广东省2019届高三普通高等学校招生全国统一考试文科综合模拟(一)数学(理)试题 含解析

广东省2019届高三第一次模拟考试数学（文）试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数z 满足()11i z +=，则复数z 的虚部为（ ） A ．12i B ．12 C ．12i - D ．12- 2.已知集合{}{}2|0,|1A x x B x x =>=<，则AB = （ ）A ．()0,+∞B ． ()0,1C ． ()1,-+∞D ．()1,0- 3. “常数m 是2与8的等比中项”是“4m =”的（ ）A ．充分不必要条件B ． 必要不充分条件C ． 充要条件D ．既不充分也不必要条件 4.下图为射击使用的靶子，靶中最小的圆的半径为1，靶中各图的半径依次加1，在靶中随机取一点，则此点取自黑色部分（7环到9环）的概率是（ ）A ．320 B ．325π C ．325 D ．20π 5. 已知F 是双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一个焦点，点F 到C 的一条渐近线的距离为2a ，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．．2 6. 等差数列()()()333log 2,log 3,log 42,x x x +的第四项等于（ ）A ．3B ．4 C. 3log 18 D ．3log 247. 如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A ．488π+B ．968π+ C. 9616π+ D ．4816π+ 8.已知曲线:sin 23C y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则下列结论正确的是 （ ） A ．把C 向左平移512π个单位长度，得到的曲线关于原点对称 B ．把C 向右平移12π个单位长度，得到的曲线关于y 轴对称C. 把C 向左平移3π个单位长度，得到的曲线关于原点对称 D ．把C 向右平移6π个单位长度，得到的曲线关于y 轴对称9. 大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论.主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.其规律是：偶数项是序号平方再除以2，奇数项是序号平方减1再除以2，其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，如图所示的程序框图是为了得到大衍数列的前100项而设计的，那么在两个“”中，可以先后填入（ ）A ．n 是偶数，100n ≥B ．n 是奇数，100n ≥ C. n 是偶数，100n > D ．n 是奇数，100n > 10.已知函数()xf x e在其定义域上单调递减，则函数()f x 的图象可能是（ ）A ．B ．C. D ．11.已知抛物线2:,C y x M =为x 轴负半轴上的动点，,MA MB 为抛物线的切线，,A B 分别为切点，则MA MB 的最小值为 （ ）A ．14-B ．18- C. 116- D ．12- 12.设函数()121,25,2x x f x x x +⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若互不相等的实数,,a b c 满足()()()f a f b f c ==，则222ab c ++的取值范围是 （ ）A ．()16,32B ．()18,34 C. ()17,35 D ．()6,7 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.已知单位向量12,e e 的夹角为30°，则123e e -= ．14.设,x y 满足约束条件6456543x y x y x y -≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则z x y =+的最大值为 ．15.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且23122n S n n =+，则5a = ． 16.如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为6cm ，该纸片上的正方形ABCD 的中心为,,,,O E F G H 为圆O 上的点，,,,ABE BCF CDG ADH ∆∆∆∆分别是以,,,AB BC CD DA 为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以,,,AB BC CD DA 为折痕折起,,CDG,ADH ABE BCF ∆∆∆∆，使得,,,E F G H 重合，得到一个四棱锥.当该四棱锥的侧面积是底面积的2倍时，该四棱锥的外接球的体积为 ．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知22b c a a ⎫+=+⎪⎪⎝⎭.（1）证明：a A =； （2）若,36A B ππ==，求ABC ∆的面积.18.“微信运动”是一个类似计步数据库的公众账号.用户只需以运动手环或手机协处理器的运动数据为介，然后关注该公众号，就能看见自己与好友每日行走的步数，并在同一排行榜上得以体现.现随机选取朋友圈中的50人，记录了他们某一天的走路步数，并将数据整理如下： 3000 6000800010000 1 0规定：人一天行走的步数超过8000步时被系统评定为“积极性”，否则为“懈怠性”.（1）填写下面列联表（单位：人），并根据列表判断是否有90%的把握认为“评定类型与性别有关”；附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++（2）为了进一步了解“懈怠性”人群中每个人的生活习惯，从步行数在30016000的人群中再随机抽取3人，求选中的人中男性人数超过女性人数的概率.19.如图，在直角梯形ABCD 中，//,AD BC AB BC ⊥，且24,,BC AD E F ==分别为线段,AB DC 的中点，沿EF 把AEFD 折起，使AE CF ⊥，得到如下的立体图形. （1）证明：平面AEFD ⊥平面EBCF ；（2）若BD EC ⊥，求点F 到平面ABCD 的距离.20.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，且C 过点1,2⎛ ⎝⎭. （1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 与椭圆C 交于,P Q 两点（点,P Q 均在第一象限），且直线,,OP l OQ 的斜率成等比数列，证明：直线l 的斜率为定值.21. 已知函数()2xf x e x ax =--.（1）证明：当22ln 2a ≤-时，函数()f x 在R 上是单调函数； （2）当0x >时，()1f x x ≥-恒成立，求实数a 的取值范围.（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy 中，圆()()221:2420C x y -+-=，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，()2:3C R πθρ=∈.（1）求1C 的极坐标方程和2C 的平面直角坐标系方程； （2）若直线3C 的极坐标方程为()6R πθρ=∈，设2C 与1C 的交点为O M 、，3C 与1C 的交点为O N 、，求OMN ∆的面积.23.【选修4-5：不等式选讲】已知函数()()331,412f x x a x g x x x =-++=--+.（1）求不等式()6g x <的解集；（2）若存在12,x x R ∈，使得()1f x 和()2g x 互为相反数，求a 的取值范围.广东省2019届高三第一次模拟考试数学（文）试题答案一、选择题1-5:DCBAC 6-10: ABBDA 11、12：CB 二、填空题13. 1 14. 2 15. 14 16. 27三、解答题17.解：（1）因为2223b c a +=+，所以2223b c a abc +-=， 又因为2222cos b c a bc A +-=，所以2cos 3bc A =，即a A =.（2）因为3A π=，所以a A =由正弦定理sin sin a bA B=，可得1b =， 2C A B ππ=--=，所以1sin 2ABC S ab C ∆==. 18.解：（1）根据题意完成下面的列联表：根据列联表中的数据，得到()225020810120.231 2.70630203218K ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯，所以没有90%的把握认为“评定类型与性别有关”； （2）设步行数在30016000中的男性的编号为1，2，女性的编号为,,a b c .选取三位的所有情况为：()()()()()()()()()()1,2,,1,2,,1,2,c ,1,,,1,,,1,,,2,,,2,,,2,,,,,a b a b a c b c a b a c b c a b c 共有10种情形，符合条件的情况有：()()()1,2,,1,2,,1,2,a b c 共3种情形. 故所求概率为310. 19.（1）证明：由题可得//EF AD ，则AE EF ⊥， 又AE CF ⊥，且EFCF F =，所以AE ⊥平面EBCF .因为AE ⊂平面AEFD ，所以平面AEFD ⊥平面EBCF ； （2）解：过点D 作//DG AE 交EF 于点G ，连结BG ，则DG ⊥平面EBCF ，DG EC ⊥， 又,BD EC BD DG D ⊥=，所以EC ⊥平面,BDG EC BG ⊥，易得EGBBEC ∆∆，则EG EBEB BC=，得EB = 设点F 到平面ABCD 的距离为h ， 因为14482F ABC A BCF V V --==⨯⨯=， 又因为,,BC AE BC EB AE EB ⊥⊥于E ，所以BC ⊥平面AEB ，故AB BC ⊥，又因为14AE EB 2BCF S ∆=⨯⨯===，所以28h ==，故点F 到平面ABCD 的距离为2.20.解：（1）由题意可得221314c a a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩，故椭圆C 的方程为2214x y +=； （2）由题意可知直线l 的斜率存在且不为0，故可设直线l 的方程为()0y kx m m =+≠，点,P Q 的坐标分别为()()1122,,,x y x y ，由2214y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得()()222148410k x kmx m +++-=， 则()()()222222641614116410k m k m k m ∆=-+-=-+>，且()2121222418,1414m km x x x x k k--+==++， 故()()()2212121212y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++，又直线,,OP l OQ 的斜率成等比数列，则22121y y k x x =， 即()221212212k x x km x x m k x x +++=，所以22228014k m m k -+=+， 又0m ≠，所以214k =，又结合图象可知，12k =-，所以直线l 的斜率为定值. 21.解：（1）()2xf x e x a '=--， 令()2xg x e x a =--，则()2xg x e '=-，则当(),ln 2x ∈-∞时，()0g x '<，当()ln 2,x ∈+∞时，()0g x '>， 所以函数()g x 在ln 2x =取得最小值，()ln 22ln 20g a =--≥， 故()0f x '≥，即()f x 在R 上是单调递增函数；（2）当0x >时，21xe x ax x --≥-，即11x e a x x x≤--+， 令()()110x e h x x x x x =--+>，则()()()()2221111xx x e x e x x h x x x-----+'==，令()()10x x e x x ϕ=-->，则()10x x e ϕ'=->. 当()0,x ∈+∞时，()x ϕ单调递增，()()00x ϕϕ>=， 则当()0,1x ∈时，()0h x '<，所以()h x 单调递减， 当()1,x ∈+∞时，()0h x '>，所以()h x 单调递增. 所以()()min 11h x h e ==-，所以(],1a e ∈-∞-.22.解：（1）因为圆1C 的普通方程为22480x y x y +--=， 把cos ,sin x y ρθρθ==代入方程得24cos 8sin 0ρρθρθ--=， 所以1C 的极坐标方程为4cos 8sin ρθθ=+，2C的平面直角坐标系方程为y =；（2）分别将,36ππθθ==代入4cos 8sin ρθθ=+，得1224ρρ=+=+则OMN ∆的面积为((124sin 8236ππ⎛⎫⨯+⨯+⨯-=+ ⎪⎝⎭23.解：（1）由题意可得()33,2151,24133,4x x g x x x x x ⎧⎪-+≤-⎪⎪=---<<⎨⎪⎪-≥⎪⎩，当2x ≤-时，336x -+<，得1x >-，无解；当124x -<<时，516x --<，得75x >-，即7154x -<<； 当14x ≥时，336x -<，得134x ≤<，综上，()6g x <的解集为7|35x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭. （2）因为存在12,x x R ∈，使得()()12f x g x =-成立， 所以(){}(){}|,|y g ,y y f x x Ry x x R =∈=-∈≠∅，又()()()331333131f x x a x x a x a =-++≥--+=+，由（1）可知()9 , 4g x⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎣⎭，则()9,4g x⎛⎤-∈-∞⎥⎝⎦，所以9314a+≤，解得1351212a-≤≤.故a的取值范围为135,1212⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.。

