内没有最值，所以 2kπ−π2≤2ωπ−π3<4ωπ−π3≤2kπ+π2 或 2kπ+π2≤2ωπ−π3<4ωπ−π3≤2kπ+3π2，k ∈Z ，解得 k −112≤ω≤k2+524 或 k +512≤ω≤k2+1124，k ∈Z ． 又 T =2πω≥2π，且 ω>13，所以 13<ω≤1．令 k =0 可得 ω∈[512,1124]，且 f (x ) 在 (π,2π) 上单调递减． 所以①错误，②正确．当 x ∈[0,π] 时，2ωx −π3∈[−π3,2πω−π3]，且 2πω−π3∈[π2,7π12]，所以 f (x ) 在 [0,π] 上只有一个零点， 所以③错误，④正确． 所以正确结论的序号是②④． 【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质5. 【答案】B【解析】 y =x 3与 y =(12)x−2的图象的交点的横坐标 x 0 即方程 x 3=(12)x−2的根，即函数f (x )=x 3−(12)x−2的零点．又 f (1)=1−(12)−1=−1<0，f (2)=23−(12)0=7>0，所以 f (x ) 的零点在 (1,2) 内，即 x 0∈(1,2)． 【知识点】指数函数及其性质6. 【答案】D【解析】根据角度制和弧度制的定义，可知无论是角度制还是弧度制，角的大小与圆的半径长短无关．故选D ． 【知识点】弧度制7. 【答案】B【解析】 a =log 0.32<0，b =20.1>1，c =sin789∘=sin69∘⇒0<c <1． 所以 b >c >a ．【知识点】对数函数及其性质、指数函数及其性质8. 【答案】D【解析】由函数 f (x )=Asin (ωx +φ)(A >0,ω>0,0<φ<π) 的部分图象可得 A =2，T2=5π8−π8，即 T =π，则 ω=2πT=2，又函数图象过点 (π8,2)，则 2×π8+φ=2kπ+π2， 即 φ=2kπ+π4，k ∈Z ，又 0<φ<π，即 φ=π4，即 f (x )=2sin (2x +π4)，则 g (x )=2sin [2(x +π8)+π4]=2cos2x ． 对于选项A ，显然错误；对于选项B ，函数 g (x ) 的图象关于直线 x =kπ2，k ∈Z 对称，即B 错误；对于选项C ，函数 f (x ) 的图象关于点 (kπ2−π8,0)，k ∈Z 对称，即C 错误； 对于选项D ，函数 f (x ) 的增区间为 [kπ−3π8,kπ+π8]，k ∈Z ，函数 g (x ) 的增区间为 [kπ−π2,kπ]，k ∈Z ， 又 (−π3,0)⊆[kπ−3π8,kπ+π8]，k ∈Z ，(−π3,0)⊆[kπ−π2,kπ]，k ∈Z ，即D 正确． 【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质9. 【答案】D【解析】易知 C 1:y =cosx =sin (x +π2)，把曲线 C 1 上的各点的横坐标缩短到原来的 12 倍，纵坐标不变，得到函数 y =sin (2x +π2) 的图象，再把所得函数的图象向左平移 π12 个单位长度，可得函数 y =sin [2(x +π12)+π2]=sin (2x +2π3) 的图象，即曲线 C 2，故选D ．【知识点】三角函数的图象变换10. 【答案】B【知识点】正切函数的性质二、填空题（共6题） 11. 【答案】 −π4【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质12. 【答案】 (2−sin2,1−cos2)【解析】根据题意可知圆滚动了 2 单位个弧长，点 P 旋转 了 21=2 弧度，此时点 P 的坐标为x P =2−cos (2−π2)=2−sin2，y P =1+sin (2−π2)=1−cos2，所以 P (2−sin2,1−cos2)．另解 1：根据题意可知滚动制圆心为 (2,1) 时的圆的参数方程为 {x =2+cosθ,y =1+sinθ, 且 ∠PCD =2，θ=3π2−2，则点 P 的坐标为 {x =2+cos (3π2−2)=2−sin2,y =1+sin (3π2−2)=1−cos2,即 P (2−sin2,1−cos2)．【知识点】弧度制13. 【答案】 −13 ；√24【解析】由诱导公式可知，cos (π2+α)=−sinα， 因为 sinα=13，所以 cos (π2+α)=−sinα=−13， 由 sin 2α+cos 2α=1，sinα=13，且 α 为第二象限， 所以 cosα=−2√23， tan (π−α)=−tanα=−sinαcosα=√24． 【知识点】同角三角函数的基本关系、诱导公式14. 【答案】 −1【知识点】两角和与差的正弦15. 【答案】√33【解析】原式=2tan15∘(1−tan15∘)(1+tan15∘)=2tan15∘1−tan215∘=tan30∘=√33.【知识点】二倍角公式16. 【答案】5【解析】tan(α+π4)=tan[(α+β)−(β−π4)]=tan(α+β)−tan(β−π4)1+tan(α+β)tan(β−π4)=23+11+23×(−1)=5.【知识点】两角和与差的正切三、解答题（共6题）17. 【答案】(1) 因为f(x)=2cos2x+2⋅sinxcosx⋅cos2x，所以f(x)=2⋅1+cos2x2+2sinxcosx，所以f(x)=1+cos2x+sin2x=√2sin(2x+π4)+1，所以f(x)的最小正周期为T=2π2=π．