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数值计算CH4数值积分与数值微分—43Romberg算法.ppt

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计算方法-第4章-数值积分与数值微分龙贝格求积公式精品

计算方法-第4章-数值积分与数值微分龙贝格求积公式精品
在实际计算中常常采用变步长的计算方案，即在步长逐次 二分的过程中，反复利用复化求积公式进行计算，直到 二分前后两次积分近似值之差符合精度要求为止。
2019f (x)dx的积分区间[a,b]分割为n等份 a
各节点为 xk a kh , k 0,1,, n
例：p110
2019/8/31
5
§ 4.4.2 龙贝格算法
根据复化梯形公式的余项表达式可知
I

Tn

ba 12
h2
f
(),
(a,b)
I
T2n

ba 12
(h)2 2
f
(
),
(a,b)
假定 f () f ( ) ，则有 I T2n 1 I Tn 4
C2 0.94608307
I 1sin x dx 0x
0.946083070367183
9
将T
1
41
T2n 3 (T2n Tn ) 3 T2n 3 Tn 用于计算 I
1sin x dx 0x
I 0.9460831
T4 0.9445135
2位有效数字
第四章 数值积分
§ 4.4 龙贝格算法
2019/8/31
1
§ 4.4.1 梯形法的递推化
由上节讨论得知加密节点可以提高求积公式的精度，复化 求积方法对提高精度是行之有效的，但必须事先给出合适 的步长（即n的选取），步长取得太大则精度难以保证， 而步长取得太小又会导致计算量的增加。因此，如何确定 适当的n，使近似值和精确值之差在允许的范围，这又是 一个难题。
3 (h) 1
3 ( 2 h)
表4-5 T表

Romberg算法

Romberg算法
1 h S ( h) 4T T ( h) I [ f ] 1h4 2h6 I [ f ] O( h4 ) 3 2 1 6 h C ( h) 16 S S ( h) I [ f ] 1h6 2h8 I [ f ] O( h ) 15 2 1 h R( h) 64C C ( h) I [ f ] O( h8 ) 53 2

Richardson 外推算法
Romberg 算法
记: T
(k) 0
T2k , T
(k) 1
S2k , T
(k) 2
C2k , T
(k) 3
R2k
T0( k ) : k 次等分后梯形公式计算所得的近似值 ( Tmk ) : m 次加速后所得的近似值
(0)
(1) (2) (3)
( Tmk ) ( ( 4 mTmk 1) Tmk )1 1 4m 1
ba h n
h0 b a
h1 ba 2
n=1
n=2 n=4
1 h1 1 T4 T2 f (a ih1 0.5h1 ) 2 2 i 0 1 h2 3 T8 T4 f ( a ih2 0.5h2 ) 2 2 i 0
ba h2 4
梯形法递推公式

Cha4.2.m
程序演示
Cha41.m: 复化N-C公式 Cha42.m: 梯形法的递推
龙贝格 (Romberg) 加速
梯形法递推公式算法简单，编程方便
但收敛速度较 慢 解决方法：龙贝格 (Romberg) 加速
复化积分公式的渐近状态
思想：利用余项公式与积分的定义

数值分析课件 第4章 数值积分与数值微分

数值分析课件 第4章 数值积分与数值微分

第4章 数值积分与数值微分1 数值积分的基本概念实际问题当中常常需要计算定积分。

在微积分中，我们熟知，牛顿—莱布尼兹公式是计算定积分的一种有效工具，在理论和实际计算上有很大作用。

对定积分()ba I f x dx =⎰，若()f x 在区间[,]ab 上连续，且()f x 的原函数为()F x ，则可计算定积分()()()ba f x dx Fb F a =-⎰ 似乎问题已经解决，其实不然。

如1）()f x 是由测量或数值计算以数据表形式给出时，Newton-Leibnitz 公式无法应用。

2）许多形式上很简单的函数，例如222sin 1(),sin ,cos ,,ln x x f x x x e x x-=等等，它们的原函数不能用初等函数的有限形式表示。

3）即使有些被积函数的原函数能通过初等函数的有限形式表示，但应用牛顿—莱布尼兹公式计算，仍涉及大量的数值计算，还不如应用数值积分的方法来得方便，既节省工作量，又满足精度的要求。

例如下列积分24111ln11arc 1)arc 1)xdxxtg tg C++=+⎡⎤+++-+⎣⎦⎰对于上述这些情况，都要求建立定积分的近似计算方法—数值积分法。

