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安徽省2015年高考理科数学试题与答案(word 版)本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题两部分）,满分150分,考试时长120分钟。
第I 卷（选择题 共50分）参考公式:如果事件A 与B 互斥,那么()()()P A B P A P B +=+;标准差:s =其中121()n x x x x n=+++.一、选择题：本大题共10个小题；每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的。
（1）设i 是虚数单位，则复数21ii-在复平面内所对应的点位于 （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 （2）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（A ）y cos x = （B ）y sin x = （C ）y ln x = （D ）21y x =+ （3）设:12p x <<,:21x q > ，则p 是q 成立的（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 （4）下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为2y x =±的是（A ）2214y x -= （B ）2214x y -= （C ）2214y x -= （D ）2214x y -= （5）已知m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是（A ）若α，β垂直于同一平面，则α与β平行 （B ）若m ，n 平行于同一平面，则m 与n 平行（C ）若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线 （D ）若m ，n 不平行，则m 与n 不可能垂直于同一平面（6）若样本数据1x ，2x ，⋅⋅⋅，10x 的标准差为8，则数据121x -，221x -，⋅⋅⋅，1021x -的标准差为（A ）8 （B ）15 （C ）16 （D ）32 （7）一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（A）1 （B）2 （C）1+ （D）（8）C ∆AB 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足2a AB =，C 2a b A =+，则下列结论正确的是（A ）1b = （B ）a b ⊥ （C ）1a b ⋅= （D ）()4C a b -⊥B （9） 函数()()2ax bf x x c +=+的图象如图所示，则下列结论成立的是（A ）0a >，0b >，0c <（B ）0a <，0b >，0c >（C ）0a <，0b >，0c < （D ）0a <，0b <，0c <（10）已知函数()()sin f x x ωϕ=A +（A ，ω，ϕ均为正的常数）的最小正周期为π，当23x π=时，函数()f x 取得最小值，则下列结论正确的是（A ）()()()220f f f <-< （B ）()()()022f f f <<- （C ）()()()202f f f -<< （D ）()()()202f f f <<-第II 卷（非选择题两部分 共100分）二、填空题:本大题共5小题。
2015年普通高等学校全国统一考试（安徽卷）数学（理科）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，第I 卷第1至第2页，第II 卷第3至第4页。
全卷满分150分，考试时间120分钟。
考生注意事项：1． 答题前，务必在试卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致。
务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位。
2． 答第I 卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
3． 答第II 卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．书写，要求字体工整、笔迹清晰。
作图题可先用铅笔在答题卡．．．规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚。
必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在答题．．．．．．．．．．．．．．．．．卷、草稿纸上答题无效．．．．．．．．．．。
4． 考试结束，务必将试卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10个小题；每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的。
（1）设i 是虚数单位，则复数21ii-在复平面内所对应的点位于 （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 （2）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（A ）y cos x = （B ）y sin x = （C ）y n l x = （D ）21y x =+ （3）设:12,:21xp x q <<>，则p 是q 成立的 （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件4、下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为2y x =±的是（ ）（A ）2214y x -= （B ）2214x y -= （C ）2214y x -= （D ）2214x y -= 5、已知m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是（ ） （A ）若α，β垂直于同一平面，则α与β平行 （B ）若m ，n 平行于同一平面，则m 与n 平行（C ）若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线 （D ）若m ，n 不平行，则m 与n 不可能垂直于同一平面6、若样本数据1x ，2x ，⋅⋅⋅，10x 的标准差为8，则数据121x -，221x -，⋅⋅⋅，1021x -的标准差为（ ）（A ）8 （B ）15 （C ）16 （D ）32 7、一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（ ） （A ）13+ （B ）23+ （C ）122+ （D ）228、C ∆AB 是边长为2的等边三角形，已知向量a r ，b r满足2a AB =u u u r r ，C 2a b A =+u u u r r r ，则下列结论正确的是（ ）（A ）1b =r （B ）a b ⊥r r （C ）1a b ⋅=rr （D ）(4)a b BC +⊥u u u r9、函数()()2ax bf x x c +=+的图象如图所示，则下列结论成立的是（ ）（A ）0a >，0b >，0c < （B ）0a <，0b >，0c > （C ）0a <，0b >，0c < （D ）0a <，0b <，0c <10、已知函数()()sin f x x ωϕ=A +（A ，ω，ϕ均为正的常数）的最小正周期为π，当23x π=时，函数()f x 取得最小值，则下列结论正确的是（ ）（A ）()()()220f f f <-< （B ）()()()022f f f <<- （C ）()()()202f f f -<< （D ）()()()202f f f <<-第二卷（非选择题 共100分）二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
2015年安徽省高考数学试卷（理科）一.选择题（每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的）1．（5分）设i是虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（）A．y=cosx B．y=sinx C．y=lnx D．y=x2+13．（5分）设p：1＜x＜2，q：2x＞1，则p是q成立的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y=±2x的是（）A．x2﹣=1 B．﹣y2=1 C．﹣x2=1 D．y2﹣=15．（5分）已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是（）A．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行B．若m，n平行于同一平面，则m与n平行C．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线D．若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面6．（5分）若样本数据x1，x2，…，x10的标准差为8，则数据2x1﹣1，2x2﹣1，…，2x10﹣1的标准差为（）A．8 B．15 C．16 D．327．（5分）一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（）A．1+B．2+C．1+2D．28．（5分）△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量，满足=2，=2+，则下列结论正确的是（）A．||=1 B．⊥C．•=1 D．（4+）⊥9．（5分）函数f（x）=的图象如图所示，则下列结论成立的是（）A．a＞0，b＞0，c＜0 B．a＜0，b＞0，c＞0 C．a＜0，b＞0，c＜0 D．a＜0，b＜0，c＜010．（5分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ均为正的常数）的最小正周期为π，当x=时，函数f（x）取得最小值，则下列结论正确的是（）A．f（2）＜f（﹣2）＜f（0）B．f（0）＜f（2）＜f（﹣2）C．f（﹣2）＜f （0）＜f（2）D．f（2）＜f（0）＜f（﹣2）二.填空题（每小题5分，共25分）11．（5分）（x3+）7的展开式中的x5的系数是（用数字填写答案）12．（5分）在极坐标系中，圆ρ=8sinθ上的点到直线θ=（ρ∈R）距离的最大值是．13．（5分）执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的n为14．（5分）已知数列{a n}是递增的等比数列，a1+a4=9，a2a3=8，则数列{a n}的前n项和等于．15．