2019年普通高等学校招生全国统一考试广东省文科数学模拟试卷（一）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求出集合，再求两集合的交集即可．【详解】在集合中，得，即，在集合中在上递增，且，所以，即,则．故选：D．【点睛】本题考查了集合的交集及其运算，也考查了指数函数的单调性，属于基础题．2.复数（为虚数单位）的虚部为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简即可得答案．【详解】=，所以z的虚部为．故选：A【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，属于基础题．3.双曲线的焦点坐标为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】将双曲线化成标准方程，可得，，即可得焦点坐标．【详解】将双曲线化成标准方程为：，得，，所以，所以，又该双曲线的焦点在x轴上，所以焦点坐标为．故选：A【点睛】本题考查双曲线的简单性质，将双曲线的方程化为标准形式是关键，属于基础题．4.若，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由三角函数的诱导公式和倍角公式化简即可.【详解】因为，由诱导公式得，所以 .故选：B【点睛】本题考查了三角函数的诱导公式和倍角公式，灵活掌握公式是关键，属于基础题.5.已知函数在上单调递减，且当时，，则关于的不等式的解集为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】当时，由=，得，由函数单调性的性质，即可得的解集.【详解】当时，由=，得或（舍），又因为函数在上单调递减，所以的解集为.故选：D【点睛】本题考查函数的单调性的应用，关键是理解函数单调性的性质，属于基础题．6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】B【解析】【分析】由三视图可知该几何体的直观图，从而求出几何体的体积．【详解】由三视图可知几何体为边长为2的正方体的一半，做出几何体的直观图如图所示，故几何体的体积为23＝4．故选：B．【点睛】本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状是解题的关键，属于中档题．7.设x1＝18，x2＝19，x3＝20，x4＝21，x5＝22，将这5个数依次输入如图所示的程序框图运行，则输出S的值及其统计意义分别是（）A. S＝2，这5个数据的方差B. S＝2，这5个数据的平均数C. S＝10，这5个数据的方差D. S＝10，这5个数据的平均数【答案】A【解析】【分析】根据程序框图，得输出的S是5个数据的方差，先求这5个数的均值，然后代入方差公式计算即可．【详解】根据程序框图，输出的S是x1＝18，x2＝19，x3＝20，x4＝21，x5＝22这5个数据的方差，因为，∴由方差的公式S＝．故选：A．【点睛】本题通过循环结构的程序框图考查了均值和方差，属于基础题．8.的内角所对的边分别是.已知，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由余弦定理化简，得，再由基本不等式求解即可.【详解】因为，得，所以，所以当且仅当取等号，且为三角形内角，所以. 故选：D【点睛】本题考查余弦定理解三角形和基本不等式的应用，属于基础题.9.已知，，三点不共线，且点满足，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】运用向量的减法运算，把已知等式中的向量换为表示，整理后可求结果。

绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试省文科综合模拟试卷(一)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共12页。

全卷满分300分。

考试用时150分钟。

注意事项:1.答题前,考生须认真核对条形码上的、考生号、考场号和座位号,并将其贴在指定位置,然后用0.5毫米黑色字迹签字笔将自己所在的县(市、区)、学校以及自己的、考生号、考场号和座位号填写在答题卡和试卷的指定位置,并用2B铅笔在答题卡的“考生号”处填涂考生号。

2.第Ⅰ卷每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。

写在试卷、草稿纸或答题卡上的非答题区域均无效。

3.第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色字迹签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域相应的位置;如需改动,先画掉原来的答案,然后再写上新的答案;不能使用涂改液、胶带纸、修正带。

不按以上要求作答的答案无效。

4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷(选择题共140分)一、选择题:本题共35小题,每小题4分,共140分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

泰国是目前全球最大的天然橡胶生产国之一,该国有600多万人从事橡胶生产、加工和贸易工作,占全国人口近1/10,92%的橡胶产品供出口。

中国是橡胶消费大国之一。

据报道,中国某大型电子商务集团打算与泰国合作,搭建橡胶网络交易平台。

据此完成1~3题。

1. 与中国相比,泰国橡胶生产的优势是A.劳动力更充足B.消费市场更广阔C.橡胶收割期更长D.机械化水平更高2. 在橡胶收割时,若市场胶水价格低于一定水平,胶农就会放弃割胶。

中国橡胶的弃割成本(胶农弃割时的临界胶价)要高于泰国,其原因是中国A.劳动力成本高B.土地成本高C.市场供大于求D.橡胶质量差3. 搭建橡胶网络交易平台后,对泰国的好处是A.减少种植总面积B.扩大销售量2017年,我国社会物流总费用占GDP的比率为14.6%,实现了“五连降”,2018年一季度进一步降至14.5%,但这一比率仍高于主要发达国家8%~9%和新兴经济体11%~13%的水平。

2019年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分． 1．已知集合{1,0,1}M =-，{0,1,2}N =，则M N =A. {0,1}B. {1,0,2}-C. {1,0,1,2}-D. {1,0,1}-2．已知复数Z 满足(34)25i z +=，则Z=A. 34i -+B. 34i --C. 34i +D. 34i -3．若变量,x y 满足约束条件121y x x y z x y y ≤⎧⎪+≤=+⎨⎪≥-⎩且的最大值A.5B.6C.7D.84．若实数k 满足09k <<，则曲线221259x y k-=-与曲线221259x y k -=-的 A. 焦距相等 B. 实半轴长相等 C. 虚半轴长相等 D. 离心率相等5．已知向量()1,0,1a =-，则下列向量中与a 成60︒夹角的是A.（-1,1,0）B.（1,-1,0）C.（0,-1,1）D.（-1,0,1）6．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示，A.200,20B.100,20C.200,10D.100，107．若空间中四条两两不同的直线1234,,,l l l l ，满足122334,,l l l l l l ⊥⊥⊥，则 A.14l l ⊥ B.14//l l C.14,l l 既不垂直也不平行 D.14,l l 的位置关系不确定8．设集合(){}12345=,,,,{1,0,1},1,2,3,4,5iA x x x x x x i ∈-=，那么集合A 中满足条件“1234513x x x x x ≤++++≤”的元素个数为A.60B.90C.120D.130二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）9．不等式521≥++-x x 的解集为 。

10．曲线25+=-xe y 在点)3,0(处的切线方程为 。

.绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试广东省文科综合模拟试卷(一)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共12页。

全卷满分300分。

考试用时150分钟。

注意事项:1.答题前,考生须认真核对条形码上的姓名、考生号、考场号和座位号,并将其贴在指定位置,然后用0.5毫米黑色字迹签字笔将自己所在的县(市、区)、学校以及自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡和试卷的指定位置,并用2B 铅笔在答题卡的“考生号”处填涂考生号。

2.第Ⅰ卷每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。

写在试卷、草稿纸或答题卡上的非答题区域均无效。

3.第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色字迹签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置;如需改动,先画掉原来的答案,然后再写上新的答案;不能使用涂改液、胶带纸、修正带。

不按以上要求作答的答案无效。

4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷 (选择题共140分)一、选择题:本题共35小题,每小题4分,共140分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

泰国是目前全球最大的天然橡胶生产国之一,该国有600多万人从事橡胶生产、加工和贸易工作,占全国人口近1/10,92%的橡胶产品供出口。

中国是橡胶消费大国之一。

据报道,中国某大型电子商务集团打算与泰国合作,搭建橡胶网络交易平台。

据此完成1~3题。

1. 与中国相比,泰国橡胶生产的优势是A.劳动力更充足B.消费市场更广阔D.机械化水平更高C.橡胶收割期更长2. 在橡胶收割时,若市场胶水价格低于一定水平,胶农就会放弃割胶。

中国橡胶的弃割成本(胶农弃割时的临界胶价)要高于泰国,其原因是中国A.劳动力成本高B.土地成本高D.橡胶质量差 C.市场供大于求3. 搭建橡胶网络交易平台后,对泰国的好处是...A.减少种植总面积B.扩大销售量D.提高橡胶质量加快产业升级 C.2017年,我国社会物流总费用占GDP的比率为14.6%,实现了“五连降”,2018年一季度进一步降至14.5%,但这一比率仍高于主要发达国家8%~9%和新兴经济体11%~13%的水平。

