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空间几何体的结构第一课时棱柱、棱锥、棱台的结构特征预习课本P2～4，思考并完成以下问题[新知初探] 1．空间几何体2．空间几何体的分类3．棱柱、棱锥、棱台的结构特征[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台()(2)棱柱中两个互相平行的面一定是棱柱的底面()(3)棱台的底面是两个相似的正方形()(4)棱台的侧棱延长后必交于一点()答案：(1)×(2)×(3)×(4)√2．有两个面平行的多面体不可能是()A．棱柱B．棱锥C．棱台D．以上都错解析：选B棱柱、棱台的上、下底面是平行的，而棱锥的任意两面均不平行．3．关于棱柱，下列说法正确的有________(填序号)．(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱；(2)棱柱的侧棱长相等，侧面都是平行四边形；(3)各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体．解析：(1)不正确，反例如图所示．(2)正确，由棱柱定义可知，棱柱的侧棱相互平行且相等，所以侧面均为平行四边形．(3)不正确，上、下底面是菱形，各侧面是全等的正方形的四棱柱不一定是正方体．答案：(2)[典例]下列关于棱柱的说法中，错误的是()A．三棱柱的底面为三角形B．一个棱柱至少有五个面C．若棱柱的底面边长相等，则它的各个侧面全等D．五棱柱有5条侧棱、5个侧面，侧面为平行四边形[解析] 显然A正确；底面边数最少的棱柱是三棱柱，它有五个面，故B正确；底面是正方形的四棱柱，有一对侧面与底面垂直，另一对侧面不垂直于底面，此时侧面并不全等，所以C错误；D正确，所以选C.[答案] C[活学活用]下列说法错误的是()A．多面体至少有四个面B．棱柱的两个底面是全等的多边形C．长方体、正方体都是棱柱D．三棱柱的侧面为三角形解析：选D三棱柱的底面是三角形，其侧面一定是平行四边形，故D错误.棱锥、棱台的结构特征[典例](1)①由五个面围成的多面体只能是四棱锥；②仅有两个面互相平行的五面体是棱台；③两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；④有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台．A．0个B．1个C．2个D．3个(2)下列说法正确的有________个．①有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．②正棱锥的侧面是等边三角形．③底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥．[解析](1)由五个面围成的多面体还可能是三棱台、三棱柱等，故①错；三棱柱是只有两个面平行的五面体，故②错．如图，可知③④错误．(2)①不正确．棱锥的定义是：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥．而“其余各面都是三角形”并不等价于“其余各面都是有一个公共顶点的三角形”，故此说法是错误的．如图所示的几何体满足此说法，但它不是棱锥，理由是△ADE和△BCF无公共顶点．②错误．正棱锥的侧面都是等腰三角形，不一定是等边三角形．③错误．由已知条件知，此三棱锥的三个侧面未必全等，所以不一定是正三棱锥．如图所示的三棱锥中有AB＝AD＝BD＝BC＝CD.满足底面△BCD为等边三角形．三个侧面△ABD，△ABC，△ACD都是等腰三角形，但AC长度不一定，三个侧面不一定全等．[答案](1)A(2)0判断棱锥、棱台的2个方法(1)举反例法：结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确．(2)直接法：棱锥棱台定底面只有一个面是多边形，此面即为底面两个互相平行的面，即为底面看侧棱相交于一点延长后相交于一点[活学活用]用一个平面去截一个三棱锥，截面形状是()A．四边形B．三角形C．三角形或四边形D．不可能为四边形解析：选C如果截面截三棱锥的三条棱，则截面形状为三角形(如图①)，如果截面截三棱锥的四条棱则截面为四边形(如图②)．[典例] 如图是三个几何体的侧面展开图，请问各是什么几何体？[解]由几何体的侧面展开图的特点，结合棱柱，棱锥，棱台的定义，可把侧面展开图还原为原几何体，如图所示．所以①为五棱柱，②为五棱锥，③为三棱台．[活学活用]1．下列四个平面图形中，每个小四边形都是正方形，其中可以沿相邻正方形的公共边折叠围成一个正方体的是()解析：选C将四个选项中的平面图形折叠，看哪一个可以围成正方体．