（5分）设x3+ax+b=0，其中a，b均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是（写出所有正确条件的编号）①a=﹣3，b=﹣3．②a=﹣3，b=2．③a=﹣3，b＞2．④a=0，b=2．⑤a=1，b=2．三.解答题（共6小题，75分）16．（12分）在△ABC中，∠A=，AB=6，AC=3，点D在BC边上，AD=BD，求AD的长．17．（12分）已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束．（Ⅰ）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；（Ⅱ）已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用（单位：元），求X的分布列和均值（数学期望）18．（12分）设n∈N*，x n是曲线y=x2n+2+1在点（1，2）处的切线与x轴交点的横坐标．（Ⅰ）求数列{x n}的通项公式；（Ⅱ）记T n=x12x32…x2n﹣12，证明：T n≥．19．（13分）如图所示，在多面体A1B1D1DCBA中，四边形AA1B1B，ADD1A1，ABCD 均为正方形，E为B1D1的中点，过A1，D，E的平面交CD1于F．（Ⅰ）证明：EF∥B1C；（Ⅱ）求二面角E﹣A1D﹣B1的余弦值．20．（13分）设椭圆E的方程为+=1（a＞b＞0），点O为坐标原点，点A 的坐标为（a，0），点B的坐标为（0，b），点M在线段AB上，满足|BM|=2|MA|，直线OM的斜率为（Ⅰ）求E的离心率e；（Ⅱ）设点C的坐标为（0，﹣b），N为线段AC的中点，点N关于直线AB的对称点的纵坐标为，求E的方程．21．（13分）设函数f（x）=x2﹣ax+b．（Ⅰ）讨论函数f（sinx）在（﹣，）内的单调性并判断有无极值，有极值时求出最值；（Ⅱ）记f0（x）=x2﹣a0x+b0，求函数|f（sinx）﹣f0（sinx）|在[﹣，]上的最大值D；（Ⅲ）在（Ⅱ）中，取a0=b0=0，求z=b﹣满足条件D≤1时的最大值．2015年安徽省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一.选择题（每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的）1．（5分）设i是虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】先化简复数，再得出点的坐标，即可得出结论．【解答】解：=i（1+i）=﹣1+i，对应复平面上的点为（﹣1，1），在第二象限，故选：B．【点评】本题考查复数的运算，考查复数的几何意义，考查学生的计算能力，比较基础．2．（5分）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（）A．y=cosx B．y=sinx C．y=lnx D．y=x2+1【分析】利用函数奇偶性的判断方法以及零点的判断方法对选项分别分析选择．【解答】解：对于A，定义域为R，并且cos（﹣x）=cosx，是偶函数并且有无数个零点；对于B，sin（﹣x）=﹣sinx，是奇函数，由无数个零点；对于C，定义域为（0，+∞），所以是非奇非偶的函数，有一个零点；对于D，定义域为R，为偶函数，都是没有零点；故选：A．【点评】本题考查了函数的奇偶性和零点的判断．①求函数的定义域；②如果定义域关于原点不对称，函数是非奇非偶的函数；如果关于原点对称，再判断f（﹣x）与f（x）的关系；相等是偶函数，相反是奇函数；函数的零点与函数图象与x轴的交点以及与对应方程的解的个数是一致的．3．（5分）设p：1＜x＜2，q：2x＞1，则p是q成立的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】运用指数函数的单调性，结合充分必要条件的定义，即可判断．【解答】解：由1＜x＜2可得2＜2x＜4，则由p推得q成立，若2x＞1可得x＞0，推不出1＜x＜2．由充分必要条件的定义可得p是q成立的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题考查充分必要条件的判断，同时考查指数函数的单调性的运用，属于基础题．4．（5分）下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y=±2x的是（）A．x2﹣=1 B．﹣y2=1 C．﹣x2=1 D．y2﹣=1【分析】对选项首先判定焦点的位置，再求渐近线方程，即可得到答案．【解答】解：由A可得焦点在x轴上，不符合条件；由B可得焦点在x轴上，不符合条件；由C可得焦点在y轴上，渐近线方程为y=±2x，符合条件；由D可得焦点在y轴上，渐近线方程为y=x，不符合条件．故选：C．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的焦点和渐近线方程的求法，属于基础题．5．（5分）已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是（）A．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行B．若m，n平行于同一平面，则m与n平行C．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线D．若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面【分析】利用面面垂直、线面平行的性质定理和判定定理对选项分别分析解答．【解答】解：对于A，若α，β垂直于同一平面，则α与β不一定平行，例如墙角的三个平面；故A错误；对于B，若m，n平行于同一平面，则m与n平行．相交或者异面；故B错误；对于C，若α，β不平行，则在α内存在无数条与β平行的直线；故C错误；对于D，若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面；假设两条直线同时垂直同一个平面，则这两条在平行；故D正确；故选：D．【点评】本题考查了空间线面关系的判断；用到了面面垂直、线面平行的性质定理和判定定理．6．（5分）若样本数据x1，x2，…，x10的标准差为8，则数据2x1﹣1，2x2﹣1，…，2x10﹣1的标准差为（）A．8 B．15 C．16 D．32【分析】根据标准差和方差之间的关系先求出对应的方差，然后结合变量之间的方差关系进行求解即可．【解答】解：∵样本数据x1，x2，…，x10的标准差为8，∴=8，即DX=64，数据2x1﹣1，2x2﹣1，…，2x10﹣1的方差为D（2X﹣1）=4DX=4×64，则对应的标准差为==16，故选：C．【点评】本题主要考查方差和标准差的计算，根据条件先求出对应的方差是解决本题的关键．7．（5分）一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（）A．1+B．2+C．1+2D．2【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是底面为等腰直角三角形的三棱锥，结合题意画出图形，利用图中数据求出它的表面积．【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是底面为等腰直角三角形的三棱锥，如图所示；∴该几何体的表面积为S表面积=S△PAC+2S△PAB+S△ABC=×2×1+2××+×2×1=2+．故选：B．【点评】本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，解题的关键是由三视图得出几何体的结构特征，是基础题目．8．（5分）△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量，满足=2，=2+，则下列结论正确的是（）A．||=1 B．⊥C．•=1 D．（4+）⊥【分析】由题意，知道，，根据已知三角形为等边三角形解之．【解答】解：因为已知三角形ABC的等边三角形，，满足=2，=2+，又，∴的方向应该为的方向．所以，，所以=2，=1×2×cos120°=﹣1，4=4×1×2×cos120°=﹣4，=4，所以=0，即（4）=0，即=0，所以；故选：D．【点评】本题考查了向量的数量积公式的运用；注意：三角形的内角与向量的夹角的关系．9．（5分）函数f（x）=的图象如图所示，则下列结论成立的是（）A．a＞0，b＞0，c＜0 B．a＜0，b＞0，c＞0 C．a＜0，b＞0，c＜0 D．a＜0，b＜0，c＜0【分析】分别根据函数的定义域，函数零点以及f（0）的取值进行判断即可．【解答】解：函数在P处无意义，由图象看P在y轴右边，所以﹣c＞0，得c＜0，f（0）=，∴b＞0，由f（x）=0得ax+b=0，即x=﹣，即函数的零点x=﹣＞0，∴a＜0，综上a＜0，b＞0，c＜0，故选：C．【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，根据函数图象的信息，结合定义域，零点以及f（0）的符号是解决本题的关键．10．（5分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ均为正的常数）的最小正周期为π，当x=时，函数f（x）取得最小值，则下列结论正确的是（）A．f（2）＜f（﹣2）＜f（0）B．f（0）＜f（2）＜f（﹣2）C．f（﹣2）＜f （0）＜f（2）D．f（2）＜f（0）＜f（﹣2）【分析】依题意可求ω=2，又当x=时，函数f（x）取得最小值，可解得φ，从而可求解析式f（x）=Asin（2x+），利用正弦函数的图象和性质及诱导公式即可比较大小．【解答】解：依题意得，函数f（x）的周期为π，∵ω＞0，∴ω==2．又∵当x=时，函数f（x）取得最小值，∴2×+φ=2kπ+，k∈Z，可解得：φ=2kπ+，k∈Z，∴f（x）=Asin（2x+2kπ+）=Asin（2x+）．∴f（﹣2）=Asin（﹣4+）=Asin（﹣4+2π）＞0．f（2）=Asin（4+）＜0，f（0）=Asin=Asin＞0，又∵＞﹣4+2π＞＞，而f（x）=Asinx在区间（，）是单调递减的，∴f（2）＜f（﹣2）＜f（0）．故选：A．【点评】本题主要考查了三角函数的周期性及其求法，三角函数的图象与性质，用诱导公式将函数值转化到一个单调区间是比较大小的关键，属于中档题．二.填空题（每小题5分，共25分）11．（5分）（x3+）7的展开式中的x5的系数是35（用数字填写答案）【分析】根据所给的二项式，利用二项展开式的通项公式写出第r+1项，整理成最简形式，令x的指数为5求得r，再代入系数求出结果．【解答】解：根据所给的二项式写出展开式的通项，T r+1==；要求展开式中含x5的项的系数，∴21﹣4r=5，∴r=4，可得：=35．故答案为：35．【点评】本题考查二项式定理的应用，本题解题的关键是正确写出二项展开式的通项，在这种题目中通项是解决二项展开式的特定项问题的工具．12．（5分）在极坐标系中，圆ρ=8sinθ上的点到直线θ=（ρ∈R）距离的最大值是6．【分析】圆ρ=8sinθ化为ρ2=8ρsinθ，把代入可得直角坐标方程，直线θ=（ρ∈R）化为y=x．