2020年中考数学三轮复习专项练习：《相似综合》

2020年九年级中考数学复习专题训练：《相似综合》1．如图1，点P从菱形ABCD的顶点B出发，沿B→D→A匀速运动到点A，BD的长是；图2是点P运动时，△PBC的面积y（cm2）随时间x（s）变化的函数图象．（1）点P的运动速度是cm/s；（2）求a的值；（3）如图3，在矩形EFGH中，EF＝2a，FG﹣EF＝1，若点P、M、N分别从点E、F、G三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向匀速运动，当点M到达点G（即点M与点G重合）时，三个点随之停止运动；若点P不改变运动速度，且点P、M、N的运动速度的比为2：6：3，在运动过程中，△PFM关于直线PM的对称图形是△PF'M，设点P、M、N的运动时间为t（单位：s）．①当t＝s时，四边形PFMF'为正方形；②是否存在t，使△PFM与△MGN相似，若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．2．如图1，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AD＝3，AB＝4，BC＝6，动点P从点A出发以1个单位/秒的速度沿AB运动，动点Q同时从点C出发以2个单位/秒的速度沿CB 运动，过点P作EP⊥AB，交BD于E，连接EQ．当点Q与点B重合时，两动点均停止运动，设运动的时间为t秒．（1）当t＝1时，求线段EP的长；（2）运动过程中是否存在某一时刻，使△BEQ与△ABD相似？若存在，请求出所有满足要求的t的值；若不存在，请说明理由；（3）如图2，连接CE，求运动过程中△CEQ的面积S的最大值．3．如图1，在△ABC中，AB＝AC＝10，，点D为BC边上的动点（点D不与点B，C 重合）．以D为顶点作∠ADE＝∠B，射线DE交AC边于点E，过点A作AF⊥AD交射线DE于点F，连接CF．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）当DE∥AB时（如图2），求AE的长；（3）点D在BC边上运动的过程中，是否存在某个位置，使得DF＝CF？若存在，求出此时BD的长；若不存在，请说明理由．4．如图（1），在矩形ABCD中，AD＝nAB，点M，P分别在边AB，AD上（均不与端点重合），且AP＝nAM，以AP和AM为邻边作矩形AMNP，连接AN，CN．【问题发现】（1）如图（2），当n＝1时，BM与PD的数量关系为，CN与PD的数量关系为．【类比探究】（2）如图（3），当n＝2时，矩形AMNP绕点A顺时针旋转，连接PD，则CN与PD之间的数量关系是否发生变化？若不变，请就图（3）给出证明；若变化，请写出数量关系，并就图（3）说明理由．【拓展延伸】（3）在（2）的条件下，已知AD＝4，AP＝2，当矩形AMNP旋转至C，N，M三点共线时，请直接写出线段CN的长．5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，D、E分别是AB、BC的中点．连接DE．动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿AB向终点B运动．同时，动点Q从点C 出发，沿折线CE﹣ED向终点D运动，在CE、ED上的速度分别是每秒3个单位长度和4个单位长度，连接PQ，以PQ、PD为边作▱DPQM．设▱DPQM与四边形ACED重叠部分图形的面积是S（平方单位），点P的运动时间为t（s）．（1）当点P在AD上运动时，PQ的长为（用含t的代数式表示）；（2）当▱DPQM是菱形时，求t的值；（3）当0＜t＜2时，求S与t之间的函数关系式；（4）当△DPQ与△BDE相似时，直接写出t的值．6．如图，在平行四边形ABCD中，AC为对角线，过点D作DE⊥DC交直线AB于点E，过点E 作EH⊥AD于点H，过点B作BF⊥AD于点F．（1）如图1，若∠BAD＝60°，AF＝3，AH＝2，求AC的长；（2）如图2，若BF＝DH，在AC上取一点G，连接DG、GE，若∠DGE＝75°，∠CDG＝45°﹣∠CAB，求证：DG＝CG．7．（1）问题引入：如图1所示，正方形ABCD和正方形AEFG，则BE与DG的数量关系是，＝；（2）类比探究：如图2所示，O为AD、HG的中点，正方形EFGH和正方形ABCD中，判断BE和CF的数量关系，并求出的值；（3）解决问题：①若把（1）中的正方形都改成矩形，且＝＝，则（1）中的结论还成立吗？若不能成立，请写出BE与GD的关系，并求出值；②若把（2）中的正方形也都改成矩形，且＝＝2n，请直接写出BE和CF的关系以及的8．在正方形ABCD中，点E是直线AB上动点，以DE为边作正方形DEFG，DF所在直线与BC 所在直线交于点H，连接EH．（1）如图1，当点E在AB边上时，延长EH交GF于点M，EF与CB交于点N，连接CG，①求证：CD⊥CG；②若tan∠HEN＝，求的值；（2）当正方形ABCD的边长为4，AE＝1时，请直接写出EH的长．9．如图a，在正方形ABCD中，E、F分别为边AB、BC的中点，连接AF、DE交于点G．（1）求证：AF⊥DE；（2）如图b，连接BG，BD，BD交AF于点H．①求证：GB2＝GA•GD；②若AB＝10，求三角形GBH的面积．10．如图1，在矩形ABCD中，P为CD边上一点（DP＜CP），∠APB＝90°．将△ADP沿AP 翻折得到△AD′P，PD′的延长线交边AB于点M，过点B作BN∥MP交DC于点N．（1）求证：AD2＝DP•PC；（2）请判断四边形PMBN的形状，并说明理由；（3）如图2，连接AC分别交PM、PB于点E、F．若AD＝3DP，探究EF与AE之间的的数量关系．11．△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AC＝2cm．长为1cm的线段MN在△ABC的边AB上沿AB方向以1cm/s的速度向点B运动（运动前点M与点A重合）．过M，N分别作AB的垂线交直角边于P，Q两点，线段MN运动的时间为ts．（1）当0≤t≤1时，PM＝，QN＝（用t的代数式表示）；（2）线段MN运动过程中，四边形MNQP有可能成为矩形吗？若有可能，求出此时t的值；若不可能，说明理由；（3）t为何值时，以C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？12．如图，四边形ABCD是矩形，AB＝6，BC＝4，点E在边AB上（不与点A、B重合），过点D作DF⊥DE，交边BC的延长线于点F．（1）求证：△DAE∽△DCF．（2）设线段AE的长为x，线段BF的长为y，求y与x之间的函数关系式．（3）当四边形EBFD为轴对称图形时，则cos∠AED的值为．13．如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，点M在BC上，连接AM，作∠AMN＝∠AMB，点N 在直线AD上，MN交CD于点E．（1）求证：△AMN是等腰三角形；（2）求证：AM2＝2BM•AN；（3）当M为BC中点时，求ME的长．14．如图，在平面直角坐标系中，过原点O及A（8，0）、C（0，6）作矩形OABC，连接AC，一块直角三角形PDE的直角顶点P始终在对角线AC上运动（不与A、C重合），且保持一边PD始终经过矩形点B，PE交x轴于点Q（1）＝；（2）在点P从点C运动到点A的过程中，的值是否发生变化？如果变化，请求出其变化范围，如果不变，请说明理由，并求出其值；（3）若将△QAB沿直线BQ折叠后，点A与点P重合，则PC的长为．15．如图，在矩形OABC中，点A，B的坐标分别为A（4，0），B（4，3），动点N，P分别从点B，A同时出发，点N以1单位/秒的速度向终点C运动，点P以5/4单位/秒的速度向终点C运动，连结NP，设运动时间为t秒（0＜t＜4）（1）直接写出OA，AB，AC的长度；（2）求证：△CPN∽△CAB；（3）在两点的运动过程中，若点M同时以1单位/秒的速度从点O向终点A运动，求△MPN的面积S与运动的时间t的函数关系式（三角形的面积不能为0），并直接写出当S ＝时，运动时间t的值．16．如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上（不与点C，D重合），连结AE，BD交于点F．（1）若点E为CD中点，AB＝2，求AF的长．（2）若tan∠AFB＝2，求的值．，（3）若点G在线段BF上，且GF＝2BG，连结AG，CG，＝x，四边形AGCE的面积为S1，求的最大值．△ABG的面积为S217．如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别是边BC，AC上的点，且∠ADE＝∠B．（1）求证：AB•CE＝BD•CD；（2）若AB＝5，BC＝6，求AE的最小值；（3）如图2，若△ABC为等边三角形，AD⊥DE，BE⊥DE，点C在线段DE上，AD＝3，BE ＝4，求DE的长．18．如图，△ABC中，AB＝AC，点P为BC边上一动点（不与B，C重合），以AP为边作∠APD＝∠ABC，与BC的平行线AD交于点D，与AC交于点E，连结CD．（1）求证：△ABP∽△DAE．（2）已知AB＝AC＝5，BC＝6．设BP＝x，CE＝y．①求y关于x的函数表达式及自变量x的取值范围；＝时，求CE的值．②当S△ACD19．如图，在矩形ABCD的边AB上取一点E，连接CE并延长和DA的延长线交于点G，过点E作CG的垂线与CD的延长线交于点H，与DG交于点F，连接GH．（1）当tan∠BEC＝2且BC＝4时，求CH的长；（2）求证：DF•FG＝HF•EF；（3）连接DE，求证：∠CDE＝∠CGH．20．定义：若一个四边形能被其中一条对角线分割成两个相似三角形，则称这个四边形为“友好四边形”．（1）如图1，在4×4的正方形网格中，有一个网格Rt△ABC和两个网格四边形ABCD与ABCE，其中是被AC分割成的“友好四边形”的是；（2）如图2，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△A'B'C，点B'落在边AC，过点A作AD∥A'B'交CA'的延长线于点D，求证：四边形ABCD是“友好四边形”；（3）如图3，在△ABC中，AB≠BC，∠ABC＝60°，△ABC的面积为6，点D是∠ABC 的平分线上一点，连接AD，CD．若四边形ABCD是被BD分割成的“友好四边形”，求BD 的长．参考答案1．解：（1）由图2可知，s点P从点B运动到点D，∵BD＝，∴点P的运动速度＝÷＝1（cm/s），故答案为：1；（2）如图1，作DQ⊥BC于点Q，当点P在BD上时，a＝×BC×DP，∵四边形ABCD为菱形，点P的运动速度为1，∴AD＝BC＝1×a＝a，∴a＝×a×DP，解得，DQ＝2，在Rt△BDQ中，BQ＝＝1，∴CQ＝a﹣1，在Rt△CDQ中，CD2＝CQ2+DQ2，即a2＝（a﹣1）2+22，解得，a＝；（3）①∵点P的运动速度1cm/s，点P、M的运动速度的比为2：6 ∴点M的运动速度3cm/s，由题意得，EF＝2a＝5，∵FG﹣EF＝1，∴FG＝6，∴PF＝5﹣t，FM＝3t，由翻转变换的性质可知，PF＝PF′，FM＝FM′，当PF＝FM时，PF＝PF′＝FM＝FM′，∴四边形PFMF'为菱形，又∠F＝90°，∴四边形PFMF'为正方形，∴5﹣t＝3t，即t＝1.25时，四边形PFMF'为正方形，故答案为：1.25；②存在，∵点P的运动速度1cm/s，点P、M、N的运动速度的比为2：6：3，∴点M的运动速度3cm/s，点N的运动速度1.5cm/s，∴PF＝5﹣t，FM＝3t，GN＝1.5t，∵点M的运动速度3cm/s，FG＝6，∴0≤t≤2，当△PFM∽△MGN时，＝，即＝，解得，t＝，当△PFM∽△NGM时，＝，即＝，解得，t1＝﹣7﹣（舍去），t2＝﹣7+，综上所述，当t＝或﹣7+时，△PFM与△MGN相似．2．解：（1）当t＝1时，则AP＝1，∴BP＝AB﹣AP＝3，∵EP⊥AB，∴∠EPB＝∠A＝90°，∴EP∥AD，∴△BPE∽△BAD，∴，∴，∴EP＝；（2）∵∠A＝90°，AD＝3，AB＝4，∴BD＝＝＝5，∵EP⊥AB，∴∠EPB＝∠A＝90°，∴EP∥AD，∴△BPE∽△BAD，∴，∴，∴BE＝5﹣t，∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠EBQ，若∠BEQ＝∠A＝90°，∴△BAD∽△QEB，∴，∴＝，∴t＝28（不合题意舍去），若∠BQE＝∠A＝90°，∴△BAD∽△EQB，∴，∴t＝，（3）∵S＝×CQ×PB＝×2t×（4﹣t）＝﹣（t﹣2）2+4，∴当t＝2时，S最大值为4，∴△CEQ的面积S的最大值为4．3．证明：（1）∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∵∠ADE+∠CDE＝∠B+∠BAD，∠ADE＝∠B，∴∠BAD＝∠CDE，∴△BAD∽△DCE；（2）如图2中，作AM⊥BC于M．在Rt△ABM中，设BM＝4k，∵＝，∴，由勾股定理，得到AB2＝AM2+BM2，∴102＝（3k）2+（4k）2，∴k＝2或﹣2（舍弃），∴AM＝6，BM＝8，∵AB＝AC，AM⊥BC，∴BC＝2BM＝2×2k＝16，∵DE∥AB，∴∠BAD＝∠ADE，∵∠ADE＝∠B，∠B＝∠ACB，∴∠BAD＝∠ACB，∵∠ABD＝∠CBA，∴△ABD∽△CBA，∴，∴＝，∵DE∥AB，∴，∴＝．（3）点D在BC边上运动的过程中，存在某个位置，使得DF＝CF．理由：作FH⊥BC于H，AM⊥BC于M，AN⊥FH于N．则∠NHM＝∠AMH＝∠ANH＝90°，∴四边形AMHN为矩形，∴∠MAN＝90°，MH＝AN，∵AB＝AC，AM⊥BC，∵AB＝10，∴BM＝CM＝8，∴BC＝16，在Rt△ABM中，由勾股定理，得AM＝6，∵AN⊥FH，AM⊥BC，∴∠ANF＝90°＝∠AMD，∵∠DAF＝90°＝∠MAN，∴∠NAF＝∠MAD，∴△AFN∽△ADM，∴，∴，∴CH＝CM﹣MH＝CM﹣AN＝8﹣＝，当DF＝CF时，由点D不与点C重合，可知△DFC为等腰三角形，∵FH⊥DC，∴CD＝2CH＝7，∴BD＝BC﹣CD＝16﹣7＝9，∴点D在BC边上运动的过程中，存在某个位置，使得DF＝CF，此时BD＝9．4．解：（1）BM＝PD，，理由如下：当n＝1，则AD＝AB，AP＝AM，∴AD﹣AP＝AB﹣AM，∴DP＝BM，∵四边形ABCD是矩形，四边形AMNP是矩形，∴AD＝CD＝AB，AP＝AM＝NP，∠ADC＝∠APN＝90°，∴AC＝AD，AN＝AP，∴AC﹣AN＝（AD﹣AP），∴CN＝PD，故答案为：BM＝PD，；（2）CN与PD之间的数量关系发生变化，，理由如下：如图（1）在矩形ABCD和矩形AMNP中，∵当n＝2．AD＝2AB，AP＝2AM，∴，，∴.，如图（3）连接AC，∵矩形AMNP绕点A顺时针旋转，∴∠NAC＝∠PAD，∴△ANC∽△APD，∴，∴；（3）如图，当点N在线段CM上时，∵AD＝4，AD＝2AB，∴AB＝CD＝2，∴AC＝＝＝，∵AP＝2，AP＝2AM，∴AM＝1，∴CM＝＝＝，∴CN＝CM﹣MN＝﹣2；如图，当点M在线段CN上时，同理可求CM＝，∴CN＝CM+MN＝+2；综上所述：线段CN的长为或．5．解：（1）∵∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，∴BC＝＝＝6，∵D、E分别是AB、BC的中点．∴DE∥AC，DE＝AC＝4，BD＝AD＝5，BE＝CE＝3，∵动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿AB向终点B运动，∴AP＝5t，∴BP＝10﹣5t，∵DE∥AC，∴△BPQ∽△BAC，∴，∴∴PQ＝8﹣4t，故答案为：8﹣4t；（2）当点P在AD上运动时，∵四边形DPQM是菱形，∴PD＝PQ，∴5﹣5t＝8﹣4t，∴t＝﹣3（不合题意舍去），当点P在BD上运动时，过点P作PH⊥DQ于H，∵四边形DPQM是菱形，∴PD＝PQ，且PH⊥DQ，∴DH＝HQ＝DQ＝[4﹣4（t﹣1）]＝4﹣2t，∵DE∥AC，∴∠DEB＝∠ACB＝90°＝∠PHD，∴PH∥BE，∴△PDH∽△BDE，∴，∴，∴t＝，PH＝3t﹣3，综上所述：当t＝时，▱DPQM是菱形；（3）当0＜t＜1时，S＝×（8﹣4t+4）×（3﹣3t）＝6t2﹣24t+18，当t＝1时，不能作出▱DPQM，当1＜t＜2时，S＝×（8﹣4t）×（3t﹣3）＝﹣6t2+18t﹣12；（4）当点P在AD上时，不存在△DPQ与△BDE相似，当点P在BD上时，则∠PDQ＝∠BDE，若∠PQD＝∠DEB＝90°时，∴△PDQ∽△BDE，∴，∴∴t＝，若∠DPQ＝∠DEB＝90°时，∴△QPD∽△BED，∴，∴∴t＝综上所述：当t＝或时，△DPQ与△BDE相似．6．解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，CD＝AB，CD∥AB，∵BF⊥AD于F，∴∠AFB＝90°，∵∠BAD＝60°，∴AB＝2AF＝6，BF＝AF＝3，∵EH⊥AD于H，∴AE＝2AH＝4，EH＝AH＝2，∵DE⊥DC交AB于E，∴∠DEA＝90°，∴AD＝2AE＝8，∴CB＝AD＝8，如图1，作AM⊥CB于M，则∠ABM＝∠BAD＝60°，∴BM＝（1/2）AB＝3，AM＝BM＝3，∴CM＝CB+BM＝11，在Rt△ACM中：AC＝＝＝2．（2）如图2，作EN⊥AC于N，连接DN、CE，则∠CNE＝90°．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，CD＝AB，CD∥AB，∵DE⊥DC交AB于E，∴∠CDE＝∠DEA＝90°，∵EH⊥AD于H，∴∠DHD＝∠EHA＝90°，∵BF⊥AD于F，∴∠DFB＝∠AFB＝90°，∴∠DHE＝∠BFA，∵∠DEH+∠HEA＝∠HEA+∠BAF＝90°，∴∠DEH＝∠BAF，∵DH＝BF，∴△DEH≌△BAF（AAS），∴DE＝BA＝CD，∴△CDE是等腰直角三角形，∠DCE＝∠DEC＝45°，∵∠CDE＝∠CNE＝90°，∴C、D、N、E四点共圆，∴∠DNC＝∠DEC＝45°，∵∠CDG＝45°﹣∠CAB，∴∠CDG+∠CAB＝45°，∵CD∥AB，∴∠CAB＝∠DCG，∴∠DGN＝∠DCG+∠CDG＝45°＝∠DNC，∴△DGN是等腰直角三角形，∠GDN＝90°，DG＝DN，∵∠CDG+∠GDE＝∠GDE+∠EDN＝90°，∴∠CDG＝∠EDN，∴△CDG≌△EDN（SAS），∴EN＝CG，∵∠CGD＝75°，∴∠CGN＝∠CGD﹣∠DGN＝30°，∴GN＝EN＝CG，∴DG＝GN＝CG7．解：（1）如图1中，连接AC，AF．∵四边形ABCD，四边形AEFG都是正方形，∴AB＝AD，AE＝AG，∠BAD＝∠EAG＝90°，AC＝AB，AF＝AE，∠BAC＝45°，∠EAF＝45°，∴∠BAE＝∠DAG，∴△BAE≌△DAG（SAS），∴BE＝DG，∵AC＝AB，AF＝AE，∴＝，∵∠BAC＝∠EAF＝45°，∴∠BAE＝∠CAF，∴△BAE∽△CAF，∴＝＝，∵DG＝BE，∴＝．故答案为：BE＝DG，．（2）如图2中，连接OB，OE，OF，OC．∵四边形ABCD是正方形，OA＝OD，∴∠A＝∠CDO＝90°，AB＝CD，∴△AOB≌△DOC（SAS），∴OB＝OC，同法可证OE＝OF，∴∠OBC＝∠OCB，∠OEF＝∠OFE，∵BC∥AD，∴∠CBO＝∠AOB，∴tan∠CBO＝tan∠AOB＝2，同法可证：tan∠FEO＝2，∴tan∠CBO＝tan∠FEO，∴∠CBO＝∠FEO，∴∠OBC＝∠OCB＝∠OEF＝∠OFE，∴∠BOC＝∠EOF，∴∠EOB＝∠FOC，∵OE＝OF，OB＝OC，∴△OEB≌△OFC（SAS），∴BE＝FC，∵tan∠COD＝tan∠COD＝2，∴∠FOG＝∠COD，∴∠FOC＝∠GOD，∵＝＝，∴△FOG∽△GOD，∴＝＝．（3）①如图3中，结论不成立，BE＝3DG．连接BE，AC，AF，CF．∵四边形ABCD，四边形AEFG都是矩形，∴∠BAD＝∠EAG＝90°，∴∠BAE＝∠DAG，∵AB＝3AD，AE＝3AG，∴△BAE∽△DAG，∴＝＝3，∴BE＝3DG，由题意：＝，＝，∴＝，∴＝，∵tan∠BAC＝tan∠EAF＝，∴∠BAC＝∠EAF，∴∠BAE＝∠CAF，∴△BAE∽△CAF，∴＝＝，∴＝．②如图4中，连接OE，OB，OF，OC．由（2）可知，∠BOC＝∠EOF，OE＝OF，OB＝OC，∴∠EOB＝∠FOC，∴△EOB≌△FOC（SAS），∴BE＝CF．同法可证△FOC∽△GOD，∴＝，设EH＝k，则GH＝2nk，∴OG＝nk，∴OF＝＝•k，∵BE＝CF，∴＝＝．8．证明：（1）①∵四边形ABCD和四边形DEFG是正方形，∴∠A＝∠ADC＝∠EDG＝90°，AD＝CD，DE＝DG，∴∠ADE＝∠CDG，在△ADE和△CDG中，，∴△ADE≌△CDG（SAS），∴∠A＝∠DCG＝90°，∴CD⊥CG；②如图1，过点N作NP∥DE，∵四边形DEFG是正方形，∴EF＝GF，∠EFH＝∠GFH＝45°，且HF＝HF，∴△EFH≌△GFH（SAS），∴EH＝GH，∠HEF＝∠HGF，∵∠HEF＝∠HGF，EF＝GF，∠EFM＝∠GFN，∴△EFM≌△GFN（ASA），∴FM＝NF，EM＝GN，∵tan∠HEN＝＝，∴EF＝4MF＝4NF＝GF，∴GM＝3MF＝EN＝3NF，∴NP∥DE，∴△PNE∽△MFE，∴，∴PN＝MF，∵NP∥DE，∴＝，∴；（2）如图1，∵AD＝4，AE＝1，∴DE＝＝＝，∴EF＝GF＝，∴NF＝EF＝，∵GN2＝GF2+NF2，∴GN＝，∵∴GH＝GN＝，∴EH＝GH＝若点E在点A左侧，如图2，设AB与DH于点O，过点F作FN⊥AB，∵∠DEA+∠FEB＝90°，∠DEA+∠ADE＝90°，∴∠ADE＝∠FEB，且∠DAE＝∠FNE＝90°，DE＝EF，∴△ADE≌△NEF（AAS）∴AE＝NF＝1，DA＝EN＝4，∴AN＝3，BN＝1，∵DA∥NF，∴，∴ON＝，∴BO＝，∴AO＝∵DA∥BH，∴，∴BH＝，∴EH＝＝＝9．证明：（1）∵正方形ABCD，E、F分别为边AB、BC的中点，∴AD＝BC＝DC＝AB，AE＝BE＝AB，BF＝CF＝BC，∴AE＝BF，∵在△ADE和△BAF中，∴△ADE≌△BAF（SAS）∴∠BAF＝∠ADE，∵∠BAF+∠DAF＝90°∴∠ADE+∠DAF＝90°＝∠AGD，∴AF⊥DE；（2）①如图b，过点B作BN⊥AF于N，∵∠BAF＝∠ADE，∠AGD＝∠ANB＝90°，AB＝AD，∴△ABN≌△ADG（AAS）∴AG＝BN，DG＝GN，∵∠AGE＝∠ANB＝90°，∴EG∥BN，∴，且AE＝BE，∴AG＝GN，∴AN＝2AG＝DG，∵BG2＝BN2+GN2＝AG2+AG2，∴BG2＝2AG2＝2AG•AG＝GA•DG；②∵AB＝10，∴AE＝BF＝5，∴DE＝＝＝5，∵×AD×AE＝×DE×AG，∴AG＝2，∴GN＝BN＝2，∴AN＝DG＝4，∴△DGH∽△BNH，∴＝＝2，∴GH＝2HN，且GH+HN＝GN＝2，∴GH＝，＝×GH×BN＝××2＝．∴S△GHB10．（1）证明：过点P作PG⊥AB于点G，如图1所示：则四边形DPGA和四边形PCBG是矩形，∴AD＝PG，DP＝AG，BG＝PC，∵∠APB＝90°，∴∠APG+∠GPB＝∠GPB+∠PBG＝90°，∴∠APG＝∠PBG，∴△APG∽△PBG，∴＝，∴PG2＝AG•BG，即AD2＝DP•PC；（2）解：四边形PMBN是菱形；理由如下：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∵BM∥PN，BN∥MP，∴四边形PMBN是平行四边形，∵DP∥AB，∴∠DPA＝∠PAM，由题意可知：∠DPA＝∠APM，∴∠PAM＝∠APM，∵∠APB﹣∠PAM＝∠APB﹣∠APM，即∠ABP＝∠MPB∴AM＝PM，PM＝MB，∴四边形PMBN是菱形；（3）解：∵AD＝3DP，∴设DP＝1，则AD＝3，由（1）可知：AG＝DP＝1，PG＝AD＝3，∵PG2＝AG•BG，∴32＝1•BG，∴BG＝PC＝9，AB＝AG+BG＝10，∵CP∥AB，∴△PCF∽△BAF，∴＝＝，∴＝，∵PM＝MB，∴∠MPB＝∠MBP，∵∠APB＝90°，∴∠MPB+∠APM＝∠MBP+∠MAP＝90°，∴∠APM＝∠MAP，∴PM＝MA＝MB，∴AM＝AB＝5，∵AB∥CD，∴△PCE∽△MAE，∴＝＝，∴＝，∴EF＝AF﹣AE＝AC﹣AC＝AC，∴＝＝．11．解：（1）由题意得：AM＝t，∵PM⊥AB，∴∠PMA＝90°，∵∠A＝60°，∴∠APM＝30°，∴PM＝AM＝t．∵∠C＝90°，∴∠B＝90°﹣∠A＝30°，∴AB＝2AC＝4，BC＝AC＝2，∵MN＝1，∴BN＝AM﹣AM﹣1＝3﹣t，∵QN⊥AB，∴QN＝BN＝（3﹣t）；故答案为：tcm，（3﹣t）cm．（2）四边形MNQP有可能成为矩形，理由如下：由（1）得：QN＝（3﹣t）．由条件知，若四边形MNQP为矩形，则需PM＝QN，即t＝（3﹣t），∴t＝．∴当t＝s时，四边形MNQP为矩形；（3）由（2）知，当t＝s时，四边形MNQP为矩形，此时PQ∥AB，∴△PQC∽△ABC．除此之外，当∠CPQ＝∠B＝30°时，△QPC∽△ABC，此时＝tan30°＝．∵＝cos60°＝，∴AP＝2AM＝2t．∴CP＝2﹣2t．∵＝cos30°＝，∴BQ＝（3﹣t）．又∵BC＝2，∴CQ＝2 ．∴．综上所述，当s或s时，以C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似．12．证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠A＝∠BCD＝∠ADC＝90°，AD＝BC＝4，AB＝CD＝6，∴∠ADE+∠EDC＝90°，∵DF⊥DE，∴∠EDC+∠CDF＝90°，∴∠ADE＝∠CDF，且∠A＝∠DCF＝90°，∴△DAE∽△DCF；（2）∵△DAE∽△DCF，∴，∴∴y＝x+4；（3）∵四边形EBFD为轴对称图形，∴DE＝BE，∵AD2+AE2＝DE2，∴16+AE2＝（6﹣AE）2，∴AE＝，∴DE＝BE＝，∴cos∠AED＝＝，故答案为：．13．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠NAM＝∠BMA，∵∠AMN＝∠AMB，∴∠AMN＝∠NAM，∴AN＝MN，即△AMN是等腰三角形；（2）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD＝BC＝2，AB＝CD＝3，∴∠NAM＝∠BMA，作NH⊥AM于H，如图所示：∵AN＝MN，NH⊥AM，∴AH＝AM，∵∠NHA＝∠ABM＝90°，∠NAM＝∠BMA，∴△NAH∽△AMB，∴＝，∴AN•BM＝AH•AM＝AM2，∴AM2＝2BM•AN；（3）解：∵M为BC中点，∴BM＝CM＝BC＝×2＝1，由（2）得：AM2＝2BM•AN，即：AM2＝2AN，∵AM2＝AB2+BM2＝32+12＝10，∴10＝2AN，∴AN＝5，∴DN＝AN﹣AD＝5﹣2＝3，设DE＝x，则CE＝3﹣x，∵AN∥BC，∴△DNE∽△CME∴＝，即＝，解得：x＝，即DE＝，∴CE＝DC﹣DE＝3﹣＝，∴ME＝＝＝．14．解：（1）∵A（8，0）、C（0，6），∴OA＝8，OC＝6，∵四边形OABC是矩形，∴∠ABC＝∠OAB＝90°，BC＝OA＝8，AB＝OC＝6，∴＝＝，故答案为：；（2）的值不发生变化，＝，理由如下：∵∠OAB＝∠BPQ＝90°，∴∠AOB+∠BPQ＝180°，∴A、B、P、Q四点共圆，∴∠PQB＝∠PAB，∵∠ABC＝∠BPQ＝90°，∴△PBQ∽△BCA，∴＝＝；（3）设BQ交AP于M，如图所示：在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC＝＝＝10，由折叠的性质得：BQ⊥AP，PM＝AM，∴∠AMB＝90°＝∠ABC，∵∠BAM＝∠CAB，∴△ABM∽△ACB，∴＝，即＝，解得：AM＝3.6，∴PA＝2AM＝7.2，∴PC＝AC﹣PA＝10﹣7.2＝2.8；故答案为：2.8．15．（1）证明：∵四边形OABC是矩形，A（4，0），B（4，3），∴OA＝BC＝4，AB＝OC＝3，∠AOC＝90°，∴AC＝＝＝5；（2）解：由题意得：BN＝t，AP＝t，∵＝，＝＝，∴＝，∴PN∥AB，∴△CPN∽△CAB；（3）解：分两种情况：①当0＜t＜2时，延长NP交OA于D，如图1所示：由（2）得：PD∥AB，∴△APD∽△ACO，∴＝＝，即＝＝，解得：PD＝t，AD＝t，∴PN＝3﹣t，DM＝4﹣t﹣t＝4﹣2t，∴△MPN的面积S＝PN×DM＝×（3﹣t）×（4﹣2t）＝t2﹣t+6，即S＝t2﹣t+6（0＜t＜2）；②当2＜t＜4时，延长NP交OA于D，如图2所示：由（2）得：PD∥AB，∴△APD∽△ACO，∴＝＝，即＝＝，解得：PD＝t，AD＝t，∴PN＝3﹣t，DM＝t+﹣4t＝2t﹣4，∴△MPN的面积S＝PN×DM＝×（3﹣t）×（2t﹣4）＝﹣t2+t﹣6，即S＝﹣t2+t﹣6（2＜t＜4）；当S＝，0＜t＜2时，则t2﹣t+6＝，整理得：t2﹣6t+6＝0，解得：t＝3﹣，或t＝3+（不合题意舍去），∴t＝3﹣；当S＝，2＜t＜4时，则﹣t2+t﹣6＝，整理得：t2﹣6t+10＝0，∵△＝36﹣40＜0，∴此方程无解；综上所述，当S＝时，运动时间t的值为（3﹣）秒．16．解：（1）∵点E为CD中点，AB＝AD＝CD＝2，∴DE＝，∴AE＝＝＝5，∵AB∥CD，∴△ABF∽△EDF，∴，∴AF＝2EF，且AF+EF＝5，∴AF＝；（2）如图1，连接AC，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD，BD＝AB，AO⊥BD，AO＝BO＝CO＝DO，∴AO＝DO＝BO＝AB，∵tan∠AFB＝＝2，∴OF＝AO＝AB，∴DF＝OD﹣OF＝AB，BF＝OB+OF＝AB，∴；（3）如图2，设AB＝CD＝AD＝a，则BD＝a，∵＝x，∴DE＝xa，∴S△ADE＝×AD×DE＝xa2，∵△ABF∽△EDF，∴＝x，∴DF＝x•BF，∴S△ABF＝a2，∵GF＝2BG，∴S2＝S△ABG＝S△ABF＝，∵AB＝CB，∠ABG＝∠CBG，BG＝BG，∴△ABG≌△CBG（SAS）∴S△ABG ＝S△CBG，∴S1＝四边形AGCE的面积＝a2﹣xa2﹣2×∴＝﹣3x2+3x+4＝﹣3（x﹣）2+∴当x＝时，的最大值为．17．（1）证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠ADC为△ABD的外角，∴∠ADE+∠EDC＝∠B+∠DAB，∵∠ADE＝∠B，∴∠BAD＝∠CDE，又∠B＝∠C，∴△ABD∽△DCE，∴＝，∴AB•CE＝BD•CD；（2）解：设BD＝x，AE＝y，由（1）得，5×（5﹣y）＝x×（6﹣x），整理得，y＝x2﹣x+5＝（x﹣3）2+，∴AE的最小值为；（3）解：作AF⊥BE于F，则四边形ADEF为矩形，∴EF＝AD＝3，AF＝DE，∴BF＝BE﹣EF＝1，设CD＝x，CE＝y，则AF＝DE＝x+y，由勾股定理得，AD2+CD2＝AC2，CE2+BE2＝BC2，AF2+BF2＝AB2，∵△ABC为等边三角形，∴AB＝AC＝BC，∴32+x2＝AC2，y2+42＝BC2，（x+y）2+12＝AC2，∴x2﹣y2＝7，y2+2xy＝8，解得，x＝，y＝，∴DE＝x+y＝．18．（1）证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵∠APC＝∠ABC+∠BAP，∠APC＝∠APD+∠EPC，∠APD＝∠ABC，∴∠BAP＝∠EPC，∴△ABP∽△PCE，∵BC∥AD，∴△PCE∽△DAE，∴△ABP∽△DAE；（2）解：①∵△ABP∽△PCE，∴＝，即＝，∴y＝﹣x2+x（0＜x＜6）；②∵△ABP∽△DAE，∴＝，即＝，∴AD＝，∵AD∥BC，∴，∵，∴，∴，即13x2+24x﹣100＝0，∴x＝2，（舍去）1∴．19．（1）解：在Rt△BCE中，当tan∠BEC＝2，∴＝2，即＝2，解得，BE＝2，由勾股定理得，CE＝＝＝2，∵四边形ABCD为矩形，∴AB∥CD，∴∠ECH＝∠BEC，∴tan∠ECH＝＝2，即＝2，∴EH＝4，∴CH＝＝10；（2）证明：∵∠FEG＝∠FDH＝90°，∠EFG＝∠DFH，∴△EFG∽△DFH，∴＝，∴DF•FG＝HF•EF；（3）证明：∵△EFG∽△DFH，∴∠CGD＝∠CHE，又∠GCD＝∠HCE，∴△GCD∽△HCE，∴＝，又∠GCD＝∠HCE，∴△CDE∽△CGH，∴∠CDE＝∠CGH．20．解：（1）AB＝2，BC＝1，AD＝4，由勾股定理得，AC＝＝，CD＝＝，AE＝＝2，CE＝＝5，＝＝＝，∴△ABC∽△EAC，∴四边形ABCE是“友好四边形”，≠，∴△ABC与△ACD不相似，∴四边形ABCD不是“友好四边形”，故答案为：四边形ABCE；（2）证明：根据旋转的性质得，∠A'CB'＝∠ACB，∠CA'B'＝∠CAB，∵AD∥A'B'，∴∠CA'B'＝∠D，∴∠CAB＝∠D，又∠A'CB'＝∠ACB，∴△ABC∽△DAC，∴四边形ABCD是“友好四边形”；（3）如图3，过点A作AM⊥BC于M，在Rt△ABM中，AM＝AB•sin∠ABC＝AB，∵△ABC的面积为6，∴BC×AB＝6，∴BC×AB＝24，∵四边形ABCD是被BD分割成的“友好四边形”，且AB≠BC，∴△ABD∽△DBC∴，∴BD2＝AB×BC＝24，∴BD＝＝2．。

2020-2021备战中考数学复习《相似》专项综合练习附详细答案一、相似1．已知线段a，b，c满足，且a＋2b＋c＝26.（1）判断a，2b，c，b2是否成比例；（2）若实数x为a，b的比例中项，求x的值．【答案】（1）解：设，则a=3k，b=2k，c=6k，又∵a+2b+c=26，∴3k+2×2k+6k=26，解得k=2，∴a=6，b=4，c=12；∴2b=8，b2=16∵a=6，2b=8，c=12，b2=16∴2bc=96，ab2=6×16=96∴2bc=ab2a，2b，c，b2是成比例的线段。

（2）解：∵x是a、b的比例中项，∴x2=6ab，∴x2=6×4×6，∴x=12．【解析】【分析】（1）设已知比例式的值为k，可得出a=3k，b=2k，c=6k，再代入a+2b+c=26，建立关于k的方程，求出kl的值，再求出2b、b2,然后利用成比例线段的定义，可判断a，2b，c，b2是否成比例。

（2）根据实数x为a，b的比例中项，可得出x2=ab，建立关于x的方程，求出x的值。

2．在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝12，M是AD边的中点，P是AB边上的一个动点（不与A、B重合），PM的延长线交射线CD于Q点，MN⊥PQ交射线BC于N点。

（1）若点N在BC之间时，如图：①求证：∠NPQ＝∠PQN；②请问是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是，请举反例说明；（2）当△PBN与△NCQ的面积相等时，求AP的值.【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠ADC＝∠ADQ＝90°，AB//CD，∴∠APM＝∠DQM，∵M是AD边的中点，∴AM＝DM，在△APM和△DQM中，，∴△APM≌△DQM（AAS），∴PM＝QM，∵MN⊥PQ，∴MN是线段PQ的垂直平分线，∴PN＝QN，∴∠NPQ＝∠PQN② 是定值理由：如图，过点M作ME⊥BC于点E，∴∠MEN＝∠MEB＝∠AME＝90°，∴四边形ABEM是矩形，∠MEN＝∠MAP，∴AB＝EM，∵MN⊥PQ，∴∠PMN＝90°，∴∠PMN＝∠AME，∴∠PMN－∠PME＝∠AME－∠PME，∴∠EMN＝∠AMP，∴△AMP∽△EMN，∴，∴，∵AD＝12，M是AD边的中点，∴AM＝ AD＝6，∵AB＝8，∴；（2）解：分点N在BC之间和点N在BC延长线上两种情况（ⅰ）当点N在BC之间时，如图，作BF⊥PN于点F，CG⊥QN于点G，再分别作Rt△PBN和Rt△NCQ的中线BS、CT，∴∠BFS＝∠CGT＝90°，BS＝ PN，CT＝ QN，∵PN＝QN，S△PBN＝S△NCQ，∴BF＝CG，BS＝CT在Rt△BFS和Rt△CGT中，，∴Rt△BFS≌Rt△CGT（HL），∴∠BSF＝∠CTG，∴∠BNP＝∠BSF＝∠CTG＝∠CQN，在△PBN和△NCQ中，，∴△PBN≌△NCQ（AAS），∴BN＝CQ，BP＝CN，∵AP＝AB－BP＝8－CN，又∵CN＝BC－BN＝12－CQ，∴AP＝CQ－4又∵CQ＝CD+DQ，DQ＝AP，∴AP＝4+AP（舍去），∴此种情况不成立；（ⅱ）当点N在BC延长线上时，如图，作BF⊥PN于点F，CG⊥QN于点G，再分别作Rt△PBN和Rt△NCQ的中线BS、CT，同理可得，△PBN≌△NCQ，∴PB＝NC，BN＝CQ，∵AP＝DQ，∵AP+8＝DQ+CD＝CQ＝BC+CN＝12+BP，∴AP－BP＝4 ①，∵AP+BP＝AB＝8②，①+②得：2AP＝12，∴AP＝6．【解析】【分析】（1）①由矩形的性质用角角边易证△APM≌△DQM，可得PM＝QM，已知MN⊥PQ，由线段的垂直平分线的定义可得MN是线段PQ的垂直平分线，再根据线段的垂直平分线的性质可得PN＝QN，由等边对等角可得∠NPQ＝∠PQN；②过点M作ME⊥BC于点E，由矩形的性质跟据有两个角对应相等的两个三角形相似易证△AMP∽△EMN，可得比例式，结合已知条件易求得为定值；（2）根据MN⊥PQ交射线BC于N点可知分两种情况：①当点N在BC之间时，如图，作BF⊥PN于点F，CG⊥QN于点G，再分别作Rt△PBN和Rt△NCQ的中线BS、CT，通过证Rt△BFS≌Rt△CGT和△PBN≌△NCQ可求解；②当点N在BC延长线上时，如图，作BF⊥PN于点F，CG⊥QN于点G，再分别作Rt△PBN和Rt△NCQ的中线BS、CT，通过证△PBN≌△NCQ可求解。