2019年普通高等学校招生全国统一考试广东省文科综合模拟试卷(一)注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上填写自己的准考证号、姓名、试室号和座位号。

用2B型铅笔把答题卡上试室号、座位号对应的信息点涂黑。

2．选择题每小题选出答案后，用2B型铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卡整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回第Ⅰ卷(选择题共140分)一、选择题:本题共35小题,每小题4分,共140分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

泰国是目前全球最大的天然橡胶生产国之一,该国有600多万人从事橡胶生产、加工和贸易工作,占全国人口近1/10,92%的橡胶产品供出口。

中国是橡胶消费大国之一。

据报道,中国某大型电子商务集团打算与泰国合作,搭建橡胶网络交易平台。

据此完成1~3题。

1. 与中国相比,泰国橡胶生产的优势是A.劳动力更充足B.消费市场更广阔C.橡胶收割期更长D.机械化水平更高2. 在橡胶收割时,若市场胶水价格低于一定水平,胶农就会放弃割胶。

中国橡胶的弃割成本(胶农弃割时的临界胶价)要高于泰国,其原因是中国A.劳动力成本高B.土地成本高C.市场供大于求D.橡胶质量差3. 搭建橡胶网络交易平台后,对泰国的好处是A.减少种植总面积B.扩大销售量C.提高橡胶质量D.加快产业升级2017年,我国社会物流总费用占GDP的比率为14.6%,实现了“五连降”,2018年一季度进一步降至14.5%,但这一比率仍高于主要发达国家8%~9%和新兴经济体11%~13%的水平。

这既与我国产业结构、人口和产业空间布局有一定关系,也反映出我国物流“成本高、效率低”的问题。

2019年广东省高考文科数学模拟试题与答案（试卷满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2．考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.下面是关于复数2z i =-的四个命题：1:||5p z =；2:p z 的共轭复数为2+i ；23:34p z i =-；4121:33p i z =+.其中真命题为 A. 12p p ， B. 23p p ， C. 24p p ， D. 34p p ， 2. 已知平面向量(,1),(2,1)x x ==-a b ,且//a b ,则实数x 的值是A. 1-B. 1C. 2D. 1-或23.“2a =”是“直线20x y -+=与圆22(2)()2x y a -+-=相切”的 A ．充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 4. 下列函数中，与函数3y x =的单调性和奇偶性相同的函数是A.y x =B.ln y x =C.tan y x =D.x x y e e -=-5．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图．圆柱 表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的 路径中，最短路径的长度为 A ．217B ．25C ．3D ．26．设曲线11x y x +=-在点()2,3处的切线与直线10ax y ++=平行，则a = A ．2- B ．21-C ．21D ．27． 已知()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x >时，()52log 42 3 04xax x x f x x x +>⎧⎪=⎨++<≤⎪⎩，，，若()()52f f -<，则a 的取值范围为 A.() 1-∞，B.() 2-∞，C.()2 -+∞，D.()2 +∞，8．在直角坐标系中，若角α的终边经过点()22sin ,cos sin 33P πππα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则A ．12B ．32C ．12-D ．32-9．已知数列{}n a 满足11255,,n n a a a a a +-=，且成等比数列，则该数列的前六项和6S =A. 60B. 75C. 90D. 10510．执行如图所示的程序框图，若输入n 的值为3，则输出的s 的值是A ．1B ．2C ．4D ．711．过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点作实轴的垂线,交双曲线于A ,B 两点,若线段AB 的长度恰等于焦距,则双曲线的离心率为 A ．1714+ B ．224 C ．512+ D ．10212．设函数f （x ）=2sin （2x+），将f （x ）图象上每个点的横坐标缩短为原来的一半之后成为函数y=g （x ），则g （x ）的图象的一条对称轴方程为 A ．x= B ．x= C ．x= D ．x=二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13. 某中学高中一年级、二年级、三年级的学生人数比为5:4:3，现要用分层抽样的方法抽取一个容量为240的样本，则所抽取的二年级学生的人数是 ． 14．直线L 过P )1,3(与圆x 2＋y 2＝1交于A 、B 两点，则PB PA •=15．若,x y 满足约束条件0,20,230,x y x y x y +≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≤⎩则2z x y =+的最小值是 ．16． 已知等比数列{a n }的公比不为-1，设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，S 12＝7S 4，则84S S = ． 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17- -21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22，23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分 17.（本小题满分12分）在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且 222sin sin sin 3sin sin A C B A C +-=⋅.（Ⅰ）求角B ；（Ⅱ）点D 在线段BC 上，满足DA DC =，且11a =，()5cos 5A C -=，求线段DC 的长.18.(本小题满分12分)如图所示，正方形ABCD 所在的平面与等腰ABE ∆所在的平面互相垂直，其中顶120BAE ∠=，4AE AB ==，F 为线段AE 的中点．（1）若H 是线段BD 上的中点，求证：//FH 平面CDE ；（2）若H 是线段BD 上的一个动点，设直线FH 与平面ABCD 所成角的大小为θ，求θtan 最大时三棱锥AFB H -的体积.19.（本小题12分）电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表： 电影类型第一类第二类第三类第四类第五类第六类好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.（Ⅰ）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率； （Ⅱ）随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率；（Ⅲ）电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化.假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加0.1，哪类电影的好评率减少0.1，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？（只需写出结论）20.(本小题满分12分)已知抛物线C ：y 2＝4x ，过其焦点F 作两条相互垂直且不平行于坐标轴的直线，它们分别交抛物线C 于点A 、B 和点C 、D ，线段AB 、CD 的中点分别为M 、N.(Ⅰ)求线段AB 的中点M 的轨迹方程；(Ⅱ)过M 、N 的直线l 是否过定点？若是，求出定点坐标，若不是，请说明理由．21. (本小题满分12分)已知函数()y f x =定义域为R ，对于任意x ∈R 恒有(2)2()f x f x =-. （1）若(1)3f =-，求(16)f 的值；（2）若(1,2]x ∈时，2()22f x x x =-+，求函数()y f x =，(1,8]x ∈的解析式及值域； （3）若(1,2]x ∈时，3()||2f x x =--，求()y f x =在区间(1,2]n ，*n N ∈上的最大值与最 小值.(二)选考题:共10分请考生在第22、23题中任选一题作答注意:只能做所选定的题目如果多做,则按所做第一个题目计分,作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. 22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2,2x t y t ⎧=⎨=⎩（t 为参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为5cos ρθ=． （1）写出曲线1C 的极坐标方程和2C 的直角坐标方程；（2）记曲线1C 和2C 在第一象限内的交点为A ，点B 在曲线1C 上，且2AOB π∠=，求AOB ∆的面积．23．（本题满分10分）选修4—5：不等式选讲 设函数()|1|||()f x x x a a =-+-∈R ． （1）当4a =时，求不等式()5f x ≥的解集； （2）若()4f x ≥对x ∈R 恒成立，求a 的取值范围。