利用点到直线的距离公式可得圆心C（0，4）到直线的距离d，可得圆ρ=8sinθ上的点到直线θ=（ρ∈R）距离的最大值=d+r．【解答】解：圆ρ=8sinθ化为ρ2=8ρsinθ，∴x2+y2=8y，化为x2+（y﹣4）2=16．直线θ=（ρ∈R）化为y=x．∴圆心C（0，4）到直线的距离d==2，∴圆ρ=8sinθ上的点到直线θ=（ρ∈R）距离的最大值=d+r=2+4=6．故答案为：6．【点评】本题考查了极坐标化为直角坐标方程、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13．（5分）执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的n为4【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的a，n的值，当a=时不满足条件|a﹣1.414|=0.00267＞0.005，退出循环，输出n的值为4．【解答】解：模拟执行程序框图，可得a=1，n=1满足条件|a﹣1.414|＞0.005，a=，n=2满足条件|a﹣1.414|＞0.005，a=，n=3满足条件|a﹣1.414|＞0.005，a=，n=4不满足条件|a﹣1.414|=0.00267＞0.005，退出循环，输出n的值为4．故答案为：4．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确写出每次循环得到的a，n 的值是解题的关键，属于基础题．14．（5分）已知数列{a n}是递增的等比数列，a1+a4=9，a2a3=8，则数列{a n}的前n项和等于2n﹣1．【分析】利用等比数列的性质，求出数列的首项以及公比，即可求解数列{a n}的前n项和．【解答】解：数列{a n}是递增的等比数列，a1+a4=9，a2a3=8，可得a1a4=8，解得a1=1，a4=8，∴8=1×q3，q=2，数列{a n}的前n项和为：=2n﹣1．故答案为：2n﹣1．【点评】本题考查等比数列的性质，数列{a n}的前n项和求法，基本知识的考查．15．（5分）设x3+ax+b=0，其中a，b均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是①③④⑤（写出所有正确条件的编号）①a=﹣3，b=﹣3．②a=﹣3，b=2．③a=﹣3，b＞2．④a=0，b=2．⑤a=1，b=2．【分析】对五个条件分别分析解答；利用数形结合以及导数，判断单调区间以及极值．【解答】解：设f（x）=x3+ax+b，f'（x）=3x2+a，①a=﹣3，b=﹣3时，令f'（x）=3x2﹣3=0，解得x=±1，x=1时f（1）=﹣5，f（﹣1）=﹣1；并且x＞1或者x＜﹣1时f'（x）＞0，所以f（x）在（﹣∞，﹣1）和（1，+∞）都是增函数，所以函数图象与x轴只有一个交点，故x3+ax+b=0仅有一个实根；如图②a=﹣3，b=2时，令f'（x）=3x2﹣3=0，解得x=±1，x=1时f（1）=0，f（﹣1）=4；如图③a=﹣3，b＞2时，函数f（x）=x3﹣3x+b，f（1）=﹣2+b＞0，函数图象形状如图②，所以方程x3+ax+b=0只有一个根；④a=0，b=2时，函数f（x）=x3+2，f'（x）=3x2≥0恒成立，故原函数在R上是增函数；故方程方程x3+ax+b=0只有一个根；⑤a=1，b=2时，函数f（x）=x3+x+2，f'（x）=3x2+1＞0恒成立，故原函数在R上是增函数；故方程方程x3+ax+b=0只有一个根；综上满足使得该三次方程仅有一个实根的是①③④⑤．故答案为：①③④⑤．【点评】本题考查了函数的零点与方程的根的关系；关键是数形结合、利用导数解之．三.解答题（共6小题，75分）16．（12分）在△ABC中，∠A=，AB=6，AC=3，点D在BC边上，AD=BD，求AD的长．【分析】由已知及余弦定理可解得BC的值，由正弦定理可求得sinB，从而可求cosB，过点D作AB的垂线DE，垂足为E，由AD=BD得：cos∠DAE=cosB，即可求得AD的长．【解答】解：∵∠A=，AB=6，AC=3，∴在△ABC中，由余弦定理可得：BC2=AB2+AC2﹣2AB•ACcos∠BAC=90．∴BC=3…4分∵在△ABC中，由正弦定理可得：，∴sinB=，∴cosB=…8分∵过点D作AB的垂线DE，垂足为E，由AD=BD得：cos∠DAE=cosB，∴Rt△ADE中，AD===…12分【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，属于基本知识的考查．17．（12分）已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束．（Ⅰ）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；（Ⅱ）已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用（单位：元），求X的分布列和均值（数学期望）【分析】（Ⅰ）记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A，利用古典概型的概率求解即可．（Ⅱ）X的可能取值为：200，300，400．求出概率，得到分布列，然后求解期望即可．【解答】解：（Ⅰ）记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A，则P（A）==．（Ⅱ）X的可能取值为：200，300，400P（X=200）==．P（X=300）==．P（X=400）=1﹣P（X=200）﹣P（X=300）=．X的分布列为：EX=200×+300×+400×=350．【点评】本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，考查计算能力．18．（12分）设n∈N*，x n是曲线y=x2n+2+1在点（1，2）处的切线与x轴交点的横坐标．（Ⅰ）求数列{x n}的通项公式；（Ⅱ）记T n=x12x32…x2n﹣12，证明：T n≥．【分析】（1）利用导数求切线方程求得切线直线并求得横坐标；（2）利用放缩法缩小式子的值从而达到所需要的式子成立．【解答】解：（1）y'=（x2n+2+1）'=（2n+2）x2n+1，曲线y=x2n+2+1在点（1，2）处的切线斜率为2n+2，从而切线方程为y﹣2=（2n+2）（x﹣1）令y=0，解得切线与x轴的交点的横坐标为，（2）证明：由题设和（1）中的计算结果可知：T n=x12x32…x2n﹣12=，当n=1时，，2==＞==，当n≥2时，因为x2n﹣1所以T n；，均有．综上所述，可得对任意的n∈N+【点评】本题主要考查切线方程的求法和放缩法的应用，属基础题型．19．（13分）如图所示，在多面体A1B1D1DCBA中，四边形AA1B1B，ADD1A1，ABCD 均为正方形，E为B1D1的中点，过A1，D，E的平面交CD1于F．（Ⅰ）证明：EF∥B1C；（Ⅱ）求二面角E﹣A1D﹣B1的余弦值．【分析】（Ⅰ）通过四边形A1B1CD为平行四边形，可得B1C∥A1D，利用线面平行的判定定理即得结论；（Ⅱ）以A为坐标原点，以AB、AD、AA1所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系A﹣xyz，设边长为2，则所求值即为平面A1B1CD的一个法向量与平面A1EFD的一个法向量的夹角的余弦值的绝对值，计算即可．【解答】（Ⅰ）证明：∵B1C=A1D且A1B1=CD，∴四边形A1B1CD为平行四边形，∴B1C∥A1D，又∵B1C⊄平面A1EFD，∴B1C∥平面A1EFD，又∵平面A1EFD∩平面B1CD1=EF，∴EF∥B1C；（Ⅱ）解：以A为坐标原点，以AB、AD、AA1所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系A﹣xyz如图，设边长为2，∵AD1⊥平面A1B1CD，∴=（0，2，2）为平面A1B1CD的一个法向量，设平面A1EFD的一个法向量为=（x，y，z），又∵=（0，2，﹣2），=（1，1，0），∴，，取y=1，得=（﹣1，1，1），∴cos＜，＞==，∴二面角E﹣A1D﹣B1的余弦值为．【点评】本题考查空间中线线平行的判定，求二面角的三角函数值，注意解题方法的积累，属于中档题．20．（13分）设椭圆E的方程为+=1（a＞b＞0），点O为坐标原点，点A 的坐标为（a，0），点B的坐标为（0，b），点M在线段AB上，满足|BM|=2|MA|，直线OM的斜率为（Ⅰ）求E的离心率e；（Ⅱ）设点C的坐标为（0，﹣b），N为线段AC的中点，点N关于直线AB的对称点的纵坐标为，求E的方程．【分析】（I）由于点M在线段AB上，满足|BM|=2|MA|，即，可得．利用，可得．（II）由（I）可得直线AB的方程为：=1，利用中点坐标公式可得N．设点N关于直线AB的对称点为S，线段NS的中点T，又AB垂直平分线段NS，可得b，解得即可．【解答】解：（I）∵点M在线段AB上，满足|BM|=2|MA|，∴，∵A（a，0），B（0，b），∴=．∵，∴，a=b．∴=．（II）由（I）可得直线AB的方程为：=1，N．设点N关于直线AB的对称点为S，线段NS的中点T，又AB垂直平分线段NS，∴，解得b=3，∴椭圆E的方程为：．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、线段的垂直平分线性质、中点坐标公式、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21．（13分）设函数f（x）=x2﹣ax+b．（Ⅰ）讨论函数f（sinx）在（﹣，）内的单调性并判断有无极值，有极值时求出最值；（Ⅱ）记f0（x）=x2﹣a0x+b0，求函数|f（sinx）﹣f0（sinx）|在[﹣，]上的最大值D；（Ⅲ）在（Ⅱ）中，取a0=b0=0，求z=b﹣满足条件D≤1时的最大值．【分析】（Ⅰ）设t=sinx，f（t）=t2﹣at+b（﹣1＜t＜1），讨论对称轴和区间的关系，即可判断极值的存在；（Ⅱ）结合不等式的性质求得最大值；（Ⅲ）由（Ⅱ）结合不等式的性质求得z=b﹣的最大值．【解答】解：（Ⅰ）设t=sinx，在x∈（﹣，）递增，即有f（t）=t2﹣at+b（﹣1＜t＜1），f′（t）=2t﹣a，①当a≥2时，f′（t）≤0，f（t）递减，即f（sinx）递减；当a≤﹣2时，f′（t）≥0，f（t）递增，即f（sinx）递增．即有a≥2或a≤﹣2时，不存在极值．②当﹣2＜a＜2时，﹣1＜t＜，f′（t）＜0，f（sinx）递减；＜t＜1，f′（t）＞0，f（sinx）递增．f（sinx）有极小值f（）=b﹣；（Ⅱ）﹣≤x≤时，|f（sinx）﹣f0（sinx）|=|（a﹣a0）sinx+b﹣b0|≤|a﹣当（a﹣a0）（b﹣b0）≥0时，取x=，等号成立；当（a﹣a0）（b﹣b0）≤0时，取x=﹣，等号成立．由此可知，|f（sinx）﹣f0（sinx）|在[﹣，]上的最大值为D=|a﹣a0|+|b ﹣b0|．（Ⅲ）D≤1即为|a|+|b|≤1，此时0≤a2≤1，﹣1≤b≤1，从而z=b﹣≤1取a=0，b=1，则|a|+|b|≤1，并且z=b﹣=1．由此可知，z=b﹣满足条件D≤1的最大值为1．【点评】本题考查函数的性质和运用，主要考查二次函数的单调性和极值、最值，考查分类讨论的思想方法和数形结合的思想，属于难题．。