《相似图像综合》题号一二三总分得分第Ⅰ卷（选择题）一．选择题1．如图，正方形ABCD边长为3，M、N在对角线AC上，且∠MBN＝45°，作ME⊥AB 于点E，NF⊥BC于点F，反向延长ME、NF交于点G，则GE•GF的值是（）A．3 B．3C．3D．2．如图，在正方形ABCD中，△ABP是等边三角形，AP、BP的延长线分别交边CD于点E、F，联结AC，CP，AC与BF相交于点H，下列结论中错误的是（）A．AE＝2DE B．△CFP～△APH C．△CFP～△APC D．CP2＝PH•PB 3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点P是边AC上一点，过点P作PQ∥AB交BC 于点Q，D为线段PQ的中点，BD平分∠ABC，以下四个结论①△BQD是等腰三角形；②BQ＝DP；③PA＝QP；④＝（1+）2；其中正确的结论的个数（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．如图，在△ABC中，点D、E分别在AB和AC边上且DE∥BC，点M为BC边上一点（不与点B、C重合），联结AM交DE于点N，下列比例式一定成立的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝5．如图，过菱形ABCD的顶点C的直线与AB的延长线交于点E，与AD的延长线交于点F，若菱形的边长为x，BE＝a，DF＝b，则a，b，x满足的关系是（）A．2x＝a+b B．x2＝a•b C．x（a+b）＝a•b D．2x2＝a2+b2 6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝2，P是AB边上一动点，PD⊥AC 于点D，点E在P的右侧，且PE＝1，连接CE，P从点A出发，沿AB方向运动，当E 到达点B时，P停止运动，设PD＝x，图中阴影部分面积S1+S2＝y，在整个运动过程中，函数值y随x的变化而变化的情况是（）A．一直减小B．一直增大C．先减小后增大D．先增大后减小7．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，D是△ABC内部或BC边上的一个动点（与B、C不重合），以D为顶点作△DEF，使△DEF∽△AB C（相似比k＞1），EF∥BC．两三角形重叠部分是四边形AGDH，当四边形AGDH的面积最大时，最大值是多少？（）A．12 B．11.52 C．13 D．88．如图，有一块三角形余料ABC，BC＝120mm，高线AD＝80mm，要把它加工成一个矩形零件，使矩形的一边在BC上，点P，M分别在AB，AC上，若满足PM：PQ＝3：2，则PM的长为（）A．60mm B．mm C．20mm D．mm 9．如图，点E、F分别为正方形ABCD的边BC、CD上一点，AC、BD交于点O，且∠EAF＝45°，AE，AF分别交对角线BD于点M，N，则有以下结论：①△AOM∽△ADF；②EF＝BE+DF；③∠AEB＝∠AEF＝∠ANM；④S△AEF＝2S△AMN以上结论中，正确的个数有（）个．A．1 B．2 C．3 D．410．如图，在边长为1的正方形ABCD中，动点F，E分别以相同的速度从D，C两点同时出发向C和B运动（任何一个点到达即停止），连接AE、BF交于点P，过点P作PM ∥CD交BC于M点，PN∥BC交CD于N点，连接MN，在运动过程中则下列结论：①△ABE≌△BCF；②AE＝BF；③AE⊥BF；④CF2＝PE•BF；⑤线段MN的最小值为．其中正确的结论有（）A．2个B．3个C．4个D．5个第Ⅱ卷（非选择题）二．填空题11．如图，在△ABC中，点D在AB上，点E在AC上，∠ADE＝∠C，若DE＝1，四边形DBCE的面积是△ADE的面积的3倍，则BC的长为．12．平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是A（2，4），B（3，0），在第一象限内以原点O为位似中心，把△OAB缩小为原来的，则点A的对应点A'的坐标为．13．小明用这样的方法来测量某建筑物的高度：如图，在地面上放一面镜子，调整位置，直至刚好能从镜子中看到建筑物的顶端．如果此时小明与镜子的距离是2m，镜子与建筑物的距离是20m．他的眼睛距地面1.5m，那么该建筑物的高是．14．如图，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点R为DE的中点，BR分别交AC，CD于点P，Q．平行四边形ABCD的面积为6，则图中阴影部分的面积为．15．如图，AB、AC分别为⊙O内接正三边形和正四边形的边，OC与AB交于点D，若BD ＝2，则图中阴影部分的面积为．16．设O是四边形ABCD的对角线AC、BD的交点，若∠BAD+∠ACB＝180°，且BC ＝3，AD＝4，AC＝5，AB＝6，则＝．17．如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝16，点P从点A出发，沿AB方向以每秒2个长度单位的速度向点B运动：同时点Q从点C出发，沿CA方向以每秒3个长度单位的速度向点A运动，其中一点到达终点，则另一点也随之停止运动，当△ABC与以A、P、Q为顶点的三角形相似时，运动时间为秒．18．如图，点C为半圆的中点，AB是直径，点D是半圆上一点，AC，BD交于点E，若AD＝1，BD＝7，则CE的长为．19．梯形ABCD中，AD∥BC，AC交BD于点O，若S△AOD＝4，S△AOB＝6，则△BCD 的面积为．20．如图，⊙O是锐角△ABC的外接圆，FH是⊙O的切线，切点为F，FH∥BC，连结AF 交BC于E，∠ABC的平分线BD交AF于D，连结BF．下列结论：①AF平分∠BAC；②点F为△BDC的外心；③；④若点M，N分别是AB和AF上的动点，则BN+MN的最小值是AB sin∠BAC．其中一定正确的是（把你认为正确结论的序号都填上）．三．解答题21．如图，在等腰三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，D是BC边上的一个动点（不与B、C重合），在AC边上取一点E，使∠ADE＝45°．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）设BD＝x，AE＝y．①求y关于x的函数关系式并写出自变量x的取值范围；②求y的最小值．22．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，点D为BC边上的一个动点（点D不与点B、点C重合）．以D为顶点作∠ADE＝∠B，射线DE交AC边于点E，过点A作AF⊥AD交射线DE于点F．（1）求证：AB•CE＝BD•CD；（2）当DF平分∠ADC时，求AE的长；（3）当△AEF是等腰三角形时，求BD的长．23．如图，△ABC中，AB＝AC，AM为BC边的中线，点D在边AC上，联结BD交AM 于点F，延长BD至点E，使得＝，联结CE．求证：（1）∠ECD＝2∠BAM；（2）BF是DF和EF的比例中项．24．教材呈现：下图是华师版九年级上册数学教材第77页的部分内容猜想如图，在△ABC中，点D、E分别是AB与AC的中点，根据画出的图形，可以猜想：DE∥BC，且DE＝BC．对此，我们可以用演绎推理给出证明证明在△ABC中，∵点D、E分别是AB与AC的中点，∴请根据教材提示，结合图①，写出完整证明过程，结论应用：如图②在四边形ABCD中，AD＝BC，点P是对角线BD的中点，M是DC中点，N是AB中点，MN与BD相交于点Q．（1）求证：∠PMN＝∠PNM；（2）若AD＝BC＝4，∠ADB＝90°，∠DBC＝30°，则PQ＝．25．已知：如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别在边BC、DC上，AB2＝BE•DC，DE：EC＝3：1，F是边AC上的一点，DF与AE交于点G．（1）找出图中与△ACD相似的三角形，并说明理由；（2）当DF平分∠ADC时，求DG：DF的值；（3）如图2，当∠BAC＝90°，且DF⊥AE时，求DG：DF的值．参考答案一．选择题1．解：如图所示，过M作MQ⊥BC于Q，过N作NP⊥AB于P，则Rt△APN中，AN＝PN＝EG，Rt△CMQ中，CM＝MQ＝GF，∵正方形ABCD中，AC是对角线，∴∠BAN＝∠MCB＝45°，又∵∠MBN＝45°，∴∠ABN＝∠ABM+45°＝∠CMB，∴△ABN∽△CMB，∴＝，即CM×AN＝AB×CB，∴GF×EG＝9，即2GF×EG＝9，∴GE•GF的值是，故选：D．2．解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠D＝∠DAB＝90°，∵△APB是等边三角形，∴∠PAB＝∠PBA＝∠APB＝60°，∴∠DAE＝30°，∴AE＝2DE，故①正确，∵AB∥CD，∴∠PFE＝∠ABP＝∠APH＝60°，∵∠AHP＝∠PBA+∠BAH＝60°+45°＝105°，又∵BC＝BP，∠PBC＝30°，∴∠BPC＝∠BCP＝75°，∴∠CPF＝105°，∴∠PHA＝∠CPF，∴△CFP∽△APH，故②正确，∵∠CPA＝60°+75°＝135°≠∠CPF，∴△PFC与△PCA不相似，故③错误，∵∠PCH＝∠PCB﹣∠BCH＝75°﹣45°＝30°，∴∠PCH＝∠PBC，∵∠CPH＝∠BPC，∴△PCH∽△PBC，∴＝，∴CP2＝PH•PB，故④正确，故选：C．3．解：∵PQ∥AB，∴∠ABD＝∠BDQ，又∠ABD＝∠QBD，∴∠QBD＝∠BDQ，∴QB＝QD，∴△BQD是等腰三角形，故①正确，∵QD＝DF，∴BQ＝PD，故②正确，∵PQ∥AB，∴＝，∵AC与BC不相等，∴BQ与PA不一定相等，故③错误，∵∠PCQ＝90°，QD＝PD，∴CD＝QD＝DP，∵△ABC∽△PQC，∴＝（）2＝（）2＝（1+）2，故④正确，故选：C．4．解：∵DE∥BC，∴△ADN∽△ABM，△ANE∽△AMC，∴，，∴，即，故选：B．5．解：∵四边形ABCD是菱形，∴CD∥AE，∴△FDC∽△FAE，∴＝，∴＝，整理得：x2＝ab，故选：B．6．解：在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝2，∴AB＝＝2，设PD＝x，AB边上的高为h，h＝＝，∵PD∥BC，∴△ADP∽△ACB∴，∴AD＝2x，AP＝x，∴S 1+S2＝•2x•x+（2﹣1﹣x）•＝x2﹣2x+4﹣＝（x﹣1）2+3﹣，∴当0＜x＜1时，S1+S2的值随x的增大而减小，当1≤x≤2时，S1+S2的值随x的增大而增大．故选：C．7．解：∵AB2+AC2＝100＝BC2，∴∠BAC＝90°，∵△DEF∽△ABC，∴∠EDF＝∠BAC＝90°，如图1延长ED交BC于M，延长FD交BC于N，∵△DEF∽△ABC，∴∠B＝∠E，∵EF∥BC，∴∠E＝∠EMC，∴∠B＝∠EMC，∴AB∥DE，同理：DF∥AC，∴四边形AGDH为平行四边形，∵∠EDF＝90°，∴四边形AGDH为矩形，∵GH⊥AD，∴四边形AGDH为正方形，当点D在△ABC内部时，四边形AGDH的面积不可能最大，如图2，点D在内部时（N在△ABC内部或BC边上），延长GD至N，过N作NM⊥AC于M，∴矩形GNMA面积大于矩形AGDH，∴点D在△ABC内部时，四边形AGDH的面积不可能最大，只有点D在BC边上时，面积才有可能最大，如图2，点D在BC上，∵△DEF∽△ABC，∴∠F＝∠C，∵EF∥BC．∴∠F＝∠BDG，∴∠BDG＝∠C，∴DG∥AC，∴△BGD∽△BAC，∴＝，∴＝，∴＝，∴AH＝8﹣GA，S矩形AGDH＝AG×AH＝AG×（8﹣AG）＝﹣AG2+8AG，当AG＝﹣＝3时，S矩形AGDH最大，S矩形AGDH最大＝12．故选：A．8．解：如图，设AD交PN于点K．∵PM：PQ＝3：2，∴可以假设MP＝3k，PQ＝2k．∵四边形PQNM是矩形，∴PM∥BC，∴△APM∽△ABC，∵AD⊥BC，BC∥PM，∴AD⊥PM，∴＝，∴＝，解得k＝20mm，∴PM＝3k＝60mm，故选：A．9．解：如图，把△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABH由旋转的性质得，BH＝DF，AH＝AF，∠BAH＝∠DAF∵∠EAF＝45°∴∠EAH＝∠BAH+∠BAE＝∠DAF+∠BAE＝90°﹣∠EAF＝45°∴∠EAH＝∠EAF＝45°在△AEF和△AEH中∴△AEF≌△AEH（SAS）∴EH＝EF∴∠AEB＝∠AEF∴BE+BH＝BE+DF＝EF，故②正确∵∠ANM＝∠ADB+∠DAN＝45°+∠DAN，∠AEB＝90°﹣∠BAE＝90°﹣（∠HAE﹣∠BAH）＝90°﹣（45°﹣∠BAH）＝45°+∠BAH∴∠ANM＝∠AEB∴∠ANM＝∠AEB＝∠ANM；故③正确，∵AC⊥BD∴∠AOM＝∠ADF＝90°∵∠MAO＝45°﹣∠NAO，∠DAF＝45°﹣∠NAO∴△OAM∽△DAF故①正确连接NE，∵∠MAN＝∠MBE＝45°，∠AMN＝∠BME∴△AMN∽△BME∴∴∵∠AMB＝∠EMN∴△AMB∽△NME∴∠AEN＝∠ABD＝45°∵∠EAN＝45°∴∠NAE＝NEA＝45°∴△AEN是等腰直角三角形∴AE＝∵∠MBE＝∠EAF＝45°，∠AEB＝∠AEF，∴△AFE∽△BME，∵△AMN∽△BME，∴△AMN∽△AFE∴∴∴∴S△AFE＝2S△AMN故④正确故选：D．10．解：如图，∵动点F，E的速度相同，∴DF＝CE，又∵CD＝BC，∴CF＝BE，在△ABE和△BCF中，∴△ABE≌△BCF（SAS），故①正确；∴∠BAE＝∠CBF，AE＝BF，故②正确；∵∠BAE+∠BEA＝90°，∴∠CBF+∠BEA＝90°，∴∠APB＝90°，故③正确；在△BPE和△BCF中，∵∠BPE＝∠BCF，∠PBE＝∠CBF，∴△BPE∽△BCF，∴，∴CF•BE＝PE•BF，∵CF＝BE，∴CF2＝PE•BF，故④正确；∵点P在运动中保持∠APB＝90°，∴点P的路径是一段以AB为直径的弧，设AB的中点为G，连接CG交弧于点P，此时CP的长度最小，在Rt△BCG中，CG＝，∵PG＝AB＝，∴MN＝CP＝CG﹣PG＝，即线段MN的最小值为，故⑤错误；综上可知正确的有4个，故选：C．二．填空题（共10小题）11．解：∵∠A＝∠A，∠ADE＝∠C，∴△ADE∽△ACB，∵四边形DBCE的面积是△ADE的面积的3倍，∴，∵，∴，∴BC＝2，故答案为：212．解：以原点O为位似中心，把△OAB缩小为原来的，A（2，4），∴A的对应点A'的坐标为（2×，4×），即（1，2），故答案为：（1，2）．13．解：∵∠APB＝∠CPD，∠ABP＝∠CDP，∴△ABP∽△CDP∴＝，即：，解得：CD＝15（米）．故答案为：15．14．解：∵四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，∴AD＝BC＝CE，AB∥C D，AC∥DE，∴平行四边形ACED的面积＝平行四边形ABCD的面积＝6，△BCP∽△BDE，△ABP ∽△CQP∽△DQR，∴△ABC的面积＝△CDE的面积＝3，CP：ER＝BC：BE＝1：2，∵点R为DE的中点，∴CP：DR＝1：2，∴CP：AC＝CP：DE＝1：4，∵S△ABC＝3，∴S△ABP＝S△ABC＝，∵CP：AP＝1：3，∴S△PCQ＝S△ABP＝，∵CP：DR＝1：2，∴S△DQR＝4S△PCQ＝1，∴S阴影＝S△PCQ+S△DQR＝．故答案为：．15．解：∵AB、AC分别为⊙O内接正三边形和正四边形的边，∴∠AOB＝120°，∠AOC＝90°，∴∠BOC＝∠ABO＝30°，∴OD＝BD＝2，过点D作DE⊥OB于E，如图所示：则DE＝OD＝，OB ＝2OE＝2×OD＝2××2＝6，∴扇形BOC的面积＝＝3π，△OBD的面积＝×6×＝3，∴阴影部分面积为3π﹣3，故答案为：3π﹣3．16．解：如图，过点O作OE∥AD，交AB于E，∵OE∥AD，∴∠OEB＝∠DAB，∵∠BAD+∠ACB＝180°，∴∠ACB+∠OEB＝180°，∴∠ABC+∠COE＝180°，且∠AOE+∠COE＝180°，∴∠AOE＝∠ABC，且∠BAC＝∠EAO，∴△AOE∽△ABC，∴，∴∴OE＝，∵OE∥AD，∴△BOE∽△BDA，∴，∴＝∴BE＝，∴AE＝6﹣BE＝，∵OE∥AD，∴＝＝＝，故答案为：．17．解：设运动时间为t秒．AP＝2t，CQ＝3t，AQ＝AC﹣CQ＝16﹣3t，当△ABC∽△APQ，，即，解得t＝；当△ACB∽△APQ，，即，解得t＝4，故答案为4或．18．解：如图，连接AD，BC∵AB为直径∴∠C＝∠D＝90°∵AD＝1，BD＝7，∴AB＝＝＝5∵点C为半圆的中点，∴AC＝BC∴AC2+BC2＝AB2∴2BC2＝50∴BC＝AC＝5∵∠C＝∠D，∠BEC＝∠AED ∴△BEC∽△AED∴＝＝＝∴∴故答案为：．19．解：∵S△AOD＝4，S△AOB＝6，∴OD：OB＝2：3，∵AD∥BC，∴△AOD∽△COB，∴＝（）2＝，∴S△OBC＝9，∴S△ODC＝S△OBC＝6，∴S△BCD＝S△OBC+S△ODC＝9+6＝15，故答案为15．20．解：如图1，连接OF，CF，∵FH是⊙O的切线，∴OF⊥FH，∵FH∥BC，∴OF⊥BC，且OF为半径，∴OF垂直平分BC，∴＝∴∠1＝∠2，BF＝CF，∴AF平分∠BAC，故①正确，∵∠1＝∠2，∠4＝∠3，∠5＝∠2，∴∠1+∠4＝∠2+∠3，∴∠1+∠4＝∠5+∠3，∵∠1+∠4＝∠BDF，∠5+∠3＝∠FBD，∴∠BDF＝∠FBD，∴BF＝FD，且BF＝CF，∴BF＝DF＝CF，∴点F为△BDC的外心，故②正确；如图2，过点C作CG∥AB，交AF的延长线于点G，∵CG∥AB，∴∠BAE＝∠EGC，且∠BAE＝∠CAE，∴∠CAE＝∠CGE，∴AC＝CG，∵CG∥AB，∴△BAE∽△CGE，∴，∴＝＝，故③正确；如图3，作点M关于AF的对称点M'，∵点M与点M'关于AF对称，∴MN＝M'N，∴BN+MN＝BN+M'N，∴当点N在线段BM'上，且BM'⊥AC时，BN+MN有最小值为BM'，且sin∠BAC＝，∴BN+MN最小值为AB sin∠BAC，故④正确，故答案为：①②③④．三．解答题（共5小题）21．（1）证明：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠B＝∠C＝45°，BC＝2，∵∠ADC＝∠B+∠BAD＝45°+∠BAD，∠ADC＝∠ADE+∠EAC＝45°+∠EAC，∴∠BAD＝∠EAC，又∠B＝∠C，∴△ABD∽△DCE；（2）解：①∵△ABD∽△DCE，∴＝，即＝∴y＝x2﹣x+2（0＜x＜2）；②y＝x2﹣x+2＝（x﹣）2+1，则当x＝时，y的最小值是1．22．（1）证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∠ADC＝∠BAD+∠B，∠ADE＝∠B，∴∠BAD＝∠CDE，又∠B＝∠C，∴△BAD∽△CDE，∴＝，即AB•CE＝BD•CD；（2）解：∵DF平分∠ADC，∴∠ADE＝∠CDE，∵∠CDE＝∠BAD，∴∠ADE＝∠BAD，∴DF∥AB，∴＝，∵∠BAD＝∠ADE＝∠B，∴∠BAD＝∠C，又∠B＝∠B，∴△BDA∽△BAC，∴＝，即＝解得，BD＝，∴＝，解得，AE＝；（3）解：作AH⊥BC于H，∵AB＝AC，AH⊥BC，∴BH＝HC＝BC＝8，由勾股定理得，AH＝＝＝6，∴tan B＝＝，∴tan∠ADF＝＝，设AF＝3x，则AD＝4x，由勾股定理得，DF＝＝5x，∵△BAD∽△CDE，∴＝，当点F在DE的延长线上，FA＝FE时，DE＝5x﹣3x＝2x，∴＝，解得，CD＝5，∴BD＝BC﹣CD＝11，当EA＝EF时，DE＝EF＝2.5x，∴＝，解得，CD＝，∴BD＝BC﹣CD＝；当AE＝AF＝3x时，DE＝x，∴＝，解得，CD＝，∴BD＝BC﹣CD＝；当点F在线段DE上时，∠AFE为钝角，∴只有FA＝FE＝3x，则DE＝8x，∴＝，解得，CD＝20＞16，不合题意，∴△AEF是等腰三角形时，BD的长为11或或．23．证明：（1）∵AB＝AC，AM为BC边的中线，∴∠BAC＝2∠BAM，∵＝，∠ADB＝∠CDE，∴△ADB∽△CDE，∴∠BAC＝∠ECD，∴∠ECD＝2∠BAM；（2）如图，连接CF，∵AB＝AC，AM为BC边的中线，∴AM是BC的垂直平分线，∴BF＝CF，且AB＝AC，AF＝AF，∵△ABF≌△ACF（SSS）∴∠ABF＝∠ACF，由（1）可知：△ADB∽△CDE，∴∠ABF＝∠E，∴∠ACF＝∠E，且∠EFC＝∠DFC，∴△DCF∽△CEF，∴，且BF＝CF，∴BF2＝DF•EF，∴BF是DF和EF的比例中项．24．教材呈现：证明：在△ABC中，∵点D、E分别是AB与AC的中点，∴，∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC，∴DE∥BC，＝，即：DE∥BC，DE＝BC，结论应用：（1）证明：∵点P，M分别是BD，DC的中点，∴PM＝BC，∵点P，N分别是BD，AB的中点，∴PN＝AD，∵BC＝AD，∴PM＝PN，∴∠PMN＝∠PNM；（2）解：∵点P，M分别是BD，DC的中点，∴PM∥BC，∴∠DPM＝∠DBC＝30°∵点P，N分别是BD，AB的中点，∴PN∥AD，∴PN＝AD＝2，∠DPN＝180°﹣∠ADB＝90°，∴∠MPN＝∠DPM+∠DPN＝120°，由（1）知，∠PMN＝∠PNM，∴∠PMN＝∠PNM＝30°，过点P作P E⊥MN于E，∴∠NPE＝90°﹣∠PNM＝60°，∴∠EPQ＝∠DPN﹣∠NPE＝30°，在Rt△PEN中，∴∠PNE＝30°，PN＝2，∴PE＝PN＝1，在Rt△PEQ中，PQ＝＝＝＝，故答案为：．25．解：（1）与△ACD相似的三角形有：△ABE、△ADC，理由如下：∵AB2 ＝BE•DC，∴＝，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，＝，∴△ABE∽△DCA．∵△ABE∽△DCA，∴∠AED＝∠DAC．∵∠AED＝∠C+∠EAC，∠DAC＝∠DAE+∠EAC，∴∠DAE＝∠C．∴△ADE∽△CDA；（2）∵△ADE∽△CDA，又∵DF平分∠ADC，∴＝＝，设CE＝a，则DE＝3CE＝3a，CD＝4a，∴＝，解得：AD＝2a，∴＝＝＝；（3）∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠B＝∠C＝45°，∴∠DAE＝∠C＝45°∵DG⊥AE，∴∠DAG＝∠ADF＝45°，∴AG＝DG＝AD＝×2a＝a，∴EG＝＝＝a，∴AE＝AG+EG＝（+）a，∵∠AED＝∠DAC，∴△ADE∽△DFA，∴＝，∴DF＝＝＝4（﹣）a，∴＝＝．。

决战2020年中考数学九年级三轮冲刺：《相似综合》1．如图，在△ABC中，点D在边BC上，∠CAD＝∠B，点E在边AB上，联结CE交AD于点H，点F在CE上，且满足CF•CE＝CD•BC．（1）求证：△ACF∽△ECA；（2）当CE平分∠ACB时，求证：．2．如图，在平行四边形ABCD中，对角线BD⊥AD，E为CD上一点，连接AE交BD于点F，G 为AF的中点，连接DG．（1）如图1，若DG＝DF＝1，BF＝3，求CD的长；（2）如图2，连接BE，且BE＝AD，∠AEB＝90°，M、N分别为DG，BD上的点，且DM＝BN，H为AB的中点，连接HM、HN，求证：∠MHN＝∠AFB．3．已知：在▱ABCD中，过点D作DE⊥BC交BC延长线于点E，且AD＝DE，连接AC并延长交DE延长线于点F．（1）如图1，若DF＝3EF，AF＝，求AD的长；（2）如图2，作DG⊥AC于点G，作EM⊥AC于点M，连接DM，求证：AM+EM＝2DG．4．在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，点P为AB边上的动点（P与A、B不重合），将△BCP沿CP翻折，点B的对应点B1在矩形外，PB1交AD于E，CB1交AD于点F．（1）如图1，求证：△APE∽△DFC；（2）如图1，如果EF＝PE，求BP的长；（3）如图2，连接BB′交AD于点Q，EQ：QF＝8：5，求tan∠PCB．5．如果a：b＝b：c，即b2＝ac，则b叫a和c的比例中项，或等比中项．若一个三角形一条边是另两条边的等比中项，我们把这个三角形叫做等比三角形．（1）已知△ABC是等比三角形，AB＝2，BC＝3．请直接写出所有满足条件的AC的长；（2）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD平分∠ABC，∠BAC＝∠ADC，求证：△ABC是等比三角形；（3）如图2，在（2）的条件下，当∠ADC＝90时，求的值．6．在△ABC中，D是CB延长线上一点，∠BAD＝∠BAC．（1）如图1，求证：＝；（2）如图2，在AD上有一点E，∠EBA＝∠ACB＝120°．若AC＝2BC＝2，求DE的长；（3）如图3，若AB＝AC＝2BC＝4，BE⊥AB交AD于点E，直接写出△BDE的面积．7．已知四边形ABCD中，AB＝AD，AC平分∠DAB，过点C作CE⊥AB于点E，点F为AB上一点，且EF＝EB，△DGC∽△ADC．（1）求证：CD＝CF；（2）H为线段DG上一点，连结AH，若∠ADC＝2∠HAG，AD＝5，DC＝3，求的值．8．△ABC中，∠ACB＝90°，点E为AC的中点，连接BE，作CD⊥BE交AB于点D，交BE于点F．（1）如图1．若AC＝2BC，求证：AD＝2BD；（2）如图2，若AC＝BC，延长AF交BC于G，求；（3）如图3，若∠ACD＝60°，连AF并延长交BC于G点，则的值是．9．如图，正方形ABCD中，点O是线段AD的中点，连接OC，点P是线段OC上的动点，连接AP并延长交CD于点E，连接DP并延长交AB或BC于点F，（1）如图①，当点F与点B重合时，＝．（2）如图②，当点F是线段AB的中点时，求的值；（3）如图③，若DE＝CF，求的值10．【探索发现】如图1，△ABC中，点D，E，F分别在边BC，AC，AB上，且AD，BE，CF相交于同一点O．用”S”表示三角形的面积，有S△ABD ：S△ACD＝BD：CD，这一结论可通过以下推理得到：过点B作BM⊥AD，交AD延长线于点M，过点C作CN⊥AD于点N，可得S△ABD ：S△ACD＝，又可证△BDM～△CDN，∴BM：CN＝BD：CD，∴S△ABD ：S△ACD＝BD：CD．由此可得S△BAO：S△BCO＝；S△CAO：S△CBO＝；若D，E，F分别是BC，AC，AB的中点，则S△BFO ：S△ABC＝．【灵活运用】如图2，正方形ABCD中，点E，F分别在边AD，CD上，连接AF，BE和CE，AF分别交BE，CE于点G，M．（1）若AE＝DF．判断AF与BE的位置关系与数量关系，并说明理由；（2）若点E，F分别是边AD，CD的中点，且AB＝4．则四边形EMFD的面积是．【拓展应用】如图3，正方形ABCD中，AB＝4，对角线AC，BD相交于点O．点F是边CD的中点．AF与BD相交于点P，BG⊥AF于点G，连接OG，请直接写出S△OGP的值．参考答案1．（1）证明：∵∠ACD＝∠BCA，∠CAD＝∠B，∴△ACD∽△BCA，∴＝，∴AC2＝CD•BC，∵CF•CE＝CD•BC，∴AC2＝CF•CE，∴＝，∵∠ACF＝∠ECA，∴△ACF∽△ECA；（2）证明：∵CF•CE＝CD•BC，∴＝，∵∠DCF＝∠ECB，∴△CFD∽△CBE，∴∠CFD＝∠B，∵∠CAD＝∠B，∴∠CFD＝∠CAD，∴A，F，D，C四点共圆，∴∠AFC＝∠ADC，∵△ACF∽△ECA，∴∠CAE＝∠AFC，∴∠CAE＝∠ADC，∵当CE平分∠ACB，∴∠ACE＝∠DCH，∴△ACE∽△DCH，∴＝（）2＝，∵AC2＝CD•BC，∴．2．解：（1）∵BD⊥AD，∴∠ADB＝90°，∵G为AF的中点，∴DG＝GF，∵DG＝DF＝1，∴GF＝DG＝DF＝1，∴AF＝2，∵AD＝＝，∵BF＝3，∴BD＝4，∴AB＝＝，∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD＝AB＝；（2）连接DH，HE，∵AD⊥BD，AE⊥BE，∴∠ADB＝∠AEB＝90°，∵H为AB的中点，∴DH＝BH＝EH＝AH＝AB，∵∠ADB＝∠AEB＝90°，∴A，D，E，B四点共圆，∴∠DHE＝2∠DAE，∴∠DGF＝2∠DAE，∴∠DGF＝∠DHE，∴∠GDH＝∠HEG，∵AD＝BE，∴∠EAB＝∠ABD，∵∠EAB＝∠AEH，∴∠HBN＝∠AEH，∴∠HBN＝∠HDM，在△HDM与△HBN中，，∴△HDM≌△HBN（SAS），∴∠BHN＝∠DHM，∴∠BHD＝∠MHN，∵∠AFB＝180°﹣∠BAF﹣∠ABF，∠DHB＝180°﹣∠HDB﹣∠HBD，∴∠AFB＝∠DHB，∴∠MHN＝∠AFB．3．解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∵DE⊥BC，∴DE⊥AD，∵DF＝3EF，∴DE＝2EF，∵AD＝DE，在Rt△ADF中，∵AD2+DF2＝AF2，∴（2EF）2+（3EF）2＝13，∴EF＝1，∴AD＝2EF＝2；（2）如图2，过E作EN⊥DG于N，∵DG⊥AC，EM⊥AC，∴四边形GMEN是矩形，∴GM＝EN，GN＝EM，∵∠DAG+∠ADG＝∠ADG+∠NDE＝90°，∴∠DAG＝∠EDN，在△ADG与△EDN中，，∴△ADG≌△EDN（AAS），∴DG＝NE，DN＝AG，∴GM＝DG，AG+EM＝DG＝GM，∴AM+EM＝AG+GM+EM＝2DG．4．证明：（1）∵四边形ABCD是矩形∴∠A＝∠D＝∠ABC＝∠BCD＝90°∴∠APE+∠AEP＝90°，∠DCF+∠DFC＝90°，∵折叠∴∠ABC＝∠PB1C＝90°，∴∠B1EF+∠B1FE＝90°，又∵∠B 1EF ＝∠AEP ，∠B 1FE ＝∠DFC ， ∴∠DFC ＝∠APE ，且∠A ＝∠D ， ∴△APE ∽△DFC （2）∵PE ＝EF ，∠A ＝∠B 1＝90°，∠AEP ＝∠B 1EF ， ∴△APE ≌△B 1FE （AAS ）， ∴AE ＝B 1E ，AP ＝B 1F ， ∴AE +EF ＝PE +B 1E ， ∴AF ＝B 1P ，设BP ＝a ，则AP ＝3﹣a ＝B 1F ， ∵折叠∴BP ＝B 1P ＝a ，BC ＝B 1C ＝4， ∴AF ＝a ，CF ＝4﹣（3﹣a ）＝a +1 ∴DF ＝AD ﹣AF ＝4﹣a ， 在Rt △DFC 中，CF 2＝DF 2+CD 2， ∴（a +1）2＝（4﹣a ）2+9， ∴a ＝2.4 即BP ＝2.4 （3） ∵折叠∴BC ＝B 1C ，BP ＝B 1P ，∠BCP ＝∠B 1CP ， ∴CP 垂直平分BB 1， ∴∠B 1BC +∠BCP ＝90°， ∵BC ＝B 1C ，∴∠B 1BC ＝∠BB 1C ，且∠BB 1C +∠PB 1B ＝90° ∴∠PB 1B ＝∠PCB ， ∵四边形ABCD 是矩形 ∴AD ∥BC∴∠B 1BC ＝∠B 1QF ，∴∠B1QF＝∠BB1C，∴QF＝B1F∵EQ：QF＝8：5，∴设EQ＝8k，QF＝5k，∴B1F＝5k，EF＝EQ+QF＝13k，在Rt△B1EF中，B1E＝＝12k，如图，过点Q作HQ⊥B1E于点H，又∵∠PB1C＝90°，∴HQ∥B1F∴△EHQ∽△EB1F，∴∴∴EH＝，HQ＝∴B1H＝∴tan∠PCB＝tan∠PB1B＝＝5．解：（1）∵△ABC是等比三角形，且AB＝2、BC＝3，①当AB2＝BC•AC时，得：4＝3AC，解得：AC＝；②当BC2＝AB•AC时，得：9＝2AC，解得：AC＝；③当AC2＝AB•BC时，得：AC2＝6，解得：AC＝（负值舍去）；所以当AC＝或或时，△ABC是比例三角形；（2）∵AD∥BC，∴∠ACB＝∠CAD，又∵∠BAC＝∠ADC，∴△ABC∽△DCA，∴＝，即CA2＝BC•AD，∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∴∠ADB＝∠ABD，∴AB＝AD，∴CA2＝BC•AB，∴△ABC是比例三角形；（3）如图，过点A作AH⊥BD于点H，∵AB＝AD，∴BH＝BD，∵AD∥BC，∠ADC＝90°，∴∠BCD＝90°，∴∠BHA＝∠BCD＝90°，又∵∠ABH＝∠DBC，∴△ABH∽△DBC，∴＝，即AB•BC＝BH•DB，∴AB•BC＝BD2，又∵AB•BC＝AC2，∴BD2＝AC2，∴＝．方法二：利用勾股定理可得：BD2＝BC2+CD2＝AB2+AC2+CD2＝AD2+AC2+CD2AC2+AC2＝2AC2，∴＝．6．（1）证明：如图1中，作BE⊥AD于E，BF⊥AC于F．∵∠BAD＝∠BAC，BE⊥AD，BF⊥AC，∴BE＝BF，∴＝＝，∴＝．（2）解：如图2中，作AH⊥DC交DC的延长线于H．在Rt△ACH中，∵∠AHC＝90°，AC＝2，∠ACH＝60°，∴CH＝1，AH＝，在Rt△ABH中，AB＝＝，BH＝2，∵∠EAB＝∠BAC，∠ABE＝∠ACB，∴△EAB∽△BAC，∴＝＝，∴＝＝，∴AE＝，EB＝，∵∠ABD＝∠DBE+∠ABE＝∠ACB+∠BAC，∠ABE＝∠ACB，∴∠DBE＝∠BAC，∵∠BAC＝∠BAD，∴∠DBE＝∠BAD，∵∠D＝∠D，∴△DEB∽△DBA，∴＝＝，∴＝＝，∴DE＝（3）解：如图3中，作AH⊥BC于H，BM⊥AC于M，EF⊥BD于F．∵AB＝AC＝4，AH⊥BC，∴BH＝CH＝1，∴AH＝＝，∵•BC•AH＝•AC•BM，∴BM＝，AM＝＝∵∠BAE＝∠BAM，∠ABE＝∠AMB＝90°，∴△ABE∽△AMB，∴＝，∴BE＝，由△EFB∽△BHA，∴＝＝，∴＝＝，EF＝，BF＝，∵EF∥AH，∴＝，∴＝，∴DF＝，＝•BD•EF＝×（+）×＝．∴S△BDE7．（1）证明：∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠BAC，在△ADC和△ABC中，∴△ADC≌△ABC（SAS），∴CD＝CB，∵CE⊥AB，EF＝EB，∴CF＝CB，∴CD＝CF；（2）解：∵△DGC∽△ADC，∴∠DGC＝∠ADC，∵∠ADC＝2∠HAG，∴∠DCG＝2∠HAG，∵∠DGC＝∠HAG+∠AHG，∴∠HAG＝∠AHG，∴HG＝AG，∵∠GDC＝∠DAC＝∠FAG，∠DGC＝∠AGF，∴△DGC∽△AGF，∴△AGF∽△ADC，∴＝＝，即＝．8．解：（1）如图1，∵点E为AC的中点，∴EC＝BC，∵∠CEB＝∠CBE＝45°，∵CD⊥BE，∴∠ECF＝∠BCF＝45°，∴EF＝CF＝BF，作EG∥CD，交AC于G，∵BF＝EF，∴BD＝GD；∵AE＝EC，∴AG＝GD，∴AG＝GD＝BD∴AD＝AG+GD＝2BD．（2）如图2，过点F作FP⊥AC于P，设AE＝CE＝x，∴BC＝AC＝2x，在Rt△BCE中，根据勾股定理得，BE＝x，根据△BCE的面积得，BC•CE＝BE•CF，∴2x•x＝x•CF，∴CF＝x，∵BE⊥CD，∴∠ECF+∠CEF＝90°，∵∠CEF+∠CBE＝90°，∴∠ECF＝∠CBE，∵∠CFE＝∠BCE，∴△CFE∽△BCE，∴＝，∴＝，∴EF＝x，在Rt△CEF中，FP⊥CE，同理可得，PF＝x，PE＝x，∴AP＝AE+PE＝x+x＝x，∵FP∥BC，∴△APF∽△ACG，∴＝，∴＝，∴CG＝x，∴＝＝；（3）如图3，过点F作FP⊥AC，∵∠ACD＝60°，∴∠CEF＝90°﹣60°＝30°，在Rt△PEF中，∠EFP＝90°﹣30°＝60°，设PE＝a，在Rt△PEF中，EF＝a，PF＝a，在Rt△CPF中，CF＝PF•cos60°＝a，CP＝CF＝a，∴CE＝CP+PE＝a，∴AC＝2CE＝a，∴AP＝AC﹣CP＝a，∵FP∥BC，∴△APF∽△AGC，∴＝，∴＝，∴CG＝a，在Rt△BFC中，∠BCF＝90°﹣∠ACD＝30°，∵CF＝a，∴BC＝CF•cos30＝a，∴BG＝BC﹣CG＝a﹣a＝a，∴＝，故答案为：．9．解：（1）如图①中，∵四边形ABCD是正方形，∴∠PDA＝∠PDC，∵DP＝DP，DA＝DC，∴△PDA≌△PDC（SAS），∴∠DAE＝∠DCO，∵∠ADE＝∠CDO＝9°，AD＝CD，∴△ADE≌△CDO（ASA），∴OD＝DE，∴AO＝OD，∴CE＝DE，∴＝．故答案为．（2）如图②中，连接OF．设OA＝OD＝a．∵AF＝FB，OA＝OD，AB＝AD，∴AF＝OD，∵AD＝DC，∠FAD＝∠ODC＝90°，∴△FAD≌△ODC（SAS），∴∠FDA＝∠OCD，∵∠FDA+∠CDP＝90°，∴∠OCD+∠CDP＝90°，∴∠CPD＝90°，∵∠FAO＝∠FPO＝90°，∴A，F，P，O四点共圆，∴∠PAO＝∠PFO，∵tan∠ODP＝＝，∴OP＝a，PD＝a，∵DF＝a，∴PF＝a，∴tan∠PFO＝tan∠PAO＝＝，∴tan∠EAD＝＝＝．（3）如图③中，连接EF．设CF＝DE＝y，EC＝x．∵CF ＝DE ，∠FCD ＝∠EDA ＝90°，CD ＝DA ，∴△FCD ≌△EDA （SAS ），∴∠CDF ＝∠EAD ，∵∠CDF +∠ADP ＝90°，∴∠DAE +∠ADP ＝90°，∴∠APD ＝90°，∵OA ＝OD ，∴OP ＝OA ＝OD ，∴∠OAP ＝∠OPA ＝∠CPE ，∵∠ECF ＝∠EPF ＝90°，∴E ，C ，F ，P 四点共圆，∴∠CFE ＝∠EPC ，∴∠CFE ＝∠CDF ，∵∠ECF ＝∠DCF ，∴△FCE ∽△DCF ，∴CF 2＝CE •CD ，∴y 2＝x （x +y ），∴∴y 2﹣xy ﹣x 2＝0，∴y ＝x 或x （舍弃）， ∴＝， ∴＝＝＝．10．解：【探索发现】由题意：S △BAO ：S △BCO ＝AE ：EC ；S △CAO ：S △CBO ＝AF ：BF ；若D ，E ，F 分别是BC ，AC ，AB 的中点，则S △BFO ：S △ABC ＝1：6，故答案为：AE：EC，AF：BF，1：6．【灵活运用】（1）结论：AF＝BE，AF⊥BE．理由：如图2中，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAE＝∠ADF＝90°，∵AE＝DF，∴△BAE≌△ADF（SAS），∴BE＝AF，∠ABE＝∠DAF，∵∠ABE+∠AEB＝90°，∴∠DAF+∠AEB＝90°，∴∠AGE＝90°，∴AF⊥BE．（2）如图2﹣1中，连接DM．根据对称性可知△DME，△DMF，关于直线DM对称，∴S△DME ＝S△DMF，∵AE＝DE，∴S△AEM ＝S△DME＝S△DMF，∵S△ADF＝×4×2＝4，∴S△AEM ＝S△DME＝S△DMF＝，∴S四边形EMFD＝．故答案为．【拓展应用】：如图3中，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD＝4，AC＝BD＝4，OA＝OB＝OD＝OC＝2，∵DF＝FC，∴DF＝FC＝2，∵DF∥AB，∴＝＝，∴OP：OB＝OP：OA＝1：3，∵BG⊥PA，AO⊥OB，∴∠AGB＝∠AOB＝90°，∵∠OAP+∠APO＝90°，∠PBG+∠BPG＝90°，∴∠PAO＝∠PBG，∵∠APO＝∠BPG，∴△AOP∽△BGP，∴＝∴＝，∵∠GPO＝∠BPA，∴△GPO∽△BPA，∴＝（）2＝，∴S △ABP ＝S △ABD ＝，∴S △GOP ＝．1、最困难的事就是认识自己。

中考数学复习《相似》专项综合练习含答案一、相似1．如图，已知A（﹣2，0），B（4，0），抛物线y=ax2+bx﹣1过A、B两点，并与过A点的直线y=﹣ x﹣1交于点C．（1）求抛物线解析式及对称轴；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使四边形ACPO的周长最小？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；（3）点M为y轴右侧抛物线上一点，过点M作直线AC的垂线，垂足为N．问：是否存在这样的点N，使以点M、N、C为顶点的三角形与△AOC相似，若存在，求出点N的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】（1）解：把A（-2，0），B（4，0）代入抛物线y=ax2+bx-1，得解得∴抛物线解析式为：y= x2−x−1∴抛物线对称轴为直线x=- ＝1（2）解：存在使四边形ACPO的周长最小，只需PC+PO最小∴取点C（0，-1）关于直线x=1的对称点C′（2，-1），连C′O与直线x=1的交点即为P 点．设过点C′、O直线解析式为：y=kx∴k=-∴y=- x则P点坐标为（1，- ）（3）解：当△AOC∽△MNC时，如图，延长MN交y轴于点D，过点N作NE⊥y轴于点E∵∠ACO=∠NCD，∠AOC=∠CND=90°∴∠CDN=∠CAO由相似，∠CAO=∠CMN∴∠CDN=∠CMN∵MN⊥AC∴M、D关于AN对称，则N为DM中点设点N坐标为（a，- a-1）由△EDN∽△OAC∴ED=2a∴点D坐标为（0，- a−1）∵N为DM中点∴点M坐标为（2a，a−1）把M代入y= x2−x−1，解得a=4则N点坐标为（4，-3）当△AOC∽△CNM时，∠CAO=∠NCM∴CM∥AB则点C关于直线x=1的对称点C′即为点N由（2）N（2，-1）∴N点坐标为（4，-3）或（2，-1）【解析】【分析】（1）根据点A、B的坐标，可求出抛物线的解析式，再求出它的对称轴即可解答。

（2）使四边形ACPO的周长最小，只需PC+PO最小，取点C（0，-1）关于直线x=1的对称点C′（2，-1），连C′O与直线x=1的交点即为P点，利用待定系数法求出直线C′O的解析式，再求出点P的坐标。