2019年广东省高考一模数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题, 每小题5分, 共60分．在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A＝{x|x﹣1＜2}, B＝{y|y＝2x, x∈A}, 则A∩B＝（）A．（﹣∞, 8）B．（﹣∞, 3）C．（0, 8）D．（0, 3）2．（5分）复数z＝﹣i（i为虚数单位）的虚部为（）A．B．C．D．3．（5分）双曲线9x2﹣16y2＝1的焦点坐标为（）A．（±, 0）B．（0, ）C．（±5, 0）D．（0, ±5）4．（5分）记S n为等差数列{a n}的前n项和, 若a2+a8＝34, S4＝38, 则a1＝（）A．4B．5C．6D．75．（5分）已知函数f（x）在（﹣∞, +∞）上单调递减, 且当x∈[﹣2, 1]时, f（x）＝x2﹣2x﹣4, 则关于x的不等式f（x）＜﹣1的解集为（）A．（﹣∞, ﹣1）B．（﹣∞, 3）C．（﹣1, 3）D．（﹣1, +∞）6．（5分）某几何体的三视图如图所示, 则该几何体的体积为（）A．3πB．4πC．6πD．8π7．（5分）执行如图的程序框图, 依次输入x1＝17, x2＝19, x3＝20, x4＝21, x5＝23, 则输出的S值及其统计意义分别是（）A．S＝4, 即5个数据的方差为4B．S＝4, 即5个数据的标准差为4C．S＝20, 即5个数据的方差为20D．S＝20, 即5个数据的标准差为208．（5分）已知A, B, C三点不共线, 且点O满足16﹣12﹣3＝, 则（）A．＝12+3B．＝12﹣3C．＝﹣12+3D．＝﹣12﹣39．（5分）设数列{a n}的前n项和为S n, 且a1＝2, a n+a n+1＝2n（n∈N*）, 则S13＝（）A．B．C．D．10．（5分）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时, 提出了分线段的“中末比”问题：将一线段AB分为两线段AC, CB, 使得其中较长的一段AC是全长AB与另一段CB的比例中项, 即满足＝＝≈0.618．后人把这个数称为黄金分割数, 把点C称为线段AB的黄金分割点在△ABC中, 若点P, Q为线段BC的两个黄金分割点, 在△ABC内任取一点M, 则点M落在△APQ内的概率为（）A．B．﹣2C．D．11．（5分）已知函数f（x）＝sin（ωx+）+（ω＞0）, 点P, Q, R是直线y＝m（m＞0）与函数f（x）的图象自左至右的某三个相邻交点, 且2|PQ|＝|QR|＝, 则ω+m ＝（）A．B．2C．3D．12．（5分）已知函数若f（x）＝（kx+）e x﹣3x, 若f（x）＜0的解集中恰有两个正整数, 则k的取值范围为（）A．（, ]B．[, ）C．（, ]D．[, ）二、填空题：本大题共4小题, 每小题5分, 共20分．把答案填在答题卡中的横线上．13．（5分）（2x+y）6的展开式中, x2y4的系数为．14．（5分）设x, y满足约束条件, 则z＝2x+y的最大值为．15．（5分）在三棱锥P﹣ABC中, AP, AB, AC两两垂直, 且AP＝AB＝AC＝．若点D, E分别在棱PB, PC上运动（都不含端点）, 则AD+DE+EA的最小值为．16．（5分）已知F为抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点, 曲线C1是以F为圆心, 为半径的圆, 直线2x﹣6y+3p＝0与曲线C, C1从左至右依次相交于P, Q, R, S, 则＝三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题, 每道试题考生都必须作答．第22、23题为选考题, 考生根据要求作答．(一)必考题：共60分．17．（12分）△ABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c, 已知c cos A+c sin A＝b+a．（1）求C；（2）若D在边BC上, 且BD＝3DC, cos B＝, S△ABC＝10, 求AD．18．（12分）已知五面体ABCDEF中, 四边形CDEF为矩形, AB∥CD, CD＝2DE＝2AD ＝2AB＝4, AC＝2, 且二面角F﹣AB﹣C的大小为30°．（1）证明：AB⊥平面ADE；（2）求二面角E﹣BC﹣F的余弦值．19．（12分）已知点（1, ）, （）都在椭圆C：＝1（a＞b＞0）上．（1）求椭圆C的方程；（2）过点M（0, 1）的直线l与椭圆C交于不同两点P, Q（异于顶点）, 记椭圆与y 轴的两个交点分别为A1, A2, 若直线A1P与A2Q交于点S, 证明：点S恒在直线y＝4上．20．（12分）随着小汽车的普及, “驾驶证”已经成为现代入“必考”的证件之一．若某人报名参加了驾驶证考试, 要顺利地拿到驾驶证, 他需要通过四个科目的考试, 其中科目二为场地考试．在一次报名中, 每个学员有5次参加科目二考试的机会（这5次考试机会中任何一次通过考试, 就算顺利通过, 即进入下一科目考试；若5次都没有通过, 则需重新报名）, 其中前2次参加科目二考试免费, 若前2次都没有通过, 则以后每次参加科目二考试都需交200元的补考费, 某驾校对以往2000个学员第1次参加科目二考试的通过情况进行了统计, 得到如表：考试情况男学员女学员第1次考科目二人数1200800第1次通过科目二人数960600第1次未通过科目二人数240200若以如表得到的男、女学员第1次通过科目二考试的频率分别作为此驾校男、女学员每次通过科目二考试的概率, 且每人每次是否通过科目二考试相互独立．现有一对夫妻同时在此驾校报名参加了驾驶证考试, 在本次报名中, 若这对夫妻参加科目二考试的原则为：通过科目二考试或者用完所有机会为止．（1）求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费的概率；（2）若这对夫妻前2次参加科目二考试均没有通过, 记这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为X元, 求X的分布列与数学期望．21．（12分）已知函数f（x）＝（x﹣a）e x（a∈R）．