1.1 数值求积分的基本思想根据以上所述，数值求积公式应该避免用原函数表示，而由被积函数的值决定。

由积分中值定理：对()[,]f x C a b∈，存在[,]a bξ∈，有()()()baf x dx b a fξ=-⎰表明，定积分所表示的曲边梯形的面积等于底为b a-而高为()fξ的矩形面积（图4-1）。

问题在于点ξ的具体位置一般是不知道的，因而难以准确算出()fξ。

我们将()fξ称为区间[,]a b上的平均高度。

这样，只要对平均高度()fξ提供一种算法，相应地便获得一种数值求积分方法。

如果我们用两端的算术平均作为平均高度()f ξ的近似值，这样导出的求积公式[()()]2b a T f a f b -=+ (1.1)便是我们所熟悉的梯形公式（图4-2）。

《数值积分方法》课件

《数值积分方法》课件

数值积分的分类
按方法分类
可分为直接法和间接法。直接法如蒙特卡洛方法，间 接法如梯形法则、辛普森法则等。
按精确度分类
可分为低阶和高阶方法。低阶方法如梯形法则，高阶 方法如复合梯形法则、复合辛普森法则等。
按使用范围分类
可分为有限区间上的数值积分和无限区间上的数值积 分。
02
直接法
矩形法
总结词：简单直观
在金融建模中的应用
期权定价模型
数值积分方法可以用于求解期权定价模型，从而为金融衍生品定价提供依据。例如，二叉 树模型和蒙特卡洛模拟等。
利率衍生品定价
在利率衍生品定价中，数值积分方法可以用于求解利率期限结构模型，例如LIBOR市场模 型等。
风险管理
通过数值积分方法，可以对金融风险进行量化评估和管理。例如，计算VaR（风险价值） 和CVaR（条件风险价值）等指标，以评估投资组合的风险暴露程度。
自适应插值控制法
总结词
自适应插值控制法是一种通过插值技术来提 高数值积分精度的控制方法。
详细描述
在数值积分过程中，自适应插值控制法利用 插值技术对积分函数进行逼近，以提高数值 积分的精度。这种方法能够根据积分区间和 积分函数的特性，自动选择合适的插值方法 ，以获得更高的积分精度。同时，自适应插 值控制法还能够有效地处理复杂积分函数和
80%
算法设计与实现
数值积分方法的设计与实现是计 算数学的重要研究内容，推动了 科学计算的发展。
数值积分的概念
定义
数值积分是对函数在某个区间 上的定积分进行数值逼近的方 法。
思想
通过选取适当的积分点和权函 数，将定积分的计算转化为数 值逼近问题。
近似公式
常用的数值积分公式有梯形公 式、辛普森公式、复合梯形公 式、复合辛普森公式等。

数值分析数值计算方法课程课件PPT之第四章数值积分与数值微分

数值分析数值计算方法课程课件PPT之第四章数值积分与数值微分
4
( x a )( x b ) d x a
b
[ a , b ].
(2) f ( x) C [a, b], 则 辛 普 森 公 式 的 截 断 差 误 为：
f ()b a b 2 R ( x a )( x ) ( x b ) d x S a 4 ! 2
b ab a 4 ( 4 ) ( ) f ( ), 180 2
n 1
I k 求出积分值Ik,然后将它们累加求和,用 作为所求积分 I的近 k 0 似值。
h I f ( x ) dx f ( x ) dx f ( x ) f ( x ) k k 1 a x k 2 k 0 k 0 h f ( x ) 2 ( f ( x ) f ( x ) ... f ( x )) f ( x ) 0 1 2 n 1 n 2
记
1 S f ( a ) 4 f ( x ) 2 f ( x ) f ( b ) 1 n k k 2 6 k 0 k 1
n 1 n 1
称为复化辛普森公式。
18
类似于复化梯形公式余项的讨论，复化辛普森公式的求 积余项为
R s h f 2880 ba
1

4.3 复化求积公式
问题1：由梯形、辛普森和柯特斯求积公式余项，分析随着求 积节点数的增加，对应公式的精度是怎样变化？ 问题2：当n≥8时N—C求积公式还具有数值稳定性吗？可用增 加求积节点数的方法来提高计算精度吗？ 在实际应用中，通常将积分区间分成若干个小区间， 在每个小区间上采用低阶求积公式，然后把所有小区间上 的计算结果加起来得到整个区间上的求积公式，这就是复 化求积公式的基本思想。常用的复化求积公式有复化梯形 公式和复化辛普森公式。