一、相似真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图，已知A（﹣2，0），B（4，0），抛物线y=ax2+bx﹣1过A、B两点，并与过A点的直线y=﹣ x﹣1交于点C．（1）求抛物线解析式及对称轴；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使四边形ACPO的周长最小？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；（3）点M为y轴右侧抛物线上一点，过点M作直线AC的垂线，垂足为N．问：是否存在这样的点N，使以点M、N、C为顶点的三角形与△AOC相似，若存在，求出点N的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】（1）解：把A（-2，0），B（4，0）代入抛物线y=ax2+bx-1，得解得∴抛物线解析式为：y= x2−x−1∴抛物线对称轴为直线x=- ＝1（2）解：存在使四边形ACPO的周长最小，只需PC+PO最小∴取点C（0，-1）关于直线x=1的对称点C′（2，-1），连C′O与直线x=1的交点即为P 点．设过点C′、O直线解析式为：y=kx∴k=-∴y=- x则P点坐标为（1，- ）（3）解：当△AOC∽△MNC时，如图，延长MN交y轴于点D，过点N作NE⊥y轴于点E∵∠ACO=∠NCD，∠AOC=∠CND=90°∴∠CDN=∠CAO由相似，∠CAO=∠CMN∴∠CDN=∠CMN∵MN⊥AC∴M、D关于AN对称，则N为DM中点设点N坐标为（a，- a-1）由△EDN∽△OAC∴ED=2a∴点D坐标为（0，- a−1）∵N为DM中点∴点M坐标为（2a，a−1）把M代入y= x2−x−1，解得a=4则N点坐标为（4，-3）当△AOC∽△CNM时，∠CAO=∠NCM∴CM∥AB则点C关于直线x=1的对称点C′即为点N由（2）N（2，-1）∴N点坐标为（4，-3）或（2，-1）【解析】【分析】（1）根据点A、B的坐标，可求出抛物线的解析式，再求出它的对称轴即可解答。

（2）使四边形ACPO的周长最小，只需PC+PO最小，取点C（0，-1）关于直线x=1的对称点C′（2，-1），连C′O与直线x=1的交点即为P点，利用待定系数法求出直线C′O的解析式，再求出点P的坐标。

2020年中考数学专题 相似三角形综合（含答案）一、单选题（共有10道小题）1.如图，在△ABC 中，∠ACB= 90，CD ⊥AB ，垂足为D ，点E 是AB 的中点，CD=DE=a ，则AB 的长为（ ）A ．2aB ．a 22C ．3aD ． 2.根据下列条件，△ABC 和△111C B A 不相似的是（）A.∠A=68°，∠B=40°，∠A 1=68°，∠B 1=72°B.∠B=∠B 1，BC=2，BC:A 1 B 1= A B: B 1C 1C.AB=1，BC=2， CA=1.5，A 1 B 1=4， B 1 C 1 =8，D.AB=12，BC=15，CA=24，A 1 B 1=24，A 1 B 1=20，B 1 C 1 =25，A 1 C 1=32 3.用作位似图形的方法，可以将一个图形放大或缩小，位似中心（ ） A.只能选在原图形的外部B.只能选在原图形的内部C.只能选在原形的边上D.可以选择任意位置4.如图，AB ，CD 都是BD 的垂线，AB=4，CD=6，BD=14。

P 是BD 上一点，连接AP ，CP ，所得两个三角形相似，则BP 的长是（ ）A.2B.5.6C.12D.上述都有可能5.如图，是一束平行的光线从教室窗户射入教室的示意图，测得光线与地面所成的角∠AMC=30°，窗户的高在教室地面上的影长MN=32m ，窗户的下沿到教室地面的距离BC=1m （点M ，N ，CC 在同一直线上），则窗户的高CAA B CD a 3346.如图，在□ABCD 中，EF ∥AB 交AD 于点E ，交BD 于点F ，DE:EA=3:4，EF=3，则CD 的长为（ ）A.4B.7C.3D.127.如图1，已知在△ABC 中，点D 、E 、F 分别是边AB 、AC 、BC 上的点，DE ∥BC ，EF ∥AB ，且AD:DB = 3:5，那么CF ∶CB 等于（ ） A. 5:8 B. 3:8 C. 3:5 D.8.如图，如果点C 是线段AB 的黄金分割点（AC>BC ），则下列比例式正确的是（ ）A.AB ACAC BC= B.AB BC BC AC = C. AC BC BC AB = D. AC ABAB BC=9.如图，P 为平行四边形ABCD 的边AD 上的一点，E 、F 分别为PB ，PC 的中点，△PEF ，△PDC ，△PAB 的面积分别为12,,S S S ，若3S =，则12S S +的值为（）A.24B.12C.6D.3 10.如图，在□ABCD 中，点E 是边AD 的中点，EC 交对角线BD 于点F ，则EF:FC 等于（ ） A.3:2 B.3:1 C.1:1 D.1:2 二、填空题（共有8道小题）11.如图，梯形ABCD 的对角线相交于O ，G 是BD 的中点．若AD = 3，BC = 9，则GOBG=A B C DE F A B C P A BCDE F E F A B CD12.如图，平行四边形中，是边上的点，交于点，如果， 那么 ．13.如图，正五边形ABCDE 与五边形A ’B ’C ’D ’E ’是位似图形，且相似比为21。

2020年九年级数学典型中考压轴题训练《相似综合》1．如图，四边形ABCD内接于⊙O，且对角线AC⊥BD，垂足为点E，过点C作CF⊥AB于点F，交BD于点G．（1）如图①，连接EF，若EF平分∠AFG，求证：AE＝GE；（2）如图②，连接CO并延长交AB于点H，若CH为∠ACF的平分线，AD＝3，且tan∠FBG ＝，求线段AH长．2．如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别是边BC，AC上的点，且∠ADE＝∠B．（1）求证：AB•CE＝BD•CD；（2）若AB＝5，BC＝6，求AE的最小值；（3）如图2，若△ABC为等边三角形，AD⊥DE，BE⊥DE，点C在线段DE上，AD＝3，BE ＝4，求DE的长．3．如图，AB是⊙O的直径，AB＝10，延长弦CD至点E，CD＝6，AB⊥CD于点F，点M在AB上，AM＝，连接EM，点N在半径OB上，ON＝2，ND∥ME．（1）求tan∠E的值；（2）延长OB至点G，使BG＝，连接GD并延长交ME于点H，判断GH与⊙O的位置关系，并求MH的长．4．在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，点D为AB上一点．（1）如图1，若CD⊥AB，求证：CD2＝AD•DB；（2）如图2，若AC＝BC，EF⊥CD于H，EF与BC交于E，与AC交于F，且＝，求的值；（3）如图3，若AC＝BC，点H在CD上，且∠AHD＝45°，CH＝3DH，直接写出tan∠ACH 的值为．5．定义：连结菱形的一边中点与对边的两端点的线段把它分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，那么称这样的菱形为自相似菱形．（1）判断下列命题是真命题，还是假命题？①正方形是自相似菱形；②有一个内角为60°的菱形是自相似菱形．③如图1，若菱形ABCD是自相似菱形，∠ABC＝α（0°＜α＜90°），E为BC中点，则在△ABE，△AED，△EDC中，相似的三角形只有△ABE与△AED．（2）如图2，菱形ABCD是自相似菱形，∠ABC是锐角，边长为4，E为BC中点．①求AE，DE的长；②AC，BD交于点O，求tan∠DBC的值．6．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是线段AC上的一个动点且＝k（0＜k＜1），点F在线段BC上，且DEFH为矩形；过点E作MN⊥BC，分别交AD，BC于点M，N．（1）求证：△MED∽△NFE；（2）当EF＝FC时，求k的值．（3）当矩形EFHD的面积最小时，求k的值，并求出矩形EFHD面积的最小值．7．如图1，△ABC中，∠ACB的平分线CE交AB于点E．（1）求证：＝；（2）如图2，AD⊥BC交CE于F，BD＝2AD，∠AEC＝45°．①求证：BE＝2AE；②直接写出sin∠ACE的值．8．如图1，在△ABC中，点D在AC边上，连接BD，∠ABD＝∠C．（1）求证：△ADB∽△ABC；（2）点E在AB边上，连接DE，BE＝DE．①如图2，若∠C＝30°，求证：3AE•BE＝AD•CD；②如图3，△ABC为锐角三角形，AB＝6，AC＝9，tan C＝，请直接写出AE的长．9．在四边形ABCD中，E、F分别是BD、BC上的点，∠BAE＝∠BDA．（1）如图1，求证：AB2＝BE•BD；（2）如图2，若四边形ABCD是平行四边形，A、E、F三点在同一条直线上，，∠ABC＝60°，求的值；（3）如图3，若A、E、F不在同一条直线，∠DEF＝∠C，AB＝2，BD＝4，，，则CD＝（直接写出结果）．10．矩形ABCD中，点P在对角线BD上（点P不与点B重合），连接AP，过点P作PE⊥AP 交直线BC于点E．（1）如图1，当AB＝BC时，猜想线段PA和PE的数量关系：；（2）如图2，当AB≠BC时．求证：（3）若AB＝8，BC＝10，以AP，PE为边作矩形APEF，连接BF，当PE＝时，直接写出线段BF的长．11．已知矩形ABCD中，E是BC的中点，DF⊥AE于点F．（1）如图1，若BE＝，求AE•AF的值；（2）如图2，连接AC交DF于点G，若＝，求cos∠FCE的值；（3）如图3，延长DF交AB于点G，若G点恰好为AB的中点，连接PC，过A作AK∥FC交FD于K，设△ADK的面积为S1，△CDF的面积为S2，则的值为．12．如图1，AB⊥BC，分别过点A，C作BM的垂线，垂足分别为M，N．（1）求证：BM•BC＝AB•CN；（2）若AC＝BC．①如图2，若BM＝MN，过点A作AD∥BC交CM的延长线于点D，求DN：CN的值；②如图3，若BM＞MN，延长BN至点E，使BM＝ME，过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F，若E是CF的中点，且CN＝1，直接写出线段AF的长．13．请阅读下列材料，并完成相应的任务．梅涅劳斯（Menelaus）是公元一世纪时的希腊数学家兼天文学家，著有几何学和三角学方面的许多书籍．梅涅劳斯发现，三角形各边（或其延长线）被一条不过任何一个顶点也不与任何一条边平行的直线所截，这条直线可能与三角形的两条边相交（一定还会与一条边的延长线相交），也可能与三条边都不相交（与三条边的延长线都相交）．他进行了深入研究并证明了著名的梅涅劳斯定理（简称梅氏定理）：设D，E，F依次是OABC的三边AB，BC，CA或其延长线上的点，且这三点共线，则满足．这个定理的证明步骤如下：情况①：如图1，直线DE交△ABC的边AB于点D，交边AC于点F，交边BC的延长线与点E．过点C作CM∥DE交AB于点M，则，（依据）∴＝∴BE•AD•FC＝BD•AF•EC，即．情况②：如图2，直线DE分别交△ABC的边BA，BC，CA的延长线于点D，E，F．…（1）情况①中的依据指：（2）请你根据情况①的证明思路完成情况②的证明．（3）如图3，D，F分别是△ABC的边AB，AC．上的点，且AD：DB＝CF：FA＝2：3，连接DF并延长，交BC的延长线于点E，那么BE：CE＝．14．如图a，在正方形ABCD中，E、F分别为边AB、BC的中点，连接AF、DE交于点G．（1）求证：AF⊥DE；（2）如图b，连接BG，BD，BD交AF于点H．①求证：GB2＝GA•GD；②若AB＝10，求三角形GBH的面积．15．问题发现：（1）如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝k•AC（k＞1），D是AB上一点，DE∥BC，则BD，EC的数量关系为．类比探究（2）如图2，将△AED绕着点A顺时针旋转，旋转角为a（0°＜a＜90°），连接CE，BD，请问（1）中BD，EC的数量关系还成立吗？说明理由拓展延伸：（3）如图3，在（2）的条件下，将△AED绕点A继续旋转，旋转角为a（a＞90°）．直线BD，CE交于F点，若AC＝1，AB＝，则当∠ACE＝15°时，BF•CF的值为．参考答案1．证明：（1）过点E作EI⊥EF交CF于点I，如图①所示：∵CF⊥AB，∴∠AFG＝90°，又∵EF平分∠AFG，∴∠EFA＝∠EFI＝45°，又∵EF⊥EI，∴∠FEI＝90°，又∵∠EFI+∠EIF＝90°，∴∠EIF＝45°，∴EF＝EI，又∵∠EAF+∠AFG+∠FGE+∠GEA＝360°，∠AFG＝∠AEG＝90°，∴∠EGF+∠FAE＝180°，又∵∠EGF+∠EGI＝180°，∴∠EGI＝∠FAE，又∵∠AEB＝∠AEF+∠FEG，∠FEI＝∠GEI+∠FEG，∴∠AEF＝∠GEI，在△AEF和△GEI中，，∴△AEF≌△GEI（AAS），∴AE＝GE；（2）连接DO并延长，交⊙O于点P，连接AP，如图②甲所示：∵∠ABD与∠P是⊙O上弧AD所对的圆周角，∴∠ABD＝∠P，又∵DP为⊙O的直径，∴∠PAD＝90°，又∵tan∠FBG＝，∴tan∠P＝＝，又∵AD＝3，∴AP＝4，PD＝5，∴OD＝，过点H作HJ⊥AC于点J，过点O作OK⊥AC于点K，设AJ＝3t，CF＝x，如图②乙所示，∵HJ⊥AC，BD⊥AC，∴HJ∥BD，∴∠ABD＝∠AHJ，又∵tan∠ABD＝∴tan∠AHJ＝，又∵AJ＝3t，∴HJ＝4t，在Rt△AHJK由勾股定理得：AH＝＝＝5t，又∵CH是∠ACF的平分线，且HF⊥CF，HJ⊥AC，∴HF＝HJ＝4t，∴AF＝AH+HF＝9t，又∵CF＝x，∴CJ＝x，又∵∠BFG＝∠GEC，∠FGB＝∠EGC，∴△FBG∽△ECG，∴∠FBG＝∠ECG，∴tan∠FCJ＝＝＝，解得：x＝12t，∴CF＝CJ＝12t，∴AC＝15t，∴CK＝t，又∵OK∥HJ，∴＝，∴OK＝＝＝t，∴在Rt△OCK中，由勾股定理得：OK2+KC2＝OC2，即（t）2+（t）2＝（）2，解得：t＝，或t＝﹣（舍去），∴AH＝5t＝．2．（1）证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠ADC为△ABD的外角，∴∠ADE+∠EDC＝∠B+∠DAB，∵∠ADE＝∠B，∴∠BAD＝∠CDE，又∠B＝∠C，∴△ABD∽△DCE，∴＝，∴AB•CE＝BD•CD；（2）解：设BD＝x，AE＝y，由（1）得，5×（5﹣y）＝x×（6﹣x），整理得，y＝x2﹣x+5＝（x﹣3）2+，∴AE的最小值为；（3）解：作AF⊥BE于F，则四边形ADEF为矩形，∴EF＝AD＝3，AF＝DE，∴BF＝BE﹣EF＝1，设CD＝x，CE＝y，则AF＝DE＝x+y，由勾股定理得，AD2+CD2＝AC2，CE2+BE2＝BC2，AF2+BF2＝AB2，∵△ABC为等边三角形，∴AB＝AC＝BC，∴32+x2＝AC2，y2+42＝BC2，（x+y）2+12＝AC2，∴x2﹣y2＝7，y2+2xy＝8，解得，x＝，y＝，∴DE＝x+y＝．3．解：（1）如图，连接OD，∵AB＝10，∴OA＝OB＝5，∵AB⊥CD，∴CF＝DF＝CD＝3，∴OF＝＝＝4，∴NF＝OF﹣ON＝2，∵DN∥ME，∴∠E＝∠NDF，∴tan∠E＝tan∠NDF＝＝；（2）∵FB＝OB﹣OF＝1，∴FG＝+1＝，∵，∴，且∠DFG＝∠DFO＝90°，∴△DFO∽△GFD，∴∠G＝∠ODF，∵∠FOD+∠ODF＝90°＝∠FOD+∠G，∴∠ODG＝90°，∴OD⊥DG，且OD是半径，∴GH是⊙O的切线，∵AM＝，∴GM＝10﹣+＝，在Rt△DFN中，DN＝＝＝，∵DN∥ME，∴∴∴MH＝2．4．（1）证明：∵CD⊥AB，∴∠ADC＝∠CDB＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠B+∠BCD＝∠ACD+∠BCD＝90°，∴∠B＝∠ACD，∴△CBD∽△ACD，∴CD：AD＝BD：CD，∴CD2＝AD•DB；（2）解：∵＝，∴设FH＝4a，则HE＝9a（a＞0），∵∠ACB＝90°，EF⊥CD，∴同（1）得：CH2＝HE•FH＝9a×4a＝36a2，∴CH＝6a，在Rt△CHF中，tan∠ACD＝＝＝，过D作DP⊥AC于P，如图2所示：则DP∥BC，在Rt△DPC中，tan∠ACD＝＝，∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠A＝45°，∴△ADP是等腰直角三角形，∴AP＝DP，∴＝＝，∵DP∥BC，∴＝＝；（3）解：过点D作DM⊥AH于M，如图3所示：∵CH＝3DH，∴设DH＝2x，则CH＝6x（x＞0），∴CD＝DH+CH＝8x，∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠BAC＝45°＝∠AHD，又∵∠ADH＝∠CDA，∴△ADH∽△CDA，∴∠DAH＝∠ACH，AD：CD＝DH：AD，∴AD2＝DH•CD＝16x2，∴AD＝4x，∵DM⊥AH，∠AHD＝45°，∴△ADM是等腰直角三角形，∴DM＝HM＝DH＝x，∴AM＝＝＝x，∴tan∠ACH＝tan∠DAH＝＝＝；故答案为：．5．解：（1）①正方形是自相似菱形，是真命题；理由如下：如图3所示：∵四边形ABCD是正方形，点E是BC的中点，∴AB＝CD，BE＝CE，∠ABE＝∠DCE＝90°，在△ABE和△DCE中，，∴△ABE≌△DCE（SAS），∴△ABE∽△DCE，∴正方形是自相似菱形；②有一个内角为60°的菱形是自相似菱形，是假命题；理由如下：如图4所示：连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD，AD∥BC，AB∥CD，∵∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形，∠DCE＝120°，∵点E是BC的中点，∴AE⊥BC，∴∠AEB＝∠DAE＝90°，∴只能△AEB与△DAE相似，∵AB∥CD，∴只能∠B＝∠AED，若∠AED＝∠B＝60°，则∠CED＝180°﹣90°﹣60°＝30°，∴∠CDE＝180°﹣120°﹣30°＝30°，∴∠CED＝∠CDE，∴CD＝CE，不成立，∴有一个内角为60°的菱形不是自相似菱形；③若菱形ABCD是自相似菱形，∠ABC＝α（0°＜α＜90°），E为BC中点，则在△ABE，△AED，△EDC中，相似的三角形只有△ABE与△AED，是真命题；理由如下：∵∠ABC＝α（0°＜α＜90°），∴∠C＞90°，且∠ABC+∠C＝180°，△ABE与△EDC不能相似，同理△AED与△EDC也不能相似，∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∴∠AEB＝∠DAE，当∠AED＝∠B时，△ABE∽△DEA，∴若菱形ABCD是自相似菱形，∠ABC＝α（0°＜α＜90°），E为BC中点，则在△ABE，△AED，△EDC中，相似的三角形只有△ABE与△AED；（2）①∵菱形ABCD是自相似菱形，∠ABC是锐角，边长为4，E为BC中点，∴BE＝2，AB＝AD＝4，由（1）③得：△ABE∽△DEA，∴＝＝，∴AE2＝BE•AD＝2×4＝8，∴AE＝2，DE＝＝＝4，②过E作EM⊥AD于M，过D作DN⊥BC于N，如图2所示：则四边形DMEN是矩形，∴DN＝EM，DM＝EN，∠M＝∠N＝90°，设AM＝x，则EN＝DM＝x+4，由勾股定理得：EM2＝DE2﹣DM2＝AE2﹣AM2，即（4）2﹣（x+4）2＝（2）2﹣x2，解得：x＝1，∴AM＝1，EN＝DM＝5，∴DN＝EM＝＝＝，在Rt△BDN中，∵BN＝BE+EN＝2+5＝7，∴tan∠DBC＝＝．6．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，AD＝BC＝4，DC＝AB＝3，AD∥BC，∵MN⊥BC，∴MN⊥AD，∴∠EMD＝∠FNE＝90°，∵四边形DEFH是矩形，∴∠MED+∠NEF＝90°，∴∠NEF＝∠MDE，∴△MED∽△NFE；（2）解：设AM＝x，则MD＝NC＝4﹣x，∵tan∠DAC＝tan∠MAE＝＝＝，∴ME＝x，∴NE＝3﹣x，∵△MED∽△NFE，∴＝，即＝，解得：NF＝x，∴FC＝4﹣x﹣x＝4﹣x，EF＝＝，当EF＝FC时，4﹣x＝，解得：x＝4或x＝，由题意可知x＝4不合题意，当x＝时，AE＝，∵AC＝＝＝5，∴k＝＝；（3）解：由（1）可知：△MED∽△NFE，∴＝＝，∴DE＝EF，∴矩形EFHD的面积＝DE×EF＝EF2＝[（3﹣x）2+（x）2]＝[（x﹣）2+]，∴当x﹣＝0时，即x＝时，矩形EFHD的面积最小，最小值为：×＝，∵cos∠MAE＝＝＝，∴AE＝AM＝×＝，此时k＝＝．7．（1）证明：过B作BG∥AC交CE的延长线于G，如图1所示：则∠G＝∠ACE，∵CE平分∠ACB，∴∠ACE＝∠BCE，∴∠G＝∠BCE，∴BG＝BC，∵BG∥AC，∴△ACE∽△BGE，∴，∴；（2）①证明：过E作EM⊥AB交BC于M，如图2所示：则∠AEM＝90°，∵∠AEC＝45°，∴∠MEC＝45°＝∠AEC，在△AEC和△MEC中，，∴△AEC≌△MEC（ASA），∴ME＝AE，∵AD⊥BC，EM⊥AB，∴∠MEB＝∠ADB＝90°，∵∠B＝∠B，∴△BME∽△BAD，∴，∴BE＝2EM，∴BE＝2AE；②解：由（1）得：＝，∵BE＝2AE，∴，设AC＝x，BC＝2x，AD＝1，BD＝2，则CD＝2x﹣2，又AC2＝AD2+CD2，∴x2＝12+（2x﹣2）2，＝1，，∴x1又2x﹣2＞0，∴x＝，∴AC＝，CD＝，作FG⊥AC于G，如图3所示：∵CE平分∠ACB，AD⊥BC，∴FD＝FG，∴＝＝＝，∴，∴DF＝AD＝×1＝，∴CF＝＝＝，∴sin∠DCF＝，∴sin∠ACE＝sin∠DCF＝．8．（1）证明：∵∠ABD＝∠C，∠A＝∠A，∴△ADB∽△ABC（2）①证明：过点A作AF∥DE交BD的延长线于点F，过E作EG⊥BD于点G，如图2所示：∵BE＝DE，∴∠ABD＝∠BDE，∵AF∥DE，∴∠F＝∠BDE，∵∠ABD＝∠C＝30°，∴∠ABD＝∠BDE＝∠F＝∠C＝30°，∵∠ADF＝∠BDC，∴△ADF∽△BDC，∴DF：CD＝AD：BD，∴BD•DF＝AD•CD，∵BE＝DE，EG⊥BD，∴BG＝DG，EG＝BE，∴BG＝EG＝BE，∴BD＝2BG＝BE，∵AF∥DE，∴DF：AE＝BD：BE，∴DF＝AE，∴BE•AE＝AD•CD，∴3AE•BE＝AD•CD；②解：AE＝，理由如下：由（1）得：△ADB∽△ABC，∴AB：AC＝AD：AB，∴AB2＝AD•AC，即62＝9AD，∴AD＝4，∴CD＝AC﹣AD＝5，过点A作AF∥DE交BD的延长线于点F，过E作EG⊥BD于点G，如图3所示：∵BE＝DE，∴∠ABD＝∠BDE，∵AF∥DE，∴∠F＝∠BDE，∵∠ABD＝∠C，∴∠ABD＝∠BDE＝∠F＝∠C，∵∠ADF＝∠BDC，∴△ADF∽△BDC，∴DF：CD＝AD：BD，∴BD•DF＝AD•CD，∵BE＝DE，EG⊥BD，∴BG＝DG，tan∠ABD＝＝tan C＝，∴BG＝EG＝BE，∴BD＝2BG＝BE，∵AF∥DE，∴DF：AE＝BD：BE＝8：5，∴DF＝AE，∴BE•AE＝AD•CD，∴64AE•BE＝25AD•CD；设AE＝x，则BE＝6﹣x，∴64x（6﹣x）＝25×4×5，解得：x＝，或x＝，∵AE＝＞4＝AD，∴∠ADE＞∠AED＝2∠C，∵AF∥DE，∴∠DAF＝∠ADE＞2∠C，∵△ADF∽△BDC，∴∠DBC＝∠DAF＞2∠C，∴∠ABC＞3∠C＞90°，∴x＝不合题意舍去，∴AE═．9．（1）证明：∵∠BAE＝∠BDA，∠ABE＝∠DBA，∴△BAE～△BDA，∴AB：BD＝BE：AB，∴AB2＝BE•BD；（2）解：作BG⊥AD于G，如图2所示：∵，∴设BF＝x，则FC＝2x，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC＝BF+CF＝3x，AD∥BC，∴∠BAG＝∠ABC＝60°，△BEF∽△DEA，∴＝＝，∴DE＝3BE，设BE＝y，DE＝3y，则BD＝BE+DE＝4y，由（1）得：AB2＝BE•BD＝y×4y＝4y2，∴AB＝2y，∵BG⊥AD，∠BAG＝60°，∴∠ABG＝30°，∴AG＝AB＝y，BG＝AG＝y，∴DG＝AG+AD＝y+3x，在Rt△BDG中，由勾股定理得：BG2+DG2＝BD2，即（y）2+（y+3x）2＝（4y）2，解得：x＝，∴＝，∴＝＝＝；（3）解：作FH⊥BD于H，在BC的延长线上截取DT＝DC，连接DT，如图3所示：则∠DCT＝∠T，由（1）得：AB2＝BE•BD，即22＝BE×4，解得：BE＝1，∵＝，∴EH＝2FH，设FH＝a，则EH＝2a，BH＝1﹣2a，在Rt△BFH中，由勾股定理得：a2+（1﹣2a）2＝（）2，解得：a＝，或a＝（不合题意舍去），∴FH＝，EH＝，∴EF＝＝＝，∵∠DEF＝∠BCD，∠DEF+∠BEF＝180°，∠BCD+∠DCT＝180°，∴∠BEF＝∠DCT＝∠T，∵∠EBF＝∠TBD，∴△BEF∽△BTD，∴＝，即＝，∴DT＝，∴CD＝；故答案为：．10．（1）解：线段PA和PE的数量关系为：PA＝PE，理由如下：过点P作PM⊥AB于M，PN⊥BC于N，如图1所示：∵四边形ABCD是矩形，AB＝BC，∴四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝90°，BD平分∠ABC，∴PM＝PN，∴四边形MBNP是正方形，∴∠MPN＝90°，∵PE⊥AP，∴∠APE＝90°，∴∠APM+∠MPE＝90°，∠EPN+∠MPE＝90°，∴∠APM＝∠EPN，在△APM和△EPN中，，∴△APM≌△EPN（ASA），∴PA＝PE，故答案为：PA＝PE；（2）证明：过点P作PM⊥AB于M，PN⊥BC于N，如图2所示：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，CD＝AB，AD⊥AB，CD⊥BC，∠ABC＝90°，∴四边形MBNP是矩形，∴∠MPN＝90°，∵PE⊥AP，∴∠APE＝90°，∴∠APM+∠MPE＝90°，∠EPN+∠MPE＝90°，∴∠APM＝∠EPN，∵∠AMP＝∠ENP＝90°，∴△APM∽△EPN，∴＝，∵PM⊥AB，PN⊥BC，AD⊥AB，CD⊥BC，∴PM∥AD，PN∥CD，∴△BPM∽△BDA，△BPN∽△BDC，∴＝，＝，∴＝，∴＝＝，∴；（3）解：连接AE、PF交于Q，连接QB，过点A作AO⊥BD于O，①当P在O的右上方时，如图3所示：由（2）得：＝＝，∴PA＝PE＝×＝，∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝10，∠BAD＝90°，∴BD＝＝＝2，∵AO⊥BD，∵△ABD的面积＝BD×AO＝AB×AD，∴AO＝＝＝，∵tan∠ABD＝＝，∴＝，解得：BO＝，由勾股定理得：OP＝＝＝，∴BP＝BO+OP＝，∵四边形APEF是矩形，∴∠AEP＝90°，AE＝PE，QA＝QE＝QP＝QF，∴PF＝AE＝＝＝，∵∠ABE＝90°，∴QB＝AE＝QE，∴QA＝QE＝QP＝QF＝QB，∴点A、P、E、B、F五点共圆，AE、PF为圆的直径，∴∠PBF＝90°，∴BF＝＝＝；②当P在O的左下方时，如图4所示：同理可得：AO＝，BO＝，OP＝，PF＝，则BP＝BO﹣OP＝，同理可得：点A、P、E、B、F五点共圆，AE、PF为圆的直径，∴BF＝＝＝；综上所述，当PE＝时，线段BF的长为或．11．解：（1）∵E是BC的中点，∴BC＝2BE＝2，∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝2，∠B＝90°，AD∥BC，∵DF⊥AE，∴∠AFD＝90°＝∠B，∴△ABE∽△DFA，∴＝，∴AE•AF＝AD•BE＝2×＝4；（2）延长DE交CB的延长线于H，连接DE、AH，如图2所示：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD＝BC，∠BCD＝90°，∴△ADG∽△CHG，∴＝＝，∴BH＝BC，∵E是BC的中点，∴BE＝CE＝BH，∴EH＝BC＝AD，∴四边形ADEH是平行四边形，∵DF⊥AE，∴四边形ADEH是菱形，∴DF＝HF，∠AEH＝∠AED，DE＝AD＝EH＝BC，∴CE＝DE，∴∠CDE＝30°，∴∠CED＝90°﹣30°＝60°，∴∠AEH＝∠AED＝60°，∵DF⊥AE，∴∠FDE＝30°＝∠CDE，∴FE＝CE，∴∠FCE＝∠CFE＝∠AEH＝30°，∴cos∠FCE＝；（3）过F作PQ⊥AB于P，交CD于Q，作KH⊥AD于H，如图3所示：则PQ＝AD，AP＝DQ，PQ∥BC∥AD，∵G是AB的中点，E是BC的中点，∴AB＝2AG，BC＝2BE，∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，AB＝CD，∠B＝∠DAG＝90°，∵DF⊥AE，∴∠ADF+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝90°，∴∠BAE＝∠ADF，∴△ABE∽△DAG，∴＝，∴AB•AG＝AD•BE，即AB2＝AD2，∴AB＝AD，∴四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD＝PQ，设AB＝BC＝CD＝AD＝PQ＝4a，则BE＝AG＝2a，∴tan∠ADG＝tan∠BAE＝＝，AE＝DG＝＝2a，∵DF⊥AE，∴AF＝＝＝a，∵PQ∥BC，∴△APF∽△ABE，∴＝＝，即＝＝，解得：AP＝a，PF＝a，∴CQ＝PB＝AB﹣AP＝4a﹣a＝a，FQ＝PQ﹣PF＝4a﹣a＝a，∵KH⊥AD，∴tan∠ADG＝＝，设KH＝x，则DH＝2x，∵PQ∥AD，AK∥FC，∴∠DAF＝∠QFE，∠KAF＝∠CFE，∴∠DAK＝∠QFC，又∵∠AHK＝∠FQC＝90°，∴△AHK∽△FQC，∴＝，即＝，解得：AH＝x，∵AH+DH＝AD，∴x+2x＝4a，解得：x＝a，∴KH＝a，∵△ADK的面积为S1＝AD×KH，△CDF的面积为S2＝CD×FQ，∴＝＝＝；故答案为：．12．（1）证明：如图1中，∵AM⊥BN，CN⊥BN，AB⊥BC，∴∠AMB＝∠N＝∠ABC＝90°，∴∠A+∠ABM＝90°，∠ABM+∠CBN＝90°，∴∠A+∠CBN＝90°，∴△ABM∽△BCN，∴＝，∴BM•BC＝AB•CN．（2）解：如图2中，连接AN，延长AN交BC的延长线于H，作BK⊥AN于K．由（1）可知：△ABM∽△BCN，∴＝∵AB＝BC，∴AM＝BN，BM＝CN，设CN＝m，∵BM＝MN，∴BM＝CN＝MN＝m，BN＝AM＝2m，∵AM⊥BN，BM＝MN，＝•BN•AM＝•AN•BK．∵S△ABN∴BK＝＝m，∴AK＝＝＝m，∵∠BAK＝∠BAH，∠ABH＝∠AKB＝90°，∴△ABK∽△AHB，∴＝，∴＝，∴AH＝m，∴HN＝AH﹣AN＝m﹣m＝m，∵AD∥CH，∴＝＝＝．（3）解：如图3中，连接AE，延长AE交BC的延长线于H．∵AF∥CH，∴∠F＝∠ECH，∵∠AEF＝∠CEH，EF＝CF，∴△AFE≌△HCE（ASA），∴AE＝EH，AF＝CH，∵AM⊥BE，BM＝ME，∴AB＝AE，∵∠ABH＝90°，∵CN＝BM＝ME＝1，∴BE＝AE＝EH＝2，∴AB＝BC＝AE＝2，∴BH＝＝2，∴CH＝BH﹣BC＝2﹣2，∴AF＝2﹣2．13．解：（1）情况①中的依据是：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．故答案为两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．（2）如图2中，作CN∥DE交BD于N．则有＝，＝，＝，∴•＝•，∴BE•AD•FC＝BD•AF•EC，∴••＝1．（3）如图3中，∵••＝1，AD：DB＝CF：FA＝2：3，∴＝．故答案为．14．证明：（1）∵正方形ABCD，E、F分别为边AB、BC的中点，∴AD＝BC＝DC＝AB，AE＝BE＝AB，BF＝CF＝BC，∴AE＝BF，∵在△ADE和△BAF中，∴△ADE≌△BAF（SAS）∴∠BAF＝∠ADE，∵∠BAF+∠DAF＝90°∴∠ADE+∠DAF＝90°＝∠AGD，∴AF⊥DE；（2）①如图b，过点B作BN⊥AF于N，∵∠BAF＝∠ADE，∠AGD＝∠ANB＝90°，AB＝AD，∴△ABN≌△ADG（AAS）∴AG＝BN，DG＝GN，∵∠AGE＝∠ANB＝90°，∴EG∥BN，∴，且AE＝BE，∴AG＝GN，∴AN＝2AG＝DG，∵BG2＝BN2+GN2＝AG2+AG2，∴BG2＝2AG2＝2AG•AG＝GA•DG；②∵AB＝10，∴AE＝BF＝5，∴DE＝＝＝5，∵×AD×AE＝×DE×AG，∴AG＝2，∴GN＝BN＝2，∴AN＝DG＝4，∵GE∥BN，∴△DGH∽△BNH，∴＝＝2，∴GH＝2HN，且GH+HN＝GN＝2，∴GH＝，＝×GH×BN＝××2＝．∴S△GHB15．解：问题发现：（1）∵DE∥BC，∴，∵AB＝k•AC，∴BD＝k•EC，故答案为：BD＝k•EC；类比探究：（2）成立，理由如下：连接BD由旋转的性质可知，∠BAD＝∠CAE∵＝，∴△ABD∽△ACE，∴＝＝k，故BD＝k•EC；拓展延伸：（3）BF•CF的值为2或1；由旋转的性质可知∠BAD＝∠CAE∵＝，∴△ABD∽△ACE∴∠ACE＝15°＝∠ABD∵∠ABC+∠ACB＝90°∴∠FBC+∠FCB＝90°∴∠BFC＝90°∵∠BAC＝90°，AC＝1，AB＝，∴tan∠ABC＝，∴∠ABC＝30°∴∠ACB＝60°分两种情况分析：①如图2，∴在Rt△BAC中，∠ABC＝30°，AC＝1，∴BC＝2AC＝2，∵在Rt△BFC中，∠CBF＝30°+15°＝45°，BC＝2∴BF＝CF＝∴BF•CF＝（）2＝2②如图3，设CF＝a，在BF上取点G，使∠BCG＝15°∵∠BCF＝60°+15°＝75°，∠CBF＝∠ABC﹣∠ABD＝30°﹣15°＝15°，∴∠CFB＝90°∴∠GCF＝60°∴CG＝BG＝2a，GF＝a．∵CF2+BF2＝BC2∴a2+（2a+a2＝22，解得a2＝2﹣，∴BF•CF＝（2+）a•a＝（2+）•a2＝1，即：BF•CF＝1或2．故答案为：1或2．。

