奇数阶幻方和4m阶幻方构造的李功儒法

任意奇数阶幻方最简单公式做法任意奇数阶幻方最简单公式做法奇数阶幻方的填法我有最简易公式，任意奇数阶直接填成（3阶——任意奇数阶通用），先填中心九宫图，然后延伸填成米字形。

在米字划分的八个区内，对称填（1——最大数），（2——最大数减1），（3——最大数减2），（4——最大数减3）。

这八个数为首数，然后按照走向每格依次递加4，或者递减4，依次填完即成！公式简单而且完美对称，绝对最简单！不用位移法，一次填成！任意奇数阶通用。

公式中带入n(即幻方阶数）即可，内九宫格内每格一个公式，正中心数填上（n 平方+1）除以2，.然后以（中心数）（注：以下简称（中））为坐标和原始数；得出周围八个格内数，如下：中上左为（中）减1. 中下右为（中）加1.中上为（中）减（n-1). 中下为（中）加（n-1).中上右为（中）加（2n-3). 中下左为（中）减（2n-3).中左为（中）加（n+1). 中右为（中）减（n+1).然后以这八个数为首数，向外延伸成米字形，填法如下：中上左方向每格递减2. 中下右方向每格递加2.中上方向每格递加2. 中下方向每格递减2.中上右方向每格递减2. 中下左方向每格递加2.中左方向每格递加2. 中右方向每格递减2.下面填米字隔开的八个区域：将（1 ）填入右上顶角的下一格，（以它为首数每格递加4）从上往左下依次填完一行，再折回从上往左下依次填完第二行，以此类推，填完本区。

将（n的平方）填入右下顶角的上一格，（以它为首数每格递减4）从下往左上依次填完一行，再折回从下往左上依次填完第二行，以此类推，填完本区。

将（2 ）填入右下顶角的左一格，（以它为首数每格递加4）从下往左上依次填完一行，再折回从下往左上依次填完第二行，以此类推，填完本区。

将（n的平方-1）填入左下顶角的右一格，（以它为首数每格递减4）从下往右上依次填完一行，再折回从下往右上依次填完第二行，以此类推，填完本区。

将（3 ）填入左下顶角的上一格，（以它为首数每格递加4）从下往右上依次填完一行，再折回从下往右上依次填完第二行，以此类推，填完本区。

n阶幻方的李氏定理（一）n阶幻方：（n≥ 3）将n×n个正整数1、2、3、……、n×n，填到n阶幻方的n×n个方格中，使横、竖、对角n数之和都相等。

（二）李氏定理一：（同解定理）设n阶方阵A是n阶幻方的一个解，则将方阵A旋转或翻转后也是n阶幻方的解，且与方阵A是一个解。

（三）李氏定理二：（补解定理）设n阶方阵A是n阶幻方的一个解，则将方阵A元素a换成n+1-a后也是n阶幻方的解，其补解是同解或新解。

（四）李氏定理三：（对称调换定理）设n阶方阵A是n阶幻方中心对称互补型的解(n≥ 4)，将方阵A 第i行与第(n+1-i)行调换（当n为奇数时，i≠ (n+1)/2），得到的新方阵B是n阶幻方中心对称互补型的新解。

（五）李氏定理四：（对偶变换定理）设n阶方阵A是n阶幻方中心对称互补型的解(n≥ 4)，将方阵A 第i行与第j行调换(i≠j)、第(n+1-i)行与第(n+1-j)行调换（当n为奇数时，(i, j) ≠ (n+1)/2），得到的新方阵B是n阶幻方中心对称互补型的新解。

（六）李氏定理五：（双对称调换定理）设n阶方阵A是n阶幻方的一个解(n≥ 4)，将方阵A第i行与第(n+1-i)行调换（当n为奇数时，i≠ (n+1)/2），第i列与第(n+1-i)列调换，得到的新方阵B是n阶幻方的一个新解。

