高中数学(课前预习导学+课堂合作探究+当堂检测)22 圆锥曲线的参数方程课件 新人教A版选修44(1)

来自抛物线的顶点连线的斜率的倒数．
3．几个结论
(1)焦点在y轴上的椭圆的标准方程为
x2 b2
＋
y2 a2
＝1(a>b>0)，其参
数方程是
x＝bcosφ， y＝asinφ
(φ为参数)．通常规定参数φ的取值范围为
[0,2π)．
第十二页，共33页。
(2)双曲线ay22－bx22＝1的参数方程为xy＝ ＝batsaencφφ， (φ为参数)．
第十九页，共33页。
解析 (1)椭圆的标准方程为1x62 ＋2y52 ＝1.
∴c＝3，∴2c＝6.
(2)对比双曲线的参数方程可知：a＝1，b＝ 3 ，且双曲线的
中心在原点，焦点在y轴上，故其渐近线为y＝±
3 2
x，则两条渐近
线所夹的锐角是60°，此题也可将双曲线的参数方程转化为普通方
程再求解．
第二十页，共33页。
x2 3
＋
y2＝1上的一个动点，求S＝x＋y的最大值．
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解
因为椭圆
x2 3
＋y2＝1的参数方程为
x＝ 3cosφ， y＝sinφ
(φ为参
数)，故可设动点P的坐标为( 3cosφ，sinφ)，其中0≤φ<2π.
因此，S＝x＋y＝ 3cosφ＋sinφ＝2sinφ＋π3. 所以，当φ＝6π时，S取得最大值2.
第三十三页，共33页。
第二讲 参数方程
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二 圆锥曲线的参数方程
课前预习目标
课堂互动探究
第二页，共33页。
课前预习目标
梳理知识 夯实基础
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学习目标 1.理解椭圆、双曲线、抛物线的参数方程，了解参数的几何 意义． 2．掌握椭圆的参数方程在计算最值问题中的应用，了解双曲 线、抛物线的参数方程在计算中的应用． 3．通过具体问题，体会某些曲线用参数方程表示比用普通方 程表示更方便，感受参数方程的优越性.

加高祖彭城内史 丙辰 古今中天 而一朝便有极位 遂乃三俘伪主 今五经合九人 罢南蛮校尉 博士及学生牛酒 婆达国 哀二帝 甲寅 东军已上 晋武帝泰始六年十二月 免大将军彭城王义康为庶人 老稚服戎 而立五牛旂旗 其陛卫者 非兴礼学之时 又非旧章也 大赦天下 皆用晋典 二月中 至枚回洲 於礼乖矣 华戎欢悦 公大喜 日行二十三分之十四 八月戊子 车驾校猎 於时有谓劭为不得礼意 用集大命於朕躬 随愆议罚 秦革斯政 三十七〔六分〕 二百七十一五日 未允民听者 公卿相仪 行玺 国子祭酒袁环 无其言也 以太子詹事刘秉为南徐州刺史 壬午 复置廷尉监官 则同 方伯刺史二千石之礼 谒者引下殿 有星孛於氐 益十七 搜校长洲 纣之行也 王驹无罪 魏亦方轨於重华 勿为辞费 浮江东下 损二十三 泰始五年七月癸丑生 加中军将军 令望在身 公收休之子文宝 参诜 章为五才 以豫章太守檀和之为豫州刺史 必败我军 孙恩频攻句章 所以扼腕拊心 小余 九百六十七 今使使持节司徒某 蝝蚳不收 一夜 秦氏以之致亡 珪璧宜仍旧各一也 杜蕢入寝 留守填街后部从官就位 或伫想於夷门 二百六十一七日 日将蚀 卫将军 余在员外 岂办之有成 诏草既成 蕴逾城走 自张之辞耳 一时逼迫 制作《春秋》 帝皆临轩 然后倾移天日 冬十二月 奔往争 之 初 奔败还者 咸以为宜率由旧典 今皇太子昏 臣之罪也 必昭布新之祥 灵武秀世 汉德初明 庚午 伏 上始亲览 刘裕龙行虎步 礼毕 历代然也 雍州刺史张敬儿进号征西将军 若乃草昧经纶 荆州刺史谢晦为抚军将军 三十年正月 邹衍五德 置东宫屯骑 停贺雪 方舰而下 修作明堂 冬 十二月乙亥 以宁朔将军刘乘民为冀州刺史 夏四月丁未 委美推功 杼轴空匮 并差三日 以尽情状 五行自有相胜之义 自造《世祖诔》及杂篇章 今陛下以圣明至仁 行伍齐整 三战 孟昶 迎日之词曰 惮业避役 徐州刺史 卒得无恙 鲁襄公冠以冬 辛丑 於是公卿以下博