2020年九年级中考数学复习专题训练：《相似》综合1．已知：如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，点A，C的坐标分别为A（﹣3，0），C（1，0），tan∠BAC＝．（1）写出点B的坐标；（2）在x轴上找一点D，连接BD，使得△ADB与△ABC相似（不包括全等），并求点D 的坐标；（3）在（2）的条件下，如果点P从点A出发，以2cm/秒的速度沿AB向点B运动，同时点Q从点D出发，以1cm/秒的速度沿DA向点A运动．当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为t．问是否存在这样的t使得△APQ与△ADB相似？如存在，请求出t的值；如不存在，请说明理由．2．如图1，在△ABC中，D是AB上一点，已知AC＝10，AC2＝AD•AB．（1）当tan A＝，∠ADC＝90°时，求BC的长．（2）如图2，过点C作CE∥AB，且CE＝6，连结DE交BC于点F；①若四边形ADEC是平行四边形，求的值；②设AD＝x，＝y，求y关于x的函数表达式．3．如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝，点P为对角线BD上异于点B、D的一个动点，联结A、P，将△APB沿AP所在的直线翻折，使得点B落在点E的位置（1）当∠DPA＝45°时，求点E到直线AB的距离．（2）联结AE交BD于F，求当△EPF和△ABD相似时，线段BP的长．（3）当∠DPE＝30°时，请直接写出此时△ABP的面积．4．阅读下列材料，完成任务：自相似图形定义：若某个图形可分割为若干个都与它相似的图形，则称这个图形是自相似图形．例如：正方形ABCD中，点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边的中点，连接EG，HF交于点O，易知分割成的四个四边形AEOH、EBFO、OFCG、HOGD均为正方形，且与原正方形相似，故正方形是自相似图形．任务：（1）图1中正方形ABCD分割成的四个小正方形中，每个正方形与原正方形的相似比为；（2）如图2，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，小明发现△ABC也是“自相似图形”，他的思路是：过点C作CD⊥AB于点D，则CD将△ABC分割成2个与它自己相似的小直角三角形．则△ACD与△ABC的相似比为；则△BCD与△ABC的相似比为；（3）现有一个矩形ABCD是自相似图形，其中长AD＝a，宽AB＝b（a＞b）．①如图3﹣1，若将矩形ABCD纵向分割成两个全等矩形，且与原矩形都相似，则a＝（用含b的式子表示）：②如图3﹣2，若将矩形ABCD纵向分割成n个全等矩形，且与原矩形都相似，则a＝（用含n，b的式子表示）．5．在矩形ABCD中，AB＝a，AD＝b，点E为对角线AC上一点，连接DE，以DE为边，作矩形DEFG，点F在边BC上；（1）观察猜想：如图1，当a＝b时，＝，∠ACG＝；（2）类比探究：如图2，当a≠b时，求的值（用含a、b的式子表示）及∠ACG的度数；（3）拓展应用：如图3，当a＝6，b＝8，且DF⊥AC，垂足为H，求CG的长．6．如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥DC，垂足为E，连接BE，F为BE上一点，且∠AFE＝∠D．（1）求证：△ABF∽△BEC；（2）若AD＝5，AB＝8，sin∠D＝，求AF的长．7．已知在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，点P是直线AB上任意一点，联结PC．在∠PCD内部作射线CQ与对角线BD交于点Q（与B、D不重合），且∠PCQ＝30°．（1）如图，当点P在边AB上时，如果BP＝3，求线段PC的长；（2）当点P在射线BA上时，设BP＝x，CQ＝y，求y关于x的函数解析式及定义域；（3）联结PQ，直线PQ与直线BC交于点E，如果△QCE与△BCP相似，求线段BP的长．8．如图，在△ABC中，AD是角平分线，E是AB上一点，且AE＝AC，连接DE，过点C作CG∥DE交AD于点F，交AB于点G，连接EF．（1）求证：四边形DCFE是菱形．（2）求证：AC2＝AB•AG．（3）若AB＝4AG，求的值．9．定义：连结菱形的一边中点与对边的两端点的线段把它分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，那么称这样的菱形为自相似菱形．（1）判断下列命题是真命题，还是假命题？①正方形是自相似菱形；②有一个内角为60°的菱形是自相似菱形．③如图1，若菱形ABCD是自相似菱形，∠ABC＝α（0°＜α＜90°），E为BC中点，则在△ABE，△AED，△EDC中，相似的三角形只有△ABE与△AED．（2）如图2，菱形ABCD是自相似菱形，∠ABC是锐角，边长为4，E为BC中点．①求AE，DE的长；②AC，BD交于点O，求tan∠DBC的值．10．如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点P在线段BC上从点B开始向点C运动，速度为每秒1个单位长度，设运动时间为t（秒），且0＜t＜8．连接PA，将△ABP沿直线AP 折叠，点B落在点B′处，点M在线段CD上，将△PCM沿直线PM折叠，点C的对应点C′恰好落在直线PB′上．（1）求证：△ABP∽△PCM；（2）当t＝4时，求MC的长；（3）连接AM，当AM＝4时，请直接写出t的值．11．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝5．一把三角尺的直角顶点P在线段AD上滑动时（点P与A，D不重合），一直角边始终经过点C，另一直角边与射线AB交于点E．（1）证明△DPC∽△AEP．（2）当∠CPD＝30°时，求AE的长（3）当点E在线段AB上时，求PD的取值范围．12．△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝α，点D是平面内不与点A和点B重合的一点，连接DB，将线段DB 绕点D 顺时针旋转α得到线段DE ，连接AE 、BE 、CD ． （1）如图①，点D 与点A 在直线BC 的两侧，α＝60°时，的值是 ；直线AE与直线CD 相交所成的锐角的度数是 度；（2）如图②，点D 与点A 在直线BC 两侧，α＝90°时，求的值及直线AE 与直线CD 相交所成的锐角∠AMC 的度数；（3）当α＝90°，点D 在直线AB 的上方，S △ABD ＝S △ABC ，请直接写出当点C 、D 、E 在同一直线上时，的值．13．如图，已知菱形AFCE 中，过C 作CD ⊥AE 于点D ，交对角线EF 于点G ． （1）如果G 为OE 中点，求证：GO 2＝DG •GC ； （2）若＝，△DGE 的面积是2，求S △CGF 和S △CGO ；（3）若＝x ，＝y ，求y 关于x 的函数表达式．14．阅读下列材料，并完成相应任务：黄金分割天文学家开普勒把黄金分割称为神圣分割，并指出毕达哥拉斯定理（勾股定理）和黄金分割是几何中的双宝，前者好比黄金，后者堪称珠宝，历史上最早正式在书中使用“黄金分割”这个名称的是欧姆，19世纪以后“黄金分割”的说法逐渐流行起来，黄金分割被广泛应用于建筑等领域．黄金分割指把一条线段分为两部分，使其中较长部分与线段总长之比等于较短部分与较长部分之比，该比值为，用下面的方法（如图①）就可以作出已知线段AB的黄金分割点H：①以线段AB为边作正方形ABCD，②取AD的中点E，连接EB，③延长DA到F，使EF＝EB，④以线段AF为边作正方形AFGH，点H就是线段AB的黄金分割点．以下是证明点H就是线段AB的黄金分割点的部分过程：证明：设正方形ABCD的边长为1，则AB＝AD＝1，∵E为AD中点，∴AE＝，∴在Rt△BAE中，BE＝∵EF＝BE∴EF＝∴AF＝EF﹣AE＝，…任务：（1）补全题中的证明过程；（2）如图②，点C为线段AB的黄金分割点，分别以AC、BC为边在线段AB同侧作正方形ACDE和矩形CBFD，连接BD、BE．求证：△EAB∽△BCD；（3）如图③，在正五边形ABCDE中，对角线AD、AC与EB分别交于点M、N，求证：点M 是AD的黄金分割点．15．如图，点D是线段BC的中点，射线DA⊥BC，连结AB、AC；点E是线段AC的中点，点P是线段BC上的动点．（1）当∠APE＝∠B时，求证：①△ABP∽△PCE；②2EC2＝BP•PC．（2）点F是线段AB的中点，连结PF，当点P与点D重合时：①若BC＝4，四边形PEAF的面积为8，则AD＝．②当∠BAC＝时，四边形PEAF是正方形．16．如图，在正方形ABCD中，E为AB边上一点，连接DE，交AC于H点，过点D作DF⊥DE，交BC的延长线于F，连接EF交于AC于点G．（1）请写出AE和CF的数量关系：；（2）求证：点G是EF的中点；（3）若正方形ABCD的边长为4，且AE＝1，求GH•GA的值．17．如图1，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点E与正方形ABCD的顶点A 重合，三角板的一边交CD于点F．另一边交CB的延长线于点G．（1）观察猜想：线段EF与线段EG的数量关系是；（2）探究证明：如图2，移动三角板，使顶点E始终在正方形ABCD的对角线AC上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明：若不成立．请说明理由：（3）拓展延伸：如图3，将（2）中的“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，且使三角板的一边经过点B，其他条件不变，若AB＝a、BC＝b，求的值．18．如图，△ABC中，AD⊥BC，E是AD边上一点，连接BE，过点D作DF⊥BE，垂足为F，且AE•DF＝EF•CD，联结AF、CF，CF与边AD交于点O．求证：（1）∠EAF＝∠DCF；（2）AF•BD＝AC•DF．19．已知：△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，连接BD，CD，CE．（1）如图1所示，线段BD与CE的数量关系是，位置关系是．（2）在图1中，若点M、P、N分别为DE、DC、BC的中点，连接PM，PN，MN，请判断△PMN的形状，并说明理由；（3）如图2所示，若M、N、P分别为DE、BC、DC上的点，且满足，BD ＝6，连接PM，PN，MN，则线段MN长度是多少？20．（1）问题发现如图1，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝40°，连接AC，BD交于点M，填空：的值为；∠AMB的度数为，（2）类比探究如图2，在△OAB和△OCD中，∠AOB＝∠COD＝90°，∠OAB＝∠OCD＝30°，连接AC交BD的延长线于点M，请判断的值及∠AMB的度数，并说明理由．参考答案1．解：（1）∵A（﹣3，0），C（1，0），∴AC＝4，∵∠ACB＝90°，tan∠BAC＝，∴＝，即＝，解得，BC＝3，∴点B的坐标为（1，3）；（2）如图1，作BD⊥BA交x轴于点D，则∠ACB＝∠ABD＝90°，又∠A＝∠A，∴△ABC∽△ADB，∴＝，在Rt△ABC中，AB＝＝＝5，∴＝，解得，AD＝，则OD＝AD﹣AO＝，∴点D的坐标为（，0）；（3）存在，由题意得，AP＝2t，AQ＝﹣t，当PQ⊥AB时，PQ∥BD，∴△APQ∽△ABD，∴＝，即＝，解得，t＝，当PQ⊥AD时，∠AQP＝∠ABD，∠A＝∠A，∴△AQP∽△ABD，∴＝，即＝，解得，t＝，综上所述，当t＝s或s时，△APQ与△ADB相似．2．解：（1）∵tan A＝，∠ADC＝90°，∴＝，∴设CD＝3a，AD＝4a，∴AC＝＝＝5a＝10，∴a＝2，∴CD＝6，AD＝8，∵AC2＝AD•AB，∴，且∠A＝∠A，∴△ACD∽△ABC，∴∠ADC＝∠ACB＝90°，∵AC2＝AD•AB，∴100＝8•AB，∴AB＝，∴BD＝∴BC＝＝＝；（2）①∵四边形ADEC是平行四边形，∴AD＝CE＝6，DE∥AC，∵AC＝10，AC2＝AD•AB，∴AB＝，∵DE∥AC，∴△BDF∽△BAC，∴＝＝；②∵AC＝10，AD＝x，AC2＝AD•AB，∴AB＝，∵AC2＝AD•AB，∴，且∠A＝∠A，∴△ACD∽△ABC，∴＝＝，∴BC＝，∵CE∥AB，∴，∴∴，∴∴y＝[（）+6]＝﹣x2++．3．解：（1）如图1中，作EH⊥AB于H．∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB＝90°，∵AD＝，AB＝3，∴tan∠ABD＝，∴∠ABD＝30°，∴BD＝2AD＝2，∵∠APD＝45°＝∠ABD+∠PAB，∴∠PAB＝∠PAE＝15°，∴∠EAH＝30°，在Rt△AEH中，∵AE＝AB＝3，∠EAB＝30°，∴EH＝AE＝；（2）如图2﹣1中，作PM⊥AB于M，在AM截取一点N，使得AN＝PN．∵∠E＝∠ABC＝30°，∴当∠EPF＝∠DAB＝90°时，△EPF∽△BAD，∴∠EFP＝∠AFD＝∠ADF＝60°，∴∠DAF＝60°，∠EAB＝30°，∴∠PAB＝∠PAE＝15°，∵AN＝PN，∴∠NAP＝∠NPA＝15°，∴∠PNM＝30°，设PM＝m，则PN＝PB＝2x，MN＝BM＝x，∴2x+2x＝3，∴x＝（﹣1），∴PB＝2x＝（﹣1）．如图2﹣2中，当∠EFP＝∠DAB＝90°，△EFP∽△BAD，∴∠DAF＝30°，∠EAB＝60°，∴∠EAP＝∠PAB＝30°，∴∠PAB＝∠PBA＝30°，∠ADP＝∠DAP＝60°，∴PA＝PD，PA＝PB，∴PD＝PB＝，综上所述，满足条件的PB的值为（﹣1）或．（3）如图3中，作PM⊥AB于M．当∠DPE＝30°时，易知点F与点D重合，此时∠PAE＝∠PAB＝45°，设AM＝PM＝m，则BM＝m，∴m+m＝3，∴m＝（﹣1），∴S＝•AB•PM＝×3×（﹣1）＝（﹣1）．△PAB4．解：（1）∵点H是AD的中点，∴AH＝AD，∵正方形AEOH∽正方形ABCD，∴相似比为：；故答案为：；（2）在Rt△ABC中，AC＝4，BC＝3，根据勾股定理得，AB＝5，∴△ACD与△ABC相似的相似比为：，△BCD与△ABC的相似比为：故答案为：，；（3）①∵矩形ABEF∽矩形FECD，∴AF：AB＝AB：AD，即a：b＝b：a，∴a＝b；故答案为：b②每个小矩形都是全等的，则其边长为b和a，则b：a＝a：b，∴a＝b；故答案为：b5．解：（1）如图1，作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N，∴∠MEN＝90°，∵a＝b，∴AB＝AD，∴矩形ABCD是正方形，∴∠ACD＝∠DAE＝45°，∵点E是正方形ABCD对角线上的点，∴EM＝EN，∵∠DEF＝90°，∴∠DEN＝∠MEF，在△DEN和△FEM中，，∴△DEN≌△FEM（ASA），∴EF＝DE．∵四边形DEFG是矩形，∴矩形DEFG是正方形；∵四边形ABCD是正方形，∴DE＝DG，AD＝DC，∵∠CDG+∠CDE＝∠ADE+∠CDE＝90°，∴∠CDG＝∠ADE，在△ADE和△CDG中，，∴△ADE≌△CDG（SAS），∴AE＝CG．∠DAE＝∠DCG＝45°，∴＝1，∠ACG＝∠ACD+∠DCG＝90°，故答案为：1；90°；（2）如图2，作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N，则EM∥AB，EN∥AD，四边形EMCN是矩形，∴EM：AB＝CE：AC，EN：AD＝CE：AC，∠MEN＝90°，∴EM：AB＝EN：AD，∴＝＝，∵四边形ABCD、四边形DEFG是矩形，∴∠ADC＝∠DEF＝∠EDG＝90°，∴∠DEN＝∠FEM，∠ADE＝∠CDG，∵∠END＝∠EMF＝90°，∴△DEN∽△FEM，∴＝＝＝，∴△ADE∽△CDG，∴＝＝，∠DAE＝∠DCG，∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACD，∵∠BAC+∠DAE＝90°，∴∠ACD+∠DCG＝90°，即∠ACG＝90°；（3）∵a＝6，b＝8，∴CD＝AB＝6，BC＝AD＝8，∴AC＝＝10，∵DF⊥AC，∴DH＝＝＝，∴CH＝＝＝，∵∠FHC＝∠B＝90°，∠FCH＝∠ACB，∴△CFH∽△CAB，∴＝，即＝，解得：FH＝，∴DF＝DH+FH＝，由（2）得：＝＝＝，设DE＝4x，则EF＝3x，∵∠DEF＝90°，∴DF＝＝5x＝，∴x＝，∴DE＝4x＝6＝DC，∴EH＝CH，∴CE＝2CH＝，∴AE＝AC﹣CE＝10﹣＝，由（2）得：＝＝＝＝，∴CG＝AE＝．6．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，AD＝BC，∴∠D+∠C＝180°，∠ABF＝∠BEC，∵∠AFB+∠AFE＝180°，∠AFE＝∠D，∴∠C＝∠AFB，∴△ABF∽△BEC；（2）解：∵AE⊥DC，AD＝5，AB＝8，sin∠D＝，∴AE＝4，∵AE⊥DC，AB∥DC，∴∠AED＝∠BAE＝90°，在Rt△ABE中，根据勾股定理得：BE＝，∵BC＝AD＝5，由（1）得：△ABF∽△BEC，∴，即，解得：AF＝2．7．解：（1）如图1中，作PH⊥BC于H．∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝4，AD∥BC，∴∠A+∠ABC＝180°，∵∠A＝120°，∴∠PBH＝60°，∵PB＝3，∠PHB＝90°，∴BH＝PB•cos60°＝，PH＝PB•sin60°＝，∴CH＝BC﹣BH＝4﹣＝，∴PC＝＝＝．（2）如图1中，作PH⊥BC于H，连接PQ，设PC交BD于O．∵四边形ABCD是菱形，∴∠ABD＝∠CBD＝30°，∵∠PCQ＝30°，∴∠PBO＝∠QCO，∵∠POB＝∠QOC，∴△POB∽△QOC，∴＝，∴＝，∵∠POQ＝∠BOC，∴△POQ∽△BOC，∴∠OPQ＝∠OBC＝30°＝∠PCQ，∴PQ＝CQ＝y，∴PC＝y，在Rt△PHB中，BH＝x，PH＝x，∵PC2＝PH2+CH2，∴3y2＝（x）2+（4﹣x）2，∴y＝（0≤x＜8）．（3）①如图2中，若直线QP交直线BC于B点左侧于E．此时∠CQE＝120°，∵∠PBC＝60°，∴△PBC中，不存在角与∠CQE相等，此时△QCE与△BCP不可能相似．②如图3中，若直线QP交直线BC于C点右侧于E．则∠CQE＝∠B＝QBC+∠QCP＝60°＝∠CBP，∵∠PCB＞∠E，∴只可能∠BCP＝∠QCE＝75°，作CF⊥AB于F，则BF＝2，CF＝2，∠PCF＝45°，∴PF＝CF＝2，此时PB＝2+2，③如图4中，当点P在AB的延长线上时，∵△CBE与△CBP相似，∴∠CQE＝∠CBP＝120°，∴∠QCE＝∠CBP＝15°，作CF⊥AB于F．∵∠FCB＝30°，∴∠FCB＝45°，∴BF＝BC＝2，CF＝PF＝2，∴PB＝2﹣2．综上所述，满足条件的PB的值为2+2或2﹣2．8．证明：（1）∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，且AE＝AC，AD＝AD，∴△ADE≌△ADC（SAS），∴DE＝CD，∠EDA＝∠ADC，∵CG∥DE，∴∠EDF＝∠CFD，∴∠CFD＝∠ADC，∴CD＝CF＝DE，且CF∥DE，∴四边形DCFE是平行四边形，且DE＝CD，∴四边形DCFE是菱形；（2）∵CG∥DE，∴△AGF∽△AED，∴，∵四边形DCFE是菱形∴EF∥BC，∴△AEF∽△ABD，∴，∴，且AE＝AC，∴AC2＝AB•AG；（3）∵AC2＝AB•AG，AB＝4AG，∴AC＝2AG，∴AE＝2AG，且AE＝AG+EG，∴AG＝GE，∵CG∥DE，∴．9．解：（1）①正方形是自相似菱形，是真命题；理由如下：如图3所示：∵四边形ABCD是正方形，点E是BC的中点，∴AB＝CD，BE＝CE，∠ABE＝∠DCE＝90°，在△ABE和△DCE中，，∴△ABE≌△DCE（SAS），∴△ABE∽△DCE，∴正方形是自相似菱形；②有一个内角为60°的菱形是自相似菱形，是假命题；理由如下：如图4所示：连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD，AD∥BC，AB∥CD，∵∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形，∠DCE＝120°，∵点E是BC的中点，∴AE⊥BC，∴∠AEB＝∠DAE＝90°，∴只能△AEB与△DAE相似，∵AB∥CD，∴只能∠B＝∠AED，若∠AED＝∠B＝60°，则∠CED＝180°﹣90°﹣60°＝30°，∴∠CDE＝180°﹣120°﹣30°＝30°，∴∠CED＝∠CDE，∴CD＝CE，不成立，∴有一个内角为60°的菱形不是自相似菱形；③若菱形ABCD是自相似菱形，∠ABC＝α（0°＜α＜90°），E为BC中点，则在△ABE，△AED，△EDC中，相似的三角形只有△ABE与△AED，是真命题；理由如下：∵∠ABC＝α（0°＜α＜90°），∴∠C＞90°，且∠ABC+∠C＝180°，△ABE与△EDC不能相似，同理△AED与△EDC也不能相似，∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∴∠AEB＝∠DAE，当∠AED＝∠B时，△ABE∽△DEA，∴若菱形ABCD是自相似菱形，∠ABC＝α（0°＜α＜90°），E为BC中点，则在△ABE，△AED，△EDC中，相似的三角形只有△ABE与△AED；（2）①∵菱形ABCD是自相似菱形，∠ABC是锐角，边长为4，E为BC中点，∴BE＝2，AB＝AD＝4，由（1）③得：△ABE∽△DEA，∴＝＝，∴AE2＝BE•AD＝2×4＝8，∴AE＝2，DE＝＝＝4，②过E作EM⊥AD于M，过D作DN⊥BC于N，如图2所示：则四边形DMEN是矩形，∴DN＝EM，DM＝EN，∠M＝∠N＝90°，设AM＝x，则EN＝DM＝x+4，由勾股定理得：EM2＝DE2﹣DM2＝AE2﹣AM2，即（4）2﹣（x+4）2＝（2）2﹣x2，解得：x＝1，∴AM＝1，EN＝DM＝5，∴DN＝EM＝＝＝，在Rt△BDN中，∵BN＝BE+EN＝2+5＝7，∴tan∠DBC＝＝．10．证明：（1）∵将△ABP沿直线AP折叠，点B落在点B′处，∴∠CPM＝∠C'PM，∵将△PCM沿直线PM折叠，点C的对应点C′恰好落在直线PB′上．∴∠APB＝∠APB'，∵∠APB+∠APB'+∠CPM+∠C'PM＝180°，∴∠CPM+∠APB＝90°，且∠APB+∠PAB＝90°，∴∠CPM＝∠PAB，且∠C＝∠B＝90°，∴△ABP∽△PCM，（2）∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝6，AD＝BC＝8，∵t＝4，∴PB＝4，∴PC＝BC﹣PB＝4∵△ABP∽△PCM，∴∴CM＝＝（3）在Rt△ADM中，DM＝＝＝4，∴CM＝CD﹣DM＝2∵△ABP∽△PCM，∴∴∴t＝2或6，11．（1）证明：在△DPC、△AEP中，∠AEP与∠APE互余，∠APE与∠CPD互余，∴∠AEP＝∠CPD，又∵∠A＝∠D＝90°，∴△DPC∽△AEP．（2）解：∵∠CPD＝30°，CD＝AB＝2，∴PC＝2CD＝4，PD＝CD＝2，又∵AD＝5，∴AP＝AD﹣PD＝5﹣2，由（1）得：△DPC∽△AEP，∴＝，即＝，解得：AE＝5﹣6；（3）解：∵△DPC∽△AEP，∴＝，设AP＝a，则＝，解得：AE＝（5﹣a）（0＜a＜5），∵0≤AE≤2，∴0＜a≤1或4≤a＜5；即0＜PD≤1或4≤PD＜5．12．解：（1）如图1，延长AE，CD交于点H，∵将线段DB绕点D顺时针旋转α得到线段DE，∴DE＝BD，∠BDE＝60°，∴△BDE是等边三角形，∴BD＝BE，∠DBE＝60°，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC，∠ABC＝∠DBE＝60°，∴∠ABE＝∠CBD，且BE＝BD，AB＝BC，∴△ABE≌△CBD（SAS）∴AE＝CD，∠DCB＝∠BAE，∴＝1，∵∠BAC+∠ACB＝120°，∴∠BAE+∠CAE+∠ACB＝120°，∴∠CAE+∠ACB+∠BCD＝120°∴∠CAE+ACH＝120°，∴∠AHB＝60°，故答案为：1，60．（2）∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴AB＝BC，∠ABC＝45°，∵将线段DB绕点D顺时针旋转90°得到线段DE，∴DE＝BD，∠BDE＝90°，∴BE＝BD，∠DBE＝45°，∴∠DBE＝∠ABC，∴∠ABE＝∠CBD，且＝，∴△ABE∽△CBD，∴＝，∠BAE＝∠BCD，∵∠BAC+∠ACB＝135°＝∠ACB+∠CAM+∠BAE，∴∠ACB+∠CAM+∠BCD＝∠CAM+∠ACM＝135°，∴∠AMC＝45°；（3）若点D，点A在直线BC两侧，如图3，分别取AC，BC中点G，H，连接GH，∵S△ABD ＝S△ABC，∴点D在直线GH上，∵∠ACB＝∠BDE＝90°，AC＝BC，DE＝BD，∴∠CAB＝∠CBA＝45°，∠DEB＝∠DBE＝45°，BE＝BD，∵点G，点H分别是AC，BC的中点，∴GH∥AB，∴∠DHB＝∠ABC＝45°，∵点C、E、D三点共线，∴∠CDB＝90°，且点H是BC中点，∴DH＝CH＝BH，∴∠HCD＝∠HDC，且∠HCD+∠HDC＝∠BHD＝45°，∴∠HCD＝∠HDC＝22.5°，∵∠BED＝∠BCE+∠CBE＝45°，∴∠BCE＝∠CBE＝22.5°，∴BE＝CE＝BD，∴CD＝CE+DE＝（+1）BD，∴＝＝2﹣；若点A，点D在直线BC同侧，如图4，分别取AC，BC中点G，H，连接GH，∵S△ABD ＝S△ABC，∴点D在直线GH上，∵∠ACB＝∠BDE＝90°，AC＝BC，DE＝BD，∴∠CAB＝∠CBA＝45°，∠DEB＝∠DBE＝45°，BE＝BD，∵点G，点H分别是AC，BC的中点，∴GH∥AB，∴∠DHC＝∠ABC＝45°，∵点C、E、D三点共线，∴∠CDB＝90°，且点H是BC中点，∴DH＝CH＝BH，∴∠HBD＝∠HDB，且∠HBD+∠HDB＝∠CHD＝45°，∴∠HBD＝∠HDB＝22.5°，∵∠ECB＝67.5°，∠EBC＝∠EBD+∠DBC＝67.5°，∴∠BCE＝∠CBE＝67.5°，∴BE＝CE＝BD，∴CD＝CE﹣DE＝（﹣1）BD，∴＝2+，综上所述：的值为2﹣或2+．13．（1）证明：∵四边形AFE是菱形，∴CE＝AE＝CF，AE∥CF，AC⊥EF，OA＝OC，∴∠COG＝90°，∵CD⊥AE，∴∠EDG＝90°，又∵∠CGO＝∠EGD，∴△COG∽△EDG，∴＝，∴GO•EG＝DG•GC，∵G为OE中点，∴GO＝EG，∴GO2＝DG•GC；（2）解：∵＝，∴AD＝3DE，＝，∴CE＝AE＝4DE，∵AE＝CF，∴＝，∵AE∥CF，∴△DGE∽△CGF，∴＝（）2＝（）2＝，∴S△CGF ＝16S△DGE＝16×2＝32；∵CD⊥AE，∴CD＝＝＝DE，∴AC＝＝＝2DE，∴OC＝AC＝DE，∴＝，由（1）得：△COG∽△EDG，∴＝（）2＝6，∴S△CGO ＝6S△DGE＝6×2＝12；（3）∵＝x，不妨设DE＝1，则CE＝CF＝AE＝x，AD＝x﹣1，由（1）得：△COG∽△EDG，∴＝（）2＝y，∴y＝OC2，∵AC＝2OC，AC2＝AD2+CD2＝AD2+BE2﹣DE2＝（x﹣1）2+x2﹣12＝2x2﹣2x＝4OC2＝4y，∴y＝x2﹣x，即y关于x的函数表达式为y＝x2﹣x．14．（1）证明：设正方形ABCD的边长为1，则AB＝AD＝1，∵E为AD中点，∴AE＝，∴在Rt△BAE中，BE＝∵EF＝BE∴EF＝∴AF＝EF﹣AE＝，∵四边形AFGH是正方形，∴AH＝AF＝，∴＝＝，∴点H是线段AB的黄金分割点；（2）证明：∵四边形ACDE是正方形，四边形CBFD是矩形，∴∠EAB＝∠BCD＝90°，AC＝CD＝AE＝DE＝BF，BC＝DF，∵点C为线段AB的黄金分割点，∴＝，∴＝，∴△EAB∽△BCD；（3）证明：∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠BAE＝∠AED＝（5﹣2）×180°＝108°，AB＝AE＝DE，∴∠ABE＝∠AEM＝∠DAE＝∠ADE＝（180°﹣108°）＝36°，∵∠DAE＝∠DAE，∠ADE＝∠AEM＝36°，∴△AME∽△AED，∴AE：AD＝AM：AE，∴AE2＝AD•AM，∵AE＝DE＝DM，∴DM2＝AD•AM，∴点M是AD的黄金分割点．15．证明；（1）①∵点D是线段BC的中点，DA⊥BC，∴AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠APC＝∠B+∠BAP＝∠APE+∠CPE，且∠APE＝∠B，∴∠BAP＝∠EPC，且∠B＝∠C，∴△ABP∽△PCE；②∵点E是线段AC的中点，∴AC＝2EC＝AB∵△ABP∽△PCE，∴，∴AB•EC＝BP•PC，∴2EC2＝BP•PC；（2）①如图，连接EF，∵点E是AC的中点，点F是AB的中点，∴EF∥BC，EF＝BC＝2，∵点E是AC的中点，点F是AB的中点，AD⊥BC，∴FD＝AF＝BF＝AB，AE＝EC＝DE＝AC，且AB＝AC，∴AF＝DF＝AE＝DE，∴四边形PEAF是菱形，∴AD⊥EF∴四边形PEAF的面积＝＝＝8，∴AD＝8故答案为8；②若∠BAC＝90°时，四边形PEAF是正方形，理由如下：∵四边形PEAF是菱形，且∠BAC＝90°，∴四边形PEAF是正方形，故答案为：90°．16．解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADC＝∠EAD＝∠DCB＝∠DCF＝90°，AD＝DC，∵DF⊥DE，∴∠EDF＝90°，∴∠ADE+∠EDC＝∠EDC+∠CDF，∴∠ADE＝∠CDF，∴△ADE≌△CDF（ASA），∴AE＝CF，故答案为：相等；（2）如右图，过E作EM∥BC交AC于M，∵四边形ABCD是正方形，AC为对角线，∴，∵EM∥BC，∴∠AEM＝∠B＝90°，∴∠AME＝90°﹣∠EAM＝45°，∴∠AEM＝∠EAM，∴AE＝EM，∵AE＝CF，∴EM＝CF，∵EM∥BC，∴∠MEG＝∠GFC，∠EMG＝∠GCF，∴△EMG≌△FCG（ASA），∴EG＝FG，∴G为EF的中点；（3）由（1）知△DAE≌△DCF，∴DE＝DF，∴∠DEF＝∠DFE，∵∠DEF＝90°，∴∠DEF＝45°，∵∠BAC＝45°，∴∠DEF＝∠BAC，∵∠AGE＝∠AGE，∴△GEH∽△GAE，∴＝，∴EG2＝GH•AG，∵AE＝1，则CF＝1，BF＝5，∴EF＝＝＝，∴．17．解：（1）∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝90°，∴∠GAF＝∠BAD，∴∠GAF﹣∠BAF＝∠BAD﹣∠BAF，即∠GAB＝∠FAD，在△GAB和△FAD中，，∴△GAB≌△FAD（ASA），∴AG＝AF，即EF＝EG，故答案为：EF＝EG；（2）成立，证明如下：如图2，过点E分别作BC、CD的垂线，垂足分别为H、I，则EH＝EI，∠HEI＝90°，∵∠GEH+∠HEF＝90°，∠IEF+∠HEF＝90°，∴∠IEF＝∠GEH，在△FEI和△GEH中，，∴△FEI≌△GEH（ASA），∴EF＝EG；（3）如图，过点E分别作BC、CD的垂线，垂足分别为M、N，则∠MEN＝90°，∴EM∥AB，EN∥AD，∴△CEN∽△CAD，△CEM∽△CAB，∴，，∴，即，∵∠NEF+∠FEM＝∠GEM+∠FEM＝90°，∴∠GEM＝∠FEN，又∠GME＝∠FNE＝90°，∴△GME∽△FNE，∴＝＝．18．证明：（1）∵AD⊥BC，DF⊥BE，∴∠ADB＝∠DFE＝90°，∴∠DBE+∠DEB＝90°，∠DBE+∠BDF＝90°，∴∠BED＝∠BDF，∴∠AEF＝∠CDF，∵AE•DF＝EF•CD，∴＝，又∠AEF＝∠CDF，∴△AEF∽△CDF，∴∠EAF＝∠DCF；（2）∵△AEF∽△CDF，∴∠EFA＝∠DFC，∴∠AFO＝∠EFD＝90°，∵∠DFB＝90°，∴∠BFD＝∠AFC，∵∠EAF＝∠DCF，∠AOF＝∠COD，∴△AOF∽△COD，∴＝，∴＝，又∠ACF＝∠EDF，∴△AOC∽△FOD，∴∠ACF＝∠EDF，∵∠DBE+∠BED＝∠FDE+∠BED＝90°，∴∠DBE＝∠EDF，∴∠ACF＝∠DBE，又∠BFD＝∠AFO，∴△BFD∽△CFA，∴＝，即AF•BD＝AC•DF．19．解：（1）如图1，延长BD交CE于F，∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS）∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，∵∠ABD+∠FBD+∠BCA＝90°，∴∠ACE+∠FBD+∠BCA＝90°，∴∠BFC＝90°，即BD⊥CE，故答案为：BD＝CE；BD⊥CE；（2）△PMN是等腰直角三角形，理由如下：∵点M、P分别为DE、DC的中点，∴MP＝CE，MP∥CE，∴∠MPD＝∠ECD＝∠ECA+∠DCA＝∠ABD+∠DCA，∵点P、N分别为DC、BC的中点，∴NP＝BD，NP∥BD，∴∠NPD＝180°﹣∠BDC＝∠DBC+∠DCB，∴∠MPN＝∠MPD+∠NPD＝∠ABD+∠DCA+∠DBC+∠DCB＝90°，∵BD＝CE，∴MP＝NP，∴△PMN是等腰直角三角形；（3）＝，∠MDP＝∠EDC，∴△MDP∽△EDC，MP∥CE，∴＝＝，∴MP＝CE＝2，同理，NP∥BD，NP＝BD＝4，由（2）可知，∠MPN＝90°，∴MN＝＝＝2．20．解：（1）∵∠AOB＝∠COD＝40°，OA＝OB，∴∠AOB+∠AOD＝∠COD+∠AOD，∠OAB+∠OBA＝180°﹣40°＝140°，∴∠AOC＝∠BOD，在△AOC和△BOD中，，∴△AOC≌△BOD（SAS）∴AC＝BD，∠CAO＝∠DBO，∴＝1，∠AMB＝180°﹣∠MAH﹣∠HAB﹣∠MBA＝180°﹣∠HAB﹣∠MBA﹣∠DBO＝40°，故答案为：1；40°；（2）∵∠AOB＝∠COD，∴∠AOB+∠AOD＝∠COD+∠AOD，即∠AOC＝∠BOD，在Rt△AOB中，∠OAB＝30°，∴＝tan30°＝，同理，＝，∴＝，∴＝，又∠AOC＝∠BOD，∴△AOC∽△BOD，∴＝＝，∠CAO＝∠DBO，∴∠AMB＝180°﹣∠CAO﹣∠OAB﹣∠MBA＝180°﹣∠HAB﹣∠MBA﹣∠DBO＝90°，∴＝，∠AMB＝90°．。

冲刺2020年数学中考专题练习：《相似综合》一．选择题1．如图，在▱ABCD 中，E 、F 分别是边BC 、CD 的中点，AE 、AF 分别交BD 于点G 、H ，则图中阴影部分图形的面积与▱ABCD 的面积之比为（ ）A ．7：12B ．7：24C ．13：36D ．13：722．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，CE 平分∠BCD 交AB 于点E ，交BD 于点F ，且∠A BC ＝60°，AB ＝2BC ，连接OE ．下列结论： ①EO ⊥AC ；②S △AOD ＝4S △OCF ；③AC ：BD ＝：7；④FB 2＝OF •DF ．其中正确的是（ ）A ．①②④B ．①③④C ．②③④D ．①③3．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝6，CE ⊥BD 于E ，AG ⊥BD 于G ，AF 平分∠BAD 交BC 于点N ，交EC 延长线于点F ，则下列说法中正确的有（ ）个 ①BE ＝DG ②BN ＝AD ③MN ＝④BD ＝CF ⑤AG 2＝BG •DGA．2 B．3 C．4 D．54．如图，矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⟘AC于F，连接DF，下列结论①△AEF∽△CAB；②CF＝2AF；③＝；④DF＝DC，其中正确的结论是（）A．1个B．2个C．3个D．4个5．如图，已知正方形ABCD的边长为3，E是边BC上一点，BE＝1，将△ABE，△ADF分别沿折痕AE，AF向内折叠，点B，D在点G处重合，过点E作EH⊥AE，交AF的延长线于H．则下列结论正确的有（）①△ADF∽△ECF；②△AEH为等腰直角三角形；③点F是CD的中点；④FH＝A．1个B．2个C．3个D．4个6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，P是AC上的一点，PH⊥AB于点H，以PH为直径作⊙O，当CH与PB的交点落在⊙O上时，AP的值为（）A．B．C．2 D．37．如图在△ABC中∠A＝60°，BM⊥AC于点M，CN⊥AC于点N，P为BC边的中点，连接PM，PN，则下列结论：①PM＝PN；②；③△PMN为等边三角形；④当∠ABC＝45°时，当BN＝BC，其中正确的是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④8．如图，在矩形ABCD中，AB＝，E是BC的中点，若AE⊥BD于点F，M是DF的中点，连接CM、AM，则下列正确的结论是（）①FC＝CD②∠DBC＝∠FAM③EF＝CM④矩形ABCD的面积是2A．①②③B．②③④C．①②③④D．①④9．如图，△ABD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，C为弧AD的中点，CH⊥AB于点E，交AD于点P，交⊙O于点H，连接DH，连接BC交AD于点F．下列结论中：①DH⊥CB；②CP＝PF；③CH＝AD；④AP•AD＝CF•CB；⑤若⊙O的半径为5，AF＝，则CH＝．正确的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个10．如图所示，点P是边长为2的正方形ABCD的对角线BD上的动点，过点P分别作PE⊥BC于点E，PF⊥DC于点F，连接AP并延长，交射线BC于点H，交射线DC于点M，连接EF交AH于点G，当点P在BD上运动时（不包括B、D两点），以下结论中：①MF＝MC；②AP＝EF；③AH⊥EF；④AP2＝PM•PH；⑤EF的最小值是．其中正确结论有（）A．2 个B．3 个C．4 个D．5 个二．填空题11．如图，在矩形ABCD中，AB＝15，AD＝20，P是AD边上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作AC和BD的垂线，垂足为E，F，则PE•PF的最大值为．12．如图，以AD为直径作⊙O，点B为半圆弧的中点，连接AB，以如图所示的AD，AB 为邻边作平行四边形ABCD，连结AC交⊙O于点E，连结BE并延长交CD于F．若AD＝6，则DF＝．13．如图，在△ABC中，AB＝AC＝3，∠BAC＝90°，正方形DEFG的四个顶点在△ABC的边上，连接AG、AF分别交DE于点M和点N，则线段MN的长为．14．如图，⊙O是锐角△ABC的外接圆，FH是⊙O的切线，切点为F，FH∥BC，连结AF交BC 于E，∠ABC的平分线BD交AF于D，连结BF．下列结论：①AF平分∠BAC；②点F为△BDC的外心；③；④若点M，N分别是AB和AF上的动点，则BN+MN的最小值是AB sin∠BAC．其中一定正确的是（把你认为正确结论的序号都填上）．15．△ABC中，∠A＝60°，BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，P为BC边的中点，连结PM，PN，则下列结论：①PM＝PN②③△PMN为等边三角形④若BN＝CP，则∠ACB＝75°．则正确结论是．16．如图，在正方形ABCD中，O是对角线AC与BD的交点，M是BC边上的动点（点M不与B，C重合），CN⊥DM，CN与AB交于点N，连接OM，ON，MN．下列五个结论：①△CNB≌△DMC；②△CON≌△DOM；③△OMN∽△OAD；④AN2+CM2＝MN2；⑤若AB＝2，则S的△OMN 最小值是，其中正确结论的个数是．三．解答题17．如图，已知矩形ABCD的边长AB＝3cm，BC＝6cm．某一时刻，动点M从A点出发沿AB 方向以1cm/s的速度向B点匀速运动；同时，动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动，那么：（1）当t为何值时，△AMN为等腰直角三角形？（2）当t为何值时，以点A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似？（3）四边形AMC N的面积有什么特点？18．（1）如图①，已知AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B、D，AD与BC相交于点E，EF⊥BD，垂足为F，试回答图中，△DEF∽△，△BEF∽△，△ABE∽△；（2）如图②，工地上有两根电线杆，分别在高为4m、6m的A、C处用铁丝将两杆固定，求铁丝AD与铁丝BC的交点M处离地面的高；（3）如图③，已知：AB∥CD，AD、BC相交于点E，过点E作EF∥AB，交AB于点F，若EF＝4，AB＝6，求CD的长．19．已知平行四边形ABCD中，AB＝1，E是射线DC上一点，直线AC、BE交于点P，过点P 作PQ∥AB，PQ交直线AD于点Q．（1）当点E是DC中点时（如图），求线段PQ的长度；（2）当点E在线段DC上运动时，设DE＝x，PQ＝y，求y关于x的函数解析式；（3）当DE的长度为多少时，＝．20．已知等腰Rt△ABC，以BC为边作▱BCEH，连AE，以AE為斜边再作等腰Rt△ADE，连DC，HC．（1）如图1，当四边形BCEH为矩形时，CH与CD之间有何数量关系？请证明；（2）如图2，当四边形BCEH为▱BCEH时，试探究CH与CD之间的数量关系，并证明；（3）如图3，若DC与AE交于P点，与AB交于Q点，当图形变换过程中，△AEC是否可以为等边三角形，若可以，则＝（直接写出答案）参考答案一．选择题1．解：∵BE ∥AD ，E 是B 的中点， ∴△BEG ∽△DAG ， ∴＝＝，即BG ＝BD ，同理可得，DH ＝BD ， ∴GH ＝BD ，∴S △AGH ＝S △ABD ＝S 四边形ABCD ， ∵E 、F 分别是边BC 、CD 的中点， ∴EF ∥BD ，EF ＝BD ， ∴△CEF ∽△CBD ， ∴＝＝，∴S △CEF ＝S △BCD ＝S 四边形ABCD ，∴图中阴影部分图形的面积＝（+）S 四边形ABCD ＝S 四边形ABCD ，即图中阴影部分图形的面积与▱ABCD 的面积之比为＝7：24， 故选：B ．2．解：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴CD ∥AB ，OD ＝OB ，OA ＝OC ， ∴∠DCB +∠ABC ＝180°， ∵∠ABC ＝60°， ∴∠DCB ＝120°，∵EC平分∠DCB，∴∠ECB＝∠DCB＝60°，∴∠EBC＝∠BCE＝∠CEB＝60°，∴△ECB是等边三角形，∴EB＝BC，∵AB＝2BC，∴EA＝EB＝EC，∴∠ACB＝90°，∵OA＝OC，EA＝EB，∴OE∥BC，∴∠AOE＝∠ACB＝90°，∴EO⊥AC，故①正确，∵OE∥BC，∴△OEF∽△BCF，∴＝＝，∴OF＝OB，∴S△AOD ＝S△BOC＝3S△OCF，故②错误，设BC＝BE＝EC＝a，则AB＝2a，AC＝a，OD＝OB＝＝a，∴BD＝a，∴AC：BD＝a： a＝：7，故③正确，∵OF＝OB＝a，∴BF＝a，∴BF2＝a2，OF•DF＝a•（a+a）＝a2，∴BF2＝OF•DF，故④正确，故选：B．3．解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠ABG＝∠CDE，∵CE⊥BD于E，AG⊥BD于G，∴∠AGB＝∠CED＝90°，∴△AGB≌△CED（AAS），∴BG＝DE，∴BE＝DG，故①正确，∵∠BAD＝90°，FA平分∠BAD，∴∠BAN＝45°，∵∠ABN＝90°，∴∠ANB＝45°，∴AB＝BN，∵AB＝3，AD＝BC＝6，∴BC＝2AB，∴BN＝AD，故②正确，∵AB＝NB＝3，∴AN＝3，∵BN∥AD，∴＝＝，∴MN＝AN＝，故③正确，连接AC，易证∠ECB＝∠BAC，∵∠ECB＝45°+∠F，∠BAC＝45°+∠CAF，∴∠F＝∠C AF，∴CA＝CF，∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，∵BD＝CF，故④正确，∵∠BAD＝90°，AG⊥BD，∴△AGB∽△DGA，可得AG2＝BG•DG，故⑤正确，故选：D．4．解：在矩形ABCD中，∠BAD＝90°，∴∠BAC+∠FAE＝90°，又∵BE⊥AC，∴∠FAE+∠FEA＝90°，∴∠BAC＝∠FEA，又∵∠AFE＝∠CBA＝90°，∴△AEF∽△CAB，故①正确；∵AD∥BC，∴△AFE∽△CFB，∴＝，∵E是AD边的中点，∴BC＝AD＝2EA，∴＝＝2，∴CF＝2AF，故②正确；由①知，△AEF∽△CAB，又∵∠EAB＝∠ABC＝90°，∴△EAB∽△ABC，∴＝，设AB＝a，AD＝b，∴＝，∴a2＝b2，∴a＝b，∴＝，即＝，故③不正确；如图，连接BD，∵∠AEF＝∠BEA，∠AFE＝∠BAE＝90°，∴△AEF∽△BEA，∴＝，∵AE＝ED，∴＝，又∵∠FED＝∠DEB，∴△FED∽△DEB，∴∠EFD＝∠EDB，∵∠EFD+∠DFC＝90°，∠EDB+∠ODC＝90°，∴∠DFC＝∠ODC，∵在矩形ABCD中，OC＝AC，OD＝BD，AC＝BD，∴OD＝OC，∴∠OCD＝∠ODC，∴DF＝DC，故④正确；故选：C．5．解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝∠C＝∠D＝∠BAD＝90°，AB＝BC＝CD＝AD＝3，∵将△ABE，△ADF分别沿折痕AE，AF向内折叠，∴AB＝AG＝AD，BE＝EG＝1，DF＝GF，∠BAE＝∠GAE，∠DAF＝∠GAF，∵∠BAE+∠GAE+∠DAF+∠GAF＝90°，∴∠EAG+∠GAF＝45°，即∠EAF＝45°，∵EH⊥AE，∴∠EAH＝∠H＝45°，∴AE＝EH，且EH⊥AE，∴△AEH是等腰直角三角形，故②符合题意，设DF＝FG＝x，在Rt△EFC中，∵EF＝1+x，EC＝3﹣1＝2，FC＝3﹣x，∴（x+1）2＝22+（3﹣x）2，解得x＝，∴DF＝，∴DF＝CF＝DC，∴点F是CD中点，故③符合题意，由勾股定理可得：AF＝＝＝，AE＝＝＝，∴EH＝AE＝，∴AH＝＝＝2，∴FH＝AH﹣AF＝，故④符合题意，∵＝2，，∴∴△ADF与△ECF不相似，故①不合题意，故选：C．6．解：如图所示，当CH与PB的交点D落在⊙O上时，∵HP是直径，∴∠HDP＝90°，∴BP⊥HC，∴∠HDP＝∠BDH＝90°，又∵∠PHD+∠BHD＝90°，∠BHD+∠HBD＝90°，∴∠PHD＝∠HBD，∴△PHD∽△HBD，∴＝，∴HD2＝PD•BD，同理可证CD2＝PD•BD，∴HD＝CD，∴BD垂直平分CH，∴BH＝BC＝3，在Rt△ACB中，AB＝＝5，∴AH＝5﹣3＝2，∵∠A＝∠A，∠AHP＝∠ACB＝90°，∴△AHP∽△ACB，∴，即，∴AP＝，故选：A．7．解：∵BM⊥AC于点M，CN⊥AC于点N，P为BC边的中点，∴点P是Rt△MBC和Rt△NBC的斜边的中点，∴MP＝NP＝BC，故①正确；∵BM⊥AC于点M，CN⊥AC于点N，∴∠AMB＝∠ANC＝90°，又∵∠A＝∠A，∴△AMB∽△ANC，∴＝，故②错误；∵BM⊥AC于点M，CN⊥AC于点N，P为BC边的中点，∴点P是Rt△MBC和Rt△NBC的斜边的中点，∴MP＝NP＝BP＝CP＝BC，∴点M，N，B，C共圆，∴∠NPM＝2∠ABM，在Rt△ABM中，∠A＝60°，∴∠ABM＝30°，∴∠NPM＝60°，∵PN＝PM，∴△PMN是等边三角形，故③正确；当∠ABC＝45°时，△BNC为以BC为斜边的等腰直角三角形，∴BN＝BC，故④正确；故选：C．8．解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝，AD＝BC，AD∥CB，∵E是BC的中点，M是DF的中点，∴BC＝2BE＝2EC，DF＝2FM＝2DM，∵AD∥BC，∴△ADF∽△EBF，∴，∴DF＝2BF，∴BF＝FM＝DM，∵BE＝EC，BF＝FM，∴EF∥CM，EF＝CM，故③符合题意，∴∠BFE＝∠BMC＝90°，且FM＝MD，∴CM是DF的垂直平分线，∴CF＝CD，故①符合题意，∵∠ABD+∠DBC＝∠ABC＝90°，∠ABD+∠BAF＝90°，∴∠DBC＝∠BAF，∵BF＝FM，∠AFB＝∠AFD＝90°，AF＝AF，∴△ABF≌△AMF（SAS）∴∠BAF＝∠FAM，∴∠DBC＝∠FAM，故②符合题意，∵∠BDC＝∠BDC，∠DCB＝∠DMC，∴△BCD∽△CMD，∴，∴CD2＝BD•DM＝3DM2＝2，∴DM＝，∴BD＝3DM＝，∴BC＝＝＝2，∴矩形ABCD的面积＝AB×BC＝2，故④不合题意，故选：A．9．解：∵C为弧AD的中点，∴＝，∴∠H＝∠ABC，∵CH⊥AB，∴∠C+∠ABC＝90°，∴∠H+∠C＝90°，∴DH⊥BC，故①正确；∵＝，∴∠CBD＝∠ABC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠BFD+∠DBF＝90°，∴∠C＝∠BFD，∵∠CFP＝∠DFB，∴∠C＝∠CFP，∴CP＝PF，故②正确；∵AB为⊙O的直径，C为弧AD的中点，CH⊥AB，∴＝＝，∴＝，∴CH＝AD；故③正确；连接AC，BH，则∠ACH＝∠CAD，∴AP＝CP，∵CH⊥AB，∴＝，∴BC＝BH，∴∠BCH＝∠BHC，∴∠CFP＝∠BHC，∵∠PCF＝∠BCH，∴△CPF∽△CBH，∴，∴PC•CH＝CF•CB，∵PC＝AP，CH＝AD，∴AP•AD＝CF•CB，故④正确；∵∠CAF＝∠ABC，又∵∠ACF＝∠BCA，∴△CAF∽△CBA，∴＝＝＝．又∵AB＝10，∴AC＝6，BC＝8．根据直角三角形的面积公式，得：AC•BC＝AB•CE，∴6×8＝10CE．∴CE＝．又∵CH＝HE，∴CH＝2CE＝．故⑤错误，故选：C．10．解：①因为当点P与BD中点重合时，CM＝0，显然FM≠CM，故①不合题意；②如图，连接PC，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABP＝∠CBP＝45°，且BP＝BP，∴△ABP≌△CBP（SAS）∴AP＝CP，∵PE⊥BC，PF⊥DC，∠BCD＝90°，∴四边形PECF是矩形，∴EF＝PC，∴EF＝AP，故②符合题意；③∵AP＝PC，AD＝CD，PD＝PD，∴△APD≌△CPD（SSS）∴∠DAP＝∠DCP，∵AD∥BC，∴∠DAP＝∠H，∴∠DCP＝∠H，∵PE＝CF，∠PEC＝∠FCE＝90°，EC＝EC，∴△PEC≌△FCE（SAS）∴∠PCE＝∠FEC，∵∠PCF+∠PCE＝∠FCE＝90°，∴∠H+∠FEC＝90°，∴∠EGH＝90°，∴AH⊥EF，故③符合题意；④．∵AD∥BH，∴∠DAP＝∠H，∵∠DAP＝∠PCM，∴∠PCM＝∠H，∵∠CPM＝∠HPC，∴△CPM∽△HPC，∴，∴CP2＝PM•PH，且AP＝PC，∴AP2＝P M•PH；故④符合题意；⑤∵EF＝AP，∴AP取最小值时，EF有最小值，∴当AP⊥BD时，AP有最小值，此时：∵AB＝AD＝2，∠BAD＝90°，AP⊥BD，∴BD＝2，AP＝BD＝，∴EF的最小值为，故⑤符合题意，故选：C．二．填空题（共6小题）11．解：在Rt△ABD中，BD＝＝＝25，∵PE⊥AC，PF⊥BD，∴∠PEA＝∠CDA＝∠PFD＝90°，又∵∠PAE＝∠CAD，∠PDF＝∠BDA，∴△APE∽△ACD，△DPF∽△DBA，∴＝＝，＝＝，设AP＝x，则PD＝20﹣x，∴PE＝x，PF＝（20﹣x）＝12﹣x，∴PE•PF＝x×（12﹣x）＝﹣x2+x＝﹣（x﹣10）2+36，根据二次函数的图象及性质可知，当x＝10时，PE•PF有最大值，最大值为36，故答案为：36．12．解：如图，连接BD交AC于O′，连接DE，作FM⊥AC于M，FN⊥DE于N．∵＝，∴AB＝BD，∵AD是直径，∴∠ABD＝∠AED＝90°，∴∠BAD＝∠BDA＝∠AEB＝45°，∵∠AEB＝∠CEF＝45°，∠CED＝90°，∴∠FED＝∠FEC＝45°，∵FM⊥EC．FN⊥ED，∴FM＝FN，∴＝＝＝，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB＝OD，AB∥CD，∴∠BAO′＝∠DCE，∴tan∠DCE＝tan∠ABO′＝＝＝，∴DF：CF＝DE+CE＝1：2，∴AD＝6，△ABD是等腰直角三角形，∴AB＝BD＝CD＝3，∴DF＝CD＝故答案为．13．解：作AQ⊥BC于点Q．∵AB＝AC＝3，∠BAC＝90°，∴BC＝AB＝6，∵A Q⊥BC，∴BQ＝QC，∴BC边上的高AQ＝BC＝3，∵DE＝DG＝GF＝EF＝BG＝CF，∴DE：BC＝1：3又∵DE∥BC，∴AD：AB＝1：3，∴AD＝，DE＝AD＝2，∵△AMN∽△AGF，DE边上的高为1，∴MN：GF＝1：3，∴MN：2＝1：3，∴MN＝．故答案为14．解：如图1，连接OF，CF，∵FH是⊙O的切线，∴OF⊥FH，∵FH∥BC，∴OF⊥BC，且OF为半径，∴OF垂直平分BC，∴＝∴∠1＝∠2，BF＝CF，∴AF平分∠BAC，故①正确，∵∠1＝∠2，∠4＝∠3，∠5＝∠2，∴∠1+∠4＝∠2+∠3，∴∠1+∠4＝∠5+∠3，∵∠1+∠4＝∠BDF，∠5+∠3＝∠FBD，∴∠BDF＝∠FBD，∴BF＝FD，且BF＝CF，∴BF＝DF＝CF，∴点F为△BDC的外心，故②正确；如图2，过点C作CG∥AB，交AF的延长线于点G，∵CG∥AB，∴∠BAE＝∠EGC，且∠BAE＝∠CAE，∴∠CAE＝∠CGE，∴AC＝CG，∵CG∥AB，∴△BAE∽△CGE，∴，∴＝＝，故③正确；如图3，作点M关于AF的对称点M'，∵点M与点M'关于AF对称，∴MN＝M'N，∴BN+MN＝BN+M'N，∴当点N在线段BM'上，且BM'⊥AC时，BN+MN有最小值为BM'，且sin∠BAC＝，∴BN+MN最小值为AB sin∠BAC，故④正确，故答案为：①②③④．15．解：①∵BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，P为BC边的中点，∴PM＝BC，PN＝BC，∴PM＝PN，故①正确；②在△ABM与△ACN中，∵∠A＝∠A，∠AMB＝∠ANC＝90°，∴△ABM∽△ACN，∴＝，∴＝，故②正确；③∵∠A＝60°，BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，∴∠ABM＝∠ACN＝30°，在△ABC中，∠BCN+∠CBM＝180°﹣60°﹣30°×2＝60°，∵点P是BC的中点，BM⊥AC，CN⊥AB，∴PM＝PN＝PB＝PC，∴∠BPN＝2∠BCN，∠CPM＝2∠CBM，∴∠BPN+∠CPM＝2（∠BCN+∠CBM）＝2×60°＝120°，∴∠MPN＝60°，∴△PMN是等边三角形，故③正确；∵BN＝CP，BP＝CP（P为BC的中点），∴BN＝BP，∵∠BPN＝90°，∴∠ABC＝45°，∵∠A＝60°，∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠ABC＝75°，故④正确；故答案为：①②③④．16．解：∵正方形ABCD中，CD＝BC，∠BCD＝90°，∴∠BCN+∠DCN＝90°，又∵CN⊥DM，∴∠CDM+∠DCN＝90°，∴∠BCN＝∠CDM，又∵∠CBN＝∠DCM＝90°，∴△CNB≌△DMC（ASA），故①正确；根据△CNB≌△DMC，可得CM＝BN，又∵∠OCM＝∠OBN＝45°，OC＝OB，∴△OCM≌△OBN（SAS），∴OM＝ON，∠COM＝∠BON，∴∠DOC+∠COM＝∠COB+∠BPN，即∠DOM＝∠CON，又∵DO＝CO，∴△CON≌△DOM（SAS），故②正确；∵∠BON+∠BOM＝∠COM+∠BOM＝90°，∴∠MON＝90°，即△MON是等腰直角三角形，又∵△AOD是等腰直角三角形，∴△OMN∽△OAD，故③正确；∵AB＝BC，CM＝BN，∴BM＝AN，又∵Rt△BMN中，BM2+BN2＝MN2，∴AN2+CM2＝MN2，故④正确；∵△OCM≌△OBN，∴四边形BMON的面积＝△BOC的面积＝1，即四边形BMON的面积是定值1，∴当△MNB的面积最大时，△MNO的面积最小，设BN＝x＝CM，则BM＝2﹣x，∴△MNB的面积＝x（2﹣x）＝﹣x2+x，∴当x＝1时，△MNB的面积有最大值，的最小值是1﹣＝，故⑤正确；此时S△OMN综上所述，正确结论的个数是5个，故答案为：5．三．解答题（共4小题）17．解：在矩形ABCD中，AD＝BC＝6，AD＝AB＝3，∠ADC＝∠BAD＝90°，由运动知，AM＝t，DN＝2t，∴AN＝6﹣2t，（1）∵△AMN为等腰直角三角形，∴AM＝AN，∴t＝6﹣2t，∴t＝2∴当t＝2s时，△AMN为等腰直角三角形．（2）∵以点A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似∴①，∴，∴t＝②，∴，∴t＝，∴当t＝或时，以点A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似．（3）S 四边形AMCN ＝S 矩形ABCD ﹣S △CDN ﹣S △BCM ＝AD ×CD ﹣DN ×CD ﹣BC ×BN ＝6×3﹣×3×2t ﹣×6×（3﹣t ） ＝18﹣9 ＝9，∴四边形AMCN 的面积是恒值为9． 18．解：（1）∵AB ⊥BD ，CD ⊥BD ， ∴∠ABD +∠BDC ＝180°， ∴AB ∥CD ， ∵EF ⊥BD ， ∴EF ∥AB ∥CD ，∴∠EFD ＝∠ABD ，∠DEF ＝∠DAB ， ∴△DEF ∽△DAB ；∵∠BFE ＝∠BDC ，∠BEF ＝∠BCD ， ∴△BEF ∽△BCD ；∵∠A ＝∠EDC ，∠ABE ＝∠C ， ∴△ABE ∽△DEC ， 故答案为：DAB ；BCD ；DCE （2）设MH ＝x ，∵MH 是EF 上的高，AB 、CD 也分别垂直于EF ， ∴AB ∥MH ∥CD ， ∵AB ∥MH ， ∴△DHM ∽△DBA ， ∴MH ：AB ＝DH ：DB ， ∴x ：4＝DH ：DB ①， 同理x ：6＝BH ：DB ②， ①+②得+＝1， 解得x ＝．故铁丝AD 与铁丝BC 的交点M 处离地面的高为，（3）∵EF∥AB，∴，∵EF＝4，AB＝6，∴，∴∵AB∥CD，∴，∴∵EF∥CD，∴∴CD＝3EF＝12．19．解：（1）如图1中，∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝1，∴CD＝AB＝1，∵E是CD中点，∴CE＝DE＝，∵PQ∥DC，∴＝，∵＝2，∴＝，＝，∴PQ＝．（2）如图1中，由DE＝x，则EC＝1﹣x，∵PQ∥DC，∴＝，∵＝，∴＝，∴y＝（0≤x≤1）．（3）①当点E在线段DC上时，∵y＝，＝，∴2x＝，即2x2﹣4x+1＝0，解得x＝，∵0≤x≤1，∴x＝．②当点E在线段DC的延长线上，且点P在线段AC的延长线上时，DE＝x，EC＝x﹣1，PQ＝2x，∵PQ∥AB∥DE，∴＝＝，＝＝，又+＝1，即+x﹣1＝1，解得x＝，∵x＞1，∴x＝．③当点E在线段DC的延长线上，且P在线段AC的反向延长线上时，DE＝x，EC＝x﹣1，PQ＝2x，∵PQ∥AB∥DE，∴＝＝，＝＝，∴＝，即2x2﹣4x﹣1＝0，解得x＝，∵x＞1，∴x＝．综上所述，满足条件的DE的长度为或．20．解：（1）结论：CH＝CD．理由：如图1中，作DM⊥AC于M，DN⊥EH于N．∵四边形BCEH是矩形，∴EH＝BC，∠CEH＝∠MEN＝∠DME＝∠DNE＝90°，∴四边形DMEN是矩形，∵△ADE是等腰直角三角形，∴DM＝ME＝AM，∴四边形DMEN是正方形，∴DN＝DM＝EM＝AM，∵AC＝BC＝EH，∴CM＝HN，∵∠CMD＝∠DNH＝90°，∴△CMD≌△HND，∴CD＝DH，∠CDM＝∠HDN，∴∠MDN＝∠CDH＝90°，∴△CDH是等腰直角三角形，∴CH＝CD．（2）如图2中，结论：CH＝CD．理由：如图1中，作DM⊥AC于M，DN⊥EH于N．∵∠ADE＝∠MDN＝90°，∴∠ADM＝∠EDN，∵AD＝DE，∠AMD＝∠DNE＝90°，∴△ADM≌△EDN，∴DM＝DN，AM＝EN，∵AC＝BC＝EH，∴CM＝HN，∵∠CMD＝∠DNH＝90°，∴△CMD≌△HND，∴CD＝DH，∠CDM＝∠HDN，∴∠MDN＝∠CDH＝90°，∴△CDH是等腰直角三角形，∴CH＝CD．（3）如图3中，△ACE可以为等边三角形．∵CA＝CE，DA＝DE，∴CD垂直平分AE，∠ACP＝∠ECP＝30°，∴DP＝AP＝PE，设DP＝AP＝PE＝a，则AC＝CE＝AE＝2a，CP＝a，作QM⊥AC于M．设AM＝QM＝x，则CM＝MQ＝x，CQ＝2x，∴x+x＝2a，∴x＝（﹣1）a，∴CQ＝（2﹣2）a，∴PQ＝PC﹣CQ＝a﹣（2﹣2）a＝（2﹣）a，∴＝＝2+．故答案为2+．。