（七）李氏定理六：（双对偶变换定理）设n阶方阵A是n阶幻方的一个解(n≥ 4)，将方阵A第i行与第j 行调换(i≠j)、第(n+1-i)行与第(n+1-j)行调换（当n为奇数时，(i, j) ≠ (n+1)/2），第i列与第j列调换、第(n+1-i)列与第(n+1-j)列调换，得到的新方阵B是n阶幻方的一个新解。

（八）当n≥ 6时，还有更复杂的双对偶变换定理。

根据以上定理，可将四阶幻方的880个解简化为很少的基本解。

构造幻方所谓幻方，也教纵横图，就是在n×n的方阵中放入1到n2个自然数：在一定的布局下，其各行、各列和两条对角线上的数字之和正好都相等。

这个和数就叫做“幻方常数”或幻和。

幻方分为奇数阶幻方、偶数阶幻方（单偶阶幻方、双偶阶幻方），下面就这三类幻方的构造分别示范。

奇数阶幻方的经典方法－罗伯奇数阶幻方，也就是3阶、5阶、7阶……幻方，那么如何构造这样的幻方呢？我们可以采取罗伯法（也叫连续摆数法），其法则如下：把“1”放在中间一列最上边的方格中，从它开始，按对角线方向（比如说按从左下到右上的方向）顺次把由小到大的各数放入各方格中，如果碰到顶，则折向底，如果到达右侧，则转向左侧，如果进行中轮到的方格中已有数或到达右上角，则退至前一格的下方。

按照这一法则建立5阶幻方的示例如下图：罗伯法（连续摆数法）的助记口诀：1居上行正中央，依次斜填切莫忘。

上出框界往下写，右出框时左边放。

重复便在下格填，角上出格一个样。

1居上行正中央——数字1放在首行最中间的格子中依次斜填切莫忘——向右上角斜行，依次填入数字上出框界往下写——如果右上方向出了上边界，就以出框后的虚拟方格位置为基准，将数字竖直降落至底行对应的格子中右出框时左边放——同上，向右出了边界，就以出框后的虚拟方格位置为基准，将数字平移至最左列对应的格子中重复便在下格填——如果数字｛N｝右上的格子已被其它数字占领，就将｛N ＋1｝填写在｛N｝下面的格子中角上出格一个样——如果朝右上角出界，和“重复”的情况做同样处理。

偶数阶幻方的一种制作方法——双偶阶、单偶阶幻方1.双偶阶幻方（中心对称交换法）n为偶数，且能被4整除(n=4，8，12，16，20……)(n=4k，k=1，2，3，4，5……)先说明一个定义。