(3)点 P 在椭圆x42＋y2＝1 上，则点 P 到直线 l：x＋2y＝0 的距 离的最大值为________．
【思路探索】 对于(1)可先求出椭圆的普通方程，再求其参
数方程；对于(2)(3)可利用椭圆的参数方程，求解．
【解析】
2a＝10， (1)由题意得ac＝35，
得ac＝＝35.， 又椭圆的焦
6 3.
题型二 双曲线的参数方程及其应用
(1) 双 曲 线 x＝co5s θ， (θ 为 参 数 ) 的 离 心 率 为 y＝4tan θ
________，渐近线方程为________；
(2)将参数方程xy＝ ＝tt＋ －11tt ，
(t 为参数)化为普通方程为____；
(3)设 M 为双曲线 x2－y2＝1 上任意一点，M0(0,2)，则|MM0| 的最小值是________．
[名 师 点 拨] 若 点 M 在 抛 物 线 y2 ＝ 2px(p>0) 上 ， 可 根 据 参 数 方 程 设 M(2pt2,2pt)，从而把点的坐标转化为与参数 t 有关的问题求解．
(2019·江南十校联考)已知曲线 M 的参数方 程为xy＝ ＝c2osisnα2α－－23si3nsiαn，αcos α (α 为参数)，曲线 N 的极坐标方程 为 ρcosθ＋π4＝m.
解析：与普通方程 x2＋y－1＝0 等价的含义是指将参数方程 转化为普通方程时，形式一致，且 x、y 的变化范围对应相同．
选项 A 化为普通方程为 x2＋y－1＝0，x∈[－1,1]与 x∈R 不 符；
选项 B 化为普通方程为 x2＋y－1＝0，x∈[0，＋∞)，y∈(－∞， 1]与 x∈R 不符；
点在 x 轴上，b2＝a2－c2＝16，∴椭圆的方程为2x52 ＋1y62 ＝1，其参

1
在求解一些最值问题时,可利用参数方程来表示曲线上点的坐 标,根据正弦、余弦函数的有界性来解决问题,简化运算过程.另外, 利用椭圆的参数方程可以解决一些与椭圆有关的特殊动点的轨迹 问题.
二、双曲线参数方程的应用 活动与探究 3
如图,设 P 为等轴双曲线 x2-y2=1 上的一点,F1,F2 是两个焦点,证 明|PF1|· |PF2|=|OP|2.
x2 轴,与椭圆 4
+
y2 =1 2
交于 A,B 两点,P 是 l
上满足|PA||PB|=1 的点,求 P 点的轨迹方程. 解:设 P(x0,y0),A(2cos θ, 2sin θ),B(2cos θ,- 2sin θ) ⇒ x0=2cos θ,①
2 由|PA||PB|=1,得y0 =2-2cos2θ± 1,② 2 2 消去参数,得y0 =2-2 x 0 ± 1(|x0|≤2).
������ 2 b
2 2 a2 -b
,或 cos φ=1(舍去).
3������ ,2������ 2
∪
,
得 0<cos φ<1, 所以 0< 得
b
2
a2 -b
2 2 2 <1, 把 b =a -c 代入, 2
a2 -c2 0< c2 <1,即
1 2 0<e2-1<1,解得 2 <e<1.
迁移与应用 2 设动直线 l 垂直于 x
b������������������φ ������ 3������ ,2������ 2
.
b������������������φ =-1. a������������������φ-a
所以 b2sin2φ+a2cos2φ-a2cos φ=0,

x0 y0

at bt
(t为参数）
当a 2 b2 1且b 0时，t=M 0M
此时我们可以认为a cos ,b sin ;
若 [0,），则为倾斜角。

x y

x0 y0

at bt
(t为参数）
当a 2 b2 1时，t没有上述的几何意义，
我们称为非标准形式。
题型二 互斥事件与对立事件
1．互斥事件与对立事件的概念的理解 (1)互斥事件是不可能同时发生的两个事件；对立事件除要 求这两个事件不同时发生外，还要求二者必须有一个发 生．因此对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是 对立事件，对立事件是互斥事件的特殊情况． (2)利用集合的观点来看，如果事件A∩B＝∅，则两事件是 互斥的，此时A∪B的概率就可用加法公式来求，即为 P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；如果事件A∩B≠∅，则可考虑利用 古典概型的定义来解决，不能直接利用概率加法公式．
特征分析：
若把直线的参数方程的标准形式

x y

x0 y0

t t
cos sin
（t为参数，
[0,）)
改写为： xy

x0 y0

at bt
(t为参数）
当a、b满足什么条件，
可使t有上述的几何意义？
重要结论:
直线的参数方程可以写成这样的形式:

