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一、选择题1．下列说法中正确的是()A．镜面是一个平面B．一个平面长10 m，宽5 mC．一个平面的面积是另一个平面面积的2倍D．所有的平面都是无限延展的[答案] D[解析]镜面可以抽象成平面，但不是平面，所以选项A不正确；平面没有大小，所以选项B和选项C都不正确；故选D.2．如图所示，下列符号表示错误的是()A．l∈αB．P∉lC．l⊂αD．P∈α[答案] A[解析]观察图知：P∉l，P∈α，l⊂α，则l∈α是错误的．3．下面四个说法(其中A，B表示点，a表示直线，α表示平面)：①∵A⊂α，B⊂α，∴AB⊂α；②∵A∈α，B∈α，∴AB∈α；③∵A∉a，a⊂α，∴A∉α；④∵A∉α，a⊂α，∴A∉a.其中表述方式和推理都正确的命题的序号是()A．①④B．②③C．④D．③[答案] C[解析]①错，应写为A∈α，B∈α；②错，应写为AB⊂α；③错，推理错误，有可能A∈α；④推理与表述都正确．4．空间中四点可确定的平面有()A．1个B．3个C．4个D．1个或4个或无数个[答案] D[解析]当这四点共线时，可确定无数个平面；当这四点不共线且共面时，可确定一个平面；当这四点不共面时，其中任三点可确定一个平面，此时可确定4个平面．5．下列命题中正确的是()A．圆心与圆周上两点可以确定一个平面B．梯形一定是平面图形C．若A，B，C，D既在平面α内，又在平面β内，则平面α和平面β重合D．两组对边都相等的四边形是平面图形[答案] B[解析]当圆心与圆周上两点共线时，由于共线的三点可以确定无数个平面，所以选项A不正确；选项C中，当A，B，C，D共线时，平面α和平面β可能相交，所以选项C不正确；选项D中，两组对边都相等的四边形可能不共面，所以选项D不正确；由于梯形的一组对边平行，则确定一个平面，所以梯形是平面图形，所以选项B正确．6．设P表示一个点，a、b表示两条直线，α、β表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确的命题是()①P∈a，P∈α⇒a⊂α②a∩b＝P，b⊂β⇒a⊂β③a∥b，a⊂α，P∈b，P∈α⇒b⊂α④α∩β＝b，P∈α，P∈β⇒P∈bA．①②B．②③C．①④D．③④[答案] D[解析]当a∩α＝P时，P∈a，P∈α，但a⊄α，∴①错；a∩β＝P时，②错；如图∵a∥b，P∈b，∴P∉a，∴由直线a与点P确定唯一平面α，又a∥b，由a与b确定唯一平面β，但β经过直线a与点P，∴β与α重合，∴b⊂α，故③正确；两个平面的公共点必在其交线上，故④正确，选D.7．若一直线a在平面α内，则正确的图形是()[答案] A8．下图中正确表示两个相交平面的是()[答案] D[解析]A中无交线；B中不可见线没有画成虚线；C中虚、实线没按画图规则画，也不正确．D的画法正确．画两平面相交时，一定要画出交线，还要注意画图规则，不可见线一般应画成虚线，有时也可以不画．二、填空题9．经过一点可以作__________个平面；经过两点可作________个平面；经过不在同一直线上的三点可作________个平面．[答案]无数，无数，一10．“若A、B在平面α内，C在直线AB上，则C在平面α内．”用符号语言叙述这一命题为____________________________．[答案]A∈α，B∈α，C∈AB⇒C∈α11．若平面α与平面β相交于直线l，点A∈α，A∈β，则点A________l；其理由是________________．[答案]∈，同时在两个不重合平面上的点一定在两个平面的交线上12．已知α∩β＝l，m⊂α，n⊂β，m∩n＝P，则点P与直线l的位置关系用符号表示为________．[答案]P∈l[解析]∵m∩n＝P，m⊂α，n⊂β，∴P∈α，P∈β，又α∩β＝l，∴P∈l.三、解答题13．用符号语言表示下列语句，并画出图形．