2015年安徽省高考数学试卷(理科）一.选择题(每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中,只有一个是正确的) 1．（5分）（2015•安徽）设i是虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．(5分）（2015•安徽）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（）A．y=cosx B．y=sinx C．y=lnx D．y=x2+13．（5分）(2015•安徽）设p：1＜x＜2,q：2x＞1，则p是q成立的（)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．(5分)（2015•安徽）下列双曲线中,焦点在y轴上且渐近线方程为y=±2x的是（）A．x2﹣=1 B．﹣y2=1C．﹣x2=1D．y2﹣=15．（5分）（2015•安徽）已知m,n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是（)A．若α，β垂直于同一平面,则α与β平行B．若m，n平行于同一平面，则m与n平行C．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线D．若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面6．（5分）（2015•安徽）若样本数据x1，x2，…，x10的标准差为8，则数据2x1﹣1,2x2﹣1，…，2x10﹣1的标准差为（）A．8B．15 C．16 D．327．(5分）（2015•安徽)一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（）A ． 1+B ． 2+C ． 1+2D ． 28．(5分）（2015•安徽）△ABC 是边长为2的等边三角形,已知向量，满足=2,=2+，则下列结论正确的是（ ）A ． ||=1B ．⊥ C ．•=1D ．（4+）⊥9．（5分）（2015•安徽）函数f （x ）=的图象如图所示，则下列结论成立的是（ ）A ． a ＞0，b ＞0，c ＜0B ． a ＜0，b ＞0，c ＞0C ． a ＜0，b ＞0，c ＜0D ． a ＜0，b ＜0，c ＜0 10．（5分)(2015•安徽）已知函数f （x)=Asin （ωx+φ）（A ，ω，φ均为正的常数)的最小正周期为π，当x=时，函数f(x ）取得最小值，则下列结论正确的是（ ）A ． f （2）＜f （﹣2）＜f （0）B ． f （0）＜f(2）＜f （﹣2)C ． f （﹣2）＜f （0）＜f （2）D ． f （2）＜f （0)＜f(﹣2）二。
绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)数学(理科)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷第1至第3页，第Ⅱ卷第4至第6页。
全卷满分150分，考试时间120分钟。
考生注意事项：1. 答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致.务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位.2. 答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.3. 答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．书写，要求字体工整、笔迹清晰.作图题可先用铅笔在答题卡．．．规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚.必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无．．．．．．．．．．．．效，在答题卷、草稿纸上答题无效．．．．．．．．．．．．．．．. 4. 考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交. 参考公式：如果事件A 与B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+标准差s =121()n x x x x n=++第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设i 是虚数单位，则复数2i1i-在复平面内所对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2. 下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ）A. cos y x =B. sin y x =C. ln y x =D. 21y x =+3. 设:12p x <<，:21x q >，则p 是q 成立的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4. 下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为2y x =±的是（ ）A. 2214yx -= B. 2214x y -=C. 2214y x -=D. 2214x y -=5. 已知m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是 （ ）A. 若α，β垂直于同一平面，则α与β平行B. 若m ，n 平行于同一平面，则m 与n 平行C. 若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线D. 若m ，n 不平行，则m 与n 不可能垂直于同一平面6. 若样本数据1x ，2x ，…，10x 的标准差为8，则数据121x -，221x -，…，1021x -的标准差为（ ）A. 8B. 15C. 16D. 327. 一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（ ）A. 1B. 2+C. 1+D. 8. ABC △是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足AB =2a ，AC =2a +b ，则下列结论正确的是（ ）A. |b |=1B. a ⊥bC. a b =1D. (4a +b )BC ⊥9. 函数2()()ax bf x x c +=+的图象如图所示，则下列结论成立的是（ ）A. 0a >，0b >，0c <B. 0a <，0b >，0c >C. 0a <，0b >，0c <D. 0a <，0b <，0c <10. 已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（A ，ω，ϕ均为正的常数）的最小正周期为π，当2π3x =时，函数()f x 取得最小值，则下列结论正确的是（ ）A. (2)(2)(0)f f f <-<B. (0)(2)(2)f f f <<-C. (2)(0)(2)f f f -<<D. (2)(0)(2)f f f <<-第Ⅱ卷(非选择题 共100分)姓名________________ 准考证号_____________--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无------------------------------------二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在题中的横线上.11. 371()x x+的展开式中5x 的系数是_________（用数字填写答案）.12. 在极坐标系中，圆8sin ρθ=上的点到直线()3πθρ=∈R 距离的最大值是_________.13. 执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的n 为_________.14. 已知数列{}n a 是递增的等比数列，149a a +=，328a a =，则数列{}n a 的前n 项和等于_________.15. 设30x ax b ++=，其中a ，b 均为实数.下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是_________（写出所有正确条件的编号）. ①3a =-，3b =-； ②3a =-，2b =；③3a =-，2b >；④0a =，2b =；⑤1a =，2b =.三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 16.（本小题满分12分）在ABC △中，3π4A =，=6AB，AC =，点D 在BC 边上，AD BD =，求AD 的长.17.（本小题满分12分）已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束. （Ⅰ）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；（Ⅱ）已知每检测一件产品需要费用100元，设X 表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用（单位：元），求X 的分布列和均值（数学期望）.18.（本小题满分12分）设*n ∈N ，n x 是曲线221n y x +=+在点(1,2)处的切线与x 轴交点的横坐标. （Ⅰ）求数列{}n x 的通项公式；（Ⅱ）记2221321n n T x x x -=，证明14n T n≥.19.（本小题满分13分）如图，在多面体111A B D DCBA 中，四边形11AA B B ，11ADD A ，ABCD 均为正方形，E 为11B D 的中点，过1A ，D ，E 的平面交1CD 于点F .（Ⅰ）证明：1EF B C ∥；（Ⅱ）求二面角11E A D B --余弦值.20.（本小题满分13分）设椭圆E 的方程为222210x y a b a b +=>>（），点O 为坐标原点，点A 的坐标为(0)a ，，点B 的坐标为(0)b ，，点M 在线段AB 上，满足||2||BM MA =，直线OM. （Ⅰ）求E 的离心率e ；（Ⅱ）设点C 的坐标为(0)b -，，N 为线段AC 的中点，点N 关于直线AB 的对称点的纵坐标为72，求E 的方程.21.（本小题满分13分） 设函数2()f x x ax b =-+.（Ⅰ）讨论函数(sin )f x 在ππ22(-,)内的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值； （Ⅱ）记2000()f x x a x b =-+，求函数0|(sin )(sin )|f x f x -在ππ22[-,]上的最大值D ；（Ⅲ）在（Ⅱ）中，取000a b ==，求24a zb =-满足条件1D ≤时的最小值.2015年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)数学(理科)答案解析【解析】依题意，该几何体是地面为等腰直角的三棱锥，该四面体的直观图如下，1。