互补：如果两个数字的和，等于幻方最大数和最小数的和，即n×n+1，称为互补。

先看看4阶幻方的填法：将数字从左到右、从上到下按顺序填写：这个方阵的对角线，已经用颜色标出。

奇数阶幻方构造原理
奇数阶幻方是指由1到n^2 的连续整数构成的方阵，其每行、每列及两条对角线上的数字之和都相等。

以下是奇数阶幻方构造的一些原理和方法：
- 九子排列法：宋代数学家杨辉总结的“洛书”幻方的编排方法。

具体步骤为：九子排列、上下对易、左右相更、四维挺出。

- 巴舍法：以构造三阶幻方为例，假设有一个三行三列的格子，然后制造阳台、天台、地下室，再爬梯填数，最后把阳台、天台、地下室及里边的数去掉，就得到了一个三阶幻方。

- 罗伯法：可以构造出所有的奇数阶幻方。

口诀为：1居上行正中央，依次斜填切莫忘；上出框界往下写，右出框界左边放；排重便在下格填，右上出格一个样。

这些方法可以帮助构造各种奇数阶幻方，有兴趣的读者可以尝试用这些方法构造五阶幻方和七阶幻方。

方程法求奇数幻方，绝了
其实，并不能完全说是方程法，因为这是由数学归纳法，行列式等方法推算出的。

只是摘结果来感受它的美。

不过，这个方法也是从里层向外扩张构造，当然，如果能写出一张对应各层的表格，则可以一次性写好奇数幻方。

下面来看看基本的概念先。

原基：就是把正常的n幻方减去一个数（n+1）/2得出的一个新幻方。

具有最明显的特性是幻和为0。

3阶幻方各数减去5后得到一个3阶幻方原基。

经过一系列推算得到一个可以计算第m层幻方原基的方程表达的结果：
其实可以注意到，幻方的第m层的四个角的数为：
利用这个方程表达就可以算出奇数幻方的任何一层，所以就达到很好的构造幻方的效果。

例如下面：
部分技术幻方原基
对于这个表我们可以构造出3、5、7、9、11阶幻方，只需对应加上5、13、25、41、61【其实就是加回构造原基是减去的（n+1）/2】即可以。

例如我们想构造一个五阶幻方，只需取上图中间的五阶幻方，然后每个数都加上25。

还有一点，这样构造出来的幻方里面也有很多子幻方！
摘自：童真白马的博客分类——幻方世界
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幻方制作方法一、什么是阶数？横竖各3格就是3阶，各4格就是4阶，依此类推。

二、奇数阶幻方的构造方法：把1放在中间，右上行走，上边出头往下落，右边出头往左走，占位或者对角出头往下落三、4×n阶幻方的构造（一）4×1阶幻方的构造方法一第一步：依次填数第二步：对角交换1 2 3 45 6 7 89 10 11 1213 14 15 16（二） 四阶幻方的构造方法二第一步：依次填数 第二步：不是对角的交换1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16总结：基本的四阶幻方的构造，是先依次填数，然后要么是对角的数据都交换，要么是对角的数据都不交换。

（三）4×n 阶幻方的构造我们已经知道了4×1阶幻方的构造方法：然后要么是对角的数据都交换，要么是对角的数据都不交换。

那么4×n 阶幻方的构造方法，完全与4阶幻方的构造一样，也是：要么是对角的数据都交换，要么是对角的数据都不交换。

但是，在构造4×2阶幻方时候，要把每2×2格作为一格，在构造4×3阶幻方时候，要把每3×3格作为一格，1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 5758 59 60 61 62 63 641 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 575859606162636416 2 3 13 34 5 11 10 8 34 9 7 6 12 34 4 14 15 1 34 34 34 34 341 15 14 4 34 12 6 7 9 34 8 10 11 5 34 13 3 2 16 34 34 34 34 3464 63 3 4 5 6 58 57 56 55 11 12 13 14 50 49 17 18 46 45 44 43 23 24 25 26 38 37 36 35 31 32 33 34 30 29 28 27 39 40 41 42 22 21 20 19 47 48 16 15 51 52 53 54 10 9 8 7 59 60 61 62 2 11 2 62 61 60 59 7 89 10 54 53 52 51 15 1648 47 19 20 21 22 42 4140 39 27 28 29 30 34 3332 31 35 36 37 38 26 2524 23 43 44 45 46 18 1749 50 14 13 12 11 55 5657 58 6 5 4 3 63 641 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 2425 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 3637 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 4849 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 6061 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 7273 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 8485 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 9697 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 1441 2 3 141 140 139 138 137 136 10 11 1213 14 15 129 128 127 126 125 124 22 23 2425 26 27 117 116 115 114 113 112 34 35 36108 107 106 40 41 42 43 44 45 99 98 9796 95 94 52 53 54 55 56 57 87 86 8584 83 82 64 65 66 67 68 69 75 74 7372 71 70 76 77 78 79 80 81 63 62 6160 59 58 88 89 90 91 92 93 51 50 4948 47 46 100 101 102 103 104 105 39 38 37109 110 111 33 32 31 30 29 28 118 119 120121 122 123 21 20 19 18 17 16 130 131 132133 134 135 9 8 7 6 5 4 142 143 144（三）如何在纸上快速填写4n阶幻方，参看上图1、我们假设对角不变。