备战2020中考数学三轮复习专项练习：《相似综合》1．如图，在△ABC中，AG⊥BC，垂足为点G，点E为边AC上一点，BE＝CE，点D为边BC上一点，GD＝GB，连接AD交BE于点F．（1）求证：∠ABE＝∠EAF；（2）求证：AE2＝EF•EC；（3）若CG＝2AG，AD＝2AF，BC＝5，求AE的长．2．在△ABC中，点D在边BC上，点E在线段AD上．（1）若∠BAC＝∠BED＝2∠CED＝α，①若α＝90°，AB＝AC，过C作CF⊥AD于点F，求的值；②若BD＝3CD，求的值；（2）AD为△ABC的角平分线，AE＝ED＝2，AC＝5，tan∠BED＝2，直接写出BE的长度．3．已知▱EFGH的顶点E、G分别在▱ABCD的边AD、BC上，顶点F、H在▱ABCD的对角线BD上．（1）如图1，求证：BF＝DH；（2）如图2，若∠HEF＝∠A＝90°，，求的值；（3）如图1，当∠HEF＝∠A＝120°，，时，求k的值．4．如图，BM、DN分别平分正方形ABCD的两个外角，且∠MAN＝45°，连接MN．（1）猜想以线段BM、DN、MN为三边组成的三角形的形状，并证明你的结论；（2）若△AMN为等腰直角三角形，探究线段BM、DN之间的数量关系；（3）当MN∥AD时，直接写出的值．5．如图，锐角△ABC中，BC＝12，BC边上的高AD＝8，矩形EFGH的边GH在BC上，其余两点E、F分别在AB、AC上，且EF交AD于点K．（1）求的值；（2）设EH＝x，矩形EFGH的面积为S．①求S与x的函数关系式；②请直接写出S的最大值为．6．如图1，△ABC中，BD，CE是△ABC的高．（1）求证：△ABD∽△ACE．（2）△ADE与△ABC相似吗？为什么？（3）如图2，设cos∠ABD＝，DE＝12，DE的中点为F，BC的中点为M，连接FM，求FM的长．7．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，BE⊥AC，垂足为E，AD与BE相交于点F，连接ED．（1）求证：△AEF∽△BDF；（2）若AE＝4，BD＝8，EF+DF＝9，求DE的长．8．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，点P，Q在对角线BD上，且BQ＝BP，过点P作PH⊥AB于点H，连接HQ，以PH、HQ为邻边作平行四边形PHQG，设BQ＝m．（1）若m＝2时，求此时PH的长．（2）若点C，G，H在同一直线上时，求此时的m值．（3）若经过点G的直线将矩形ABCD的面积平分，同时该直线将平行四边形PHQG的面积分成1：3的两部分，求此时m的值．9．如图，四边形ABCD是矩形．（1）如图1，E、F分别是AD、CD上的点，BF⊥CE，垂足为G，连接AG．①求证：；②若G为CE的中点，求证：sin∠AGB＝；（2）如图2，将矩形ABCD沿MN折叠，点A落在点R处，点B落在CD边的点S处，连接BS交MN于点P，Q是RS的中点．若AB＝2，BC＝3，直接写出PS+PQ的最小值为．10．已知：如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，点E是DB延长线上的一点，且EA＝EC，分别延长AD、EC交于点F．（1）求证：四边形ABCD为菱形；（2）如果∠AEC＝2∠BAC，求证：EC•CF＝AF•AD．11．“创新实践”小组想利用镜子与皮尺测量大树AB的高度，因大树底部有障碍物，无法直接测量到大树底部的距离．聪明的小颖借鉴《海岛算经》的测量方法设计出如图所示的测量方案：测量者站在点F处，将镜子放在点M处时，刚好看到大树的顶端，沿大树方向向前走2.8米，到达点D处，将镜子放在点N处时，刚好看到大树的顶端（点F，M，D，N，B在同一条直线上）．若测得FM＝1.5米，DN＝1.1米，测量者眼睛到地面的距离为1.6米，求大树AB的高度．12．矩形ABCD中，AD＝9，AB＝12，点E在对角线BD上（不与B、D重合），EF⊥AE 交CD于F点，连接AF交BD于G点．（1）如图1，当G为DE中点时．①求证：FD＝FE；②求BE的长．（2）如图2，若E为BD上任意点，求证：AG2＝BG•GE．13．已知△ABC中，∠ABC＝90°，点D、E分别在边BC、边AC上，连接DE，DF⊥DE，点F、点C在直线DE同侧，连接FC，且＝＝k．（1）点D与点B重合时，①如图1，k＝1时，AE和FC的数量关系是，位置关系是；②如图2，k＝2时，猜想AE和FC的关系，并说明理由；（2）BD＝2CD时，①如图3，k＝1时，若AE＝2，S＝6，求FC的长度；△CDF②如图4，k＝2时，点M、N分别为EF和AC的中点，若AB＝10，直接写出MN的最小值．14．如图1，△ABC的两条中线BD、CE交于点F．（1）＝；（2）如图2，若BE2＝EF•EC，且，EF＝，求DE的长；（3）如图3，已知BC＝4，∠BAC＝60°，当点A在直线BC的上方运动时，直接写出CE的最大值．15．教材呈现：如图是华师版九年级上册数学教材第62页的部分内容．已知：如图，DE∥BC，并分别交AB、AC于点D、E．求证：△ADE∽△ABC．请根据教材提示，结合图①，运用相似三角形的定义，写出完整的证明过程．证明：过点D作AC的平行线交BC于点F．结论应用：如图②，△ABC中，AB＝10，AC＝7，AD平分∠BAC，AE是BC边上的中线，过点C作CG⊥AD交AD于F，交AB于G，连接EF，则线段EF的长为．16．如图1所示，矩形ABCD中，点E，F分别为边AB，AD的中点，将△AEF绕点A逆时针旋转α（0°＜α≤360°），直线BE，DF相交于点P．（1）若AB＝AD，将△AEF绕点A逆时针旋至如图2所示的位置上，则线段BE与DF 的位置关系是，数量关系是．（2）若AD＝nAB（n≠1）将△AEF绕点A逆时针旋转，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请就图3所示的情况加以证明；若不成立，请写出正确结论，并说明理由．（3）若AB＝6，BC＝8，将△AEF旋转至AE⊥BE时，请直接写出DP的长．17．如图1，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，点E，F分别为AB，AD边上任意一点，现将△AEF沿直线EF对折，点A对应点为点G．（1）如图2，当EF∥BD，且点G落在对角线BD上时，求DG的长；（2）如图3，连接DG，当EF∥BD且△DFG是直角三角形时，求AE的值；（3）当AE＝2AF时，FG的延长线交△BCD的边于点H，是否存在一点H，使得以E，H，G为顶点的三角形与△AEF相似，若存在，请求出AE的值；若不存在，请说明理由18．如果三角形的两个内角α与β满足α﹣β＝90°，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”．（1）若△ABC是“准互余三角形”，∠A＞90°，∠B＝20°，求∠C的度数；（2）如图①，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4，BC＝5，点D是BC延长线上一点．若△ABD是“准互余三角形”，求CD的长；（3）如图②，在四边形ABCD中，AC，BD是对角线，AC＝4，CD＝5，∠BAC＝90°，∠ACD＝2∠ABC，且△BCD是“准互余三角形”，求BD的长．参考答案1．（1）证明：∵EB＝EC，∴∠EBC＝∠C，∵AG⊥BD，BG＝GD，∴AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB，∵∠ABD＝∠ABE+∠EBC，∠ADB＝∠DAC+∠C，∴∠ABE＝∠DAC，即∠ABE＝∠EAF．（2）证明：∵∠AEF＝∠BEA，∠EAF＝∠ABE，∴△AEF∽△BEA，∴＝，∴AE2＝EF•EB，∵EB＝EC，∴AE2＝EF•EC．（3）解：设BE交AG于J，连接DJ，DE．∵AG垂直平分线段BD，∴JB＝JD，∴∠JBD＝∠JDG，∵∠JBD＝∠C，∴∠JDB＝∠C，∴DJ∥AC，∴∠AEF＝∠DJF，∵AF＝DF，∠AFE＝∠DFJ，∴△AFE≌△DFJ（AAS），∴EF＝FJ，AE＝DJ，∵AF＝DF，∴四边形AJDE是平行四边形，∴DE∥AG，∵AG⊥BC，∴ED⊥BC，∵EB＝EC，∴BD＝DC＝，∴BG＝DG＝，∵tan∠JDG＝tan∠C＝＝＝，∴JG＝，∵∠JGD＝90°，∴DJ＝＝＝＝，∴AE＝DJ＝＝．2．解：（1）①∵∠BAC＝∠BED＝2∠CED＝α，∴当α＝90°，AB＝AC时，△ABC与△CEF都是等腰直角三角形，∴∠BAE+∠FAC＝90°，∠ACF+∠FAC＝90°，∴∠BAE＝∠AFC，∴在△ABE与△CAF中，，∴△ABE≌△CAF（AAS），∴AE＝CF＝EF，∴BE＝AF＝2EF＝2CF，∴＝2；②如图，过点C作CF∥BE，交AD的延长线于点F，在AD上取一点G，使得CG＝CF，∵∠BAC＝∠BED＝2∠CED＝α，∴∠ABE＝∠CAG，∠F＝∠BED＝α＝∠CGF，∴∠AEB＝∠AGC，∴△ABE∽△CAG，∴＝．∵CF∥BE，∴△BED∽△CFD，∴＝＝3，设CF＝x，BE＝3x，AE＝y，则CG＝EG＝x，∴＝，解得：＝，∴＝；（2）如图，过点C作CF∥AD，交BA的延长线于F，延长BE交CF与G，则∠BAD＝∠F，∠DAC＝∠ACF，又∵AD为△ABC的角平分线，即∠BAD＝∠DAC，∴∠ACF＝∠F，∴AF＝AC＝5，又AE＝ED，∴FG＝CG，∴AG⊥CF，∴∠CAG＝∠FAG，∴AD⊥AG，∵tan∠BED＝2，∴tan∠AEG＝2，∵AE＝ED＝2，∴＝2，∴AG＝2AE＝4，又∵AC＝5，∴FG＝CG＝3，∵DE∥CG，∴＝，∴＝，∴解得，BE＝4．3．（1）证明：∵四边形EFGH是平行四边形，∴EF＝HG，EF∥HG，∴∠EFD＝∠GHB，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠EDF＝∠GBH，在△EFD和△GHB中，，∴△EFD≌△GHB（AAS），∴DF＝BH，∴DF﹣HF＝BH﹣HF，∴BF＝DH；（2）解：作EM⊥FH于M，如图2所示：设MH＝a，∵四边形ABCD、四边形EFGH都是平行四边形，∠A＝∠FEH＝90°，∴四边形ABCD、四边形EFGH都是矩形，∴AD＝BC，∴tan∠ADB＝＝＝，tan∠EFH＝＝，∵∠FEH＝∠EMH＝90°，∴∠MEH+∠EHM＝90°，∠EFH+∠EHF＝90°，∴∠MEH＝∠EFH，∴tan∠MEH＝tan∠EFH＝＝＝，∴EM＝2a，FM＝4a，∵tan∠EDM＝＝，∴DM＝4a，FH＝5a，由（1）得：BF＝DH，∴BF＝DH＝3a，∴＝＝；（3）过点E作EM⊥BD于M，如图1所示：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，∵＝，∴＝，即＝，∵∠HEF＝∠A，∴△EFH∽△ADB，∴∠EFH＝∠ADB，∴EF＝ED，∴FM＝DM，设BF＝3a，∵＝，∴FH＝7a，∴DF＝10a，∴DM＝5a，由（1）得：BF＝DH，∴DH＝3a，MH＝DM﹣DH＝5a﹣3a＝2a，过点E作∠NEH＝∠EDH，交BD于N，∵∠ENH＝∠DNE，∴△ENH∽△DNE，∴＝，∴EN2＝DN•HN，设HN＝x，∴EN2＝x•（3a+x），∴EN＝，∵∠NEH＝∠EDH，∴∠NEH＝∠EFH，∵∠EHN＝∠FHE，∴△ENH∽△FEH，∴∠END＝HEF＝120°，∴∠ENM＝60°，∴∠NEM＝30°，∴EN＝2MN，∴＝2（2a﹣x），解得：x＝a，∴EN＝2a，MN＝a，由勾股定理得：EM＝＝＝a，EH＝＝＝a，EF＝DE＝＝＝2a，∴k＝＝＝．4．解：（1）以BM，DN，MN为三边围成的三角形为直角三角形．证明如下：如图，过点A作AF⊥AN并截取AF＝AN，连接BF、FM，∵∠1+∠BAN＝90°，∠3+∠BAN＝90°，∴∠1＝∠3，在△ABF和△ADN中，，∴△ABF≌△ADN（SAS），∴BF＝DN，∠FBA＝∠NDA＝135°，∵∠FAN＝90°，∠MAN＝45°，∴∠1+∠2＝∠FAM＝∠MAN＝45°，在△AFM和△ANM中，，∴△AFM≌△ANM（SAS），∴FM＝NM，∴∠FBP＝180°﹣∠FBA＝180°﹣135°＝45°，∴∠FBP+∠PBM＝45°+45°＝90°，∴△FBM是直角三角形，∵FB＝DN，FM＝MN，∴以BM，DN，MN为三边围成的三角形为直角三角形；（2）∵BM、DN分别平分正方形的两个外角，∴∠CBM＝∠CDN＝45°，∴∠ABM＝∠ADN＝135°，∵∠MAN＝45°，∴∠BAM+∠NAD＝45°，在△ABM中，∠BAM+∠AMB＝∠MBP＝45°，∴∠NAD＝∠AMB，在△ABM和△NDA中，，∴△ABM∽△NDA，∵△AMN是等腰直角三角形，∴；（3）连接BD并延长交MN延长线于点G，如图2，由题意知∠GDN＝∠GBM＝90°，∠ADN＝135°，∵MN∥AD，∴∠GND＝45°，∴∠G＝90°﹣∠GND＝45°，∴△DGN和△BGM均为等腰直角三角形，∴GN＝DN，GM＝BM，由（1）知，DN2+BM2＝MN2，∴设BM＝x，DN＝y，则GM＝x，GN＝y，∴MN＝（y﹣x），∴x2+y2＝[（y﹣x）]2，∴x1＝（2+）y（舍），x2＝（2﹣）y，∴．5．解：（1）∵四边形EFGH是矩形，∴EF∥BC，∵AD⊥BC，∴AK⊥EF，∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴；（2）∵四边形EFGH是矩形，∴∠FEH＝∠EHG＝90°，∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴四边形EHDK是矩形，∴EH＝DK＝x，∵AK+DK＝AD，∴AK＝8﹣x，∵，∴，∴S＝EH•EF＝x•（8﹣x）＝﹣x2+12x．②∵S＝﹣x2+12x＝，，∴当x＝4，时S有最大值24．故答案为：24．6．（1）证明：如图1中，∵BD、CE是△ABC的高，∴∠ADB＝∠AEC＝90°，∵∠A＝∠A，∴△ABD∽△ACE（2）相似．理由：∵△ABD∽△ACE，∴，即，∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC．（4）如图2中，连接DM、EM．由得，∴BC＝18，又EM＝DM＝9，MF⊥DE，且FD＝FE＝6，∴FM＝＝＝3．7．（1）证明：∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠BDF＝∠AEF＝90°，∵∠AFE＝∠BFD，∴△AEF∽△BDF．（2）解：∵△AEF∽△BDF，∴＝＝＝，∵DF+EF＝9，∴EF＝3，DF＝6，∴BF＝＝＝10，AF＝＝＝5，∴AD＝5+6＝11，∴AB＝＝＝∵＝，∴＝，∵∠AFB＝∠EFD，∴△AFB∽△EFD，∴＝，∴＝，∴DE＝．8．解：（1）在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，∴BD＝＝＝5，∵BQ＝2，，∴BP＝3，∵PH∥AD，∴△BPH∽△BDA，∴，∴；（2）如图，设HG与PQ交于点O，设BQ＝2x，则BP＝3x，PQ＝x，∴PO＝QO＝，∴BO＝x，∵PH∥BC，∴△PHO∽△BCO，∴，∴PH＝＝，∵PH∥AD，∴△BPH∽△BDA，∴，∴，∴x＝，∴BQ＝；（3）连接AC交BD于O，∵经过点G的直线将矩形ABCD的面积平分，∴这条直线经过矩形ABCD的对角线的交点O．①如图，当直线OG经过PH的中点R时，直线OG将平行四边形PHQG的面积分成1：3的两部分，∵PH∥GQ，∴，∴，∴m＝；②如图，当直线OG经过HQ的中点N时，直线OG将平行四边形PHQG的面积分成1：3的两部分，∵PG∥HQ，∴＝＝，∴＝，∴m＝；综上所述，满足条件的m的值为或．9．（1）①证明：如图1中，∵四边形ABCD是矩形，∴∠CDE＝∥BCF＝90°，∵BF⊥CE，∴∠BGC＝90°，∴∠BCG+∠FBC＝∠BCG+∠ECD＝90°，∴∠FBC＝∠ECD，∴△FBC∽△ECD，∴＝．②证明：如图1中，连接BE，GD．∵BF⊥CE，EG＝CG，∴BF垂直平分线段EC，∴BE＝CB，∠EBG＝∠CBG，∵DG＝CG，∴∠CDG＝∠GCD，∵∠ADG+∠CDG＝90°，∠BCG+∠ECD＝90°，∴∠ADG＝∠BCG，∵AD＝BC，∴△ADG≌△BCG（SAS），∴∠DAG＝∠CBG，∴∠DAG＝∠EBG，∴∠AEB＝∠AGB，∴sin∠AGB＝sin∠AEB＝＝＝＝．（2）如图2中，取AB的中点T，连接PT，CP．∵四边形MNSR与四边形MNBA关于MN对称，T是AB中点，Q是SR中点，∴PT＝PQ，MN垂直平分线段BS，∴BP＝PS，∵∠BCS＝90°，∴PC＝PS＝PB，∴PQ+PS＝PT+PC，当T，P，C共线时，PQ+PS的值最小，最小值＝＝＝，∴PQ+PS的最小值为．故答案为．10．解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，又∵EA＝EC，∴EO⊥AC，∴四边形ABCD是菱形；（2）∵∠AEB＝∠CEB＝∠AEC，平行四边形ABCD为菱形，∴∠AEB＝∠CEB＝∠BAC＝∠BCA＝∠DAC＝∠DCA，∠CDF＝∠DAC+∠DCA＝∠AEF，∴△FCD∽△FAE，∴＝，∵CD＝AD，AE＝CE，∴＝，即EC•CF＝AF•AD．11．解：设NB的长为x米，则MB＝x+1.1+2.8﹣1.5＝（x+2.4）米．由题意，得∠CND＝∠ANB，∠CDN＝∠ABN＝90°，∴△CND∽△ANB，∴．同理，△EMF∽△AMB，∴．∵EF＝CD，∴，即．解得x＝6.6，∵，∴．解得AB＝9.6．答：大树AB的高度为9.6米．12．（1）①证明：如图1，取AF的中点O，连接OD，OE，∵∠ADF＝∠FEA＝90°，∴OE＝OD＝AF，∵点G是DE的中点，∴OG⊥DE，∴AF⊥DE，∵点G是DE的中点，∴FD＝FE；②解：由①知，AF⊥DE，∴∠AGD＝90°，∵∠ADG＝∠ADB，∴△ADG∽△BDA，∴，在Rt△ABD中，AD＝9，AB＝12，根据勾股定理得，BD＝15，∴，∴DG＝，∴DE＝2DG＝，∴BE＝BD﹣DE＝；（2）如图2，过点E作MN∥BC分别交AB，CD于M，N，∴BC⊥CD，∴MN⊥CD且MN⊥AB，∴∠DNE＝∠AME＝90°，∵∠FEA＝90°，∴∠NEF＝∠MAE，∴△NEF∽△MAE，∴，∵AM＝DN，∴，∵∠FEA＝∠END＝90°，∴△FEA∽△END，∴∠FAE＝∠EDN，∵∠EDN＝∠ABG，∴∠FAE＝∠ABG，∵∠AGE＝∠BGA，∴△AGE∽△BGA，∴，∴AG2＝BG•GE．13．解：（1）①如图1中，结论：AE＝CF，AE⊥CF理由：由题意：BA＝BC，BE＝BE，∠ABC＝∠EBF＝90°，∴∠ABE＝∠CBF，∠A＝∠ACB＝45°，∴△ABE≌△CBF（SAS），∴AE＝CF，∠A＝∠BCF＝45°，∴∠ACF＝∠ACB+∠BCF＝90°，∴AE⊥CF，故答案为AE＝CF，AE⊥CF．②如图2中，结论：AE＝2CF，AE⊥CF．理由：∵＝＝2，∠ABE＝∠CBF，∴△ABE∽△CBF，∴＝＝2，∠A＝∠BCF，∴AE＝2CF，∵∠A+∠ACB＝90°，∴∠BCF+∠ACB＝90°，∴AE⊥CF．（2）①如图3中，过点D作DH⊥AC于H，作DT∥AB交AC于T．由题意AB＝BC，∠ABC＝90°，∴∠ACB＝45°，∵DT∥AB，∴∠CDT＝∠CBA＝90°，∴∠DTC＝∠DCT＝45°，∴DT＝DC，∵DH⊥CT，∴HT＝HC，∴DH＝HT＝HC，设DH＝HT＝HC＝m，∵DT∥AB，∴＝＝，∴AT ＝4m ，∵AE ＝2，∴ET ＝4m ﹣2，∵DE ＝DF ，DT ＝DC ，∠EDF ＝∠TDC ＝90°，∴∠EDT ＝∠FDC ，∴△EDT ≌△FDC （SAS ），∴S △EDT ＝S △FDC ＝6，ET ＝FC ， ∴•（4m ﹣2）•m ＝6，解得m ＝2或﹣（舍弃），∴CF ＝ET ＝4m ﹣2＝8﹣2＝6．②如图4中，连接DM ，CM ，根点M 作MK ⊥BC 于K ，交AC 于J ．同法可证：AE ⊥CF ，∵∠EDF ＝∠ECF ＝90°，EM ＝MF ，∴DM ＝MC ＝EF ，∴点M 在长度CD 的垂直平分线MK 上，当NM ⊥NK 时，MN 的值最小， 由题意：AB ＝10，BC ＝5，CD ＝，CK ＝DK ＝，在Rt △ABC 中，AC ＝＝5，∵AN ＝CN ，∴CN ＝AC ＝， ∵JK ∥AB ，∴＝，∴＝，∴CJ＝，∴NJ＝CN﹣CJ＝﹣＝，∵NM⊥MK时，△NMK∽△CKJ，∴＝，∴＝，∴MN＝，∴MN的最小值为．14．解：（1）如图1中，∵AE＝BE，AD＝DC，∴DE∥BC，DE＝BC，∴△EDF∽△CBF，∴＝＝，故答案为：．（2）如图2中，∵DE∥BC，且DE＝BC，∵△EDF∽CBF，∴＝＝＝，∵EF＝，∴CF＝2，EC＝3，∵BE2＝EF•EC，∴BE＝3，∵DF＝BE＝2，∴BF＝4，∵＝，∠BEF＝∠CEB，∴△BEF∽△CEB，∴＝，∴＝，∴CB＝4，∴DE＝BC＝2．（3）如图3中，如图，作△ABC的外接圆⊙O，连接OA，OB，OC，取OB的中点F，连接EF，过点O作OH⊥BC于H，过点F作FT⊥BC于T．∵∠BOC＝2∠BAC＝120°，∵OB＝OC，OH⊥BC，∴BH＝CH＝BC＝2，∠BOH＝∠COH＝60°，∴OH＝＝，OB＝2OH＝，∵AE＝EB，BF＝OF，∴EF＝OA＝，∴点E的运动轨迹是以F为圆心FE为半径的⊙F，∴CE的最大值＝EF+CF，∵FT⊥BC，OH⊥BC，∴FT∥OH，∵BF＝OF，∴BT＝TH＝1，FT＝OH＝，在Rt△FCT中，CF＝＝＝，∴CE的最大值为．15．教材呈现：证明：过点D作AC的平行线交BC于点F，∵DE∥BC，∴四边形DECF是平行四边形，∴DE＝CF，∵DE∥BC，∴＝，∠AED＝∠C，∠ADE＝∠B，∵DF∥AC，∴＝，∴＝＝，∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC；结论应用：∵AD平分∠BAC，∴∠GAF＝∠CAF，∵CG⊥AD，∴∠AFG＝∠AFC，在△AGF和△ACF中，，∴△AGF≌△ACF（ASA），∴AG＝AC＝7，GF＝CF，则BG＝AB﹣AG＝10﹣7＝3．又∵BE＝CE，∴EF是△BCG的中位线，∴EF＝BG＝1.5．故答案是：1.5．16．解：（1）如图2中，结论：BE＝DF，BE⊥DF．理由：∵四边形ABCD是矩形，AB＝AD，∴四边形ABCD是正方形，AE＝AB，AF＝AD，∴AE＝AF，∵∠DAB＝∠EAF＝90°，∴∠BAE＝∠DAF，∴△ABE≌△ADF（SAS），∴BE＝DF，∠ABE＝∠ADF，∵∠ABE+∠AHB＝90°，∠AHB＝∠DHP，∴∠ADF+∠PHD＝90°，∴∠DPH＝90°，∴BE⊥DF．故答案为BE＝DF，BE⊥DF．（2）如图3中，结论不成立．结论：DF＝nBE，BE⊥DF，∵AE＝AB，AF＝AD，AD＝nAB，∴AF＝nAE，∴AF：AE＝AD：AB，∴AF：AE＝AD：AB，∵∠DAB＝∠EAF＝90°，∴∠BAE＝∠DAF，∴△BAE∽△DAF，∴DF：BE＝AF：AE＝n，∠ABE＝∠ADF，∴DF＝nBE，∵∠ABE+∠AHB＝90°，∠AHB＝∠DHP，∴∠ADF+∠PHD＝90°，∴∠DPH＝90°，∴BE⊥DF．（3）如图4﹣1中，当点P在BE的延长线上时，在Rt△AEB中，∵∠AEB＝90°，AB＝6，AE＝3，∴BE＝＝3，∵△ABE∽△ADF，∴＝，∴＝，∴DF＝4，∵四边形AEPF是矩形，∴AE＝PF＝3，∴PD＝DF﹣PF＝4﹣3；如图4﹣2中，当点P在线段BE上时，同法可得DF＝4，PF＝AE＝3，∴PD＝DF+PF＝4+3，综上所述，满足条件的PD的值为4﹣3或4+3．17．解：（1）连接AG，如图2所示，由折叠得：AG⊥EF，∵EF∥BD，∴AG⊥BD，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，∴∠DAB＝90°，AD＝BC＝6，∴DB＝＝＝10，∴cos∠ADB＝＝＝，∴DG＝AD•cos∠ADB＝6×＝．（2）①当∠DGF＝90°时，此时点D，G，E三点共线，设AF＝3t，则FG＝3t，AE＝4t，DF＝6﹣3t，在Rt△DFG中，DG2+FG2＝DF2，即DG2＝（6﹣3t）2﹣（3t）2＝36﹣36t，∵tan∠FDG＝＝，∴＝，解得t＝，∴AE＝．②当∠GDF＝90°时，点G在DC上，过点E作EH⊥CD于H，则四边形ADHE是矩形，EH＝AD＝6．设AF＝3t，则FG＝3t，AE＝4t，DF＝6﹣3t，∵∠FDG＝∠FGE＝∠EHG＝90°，∴∠DGF+∠DFG＝90°，∠DGF+∠EGH＝90°，∴∠DFG＝∠EGH，∴△GDF∽△EHG，∴＝＝，∴＝＝，∴DG＝，GH＝8﹣4k，∵DG+GH＝AE，∴+8﹣4k＝4k，∴k＝，∴AE＝．综上所述：AE＝或．（3）①当△AEF∽△GHE时，如图4﹣1，过点H作HP⊥AB于P，∵∠AEF＝∠FEG＝∠EHG，∠EHG+∠HEG＝90°，∴△FEG+∠HEG＝90°，∴∠A＝∠FEH＝90°，∴△AEF∽△EHF，∴EF：HE＝AF：AE＝1：2，∵∠A＝∠HPE＝90°，∴∠AEF+∠HEP＝90°，∠HEP+∠EHP＝90°，∴∠AEF＝∠EHP，∴△AEF∽△HPE，∴EA：HP＝EF：EH＝1：2，∵HP＝6，∴AE＝3．②当△AEF∽△GHE时，如图4﹣2，过点H作HP⊥AB于P，同法可得EF：HE＝1：2，EA：HP＝1：2，设AF＝t，则AE＝2t，EP＝2t，HP＝4t，∴BP＝8﹣4t，∵△BHP∽△BDA，∴4t：6＝（8﹣4t）：8，解得：t＝，AE＝．③当△AEF∽△GEH时，如图4﹣3，过点G作MN∥AB交AD于点M，过点E作EN⊥MN 于N．设AF＝t，则AE＝2t，DF＝6﹣t，由翻折可知：△AEF≌△GEF，AE＝GE，∵△AEF∽△GEH，AE＝GE，∴△AEF≌△GEH（AAS或ASA），∴FG＝GH，∵MG∥DH，∴FM＝（6﹣t），∴AM＝EN＝AF+FM＝，又∵△FMG∽△GNE，且GF：GE＝1：2，∵MG＝NE＝AM＝，GN＝2FN＝6﹣t，∵MN＝AE，∴+6﹣t＝2t，解得t＝，∴AE＝．④当△AEF∽△GEH时，如图4﹣4，过点G作MN∥AB交AD于点M，过点E作EN⊥MN 于N，过点H作HQ⊥AD于Q，设AF＝t，则AE＝2t，设FM＝a，∴NG＝2a，NE＝a+t，∴MG＝EN＝AM＝，∴+2a＝2t①，由上题可知：MF＝MQ＝a，QH＝2MG＝a+t，∴DQ＝6﹣t﹣2a，∵＝，∴＝②，解得t＝，∴AE＝，综上所述，满足条件的AE的值为3或或或．18．解：（1）∵△ABC是“准互余三角形”，∠A＞90°，∠B＝20°，若∠A﹣∠B＝90°，则∠A＝110°，∴∠C＝180°﹣110°﹣20°＝50°，若∠A﹣∠C＝90°，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠C＝35°；（2）∵∠BAC＝90°，AB＝4，BC＝5，∴AC＝＝＝3，∵△ABD是“准互余三角形”，∴∠BAD﹣∠B＝90°，或∠BAD﹣∠ADB＝90°，当∠BAD﹣∠ADB＝90°，∴∠BAC+∠CAD﹣∠ADB＝90°，∴∠CAD＝∠ADB，∴AC＝CD＝3，当∠BAD﹣∠B＝90°，∴∠BAC+∠CAD﹣∠B＝90°，∴∠B＝∠CAD，∵∠ADC＝∠BDA，∴△ADC∽△BDA，∴，∴，∴CD＝；（3）如图，将△ABC沿BC翻折得到△EBC，∴CE＝AC＝4，∠BCA＝∠BCE，∠CBA＝∠CBE，∠E＝∠BAC＝90°，∴∠ABE+∠ACE＝180°，∵∠ACD＝2∠ABC＝∠ABE，∴∠ACD+∠ACE＝180°，∴点D，点C，点E三点共线，∵∠BCD＝∠ACD+∠ACB＝2∠ABC+∠ACB＝90°+∠ABC，∴∠BCD﹣∠CBD＝90°，∵△BCD是“准互余三角形”，∴∠BCD﹣∠CDB＝90°，∴90°+∠ABC﹣∠CDB＝90°，∴∠CDB＝∠ABC＝∠EBC，又∵∠E＝∠E，∴△CEB∽△BED，∴，即，∴BE＝6，∴BD＝＝＝3．。