2015年安徽省高考数学试卷（理科）一.选择题（每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的）1．（5分）（2015•安徽）设i是虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（）A ．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）（2015•安徽）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（）A ．y=cosx B．y=sinx C．y=lnx D．y=x2+13．（5分）（2015•安徽）设p：1＜x＜2，q：2x＞1，则p是q成立的（）A ．充分不必要条件B．必要不充分条件C ．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）（2015•安徽）下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y=±2x的是（）A．x2﹣=1 B．﹣y2=1C．﹣x2=1D．y2﹣=15．（5分）（2015•安徽）已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是（）A ．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行B ．若m，n平行于同一平面，则m 与n平行C ．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线D ．若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面6．（5分）（2015•安徽）若样本数据x1，x2，…，x10的标准差为8，则数据2x1﹣1，2x2﹣1，…，2x10﹣1的标准差为（）A ．8 B．15 C．16 D．327．（5分）（2015•安徽）一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（）A ．1+B．2+C．1+2D．28．（5分）（2015•安徽）△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量，满足=2，=2+，则下列结论正确的是（）A ．||=1 B．⊥C．•=1 D．（4+）⊥9．（5分）（2015•安徽）函数f（x）=的图象如图所示，则下列结论成立的是（）A ．a＞0，b＞0，c＜0B．a＜0，b＞0，c＞0C．a＜0，b＞0，c＜0D．a＜0，b＜0，c＜010．（5分）（2015•安徽）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ均为正的常数）的最小正周期为π，当x=时，函数f（x）取得最小值，则下列结论正确的是（）A ．f（2）＜f（﹣2）＜f（0）B．f（0）＜f（2）＜f（﹣2）C．f（﹣2）＜f（0）＜f（2）D．f（2）＜f（0）＜f（﹣2）二.填空题（每小题5分，共25分）11．（5分）（2015•安徽）（x3+）7的展开式中的x5的系数是（用数字填写答案）12．（5分）（2015•安徽）在极坐标系中，圆ρ=8sinθ上的点到直线θ=（ρ∈R）距离的最大值是．13．（5分）（2015•安徽）执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的n为14．（5分）（2015•安徽）已知数列{a n}是递增的等比数列，a1+a4=9，a2a3=8，则数列{a n}的前n项和等于．15．（5分）（2015•安徽）设x3+ax+b=0，其中a，b均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是（写出所有正确条件的编号）①a=﹣3，b=﹣3．②a=﹣3，b=2．③a=﹣3，b＞2．④a=0，b=2．⑤a=1，b=2．三.解答题（共6小题，75分）16．（12分）（2015•安徽）在△ABC中，∠A=，AB=6，AC=3，点D在BC边上，AD=BD，求AD的长．17．（12分）（2015•安徽）已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束．（Ⅰ）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；（Ⅱ）已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用（单位：元），求X的分布列和均值（数学期望）18．（12分）（2015•安徽）设n∈N*，x n是曲线y=x2n+2+1在点（1，2）处的切线与x轴交点的横坐标（Ⅰ）求数列{x n}的通项公式；（Ⅱ）记T n=x12x32…x2n﹣12，证明：T n≥．19．（13分）（2015•安徽）如图所示，在多面体A1B1D1DCBA中，四边形AA1B1B，ADD1A1，ABCD均为正方形，E为B1D1的中点，过A1，D，E的平面交CD1于F．（Ⅰ）证明：EF∥B1C；（Ⅱ）求二面角E﹣AD﹣B1的余弦值．20．（13分）（2015•安徽）设椭圆E的方程为+=1（a＞b＞0），点O为坐标原点，点A的坐标为（a，0），点B的坐标为（0，b），点M在线段AB上，满足|BM|=2|MA|，直线OM的斜率为（Ⅰ）求E的离心率e；（Ⅱ）设点C的坐标为（0，﹣b），N为线段AC的中点，点N关于直线AB的对称点的纵坐标为，求E的方程．21．（13分）（2015•安徽）设函数f（x）=x2﹣ax+b．（Ⅰ）讨论函数f（sinx）在（﹣，）内的单调性并判断有无极值，有极值时求出最值；（Ⅱ）记f n（x）=x2﹣a0x+b0，求函数|f（sinx）﹣f0（sinx）|在[﹣，]上的最大值D2（Ⅲ）在（Ⅱ）中，取a n=b n=0，求s=b﹣满足条件D≤1时的最大值．2015年安徽省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一.选择题（每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的）1．（5分）（2015•安徽）设i是虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（）A ．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：复数的代数表示法及其几何意义．专题：计算题；数系的扩充和复数．分析：先化简复数，再得出点的坐标，即可得出结论．解答：解：=i（1+i）=﹣1+i，对应复平面上的点为（﹣1，1），在第二象限，故选：B．点评：本题考查复数的运算，考查复数的几何意义，考查学生的计算能力，比较基础．2．（5分）（2015•安徽）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（）A ．y=cosx B．y=sinx C．y=lnx D．y=x2+1考点：函数的零点；函数奇偶性的判断．专题：函数的性质及应用．分析：利用函数奇偶性的判断方法以及零点的判断方法对选项分别分析选择．解答：解：对于A，定义域为R，并且cos（﹣x）=cosx，是偶函数并且有无数个零点；对于B，sin（﹣x）=﹣sinx，是奇函数，由无数个零点；对于C，定义域为（0，+∞），所以是非奇非偶的函数，有一个零点；对于D，定义域为R，为偶函数，都是没有零点；故选A．点评：本题考查了函数的奇偶性和零点的判断．①求函数的定义域；②如果定义域关于原点不对称，函数是非奇非偶的函数；如果关于原点对称，再判断f（﹣x）与f（x）的关系；相等是偶函数，相反是奇函数；函数的零点与函数图象与x轴的交点以及与对应方程的解的个数是一致的．3．（5分）（2015•安徽）设p：1＜x＜2，q：2x＞1，则p是q成立的（）A ．充分不必要条件B．必要不充分条件C ．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：运用指数函数的单调性，结合充分必要条件的定义，即可判断．解答：解：由1＜x＜2可得2＜2x＜4，则由p推得q成立，若2x＞1可得x＞0，推不出1＜x＜2．由充分必要条件的定义可得p是q成立的充分不必要条件．故选A．点评：本题考查充分必要条件的判断，同时考查指数函数的单调性的运用，属于基础题．4．（5分）（2015•安徽）下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y=±2x的是（）A．x2﹣=1 B．﹣y2=1C．﹣x2=1D．y2﹣=1考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：对选项首先判定焦点的位置，再求渐近线方程，即可得到答案．解答：解：由A可得焦点在x轴上，不符合条件；由B可得焦点在x轴上，不符合条件；由C可得焦点在y轴上，渐近线方程为y=±2x，符合条件；由D可得焦点在y轴上，渐近线方程为y=x，不符合条件．故选C．点评：本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的焦点和渐近线方程的求法，属于基础题．5．（5分）（2015•安徽）已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是（）A ．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行B ．若m，n平行于同一平面，则m 与n平行C ．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线D ．若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面考点：空间中直线与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：利用面面垂直、线面平行的性质定理和判定定理对选项分别分析解答．解答：解：对于A，若α，β垂直于同一平面，则α与β不一定平行，如果墙角的三个平面；故A错误；对于B，若m，n平行于同一平面，则m与n平行．相交或者异面；故B错误；对于C，若α，β不平行，则在α内存在无数条与β平行的直线；故C错误；对于D，若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面；假设两条直线同时垂直同一个平面，则这两条在平行；故D正确；故选D．点评：本题考查了空间线面关系的判断；用到了面面垂直、线面平行的性质定理和判定定理．6．（5分）（2015•安徽）若样本数据x1，x2，…，x10的标准差为8，则数据2x1﹣1，2x2﹣1，…，2x10﹣1的标准差为（）A ．8 B．15 C．16 D．32考点：极差、方差与标准差．专题：概率与统计．分析：根据标准差和方差之间的关系先求出对应的方差，然后结合变量之间的方差关系进行求解即可．解答：解：∵样本数据x1，x2，…，x10的标准差为8，∴=8，即DX=64，数据2x1﹣1，2x2﹣1，…，2x10﹣1的方差为D（2X﹣1）=4DX=4×64，则对应的标准差为==16，故选：C．点评：本题主要考查方差和标准差的计算，根据条件先求出对应的方差是解决本题的关键．7．（5分）（2015•安徽）一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（）A ．1+B．2+C．1+2D．2考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：根据几何体的三视图，得出该几何体是底面为等腰直角三角形的三棱锥，结合题意画出图形，利用图中数据求出它的表面积．解答：解：根据几何体的三视图，得；该几何体是底面为等腰直角三角形的三棱锥，如图所示；∴该几何体的表面积为S表面积=S△PAC+2S△PAB+S△ABC=×2×1+2××+×2×1=2+．故选：B．点评：本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，解题的关键是由三视图得出几何体的结构特征，是基础题目．8．（5分）（2015•安徽）△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量，满足=2，=2+，则下列结论正确的是（）A ．||=1 B．⊥C．•=1 D．（4+）⊥。