（1）讨论f（x）的单调性；（2）当a＝2时, F（x）＝f（x）﹣x+lnx, 记函数y＝F（x）在（, 1）上的最大值为m, 证明：﹣4＜m＜﹣3．(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做, 则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程](10分)22．（10分）在平面直角坐标系xOy中, 曲线C1的参数方程为, （θ为参数）已知点Q（4, 0）, 点P是曲线∁l上任意一点, 点M为PQ的中点, 以坐标原点为极点, x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求点M的轨迹C2的极坐标方程；（2）已知直线l：y＝kx与曲线C2交于A, B两点, 若＝3, 求k的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+a|+2|x﹣1|（a＞0）．（1）求f（x）的最小值；（2）若不等式f（x）﹣5＜0的解集为（m, n）, 且n﹣m＝, 求a的值．2019年广东省高考一模数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题, 每小题5分, 共60分．在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A＝{x|x﹣1＜2}, B＝{y|y＝2x, x∈A}, 则A∩B＝（）A．（﹣∞, 8）B．（﹣∞, 3）C．（0, 8）D．（0, 3）【解答】解：∵集合A＝{x|x﹣1＜2}＝{x|x＜3},B＝{y|y＝2x, x∈A}＝[y|0＜y＜8},∴A∩B＝{x|0＜x＜3}＝（0, 3）．故选：D．2．（5分）复数z＝﹣i（i为虚数单位）的虚部为（）A．B．C．D．【解答】解：复数z＝﹣i＝﹣i＝﹣i＝﹣﹣i,则z的虚部为﹣．故选：A．3．（5分）双曲线9x2﹣16y2＝1的焦点坐标为（）A．（±, 0）B．（0, ）C．（±5, 0）D．（0, ±5）【解答】解：双曲线9x2﹣16y2＝1的标准方程为：,可得a＝, b＝, c＝＝,所以双曲线的焦点坐标为（±, 0）．故选：A．4．（5分）记S n为等差数列{a n}的前n项和, 若a2+a8＝34, S4＝38, 则a1＝（）A．4B．5C．6D．7【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d, ∵a2+a8＝34, S4＝38,∴2a1+8d＝34, 4a1+6d＝38,联立解得：a1＝5, d＝3,故选：B．5．（5分）已知函数f（x）在（﹣∞, +∞）上单调递减, 且当x∈[﹣2, 1]时, f（x）＝x2﹣2x﹣4, 则关于x的不等式f（x）＜﹣1的解集为（）A．（﹣∞, ﹣1）B．（﹣∞, 3）C．（﹣1, 3）D．（﹣1, +∞）【解答】解：∵x∈[﹣2, 1]时, f（x）＝x2﹣2x﹣4；∴f（﹣1）＝﹣1；∵f（x）在（﹣∞, +∞）上单调递减；∴由f（x）＜﹣1得, f（x）＜f（﹣1）；∴x＞﹣1；∴不等式f（x）＜﹣1的解集为（﹣1, +∞）．故选：D．6．（5分）某几何体的三视图如图所示, 则该几何体的体积为（）A．3πB．4πC．6πD．8π【解答】解：由三视图知, 几何体是一个简单组合体, 左侧是一个半圆柱, 底面的半径是1, 高为：4,右侧是一个半圆柱, 底面半径为1, 高是2,∴组合体的体积是：＝3π,故选：A．7．（5分）执行如图的程序框图, 依次输入x1＝17, x2＝19, x3＝20, x4＝21, x5＝23, 则输出的S值及其统计意义分别是（）A．S＝4, 即5个数据的方差为4B．S＝4, 即5个数据的标准差为4C．S＝20, 即5个数据的方差为20D．S＝20, 即5个数据的标准差为20【解答】解：根据程序框图, 输出的S是x1＝17, x2＝19, x3＝20, x4＝21, x5＝23这5个数据的方差,∵＝（17+19+20+21+23）＝20,∴由方差的公式S＝[（17﹣20）2+（19﹣20）2+（20﹣20）2+（21﹣20）2+（23﹣20）2]＝4．故选：A．8．（5分）已知A, B, C三点不共线, 且点O满足16﹣12﹣3＝, 则（）A．＝12+3B．＝12﹣3C．＝﹣12+3D．＝﹣12﹣3【解答】解：由题意, 可知：对于A：＝＝,整理上式, 可得：16﹣12﹣3＝,这与题干中条件相符合,故选：A．9．（5分）设数列{a n}的前n项和为S n, 且a1＝2, a n+a n+1＝2n（n∈N*）, 则S13＝（）A．B．C．D．【解答】解：由题意, ∵a1＝2,n＝2时, a2+a3＝22,n＝4时, a4+a5＝24,n＝6时, a6+a7＝26,n＝8时, a8+a9＝28,n＝10时, a10+a11＝210,n＝12时, a12+a13＝212,S13＝2+22+24+26+28+210+212＝2+＝．故选：D．10．（5分）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时, 提出了分线段的“中末比”问题：将一线段AB分为两线段AC, CB, 使得其中较长的一段AC是全长AB与另一段CB的比例中项, 即满足＝＝≈0.618．后人把这个数称为黄金分割数, 把点C称为线段AB的黄金分割点在△ABC中, 若点P, Q为线段BC的两个黄金分割点, 在△ABC内任取一点M, 则点M落在△APQ内的概率为（）A．B．﹣2C．D．【解答】解：设BC＝a,由点P, Q为线段BC的两个黄金分割点,所以BQ＝, CP＝,所以PQ＝BQ+CP﹣BC＝（）a,S△APQ：S△ABC＝PQ：BC＝（﹣2）a：a＝﹣2,由几何概型中的面积型可得：在△ABC内任取一点M, 则点M落在△APQ内的概率为＝,故选：B．11．（5分）已知函数f（x）＝sin（ωx+）+（ω＞0）, 点P, Q, R是直线y＝m（m ＞0）与函数f（x）的图象自左至右的某三个相邻交点, 且2|PQ|＝|QR|＝, 则ω+m ＝（）A．B．2C．3D．