要使tanx有意义，则x≠kπ+π2，k∈Z，所以f(x)的定义域为{x∣∣ x≠kπ+π2,k∈Z}．(2) 令2kπ−π2≤2x+π4≤2kπ+π2，k∈Z，得2kπ−3π4≤2x≤2kπ+π4，k∈Z，所以kπ−3π8≤x≤kπ+π8，k∈Z．所以f(x)单调递增区间是[kπ−3π8,kπ+π8](k∈Z)【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质18. 【答案】(1) 由题设可知：f (x )=√3cos (π2−x)cos (2π−x )−cos 2x=√3sinxcosx −1+cos2x 2=√32sin2x −12cos2x −12=sin (2x −π6)−12, 令 2kπ−π2≤2x −π6≤2kπ+π2，k ∈Z ，即 2kπ−π3≤2x ≤2kπ+2π3，k ∈Z ， 解得 kπ−π6≤x ≤kπ+π3，k ∈Z ，故函数 f (x ) 的单调递增区间为 [kπ−π6,kπ+π3]，k ∈Z ．(2) 故 f (θ2+π3)=sin (θ+2π3−π6)−12=cosθ−12=310， 所以 cosθ=45，又 θ∈[0,π2]，故 sinθ=√1−cos 2θ=35，tanθ=sinθcosθ=34， 故 tan (θ+π4)=1+tanθ1−tanθ=7．【知识点】两角和与差的正切、Asin(ωx+ψ)形式函数的性质19. 【答案】略【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质20. 【答案】(1) f (x )=tan [(x −12)π]，x ∈(0,1) 满足； g (x )=lg (1x −1)，x ∈(0,1) 不满足． (2) 因为 f [g (x )]=log 12(2sin2x +1)∈[−1,0]， 所以 2sin2x +1∈[1,2]，即 sin2x ∈[0,12]，所以 2x ∈[2kπ,kπ+π6]∪[2kπ+5π6,2kπ+π]，k ∈Z ．所以 x ∈[kπ,kπ+π12]∪[kπ+5π12,kπ+π2]，k ∈Z ， 满足条件的 D =[0,π12]（答案不唯一）．(3) 假设存在 a ，b 使得 f (a +b )≠f (a )+f (b )．又有 ∣f (a )∣=∣f (a +b )−f (b )∣，∣f (b )∣=∣f (a +b )−f (a )∣，所以 −f (a )=f (a +b )−f (b )，−f (b )=f (a +b )−f (a )，结合两式：f (a )=f (b )，f (a +b )=0，所以 ∣f (b )−f (−a )∣=∣f (a +b )∣=0，故 f (−a )=f (b )=f (a )． 由于 f (a +b )≠f (a )+f (b ) 知：f (a )≠0．又 ∣∣f (a 2)∣∣=∣∣f (a )−f (a 2)∣∣⇒f (a 2)=12f (a )． 类似地，由于 f (−a )≠0，∣∣f (−a 2)∣∣=∣∣f (−a )−f (−a 2)∣∣， 得 f (−a 2)=12f (−a )=12f (a )． 所以 ∣f (a )∣=∣∣f (a 2)−f (−a 2)∣∣=0，与 f (a )≠0 矛盾，所以原命题成立． 【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质、函数的单调性、抽象函数21. 【答案】(1) 由题意，化简得f (x )=2cosxsinx −√3(2cos 2x −1)=sin2x −√3cos2x=2sin (2x −π3).所以函数 f (x ) 的最小正周期为 π，因为 y =sinx 的减区间为 [2kπ+π2,2kπ+3π2]，k ∈Z ， 由 2kπ+π2≤2x −π3≤2kπ+3π2，得 kπ+5π12≤x ≤kπ+11π12， 所以函数 f (x ) 的单调递减区间为 [kπ+5π12,kπ+11π12]，k ∈Z ．(2) 因为 x ∈[−π2,0]， 所以 2x −π3∈[−4π3,−π3]， 所以 −2≤2sin (2x −π3)≤√3， 所以函数 f (x ) 在区间 [−π2,0] 上的取值范围是 [−2,√3]．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质22. 【答案】因为1−sinx≥0且1+sinx≥0在R上恒成立，所以函数的定义域为R；因为f2(x)=(√1−sinx+√1+sinx)2=2+2∣cosx∣，所以由∣cosx∣∈[0,1]，f2(x)∈[2,4]可得函数的值域为[√2,2]；因为f(x+π)=√1+sinx+√1−sinx=f(x)，所以函数的最小正周期为π．因为当x∈[0,π2]时，f(x)=√1−sinx+√1+sinx=2cos x2，在[0,π2]上为减函数；当x∈[π2,π]时，f(x)=√1−sinx+√1+sinx=2sin x2，在[π2,π]上为增函数．所以f(x)在[kπ−π2,kπ]上递增，在[kπ,kπ+π2]上递减(k∈Z)．因为f(−x)=f(x)且f(π2−x)=f(π2+x)，所以f(x)在其定义域上为偶函数，结合周期为π得到图象关于直线x=kπ2对称．因此，可得如下表格：【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质。