2015年安徽省高考数学试卷（理科）一.选择题（每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的）1．（5分）（2015?安徽）设i是虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）（2015?安徽）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（）A．y=cosx B．y=sinx C．y=lnx D．y=x2+13．（5分）（2015?安徽）设p：1＜x＜2，q：2x＞1，则p是q成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）（2015?安徽）下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y=±2x的是（）A．x2﹣=1 B．﹣y2=1C．﹣x2=1D．y2﹣=15．（5分）（2015?安徽）已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是（）A．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行B．若m，n平行于同一平面，则m与n平行C．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线D．若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面6．（5分）（2015?安徽）若样本数据x1，x2，…，x10的标准差为8，则数据2x1﹣1，2x2﹣1，…，2x10﹣1的标准差为（）A．8B．15 C．16 D．327．（5分）（2015?安徽）一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（）A ． 1+B ． 2+C ． 1+2D ． 28．（5分）（2015?安徽）△ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量，满足=2，=2+，则下列结论正确的是（ ）A ． ||=1B ． ⊥C ． ?=1D ． （4+）⊥9．（5分）（2015?安徽）函数f （x ）=的图象如图所示，则下列结论成立的是（ ）A ． a ＞0，b ＞0，c ＜0B ． a ＜0，b ＞0，c ＞0C ． a ＜0，b ＞0，c ＜0D ． a ＜0，b ＜0，c ＜010．（5分）（2015?安徽）已知函数f （x ）=Asin （ωx+φ）（A ，ω，φ均为正的常数）的最小正周期为π，当x=时，函数f （x ）取得最小值，则下列结论正确的是（ ）A ． f （2）＜f （﹣2）＜f （0）B ． f （0）＜f （2）＜f （﹣2）C ． f （﹣2）＜f （0）＜f （2）D ． f （2）＜f （0）＜f（﹣2）二.填空题（每小题5分，共25分）11．（5分）（2015?安徽）（x3+）7的展开式中的x5的系数是（用数字填写答案）12．（5分）（2015?安徽）在极坐标系中，圆ρ=8sinθ上的点到直线θ=（ρ∈R）距离的最大值是．13．（5分）（2015?安徽）执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的n为14．（5分）（2015?安徽）已知数列{a n}是递增的等比数列，a1+a4=9，a2a3=8，则数列{a n}的前n项和等于．15．（5分）（2015?安徽）设x3+ax+b=0，其中a，b均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是（写出所有正确条件的编号）①a=﹣3，b=﹣3．②a=﹣3，b=2．③a=﹣3，b＞2．④a=0，b=2．⑤a=1，b=2．三.解答题（共6小题，75分）16．（12分）（2015?安徽）在△ABC中，∠A=，AB=6，AC=3，点D在BC边上，AD=BD，求AD的长．17．（12分）（2015?安徽）已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束．（Ⅰ）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；（Ⅱ）已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用（单位：元），求X的分布列和均值（数学期望）18．（12分）（2015?安徽）设n∈N*，x n是曲线y=x2n+2+1在点（1，2）处的切线与x轴交点的横坐标（Ⅰ）求数列{x n}的通项公式；（Ⅱ）记T n=x12x32…x2n﹣12，证明：T n≥．19．（13分）（2015?安徽）如图所示，在多面体A1B1D1DCBA中，四边形AA1B1B，ADD1A1，ABCD均为正方形，E为B1D1的中点，过A1，D，E的平面交CD1于F．（Ⅰ）证明：EF∥B1C；（Ⅱ）求二面角E﹣A1D﹣B1的余弦值．20．（13分）（2015?安徽）设椭圆E的方程为+=1（a＞b＞0），点O为坐标原点，点A的坐标为（a，0），点B的坐标为（0，b），点M在线段AB上，满足|BM|=2|MA|，直线OM的斜率为（Ⅰ）求E的离心率e；（Ⅱ）设点C的坐标为（0，﹣b），N为线段AC的中点，点N关于直线AB的对称点的纵坐标为，求E的方程．21．（13分）（2015?安徽）设函数f（x）=x2﹣ax+b．（Ⅰ）讨论函数f（sinx）在（﹣，）内的单调性并判断有无极值，有极值时求出最值；（Ⅱ）记f0（x）=x2﹣a0x+b0，求函数|f（sinx）﹣f0（sinx）|在[﹣，]上的最大值D；（Ⅲ）在（Ⅱ）中，取a0=b0=0，求z=b﹣满足条件D≤1时的最大值．2015年安徽省高考数学试卷（理科）参考答案一.选择题（每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的）1．B 2．A 3．A 4．C 5．D 6．C 7．B 8．D 9．C 10．A二.填空题（每小题5分，共25分）11．35 12．6 13．4 14．2n-1 15．①③④⑤三.解答题（共6小题，75分）16．17．18．19．20．21．。
2015年安徽省高考数学试卷（理科）一.选择题（每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的）1．（5分）（2015•安徽）设i是虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）（2015•安徽）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（）A．y=cosx B．y=sinx C．y=lnx D．y=x2+13．（5分）（2015•安徽）设p：1＜x＜2，q：2x＞1，则p是q成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）（2015•安徽）下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y=±2x的是（）A．x2﹣=1 B．﹣y2=1C．﹣x2=1D．y2﹣=15．（5分）（2015•安徽）已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是（）A．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行B．若m，n平行于同一平面，则m与n平行C．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线D．若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面6．（5分）（2015•安徽）若样本数据x1，x2，…，x10的标准差为8，则数据2x1﹣1，2x2﹣1，…，2x10﹣1的标准差为（）A．8B．15 C．16 D．327．（5分）（2015•安徽）一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（）A ． 1+B ． 2+C ． 1+2D ． 28．（5分）（2015•安徽）△ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量，满足=2，=2+，则下列结论正确的是（ ） A ． ||=1 B ．⊥C ．•=1D ．（4+）⊥9．（5分）（2015•安徽）函数f （x ）=的图象如图所示，则下列结论成立的是（ ）A ． a ＞0，b ＞0，c ＜0B ． a ＜0，b ＞0，c ＞0C ． a ＜0，b ＞0，c ＜0D ． a ＜0，b ＜0，c ＜0 10．（5分）（2015•安徽）已知函数f （x ）=Asin （ωx+φ）（A ，ω，φ均为正的常数）的最小正周期为π，当x=时，函数f （x ）取得最小值，则下列结论正确的是（ ）A ． f （2）＜f （﹣2）＜f （0）B ． f （0）＜f （2）＜f （﹣2）C ． f （﹣2）＜f （0）＜f （2）D ． f （2）＜f （0）＜f（﹣2）二.填空题（每小题5分，共25分）11．（5分）（2015•安徽）（x3+）7的展开式中的x5的系数是（用数字填写答案）12．（5分）（2015•安徽）在极坐标系中，圆ρ=8sinθ上的点到直线θ=（ρ∈R）距离的最大值是．13．（5分）（2015•安徽）执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的n为14．