(1)三个平面α，β，γ交于一点P，且平面α与平面β交于P A，平面α与平面γ交于PB，平面β与平面γ交于PC；(2)平面ABD与平面BCD相交于BD，平面ABC与平面ADC交于AC.[解析](1)符号语言：α∩β∩γ＝P，α∩β＝P A，α∩γ＝PB，β∩γ＝PC.图形表示如图1.(2)符号语言：平面ABD∩平面BCD＝BD，平面ABC∩平面ACD ＝AC.图形表示如图2.14．用符号语言表示下列图形中几何元素之间的位置关系．[解析]图(1)平面α∩平面β＝AB，直线a⊂α，直线b⊂β，b∩AB ＝M；图(2)平面α∩平面β＝PQ，直线a∩α＝A，a∩β＝B；图(3)平面α∩平面β＝CD，直线a⊂α，直线b⊂β，a∩b＝A，A ∈CD.15．如图，已知α∩β＝l，梯形ABCD两底为AD，BC且满足AB ⊂α，CD⊂β，求证：AB，CD，l交于一点．[证明]∵AD，BC是梯形ABCD的两底边，∴AB与CD必交于一点．设AB∩CD＝M，则M∈DC，且M∈AB.又∵AB⊂α，CD⊂β，∴M∈α，且M∈β.即M是平面α与β的公共点．又∵α∩β＝l，由公理3得M∈l，即AB，CD，l交于一点．16．已知直线l与四边形ABCD的三边AB，AD，CD所在直线分别相交于点E，F，G.求证：四边形ABCD是平面四边形．[证明]设AB，AD确定的平面为α，则E∈α，F∈α.于是EF⊂α.又∵G∈EF，∴G∈α.∴DG⊂α，即DC⊂α.∴C∈α.故A，B，C，D四点共面，即四边形ABCD为平面四边形．。
一、选择题1．下列命题①如果两条不重合的直线斜率相等，则它们平行；②如果两直线平行，则它们的斜率相等；③如果两直线的斜率之积为－1，则它们垂直；④如果两直线垂直，则它们的斜率之积为－1.其中正确的为()A．①②③④B．①③C．②④D．以上全错[答案] B[解析]当两直线l1，l2的斜率k1，k2都存在且不重合时，l1∥l2⇔k1＝k2，l1⊥l2⇔k1k2＝－1，故①③正确；当两直线都与x轴垂直时，其斜率不存在，但它们也平行，故②错；当两直线中一条直线与x轴平行(或重合)，另一条直线与x轴垂直时，它们垂直，但一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在，故④错．2．过点A(1,2)和点B(－3,2)的直线与x轴的位置关系是()A．相交B．平行C．重合D．以上都不对[答案] B[解析]∵A、B两点纵坐标相等，∴直线AB与x轴平行．3．已知直线l1和l2互相垂直且都过点A(1,1)，若l1过原点O(0,0)，则l2与y轴交点的坐标为()A．(2,0) B．(0,2)C．(0,1) D．(1,0) [答案] B[解析]设l2与y轴交点为B(0，b)，∵l1⊥l2，∴k1k2＝－1.∴k OA k AB＝－1.∴1－01－0×b－10－1＝－1，解得b＝2，即l2与y轴交点的坐标为(0,2)．4．已知直线l1经过两点(－1，－2)，(－1,4)，直线l2经过两点(2,1)、(6，y)，且l1⊥l2，则y＝()A．2 B．－2C．4 D．1[答案] D[解析]∵l1⊥l2且k1不存在，∴k2＝0，∴y＝1.故选D.5．直线l1的斜率为2，l1∥l2，直线l2过点(－1,1)且与y轴交于点P，则P点坐标为()A．(3,0) B．(－3,0)C．(0，－3) D．(0,3)[答案] D[解析]设P(0，y)∵l1∥l2∴y－10＋1＝2∴y＝3故选D.6．满足下列条件的直线l1与l2，其中l1∥l2的是()①l1的斜率为2，l2过点A(1,2)，B(4,8)②l1经过点P(3,3)，Q(－5,3)，l2平行于x轴，但不经过P点；③l 1经过点M (－1,0)，N (－5，－2)，l 2经过点R (－4，3)，S (0,5)． A ．①② B ．②③ C ．①③ D ．①②③[答案] B7．已知两点A (2,0)、B (3,4)，直线l 过点B ，且交y 轴于点C (0，y )，O 是坐标原点，且O 、A 、B 、C 四点共圆，那么y 的值是( )A ．