数值分析第四章数值积分与数值微分-PPT课件

数值分析第四章数值积分与数值微分-PPT课件

Cotes系数只与 j 和 n 有关, 与 f x 和积分区间 a , b
无关， 且满足:
1 C k
n
n
C n k
n
(n) 2 C j 1 j0
2、截断误差
Newton-Cotes公式的误差为:
1 ) f (n ( ) R (f) w (x ) dx n 1 a ( n 1 )! b n 2 n n h (n 1 ) f ( ) ( tj) dt , ( a ,b ) ( n 1 )!0 0 j

n ( u j ) du 2
据此可断定 R f 0 ,因为上述被积函数是个奇函数.
4、数值稳定性
现在讨论舍入误差对计算结果产生的影响. 设用公式 近似计算积分
( n ) I ( f ) ( b a ) C j f(xj) n j 0 n
I ( f ) f ( x)dx
a
b
0 , 1 ,2 , . . . n 时, 其中计算函数值 f x j 有误差 ，而 j j
计算 C
n
j
没有误差, 中间计算过程中的舍入误差也不考虑,
j
则在 I n ( f ) 的计算中,由
引起的误差为
( n ) e ( b a ) C f ( x ) ( b a ) C j) j (f(xj) n j j 0 ( n ) j j 0 ( n ) ( b a ) C j j n
x
f x
1 4
2 4.5
3 6
4 8
5 8.5
呵呵…这就需要积 原来通过原函数来计 分的数值方法来帮 算积分有它的局限性。 忙啦。 那…… 怎么办呢？

数值分析4数值积分与数值微分

第4 章4数与数微数值积分与数值微分本章内容411.1 光波的特性4.1 引言4.2 Newton-Cotes 公式1.2 光波在介质界面上的反射和折射4.3 Romverg 算法4.4Gauss 1.3 光波在金属表面上的反射和折射4.4 Gauss 公式4.5 数值微分2本章要求主要内容：机械求积、牛顿柯特斯公式、龙贝格算法、高斯公式、•—数值微分。

•基本要求–(1)了解数值微分公式的导出方法及常用的数值微分公式。

–(2) 掌握数值积分公式的导出方法，截断误差；理解代数精度的概念，会用待定系数法。

–(3) 掌握梯形求积公式，抛物线求积公式，牛顿－柯特斯公式的构造及使用，并会应用公式求积分。

(4)熟悉复化梯形公式复化辛普生公式–(4) 熟悉复化梯形公式，复化辛普生公式。

–(5) 会用龙贝格积分法。

–(6) 了解高斯型求积公式的概念及导出方法，能构造简单问题的高精度求积公式，会使用常见的几种高斯型求积公式进行计算。

积公式会使用常见的几种高斯型求积公式进行计算•重点、难点重点牛顿柯特斯公式–重点：牛顿－柯特斯公式；–难点：代数精度的概念。

3414114.1 引言4.1.1 数值求积的基本思想一、问题,d)(∫=b a xxfI数学分析中的处方法由微积分学基本定当如何求积分数学分析中的处理方法：由微积分学基本定理，当f(x)在[a, b]上连续时，存在原函数F(x)，牛顿-莱布尼茨(Newton-Leibniz)公式：).()(d)(aFbFxxf ba−=∫但有时用上面的方法计算定积分有困难但有时用上面的方法计算定积分有困难。

441N-L4.1 引言N L公式失效的情形：这时，N-L公式也不能直接运用。

因此有必要研究问题即用数值方法计算定积分因此，有必要研究数值积分问题，即用数值方法计算定积分的近似值.541二、构造数值积分公式的基本思想4.1 引言、构造数值积分公式的基本思想问题：点ξ的具体位置一般是不知道的，因而难以准确算出的值，怎么办？f(ξ)641采用不同的近似计算方法从而得到各种不同的4.1 引言)对f(ξ)采用不同的近似计算方法，从而得到各种不同的数值求积公式。

数值计算方法第07章数值微分与数值积分方案

(n 1)!