《三角》试题库一、填空:1.角375为第 象限的角2.与60 角终边相同的所有角组成的集合3.34π= 度 π51= 度，120 = 弧度 。

4.y=2Sin2x 的周期为 最大值为 5.正切函数y=tanx 的定义域为 6.若Sin α=a 则sin(-α)=7.正弦函数y=sinx 的定义域 值域 8. 若α是第四象限角，53cos =α，则 Sin α= ，αtan = 。

9.已知：tan α=1且α∈（0,2π），则α= 。

10.已知Cos α=31则Cos(απ-)= .Cos(-α)=11.若点)5,3(-p 是角α终边上一点，则=αsin ，Cos α= ，αtan = 。

12.y=Sinx 且x ∈[0,2π]则当x= 时。

Y 有最大值是 13.y=Sinx 且x ∈[0,2π]则当x= 时。

Y 有最小值是 14．已知Sin α=22且α∈（0，2π）则Cos α= tan α=15.函数y=Sinx 图象向右平移4π单位，则得到的图象的函数解析式为 16．正弦型函数y=3Sin(21x-4π)的周期为 ，最大值为 ，最小值为 。

17.sin3π= ,sin(-3π)= . 18.cos 4π= , cos(-4π)= .19.-120是第 象限的角，210是第 象限的角。

20．若α是第三象限的角，则sin α 0 ,cos α 0,tan α 0（用“<”或“>”符号填空）21. 若cos α<0,则α为第 或第 象限的角。

班级 学号 姓名22．若tan α>0，则α为第 或第 象限的角。

23．若sin α>0且tan α>0，则α为第 象限的角。

24．正弦函数Y=sinX 在区间（0，2π）上为单调 函数。

25．函数1sin 2+=x y 的最小正周期为 ，函数)32sin(ππ-=x y 的最小正周期 。

26.0105sin 15sin 105cos 15cos ⋅-⋅的值是 。