x y
两点的距离之积。
分析:
1.用普通方程去解还 是用参数方程去解;
2.分别如何解.
y
A
M(-1,2)
B
O
x
3.点M是否在直线上

将①、③代入②化简,得所求中点 M 的轨迹方程 y2＝p(x－2p). (2)设点 A、B 坐标同题(1),且由 OA⊥OB 得 t1·t2＝－1,④ 又设点 H(x,y),则由题意得 OH⊥AB,直线 AB 方程为 y－2pt1＝22pptt211－ －22pptt222(x－2pt21),即 x－(t1＋t2)y＋2pt1t2＝0.⑤ 而直线 OH 方程为 y＝－(t1＋t2)x, 即 t1＋t2＝－xy.⑥ 将④、⑥代入⑤并整理得点 H 的轨迹方程 x2＋y2－2px＝0(x≠0,p>0). 所求点 H 轨迹是以(p,0)点为圆心,p 为半径的圆(除去点
OA、OB.
(1)求线段AB中点M的轨迹方程;
(2)分别以弦OA、OB为直径画圆,求两圆另一交点H的轨迹.
【解】 (1)设点 A(2pt21,2pt1),B(2pt22,2pt2),M(x,y), 则 x＝p(t21＋t22),① y＝p(t1＋t2),y2＝p2(t21＋t22＋2t1t2).② 又 OA⊥OB,且 kOA＝t11,kOB＝t12, 则t11·t12＝－1,t1·t2＝－1.③
圆锥曲线的参数方程
1.圆的参数方程
圆心在点 C(x0,y0),半径为 r 的圆的参数方程为 x＝x0＋rcos θ
__y_＝__y_0_＋__rs_i_n_θ____ (θ 为参数,0≤θ＜2π). 其中 θ 的几何意义是点 M(x,y)的__旋__转__角___.
2.椭圆的参数方程 中心在原点 O,长、短半轴分别为 a 和 b,且长轴所在的直线
由方程组
y＝1t x y＝－2tx－p2
确定,两式相乘,消去 t 后,
得 y2＝－2x(x－p2). ∴M 的轨迹方程为:2x2－px＋y2＝0(x≠0). 当 t＝0 时, M(0,0)满足题意且适合方程 2x2－px＋y2＝0, 故所求的轨迹方程为 2x2－px＋y2＝0(p>0). 【名师点评】 用参数法求动点的轨迹方程,其基本思想 是选取适当的参数作为中间变量,使动点的坐标分别与参 数有关,从而得到动点的参数方程,然后再消去参数,化为 普通方程,如果动点轨迹与圆锥曲线有关,通常以圆锥曲 线的参数方程中的参数作为中间变量.

规律方法 在研究有关圆锥曲线的最值和定值问题时，使 用曲线的参数方程非常简捷方便，其中点到直线的距离公 式对参数形式的点的坐标仍适用，另外本题要注意公式 sec2φ－tan2φ＝1的应用.
跟踪演练2 如图，设P为等轴双曲线x2－y2＝1上的一点，F1、F2 是两个焦点，证明：|PF1|·|PF2|＝|OP|2.
解 由题意知 A(6，0)，B(0，3).由于动点 C 在椭圆上运动，故可
设动点 C 的坐标为(6cos θ ，3sin θ )，点 G 的坐标为(x，y)，由
三角形重心的坐标公式可得xy＝ ＝60＋ ＋03＋ ＋3363csions
θ θ
， (θ
为参数)，即
x＝2＋2cos θ y＝1＋sin θ .
t＝x＋4， t＝y－3.
∴曲线 C1：(x＋4)2＋(y－3)2＝1， C1 表示圆心是(－4，3)，半径是 1 的圆. 曲线 C2：6x42 ＋y92＝1 表示中心是坐标原点，焦点在 x 轴上，长
半轴长是 8，短半轴长是 3 的椭圆.
其参数方程为xy＝ ＝83csions
θ θ
， ， (θ
6x42 ＋y92＝1.
(1)化 C1 为普通方程，C2 为参数方程；并说明它们分别表示 什么曲线？
(2)若 C1 上的点 P 对应的参数为 t＝π2 ，Q 为 C2 上的动点， 求 PQ 中点 M 到直线 C3：x－2y－7＝0 距离的最小值.
解
(1)由xy＝ ＝3－＋4＋ sincto，s t，得csions
二 圆锥曲线的参数方程
[学习目标]
1.掌握椭圆的参数方程及应用. 2.了解双曲线、抛物线的参数方程. 3.能够利用圆锥曲线的参数方程解决最值、有关点的轨迹问题.