【解答】解：∵2|PQ|＝|QR|＝,∴|PQ|＝, |QR|＝,则T＝||PQ+|QR|＝+＝π,即＝π, 即ω＝2,即f（x）＝sin（2x+）+,∵|PQ|＝,∴x2﹣x1＝,2x1++2x2+＝π,得x1＝0, 此时m＝sin（2x1+）+＝sin+＝＝1．即ω+m＝1+2＝3,故选：A．12．（5分）已知函数若f（x）＝（kx+）e x﹣3x, 若f（x）＜0的解集中恰有两个正整数, 则k的取值范围为（）A．（, ]B．[, ）C．（, ]D．[, ）【解答】解：由f（x）＜0得f（x）＝（kx+）e x﹣3x＜0,即（kx+）e x＜3x,即（kx+）＜的解集中恰有两个正整数,设h（x）＝, 则h′（x）＝＝,由h′（x）＞0得3﹣3x＞0得x＜1, 由h′（x）＜0得3﹣3x＜0得x＞1,即当x＝1时函数h（x）取得极大值h（1）＝,设函数g（x）＝kx+,作出函数h（x）的图象如图,由图象知当k≤0, （kx+）＜的解集中有很多整数解, 不满足条件．则当k＞0时, 要使, （kx+）＜的解集中有两个整数解,则这两个整数解为x＝1和x＝2,∵h（2）＝, h（3）＝, ∴A（2, ）B（3, ）,当直线g（x）过A（2, ）B（3, ）时, 对应的斜率满足2k A+＝, 3k B+＝, 得k A＝, k B＝,要使, （kx+）＜的解集中有两个整数解,则k B＜k≤k A, 即＜k≤,即实数k的取值范围是（, ],故选：A．二、填空题：本大题共4小题, 每小题5分, 共20分．把答案填在答题卡中的横线上．13．（5分）（2x+y）6的展开式中, x2y4的系数为60．【解答】解：（2x+y）6的展开式中, 故含x2y4的项为•（2x）2•y4＝60x2y4,故答案为：60．14．（5分）设x, y满足约束条件, 则z＝2x+y的最大值为7．【解答】解：画出x, y满足约束条件表示的平面区域,如图所示,由, 解得点A（3, 1）,结合图形知, 直线2x+y﹣z＝0过点A时,z＝2x+y取得最大值为2×3+1＝7．故答案为：7．15．（5分）在三棱锥P﹣ABC中, AP, AB, AC两两垂直, 且AP＝AB＝AC＝．若点D, E分别在棱PB, PC上运动（都不含端点）, 则AD+DE+EA的最小值为．【解答】解：如图,由AP, AB, AC两两垂直, 且AP＝AB＝AC＝,得PB＝PC＝BC＝2, ∠APB＝∠APC＝45°,沿P A剪开, 向两侧展开到平面PBC上, 连接A′A″,则AD+DE+EA的最小值为A′A″＝＝＝．故答案为：．16．（5分）已知F为抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点, 曲线C1是以F为圆心, 为半径的圆, 直线2x﹣6y+3p＝0与曲线C, C1从左至右依次相交于P, Q, R, S, 则＝【解答】解：可得直线2x﹣6y+3p＝0与y轴交点是抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点F,由得x2﹣px﹣p2＝0, ⇒x P＝, x S＝．⇒,|RS|＝|SF|﹣＝y S+＝p, |PQ|＝|PF|﹣＝y P+﹣＝p．∴则＝．故答案为：..三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题, 每道试题考生都必须作答．第22、23题为选考题, 考生根据要求作答．(一)必考题：共60分．17．（12分）△ABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c, 已知c cos A+c sin A＝b+a．（1）求C；（2）若D在边BC上, 且BD＝3DC, cos B＝, S△ABC＝10, 求AD．【解答】（本题满分为12分）解：（1）∵c cos A+c sin A＝b+a,∴由正弦定理可得：sin C cos A+sin C sin A＝sin B+sin A,∴sin C cos A+sin C sin A＝sin（A+C）+sin A＝sin A cos C+cos A sin C+sin A,∴sin C sin A＝sin A cos C+sin A,∵sin A≠0,∴sin C＝cos C+1,∴解得：sin（C﹣）＝,∵C∈（0, π）, 可得：C﹣∈（﹣, ）,∴C﹣＝, 可得：C＝．（2）∵cos B＝, 可得：sin B＝＝,∴由S△ABC＝10＝ac sin B＝ab sin C, 可得：ac＝56, ab＝40, 可得：a＝, b ＝,又∵由余弦定理可得：c2＝a2+b2﹣ab＝a2+b2﹣40,∴c2＝（）2+（）2﹣40, 整理可得：3c4+245c2﹣19208＝0,解得：c2＝49, 可得：c＝7, a＝8, b＝5,∴在△ACD中, 由余弦定理可得：AD＝＝＝．18．（12分）已知五面体ABCDEF中, 四边形CDEF为矩形, AB∥CD, CD＝2DE＝2AD ＝2AB＝4, AC＝2, 且二面角F﹣AB﹣C的大小为30°．（1）证明：AB⊥平面ADE；（2）求二面角E﹣BC﹣F的余弦值．【解答】证明：（1）∵五面体ABCDEF中, 四边形CDEF为矩形, CD＝2DE＝2AD＝2AB＝4, AC＝2,∴DE⊥AD, AD2+CD2＝AC2, ∴AD⊥CD,∵AD∩DE＝D, ∴CD⊥平面ADE,∵AB∥CD, ∴AB⊥平面ADE．解：（2）由（1）得AB⊥平面ADE,∴∠DAE是二面角F﹣AB﹣C的平面角, 即∠DAE＝30°．∵DA＝DE＝2, ∴∠ADE＝120°,以D为原点, DA为x轴, DC为y轴, 过D作平面ABCD的垂线为z轴,建立空间直角坐标系,E（﹣1, 0, ）, B（2, 2, 0）, C（0, 4, 0）, F（0, 4, ）, ＝（﹣2, 2, 0）, ＝（﹣3, ﹣2, ）, ＝（﹣2, 2, ）, 设平面BCF的法向量＝（x, y, z）,则, 取x＝1, 得＝（1, 1, 0）,设平面BCE的法向量＝（x, y, z）,则, 取x＝1, 得＝（1, 1, ）,设二面角E﹣BC﹣F的平面角为θ,则cosθ＝＝＝,∴二面角E﹣BC﹣F的余弦值为．19．（12分）已知点（1, ）, （）都在椭圆C：＝1（a＞b＞0）上．（1）求椭圆C的方程；（2）过点M（0, 1）的直线l与椭圆C交于不同两点P, Q（异于顶点）, 记椭圆与y轴的两个交点分别为A1, A2, 若直线A1P与A2Q交于点S, 证明：点S恒在直线y＝4上．