2．水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如图是一个正方体的表面展开图(图中数字写在正方体的外表面上)，若图中“0”上方的“2”在正方体的上面，则这个正方体的下面是()A．1 B．7C．快D．乐解析：选B由题意，将正方体的展开图还原成正方体，1与乐相对，2与7相对，0与快相对，所以下面是7.层级一学业水平达标1．下面的几何体中是棱柱的有()A．3个B．4个C．5个D．6个解析：选C棱柱有三个特征：(1)有两个面相互平行；(2)其余各面是四边形；(3)侧棱相互平行．本题所给几何体中⑥⑦不符合棱柱的三个特征，而①②③④⑤符合，故选C.2．下面图形中，为棱锥的是()A．①③B．①③④C．①②④D．①②解析：选C根据棱锥的定义和结构特征可以判断，①②是棱锥，③不是棱锥，④是棱锥．故选C.3.如图，能推断这个几何体可能是三棱台的是()A．A1B1＝2，AB＝3，B1C1＝3，BC＝4B ．A 1B 1＝1，AB ＝2，B 1C 1＝1.5，BC ＝3，A 1C 1＝2，AC ＝3C ．A 1B 1＝1，AB ＝2，B 1C 1＝1.5，BC ＝3，A 1C 1＝2，AC ＝4D ．AB ＝A 1B 1，BC ＝B 1C 1，CA ＝C 1A 1解析：选C 根据棱台是由棱锥截成的进行判断．选项A 中A 1B 1AB ≠B 1C 1BC ，故A 不正确；选项B 中B 1C 1BC ≠A 1C 1AC ，故B 不正确；选项C 中A 1B 1AB＝B 1C 1BC ＝A 1C 1AC，故C 正确；选项D 中满足这个条件的可能是一个三棱柱，不是三棱台．故选C.4．一个棱锥的各棱长都相等，那么这个棱锥一定不是( )A ．三棱锥B ．四棱锥C ．五棱锥D ．六棱锥解析：选D 由题意可知，每个侧面均为等边三角形，每个侧面的顶角均为60°，如果是六棱锥，因为6×60°＝360°，所以顶点会在底面上，因此不是六棱锥．5．下列图形中，不能折成三棱柱的是( )解析：选C C 中，两个底面均在上面，因此不能折成三棱柱，其余均能折为三棱柱．6．四棱柱有________条侧棱，________个顶点．解析：四棱柱有4条侧棱，8个顶点(可以结合正方体观察求得)．答案：4 87．一个棱台至少有________个面，面数最少的棱台有________个顶点，有________条棱．解析：面数最少的棱台是三棱台，共有5个面，6个顶点，9条棱．答案：5698．一棱柱有10个顶点，其所有的侧棱长的和为60 cm，则每条侧棱长为________cm.解析：该棱柱为五棱柱，共有5条侧棱，每条侧棱长都相等，∴每条侧棱长为12 cm.答案：129．根据下列关于空间几何体的描述，说出几何体的名称：(1)由6个平行四边形围成的几何体；(2)由7个面围成的几何体，其中一个面是六边形，其余6个面都是有一个公共顶点的三角形；(3)由5个面围成的几何体，其中上、下两个面是相似三角形，其余3个面都是梯形，并且这些梯形的腰延长后能相交于一点．解：(1)这是一个上、下底面是平行四边形，4个侧面也是平行四边形的四棱柱．(2)这是一个六棱锥．(3)这是一个三棱台．10.如图，已知三棱台ABC-A′B′C′.(1)把它分成一个三棱柱和一个多面体，并用字母表示；(2)把它分成三个三棱锥，并用字母表示．解：(1)作B′E∥AA′交AB于点E，C′D∥AA′交AC于点D，如图，连接ED，则分成一个三棱柱AED-A′B′C′和一个多面体C′B′EBCD.(2)如图，平面AB′C′和平面AB′C能把三棱台分成三个三棱锥，分别为三棱锥B′-AA′C′，三棱锥B′-ACC′，三棱锥B′-ABC.层级二应试能力达标1．关于空间几何体的结构特征，下列说法不正确的是()A．棱柱的侧棱长都相等B．四棱锥有五个顶点C．三棱台的上、下底面是相似三角形D．有的棱台的侧棱长都相等解析：选B根据棱锥顶点的定义可知，四棱锥仅有一个顶点．故选B.2．下列说法正确的是()A．棱柱的底面一定是平行四边形B．棱锥的底面一定是三角形C．棱锥被平面分成的两部分不可能都是棱锥D．棱柱被平面分成的两部分可能都是棱柱解析：选D棱柱与棱锥的底面可以是任意多边形，A、B不正确．过棱锥的顶点的纵截面可以把棱锥分成两个棱锥，C不正确．3．下列图形经过折叠可以围成一个棱柱的是()解析：选D A、B、C中底面图形的边数与侧面的个数不一致，故不能围成棱柱．故选D.4. 五棱柱中，不同在任何侧面，且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个五棱柱共有对角线（）A.20条B.15条C.12条D.10条解析：选D由题意，知五棱柱的对角线一定为上底面的一个顶点和下底面的一个顶点的连线，因为不同在任何侧面内，故从一个顶点出发的对角线有2条，所以五棱柱共有对角线2×5=10(条).