19 B.194 C ．5 D ．4 [答案] B[解析] 由于A 、B 、C 、O 四点共圆， 所以AB ⊥BC ∴4－03－2·4－y 3－0＝－1 ∴y ＝194故选B.8．过点E (1,1)和点F (－1,0)的直线与过点M (－k2，0)和点N (0，k4)(k ≠0)的直线的位置关系是( )A ．平行B ．重合C ．平行或重合D ．相交或重合 [答案] C[解析] k EF ＝0－1－1－1＝12，k MN＝k40＋k 2＝12， 又当k ＝2时，EF 与MN 重合． 二、填空题9．经过点P (－2，－1)和点Q (3，a )的直线与倾斜角是45°的直线平行，则a ＝________.[答案] 4[解析] 由题意，得tan45°＝a ＋13＋2，解得a ＝4.10．已知△ABC 的三个顶点分别是A (2,2)，B (0,1)，C (4,3)，点D (m,1)在边BC 的高所在的直线上，则实数m ＝________.[答案] 52[解析] 由题意得AD ⊥BC ，则有k AD k BC ＝－1， 所以有1－2m －2·3－14－0＝－1，解得m ＝52.11．直线l 过点A (0,1)和B (－2,3)，直线l 绕点A 顺时针旋转90°得直线l 1，那么l 1的斜率是______；直线l 绕点B 逆时针旋转15°得直线l 2，则l 2的斜率是______．[答案] 1 －33[解析] ∵k AB ＝－1，∴直线l 的倾斜角α＝135°. (1)∵l 1与l 垂直，∴kl 1＝1.(2)∵∠ABC ＝15°，∠CDB ＝135°， ∴∠β＝135°＋15°＝150°，∴kl 2＝tan150°＝tan(180°－30°)＝－tan30°＝－33.12．直线l 1，l 2的斜率k 1，k 2是关于k 的方程2k 2－3k －b ＝0的两根，若l 1⊥l 2，则b ＝________；若l 1∥l 2，则b ＝________.[答案] 2 －98[解析] 当l 1⊥l 2时，k 1k 2＝－1， ∴－b2＝－1.∴b ＝2. 当l 1∥l 2时，k 1＝k 2，∴Δ＝(－3)2＋4×2b ＝0.∴b ＝－98.三、解答题13．直线l 1经过点A (m,1)，B (－3,4)，直线l 2经过点C (1，m )，D (－1，m ＋1)，当l 1∥l 2或l 1⊥l 2时，分别求实数m 的值．[解析] 当l 1∥l 2时，由于直线l 2的斜率存在，则直线l 1的斜率也存在， 则k AB ＝k CD ，即4－1－3－m ＝m ＋1－m－1－1，解得m ＝3；当l 1⊥l 2时，由于直线l 2的斜率存在且不为0，则直线l 1的斜率也存在，则k AB k CD ＝－1，即4－1－3－m ·m ＋1－m －1－1＝－1，解得m ＝－92. 综上，当l 1∥l 2时，m 的值为3；当l 1⊥l 2时，m 的值为－92. 14．已知在▱ABCD 中，A (1,2)，B (5,0)，C (3,4)． (1)求点D 的坐标；(2)试判定▱ABCD 是否为菱形？[解析] 设D (a ，b )，∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴k AB ＝k CD ，k AD ＝k BC ，∴⎩⎪⎨⎪⎧0－25－1＝b －4a －3b －2a －1＝4－03－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝6，∴D (－1,6)．(2)∵k AC ＝4－23－1＝1，k BD ＝6－0－1－5＝－1，∴k AC ·k BD ＝－1.∴AC ⊥BD . ∴▱ABCD 为菱形．15．已知四边形ABCD 的顶点A (m ，n )，B (5，－1)，C (4,2)，D (2,2)，求m 和n 的值，使四边形ABCD 为直角梯形．