【解答】解：（1）由题意可得, 解得a2＝4, b2＝2,故椭圆C的方程为+＝1．证明：（2）易知直线l的斜率存在且不为0, 设过点M（0, 1）的直线l方程为y＝kx+1, （k≠0）, P（x1, y1）, Q（x2, y2）,由, 消y可得（k2+2）x2+2kx﹣3＝0,∴x1+x2＝﹣, x1x2＝﹣,∵A1（0, 2）, A2（0, ﹣2）,∴直线A1P的方程为y＝x+2＝•x+2＝（k﹣）x+2,则直线A2Q的方程为y＝x﹣2＝（k+）﹣2,由, 消x可得＝,整理可得y＝＝＝+4＝+4＝4,直线A1P与A2Q交于点S, 则点S恒在直线y＝4上20．（12分）随着小汽车的普及, “驾驶证”已经成为现代入“必考”的证件之一．若某人报名参加了驾驶证考试, 要顺利地拿到驾驶证, 他需要通过四个科目的考试, 其中科目二为场地考试．在一次报名中, 每个学员有5次参加科目二考试的机会（这5次考试机会中任何一次通过考试, 就算顺利通过, 即进入下一科目考试；若5次都没有通过, 则需重新报名）, 其中前2次参加科目二考试免费, 若前2次都没有通过, 则以后每次参加科目二考试都需交200元的补考费, 某驾校对以往2000个学员第1次参加科目二考试的通过情况进行了统计, 得到如表：考试情况男学员女学员第1次考科目二人数1200800第1次通过科目二人数960600第1次未通过科目二人数240200若以如表得到的男、女学员第1次通过科目二考试的频率分别作为此驾校男、女学员每次通过科目二考试的概率, 且每人每次是否通过科目二考试相互独立．现有一对夫妻同时在此驾校报名参加了驾驶证考试, 在本次报名中, 若这对夫妻参加科目二考试的原则为：通过科目二考试或者用完所有机会为止．（1）求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费的概率；（2）若这对夫妻前2次参加科目二考试均没有通过, 记这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为X元, 求X的分布列与数学期望．【解答】解：根据题意, 设A i表示男学员在第i次参加科目2考试中通过, B i表示女学员在第i次参加科目2考试中通过,则P（A1）＝＝, P（A2）＝1﹣＝, P（B1）＝＝, P（A2）＝1﹣＝,（1）根据题意, 设事件M是这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费, 则P（M）＝P（A1B1+A1B2+A2B1+A2B2）＝×+××+××+×××＝；（2）根据题意, X可取的值为400、600、800、1000、1200,P（X＝400）＝×＝,P（X＝600）＝××+××＝,P（X＝800）＝×××+××+××＝P（X＝1000）＝×××+×××＝P（X＝1200）＝×××＝；则X的分布列为X40060080010001200P故EX＝400×+600×+800×+1000×+1200×＝510.5（元）21．（12分）已知函数f（x）＝（x﹣a）e x（a∈R）．（1）讨论f（x）的单调性；（2）当a＝2时, F（x）＝f（x）﹣x+lnx, 记函数y＝F（x）在（, 1）上的最大值为m, 证明：﹣4＜m＜﹣3．【解答】（1）解：f′（x）＝[x﹣（a﹣1）]e x, x∈R．可得函数f（x）在（﹣∞, a﹣1）内单调递减, 在（a﹣1, +∞）内单调递增．（2）证明：当a＝2时, F（x）＝f（x）﹣x+lnx＝（x﹣2）e x﹣x+lnx, x∈（, 1）．F′（x）＝（x﹣1）e x﹣1+＝（x﹣1）,令F′（x）＝0, 解得：＝, 即x0＝﹣lnx0, x0∈（, 1）,令g（x）＝e x﹣在x∈（, 1）上单调递增,g（）＝﹣2＜0, g（1）＝e﹣1＞0．∴x0∈（, 1）,可知：x＝x0, 函数g（x）取得极大值即最大值,F（x0）＝（x0﹣2）﹣2x0＝1﹣2（x0+）∈（﹣4, ﹣3）．∴﹣4＜m＜﹣3．(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做, 则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程](10分)22．（10分）在平面直角坐标系xOy中, 曲线C1的参数方程为, （θ为参数）已知点Q（4, 0）, 点P是曲线∁l上任意一点, 点M为PQ的中点, 以坐标原点为极点, x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求点M的轨迹C2的极坐标方程；（2）已知直线l：y＝kx与曲线C2交于A, B两点, 若＝3, 求k的值．【解答】解：（1）消去θ得曲线C1的普通方程为：x2+y2＝4,设M（x, y）则P（2x﹣4, 2y）在曲线C1上, 所以（2x﹣4）2+（2y）2＝4, 即（x ﹣2）2+y2＝1, 即x2+y2﹣4x+3＝0,C2轨迹的极坐标方程为：ρ2﹣4ρcosθ+3＝0．（2）当k＞0时, 如图：取AB的中点M, 连CM, CA,在直角三角形CMA中, CM2＝CA2﹣（AB）2＝1﹣AB2, ①在直角三角形CMO中, CM2＝OC2﹣OM2＝4﹣（AB）2＝4﹣AB2, ②由①②得AB＝, ∴OM＝, CM＝,k＝＝＝．当k＜0时, 同理可得k＝﹣．综上得k＝±．第页（共22页）21[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）＝|x +a |+2|x ﹣1|（a ＞0）．（1）求f （x ）的最小值；（2）若不等式f （x ）﹣5＜0的解集为（m , n ）, 且n ﹣m ＝, 求a 的值．【解答】解：（1）f （x ）＝, ∴x ＝1时, f （x ） 的最小值为a +1．（2）如图所示：当a +1＜5＜2a +2即＜a ＜4时, f （x ）﹣5＜0的解集为（a ﹣3, ﹣）, ∴﹣﹣a +3＝﹣＝, ∴a ＝3符合,当2a +2≤5即0＜a ≤时, f （x ）的解集 为 （﹣﹣1, ﹣）, ∴﹣++1＝≠．综上可得a ＝3．第页（共22页）22 注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上。