奇数阶幻方构造当n是奇数时，只需按以下步骤填写，即可得到一个n阶幻方.(1)先画一个n×n方格表；(2)把1填写在最顶行中间；(3)当k填好后，若k的右上方空，则把k+1填在此格，否则，把k+1填在k的下方.(注意，这里我们把最左列视作在最右列的右方，把最底行视作在最顶行的上方)例1填写一个3阶幻方这就是刚才的A3例2填写一个5可验证这是幻和为654k(双偶数)阶幻方的构造●4阶幻方的一种构造方法一般来说，偶数阶幻方的构造较难，但对于四阶幻方，我们有较简单的方法。

步骤如下：（1）先画一个4×4方格表；（2）在方格表中按顺序填写1~16；（3）兰.即1←→16，4←→13，6←→11，7←→10. 对换后，即得一个四阶幻方.●8阶幻方的构造幻和S8=260先按自然顺序填写8阶方阵；兰色不动，其余关于中心对称的两数互换位置.。

一般的4k 阶幻方仍可按此规律来构造.4k+2阶幻方的构造我们先来考察一个6阶幻方可以如何构造出来.第一步，先用上述介绍的方法构造出一个4阶幻方, 如图1所示，幻和为34； 第二步，把这个4阶幻方的每个数都加上10,得图2所示, 此时幻和为74；图2所用的数是11~26, 恰是1~36中间的16个数, 如图3所示;图1 图210−−−−→全部加图3第三步，观察剩余的20个数有这样的规律：+=+=+==+=，136235334102737而37+74=111=S 6, 于是，可把这20个数按“和为37”配成10对，如图4所示。

把第一行的数称为小头数，第二行的数称为大头数。

图4第四步，按每对在同一行或同一列或同一对角线的原则，把它们添加到图2的四周，但要满足: (a) 每边3个小头数；(b)对边的小头数之和相等。

这就可得到一个6阶幻方，如图5所示。

图5图5四周每边3个小头数（蓝色），第1行与第6行的小头数之和都是20; 第1列与第6列的小头数之和都是17.这种方法可以推广到一般4k+2阶幻方的构造，其步骤是：(1) 先构造出一个4k阶幻方;(2) 把这个4k阶幻方的每个数都加上8k+2,即把这16k2个数移到1~(4k+2)2的中间；(3) 把剩余的首尾两段小头数与大头数配对，每对之和为16k(k+1)+5;(4) 按每对在同一行或同一列或同一对角线的原则，把它们添加到上图的四周，但要满足: (a) 每边2k+1个小头数；(b)对边的小头数之和相等。