故选D.5.一个无盖的正方体盒子的平面展开图如图，A，B，C是展开图上的三点，则在正方体盒子中，∠ABC＝________.解析：将平面图形翻折，折成空间图形，可得∠ABC＝60°.答案：60°6．在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何体的4个顶点，这些几何体是________．(写出所有正确结论的编号)①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体．解析：在正方体ABCD-A1B1C1D1上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何体的4个顶点，这些几何体是：①矩形，如四边形ACC1A1；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体，如A-A1BD；④每个面都是等边三角形的四面体，如A-CB1D1；⑤每个面都是直角三角形的四面体，如A-A1DC，故填①③④⑤.答案：①③④⑤7.如图在正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，沿图中虚线将3个三角形折起，使点A，B，C重合，重合后记为点P.问：(1)折起后形成的几何体是什么几何体？(2)若正方形边长为2a，则每个面的三角形面积为多少？解：(1)如图折起后的几何体是三棱锥．(2)S △PEF ＝12a 2，S △DPF ＝S △DPE ＝12×2a ×a ＝a 2， S △DEF ＝32a 2.8.如图，已知长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1.(1)这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？(2)用平面BCEF 把这个长方体分成两部分，各部分几何体的形状是什么？解：(1)是棱柱．是四棱柱．因为长方体中相对的两个面是平行的，其余的每个面都是矩形(四边形)，且每相邻的两个矩形的公共边都平行，符合棱柱的结构特征，所以是棱柱．(2)各部分几何体都是棱柱，分别为棱柱BB 1F -CC 1E 和棱柱ABFA 1-DCED 1.。
第一章空间几何体1·1 空间几何体的结构1·1·1 柱、锥、台、球的结构特征多面体的结构特征由平面多边形（包括它们内部的平面部分）围成的几何体称为多面体.其中，各个额多边形叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点.连结不在同一面上的两个顶点的线段叫做多面体的对角线.把多面体的任一个平面伸展成平面，如果其余的面都位于这个平面的同一侧，这样的多面体叫做凸多面体.一个多面体至少四个面.多面体按照它的面数分别叫做四面体.五面体.六面体等.1.柱棱柱：一般的，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱；棱柱中两个互相平行的面叫做棱柱的底面，简称为底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点.棱柱主要从下面几点把握：（1）组成元素：底面、侧面、侧棱、顶点.（2）本质特征：①有两个面相互平行；②其余各面的两面的公共边相互平行.（3）结构特征：①侧棱都相等，侧面是平行四边形；②两个底面相互平行；③过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形.（4）分类：棱柱的分类方法有两种：①按底面多边形的边数可分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等；②按侧棱与底面是否垂直分为直棱柱、斜棱柱.（5）表示方法：以底面个顶点的字母表示.圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱；旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线.圆柱主要从下面几点把握：（1）组成元素：底面、侧面、轴、母线.（2）结构特征：①平行于底面的截面都是圆；②过轴的截面是全等的矩形.（3）表示方法：用表示轴的字母表示.棱柱与圆柱统称为柱体.2.锥棱锥：一般的有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥；这个多边形面叫做棱锥的底面或底；有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱.棱锥主要从下面几点把握：（1）组成元素：底面、侧面、侧棱、顶点.（2）结构特征：①有一个面是多边形；②其余各面是有一个公共点的三角形.（3）分类：①棱柱根据侧棱和底面的关系分为两种：一种当侧棱与底面不垂直时，称为斜棱柱；另一种当侧棱与底面垂直时，称为直棱柱．直棱柱的面若为正多边形则称为正棱柱．②按底面多边形的边数分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等.（4）表示方法：用表示顶点和底面各顶点的字母表示.圆锥：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥；旋转轴为圆锥的轴；垂直于轴的边旋转形成的面叫做圆锥的底面；斜边旋转形成的曲面叫做圆锥的侧面.棱锥主要从下面几点把握：（1）组成元素：底面、侧面、轴、母线.（2）结构特征：①平行于底面的截面都是圆；②过轴的截面是全等的等腰三角形.（3）表示方法：用表示轴的字母表示.棱锥与圆锥统称为锥体.3.台棱台：用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台；原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面；棱台也有侧面、侧棱、顶点.棱台主要从下面几点把握：（1）组成元素：上、下底面、侧面、侧棱、顶点.（2）结构特征：各侧棱延长后相交于一点，两底面是平行的相似多边形.（3）分类：棱台是由棱锥用平行于底面的平面截得的，故其分类和棱锥的分类方法一样.（4）表示方法:用上、下底面个顶点的字母表示.圆台：用一个平行于底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台；圆锥的底面和截面分别叫做圆台的下底面和上底面；圆台也有侧面、母线、轴.圆台主要从下面几点把握：（1）组成元素：底面、侧面、轴、母线.（2）结构特征：①平行于底面的截面都是圆；②过轴的截面是全等的等腰梯形；③母线长都相等，且其母线延长后，都与轴的延长线相交与同一点.（3）表示方法：用表示轴的字母表示.圆台和棱台统称为台体.4.球以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体，简称为球；半圆的圆心叫做球的球心，半圆的半径叫做球的半径，半圆的直径叫做球的直径.球主要从下面几点把握：（1）结构特征：由半圆绕直径旋转一周得到的几何体.（2）表示方法：用表示球心的字母表示.棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台、球的示意图如下：几种常凸多面体间的关系例1．图9—12表示一个正方体表面的一种展开图，图中的四条线段AB、CD、EF和GH在原正方体中相互异面的有对.（例1题图）解析：相互异面的线段有AB与CD，EF与GH，AB与GH3对.评析：解决此类题目的关键是将平面图形恢复成空间图形，较强的考察了空间想象能力.例2. 如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的腰，以下4个命题中，假命题．．．是（）Ａ．等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等Ｂ．等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补Ｃ．等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆Ｄ．等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上解析：B.因为“等腰四棱锥”的四条侧棱都相等，所以它的顶点在底面的射影到底面的四个顶点的距离相等，故A，C正确，且在它的高上必能找到一点到各个顶点的距离相等，故D正确，B不正确，如底面是一个等腰梯形时结论就不成立.故选B评析：抓住本质的东西来进行判断，对于信息要进行加工再利用.1·1·2 简单组合体的结构特征由柱、锥、台、球等基本的几何体组合而成的几何体叫做组合体.现实生活中的物体大部分都是组合体.例1.如下图几何体是由哪些简单几何体构成的？解析：正四棱台上面放置一个球.（例1图）例2.请描述下列几何体的结构特征，并说出它的名称.（1）由7 个面围成，其中两个面是互相平行且全等的五边形，其它面都是全等的矩形；（2）如右图，一个圆环面绕着过圆心的直线l 旋转180°.解析：（1）特征：具有棱柱的特征，且侧面都是全等的矩形，底面是正五边形.几何体为正五棱柱.（2）由两个同心的大球和小球，大球里去掉小球剩下的部分形成的几何体，即空心球.（例2图）。