中考三轮冲刺：《相似综合训练》1．已知：已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D、E分别是AC、BC上的点，连DE，且＝＝，tan B＝，如图1．（1）如图2，将△CDE绕C点旋转，连AD、BE交于H，求证：AD⊥BE；（2）如图3，当△CDE绕C点旋转过程中，当CH＝时，求AH﹣BH的值；（3）若CD＝1，当△CDE绕C点旋转过程中，直接写出AH的最大值是2．（1）证明：如图2中，设BE交AC于O．∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACD＝∠ECB，∵＝，∴＝，∴△ACD∽△BCE，∴∠DAC＝∠EBC，∵∠AOH＝∠BOC，∴∠AHO＝∠BCO＝90°，∴AD⊥BE．（2）解：如图2中，在HB上取一点T，使得HT＝AH，连接AT．在Rt△AHT中，tan∠ATH＝＝，∵tan∠ABC＝，∴∠ATH＝∠ABC，∵∠ATH+∠HAT＝90°，∠ABC+∠CAB＝90°，∴∠HAT＝∠CAB，∴∠CAH＝∠BAT，∴△AHT∽△ACB，∴＝，∴＝，∴△CAH∽△BAT，∴＝，∵HT＝AH，设AH＝m，则HT＝m，AT＝m，∴＝，∴BT＝．（3）解：如图3中，在Rt△AHB中，∵AH＝AB•sin∠ABH，∴当∠ABH最大时，AH的值最大，此时CE⊥BE，∵∠DCE＝∠CEH＝∠EHD＝90°，∴此时四边形ECDH是矩形，∴DH＝EC，∠ADC＝∠CDH＝90°，由题意CD＝1，EC＝，AC＝，∴DH＝CE＝在Rt△ACD中，AD＝＝＝，∴AH＝AD+DH＝+＝2，∴AH的最大值为2．故答案为：2．2．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，E为BC上一点，且BE＝1，∠AED＝90°，将△AED绕点E顺时针旋转得到△A′ED′，A′E交AD于P，D′E交CD于Q，连接PQ，当点Q与点C 重合时，△AED停止转动．（1）求线段AD的长；（2）当点P与点A不重合时，试判断PQ与A′D′的位置关系，并说明理由；（3）求出从开始到停止，线段PQ的中点M所经过的路径长．解：（1）∵AB＝2，BE＝1，∠B＝90°，∴AE＝＝＝，∵∠AED＝90°，∴∠EAD+∠ADE＝90°，∵矩形ABCD中，∠ABC＝∠BAD＝90°，∴∠BAE+∠EAD＝90°，∴∠BAE＝∠ADE，∴△ABE∽△DEA，∴，∴，∴AD＝5；（2）PQ∥A′D′，理由如下：∵，∴＝＝2，∵AD＝BC＝5，∴EC＝BC﹣BE＝5﹣1＝4，过点E作EF⊥AD于点F，则∠FEC＝90°，∵∠A'ED'＝∠AED＝90°，∴∠PEF＝∠CEQ，∵∠C＝∠PFE＝90°，∴△PEF∽△QEC，∴，∵，∴，∴PQ∥A′D′；（3）连接EM，作MN⊥AE于N，由（2）知PQ∥A′D′，∴∠EPQ＝∠A′＝∠EAP，又∵△PEQ为直角三角形，M为PQ中点，∴PM＝ME，∴∠EPQ＝∠PEM，∵∠EPF＝∠EAP+∠AEA′，∠NEM＝∠PEM+∠AEA′∴∠EPF＝∠NEM，又∵∠PFE＝∠ENM﹣90°，∴△PEF∽△EMN，∴＝为定值，又∵EF＝AB＝2，∴MN为定值，即M的轨迹为平行于AE的线段，∵M初始位置为AD中点，停止位置为DE中点，∴M的轨迹为△ADE的中位线，∴线段PQ的中点M所经过的路径长＝＝．3．已知，如图1，将△AED绕点E旋转180°得到△BEF，延长FB到点C，使得BC＝FB，连接DC．（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）如图2，点G是边BC上任意一点（点G与点B、C不重合），连接AG交DF于点H，连接HC，过点A作AK∥HC，交DF于点K．①求证：HC＝2AK；②当点G是BC边中点时，恰有HD＝n•HK（n为正整数），求n的值．（1）证明：如图1中，∵△AED绕点E旋转180°得到△BEF，∴∠ADE＝∠F，AD＝BF，∴AD∥CF，∵BC＝FB，∴AD＝BC，∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形．（2）①证明：∵BC＝FB，∴FC＝2BF，∵BF＝AD，∴FC＝2AD，∵AK∥CH，∴∠AKF＝∠CHD，∴∠AKD＝∠CHF，∵∠ADK＝∠F，∴△AKD∽△CHF，∴＝＝，∴CH＝2AK．②如图2中，过点G作GM∥DF交HC于M．∵G是BC的中点，且FC＝2BF，∴CG＝CF，∵GM∥DF，∴△CMG∽△CHF，∴＝＝，即GM＝FH，∵AD∥FC，∴△AHD∽△GHF，∴＝＝＝，即DH＝FH，∴＝，即DH＝GM，∵AK∥HC，GM∥DF，∴∠HAK＝∠GHM，∠AHK＝∠HGM，∴△AHK∽△HGM，∴＝＝，即HK＝GM，∴＝，即HD＝4HK，∴n＝4．4．如图，在矩形ABCD中，连接BD，点E为AB上一点，使得∠EDB＝∠BDC，连接CE，交BD于点P，作BF⊥BD交DE的延长线于点F．（1）求证：BD2＝DF•DC（2）若AE＝1，DC＝3，求PC的长，（3）在（2）的条件下，将△BDC沿着BD对折得到△BDQ，点C的对应点为点Q，连接AQ，试求△AQE的周长．解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠DCB＝90°，∵BF⊥BD，∴∠DCB＝∠DBF＝90°∵∠EDB＝∠BDC，∴△DCB∽△DBF，∴＝，∴BD2＝DF•DC．（2）∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∠BAD＝∠BCD＝∠ABC＝90°，∴∠EBD＝∠BDC，∵∠EDB＝∠BDC，∴∠EDB＝∠EBD，∴ED＝EB，∵∠EBD+∠EBF＝90°，∠F+∠EDB＝90°，∴∠EBF＝∠F，∴EB＝EF，∵AE＝1，DC＝AB＝3，∴BE＝EF＝DE＝2，DF＝4，∴AD＝＝＝，BD＝＝＝2，∴EC＝＝＝，∵BE∥CD，∴△BEP∽△DCP，∴＝，∴＝，∴PC＝．（3）∵△BDC沿BD翻折得到△BDQ，∠EDB＝∠BDC，∴点Q在DF上，且BQ⊥DF，∴QE＝DQ﹣DE＝3﹣2＝1，∴AE＝QE，∴∠EAQ＝∠EQA，∵∠AEQ＝∠BED，∴△AEQ∽△BED，∴△AEQ的周长：△BED的周长＝AE：BE＝1：2，∵△BED的周长＝2+2+2＝4+2，∴△AEQ的周长＝2+．5．如图，在平面直角坐标系中，点B（12，10），过点B作x轴的垂线，垂足为A．作y 轴的垂线，垂足为C．点D从O出发，沿y轴正方向以每秒1个单位长度运动；点E从O 出发，沿x轴正方向以每秒3个单位长度运动；点F从B出发，沿BA方向以每秒2个单位长度运动．当点E运动到点A时，三点随之停止运动，运动过程中△ODE关于直线DE 的对称图形是△O′DE，设运动时间为t．（1）用含t的代数式分别表示点E和点F的坐标；（2）若△ODE与以点A，E，F为顶点的三角形相似，求t的值；（3）当t＝2时，求O′点在坐标．解：（1）∵BA⊥x轴，CB⊥y轴，B（12，10），∴AB＝10，由运动知，OD＝t，OE＝3t，BF＝2t（0≤t≤4），∴AF＝10﹣2t，∴E（3t，0），F（12，10﹣2t）；（2）由（1）知，OD＝t，OE＝3t，AF＝10﹣2t，∴AE＝12﹣3t，∵BA⊥x轴，∴∠OAB＝90°＝∠AOC，∵△ODE与以点A，E，F为顶点的三角形相似，∴△DOE∽△EAF或△DOE∽△FAE，①当△DOE∽△EAF时，，∴，∴t＝，②当△DOE∽△FAE时，，∴，∴t＝6（舍），即：当△ODE与以点A，E，F为顶点的三角形相似时，t＝秒；（3）如图，当t＝2时，OD＝2，OE＝6，在Rt△DOE中，根据勾股定理得，DE＝2，连接OO'交DE于G，∴OO'＝2OG，OO⊥DE，∴S＝OD•OE＝DE•OG，△DOE∴OG＝＝＝，∴OO'＝2OG＝，∵∠AOC＝90°，∴∠HOO'+∠AOO'＝90°，∵OO'⊥DE，∴∠OED+∠AOO'＝90°，∴∠HOO'＝∠OED，过点O'作O'H⊥y轴于H，∴∠OHO'＝90°＝∠DOE，∴△OHO'∽△EOD，∴，∴，∴OH＝，O'H＝，∴O'（，）．6．如图1，矩形ABCD中，AD＝2，AB＝3，点E，F分别在边AB，BC上，且BF＝FC，连接DE，EF，并以DE，EF为边作▱DEFG．（1）连接DF，求DF的长度；（2）求▱DEFG周长的最小值；（3）当▱DEFG为正方形时（如图2），连接BG，分别交EF，CD于点P、Q，求BP：QG的值．解：（1）如图1所示：∵四边形ABCD是矩形，∠C＝90°，AD＝BC，AB＝DC，∵BF＝FC，AD＝2；∴FC＝1，∵AB＝3；∴DC＝3，在Rt△DCF中，由勾股定理得，∴DF＝＝＝；（2）如图1所示：作点F关直线AB的对称点M，连接DM交AB于点N，连接NF，ME，点E在AB上是一个动点，①当点E不与点N重合时点M、E、D可构成一个三角形，∴ME+DE＞MD，②当点E与点N重合时点M、E（N）、D在同一条直线上，∴ME+DE＝MD由①和②DE+EF的值最小时就是点E与点N重合时，∵MB＝BF，∴MB＝1，∴MC＝3，又∵DC＝3，∴△MCD是等腰直角三角形，∴MD＝＝＝3，∴NF+DN＝MD＝3，∴l▱DEFG＝2（NF+DF）＝6；（3）∵▱DEFG为正方形，∴DE＝EF，∠DEF＝90°，∴∠ADE+∠AED＝∠AED+∠BEF＝90°，∴∠ADE＝∠BEF，∴△ADE≌△BEF（AAS），∴AE＝BF＝1，BE＝AD＝2，过点B作BH⊥EF，如图2所示：在Rt△EBF中，由勾股定理得：EF＝＝＝，∴BH＝＝，又∵△BEF～△FHB，∴＝，HF＝＝＝，在△BPH和△GPF中有：∠BPH＝∠GPF，∠BHP＝∠GFP，∴△BPH∽△GPF，∴＝＝＝，∴PF＝•HF＝，又∵EP+PF＝EF，∴EP＝﹣＝，又∵AB∥BC，EF∥DG，∴∠EBP＝∠DQG，∠EPB＝∠DGQ，∴△EBP∽△DQG（AA），∴＝＝＝．7．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10cm，BD⊥AC于点D，BD＝8cm．点M从点A出发，沿AC 的方向匀速运动，速度为2cm/s；同时直线PQ由点B出发，沿BA的方向匀速运动，速度为1cm/s，运动过程中始终保持PQ∥AC，直线PQ交AB于点P、交BC于点Q、交BD于点F．连接PM，设运动时间为t秒（0＜t＜5）．（1）当t为何值时，四边形PQCM是平行四边形？（2）设四边形PQCM的面积为ycm2，求y与t之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t，使S四边形PQCM ＝S△ABC？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由；（4）连接PC，是否存在某一时刻t，使点M在线段PC的垂直平分线上？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．解：（1）假设四边形PQCM是平行四边形，则PM∥QC，∴AP：AB＝AM：AC，∵AB＝AC，∴AP＝AM，即10﹣t＝2t，解得：t＝，∴当t＝时，四边形PQCM是平行四边形；（2）∵PQ∥AC，∴△PBQ∽△ABC，∴△PBQ为等腰三角形，PQ＝PB＝t，∴，即，解得：BF＝t，∴FD＝BD﹣BF＝8﹣t，又∵MC＝AC﹣AM＝10﹣2t，∴y ＝（PQ +MC ）•FD ＝（t +10﹣2t ）（8﹣t ）＝t 2﹣8t +40；（3）不存在；∵S △ABC ＝＝×10×8＝40，当S 四边形PQCM ＝S △ABC 时，y ＝t 2﹣8t +40＝40， 解得：t ＝0，或t ＝20，都不合题意，因此不存在；（4）假设存在某一时刻t ，使得M 在线段PC 的垂直平分线上，则MP ＝MC ，过M 作MH ⊥AB ，交AB 与H ，如图所示：∵∠A ＝∠A ，∠AHM ＝∠ADB ＝90°， ∴△AHM ∽△ADB ，∴， 又∵AD ＝＝6，∴， ∴HM t ，AH ＝t ，∴HP ＝10﹣t ﹣t ＝10﹣t ， 在Rt △HMP 中，MP 2＝+＝t 2﹣44t +100，又∵MC 2＝（10﹣2t ）2＝100﹣40t +4t 2，∵MP 2＝MC 2，∴t 2﹣44t +100＝100﹣40t +4t 2，解得，t 2＝0（舍去）， ∴t ＝s 时，点M 在线段PC 的垂直平分线上．8．探索绕公共顶点的相似多边形的旋转：（1）如图1，已知：等边△ABC和等边△ADE，根据△AEC≌△ADB（指出三角形的全等或相似），可得CE与BD的大小关系为：CE＝BD．（2）如图2，正方形ABCD和正方形AEFG，求：的值；（3）如图3，矩形ABCD和矩形AEFG，AB＝kBC，AE＝kEF，求：的值．（用k的代数式表示）解：（1）如图1，∵△ABC和△ADE都是等边三角形，∴AE＝AD，AC＝AB，∠CAB＝∠EAD．∴∠CAE＝∠BAD．在△AEC和△ADB中，．∴△AEC≌△ADB．∴CE＝BD．故答案分别为：△AEC≌△ADB、CE＝BD．（2）如图2，∵四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，∴AC＝AB，AF＝AE，∠CAB＝∠FAE＝45°．∴＝＝，∠CAF＝∠BAE．∴△AFC∽△AEB．∴＝＝．∴的值为．（3）连结FA、CA，如图3，∵四边形ABCD和四边形AEFG都是矩形，AB＝kBC，AE＝kEF，∴∠FEA＝∠CBA＝90°，＝＝k．∴△FEA∽△CBA．∴＝，∠FAE＝∠CAB．∴∠FAC＝∠EAB．∴△FAC∽△EAB．∴＝∵AC＝＝＝BC．∴＝＝．∴的值为．9．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，A点的坐标为（3，0），以OA为边作等边三角形OAB，点B在第一象限，过点B作AB的垂线交x轴于点C．动点P从O点出发沿着OC向点C运动，动点Q从B点出发沿着BA向点A运动，P，Q两点同时出发，速度均为1个单位/秒．当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止．设运动时间为t秒．（1）求线段BC的长；（2）过点Q作x轴垂线，垂足为H，问t为何值时，以P、Q、H为顶点的三角形与△ABC 相似；（3）连接PQ交线段OB于点E，过点E作x轴的平行线交线段BC于点F．设线段EF的长为m，求m与t之间的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围．（1）解：如图l，∵△AOB为等边三角形，∴∠BAC＝∠AOB＝60．∵BC⊥AB，∴∠ABC＝90°，∴∠ACB＝30°，∠OBC＝30°∴∠ACB＝∠OBC，∴CO＝OB＝AB＝OA＝3，∴AC＝6，∴BC＝AC＝；（2）如图2，过点Q作x轴垂线，垂足为H，则QH＝AQ•sin60°＝．需要分类讨论：当△PHQ∽△ABC时，＝，即＝＝，解得，t＝0．同理，当△QHP∽△ABC时，t＝1．综上所述，t＝0或t＝1；（3）解：如图1，过点Q作QN∥OB交x轴于点N．∴∠QNA＝∠BOA＝60°＝∠QAN，∴QN＝QA∴△AQN为等边三角形，∴NQ＝NA＝AQ＝3﹣t，∴ON＝3﹣（3﹣t）＝t，∴PN＝t+t＝2t，∴OE∥QN．∴△POE∽△PNQ∴，∴，∴∵EF∥x轴，∴∠BFE＝∠BCO＝∠FBE＝30°∴EF＝BE，∴m＝BE＝OB﹣OE＝（0＜t＜3）．10．已知四边形ABCD是矩形，AB＝2，BC＝4，E为BC边上一动点且不与B、C重合，连接AE（1）如图1，过点E作EN⊥AE交CD于点N①若BE＝1，求CN的长；②将△ECN沿EN翻折，点C恰好落在边AD上，求BE的长；（2）如图2，连接BD，设BE＝m，试用含m的代数式表示S四边形CDFE ：S△ADF值．解：（1）①∵BE＝1，∴CE＝BC﹣BE＝4﹣1＝3，∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝90°，∴∠BAE+∠BEA＝90°，∵EF⊥AE，∴∠AEF＝90°，∴∠BEA+∠FEC＝90°，∴∠BAE＝∠FEC，∴△ABE∽△ECF，∴＝，即：＝，解得：CN＝；②过点E作EF⊥AD于F，如图1所示：则四边形ABEF是矩形，∴AB＝EF＝2，AF＝BE，由折叠的性质得：CE＝C′E，CN＝C′N，∠EC′N＝∠C＝90°，∴∠NC′D+∠EC′F＝90°，∵∠C′ND+∠NC′D＝90°，∴∠EC′F＝∠C′ND，∵∠D＝∠EFC′，∴△EC′F∽△NC′D，∴＝＝，∴＝＝，∵＝，∴＝，∴＝＝，∴C′D＝BE，设BE＝x，则C′D＝AF＝x，C′F＝4﹣2x，CE＝4﹣x，∴＝，＝，∴DN＝x（2﹣x），CN＝，∴CN+DN＝x（2﹣x）+＝CD＝2，解得：x＝2或x＝，∴BE＝2或BE＝；（2）∵四边形ABCD 为矩形， ∴BC ＝AD ，AD ∥BC ，∴△ADF ∽△EBF ，∴＝＝，∴＝（）2＝，∴S △ADF ＝s △BEF ，S △ABF ＝＝＝S △BEF ，S 四边形CDFE ＝S △ADF +S △ABF ﹣S △BEF ＝S △BEF +S △BEF ﹣S △BEF ＝（+﹣1）S △BEF ， ∴S 四边形CDFE ：S △ADF ＝（+﹣1）S △BEF ：s △BEF ＝1+﹣．11．如图，在平行四边形ABCD 中，AE ⊥BD 于E ．（1）若BC ＝BD ，，AD ＝15，求△ABD 的周长．（2）若∠DBC ＝45°，对角线AC 、BD 交于点O ，F 为AE 上一点，且AF ＝2EO ，求证：CF ＝AB ．（1）解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ＝BC ，∵BC ＝BD ，∴AD＝BD＝15，∵＝，设BE＝x，则AB＝x，DE＝BD﹣BE＝15﹣x，∴AE＝＝＝3x，AE2+DE2＝AD2，即：（3x）2+（15﹣x）2＝152，解得：x＝3，∴AB＝3，∴△ABD的周长＝AD+BD+AB＝15+15+3＝30+3；（2）证明：延长AE与BC交于点M，过点O作OG∥AE，分别交BC、CF于点G、H，连接EH，BF，并延长BF，与AD交于点N，连接DF，DG，如图所示：∵AE⊥BD，∴OG⊥BD，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB＝OD，OA＝OC，AB＝CD，∴BG＝DG，∵∠DBC＝45°，∴∠BDG＝45°，∴∠BGD＝90°，∵OG∥AM，OA＝OC，∴OH是△ACF的中位线，∴OH＝AF＝OE，HF＝HC，∴∠OEH＝∠OHE＝45°＝∠OBC，∴EH∥BC，∴EF＝ME，∵BE⊥MF，∴BF＝BM，∴∠MBE＝∠EBF＝45°，∴∠DNB＝∠NBG＝90°，∴四边形BGDN是正方形，∴DG＝DN＝BN＝BG，∴MG＝FN，∵AM∥OG，OA＝OC，∴MG＝CG，∴CG＝FN，在△DNF和△DGC中，，∴△DNF≌△DGC（SAS），∴DF＝DC，∠NDF＝∠GDC，∴∠FDC＝∠NDG＝90°，∴CF＝CD，∴CF＝AB．12．已知在▱ABCD中，点E，F分别为边AB，BC上的点，∠ADE＝∠BAF，DE，AF交于点M．（1）如图1，若∠ABC＝90°，求证：△AEM∽△AFB；（2）若E为AB中点．①如图2，若AF⊥BC，＝，求的值；②如图3，若∠ABC＝60°，＝n，请直接写出的值（用n的式子表示）．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC＝90°，∴四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠ABC＝90°，且∠ADE＝∠BAF，∴∠BAD﹣∠BAF＝∠ABC﹣∠BAF∴∠AED＝∠AFB，且∠BAF＝∠BAF，∴△AEM∽△AFB（2）如图2，过点E作EN⊥AF于点N，∵EN⊥AF，BF⊥AF，∴EN∥BF，∴∴AF＝2AN，BF＝2EN，∵＝，∴AD＝3BF，∴AD＝6EN，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥EN∴△MNE∽△MAD∴，∠ADE＝∠MEN，∴AM＝6MN，∴AN＝7MN，∵∠ADE＝∠MEN，∠BAF＝∠ADE，∴∠BAF＝∠MEN，且∠ANE＝∠ANE，∴△ENM∽△ANE，∴∴EN2＝MN•AN＝AN2，∵设AE＝BE＝a，EN＝b，∴BF＝2b，AD＝6b，∴b2＝（a2﹣b2）∴a＝2b∴AB＝2AE＝2a＝4b，AD＝6b，∴②如图3，过点A作AH平分∠BAD，交BC的延长线于H，过点B作BG∥AH交AF的延长线于点G，∵＝n，E为AB中点．∴AB＝nAD，AE＝BE＝AD∵∠ABC＝60°，AD∥BC，∴∠BAD＝120°，∵AH平分∠BAD，∴∠BAH＝60°＝∠ABC∴△ABH是等边三角形，∴AB＝AH＝BH＝nAD，∵BG∥AH∴∠H＝∠GBF＝60°，∴∠ABG＝120°＝∠EAD，且∠BAF＝∠ADE，∴△ABG∽△DAE，∴∴BG＝AD∵BG∥AH∴△BFG∽△HFA∴∴∴FH＝BF∵BH＝BF+FH∴nAD＝（）BF∴＝13．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＜BC，O为AC中点，点D在BO延长线上，CD＝BC，AE∥BC，CE＝CA，AE交BD于点G．（1）若∠DCE＝28°，求∠AOB的度数；（2）求证：AG＝GE；（3）设DC交GE于点M；①若AB＝3，BC＝4，求AG：GM：ME的值；②连结DE，分别记△ABG，△DGM，△DME的面积为S1，S2，S3，当AC∥DE时，S1：S2：S3＝6：1：2 （直接写出答案）．解：（1）∵CD＝BC，CE＝CA，∴∠CAE＝∠CEA，∠CBD＝∠CDB，∵AE∥BC，∴∠CAE＝∠OCB，∵∠ABC＝90°，O为AC中点，∴OB＝OC，∴∠CBD＝∠OCB＝∠CAE，∴∠ACE＝∠BCD，∴∠ACB＝∠DCE＝28°，∴∠AOB＝∠OBC+∠OCB＝56°；（2）连接CG，如图1所示：∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∵AE∥BC，∴∠OGA＝∠OBC，∠OAG＝∠OCB，∴∠OAG＝∠OGA，∴AO＝OG，∴AO＝OC，∴BO＝OG，∴四边形ABCG是平行四边形，∵∠ABC＝90°，∴四边形ABCG是矩形，∴AG＝BC，CG⊥AE，∵CE＝CA，∴AG＝GE；（3）①作MH⊥CE于H，如图2所示：∵AE∥BC，AG＝GE＝BC，∴四边形GBCE是平行四边形∴∠E＝∠OBC＝∠OCB＝∠DCE，∴MC＝ME，CE＝BG＝AC＝＝＝5，∵MH⊥CE，∴HE＝CE＝，∵cos E＝cos∠OCB＝，∴ME＝＝，∵GE＝AG＝BC＝4，∴GM＝EG﹣ME＝4﹣＝，∴AG：GM：ME＝4：：＝32：7：25；②如图3所示：连接DE．∵OA＝OC，∠ABC＝90°，∴BO＝OA＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∵AE ∥BC ，∴∠CAE ＝∠ACB ，∠AGO ＝∠OBC ，∵CA ＝CE ，∴∠CAE ＝∠CAE ，∴∠AGB ＝∠AEC ，∴AD ∥CE ，∵DE ∥AC ，∴四边形OCED 是平行四边形，∴OD ＝CE ＝CA ，∵∠OAG ＝∠OGA ，∴OA ＝OG ，∴OA ＝OC ＝OG ＝DG ，∵DG ∥EC ，∴＝＝，∴＝，设S 2＝m ，则S 3＝2m ，∴S △DGE ＝3m ，∵OG ＝GD ，∠AGO ＝∠DGE ，∠OAG ＝∠DEG ，∴△AGO ≌△EGD （AAS ），∴S △AOG ＝S △DEG ＝3m ，∵OB ＝OG ，∴S △ABG ＝2S △AOG ＝6m ，∴S 1：S 2：S 3＝6m ：m ：2m ＝6：1：2．故答案为：6：1：2．14．在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，D 是△ABC 内一点，连接AD ，BD ．在BD 左侧作Rt △BDE ，使∠BDE ＝90°，以AD 和DE 为邻边作▱ADEF ，连接CD ，DF ．（1）若AC＝BC，BD＝DE．①如图1，当B，D，F三点共线时，CD与DF之间的数量关系为DF＝CD．②如图2，当B，D，F三点不共线时，①中的结论是否仍然成立？请说明理由．（2）若BC＝2AC，BD＝2DE，＝，且E，C，F三点共线，求的值．解：（1）①如图1中，连接CF．设AC交BF于G．∵四边形AFED是平行四边形，∴AF＝DE，DE∥AF，∵BD＝DE，∴AF＝BD，∵∠BDE＝90°，∴∠EDF＝∠DFA＝90°＝∠BCG，∵∠CGB＝∠AGF，∴∠CBD＝∠CAF，∵BC＝AC，∴△BCD≌△ACF（SAS），∴∠BCD＝∠ACF，CD＝CF，∴∠BCA＝∠DCF＝90°，∴△CDF是等腰直角三角形，∴DF＝CD．故答案为DF＝CD．②结论仍然成立．理由：如图2中，连接CF．延长BD交AF的延长线于H，设AC交BH于G．∵四边形AFED是平行四边形，∴AF＝DE，DE∥AF，∵BD＝DE，∴AF＝BD，∵∠BDE＝90°，∴∠DEH＝∠DHA＝90°＝∠BCG，∵∠CGB＝∠AGH，∴∠CBD＝∠CAF，∵BC＝AC，∴△BCD≌△ACF（SAS），∴∠BCD＝∠ACF，CD＝CF，∴∠BCA＝∠DCF＝90°，∴△CDF是等腰直角三角形，∴DF＝CD．（2）如图3中，延长BD交AF于H．设BH交AC于G．∵四边形AFED是平行四边形，∴AF＝DE，DE∥AF，∵∠BDE＝90°，∴∠DEH＝∠DHA＝90°＝∠BCG，∵∠CGB＝∠AGH，∴∠CBD＝∠CAF，∵＝＝2，∴＝，∴△CBD∽△CAF，∴＝＝2，∠BCD＝∠ACF，∴∠BCA＝∠DCF＝90°，∵AD∥EF，∴∠ADC+∠DCF＝180°，∴∠ADC＝90°，∵CD：AC＝4：5，设CD＝4k，AC＝5k，则AD＝EF＝3k，∴CF＝CD＝2k，∴EC＝EF﹣CF＝k，∴DE＝AF＝＝＝k，∴＝＝．15．已知：在△ABC外分别以AB，AC为边作△AEB与△AFC．（1）如图1，△AEB与△AFC分别是以AB，AC为斜边的等腰直角三角形，连接EF．以EF 为直角边构造Rt△EFG，且EF＝FG，连接BG，CG，EC．求证：①△AEF≌△CGF．②四边形BGCE是平行四边形．（2）小明受到图1的启发做了进一步探究：如图2，在△ABC外分别以AB，AC为斜边作Rt△AEB与Rt△AFC，并使∠FAC＝∠EAB＝30°，取BC的中点D，连接DE，EF后发现，两者间存在一定的数量关系且夹角度数一定，请你帮助小明求出的值及∠DEF的度数．（3）小颖受到启发也做了探究：如图3，在△ABC外分别以AB，AC为底边作等腰三角形AEB和等腰三角形AFC，并使∠CAF+∠EAB＝90°，取BC的中点D，连接DE，EF后发现，当给定∠EAB＝α时，两者间也存在一定的数量关系且夹角度数一定，若AE＝m，AB＝n，请你帮助小颖用含m，n的代数式直接写出的值，并用含α的代数式直接表示∠DEF的度数．（1）证明：①如图1中，∵△EFC与△AFC都是等腰直角三角形，∴FA＝FC，FE＝FG，∠AFC＝∠EFG＝90°，∴∠AFE＝∠CFG，∴△AFE≌△CFG（SAS）．②∵△AFE≌△CFG，∴AE＝CG，∠AEF＝∠CGF，∵△AEB是等腰直角三角形，∴AE＝BE，∠BEA＝90°，∴CG＝BE，∵△EFG是等腰直角三角形，∴∠FEG＝∠FGE＝45°，∴∠AEF+∠BEG＝45°，∵∠CGE+∠CGF＝45°，∴∠BEG＝∠CGE，∴BE∥CG，∴四边形BECG是平行四边形．（2）解：如图2中，延长ED到G，使得DG＝ED，连接CG，FG．∵点D是BC的中点，∴BD＝CD，∵∠EDB＝∠GDC，∴EB＝GC，∠EBD＝∠GCD，在Rt△AEB与Rt△AFC中，∵∠EAB＝∠FAC＝30°，∴＝，＝，∴＝，∵∠EBD＝∠2+60°，∴∠DCG＝∠2+60°，∴∠GCF＝360°﹣60°﹣（∠2+60°）﹣∠3＝360°﹣120°﹣（∠2+∠3）＝360°﹣120°﹣（180°﹣∠1）＝60°+∠1，∵∠EAF＝30°+∠1+30°＝60°+∠1，∴∠GCF＝∠EAF，∴△CGF∽△AEF，∴＝＝，∠CFG＝∠AFE，∴∠EFG＝∠CFG+∠EFC＝∠AFE+∠EFC＝90°，∴tan∠DEF＝＝，∴∠DEF＝30°，∴FG＝EG，∵ED＝EG，∴ED＝FG，∴＝．（3）如图3中，延长ED到G，使得DG＝ED，连接CG，FG．作EH⊥AB于H，连接FD．∵BD＝DC，∠BDE＝∠CDG，DE＝DG，∴△CDG≌△BDE（SAS），∴CG＝BE＝AE，∠DCG＝∠DBE＝α+∠ABC，∵∠GCF＝360°﹣∠DCG﹣∠ACB﹣∠ACF＝360°﹣（α+∠ABC）﹣∠ACB﹣（90°﹣α）＝270°﹣（∠ABC+∠ACB）＝270°﹣（180°﹣∠BAC）＝90°+∠BAC＝∠EAF，∴△EAF≌△GCF（SAS），∴EF＝GF，∠AFE＝∠CFG，∴∠AFC＝∠EFC，∴∠DEF＝∠CAF＝90°﹣α，∵∠AEH＝90°﹣α，∴∠AEH＝∠DEF，∵AE＝m，AH＝AB＝n，∴EH＝＝＝，∵DE＝DG，EF＝GF，∴DF⊥EG，cos∠DEF＝cos∠AEH＝＝＝．16．在矩形ABCD中，G为AD上一点，连接BG，CG，过作CE⊥BG于点E，连接ED交GC于点F．（1）如图1，若点G为AD的中点，则线段BG与CG有何数量关系？请说理由．（2）如图2，若点E恰好为BG的中点，且AB＝3，AG＝k（0＜k＜3）求的值（用含k 的代数式表示）；（3）在（2）有条件下，若M、N分别为GC、EC上的任意两点，连接NF、NM，当k＝时，求NF+NM的最小值．解：（1）结论：GB＝GC．理由：∵四边形ABCD是矩形，∵AB＝DC，∠A＝∠CDG＝90°，∵GA＝GD，∴△BAG≌△CDG（SAS），∴BG＝CG．（2）解：在矩形ABCD中，∵∠A＝∠ABC＝90°，∵CE⊥BG，∴∠CEB＝90°，∴∠A＝∠CEB，∴∠AGB+∠ABG＝∠ABG+∠GBC＝90°，∴∠AGB＝∠GBC，∴△ABG∽△ECB；∴＝，∵BG＝，E为BG的中点，∴BE＝，∴BC＝，如图1，过G作GH⊥GD交DE于H∴GD＝BC﹣AG＝，∵∠BEC＝∠ADC＝90°，∴G，E．C，D四点共圆，∴∠GDH＝∠GCE＝∠BCE＝∠ABG，∴△AGB∽△GDH，∴＝，∴GH＝，∴＝＝，∴＝＝；（3）当k＝时，＝，如图2，过F作FJ⊥BC于J交CE于N，反向延长交AD于H，则FH⊥AD，过N作NM⊥PC于M，∴NF+NM的最小值即为FJ的长，∴＝＝，∴＝，∵HJ＝CD＝AB＝3，∴FJ＝，即NF+NM的最小值是．17．如图1，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点D与原点O重合，AD，CD分别在x轴，y轴上，且AD＝8，CD＝6．将矩形ABCD绕点O按顺时针方向旋转a度得到矩形A′B′C′D，此时A′D与直线BC相交于点P．（1）当a＝60°时，的值是．（2）如图2，当矩形A'B′C′D的顶点B'落在y轴正半轴时，求的值；（3）如图3，当矩形A'B′C′D的顶点B'落在直线BC上时，求△OPB′的面积．解：（1）∵a＝60°，∴∠POC＝30°，∴PC＝OC•tan∠POC＝6×＝2，则＝＝，故答案为：；（2）∵A′O∥B′C'，∠POC＝∠C′B′O，又∠PCO＝∠B′C′O＝90°，∴△PCO∽△OC′B′，∴＝，即＝，解得，PC＝，∴＝＝；（3）由旋转可知∠B′A′O＝∠BAO＝90°，A′B'＝OC＝6，在△OPC和△B′PA′中，，∴△OPC≌△B′PA′（AAS），∴PO＝PB′，设PB′＝m，则OP＝m，PC＝8﹣m，在Rt△OCP中，OC2+PC2＝PO2，即m2＝（8﹣m）2+62，解得，m＝∴△OPB′的面积＝PB′•OC＝××6＝．18．如图，在矩形ABCD中，BC＝1，∠CBD＝60°，点E是AB边上一动点（不与点A，B重合），连接DE，过点D作DF⊥DE交BC的延长线于点F，连接EF交CD于点G（1）求证：△ADE∽△CDF；（2）设AE的长为x，△DEF的面积为y．求y关于x的函数关系式；（3）当△BEF的面积S取得最大值时，连接BG，请判断此时四边形BGDE的形状，并说明理由．（1）证明：在矩形ABCD中，∵∠A＝∠ADC＝∠DCB＝90°，∴∠A＝∠DCF＝90°，∵DF⊥DE，∴∠A＝∠EDF＝90°，∴∠ADE＝∠CDF，∴△ADE∽△CDF；（2）解：∵BC＝1，∠CBD＝60°，∠DCB＝90°，∴CD＝．∵△ADE∽△CDF，∴＝＝＝＝，即DF＝DE．在Rt△ADE中，DE2＝AD2+AE2＝1+x2．则S＝DF•DE＝DE2＝（1+x2）＝x2+；△DEF（3）解：当△BEF的面积S取得最大值时，四边形BGDE是菱形，理由如下：由（2）知，CD＝．则在矩形ABCD中，AD＝BC＝1，AB＝CD＝．∵AE＝x，∴BE＝﹣x．∵△ADE∽△CDF，∴＝＝．∴CF＝x．∴S＝＝（﹣x）（1+x）＝﹣（x﹣）2+．∴当x＝时，S有最大值．此时BE＝，CF＝1，BF＝2．∵CG∥BE，∴△CFG∽△BFE，∴＝．∴CG＝．∴DG＝．∴BE＝DG，且BE∥DG．∴四边形BGDE是平行四边形．又∵BE＝BG．∴平行四边形BGDE是菱形．19．如图l，在四边形ABCD中，∠DAB被对角线AC平分，且AC2＝AB•AD，我们称该四边形为“可分四边形”∠DAB称为“可分角”．（1）如图2，四边形ABCD为“可分四边形”，∠DAB为“可分角”，求证：△DAC∽△CAB．（2）如图2，四边形ABCD为“可分四边形”，∠DAB为“可分角”，如果∠DCB＝∠DAB，则∠DAB＝120°．（3）现有四边形ABCD为“可分四边形”，∠DAB为“可分角”，且AC＝4，BC＝2，∠D ＝90°，则AD＝．（1）证明：∵四边形ABCD为“可分四边形”，∠DAB为“可分角”，∴AC2＝AB•AD，∴，∵∠DAB为“可分角”，∴∠CAD＝∠BAC，∴△DAC∽△CAB；（2）解：如图所示：∵AC平分∠DAB，∴∠1＝∠2，∵AC2＝AB•AD，∴AD：AC＝AC：AB，∴△ADC∽△ACB，∴∠D＝∠4，∵∠DCB＝∠DAB，∴∠DCB＝∠3+∠4＝2∠1，∵∠1+∠D+∠3＝∠1+∠4+∠3＝180°，∴∠1+2∠1＝180°，解得：∠1＝60°，∴∠DAB＝120°；故答案为：120；（3）解：∵四边形ABCD为“可分四边形”，∠DAB为“可分角”，∴AC2＝AB•AD，∠DAC＝∠CAB，∴AD：AC＝AC：AB，∴△ADC∽△ACB，∴∠D＝∠ACB＝90°，∴AB＝＝＝2，∴AD＝＝＝．故答案为：20．如图1，△ABC为等边三角形，AB＝6，直角三角板DEF中∠F＝90°，∠FDE＝60°，点D在边BC上运动，边DF始终经过点A，DE交AC于点G．（1）求证：△ABD∽△DCG；（2）设BD＝x，若，求x的值；（3）如图2，当D运动到BC中点时，点P为AD上一动点，连接CP，将线段CP绕点C 逆时针旋转60°得到CP'，DP'．①求∠CBP'的度数；②求DP'的最小值．解：（1）∵三角形ABC是等边三角形，∴∠B＝∠C＝60°，∵∠ADC＝∠B+∠BAD，∠ADC＝∠ADG+∠CDG，∴∠B+∠BAD＝∠ADG+∠CDG，∵∠ADG＝60°，∴∠BAD＝∠CDG，∵∠B＝∠C，∴△ABD∽△DCG．（2）由（1）知△ABD∽△DCG，∴，∵BD＝x，CD＝6﹣x，AB＝6，CG＝，代入得：，解得：x＝2或4．（3）①由旋转知∠PCP′＝60°，CP＝CP′∵△ABC是等边三角形．∴AC＝BC，∠ACB＝60°．∴∠ACP＝∠BCP′，∴△ACP≌△BCP′（SAS），∠CBP′＝∠CAD＝30°．②如图3，根据“垂线段最短”可知，当DP′⊥BP′时，DP′最短．∵∠CBP′＝30°，∴DP′＝BD＝1.5．。

2020-2021中考数学复习《相似》专项综合练习含答案一、相似1．已知线段a，b，c满足，且a＋2b＋c＝26.（1）判断a，2b，c，b2是否成比例；（2）若实数x为a，b的比例中项，求x的值．【答案】（1）解：设，则a=3k，b=2k，c=6k，又∵a+2b+c=26，∴3k+2×2k+6k=26，解得k=2，∴a=6，b=4，c=12；∴2b=8，b2=16∵a=6，2b=8，c=12，b2=16∴2bc=96，ab2=6×16=96∴2bc=ab2a，2b，c，b2是成比例的线段。

（2）解：∵x是a、b的比例中项，∴x2=6ab，∴x2=6×4×6，∴x=12．【解析】【分析】（1）设已知比例式的值为k，可得出a=3k，b=2k，c=6k，再代入a+2b+c=26，建立关于k的方程，求出kl的值，再求出2b、b2,然后利用成比例线段的定义，可判断a，2b，c，b2是否成比例。