幻方问题公式
幻方是一个由数字组成的正方形阵列，其中每行、每列和每个对角线的数字之和都是相同的。

以下是幻方的计算公式：
对于任意n阶幻方，每行、每列和每个对角线的数字之和可以用以下公式表示：
S = n(n^2 + 1) / 2
其中，n是幻方的阶数。

当n为奇数时，称为奇阶幻方。

当n为偶数时，幻方分为双偶幻方和单偶幻方。

对于奇阶幻方，可以使用Merzirac法生成。

具体步骤如下：
1. 在第一行居中的方格内放1，依次向右上方填入2、3、4…。

2. 如果右上方已有数字，则向下移一格继续填写。

3. 如果出到方阵下方，把该数字填到本该填数所在列上方相应的格。

4. 如果出到方阵右方，把该数字填到本该填数所在行的左方相应的格。

5. 如果落步格已有数字，则向上移一格继续填写。

对于偶阶幻方，可以使用以下公式计算每行、每列和每个对角线的数字之和：S = n(n/2)^2 + (n/2)^2
其中，n是幻方的阶数。

幻方常规解法汇总按目前填写幻方的方法，是把幻方分成了三类，即奇数阶幻方、双偶阶幻方、单偶阶幻方。

下面按这三类幻方，列出最常用解法（考试用，不求强大，只求有效！）。

奇数阶幻方（罗伯法）奇数阶幻方最经典的填法是罗伯法。

填写的方法是：把1（或最小的数）放在第一行正中；按以下规律排列剩下的(n×n－1)个数：1、每一个数放在前一个数的右上一格；2、如果这个数所要放的格已经超出了顶行那么就把它放在底行，仍然要放在右一列；3、如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左列，仍然要放在上一行；4、如果这个数所要放的格已经超出了顶行且超出了最右列，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内；5、如果这个数所要放的格已经有数填入，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内。

例，用该填法获得的5阶幻方：17 24 1 8 1523 5 7 14 164 6 13 20 2210 12 19 21 311 18 25 2 9双偶数阶幻方（对称交换法）所谓双偶阶幻方就是当n可以被4整除时的偶阶幻方，即4K阶幻方。

在说解法之前我们先说明一个“互补数”定义：就是在n阶幻方中，如果两个数的和等于幻方中最大的数与1的和（即n×n＋1），我们称它们为一对互补数。

如在三阶幻方中，每一对和为10的数，是一对互补数；在四阶幻方中，每一对和为17的数，是一对互补数。

双偶数阶幻方的对称交换解法：先看看4阶幻方的填法：将数字从左到右、从上到下按顺序填写：1 2 3 45 6789 1011121314 15 16内外四个角对角上互补的数相易，（方阵分为两个正方形，外大内小，然后把大正方形的四个对角上的数字对换，小正方形四个对角上的数字对换）即（1，16）（4，13）互换（6，11）（7，10）互换即可。

16 2 3 135 11 10 89 7 6 124 14 15 1对于n=4k阶幻方，我们先把数字按顺序填写。

幻方常规解法汇总按目前填写幻方的方法，是把幻方分成了三类，即奇数阶幻方、双偶阶幻方、单偶阶幻方。

下面按这三类幻方，列出最常用解法（考试用，不求强大，只求有效！）。

奇数阶幻方（罗伯法）奇数阶幻方最经典的填法是罗伯法。

填写的方法是：把1（或最小的数）放在第一行正中；按以下规律排列剩下的(n×n－1)个数：1、每一个数放在前一个数的右上一格；2、如果这个数所要放的格已经超出了顶行那么就把它放在底行，仍然要放在右一列；3、如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左列，仍然要放在上一行；4、如果这个数所要放的格已经超出了顶行且超出了最右列，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内；5、如果这个数所要放的格已经有数填入，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内。

例，用该填法获得的5阶幻方：双偶数阶幻方（对称交换法）所谓双偶阶幻方就是当n可以被4整除时的偶阶幻方，即4K阶幻方。

在说解法之前我们先说明一个“互补数”定义：就是在 n 阶幻方中，如果两个数的和等于幻方中最大的数与 1 的和（即 n×n＋1），我们称它们为一对互补数。

如在三阶幻方中，每一对和为 10 的数，是一对互补数；在四阶幻方中，每一对和为 17 的数，是一对互补数。

双偶数阶幻方的对称交换解法：先看看4阶幻方的填法：将数字从左到右、从上到下按顺序填写：内外四个角对角上互补的数相易，（方阵分为两个正方形，外大内小，然后把大正方形的四个对角上的数字对换，小正方形四个对角上的数字对换）即（1，16）（4，13）互换（6，11）（7，10）互换即可。

对于n=4k阶幻方，我们先把数字按顺序填写。

写好后，按4×4把它划分成k×k个方阵。

因为n 是4的倍数，一定能用4×4的小方阵分割。

然后把每个小方阵的对角线，象制作4阶幻方的方法一样，对角线上的数字换成互补的数字，就构成幻方。

以8阶幻方为例：(1) 先把数字按顺序填。