(
xi
)
10
下面仅仅考察节点处的导数值。为简化讨论，假定所给
的节点是等距的，设步长为 h 。
(1)两点公式：两节点 x0 , x1 x0 h 的函数值 f ( x0 ), f ( x1) 。 则线性插值函数
L1( x)
x x1 x0 x1
f
( x0 )
x x0 x1 x0
n
次插值多项式 Ln( x) f ( xk )lk ( x), 即得到
k0
b
n
b
f ( x)dx
a
f ( xk ) a lk ( x)dx
Ak
k0
插值型求积公式
Ak
b n ( x x j ) dx a j0, jk ( xk x j )
由 节点决定, 与 f (x) 无关.
f ( x1 )
x x1 h
f ( x0 )
x x0 h
f ( x1 )
则
L1( x)

1 [ h
f
( x0 )
f
( x1 )]
(7.1)
L1( x0 )

1 [ h
f
( x0 )
f
( x1 )],
L1( x1 )

1 [ h
f
( x0 )
f
( x1)]
11
(2) 三 点 公 式 : 已 知 x0 , x1 x0 h,, x2 x0 2h 的 函 数 值 f (x0 ), f (x1), f (x2 ) ,
本章主要介绍数据微积分的基本思想方法及常 用的数值微分与数值积分公式。

数值分析课件第八章-数值积分.ppt


g(u)
n (u n j)
n/2
(u j)
j0
2
jn / 2
是奇函数，故R[f]=0。证毕。
8.3 复合求积公式
1、复合梯形公式
将[a,b]n等分，h=(b-a)/n，在每个子区间[xk, xk+1] (k=0,1,…,n-1)上采用梯形公式，得
I
b
n1
f (x)dx
n
Ln (x) lk (x) f (xk )
k 0
(lk (x)
n j0
(x xj) ) (xk x j )
jk
则
b
b
n
b
a f (x)dx a Ln (x)dx f (xk ) a lk (x)dx
k 0
若记
Ak
b
a lk (x)dx
b n (x x j ) dx a j0 (xk x j )
0
32 90
C2( 4 )
1 4 2!2!
4
t(t 1)(t 3)(t 4)dt
0
12 90
C3( 4 )
1 4 3!
4
t(t 1)(t 2)(t 4)dt
0
32 90
C4( 4 )
1 4 4!
4
t(t 1)(t 2)(t 3)dt
0
7 90
求积公式为
4
I4 ( f ) (b a)
定义1. 若求积公式
b
f (x)dx
a
n
i f (xi )
i0
对所有次数不超过 m次的代数多项式 Pk (x)(k m)都准确成立 ,即
b
n
a Pk (x)dx i Pk (xi )

数值分析课件第4章 数值积分与数值微分

故求积公式具有3次代数精度.
上页
下页
如果我们事先选定求积节点xk，譬如，以区间 [a, b]的等距分点作为节点，这时取m=n求解方程组 即可确定求积系数Ak，而使求积公式至少具有 n次 代数精度. 本章第2节介绍这样一类求积公式，梯形 公式是其中的一个特例.
如为了构造出上面的求积公式，原则上是一个
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得求积公式为
I
2h
2h
8 4 8 f ( x ) d x hf ( h) hf (0) hf ( h) 3 3 3
2h 3
令 f (x)=x3，得
8 3 3 0 x d x h[( h) h ] 0 2h 3
令 f (x)=x4，得
64 5 2 h 4 8 16 5 4 4 h x d x h[( h) h ] h 2h 5 3 3
~ In ( f ) In ( f )
~ Ak [ f ( xk ) f k ] ,
k 0
n
成立，则称求积公式ΣAkf(xk)是稳定的，
上页
下页
定理2 若求积公式ΣAkf(xk)中所有系数Ak>0， 则此求积公式是稳定的.
证明 对任给ε>0，若取δ=ε/(b-a), 对所有k都有 ~ f ( xk ) f k ( k 0,1,, n) n 则有 ~ ~ I n ( f ) I n ( f ) Ak [ f ( x k ) f k ]
k 0 n