（5分）（2015•安徽）已知数列{a n}是递增的等比数列，a1+a4=9，a2a3=8，则数列{a n}的前n项和等于．15．（5分）（2015•安徽）设x3+ax+b=0，其中a，b均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是（写出所有正确条件的编号）①a=﹣3，b=﹣3．②a=﹣3，b=2．③a=﹣3，b＞2．④a=0，b=2．⑤a=1，b=2．三.解答题（共6小题，75分）16．（12分）（2015•安徽）在△ABC中，∠A=，AB=6，AC=3，点D在BC边上，AD=BD，求AD的长．17．（12分）（2015•安徽）已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束．（Ⅰ）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；（Ⅱ）已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用（单位：元），求X的分布列和均值（数学期望）18．（12分）（2015•安徽）设n∈N*，x n是曲线y=x2n+2+1在点（1，2）处的切线与x轴交点的横坐标（Ⅰ）求数列{x n}的通项公式；（Ⅱ）记T n=x12x32…x2n﹣12，证明：T n≥．19．（13分）（2015•安徽）如图所示，在多面体A1B1D1DCBA中，四边形AA1B1B，ADD1A1，ABCD均为正方形，E为B1D1的中点，过A1，D，E的平面交CD1于F．（Ⅰ）证明：EF∥B1C；（Ⅱ）求二面角E﹣AD﹣B1的余弦值．20．（13分）（2015•安徽）设椭圆E的方程为+=1（a＞b＞0），点O为坐标原点，点A的坐标为（a，0），点B的坐标为（0，b），点M在线段AB上，满足|BM|=2|MA|，直线OM的斜率为（Ⅰ）求E的离心率e；（Ⅱ）设点C的坐标为（0，﹣b），N为线段AC的中点，点N关于直线AB的对称点的纵坐标为，求E的方程．21．（13分）（2015•安徽）设函数f（x）=x2﹣ax+b．（Ⅰ）讨论函数f（sinx）在（﹣，）内的单调性并判断有无极值，有极值时求出最值；（Ⅱ）记f n（x）=x2﹣a0x+b0，求函数|f（sinx）﹣f0（sinx）|在[﹣，]上的最大值D2（Ⅲ）在（Ⅱ）中，取a n=b n=0，求s=b﹣满足条件D≤1时的最大值．2015年安徽省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一.选择题（每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的）1．（5分）（2015•安徽）设i是虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：复数的代数表示法及其几何意义．专题：计算题；数系的扩充和复数．分析：先化简复数，再得出点的坐标，即可得出结论．解答：解：=i（1+i）=﹣1+i，对应复平面上的点为（﹣1，1），在第二象限，故选：B．点评：本题考查复数的运算，考查复数的几何意义，考查学生的计算能力，比较基础．2．（5分）（2015•安徽）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（）A．y=cosx B．y=sinx C．y=lnx D．y=x2+1考点：函数的零点；函数奇偶性的判断．专题：函数的性质及应用．分析：利用函数奇偶性的判断方法以及零点的判断方法对选项分别分析选择．解答：解：对于A，定义域为R，并且cos（﹣x）=cosx，是偶函数并且有无数个零点；对于B，sin（﹣x）=﹣sinx，是奇函数，由无数个零点；对于C，定义域为（0，+∞），所以是非奇非偶的函数，有一个零点；对于D，定义域为R，为偶函数，都是没有零点；故选A．点评：本题考查了函数的奇偶性和零点的判断．①求函数的定义域；②如果定义域关于原点不对称，函数是非奇非偶的函数；如果关于原点对称，再判断f（﹣x）与f（x）的关系；相等是偶函数，相反是奇函数；函数的零点与函数图象与x轴的交点以及与对应方程的解的个数是一致的．3．（5分）（2015•安徽）设p：1＜x＜2，q：2x＞1，则p是q成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：运用指数函数的单调性，结合充分必要条件的定义，即可判断．解答：解：由1＜x＜2可得2＜2x＜4，则由p推得q成立，若2x＞1可得x＞0，推不出1＜x＜2．由充分必要条件的定义可得p是q成立的充分不必要条件．故选A．点评：本题考查充分必要条件的判断，同时考查指数函数的单调性的运用，属于基础题．4．（5分）（2015•安徽）下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y=±2x的是（）A．x2﹣=1 B．﹣y2=1C．﹣x2=1D．y2﹣=1考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：对选项首先判定焦点的位置，再求渐近线方程，即可得到答案．解答：解：由A可得焦点在x轴上，不符合条件；由B可得焦点在x轴上，不符合条件；由C可得焦点在y轴上，渐近线方程为y=±2x，符合条件；由D可得焦点在y轴上，渐近线方程为y=x，不符合条件．故选C．点评：本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的焦点和渐近线方程的求法，属于基础题．5．（5分）（2015•安徽）已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是（）A．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行B．若m，n平行于同一平面，则m与n平行C．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线D．若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面考点：空间中直线与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：利用面面垂直、线面平行的性质定理和判定定理对选项分别分析解答．解答：解：对于A，若α，β垂直于同一平面，则α与β不一定平行，如果墙角的三个平面；故A错误；对于B，若m，n平行于同一平面，则m与n平行．相交或者异面；故B错误；对于C，若α，β不平行，则在α内存在无数条与β平行的直线；故C错误；对于D，若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面；假设两条直线同时垂直同一个平面，则这两条在平行；故D正确；故选D．点评：本题考查了空间线面关系的判断；用到了面面垂直、线面平行的性质定理和判定定理．6．（5分）（2015•安徽）若样本数据x1，x2，…，x10的标准差为8，则数据2x1﹣1，2x2﹣1，…，2x10﹣1的标准差为（）A．8B．15 C．16 D．32考点：极差、方差与标准差．专题：概率与统计．分析：根据标准差和方差之间的关系先求出对应的方差，然后结合变量之间的方差关系进行求解即可．解答：解：∵样本数据x1，x2，…，x10的标准差为8，∴=8，即DX=64，数据2x1﹣1，2x2﹣1，…，2x10﹣1的方差为D（2X﹣1）=4DX=4×64，则对应的标准差为==16，故选：C．点评：本题主要考查方差和标准差的计算，根据条件先求出对应的方差是解决本题的关键．7．（5分）（2015•安徽）一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（）A．1+B．2+C．1+2D．2考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：根据几何体的三视图，得出该几何体是底面为等腰直角三角形的三棱锥，结合题意画出图形，利用图中数据求出它的表面积．解答：解：根据几何体的三视图，得；该几何体是底面为等腰直角三角形的三棱锥，如图所示；∴该几何体的表面积为S表面积=S△PAC+2S△PAB+S△ABC=×2×1+2××+×2×1=2+．故选：B．点评：本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，解题的关键是由三视图得出几何体的结构特征，是基础题目．8．（5分）（2015•安徽）△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量，满足=2，=2+，则下列结论正确的是（）A．||=1 B．⊥C．•=1D．（4+）⊥考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：由题意，知道，，根据已知三角形为等边三角形解之．解答：解：因为已知三角形ABC的等边三角形，，满足=2，=2+，又，所以，，所以=2，=1×2×cos120°=﹣1，4=4×1×2×cos120°=﹣4，=4，所以=0，即（4）=0，即=0，所以；故选D．点评：本题考查了向量的数量积公式的运用；注意：三角形的内角与向量的夹角的关系．9．（5分）（2015•安徽）函数f（x）=的图象如图所示，则下列结论成立的是（）A ． a ＞0，b ＞0，c ＜0B ． a ＜0，b ＞0，c ＞0C ． a ＜0，b ＞0，c ＜0D ． a ＜0，b ＜0，c ＜0考点： 函数的图象． 专题： 函数的性质及应用． 分析： 分别根据函数的定义域，函数零点以及f （0）的取值进行判断即可． 解答：解：函数在P 处无意义，即﹣c ＞0，则c ＜0， f （0）=，∴b ＞0，由f （x ）=0得ax+b=0，即x=﹣， 即函数的零点x=﹣＞0，∴a ＜0，综上a ＜0，b ＞0，c ＜0， 故选：C 点评：本题主要考查函数图象的识别和判断，根据函数图象的信息，结合定义域，零点以及f （0）的符号是解决本题的关键． 10．（5分）（2015•安徽）已知函数f （x ）=Asin （ωx+φ）（A ，ω，φ均为正的常数）的最小正周期为π，当x=时，函数f （x ）取得最小值，则下列结论正确的是（ ）A ． f （2）＜f （﹣2）＜f （0）B ． f （0）＜f （2）＜f （﹣2）C ． f （﹣2）＜f （0）＜f （2）D ． f （2）＜f （0）＜f（﹣2）考点： 三角函数的周期性及其求法． 专题： 三角函数的图像与性质． 分析：依题意可求ω=2，又当x=时，函数f （x ）取得最小值，可解得φ，从而可求解析式f （x ）=Asin （2x+），利用正弦函数的图象和性质及诱导公式即可比较大小．解答：解：依题意得，函数f （x ）的周期为π， ∵ω＞0，∴ω==2．（3分）又∵当x=时，函数f（x）取得最小值，∴2×+φ=2kπ+，k∈Z，可解得：φ=2kπ+，k∈Z，（5分）∴f（x）=Asin（2x+2kπ+）=Asin（2x+）．（6分）∴f（﹣2）=Asin（﹣4+）=Asin（﹣4+2π）＞0．