[分析] 分类讨论直角梯形ABCD 的腰和底，利用直线平行和垂直的斜率关系解决．[解析] (1)如下图，当∠A ＝∠D ＝90°时，∵四边形ABCD 为直角梯形， ∴AB ∥DC 且AD ⊥AB . ∵k DC ＝0，∴m ＝2，n ＝－1.(2)如下图，当∠A ＝∠B ＝90°时， ∵四边形ABCD 为直角梯形，∴AD ∥BC ，且AB ⊥BC ，∴k AD ＝k BC ，k AB k BC ＝－1.∴⎩⎪⎨⎪⎧n －2m －2＝2－(－1)4－5，n ＋1m －5·2－(－1)4－5＝－1，解得m ＝165，n ＝－85.综上所述，m ＝2，n ＝－1或m ＝165，n ＝－85.16．已知定点A (－1,3)，B (4,2)，以A 、B 为直径的端点作圆与x 轴有交点C ，求交点C 的坐标．[分析] 本题中有三个点A 、B 、C ，由于AB 为直径，C 为圆上的点，所以∠ACB＝90°，因此，若斜率存在，则必有k AC·k BC＝－1.列出方程求解即可．[解析]以线段AB为直径的圆与x轴交点为C，则AC⊥CB.据题设条件可知AC，BC的斜率均存在．设C(x,0)，则k AC＝－3x＋1，k BC＝－2x－4.∴－3x＋1·－2x－4＝－1.去分母解得x＝1或2.∴C(1,0)或C(2,0)．规律总结：当AC或BC的斜率不存在时，不满足AC⊥BC.这是很明显的(上图)．故不需对AC或BC斜率不存在的情形作讨论．。
一、选择题1．下列命题中：①两个相交平面组成的图形叫做二面角；②异面直线a，b分别和一个二面角的两个面垂直，则a，b所成的角与这个二面角相等或互补；③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成角的最小角；④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系，其中正确的是()A．①③B．②④C．③④D．①②[答案] B[解析]对①，显然混淆了平面与半平面的概念，是错误的；对②，由于a，b分别垂直于两个面，所以也垂直于二面角的棱，但由于异面直线所成的角为锐角(或直角)，所以应是相等或互补，是正确的；对③，因为不垂直于棱，所以是错误的；④是正确的，故选B.[点评]根据二面角的相关概念进行分析判定．2．以下三个命题中，正确的命题有()①一个二面角的平面角只有一个；②二面角的棱垂直于这个二面角的平面角所在的平面；③分别在二面角的两个半平面内，且垂直于棱的两直线所成的角等于二面角的大小A．0个B．1个C．2个D．3个[答案] B[解析]仅②正确．3．正方体ABCD－A1B1C1D1的六个面中，与平面BC1垂直的面的个数是()C．3 D．4[答案] D[解析]与平面BC1垂直的面有：平面AC，平面A1C1，平面AB1，平面CD1.4．自二面角内任意一点分别向两个面引垂线，则两垂线的夹角与二面角的平面角的关系是()A．相等B．互补C．互余D．无法确定[答案] B[解析]如图，BD、CD为AB、AC所在平面与α、β的交线，则∠BDC为二面角α－l－β的平面角．且∠ABD＝∠ACD＝90°，∴∠A ＋∠BDC＝180°.5．已知α，β是平面，m、n是直线，给出下列表述：①若m⊥α，m⊂β，则α⊥β；②若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；③如果m⊂α，n⊄α，m，n是异面直线，那么n与α相交；④若α∩β＝m，n∥m，且n⊄α，n⊄β，则n∥α且n∥β.其中表述正确的个数是()C ．3D ．4[答案] B [解析] ①是平面与平面垂直的判定定理，所以①正确；②中，m ，n 不一定是相交直线，不符合两个平面平行的判定定理，所以②不正确；③中，还可能n ∥α，所以③不正确；④中，由于n ∥m ，n ⊄α，m ⊂α，则n ∥α，同理n ∥β，所以④正确．6．