k 0 n
~ Ak f ( x k ) f k
Ak (b a ) .
k 0
故求积公式是稳定的.
上页 下页
6.2 牛顿—柯特斯公式
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得
4 1 I T 2n T n 3 3
n 1 n 1 b a ( f ( a ) f ( b ) 2 f ( x ) 4 f ( x ) ] j 1 j 6 n j 1 j 0 2
问：有没有办法改善梯形公式呢?
Romberg 算法的思想
Step 1. 利用复合梯形公式,在对积分区间步长逐次折半过程中,求 b 得积分 I f (x)dx 的近似值序列 {T k } (k 为对分次数, 2 a k = 0,1,2,… )
Step 2. 利用误差补偿方法,逐步将 {T k } 加工成高精度的近似值. 2
-------- (1)
n 1 n 1 h T [ f ( a ) 2 f ( x ) 2 f ( x ) f ( b )] -------- (2) 2 n j 1 j 4 j 1 j 0 2
1 1 hn T f (x 1) n j 2 2 j0 2
4 1 T ( k ) T ( k 1 ) 0 0 3 3
令
4 1 T ( k 1 ) T ( k ) T ( k 1 ) 1 0 0 3 3
由
n 1 h T f( a ) 2 f( x f( b ) ] n [ j) 2 j 1
n 1 n 1 h T [ f ( a ) 2 f ( x ) 2 f ( x ) f ( b )] 2 n j 1 j 4 j 1 j 0 2
ba h k 1 2
x
j 1 2
b a xj a jh a j k1 2
1 b a 1 b a (j ) k1 xj h a a ( 2j 1 ) k 2 2 2 2
因此(1)(2)(3)式可化为如下的递推梯形公式：
b a T ( 0 ) [f( a ) f( b )] 0 2 (4)------- k 1 2 1 1 b a b a T ( k ) T ( k 1 ) k f ( a ( 2 j 1 ) k) 0 0 2 2 j 2 0
T ( k ) 0
0.920 735 49 0.939 793 28 0.944 513 52

6.35210-3 1.57310-3
3
0.125 0.375 0.625 0.875
0.945 690 86
3.92410-4
T ( 3 ) 0 . 945 690 86 取 I 0
8 对于上例,若要求 10 ,则需要对分10次,涉及到1000多个 点处的函数值,得结果0.9460831.
k 1 , 2 ,
注: 递推梯形公式加上一个控制精度, 即可成为自动选取 步长的复合梯形公式. 递推梯形公式的前后两步之差:
1 T ( k ) T ( k 1 ) 0 0 3
可视为当前步骤的 计算误差.
sinx 例1 用递推的梯形公式计算积分 I dx 要求误差 0 x 3 10 . 0.125 0.375 0.625 0.875 不超过
第四章 数值积分与 数值微分
4.3 Romberg 算法
张红梅
自动化学院
2010年3月
4.3 Romberg算法
由前几节的内容可知,梯形公式、Simpson 公式、 Cotes 公式的代数精度分别为： 1 次、3 次和 5 次 复合梯形、复合Simpson、复合Cotes 公式的收代数精度还是收敛速度, 复合梯形公式都是较差的
3-1 复合梯形公式的递推化
将定积分 I a f (x)dx 的积分区间 [ a , b ] 分割为n 等份,
b a )/n a jh , j 0 , 1 , , nh( 各节点为： x j
b
复合梯形公式：
n 1 h T f( a ) 2 f( x f( b ) ] n [ j) 2 j 1
n 1 j 1 n 1
n 1 h T f ( x ) 2 f ( x1 ) f ( x ) 2 n j j 1 j 4 j 0 2
4
j
j 0
1 j 2
n 1 T h n f (x 1) j 2 2 j0 2
n 1 b a 时, h
-------- (3)
h xj 2
实际上,T2n也可以直接利用梯形公式,按如下方法得到:
在每一子区间 [ x j , x j 1 ] 上应用梯形公式,再将所有子 区间相加,即
步长折半后, 只需计算新节点 h 的函数值 ,2 节省一半的计算量 [ f ( a ) f ( x ) 2 f ( x) f ( b )] !
1
解
k x (新节点) j
0 1 2 0 1 0.5 0.25 0.75
0
0.25
0.5
0.75
1
f ( x ) j
1.000 000 00 0.841 470 98 0.958 851 08 0.989 615 84 0.908 851 68 0.997 397 88 0.976 726 74 0.936 155 64 0.945 690 87
问: 是否存在其他的方法, 能够加速积分的收敛？
下面利用复合梯形余项公式、复合 Simpson 余项公式和 复合 Cotes 余项公式对上述递推公式进行加速———
Romberg算法
3-2 外推加速公式
复合梯形公式的余项:
1 I T T T 2 n ( 2 n n) 3
4 1 I T 2n T n 3 3
n为步数,经若干次步长
则由(1)(2)(3)式,有
折半所得,必为偶数！
b a T [f( a )f( b )] 1 2
T0 (0)
1 b a 1 T f ( a h ) T ) 2 T 1 0(1 2 2 2
k 1 T ( k 1 ) 自然有 T T k) k 1 , 2 , ), 记 T 若 n 2 ,( n 0 2 n 0(