（2）根据实数x为a，b的比例中项，可得出x2=ab，建立关于x的方程，求出x的值。

2．已知：如图，在△ABC中，AB=BC=10，以AB为直径作⊙O分别交AC，BC于点D，E，连接DE和DB，过点E作EF⊥AB，垂足为F，交BD于点P．（1）求证：AD=DE；（2）若CE=2，求线段CD的长；（3）在（2）的条件下，求△DPE的面积．【答案】（1）解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，即BD⊥AC∵AB=BC，∴△ABD≌CBD∴∠ABD=∠CBD在⊙O中，AD与DE分别是∠ABD与∠CBD所对的弦∴AD=DE；（2）解：∵四边形ABED内接于⊙O，∴∠CED=∠CAB，∵∠C=∠C，∴△CED∽△CAB，∴，∵AB=BC=10，CE=2，D是AC的中点，∴CD= ；（3）解：延长EF交⊙O于M，在Rt△ABD中，AD= ，AB=10，∴BD=3 ，∵EM⊥AB，AB是⊙O的直径，∴，∴∠BEP=∠EDB，∴△BPE∽△BED，∴，∴BP= ，∴DP=BD-BP= ，∴S△DPE：S△BPE=DP：BP=13：32，∵S△BCD= × ×3 =15，S△BDE：S△BCD=BE：BC=4：5，∴S△BDE=12，∴S△DPE= ．【解析】【分析】（1）根据已知条件AB是⊙O的直径得出∠ADB=90°，再根据等腰三角形的三线合一的性质即可得出结论。

2020-2021中考数学复习《相似》专项综合练习及详细答案一、相似1．已知直线y=kx+b与抛物线y=ax2（a＞0）相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴正半轴相交于点C，过点A作AD⊥x轴，垂足为D．（1）若∠AOB=60°，AB∥x轴，AB=2，求a的值；（2）若∠AOB=90°，点A的横坐标为﹣4，AC=4BC，求点B的坐标；（3）延长AD、BO相交于点E，求证：DE=CO．【答案】（1）解：如图1，∵抛物线y=ax2的对称轴是y轴，且AB∥x轴，∴A与B是对称点，O是抛物线的顶点，∴OA=OB，∵∠AOB=60°，∴△AOB是等边三角形，∵AB=2，AB⊥OC，∴AC=BC=1，∠BOC=30°，∴OC= ，∴A（-1，），把A（-1，）代入抛物线y=ax2（a＞0）中得：a= ；（2）解：如图2，过B作BE⊥x轴于E，过A作AG⊥BE，交BE延长线于点G，交y轴于F，∵CF∥BG，∴，∵AC=4BC，∴ =4，∴AF=4FG，∵A的横坐标为-4，∴B的横坐标为1，∴A（-4，16a），B（1，a），∵∠AOB=90°，∴∠AOD+∠BOE=90°，∵∠AOD+∠DAO=90°，∴∠BOE=∠DAO，∵∠ADO=∠OEB=90°，∴△ADO∽△OEB，∴，∴，∴16a2=4，a=± ，∵a＞0，∴a= ；∴B（1，）；（3）解：如图3，设AC=nBC，由（2）同理可知：A的横坐标是B的横坐标的n倍，则设B（m，am2），则A（-mn，am2n2），∴AD=am2n2，过B作BF⊥x轴于F，∴DE∥BF，∴△BOF∽△EOD，∴，∴，∴，DE=am2n，∴，∵OC∥AE，∴△BCO∽△BAE，∴，∴，∴CO= =am2n，∴DE=CO．【解析】【分析】（1）抛物线y=ax2关于y轴对称，根据AB∥x轴，得出A与B是对称点，可知AC=BC=1，由∠AOB=60°，可证得△AOB是等边三角形，利用解直角三角形求出OC的长，就可得出点A的坐标，利用待定系数法就可求出a的值。

中考三轮复习：《相似综合训练》1．在△ABC中，点D为BC上一点．（1）如图1，若∠BAD＝∠CAD，求证：＝；（2）如图2，若∠BAC＝75°，∠BAD＝30°，AC＝AB，求的值；的值．（3）如图3，若∠BAC＝90°，tan∠CAD＝2，＝，AB＝4，求S△ABC解：（1）如图1，过B点作BM⊥AD，CN⊥AD，垂足M，N，∴∠BMD＝∠CND＝90°，∵∠BDM＝∠CDN，∴△BDM∽△CDN，∴，∵∠AMB＝∠ANC＝90°，∠BAD＝∠CAD，∴△ABM∽△ACN，∴，∴；（2）如图2，过B点作BM⊥AD，CN⊥AD，垂足M，N，∴∠ANC＝∠AMB＝90°，设BM＝x，在Rt△ABM中，∠BAD＝30°，∴AB＝2BM＝2x，∵AC＝AB，∴AC＝x．在Rt△ANC中，∠CAN＝∠BAC﹣∠BAD＝45°，∴∠ACN＝45°＝∠CAN，∴AN＝CN＝2x，∵∠BMD＝∠CND＝90°，∵∠BDM＝∠CDN，∴△BDM∽△CDN，∴＝；（3）如图3，过B点作BM⊥AD，CN⊥AD，垂足M，N，∴∠ANC＝∠AMB＝90°，∴∠BAM+∠ABM＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠BAM+∠CAD＝90°，∴∠ABM＝∠CAD，∴tan∠ABM＝tan∠CAD＝2，在Rt△ABM中，tan∠ABM＝＝2，∴AM＝2BM，根据勾股定理得，BM2+AM2＝AB2，∴BM2+4BM2＝80，∴BM＝4，∴AM＝8．根据勾股定理得，AB＝＝4，同（1）的方法得，△BDM∽△CDN，∴＝＝，∴CN＝BM＝6，在Rt△ACN中，tan∠CAD＝＝2，∴AN＝CN＝3，根据勾股定理得，AC＝，∴S＝AB•AC＝××3＝30△ABC2．已知，如图①，直角梯形ABCD，AB∥CD，∠A＝90°，DC＝6，AB＝12，BC＝10．Rt△EFG （∠EGF＝90°）的边EF与BC完全重合，FG与BA在同一直线上．现将Rt△EFG以3cm/s 的速度水平向左作匀速平移（如图②），EF、EG分别交AC于点H、Q，同时点M以cm/s 的速度从点B出发沿BC向点C作匀速运动，连接FM，当点E运动到点D时，Rt△EFG和点M都停止运动．设点M运动的时间为t（s）（1）当点Q是AC的中点时，求t的值；（2）判断四边形CHFM的形状，并说明理由；（3）如图③，连接HM，设四边形ABMH的面积为s，求s与t的函数关系式及s的最小值．解：（1）∵点Q是AC的中点时，得出E，G分别在DC，AG中点，即EC＝3，∴t＝1；（2）平行四边形理由：∵Rt△EFG以3cm/s的速度水平向左作匀速平移，点M以cm/s的速度从点B出发沿BC 向点C作匀速运动，∴当运动t秒时，BF＝3t，CE＝t，∴＝＝，＝＝，∴＝，∴MF∥AC，∵EC＝BF（平移的性质），AB∥CD，∴四边形CEFB是平行四边形，∴EF∥BC，∴HF∥CM，CH∥MF，∴四边形CHFM是平行四边形；（3）作CR⊥AB，NM⊥AB，FZ⊥BM，HW⊥BC，∴MN∥CR，∴＝，∵DC＝6，AB＝12，BC＝10，将Rt△EFG以3cm/s的速度水平向左作匀速平移（如图②），EF、EG分别交AC于点H、Q，同时点M以cm/s的速度从点B出发沿BC向点C作匀速运动，∴＝，∴MN ＝2t ，∵MN ×FB ＝FZ ×MB ，∴2t ×3t ＝FZ ×t ，∴FZ ＝t ， ∴HW ＝t ，∴S ＝S △ABC ﹣S △HMC ，＝48﹣×t ×（10﹣t ），＝3t 2﹣12t +48＝3（t ﹣2）2+36，∴S 最小值＝36．3．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，（1）图1中共有 3 对相似三角形，写出来分别为 △ABC ∽△ACD ，△ABC ∽△CBD ，△ACD ∽△CBD （不需证明）；（2）已知AB＝10，AC＝8，请你求出CD的长；（3）在（2）的情况下，如果以AB为x轴，CD为y轴，点D为坐标原点O，建立直角坐标系（如图2），若点P从C点出发，以每秒1个单位的速度沿线段CB运动，点Q出B 点出发，以每秒1个单位的速度沿线段BA运动，其中一点最先到达线段的端点时，两点即刻同时停止运动；设运动时间为t秒，是否存在点P，使以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）图1中共有3对相似三角形，分别为：△ABC∽△ACD，△ABC∽△CBD，△ACD ∽△CBD．故答案为3，△ABC∽△ACD，△ABC∽△CBD，△ACD∽△CBD；（2）如图1，在△ABC中，∵∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝8，∴BC＝＝6．∵△ABC的面积＝AB•CD＝AC•BC，∴CD＝＝＝4.8；（3）存在点P，使以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，理由如下：在△BOC中，∵∠COB＝90°，BC＝6，OC＝4.8，∴OB＝＝3.6．分两种情况：①当∠BQP＝90°时，如图2①，此时△PQB∽△ACB，∴＝，∴＝，解得t＝2.25，即BQ＝CP＝2.25，∴BP＝BC﹣CP＝6﹣2.25＝3.75．在△BPQ中，由勾股定理，得PQ＝＝＝3，∴点P的坐标为（1.35，3）；②当∠BPQ＝90°时，如图2②，此时△QPB∽△ACB，∴＝，∴＝，解得t＝3.75，即BQ＝CP＝3.75，BP＝BC﹣CP＝6﹣3.75＝2.25．过点P作PE⊥x轴于点E．∵△QPB∽△ACB，∴＝，即＝，∴PE＝1.8．在△BPE中，BE＝＝＝1.35，∴OE＝OB﹣BE＝3.6﹣1.35＝2.25，∴点P的坐标为（2.25，1.8）．综上可得，点P的坐标为（1.35，3）或（2.25，1.8）．4．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝8cm，AC＝6cm．点P从B出发沿BA向A运动，速度为每秒1cm，点E是点B以P为对称中心的对称点，点P运动的同时，点Q从A出发沿AC向C运动，速度为每秒2cm，当点Q到达顶点C时，P，Q同时停止运动，设P，Q两点运动时间为t秒．（1）当t为何值时，PQ∥BC？（2）设四边形PQCB的面积为y，求y关于t的函数关系式；（3）四边形PQCB面积能否是△ABC面积的？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由；（4）当t为何值时，△AEQ为等腰三角形？（直接写出结果）解：（1）Rt△ABC中，∵∠C＝90°，BC＝8cm，AC＝6cm，∴AB＝10cm．∵BP＝t，AQ＝2t，∴AP＝AB﹣BP＝10﹣t．∵PQ∥BC，∴＝，∴＝，解得t＝；（2）∵S四边形PQCB ＝S△ACB﹣S△APQ＝AC•BC﹣AP•AQ•sin A∴y＝×6×8﹣×（10﹣t）•2t•＝24﹣t（10﹣t）＝t 2﹣8t +24，即y 关于t 的函数关系式为y ＝t 2﹣8t +24；（3）四边形PQCB 面积能是△ABC 面积的，理由如下： 由题意，得t 2﹣8t +24＝×24，整理，得t 2﹣10t +12＝0，解得t 1＝5﹣，t 2＝5+（不合题意舍去）．故四边形PQCB 面积能是△ABC 面积的，此时t 的值为5﹣；（4）△AEQ 为等腰三角形时，分三种情况讨论：①如果AE ＝AQ ，那么10﹣2t ＝2t ，解得t ＝；②如果EA ＝EQ ，那么（10﹣2t ）×＝t ，解得t ＝； ③如果QA ＝QE ，那么2t ×＝5﹣t ，解得t ＝． 故当t 为秒秒秒时，△AEQ 为等腰三角形．5．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，tan∠BAC＝．点D在边AC上（不与A，C重合），连结BD，F为BD中点．（1）若过点D作DE⊥AB于E，连结CF、EF、CE，如图1．设CF＝kEF，则k＝ 1 ；（2）若将图1中的△ADE绕点A旋转，使得D、E、B三点共线，点F仍为BD中点，如图2．求证：BE﹣DE＝2CF；（3）若BC＝6，点D在边AC的三等分点处，将线段AD绕点A旋转，点F始终为BD中点，求线段CF长度的取值范围．解：（1）∵DE⊥AB于E，F为BD中点．∴，，∴CF＝EF．∵CF＝kEF，∴k＝1；（2）如图2，过点C作CE的垂线交BD于点G，设BD与AC的交点为Q．由题意，tan∠BAC＝，∵D、E、B三点共线，∴AE⊥DB．∵∠BQC＝∠AQD，∠ACB＝90°，∴∠QBC＝∠EAQ．∵∠ECA+∠ACG＝90°，∠BCG+∠ACG＝90°，∴∠ECA＝∠BCG．∴△BCG∽△ACE．∴．∴GB＝DE．∵F是BD中点，∴F是EG中点．在Rt△ECG中，，∴BE﹣DE＝EG＝2CF；（3）情况1：如图，当AD＝时，取AB的中点M，连结MF和CM，∵∠ACB＝90°，tan∠BAC＝，且BC＝6，∴AC＝12，AB＝．∵M为AB中点，∴CM＝，∵AD＝，∴AD＝4．∵M为AB中点，F为BD中点，∴当且仅当M、F、C三点共线且M在线段CF上时CF最大，此时CF＝CM+FM＝．同理最小值为﹣2．情况2：如图，当AD＝时，取AB的中点M，连结MF和CM，类似于情况1，可知CF的最大值为．综合情况1与情况2，可知当点D在靠近点C的三等分点时，线段CF的长度取得最大值为．同理最小值为﹣4．6．如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝，点O是AB的中点，点P在AB的延长线上，且BP＝3．一动点E从O点出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA匀速运动，到达A点后，立即以原速度沿AO返回；另一动点F从P点出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线PA 匀速运动，点E、F同时出发，当两点相遇时停止运动，在点E、F的运动过程中，以EF 为边作等边△EFG，使△EFG和矩形ABCD在射线PA的同侧．设运动的时间为t秒（t≥0）．（1）当等边△EFG的边FG恰好经过点C时，求运动时间t的值；（2）在整个运动过程中，设等边△EFG和矩形ABCD重叠部分的面积为S，请直接写出S 与t之间的函数关系式和相应的自变量t的取值范围；（3）设EG与矩形ABCD的对角线AC的交点为H，是否存在这样的t，使△AOH是等腰三角形？若存在，求出对应的t的值；若不存在，请说明理由．解：如图1（1），当边FG恰好经过点C时，∵∠CFB＝60°，∴BF＝3﹣t，在Rt△CBF中，∵BC＝2，tan∠CFB＝，∴tan60＝，解得BF＝2，即3﹣t＝2，∴t＝1，当边FG恰好经过点C时，t＝1；（2）如图2，过点M作MN⊥AB于N，当0≤t＜1时，∵tan60°＝＝＝，∴EN＝2，∵EB＝3+t，NB＝3+t﹣2＝1+t，∴MC＝1+t，∴S＝（MC+EB）•BC＝2t+4；如图3，当1≤t＜3时，∵MN＝2EF＝OP＝6，GH＝6×＝3，∴＝，∴MK＝2，∵EB＝3+t，BF＝3﹣t，BQ＝t﹣，∴S ＝S 梯形MKFE ﹣S △QBF ＝﹣t 2+3t +； 如图4，当3≤t ＜4时，∵MN ＝2，EF ＝6﹣2（t ﹣3）＝12﹣2t ，∴GH ＝（12﹣2t ）×＝6﹣t ，∴＝， ∴MK ＝8﹣2t ，∴S ＝﹣4t +20；当4≤t ＜6时，∵EF ＝12﹣2t ，∴高为：EF sin60°＝EF ， ∴S ＝t 2﹣12t +36；（3）存在．在R t △ABC 中，tan，∴∠CAB ＝30° ∵∠HEO ＝60°，∴∠HAE ＝∠AHE 30°，∴AE ＝HE ＝3﹣t 或t ﹣3，如图5，当AH ＝AO ＝3时，过点E 作EM ⊥AH 与M ，则AM ＝AH ＝，在R t △AME 中，cos ∠MAE ＝即cos30°＝， ∴AE ＝， 即3﹣t ＝或t ﹣3＝； ∴t ＝3﹣或t ＝3+； 如图6，当AH ＝HO 时，∠HOA ＝∠HAO ＝30°，∵∠HEO ＝60°，∴∠EHO ＝90°，EO ＝2HE ＝2AE ，∵AE+2AE＝3，∴AE＝1，即3﹣t＝1或t﹣3＝1，∴t＝2或t＝4；如图7，当OH＝OA＝时，∠HOB＝∠OAH＝30°，∴∠HOB＝60°＝∠HEB，∴点E和点O重合，∴AE＝AO＝3，当E刚开始时，3﹣t＝3，当E返回时t﹣3＝3，∴t＝0，t＝6（舍去），综上所述当t＝3﹣，t＝3+，t＝2，t＝4，t＝0时，△AOH是等腰三角形．7．在△ABC中，点D在直线AB上，在直线BC上取一点E，连接AE，DE，使得AE＝DE，DE 交AC于点G，过点D作DF∥AC，交直线BC于点F，∠EAC＝∠DEF．（1）当点E在BC的延长线上，D为AB的中点时，如图1所示．①求证：∠EGC＝∠AEC；②若DF＝3，求BE的长度；（2）当点E在BC上，点D在AB的延长线上时，如图2所示，若CE＝10，5EG＝2DE，求AG的长度．解：（1）如图1，①证明：∵DF∥AC，∴∠DFE＝∠ACE．在△ACE和△EFD中，，∴△ACE≌△EFD（AAS），∴∠AEC＝∠EDF．∵DF∥AC，∴∠EGC＝∠EDF，∴∠EGC＝∠AEC；②∵DF∥AC，∴△BDF∽△BAC，∴＝＝．∵D为AB的中点，∴＝，∴BF＝BC，DF＝AC．∴BF＝CF，AC＝2DF＝6，∵△ACE≌△EFD，∴AC＝EF＝6，CE＝FD＝3．∴BF＝FC＝EF﹣CE＝3，∴BE＝9；（2）∵DF∥AC，∴∠ACE＝∠EFD．在△ACE和△EFD中，，∴△ACE≌△EFD（AAS），∴CE＝FD＝10，AC＝EF．∵DF∥AC，∴△DEF∽△GEC，∴＝＝．∵5EG＝2DE，CE＝FD＝10，∴EF＝25，GC＝4，∴AG＝AC﹣GC＝EF﹣GC＝25﹣4＝21．8．已知矩形ABCD的一条边AD＝8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处．（1）如图1，已知折痕与边BC交于点O，连接AP、OP、OA．①求证：△OCP∽△PDA；②若△OCP与△PDA的面积比为1：4，求边AB的长．（2）若图1中的点P恰好是CD边的中点，求∠OAB的度数；（3）如图2，在（1）的条件下，擦去折痕AO，线段OP，连结BP，动点M在线段AP⊥（点M与点F、A不重合），动点N在线段AB的延长线上，且BN＝PM，连结MN交PB于点F，作ME⊥BP于点E．试问当点M、N在移动过程中，线段EF的长度是否发生变化？若变化，说明理由；说明理由；若不变，求出线段EF的长度．解：（1）①由折叠的性质可知，∠APO＝∠B＝90°，∴∠APD+∠OPC＝90°，又∠POC+∠OPC＝90°，∴∠APD＝∠POC，又∠D＝∠C＝90°，∴△OCP∽△PDA；②∵△OCP与△PDA的面积比为1：4，∴△OCP与△PDA的相似比为1：2，∴PC＝AD＝4，设AB＝x，则DC＝x，AP＝x，DP＝x﹣4，在Rt△APD中，AP2＝AD2+PD2，即x2＝82+（x﹣4）2，解得，x＝10，即AB＝10；（2）∵点P是CD边的中点，∴DP＝DC，又AP＝AB＝CD，∴DP＝AP，∴∠DAP＝30°，由折叠的性质可知，∠OAB＝∠OAP＝30°；（3）EF的长度不变．作MQ∥AB交PB于Q，∴∠MQP＝∠ABP，由折叠的性质可知，∠APB＝∠ABP，∴∠MQP＝∠APB，∴MP＝MQ，又BN＝PM，∴MQ＝BN，∵MQ∥AB，∴＝，∴QF＝FB，∵MP＝MQ，ME⊥BP，∴PE＝QE，∴EF＝PB，由（1）得，PC＝4，BC＝8，∴PB＝＝4，∴EF＝2．9．（1）如图1中，△ABC为正三角形，点E为AB边上任一点，以CE为边作正△DEC，连结AD．求的值．（2）如图2中，△ABC为等腰直角三角形，∠A＝90°，点E为腰AB上任意一点，以CE 为斜边作等腰直角△CDE，连结AD．求的值；（3）如图3中，△ABC为任意等腰三角形，点E为腰AB上任意一点，以CE为底边作等腰△DEC，使△DEC∽△ABC，并且BC＝AC．连结AD，直接写出的值．解：（1）∵△ABC和△CDE都是正三角形，∴∠B＝∠ACB＝∠DCE＝60°，AB＝AC，CE＝DC，∵∠ECB＝∠ACB﹣∠ACE＝60°﹣∠ACE，∠DCA＝∠DCE﹣∠ACE＝60°﹣∠ACE，∴∠ECB＝∠DCA，在△ECB和△DCA中，，∴△ECB≌△DCA（SAS），∴BE＝AD，则＝1；（2 ）∵等腰Rt△ABC和等腰Rt△CDE中，∴∠B＝∠ACB＝∠DCE＝45°，CE＝DC，BC＝AC，∴＝＝，∵∠ECB＝∠ACB﹣∠ACE＝45°﹣∠ACE，∠ACD＝∠DCE﹣∠ACE＝45°﹣∠ACE，∴∠ECB＝∠DCA，∴△ECB∽△DCA，∴＝＝；（3）依此类推，当BC＝AC时，＝，理由为：∵等腰△ABC和等腰△CDE中，∴∠B＝∠ACB＝∠DCE，CE＝DC，BC＝AC，∴＝＝，∵∠ECB＝∠ACB﹣∠ACE，∠ACD＝∠DCE﹣∠ACE，∴∠ECB＝∠DCA，∴△ECB∽△DCA，∴＝＝．10．已知AC、EC分别为四边形ABCD和EFCG的对角线，点E在△ABC内，∠CAE+∠CBE＝90°（1）如图1，当四边形ABCD和EFCG均为正方形时，连接BF①求证：△CAE∽△CBF；②若BE＝1，AE＝2，求CE的长；（2）如图2，当四边形ABCD和EFCG均为矩形，且＝＝k时．若BE＝1，AE＝2，CE＝3，则k＝．（1）证明：①∵四边形ABCD和EFCG均为正方形，∴＝＝，∵∠ACB＝∠ECF＝45°，∴∠ACE＝∠BCF，∴△CAE∽△CBF；②∵△CAE∽△CBF，∴∠CBF＝∠CAE，＝，∵AE＝2，∴BF＝，∵∠CAE+∠CBE＝90°，∴∠CBF+∠CBE＝90°，在Rt△EBF中，EF＝＝，∵四边形EFCG为正方形，∴CE＝EF＝；（2）连接BF，∵＝，∠ABC＝∠EFC＝90°，∴Rt△ABC∽Rt△CEF，∴＝，又∠ACB＝∠ECF，∴∠ACE＝∠BCF，∴△ACE∽△BCF，∴＝＝，∵AE＝2，∴BF＝，∵∠EBF＝90°，∴EF2＝BE2+BF2＝1+，∵CE＝EF，∴CE2＝（1+）（1+）＝9，解得k＝或k＝﹣（不合题意，舍去），故答案为：．11．已知点I为△ABC的内心．（1）如图1，AI交BC于点D，若AB＝AC＝6，BC＝4，求AI的长；（2）如图2，过点I作直线MN交AB于点M，交AC于点N．①若MN⊥AI，求证：MI2＝BM•CN；②如图3，AI交BC于点D，若∠BAC＝60°，AI＝4，请直接写出+的值．解：（1）如图1，过I作IE⊥AB于E，∵点I为△ABC的内心，∴AI平分∠BAC，BI平分∠ABD，又∵AB＝AC＝6，BC＝4，∴AD⊥BC，BD＝2，∴Rt△ABD中，AD＝＝＝4，∵∠BEI＝∠BDI，∠EBI＝∠DBI，BI＝BI，∴△BEI≌△BDI，∴BD＝BE＝2，DI＝EI，∴AE＝6﹣2＝4，设DI＝EI＝x，则AI＝4﹣x，∵Rt△AEI中，AE2+EI2＝AI2，∴42+x2＝（4﹣x）2，解得x＝，∴DI＝，∴AI＝AD﹣DI＝4﹣＝3；（2）①如图2，连接BI、CI，∵I为△ABC的内心，∴∠MAI＝∠NAI，∵AI⊥MN，∴∠AIN＝∠AIM＝90°，∴△AMI≌△ANI，∴∠AMN＝∠ANM，MI＝NI，∴∠BMI＝∠CNI，设∠BAI＝∠CAI＝α，∠ACI＝∠BCI＝β，则△ACI中，∠NIC＝90°﹣α﹣β，∵∠ABC＝180°﹣2α﹣2β，BI平分∠ABC，∴∠MBI＝90°﹣α﹣β，∴∠MBI＝∠NIC，∴△BMI∽△INC，∴＝，∴NI•MI＝BM•CN，∵NI＝MI，∴MI2＝BM•CN；②如图3，过点N作NG∥AD，交MA的延长线于点G，∵AI平分∠BAC，∠BAC＝60°，∴∠BAD＝∠CAD＝30°，∴∠ANG＝∠AGN＝30°，∴AN＝AG，NG＝AN，∵AI∥NG，∴△MAI∽△MGN，∴＝，即＝，∴＝，即+＝．12．△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，且∠ADE＝∠C＝90°，AC＞AD．（1）如图1，当点D在AC边上时，求证：＝；（2）当△ADE绕A旋转到如图2的位置时（45°＜∠CAD＜90°）．＝是否成立？若成立，请给出证明；若不成立．请说明理由．（3）当AC＝10，AD＝2且△ADE绕A旋转到∠DEB＝90°时．求线段CD的长．解：（1）∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，点D在AC边上，∴∠ADE＝∠C＝90°，∴DE∥BC，∴＝，即＝，又∵△ADE是等腰直角三角形，∴＝，∴＝；（2）＝成立．证明：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∴∠BAC＝∠EAD＝45°，∴∠CAD＝∠BAE，又∵AC：AB＝1：，AD：AE＝1：，∴＝，∴△ACD∽△ABE，∴＝，又∵等腰直角三角形ABC中，＝，∴＝；（3）分两种情况：①如图所示，过A作AF⊥BE于F，则∠F＝90°，当∠DEB＝90°时，∠ADE＝∠DEF＝90°，又∵AD＝DE，∴四边形ADEF是正方形，∴AD＝AF＝EF＝2，∵AC＝10＝BC，∴AB＝10，∴Rt△ABF中，BF＝＝6，∴BE＝BF﹣EF＝4，又∵△ACD∽△ABE，∴＝＝，即＝，∴CD＝2；②如图所示，过A作AF⊥BE于F，则∠AFE＝∠AFB＝90°，当∠DEB＝90°，∠DEB＝∠ADE＝90°，又∵AD＝ED，∴四边形ADEF是正方形，∴AD＝EF＝AF＝2，又∵AC＝10＝BC，∴AB＝10，∴Rt△ABF中，BF＝＝6，∴BE＝BF+EF＝8，又∵△ACD∽△ABE，∴＝＝，即＝，∴CD＝4，综上所述，线段CD的长为2或4．13．如图1，在四边形ABCD中，AC为四边形对角线，在△ACD的CD边上取一点P，连结AP，如果△APC是等腰三角形，且△ABC与△APD相似，则我们称△APC是该四边形CD边上的“等腰邻相似三角形”．（1）如图2，在平行四边形ABCD中，∠B＝45°，若△APC是CD边上的“等腰邻相似三角形”，且AP＝PC，∠BAC＝∠DAP，则∠PCA的度数为45°；（2）如图3，在四边形ABCD中，若∠BCA＝∠D＝3∠CAD，∠BAC＝2∠CAD，请在图3中画出一个AD边上的“等腰邻相似三角形APC”，并说明理由；（3）已知Rt△APC，若Rt△APC是某个四边形ABCD的“等腰邻相似三角形”，且AP＝PC＝1，△ABC与△APC相似，求出对角线BD长度的所有可能值．解：（1）如图2中，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∠D＝∠B＝45°∴∠BAC＝∠DCA，∵AP＝PC，∴∠PCA＝∠PAC，∵∠BAC＝∠DAP，∴∠DAP＝∠CAP＝∠PCA，在△ADC中，∠D+∠DCA+∠DAC＝180°，∴3∠PCA＝135°∴∠PCA＝45°．故答案为45°．（2）如图3中，在线段AD上取一点P，使得PC＝PA，则△PAC是等腰三角形，∴∠PAC＝∠PCA，∴∠DPC＝∠PAC+∠PPCA＝2∠PAC，∵∠BAC＝2∠DCA，∴∠BAC＝∠DPC，∵∠BCA＝∠D，∴△CBA∽△DCP，∴△PAC是一个AD边上的“等腰邻相似三角形APC”，（3）由题意△APC是等腰直角三角形，∵△APC与△ABC，△ABC与△PCD相似，∴△PDC，△ABC都是等腰直角三角形；如图4中，当点P在线段AD上，∠ABC＝90°时，易证∠DAB＝90°，AB＝AP＝PD＝1，BD＝＝．如图5中，当点P在线段AD上，∠BAC＝90°时，作BE⊥DA交DA的延长线于E．易知DE＝3，EB＝1，BD＝＝．当∠ACB＝90°时，四边形ABCD不存在，不符合题意；如图6中，如图7中，BD的长度与图4，图5类似．综上所述，满足条件的BD的长度为或．14．数学活动﹣﹣﹣求重叠部分的面积．问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，将两块全等的直角三角形纸片△ABC和△DEF叠放在一起，其中∠ACB＝∠E＝90°，BC＝DE＝6，AC＝FE＝8，顶点D与边AB的中点重合，DE经过点C，DF交AC于点G．求重叠部分（△DCG）的面积．（1）独立思考：请回答老师提出的问题．（2）合作交流：“希望”小组受此问题的启发，将△DEF绕点D旋转，使DE⊥AB交AC 于点H，DF交AC于点G，如图2，你能求出重叠部分（△DGH）的面积吗？请写出解答过程．（3）提出问题：老师要求各小组向“希望”小组学习，将△DEF绕点D旋转，再提出一个求重叠部分面积的问题．“爱心”小组提出的问题是：如图3，将△DEF绕点D旋转，DE，DF分别交AC于点M，N，使DM＝MN，求重叠部分（△DMN）的面积．任务：①请解决“爱心”小组提出的问题，直接写出△DMN的面积是．②请你仿照以上两个小组，大胆提出一个符合老师要求的问题，并在图4中画出图形，标明字母，不必解答（注：也可在图1的基础上按顺时针旋转）．解：（1）【独立思考】∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，∴DC＝DA＝DB，∴∠B＝∠DCB．又∵△ABC≌△FDE，∴∠FDE＝∠B．∴∠FDE＝∠DCB，∴DG∥BC．∴∠AGD＝∠ACB＝90°，∴DG⊥AC．又∵DC＝DA，∴G是AC的中点，∴CG＝AC＝×8＝4，DG＝BC＝×6＝3，＝CG•DG＝×4×3＝6．∴S△DGC（2）【合作交流】解法一：如下图所示：∵△ABC≌△FDE，∴∠B＝∠1．∵∠C＝90°，ED⊥AB，∴∠A+∠B＝90°，∠A+∠2＝90°，∴∠B＝∠2，∴∠1＝∠2，∴GH＝GD．∵∠A+∠2＝90°，∠1+∠3＝90°，∴∠A＝∠3，∴AG＝GD，∴AG＝GH，即点G为AH的中点．在Rt△ABC中，AB＝＝＝10，∵D是AB中点，∴AD＝AB＝5．在△ADH与△ACB中，∵∠A＝∠A，∠ADH＝∠ACB＝90°，∴△ADH∽△ACB，∴，即，解得DH＝，∴S△DGH ＝S△ADH＝××DH•AD＝××5＝．解法二：同解法一，G是AH的中点．连接BH，∵DE⊥AB，D是AB中点，∴AH＝BH．设AH＝x，则CH＝8﹣x．在Rt△BCH中，CH2+BC2＝BH2即：（8﹣x）2+36＝x2，解得x＝．∴S△ABH＝AH•BC＝××6＝．∴S△DGH ＝S△ADH＝×S△ABH＝×＝．解法三：同解法一，∠1＝∠2．连接CD，由（1）知，∠B＝∠DCB＝∠1，∴∠1＝∠2＝∠B＝∠DCB．∴△DGH∽△BDC．过点D作DM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N．∵D是AB的中点，∠ACB＝90°，∴CD＝AD＝BD，∴点M是AC的中点，∴DM＝BC＝×6＝3．在Rt△ABC中，AB＝＝＝10，AC•BC＝AB•CN，∴CN＝＝＝．∵△DGH∽△BDC，∴，∴S△DGH ＝•S△BDC＝•BD•CN∴S△DGH＝××5×＝．（3）【提出问题】①解决“爱心”小组提出的问题．如答图4，过点D作DK⊥AC于点K，则DK∥BC，又∵点D为AB中点，∴DK＝BC＝3．∵DM＝MN，∴∠MND＝∠MDN，由（2）可知∠MDN＝∠B，∴∠MND＝∠B，又∵∠DKN＝∠C＝90°，∴△DKN∽△ACB，∴，即，得KN＝．设DM＝MN＝x，则MK＝x﹣．在Rt△DMK中，由勾股定理得：MK2+DK2＝MD2，即：（x﹣）2+32＝x2，解得x＝，∴S＝MN•DK＝××3＝．△DMN②此题答案不唯一，示例：如答图5，将△DEF绕点D旋转，使DE⊥BC于点M，DF交AC于点N，求重叠部分（四边形DMCN）的面积．15．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，CE⊥AB于E，BF⊥CD于F，连接AF、DE．（1）如图1，若AB＝CD，且E、F两点分别在BA和CD的延长线上，在图中找出一个与∠BFA相等的角，如：∠BFA＝∠CED（2）如图2，若AB≠CD，且E在BA的延长线上，F在CD上，则（1）的结论是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．（3）如图3，若AD⊥DE，AE＝3AD，则tan∠BFA＝2．解：（1）AD∥BC，AB＝CD，∴∠ABC＝∠DCB，∵CE⊥AB于E，BF⊥CD于F，∴∠BEC＝∠CFB＝90°，在△BEC和△CFB中，，∴△BEC≌△CFB（AAS），∴CE＝BF，∠BCE＝∠CBF，∵∠ABC＝∠DCB，∴∠ABF＝∠DCE，在△ABF和△DCE中，，∴△ABF≌△DCE（SAS），∴∠BFA＝∠CED，故答案为：∠CED；（2）如图一：延长BA、CD交于O，，（1）中的结论仍然成立，证明：∵CE⊥AB于E，BF⊥CD于F，∴∠CEO＝∠∠FO＝90°，∠O＝∠O，∴△CEO∽△BFO，∴．∵AD∥BC，∴△ADO∽△BCO，∴，，∴，∠O＝∠O，∴△OED∽△OFA，∴∠OED＝∠OFA，∠CED+∠OED＝90°，∠BFA+∠OFA＝90°，∴∠CED＝∠BFA；（3）如图二：，CE⊥AB于E，BF⊥CD于F，由（2）中的结论得∠CED＝∠BFA，∵AD⊥DE，∴∠ADE＝∠CEB＝90°，由勾股定理得DE＝2AD，∠EAD+∠AED＝90°，∠AED+∠DEC＝90°，∴∠EAD＝∠CED＝∠BFA．∴tan∠BFA＝tan∠EAD＝＝＝2，故答案为：2．16．已知：如图①，△ABC∽△ADE，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝3，AC＝4，点D在线段BC 上运动．（1）如图①，求证：△ABD∽△ACE；（2）如图②，当AD⊥BC时，判断四边形ADCE的形状并说明理由；（3）当点D从点B运动到点C时，设P为线段DE的中点，求在点D的运动过程中，点P 经过的路径长（直接写出结论）．解：（1）∵△ABC∽△ADE，∴＝，∴＝，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAD+∠DAC＝∠DAC+∠CAE，∴∠BAD＝∠CAE，∴△ABD∽△ACE；（2）∵∠DAE＝90°，AD⊥BC，∴AE∥DC，∵△ABC∽△ADE，∴∠AED＝∠DCA，在△AED和△DCA中，∵，∴△AED≌△DCA（AAS），∴AE＝DC，又AE∥DC，∴四边形ADCE为平行四边形，∵∠DAE＝90°，∴四边形ADCE为矩形；（3）如图，当D与B重合时，P为BC的中点，当D与C重合时，P′为CE的中点，当D与C重合时，△ABC∽△ADE，∴＝，即＝，解得，AE＝，∴BE＝AB+AE＝，∴PP′＝BE＝，即点P经过的路径长为．17．已知，点B在线段CE上．【感知】如图①，∠C＝∠ABD＝∠E＝90°，易知△ACB∽△AED（不要求证明）；【拓展】如图②，△ACE中，AC＝AE，且∠ABD＝∠E，求证：△ACB∽△BED；【应用】如图③，△ACE为等边三角形，且∠ABD＝60°，AC＝6，BC＝2，则△ABD与△BDE的面积比为7：2 ．解：【感知】∵∠C＝∠ABD＝∠E＝90°，∴∠A+∠ABC＝∠ABC+∠DBE＝90°，∴∠A＝∠DBE，∴△ACB∽△BED；【拓展】证明：∵AC＝AE，∴∠C＝∠E，∵∠ABD＝∠E，∴∠C＝∠ABD，又∵∠ABE＝∠C+∠CAB，∠ABE＝∠ABD+∠DBE，∴∠CAB＝∠DBE，∴△ACB∽△BED；【应用】∵∠ABE＝∠C+∠CAB，∠ABE＝∠ABD+∠DBE，∠C＝∠ABD，∴∠CAB＝∠DBE，∵∠C＝∠E＝60°，∴△ACB∽△BED，△ACE是等边三角形，∴AE＝AC＝6，∴BE＝CE﹣BC＝4，∴△ACB与△BED的相似比为：3：2，∴S△ABC ：S△BED＝9：4，S△ABC：S△ABE＝1：2＝9：18，设S△ABC ＝9x，则S△ABE＝18x，S△BDE＝4x，∴S△ABD ＝S△ABE﹣S△BED＝18x﹣4x＝14x，∴S△ABD ：S△BDE＝14：4＝7：2．故答案为：7：2．18．如图1，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点E与正方形ABCD的顶点A 重合，三角板的一边交CD于点F．另一边交CB的延长线于点G．（1）观察猜想：线段EF与线段EG的数量关系是EF＝EG；（2）探究证明：如图2，移动三角板，使顶点E始终在正方形ABCD的对角线AC上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明：若不成立．请说明理由：（3）拓展延伸：如图3，将（2）中的“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，且使三角板的一边经过点B，其他条件不变，若AB＝a、BC＝b，求的值．解：（1）∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝90°，∴∠GAF＝∠BAD，∴∠GAF﹣∠BAF＝∠BAD﹣∠BAF，即∠GAB＝∠FAD，在△GAB和△FAD中，，∴△GAB≌△FAD（ASA），∴AG＝AF，即EF＝EG，故答案为：EF＝EG；（2）成立，证明如下：如图2，过点E分别作BC、CD的垂线，垂足分别为H、I，则EH＝EI，∠HEI＝90°，∵∠GEH+∠HEF＝90°，∠IEF+∠HEF＝90°，∴∠IEF＝∠GEH，在△FEI和△GEH中，，∴△FEI≌△GEH（ASA），∴EF＝EG；（3）如图，过点E分别作BC、CD的垂线，垂足分别为M、N，则∠MEN＝90°，∴EM∥AB，EN∥AD，∴△CEN∽△CAD，△CEM∽△CAB，∴，，∴，即，∵∠NEF+∠FEM＝∠GEM+∠FEM＝90°，∴∠GEM＝∠FEN，又∠GME＝∠FNE＝90°，∴△GME∽△FNE，∴＝＝．19．已知：△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，连接BD，CD，CE．（1）如图1所示，线段BD与CE的数量关系是BD＝CE，位置关系是BD⊥CE．（2）在图1中，若点M、P、N分别为DE、DC、BC的中点，连接PM，PN，MN，请判断△PMN的形状，并说明理由；（3）如图2所示，若M、N、P分别为DE、BC、DC上的点，且满足，BD ＝6，连接PM，PN，MN，则线段MN长度是多少？解：（1）如图1，延长BD交CE于F，∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS）∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，∵∠ABD+∠FBD+∠BCA＝90°，∴∠ACE+∠FBD+∠BCA＝90°，∴∠BFC＝90°，即BD⊥CE，故答案为：BD＝CE；BD⊥CE；（2）△PMN是等腰直角三角形，理由如下：∵点M、P分别为DE、DC的中点，∴MP＝CE，MP∥CE，∴∠MPD＝∠ECD＝∠ECA+∠DCA＝∠ABD+∠DCA，∵点P、N分别为DC、BC的中点，∴NP＝BD，NP∥BD，∴∠NPD＝180°﹣∠BDC＝∠DBC+∠DCB，∴∠MPN＝∠MPD+∠NPD＝∠ABD+∠DCA+∠DBC+∠DCB＝90°，∵BD＝CE，∴MP＝NP，∴△PMN是等腰直角三角形；（3）＝，∠MDP＝∠EDC，∴△MDP∽△EDC，MP∥CE，∴＝＝，∴MP＝CE＝2，同理，NP∥BD，NP＝BD＝4，由（2）可知，∠MPN＝90°，∴MN＝＝＝2．20．定义：若一个四边形能被其中一条对角线分割成两个相似三角形，则称这个四边形为“友好四边形”．（1）如图1，在4×4的正方形网格中，有一个网格Rt△ABC和两个网格四边形ABCD与ABCE，其中是被AC分割成的“友好四边形”的是四边形ABCE；（2）如图2，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△A'B'C，点B'落在边AC，过点A作AD∥A'B'交CA'的延长线于点D，求证：四边形ABCD是“友好四边形”；（3）如图3，在△ABC中，AB≠BC，∠ABC＝60°，△ABC的面积为6，点D是∠ABC 的平分线上一点，连接AD，CD．若四边形ABCD是被BD分割成的“友好四边形”，求BD 的长．解：（1）AB＝2，BC＝1，AD＝4，由勾股定理得，AC＝＝，CD＝＝，AE＝＝2，CE＝＝5，＝＝＝，∴△ABC∽△EAC，∴四边形ABCE是“友好四边形”，≠，∴△ABC与△ACD不相似，∴四边形ABCD不是“友好四边形”，故答案为：四边形ABCE；（2）证明：根据旋转的性质得，∠A'CB'＝∠ACB，∠CA'B'＝∠CAB，∵AD∥A'B'，∴∠CA'B'＝∠D，∴∠CAB＝∠D，又∠A'CB'＝∠ACB，∴△ABC∽△DAC，∴四边形ABCD是“友好四边形”；（3）如图3，过点A作AM⊥BC于M，在Rt△ABM中，AM＝AB•sin∠ABC＝AB，∵△ABC的面积为6，∴BC×AB＝6，∴BC×AB＝24，∵四边形ABCD是被BD分割成的“友好四边形”，且AB≠BC，∴△ABD∽△DBC∴，∴BD2＝AB×BC＝24，∴BD＝＝2．。