正方体A 1B 1C 1D 1－ABCD 中，截面A 1BD 与底面ABCD 所成二面角A 1－BD －A 的正切值等于( ) A.33 B.22 C. 2 D. 3[答案] C[解析] 设AC 、BD 交于O ，连A 1O ，∵BD ⊥AC ，BD ⊥AA 1，∴BD ⊥平面AA 1O ，∴BD ⊥A 1O ，∴∠A 1OA 为二面角的平面角．tan ∠A 1OA ＝A 1A AO ＝2，∴选C.7．在二面角α－l －β中，A ∈α，AB ⊥平面β于B ，BC ⊥平面α于C ，若AB ＝6，BC ＝3，则二面角α－l －β的平面角的大小为( )C．30°或150°D．60°或120°[答案] D[解析]如图，∵AB⊥β，∴AB⊥l，∵BC⊥α，∴BC⊥l，∴l⊥平面ABC，设平面ABC∩l＝D，则∠ADB为二面角α－l－β的平面角或补角，∵AB＝6，BC＝3，∴∠BAC＝30°，∴∠ADB＝60°，∴二面角大小为60°或120°.8．四边形ABCD是正方形，以BD为棱把它折成直二面角A－BD－C，E为CD的中点，则∠AED的大小为()A．45°B．30°C．60°D．90°[答案] D[解析]设BD中点为F，则AF⊥BD，CF⊥BD，∴∠AFC＝90°，∴AF⊥面BCD.∵E、F分别为CD、BD的中点，∴EF∥BC，∵BC⊥CD，∴CD⊥EF，又AF⊥CD，∴CD⊥平面AEF，∴CD⊥AE.故选D.二、填空题9．下列四个命题中，正确的命题为________(填序号)．①α∥β，β⊥γ，则α⊥γ②α∥β，β∥γ，则α∥γ③α⊥β，γ⊥β，则α⊥γ④α⊥β，γ⊥β，则α∥γ[答案]①②10．在三棱锥P－ABC中，已知P A⊥PB，PB⊥PC，PC⊥P A，如右图所示，则在三棱锥P－ABC的四个面中，互相垂直的面有________对．[答案] 3[解析]∵P A⊥PB，P A⊥PC，PB∩PC＝P，∴P A⊥平面PBC，∵P A⊂平面P AB，P A⊂平面P AC，∴平面P AB⊥平面PBC，平面P AC⊥平面PBC.同理可证：平面P AB⊥平面P AC.11．如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，BC＝2，AA1＝1，E，F分别在AD和BC上，且EF∥AB，若二面角C1－EF－C等于45°，则BF＝________.[答案] 1[解析]∵AB⊥平面BC1，C1F⊂平面BC1，CF⊂平面BC1，∴AB⊥C1F，AB⊥CF，又EF∥AB，∴C1F⊥EF，CF⊥EF，∴∠C1FC是二面角C1－EF－C的平面角，∴∠C1FC＝45°，∴△FCC1是等腰直角三角形，∴CF＝CC1＝AA1＝1.又BC＝2，∴BF＝BC－CF＝2－1＝1.12．如图，四边形ABCD是正方形，P A⊥平面ABCD，且P A＝AB＝a.(1)二面角A－PD－C的度数为________；(2)二面角B－P A－D的度数为________；(3)二面角B－P A－C的度数为________；(4)二面角B－PC－D的度数为________．[答案]90°；90°；45°；120°[解析](1)P A⊥平面ABCD，∴P A⊥CD.又四边形ABCD为正方形，∴CD⊥AD，∴CD⊥平面P AD，又CD⊂平面PCD，∴平面P AD⊥平面PCD，∴二面角A－PD－C为90°.(2)∵P A⊥平面ABCD，∴AB⊥P A，AD⊥P A，∴∠BAD为二面角B－AP－D的平面角．又∠BAD＝90°，∴二面角B－AP－D为90°.(3)P A⊥平面ABCD，∴AB⊥P A，AC⊥P A，∴∠BAC为二面角B－P A－C的平面角，又四边形ABCD为正方形，∴∠BAC＝45°，即二面角B－P A－C为45°.(4)作BE ⊥PC 于E ，连DE ，则由△PBC ≌△PDC 知∠BPE ＝∠DPE ，从而△PBE ≌△PDE ，∴∠DEP ＝∠BEP ＝90°，且BE ＝DE ，∴∠BED 为二面角B －PC －D 的平面角．