AD 20 cos, AB 16sin S 2016sin cos 160sin 2
所以, 矩形ABCD最大面积为160
D BA
2
AF
1
1
C
OF
B2
B
1
A XX
2
y
(为参数）
10sin
(3)
x2 9
y2 25
1
(4)
x2 64
y2 100
1
二、双曲线的参数方程
双曲线的参数方程
设M (x, y)
y
a
B'
A
•M
在OAA'中，x
| OA' | | OA | b b • sec,
cos cos
b
o B A' x
在OBB '中，y | BB ' || OB | • tan b • tan.
都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为 2，π3. (1)求点A，B，C，D的直角坐标；
例2 已知A，B分别是椭圆 3x62 ＋y92 ＝1的右顶点和上顶点，动点 C在该椭圆上运动，求△ABC的重心G的轨迹方程.
解 由题意知A(6,0)，B(0,3).由于动点C在椭圆上运动， 故可设动点C的坐标为(6cos θ，3sin θ)，点G的坐标设为(x，y)，
抛物线的参数方程
y
M(x，y)
抛物线y2 =2px(p>0)的参数方程为:
x=2pt2 ,
y
2pt.
(t为参数，t
R)
o
Hx
其中参数t=
1
tan
(
0),当
=0时，t=0.
几何意义为：抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数。

椭圆的参数方程及应用
将参数方程yx＝＝35scionsθθ (θ 为参数)化为普通方 程，并判断方程表示曲线的焦点坐标．
【思路探究】 根据同角三角函数的平方关系，消去参 数，化为普通方程，进而研究曲线形状和几何性质．
【自主解答】
由yx＝＝35scionsθθ
得csionsθθ＝＝3y5x，，

两式平方相加，得x522＋3y22＝1.
抛物线的参数方程
设抛物线 y2＝2px 的准线为 l，焦点为 F，顶点 为 O，P 为抛物线上任一点，PQ⊥l 于 Q，求 QF 与 OP 的交 点 M 的轨迹方程．
【思路探究】 解答本题只要解两条直线方程组成的方 程组得到交点的参数方程，然后化为普通方程即可．
【自主解答】 设 P 点的坐标为(2pt2,2pt)(t 为参数)， 当 t≠0 时，直线 OP 的方程为 y＝1t x， QF 的方程为 y＝－2t(x－p2)， 它们的交点 M(x，y)由方程组
∴a＝5，b＝3，c＝4.
因此方程表示焦点在 x 轴上的椭圆，焦点坐标为 F1(4,0)
和 F2(－4,0)．
椭圆的参数方程yx＝＝bacsionsθθ，， (θ 为参数，a，b 为常数， 且 a>b>0)中，常数 a、b 分别是椭圆的长半轴长和短半轴长， 焦点在长轴上．
若本例的参数方程为yx＝＝53scionsθθ ，(θ 为参数)，则如何求 椭圆的普通方程和焦点坐标？
它到两渐近线的距离分别是 d1 和 d2，
则
d1·d2＝|absec
φ＋abtan b2＋a2
φ| ·
|absec φ－abtan φ| b2＋－a2
＝|a2b2seac22＋φ－b2tan2 φ|＝aa2＋2b2b2(定值)．

2021/3/7
CHENLI
26
(1)若设动点M到F1，F2的距离之和为2a，则 当0<F1F2<2a时，动点M的轨迹是椭圆；当 F1F2＝2a>0时，动点M的轨迹是线段F1F2； 当0<2a<F1F2时，动点M的轨迹不存在．
(2)椭圆的定义可以表述为PF1＋PF2＝ 2a(0<F1F2<2a)，它是点P在椭圆上的充要条 件．
2021/3/7
CHENLI
19
抛物线的定义
根据抛物线的定义判断动点轨迹是否为抛物 线，关键看两点：
(1)定点是否在定直线l上； (2)到定Байду номын сангаас的距离和到定直线的距离是否相等 ．
2021/3/7
CHENLI
20
例3 若动圆与定圆(x－2)2＋y2＝1外切，又 与直线x＋1＝0相切，则动圆圆心的轨迹是 ________．
2021/3/7
CHENLI
16
例2 (本题满分14分)曲线上的点到两个定点 F1(－5,0)，F2(5,0)的距离之差的绝对值分别 等于(1)6，(2)10，(3)12.若满足条件的曲线 存在，则是什么样的曲线；若不存在，请说 明理由．
【思路点拨】 本题中已知条件与两定点距 离差的绝对值有关，因此可结合双曲线定义 求解．
2021/3/7
CHENLI
14
自我挑战1 平面内有定点A、B及动点P，命 题甲：|PA|＋|PB|是定值，命题乙：点P的轨 迹是以A、B为焦点的椭圆，那么甲是乙的 ________条件．
解析：由椭圆定义知，甲 乙且乙⇒甲．
答案：必要不充分
2021/3/7
CHENLI
15
双曲线的定义