2020-2021中考数学复习《相似》专项综合练习附答案一、相似1．已知：如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，对角线AC，BD交于点0．点P从点A出发，沿方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点D出发，沿DC方向匀速运动，速度为1cm/s；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．连接PO并延长，交BC于点E，过点Q作QF∥AC，交BD于点F．设运动时间为t（s）（0＜t＜6），解答下列问题：（1）当t为何值时，△AOP是等腰三角形？（2）设五边形OECQF的面积为S（cm2），试确定S与t的函数关系式；（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使S五边形S五边形OECQF：S△ACD=9：16？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；（4）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使OD平分∠COP？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）解：∵在矩形ABCD中，Ab=6cm，BC=8cm，∴AC=10，①当AP=PO=t，如图1，过P作PM⊥AO，∴AM= AO= ，∵∠PMA=∠ADC=90°，∠PAM=∠CAD，∴△APM∽△ADC，∴，∴AP=t= ，②当AP=AO=t=5，∴当t为或5时，△AOP是等腰三角形（2）解：作EH⊥AC于H，QM⊥AC于M，DN⊥AC于N，交QF于G，在△APO与△CEO中，∵∠PAO=∠ECO，AO=OC，∠AOP=∠COE，∴△AOP≌△COE，∴CE=AP=t，∵△CEH∽△ABC，∴，∴EH= ，∵DN= = ，∵QM∥DN，∴△CQM∽△CDN，∴，即，∴QM= ，∴DG= = ，∵FQ∥AC，∴△DFQ∽△DOC，∴，∴FQ= ，∴S五边形OECQF=S△OEC+S四边形OCQF= = ，∴S与t的函数关系式为（3）解：存在，∵S△ACD= ×6×8=24，∴S五边形OECQF：S△ACD=（）：24=9：16，解得t= ，t=0，（不合题意，舍去），∴t= 时，S五边形S五边形OECQF：S△ACD=9：16（4）解：如图3，过D作DM⊥AC于M，DN⊥AC于N，∵∠POD=∠COD，∴DM=DN= ，∴ON=OM= = ，∵OP•DM=3PD，∴OP= ，∴PM= ，∵，∴，解得：t≈15（不合题意，舍去），t≈2.88，∴当t=2.88时，OD平分∠COP．【解析】【分析】（1）根据矩形的性质可得：AB=CD=6，BC=AD=8，所以AC=10；而P、Q 两点分别从A点和D点同时出发且以相同的速度为1cm/s运动，当一个点停止运动时，另一个点也停止运动，所以点P不可能运动到点D；所以△AOP是等腰三角形分两种情况讨论：①当AP=PO=t时，过P作PM⊥AO，易证△CQM∽△CDN，可得比例式即可求解；②当AP=AO=t=5时，△AOP是等腰三角形；（2）作EH⊥AC于H，QM⊥AC于M，DN⊥AC于N，交QF于G，可将五边形转化成一个三角形和一个直角梯形，则五边形OECQF的面积S=三角形OCE的面积+直角梯形OCQF的面积；（3）因为三角形ACD的面积=AD CD=24，再将（2）中的结论代入已知条件S五边形S ：S△ACD=9：16中，可得关于t的方程，若有解且符合题意，则存在，反之，不存五边形OECQF在；（4）假设存在。

三轮压轴专题培优卷：《相似综合》1．在△ABC中，∠ABC＝90°，（1）如图1，分别过A，C两点作经过点B的直线的垂线，垂足分别为M、N，求证：△ABM～△BCN；（2）如图2，P是边BC上一点，∠BAP＝∠C，PM⊥PA交AC于点M，＝，求的值；（3）如图3，D是边CA延长线上一点，AE＝AB，∠DEB＝90°，AD：BC：AC＝2：3：5，求的长．（1）证明：∵AM⊥MN，∴∠MAB+∠MBA＝90°，∵∠ABC＝90°，∴∠CBN+∠MBA＝90°，∴∠MAB＝∠NBC，又∠AMB＝∠BNC＝90°，∴△ABM～△BCN；（2）解：过点P作PD⊥AM于D．∴∠BAP+∠APB＝∠CPM+∠APB＝90°，∴∠BAP＝∠CPM＝∠C，∴MP＝MC，∵PM⊥PA，PD⊥AM，∴△PDM∽△APM，∵＝＝＝，设DM＝2a，则DP＝a，由勾股定理得，PM＝＝3a，∴CD＝DM+CM＝DM+PM＝5a，则＝，∵∠CDP＝∠CBA＝90°，∠C＝∠C，∴△CDP∽△CBA，∴＝＝；（3）解：过点A作AG⊥BE于G，过点C作CH⊥BE交EB的延长线于H，∵∠DEB＝90°，∴CH∥AG∥DE，∴＝＝，∵BC：AC＝3：5，∴BC：AB＝3：4，由（1）可知，△ABG∽△BCH，∴＝＝＝，设BG＝4m，CH＝3m，AG＝4n，BH＝3n，∵AB＝AE，AG⊥BE，∴EG＝BG＝4m，∴GH＝BG+BH＝4m+3n，∵＝，∴＝，解得，n＝2m，AG＝4n＝8m，BH＝3n＝6m，由勾股定理得，BC＝＝3m，BE＝2BG＝8m，∴＝．2．在▱ABCD中，AB边的长为a，对角线AC的长为b，以点A为顶点的∠θ绕点A旋转，且在旋转过程中始终保持∠θ的两边分别与BC，DC的延长线相交，设交点分别为E，F．（1）如图，当四边形ABCD为正方形，且∠θ＝45°时，①求证：△ACF∽△ECA．②试用a或b的代表式表示△CEF的面积．（2）当四边形ABCD为菱形，且∠BAD≠90°时，记S△ECF ＝S1；当四边形ABCD为矩形，且b≠a时，记S△ECF ＝S2．请找出一个合适的∠θ，使得当∠θ转动时，在S1和S2中存在始终不变的值，并用关于a，b的代数式表示此时cos∠θ和的值．（1）①证明：如图，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ACD＝∠BCA＝45°，∠DCB＝∠DCE＝∠BCF＝90°，∵∠EAF＝∠FAC+∠CAE＝45°，∠ACB＝∠AEC+∠CAE＝45°，∴∠FAC＝∠AEC，∵∠ACF＝∠ACE＝90°+45°＝135°，∴△ACF∽△ECA．②解：∵△ACF∽△ECA，∴＝，∴AC2＝EC•CF，∴S△ECF＝•EC•CF＝•b2．（2）存在．S1是定值．当θ＝∠BAD时，S1是定值．理由：连接BD，作BP⊥DF于P，FQ⊥BC于Q．∵四边形ABCD是菱形，∴∠BCA＝∠CAD＝∠BCA＝∠ACD，∴∠ACE＝∠ACF，∵∠EAF＝∠BAD，∴∠EAF＝∠ACD，∴∠FAC+∠EAC＝∠FAC+∠AFC，∴∠CAE＝∠AFC，∴△ACE∽△FCA，∴＝，∴EC•CF＝AC2，∴＝＝＝，∵cosθ＝cos∠BAO＝＝＝．3．阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，AB＝AC，E是BC上一点，点D在AE上，∠BDE＝∠BAC＝2∠CDE，连接BD、CD，求证：BD＝2AD．小明通过探究发现，由已知条件，能够证明∠ABD＝∠CAD，然后考虑将△ACD通过旋转，使BA与AC重合，∠ABD和∠CAD重合，因此得到辅助线：在BD上截取BF＝AD，连接AF，从而可证△BAF≌△ACD（如图2），使问题得到解决．请回答：（1）根据阅读材料请回答：△BAF与△ACD全等的依据是SAS（填“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”或“HL”中的一个）；（2）证明小明发现的结论；参考小明思考问题的方法，解决下面的问题：（3）如图3，△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AE＝AD，连接BE，作AG⊥BE交BE延长线于点G，交CD于点F，BE＝kAF，求k的值．解：（1）如图2，在BD上截取BF＝AD，连接AF，∵∠BDE＝∠ABD+∠BAD，∠BAC＝∠BAD+∠DAC，∵∠BDE＝∠BAC，∴∠ABD+∠BAD＝∠BAD+∠DAC，∴∠ABD＝∠DAC，在△ABF和△CAD中，∵，∴△ABF≌△CAD（SAS）；（2）如图2，∵△ABF≌△CAD，∴∠BAF＝∠ACD，∵∠CDE＝∠DAC+∠ACD，∠AFD＝∠ABD+∠BAF，∵∠DAC＝∠ABD，∴∠CDE＝∠AFD，∵∠BDE＝2∠CDE，∠BDE＝∠AFD+∠FAD，∴2∠CDE＝∠AFD+∠FAD，∴∠CDE＝∠FAD＝∠AFD，∴AD＝DF，∴BD＝BF+DF＝AD+AD＝2AD；（3）如图3，在BG上取一点H，使BH＝AF，连接AH，∵∠BAC＝90°，∴∠FAC+∠BAG＝90°，∵AG⊥BE，∴∠ABG+∠BAG＝90°，∴∠FAC＝∠ABG，∵AB＝AC，∴△ABH≌△CAF，∴∠BAH＝∠ACF，∵∠GFC＝∠FAC+∠ACF，∠AHG＝∠ABG+∠BAH，∴∠GFC＝∠AHG，∵∠AFD＝∠GFC，∴∠AFD＝∠AHG，∵∠AEH＝∠AGB+∠EAG＝90°+∠EAG，∠DAF＝∠DAE+∠EAG＝90°+∠EAG，∴∠AEH＝∠DAF，∵AD＝AE，∴△AEH≌△DAF，∴AF＝EH，∴BH＝EH＝AF，∴BE＝2AF，∵BE＝kAF，∴k＝2．4．矩形ABCD中，点P在对角线BD上（点P不与点B重合），连接AP，过点P作PE⊥AP 交直线BC于点E．（1）如图1，当AB＝BC时，猜想线段PA和PE的数量关系：PA＝PE；（2）如图2，当AB≠BC时．求证：（3）若AB＝8，BC＝10，以AP，PE为边作矩形APEF，连接BF，当PE＝时，直接写出线段BF的长．（1）解：线段PA和PE的数量关系为：PA＝PE，理由如下：过点P作PM⊥AB于M，PN⊥BC于N，如图1所示：∵四边形ABCD是矩形，AB＝BC，∴四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝90°，BD平分∠ABC，∴PM＝PN，∴四边形MBNP是正方形，∴∠MPN＝90°，∵PE⊥AP，∴∠APE＝90°，∴∠APM+∠MPE＝90°，∠EPN+∠MPE＝90°，∴∠APM＝∠EPN，在△APM和△EPN中，，∴△APM≌△EPN（ASA），∴PA＝PE，故答案为：PA＝PE；（2）证明：过点P作PM⊥AB于M，PN⊥BC于N，如图2所示：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，CD＝AB，AD⊥AB，CD⊥BC，∠ABC＝90°，∴四边形MBNP是矩形，∴∠MPN＝90°，∵PE⊥AP，∴∠APE＝90°，∴∠APM+∠MPE＝90°，∠EPN+∠MPE＝90°，∴∠APM＝∠EPN，∵∠AMP＝∠ENP＝90°，∴△APM∽△EPN，∴＝，∵PM⊥AB，PN⊥BC，AD⊥AB，CD⊥BC，∴PM∥AD，PN∥CD，∴△BPM∽△BDA，△BPN∽△BDC，∴＝，＝，∴＝，∴＝＝，∴；（3）解：连接AE、PF交于Q，连接QB，过点A作AO⊥BD于O，①当P在O的右上方时，如图3所示：由（2）得：＝＝，∴PA＝PE＝×＝，∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝10，∠BAD＝90°，∴BD＝＝＝2，∵AO⊥BD，∵△ABD的面积＝BD×AO＝AB×AD，∴AO＝＝＝，∵tan∠ABD＝＝，∴＝，解得：BO＝，由勾股定理得：OP＝＝＝，∴BP＝BO+OP＝，∵四边形APEF是矩形，∴∠AEP＝90°，AE＝PE，QA＝QE＝QP＝QF，∴PF＝AE＝＝＝，∵∠ABE＝90°，∴QB＝AE＝QE，∴QA＝QE＝QP＝QF＝QB，∴点A、P、E、B、F五点共圆，AE、PF为圆的直径，∴∠PBF＝90°，∴BF＝＝＝；②当P在O的左下方时，如图4所示：同理可得：AO＝，BO＝，OP＝，PF＝，则BP＝BO﹣OP＝，同理可得：点A、P、E、B、F五点共圆，AE、PF为圆的直径，∴∠PBF＝90°，∴BF＝＝＝；综上所述，当PE＝时，线段BF的长为或．5．如图1，AD、BD分别是△ABC的内角∠BAC、∠ABC的平分线，过点A作AE⊥AD，交BD 的延长线于点E．（1）求证：；（2）如图2，如果AE＝AB，且BD：DE＝2：3，求BC：AB的值；（3）如果∠ABC是锐角，且△ABC与△ADE相似，求∠ABC的度数，并直接写出的值．证明：（1）如图1中，∵AE⊥AD，∴∠DAE＝90°，∠E＝90°﹣∠ADE，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠BAC，同理∠ABD＝∠ABC，∵∠ADE＝∠BAD+∠DBA，∠BAC+∠ABC＝180°﹣∠C，∴∠ADE＝（∠ABC+∠BAC）＝90°﹣∠C，∴∠E＝90°﹣（90°﹣∠C）＝∠C．（2）延长AD交BC于点F．∵AB＝AE，∴∠ABE＝∠E，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠EBC＝∠ABC，∴∠E＝∠CBE，∴AE∥BC，∴△ADE∽△FDB，∴∠AFB＝∠EAD＝90°，，∵BD：DE＝2：3，∴，∵∠E＝∠C，∠ABE＝∠ABC，∴∠ABC＝∠C，∴AB＝AC，且∠AFB＝90°∴BF＝FC＝BC，∴＝（3）∵△ABC与△ADE相似，∠DAE＝90°，∴∠ABC中必有一个内角为90°∵∠ABC是锐角，∴∠ABC≠90°．①当∠BAC＝∠DAE＝90°时，∵∠E＝∠C，∴∠ABC＝∠E＝∠C，∵∠ABC+∠C＝90°，∴∠ABC＝30°，∴∠ABE＝15°，设AD＝2x，过点D作DH⊥AB，作∠FDB＝∠ABD＝15°，∴∠DFH＝30°，BF＝DF，∵DH⊥AB，AD＝2x，∠DAH＝45°，∴AH＝DH＝x，∴HF＝DH＝x，DF＝2x＝BF，∴AB＝3x+x，∵∠ABC＝30°，∴AC＝＝（）x，∵△ADE∽△ACE，∴＝（）2＝2﹣．②当∠C＝∠DAE＝90°时，∠E＝∠C＝45°，∴∠EDA＝45°，∵△ABC与△ADE相似，∴∠ABC＝45°，此时＝2﹣，综上所述，∠ABC＝30°或45°，此时＝2﹣或2﹣．6．已知△ABC，过△ABC的顶点B作直线MN∥AC，D为BC边上一点，连结AD，作∠ADE＝∠BAC交直线MN于点E，DE交AB于点F．（1）如图1，请找出图中与∠BED相等的角（直接写出，不必证明）；（2）如图2，当△ABC是等边三角形时，请探究出线段AD，DE之间的数量关系，并证明；（3）如图3，当AB＝AC＞BC时，（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．（4）当AB＝kAC时，请直接写出此时AD，DE之间的数量关系．（用含k的式子表示）解：（1）∠BAD＝∠BED，理由为：如图1，记DE与AB的交点为F，证明：∵MN∥AC，∴∠EBA＝∠BAC，∵∠BAC＝∠ADE，∴∠EBA＝∠ADE，又∵∠AFD＝∠EFB，∴△EBF∽△ADF，∴∠BED＝∠BAD；（2）AD＝DE，理由：如图2，在BA上取一点Q，使DB＝DQ，∴∠ABC＝∠DQB，∴∠BDQ＝180°﹣2∠ABC，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∴∠BAC＝180°﹣2∠ABC，∴∠BDQ＝∠BAC，∵∠ADE＝∠BAC，∴∠BDQ＝∠ADE，∴∠BDE＝∠QDA，在△BED和△QAD中，，∴△BED≌△QAD（AAS），∴AD＝DE；（3）（2）中的结论仍然成立，即：AD＝DE，理由：如图3，在BA上取一点Q，使DB＝DQ，∴∠ABC＝∠DQB，∴∠BDQ＝180°﹣2∠ABC，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∴∠BAC＝180°﹣2∠ABC，∴∠BDQ＝∠BAC，∵∠ADE＝∠BAC，∴∠BDQ＝∠ADE，∴∠BDE＝∠QDA，在△BED和△QAD中，，∴△BED≌△QAD（AAS），∴AD＝DE；（4）作∠BDQ＝∠ADE，交AB于点Q，如图4所示，∴∠BDQ﹣∠EDQ＝∠ADE﹣∠EDQ，即∠BDE＝∠ADQ，∵∠BED＝∠BAD，∴△BED∽△QAD，∴＝，∵∠ABC＝∠QBD，∠BDQ＝∠ADE＝∠BAC，∴△BDQ∽△BAC，∴＝＝k，∴＝k，即DE＝kAD．7．在△ABC中，∠ABC＝90°，如图1，分别过A、C两点作经过点B的直线的垂线，垂足分别为M、N，则△ABM～△BCN；（1）如图2，P是边BC上一点，∠BAP＝∠C，tan∠PAC＝，求tan C的值；（2）如图3，D是边CA延长线上一点，AE＝AB，∠DEB＝90°，sin∠BAC＝，，直接写出tan∠CEB的值．解：（1）∵AM⊥MN，CN⊥MN，∴∠AMB＝∠BNC＝90°，∴∠BAM+∠ABM＝90°，∵∠ABC＝90°，∴∠ABM+∠CBN＝90°，∴∠BAM＝∠CBN，∵∠AMB＝∠NBC，∴△ABM∽△BCN；（2）如图2，过点P作PM⊥AP交AC于M，PN⊥AM于N．∴∠BAP+∠1＝∠CPM+∠1＝90°，∴∠BAP＝∠CPM＝∠C，∴MP＝MC∵tan∠PAC＝＝＝＝，设MN＝2m，PN＝m，根据勾股定理得，PM＝＝3m＝CM，∴tan C＝＝；（3）在Rt△ABC中，sin∠BAC＝＝，过点A作AG⊥BE于G，过点C作CH⊥BE交EB的延长线于H，∵∠DEB＝90°，∴CH∥AG∥DE，∴＝同（1）的方法得，△ABG∽△BCH∴＝＝＝，设BG＝4m，CH＝3m，AG＝4n，BH＝3n，∵AB＝AE，AG⊥BE，∴EG＝BG＝4m，∴GH＝BG+BH＝4m+3n，∴＝，∴n＝2m，∴EH＝EG+GH＝4m+4m+3n＝8m+3n＝8m+6m＝14m，在Rt△CEH中，tan∠BEC＝＝．8．某数学课外兴趣小组成员在研究下面三个有联系的问题，请你帮助他们解决：（1）如图1，矩形ABCD中，AB＝a，BC＝b，点E，F分别在AB，DC上，点G，H分别在AD，BC上且EF⊥GH，求的值．（2）如图2，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，将矩形对折，使得B、D重叠，折痕为EF，求EF的长．（3）如图3，四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝AD＝8，BC＝CD＝4，AM⊥DN，点M，N 分别在边BC，AB上，求的值．解：（1）如图1，过点G作GM⊥CB于M，过点E作EN⊥CD于点N，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝CD，AD＝BC，且GM⊥BC，EN⊥CD，∴四边形DCMG是矩形，四边形ABMG是矩形，四边形AEND是矩形，四边形BCNE是矩形，∴GM＝CD＝AB，EN＝AD＝BC，∵EF⊥GH，∠BCD＝90°，∴∠EFC+∠GHC＝180°，且∠DFE+∠EFC＝180°，∴∠EFN＝∠GHC，且∠ENF＝∠GMH＝90°，∴△EFN∽△GHM，∴；（2）如图2，连接BD交EF于点O，DE，BF，∵将矩形对折，使得B、D重叠，∴BE＝DE，∠DEF＝∠BEF，∵AB∥CD，∴∠DFE＝∠BEF，∴∠DFE＝∠DEF，∴DF＝DE，且BE＝DE，∴BE＝DF，且AB∥CD，∴四边形DFBE是平行四边形，且DF＝DE，∴四边形DFBE是菱形，∴BO＝DO，EO＝FO，BD⊥EF，∵DE2＝AE2+AD2，∴DE2＝9+（4﹣DE）2，∴DE＝，∵BD＝＝＝5，∴DO＝BO＝，∴OE＝＝＝，∴EF＝2OE＝；（3）如图3，过点D作EF⊥BC，交BC的延长线于F，过点A作AE⊥EF，连接AC，∵∠ABC＝90°，AE⊥EF，EF⊥BC，∴四边形ABFE是矩形，∴∠E＝∠F＝90°，AE＝BF，EF＝AB＝8，∵AD＝AB，BC＝CD，AC＝AC，∴△ACD≌△ACB（SSS）∴∠ADC＝∠ABC＝90°，∴∠ADE+∠CDF＝90°，且∠ADE+∠EAD＝90°，∴∠EAD＝∠CDF，且∠E＝∠F＝90°，∴△ADE∽△DCF，∴，∴AE＝2DF，DE＝2CF，∵DC2＝CF2+DF2，∴16＝CF2+（8﹣2CF）2，∴CF＝4（不合题意舍去），CF＝，∴BF＝BC+CF＝＝AE，由（1）可知：＝＝．9．在矩形ABCD中，AB＝a，AD＝b，点E为对角线AC上一点，连接DE，以DE为边，作矩形DEFG，点F在边BC上；（1）观察猜想：如图1，当a＝b时，＝ 1 ，∠ACG＝90°；（2）类比探究：如图2，当a≠b时，求的值（用含a、b的式子表示）及∠ACG的度数；（3）拓展应用：如图3，当a＝6，b＝8，且DF⊥AC，垂足为H，求CG的长．解：（1）如图1，作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N，∴∠MEN＝90°，∵a＝b，∴AB＝AD，∴矩形ABCD是正方形，∴∠ACD＝∠DAE＝45°，∵点E是正方形ABCD对角线上的点，∴EM＝EN，∵∠DEF＝90°，∴∠DEN＝∠MEF，在△DEN和△FEM中，，∴△DEN≌△FEM（ASA），∴EF＝DE．∵四边形DEFG是矩形，∴矩形DEFG是正方形；∵四边形ABCD是正方形，∴DE＝DG，AD＝DC，∵∠CDG+∠CDE＝∠ADE+∠CDE＝90°，∴∠CDG＝∠ADE，在△ADE和△CDG中，，∴△ADE≌△CDG（SAS），∴AE＝CG．∠DAE＝∠DCG＝45°，∴＝1，∠ACG＝∠ACD+∠DCG＝90°，故答案为：1；90°；（2）如图2，作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N，则EM∥AB，EN∥AD，四边形EMCN是矩形，∴EM：AB＝CE：AC，EN：AD＝CE：AC，∠MEN＝90°，∴EM：AB＝EN：AD，∴＝＝，∵四边形ABCD、四边形DEFG是矩形，∴∠ADC＝∠DEF＝∠EDG＝90°，∴∠DEN＝∠FEM，∠ADE＝∠CDG，∵∠END＝∠EMF＝90°，∴△DEN∽△FEM，∴＝＝＝，∴△ADE∽△CDG，∴＝＝，∠DAE＝∠DCG，∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACD，∵∠BAC+∠DAE＝90°，∴∠ACD+∠DCG＝90°，即∠ACG＝90°；（3）∵a＝6，b＝8，∴CD＝AB＝6，BC＝AD＝8，∴AC＝＝10，∵DF⊥AC，∴DH＝＝＝，∴CH＝＝＝，∵∠FHC＝∠B＝90°，∠FCH＝∠ACB，∴△CFH∽△CAB，∴＝，即＝，解得：FH＝，∴DF＝DH+FH＝，由（2）得：＝＝＝，设DE＝4x，则EF＝3x，∵∠DEF＝90°，∴DF＝＝5x＝，∴x＝，∴DE＝4x＝6＝DC，∴EH＝CH，∴CE＝2CH＝，∴AE＝AC﹣CE＝10﹣＝，由（2）得：＝＝＝＝，∴CG＝AE＝．10．定义：连结菱形的一边中点与对边的两端点的线段把它分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，那么称这样的菱形为自相似菱形．（1）判断下列命题是真命题，还是假命题？①正方形是自相似菱形；②有一个内角为60°的菱形是自相似菱形．③如图1，若菱形ABCD是自相似菱形，∠ABC＝α（0°＜α＜90°），E为BC中点，则在△ABE，△AED，△EDC中，相似的三角形只有△ABE与△AED．（2）如图2，菱形ABCD是自相似菱形，∠ABC是锐角，边长为4，E为BC中点．①求AE，DE的长；②AC，BD交于点O，求tan∠DBC的值．解：（1）①正方形是自相似菱形，是真命题；理由如下：如图3所示：∵四边形ABCD是正方形，点E是BC的中点，∴AB＝CD，BE＝CE，∠ABE＝∠DCE＝90°，在△ABE和△DCE中，，∴△ABE≌△DCE（SAS），∴△ABE∽△DCE，∴正方形是自相似菱形；②有一个内角为60°的菱形是自相似菱形，是假命题；理由如下：如图4所示：连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD，AD∥BC，AB∥CD，∵∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形，∠DCE＝120°，∵点E是BC的中点，∴AE⊥BC，∴∠AEB＝∠DAE＝90°，∴只能△AEB与△DAE相似，∵AB∥CD，∴只能∠B＝∠AED，若∠AED＝∠B＝60°，则∠CED＝180°﹣90°﹣60°＝30°，∴∠CDE＝180°﹣120°﹣30°＝30°，∴∠CED＝∠CDE，∴CD＝CE，不成立，∴有一个内角为60°的菱形不是自相似菱形；③若菱形ABCD是自相似菱形，∠ABC＝α（0°＜α＜90°），E为BC中点，则在△ABE，△AED，△EDC中，相似的三角形只有△ABE与△AED，是真命题；理由如下：∵∠ABC＝α（0°＜α＜90°），∴∠C＞90°，且∠ABC+∠C＝180°，△ABE与△EDC不能相似，同理△AED与△EDC也不能相似，∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∴∠AEB＝∠DAE，当∠AED＝∠B时，△ABE∽△DEA，∴若菱形ABCD是自相似菱形，∠ABC＝α（0°＜α＜90°），E为BC中点，则在△ABE，△AED，△EDC中，相似的三角形只有△ABE与△AED；（2）①∵菱形ABCD是自相似菱形，∠ABC是锐角，边长为4，E为BC中点，∴BE＝2，AB＝AD＝4，由（1）③得：△ABE∽△DEA，∴＝＝，∴AE2＝BE•AD＝2×4＝8，∴AE＝2，DE＝＝＝4，②过E作EM⊥AD于M，过D作DN⊥BC于N，如图2所示：则四边形DMEN是矩形，∴DN＝EM，DM＝EN，∠M＝∠N＝90°，设AM＝x，则EN＝DM＝x+4，由勾股定理得：EM2＝DE2﹣DM2＝AE2﹣AM2，即（4）2﹣（x+4）2＝（2）2﹣x2，解得：x＝1，∴AM＝1，EN＝DM＝5，∴DN＝EM＝＝＝，在Rt△BDN中，∵BN＝BE+EN＝2+5＝7，∴tan∠DBC＝＝．11．如图，等腰Rt△BPQ的顶点P在正方形ABCD的对角线AC上（P与AC不重合），∠PBQ＝90°，QP与BC交于E，QP延长线交AD于F，连CQ．（1）①求证：AP＝CQ；②求证：PA2＝AF•AD；（2）当时，求的值．（1）①证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝90°，∵△PBQ为等腰直角三角形，∴∠PBQ＝90°，PB＝BQ，∴∠ABC＝∠PBQ，∴∠ABP＝∠CBQ，在△ABP与△CBQ中，，∴△ABP≌△CBQ（SAS），∴AP＝CQ；②证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAC＝∠BAC＝∠ACB＝45°，∵∠PQB＝45°，∠CEP＝∠QEB，∴∠CBQ＝∠CPQ，由①得△ABP≌△CBQ，∠ABP＝∠CBQ∵∠CPQ＝∠APF，∴∠APF＝∠ABP，∴△APF∽△ABP，∴AP：AB＝AF：AP，∴AP2＝AF•AB＝AF•AD；（2）解：设正方形边长为a，则AC＝a，∵，∴PA＝a，∵PA2＝AF•AB，∴AF×a＝（a）2，∴AF＝a，∴DF＝a，∴＝．12．在正方形ABCD中，点E是直线AB上动点，以DE为边作正方形DEFG，DF所在直线与BC所在直线交于点H，连接EH．（1）如图1，当点E在AB边上时，延长EH交GF于点M，EF与CB交于点N，连接CG，①求证：CD⊥CG；②若tan∠HEN＝，求的值；（2）当正方形ABCD的边长为4，AE＝1时，请直接写出EH的长．证明：（1）①∵四边形ABCD和四边形DEFG是正方形，∴∠A＝∠ADC＝∠EDG＝90°，AD＝CD，DE＝DG，∴∠ADE＝∠CDG，在△ADE和△CDG中，，∴△ADE≌△CDG（SAS），∴∠A＝∠DCG＝90°，∴CD⊥CG；②如图1，过点N作NP∥DE，∵四边形DEFG是正方形，∴EF＝GF，∠EFH＝∠GFH＝45°，且HF＝HF，∴△EFH≌△GFH（SAS），∴EH＝GH，∠HEF＝∠HGF，∵∠HEF＝∠HGF，EF＝GF，∠EFM＝∠GFN，∴△EFM≌△GFN（ASA），∴FM＝NF，EM＝GN，∵tan∠HEN＝＝，∴EF＝4MF＝4NF＝GF，∴GM＝3MF＝EN＝3NF，∴NP∥DE，∴△PNE∽△MFE，∴，∴PN＝MF，∵NP∥DE，∴＝，∴；（2）如图1，∵AD＝4，AE＝1，∴DE＝＝＝，∴EF＝GF＝，∴NF＝EF＝，∵GN2＝GF2+NF2，∴GN＝，∵∴GH＝GN＝，∴EH＝GH＝若点E在点A左侧，如图2，设AB与DH于点O，过点F作FN⊥AB，∵∠DEA+∠FEB＝90°，∠DEA+∠ADE＝90°，∴∠ADE＝∠FEB，且∠DAE＝∠FNE＝90°，DE＝EF，∴△ADE≌△NEF（AAS）∴AE＝NF＝1，DA＝EN＝4，∴AN＝3，BN＝1，∵DA∥NF，∴，∴ON＝，∴BO＝，∴AO＝∵DA∥BH，∴，∴BH＝，∴EH＝＝＝13．如图1，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，如果点E由点B出发沿BC方向向点C匀速运动，同时点F由点D出发沿DA方向向点A匀速运动，它们的速度分别为每秒2cm和1cm，FQ⊥BC，分别交AC、BC于点P和Q，设运动时间为t秒（0＜t＜4）．（1）连接EF，若运动时间t＝秒时，求证：△EQF是等腰直角三角形；（2）连接EP，当△EPC的面积为3cm2时，求t的值；（3）在运动过程中，当t取何值时，△EPQ与△ADC相似．（1）证明：若运动时间t＝秒，则BE＝2×＝（cm），DF＝（cm），∵四边形ABCD是矩形∴AD＝BC＝8（cm），AB＝DC＝6（cm），∠D＝∠BCD＝90°∵∠D＝∠FQC＝∠QCD＝90°，∴四边形CDFQ也是矩形，∴CQ＝DF，CD＝QF＝6（cm），∴EQ＝BC﹣BE﹣CQ＝8﹣﹣＝6（cm），∴EQ＝QF＝6（cm），又∵FQ⊥BC，∴△EQF是等腰直角三角形；（2）解：由（1）知，CE＝8﹣2t，CQ＝t，在Rt△ABC中，tan∠ACB＝＝，在Rt△CPQ中，tan∠ACB＝＝＝，∴PQ＝t，∵△EPC的面积为3cm2，＝CE×PQ＝×（8﹣2t）×t＝3，∴S△EPC∴t＝2秒，即：t的值为2秒；（3）解：分两种情况：Ⅰ．如图1中，点E在Q的左侧．①∠PEQ＝∠CAD时，△EQP∽△ADC，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠CAD＝∠ACB，∵△EQP∽△ADC，∴∠CAD＝∠QEP，∴∠ACB＝∠QEP，∴EQ＝CQ，∴CE＝2CQ，由（1）知，CQ＝t，CE＝8﹣2t，∴8﹣2t＝2t，∴t＝2秒；②∠PEQ＝∠ACD时，△EPQ∽△CAD，∴＝，∵FQ ⊥BC ，∴FQ ∥AB ，∴△CPQ ∽△CAB ， ∴＝，即＝，解得：PQ ＝t ， ∴＝，解得：t ＝；Ⅱ．如图2中，点E 在Q 的右侧．∵0＜t ＜4，∴点E 不能与点C 重合，∴只存在△EPQ ∽△CAD 可得＝，即＝，解得t ＝，综上所述，t 的值为2秒或秒或秒时，△EPQ 与△ADC 相似．14．已知矩形ABCD 中，E 是BC 的中点，DF ⊥AE 于点F ．（1）如图1，若BE ＝，求AE •AF 的值；（2）如图2，连接AC 交DF 于点G ，若＝，求cos ∠FCE 的值； （3）如图3，延长DF 交AB 于点G ，若G 点恰好为AB 的中点，连接PC ，过A 作AK ∥FC 交FD 于K ，设△ADK 的面积为S 1，△CDF 的面积为S 2，则的值为 ．解：（1）∵E是BC的中点，∴BC＝2BE＝2，∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝2，∠B＝90°，AD∥BC，∴∠AEB＝∠DAF，∵DF⊥AE，∴∠AFD＝90°＝∠B，∴△ABE∽△DFA，∴＝，∴AE•AF＝AD•BE＝2×＝4；（2）延长DE交CB的延长线于H，连接DE、AH，如图2所示：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD＝BC，∠BCD＝90°，∴△ADG∽△CHG，∴＝＝，∴BH＝BC，∵E是BC的中点，∴BE＝CE＝BH，∴EH＝BC＝AD，∴四边形ADEH是平行四边形，∵DF⊥AE，∴四边形ADEH是菱形，∴DF＝HF，∠AEH＝∠AED，DE＝AD＝EH＝BC，∴CE＝DE，∴∠CDE＝30°，∴∠CED＝90°﹣30°＝60°，∴∠AEH＝∠AED＝60°，∵DF⊥AE，∴∠FDE＝30°＝∠CDE，∴FE＝CE，∴∠FCE＝∠CFE＝∠AEH＝30°，∴cos∠FCE＝；（3）过F作PQ⊥AB于P，交CD于Q，作KH⊥AD于H，如图3所示：则PQ＝AD，AP＝DQ，PQ∥BC∥AD，∵G是AB的中点，E是BC的中点，∴AB＝2AG，BC＝2BE，∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，AB＝CD，∠B＝∠DAG＝90°，∵DF⊥AE，∴∠ADF+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝90°，∴∠BAE＝∠ADF，∴△ABE∽△DAG，∴＝，∴AB•AG＝AD•BE，即AB2＝AD2，∴AB＝AD，∴四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD＝PQ，设AB＝BC＝CD＝AD＝PQ＝4a，则BE＝AG＝2a，∴tan∠ADG＝tan∠BAE＝＝，AE＝DG＝＝2a，∵DF⊥AE，∴AF ＝＝＝a ，∵PQ ∥BC ， ∴△APF ∽△ABE ， ∴＝＝，即＝＝，解得：AP ＝a ，PF ＝a ，∴CQ ＝PB ＝AB ﹣AP ＝4a ﹣a ＝a ，FQ ＝PQ ﹣PF ＝4a ﹣a ＝a ，∵KH ⊥AD ，∴tan ∠ADG ＝＝， 设KH ＝x ，则DH ＝2x ，∵PQ ∥AD ，AK ∥FC ，∴∠DAF ＝∠QFE ，∠KAF ＝∠CFE ，∴∠DAK ＝∠QFC ，又∵∠AHK ＝∠FQC ＝90°，∴△AHK ∽△FQC ， ∴＝，即＝，解得：AH ＝x ，∵AH +DH ＝AD ， ∴x +2x ＝4a ，解得：x ＝a ，∴KH ＝a ，∵△ADK 的面积为S 1＝AD ×KH ，△CDF 的面积为S 2＝CD ×FQ ，∴＝＝＝；故答案为：．15．已知在▱ABCD中，点E，F分别为边AB，BC上的点，∠ADE＝∠BAF，DE，AF交于点M．（1）如图1，若∠ABC＝90°，求证：△AEM∽△AFB；（2）若E为AB中点．①如图2，若AF⊥BC，＝，求的值；②如图3，若∠ABC＝60°，＝n，请直接写出的值（用n的式子表示）．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC＝90°，∴四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠ABC＝90°，且∠ADE＝∠BAF，∴∠BAD﹣∠BAF＝∠ABC﹣∠BAF∴∠AED＝∠AFB，且∠BAF＝∠BAF，∴△AEM∽△AFB（2）如图2，过点E作EN⊥AF于点N，∵EN⊥AF，BF⊥AF，∴EN∥BF，∴∴AF＝2AN，BF＝2EN，∵＝，∴AD＝3BF，∴AD＝6EN，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥EN∴△MNE∽△MAD∴，∠ADE＝∠MEN，∴AM＝6MN，∴AN＝7MN，∵∠ADE＝∠MEN，∠BAF＝∠ADE，∴∠BAF＝∠MEN，且∠ANE＝∠ANE，∴△ENM∽△ANE，∴∴EN2＝MN•AN＝AN2，∵设AE＝BE＝a，EN＝b，∴BF＝2b，AD＝6b，∴b2＝（a2﹣b2）∴a＝2b∴AB＝2AE＝2a＝4b，AD＝6b，∴②如图3，过点A作AH平分∠BAD，交BC的延长线于H，过点B作BG∥AH交AF的延长线于点G，∵＝n，E为AB中点．∴AB＝nAD，AE＝BE＝AD∵∠ABC＝60°，AD∥BC，∴∠BAD＝120°，∵AH平分∠BAD，∴∠BAH＝60°＝∠ABC∴△ABH是等边三角形，∴AB＝AH＝BH＝nAD，∵BG∥AH∴∠H＝∠GBF＝60°，∴∠ABG＝120°＝∠EAD，且∠BAF＝∠ADE，∴△ABG∽△DAE，∴∴BG＝AD∵BG∥AH∴△BFG∽△HFA∴∴∴FH＝BF∵BH＝BF+FH∴nAD＝（）BF ∴＝。

2020-2021中考数学复习《相似》专项综合练习及答案一、相似1．如图，M为等腰△ABD的底AB的中点，过D作DC∥AB，连结BC；AB=8cm，DM=4cm，DC=1cm，动点P自A点出发，在AB上匀速运动，动点Q自点B出发，在折线BC﹣CD上匀速运动，速度均为1cm/s，当其中一个动点到达终点时，它们同时停止运动，设点P运动t（s）时，△MPQ的面积为S（不能构成△MPQ的动点除外）．（1）t（s）为何值时，点Q在BC上运动，t（s）为何值时，点Q在CD上运动；（2）求S与t之间的函数关系式；（3）当t为何值时，S有最大值，最大值是多少？（4）当点Q在CD上运动时，直接写出t为何值时，△MPQ是等腰三角形．【答案】（1）解：过点C作CE⊥AB，垂足为E，如图1，∵DA=DB，AM=BM，∴DM⊥AB.∵CE⊥AB，∴∴CE∥DM.∵DC∥ME,CE∥DM,∴四边形DCEM是矩形，∴CE=DM=4，ME=DC=1.∵AM=BM,AB=8,∴AM=BM=4.∴BE=BM−ME=3.∵∴CB=5.∵当t=4时，点P与点M重合，不能构成△MPQ，∴t≠4.∴当且t≠4(s)时,点Q在BC上运动;当 (s)时，点Q在CD上运动.（2）解：①当0<t<4时，点P在线段AM上，点Q在线段BC上，过点Q作QF⊥AB，垂足为F，如图2，∵QF⊥AB，CE⊥AB，∴∴QF∥CE.∴△QFB∽△CEB.∴∵CE=4，BC=5，BQ=t，∴∴∵PM=AM−AP=4−t，∴②当时，点P在线段BM上，点Q在线段BC上，过点Q作QF⊥AB，垂足为F，如图3，∵QF⊥AB,CE⊥AB,∴∴QF∥CE.∴△QFB∽△CEB.∴∵CE=4，BC=5，BQ=t，∴∴∵PM=AP−AM=t−4，∴③当时，点P在线段BM上，点Q在线段DC上，过点Q作QF⊥AB，垂足为F，如图4，此时QF=DM=4.∵PM=AP−AM=t−4，∴综上所述：当0<t<4时当时, 当时，S=2t−8.（3）解：①当0<t<4时,∵ 0<2<4，∴当t=2时,S取到最大值,最大值为②当时, 对称轴为x=2.∵∴当x>2时，S随着t的增大而增大，∴当t=5时,S取到最大值,最大值为③当时，S=2t−8.∵2>0，∴S随着t的增大而增大,∴当t=6时，S取到最大值，最大值为2×6−8=4.综上所述：当t=6时，S取到最大值，最大值为4（4）解：当点Q在CD上运动即时，如图5，则有，即∵MP=t−4<6−4，即MP<2，∴QM≠MP，QP≠MP.若△MPQ是等腰三角形，则QM=QP.∵QM=QP，QF⊥MP，∴MF=PF=12MP.∵MF=DQ=5+1−t=6−t，MP=t−4，∴解得：∴当t= 秒时，△MPQ是等腰三角形【解析】【分析】（1）过点C作CE⊥AB于E，结合题中条件得出四边形DCEM是矩形，结合矩形性质和勾股定理求出BC的长，最后考虑不能构成△MPQ，即可解决问题。

中考数学《相似的综合》专项训练含详细答案一、相似1．已知：如图一，抛物线与x轴正半轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线经过A、C两点，且．（1）求抛物线的解析式；（2）若直线DE平行于x轴并从C点开始以每秒1个单位的速度沿y轴正方向平移，且分别交y轴、线段BC于点E，D，同时动点P从点B出发，沿BO方向以每秒2个单位速度运动，如图；当点P运动到原点O时，直线DE与点P都停止运动，连DP，若点P运动时间为t秒；设，当t为何值时，s有最小值，并求出最小值．（3）在的条件下，是否存在t的值，使以P、B、D为顶点的三角形与相似；若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）解：由直线：知：、；∵，∴，即．设抛物线的解析式为：，代入，得：，解得∴抛物线的解析式：（2）解：在中，，，则；∵，∴；而；∴，∴当时，s有最小值，且最小值为1（3）解：在中，，，则；在中，，，则；∴；以P、B、D为顶点的三角形与相似，已知，则有两种情况：，解得；，解得；综上，当或时，以P、B、D为顶点的三角形与相似【解析】【分析】（1）由直线与坐标轴相交易求得点A、C的坐标，用待定系数法即可求得抛物线的解析式；（2）由题意可将ED、OP用含t的代数式表示出来，并代入题目中的s与OP、DE的关系式整理可得s=（0<t<2），因为分子是定值1，所以分母越大，则分式的值越小，则当分母最大时，分式的值越小，即t=1时，s有最小值，且最小值为1；（3）解直角三角形可得BC和CD、BD的值，根据题意以P、B、D为顶点的三角形与△ABC相似所得的比例式有两种情况：，，将这些线段代入比例式即可求解。

2．如图，抛物线过点，．为线段OA上一个动点（点M与点A不重合），过点M作垂直于x轴的直线与直线AB和抛物线分别交于点P、N．（1）求直线AB的解析式和抛物线的解析式；（2）如果点P是MN的中点，那么求此时点N的坐标；（3）如果以B，P，N为顶点的三角形与相似，求点M的坐标．【答案】（1）解：设直线的解析式为（）∵，∴解得∴直线的解析式为∵抛物线经过点，∴解得∴（2）解：∵轴，则，∴，∵点是的中点∴∴解得，（不合题意，舍去）∴（3）解：∵，，∴，∴∵∴当与相似时，存在以下两种情况：∴解得∴∴ ,解得∴【解析】【分析】（1）运用待定系数法解答即可。