∵P A ⊥平面ABCD ，∴P A ⊥BC ，又AB ⊥BC ，∴BC ⊥平面P AB ，∴BC ⊥PB ，∴BE ＝PB ·BC PC ＝63a ，BD ＝2a ，∴取BD 中点O ，则sin ∠BEO ＝BO BE ＝32，∴∠BEO ＝60°，∴∠BED ＝120°∴二面角B －PC －D 的度数为120°.三、解答题13．(2012·江西卷)如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，E ，F 是线段AB 上的两点，且DE ⊥AB ，CF ⊥AB ，AB ＝12，AD ＝5，BC ＝42，DE ＝4.现将△ADE ，△CFB 分别沿DE ，CF 折起，使A ，B 两点重合与点G ，得到多面体CDEFG .(1)求证：平面DEG ⊥平面CFG ；(2)求多面体CDEFG 的体积．[解析] (1)由已知可得AE ＝3，BF ＝4，则折叠完后EG ＝3，GF ＝4，又因为EF ＝5，所以可得EG ⊥GF ，又因为CF ⊥底面EGF ，可得CF ⊥EG ，即EG ⊥面CFG 所以平面DEG ⊥平面CFG .(2)过G 作GO 垂直于EF ，GO 即为四棱锥G －EFCD 的高，所以所求体积为13S 矩DECF ·GO ＝13×5×4×125＝16.14．在如下图所示的四面体ABCD 中，AB ，BC ，CD 两两互相垂直，且BC ＝CD .(1)求证：平面ACD ⊥平面ABC ；(2)求二面角C －AB －D 的大小．[分析] (1)转化为证明CD ⊥平面ABC ；(2)∠CBD 是二面角C －AB －D 的平面角．[解析] (1)证明：∵CD ⊥AB ，CD ⊥BC ，AB ∩BC ＝B ， ∴CD ⊥平面ABC .又∵CD ⊂平面ACD ，∴平面ACD ⊥平面ABC .(2)∵AB ⊥BC ，AB ⊥CD ，且BC ∩CD ＝C ，∴AB ⊥平面BCD .∴AB ⊥BD .∴∠CBD 是二面角C －AB －D 的平面角．∵在Rt △BCD 中，BC ＝CD ，∴∠CBD ＝45°.∴二面角C －AB －D 的大小为45°.15．已知P A ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为矩形，P A ＝AD ，M 、N 分别是AB 、PC 的中点，求证：(1)MN ∥平面P AD ；(2)平面PMC ⊥平面PDC .[解析] (1)取PD 的中点Q ，连接AQ 、QN ，∵PN ＝NC ，∴QN 綊12DC .∵四边形ABCD 为矩形，∴QN 綊AM ，∴MN ∥AQ ，又∵AQ⊂平面P AD，MN⊄平面P AD，∴MN∥平面P AD.(2)∵P A⊥平面ABCD，∴∠P AD＝90°，∴△P AD为等腰直角三角形，∵Q为PD中点，∴AQ⊥PD，∵CD⊥AD，CD⊥P A，∴CD⊥平面P AD，∵AQ⊂平面P AD，∴CD⊥AQ，∴AQ⊥平面PDC由(1)MN∥AQ，∴MN⊥平面PDC，又∵MN⊂平面PMC，∴平面PMC⊥平面PDC.16．如图所示，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中点，P A⊥底面ABCD，P A＝ 3.(1)证明：平面PBE⊥平面P AB；(2)求二面角A－BE－P的大小．[解析](1)证明：如图所示，连接BD，由ABCD是菱形且∠BCD ＝60°知，△BCD是等边三角形．因为E是CD的中点，所以BE⊥CD，又AB∥CD，所以BE⊥AB，又因为P A⊥平面ABCD，BE⊂平面ABCD，所以P A⊥BE.而P A∩AB＝A，因此BE⊥平面P AB.又BE⊂平面PBE，所以平面PBE⊥平面P AB.(2)由(1)知，BE⊥平面P AB，PB⊂平面P AB，所以PB⊥BE.又AB ⊥BE，所以∠PBA是二面角A－BE－P的平面角．在Rt△P AB中，tan∠PBA＝P AAB＝3，∠PBA＝60°. 故二面角A－BE－P的大小是60°.。