f（2）=Asin（4+）＜0f（0）=Asin=Asin＞0又∵＞﹣4+2π＞＞，而f（x）=Asin（2x+）在区间（，）是单调递减的，∴f（2）＜f（﹣2）＜f（0）故选：A．点评：本题主要考查了三角函数的周期性及其求法，三角函数的图象与性质，用诱导公式将函数值转化到一个单调区间是比较大小的关键，属于中档题．二.填空题（每小题5分，共25分）11．（5分）（2015•安徽）（x3+）7的展开式中的x5的系数是35（用数字填写答案）考点：二项式定理的应用．专题：二项式定理．分析：根据所给的二项式，利用二项展开式的通项公式写出第r+1项，整理成最简形式，令x的指数为5求得r，再代入系数求出结果．解答：解：根据所给的二项式写出展开式的通项，T r+1==；要求展开式中含x5的项的系数，∴21﹣4r=5，∴r=4，可得：=35．故答案为：35．点评：本题考查二项式定理的应用，本题解题的关键是正确写出二项展开式的通项，在这种题目中通项是解决二项展开式的特定项问题的工具．12．（5分）（2015•安徽）在极坐标系中，圆ρ=8sinθ上的点到直线θ=（ρ∈R）距离的最大值是6．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：圆ρ=8sinθ化为ρ2=8ρsinθ，把代入可得直角坐标方程，直线θ=（ρ∈R）化为y=x．利用点到直线的距离公式可得圆心C（0，4）到直线的距离d，可得圆ρ=8sinθ上的点到直线θ=（ρ∈R）距离的最大值=d+r．解答：解：圆ρ=8sinθ化为ρ2=8ρsinθ，∴x2+y2=8y，化为x2+（y﹣4）2=16．直线θ=（ρ∈R）化为y=x．∴圆心C（0，4）到直线的距离d==2，∴圆ρ=8sinθ上的点到直线θ=（ρ∈R）距离的最大值=d+r=2+4=6．故答案为：6．点评：本题考查了极坐标化为直角坐标方程、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13．（5分）（2015•安徽）执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的n为4考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的a，n的值，当a=时不满足条件|a﹣1.414|=0.00267＞0.005，退出循环，输出n的值为4．解答：解：模拟执行程序框图，可得a=1，n=1满足条件|a﹣1.414|＞0.005，a=，n=2满足条件|a﹣1.414|＞0.005，a=，n=3满足条件|a﹣1.414|＞0.005，a=，n=4不满足条件|a﹣1.414|=0.00267＞0.005，退出循环，输出n的值为4．故答案为：4．点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，正确写出每次循环得到的a，n的值是解题的关键，属于基础题．14．（5分）（2015•安徽）已知数列{a n}是递增的等比数列，a1+a4=9，a2a3=8，则数列{a n}的前n项和等于2n﹣1．考点：等比数列的性质；等比数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：利用等比数列的性质，求出数列的首项以及公比，即可求解数列{a n}的前n项和．解答：解：数列{a n}是递增的等比数列，a1+a4=9，a2a3=8，可得a1a4=8，解得a1=1，a4=8，∴8=1×q3，q=2，数列{a n}的前n项和为：=2n﹣1．故答案为：2n﹣1．点评：本题考查等比数列的性质，数列{a n}的前n项和求法，基本知识的考查．15．（5分）（2015•安徽）设x3+ax+b=0，其中a，b均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是①③④⑤（写出所有正确条件的编号）①a=﹣3，b=﹣3．②a=﹣3，b=2．③a=﹣3，b＞2．④a=0，b=2．⑤a=1，b=2．考点：函数的零点与方程根的关系．专题：函数的性质及应用．分析：对五个条件分别分析解答；利用数形结合以及导数，判断单调区间以及极值．解答：解：设f（x）=x3+ax+b，f'（x）=3x2+a，①a=﹣3，b=﹣3时，令f'（x）=3x2﹣3=0，解得x=±1，x=1时f（1）=﹣5，f（﹣1）=﹣1；并且x＞1或者x＜﹣1时f'（x）＞0，所以f（x）在（﹣∞，﹣1）和（1，+∞）都是增函数，所以函数图象与x轴只有一个交点，故x3+ax+b=0仅有一个实根；如图②a=﹣3，b=2时，令f'（x）=3x2﹣3=0，解得x=±1，x=1时f（1）=0，f（﹣1）=4；如图③a=﹣3，b＞2时，函数f（x）=x3﹣3x+b，f（1）=﹣2+b＞0，函数图象形状如图②，所以方程x3+ax+b=0只有一个根；④a=0，b=2时，函数f（x）=x3+2，f'（x）=3x2≥0恒成立，故原函数在R上是增函数；故方程方程x3+ax+b=0只有一个根；⑤a=1，b=2时，函数f（x）=x3+x+2，f'（x）=3x2+1＞0恒成立，故原函数在R上是增函数；故方程方程x3+ax+b=0只有一个根；综上满足使得该三次方程仅有一个实根的是①③④⑤．故答案为：①③④⑤．点评：本题考查了函数的零点与方程的根的关系；关键是数形结合、利用导数解之．三.解答题（共6小题，75分）16．（12分）（2015•安徽）在△ABC中，∠A=，AB=6，AC=3，点D在BC边上，AD=BD，求AD的长．考点：正弦定理；三角形中的几何计算．专题：解三角形．分析：由已知及余弦定理可解得BC的值，由正弦定理可求得sinB，从而可求cosB，过点D 作AB的垂线DE，垂足为E，由AD=BD得：cos∠DAE=cosB，即可求得AD的长．解答：解：∵∠A=，AB=6，AC=3，∴在△ABC中，由余弦定理可得：BC2=AB2+AC2﹣2AB•ACcos∠BAC=90．∴BC=3…4分∵在△ABC中，由正弦定理可得：，∴sinB=，∴cosB=…8分∵过点D作AB的垂线DE，垂足为E，由AD=BD得：cos∠DAE=cosB，∴Rt△ADE中，AD===…12分点评：本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，属于基本知识的考查．17．（12分）（2015•安徽）已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束．（Ⅰ）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；（Ⅱ）已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用（单位：元），求X的分布列和均值（数学期望）考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A，利用古典概型的概率求解即可．（Ⅱ）X的可能取值为：200，300，400．求出概率，得到分布列，然后求解期望即可．解答：解：（Ⅰ）记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A，则P（A）==．（Ⅱ）X的可能取值为：200，300，400P（X=200）==．P（X=300）==．P（X=400）=1﹣P（X=200）﹣P（X=300）=．X的分布列为：X 200 300 400PEX=200×+300×+400×=350．点评：本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，考查计算能力．18．（12分）（2015•安徽）设n∈N*，x n是曲线y=x2n+2+1在点（1，2）处的切线与x轴交点的横坐标（Ⅰ）求数列{x n}的通项公式；（Ⅱ）记T n=x12x32…x2n﹣12，证明：T n≥．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；数列的求和．专题：导数的概念及应用；点列、递归数列与数学归纳法．分析：（1）利用导数求切线方程求得切线直线并求得横坐标；（2）利用放缩法缩小式子的值从而达到所需要的式子成立．解答：解：（1）y'=（x2n+2+1）'=（2n+2）x2n+1，曲线y=x2n+2+1在点（1，2）处的切线斜率为2n+2，从而切线方程为y﹣2=（2n+2）（x﹣1）令y=0，解得切线与x轴的交点的横坐标为，（2）证明：由题设和（1）中的计算结果可知：T n=x12x32…x2n﹣12=，当n=1时，，当n≥2时，因为=所以T n综上所述，可得对任意的n∈N+，均有点评：本题主要考查切线方程的求法和放缩法的应用，属基础题型．19．（13分）（2015•安徽）如图所示，在多面体A1B1D1DCBA中，四边形AA1B1B，ADD1A1，ABCD均为正方形，E为B1D1的中点，过A1，D，E的平面交CD1于F．（Ⅰ）证明：EF∥B1C；（Ⅱ）求二面角E﹣AD﹣B1的余弦值．考点：二面角的平面角及求法；直线与平面平行的性质．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）通过四边形A1B1CD为平行四边形，可得B1C∥A1D，利用线面平行的判定定理即得结论；（Ⅱ）以A为坐标原点，以AB、AD、AA1所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系A﹣xyz，设边长为2，则所求值即为平面A1B1CD的一个法向量与平面A1EFD 的一个法向量的夹角的余弦值的绝对值，计算即可．解答：（Ⅰ）证明：∵B1C=A1D且A1B1=CD，∴四边形A1B1CD为平行四边形，∴B1C∥A1D，又∵B1C⊄平面A1EFD，∴B1C∥平面A1EFD，又∵平面A1EFD∩平面EF，∴EF∥B1C；（Ⅱ）解：以A为坐标原点，以AB、AD、AA1所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系A﹣xyz如图，设边长为2，∵A1D⊥平面A1B1CD，∴=（0，1，1）为平面A1B1CD的一个法向量，设平面A1EFD的一个法向量为=（x，y，z），又∵=（0，2，﹣2），=（1，1，0），∴，，取y=1，得=（﹣1，1，1），∴cos（，）==，∴二面角E﹣AD﹣B1的余弦值为．点评：本题考查空间中线线平行的判定，求二面角的三角函数值，注意解题方法的积累，属于中档题．20．（13分）（2015•安徽）设椭圆E的方程为+=1（a＞b＞0），点O为坐标原点，点A的坐标为（a，0），点B的坐标为（0，b），点M在线段AB上，满足|BM|=2|MA|，直线OM的斜率为（Ⅰ）求E的离心率e；（Ⅱ）设点C的坐标为（0，﹣b），N为线段AC的中点，点N关于直线AB的对称点的纵坐标为，求E的方程．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（I）由于点M在线段AB上，满足|BM|=2|MA|，即，可得．利用，可得．（II）由（I）可得直线AB的方程为：=1，利用中点坐标公式可得N．设点N关于直线AB的对称点为S，线段NS的中点T，又AB垂直平分线段NS，可得b，解得即可．解答：解：（I）∵点M在线段AB上，满足|BM|=2|MA|，∴，∵A（a，0），B（0，b），∴=．∵，∴，a=b．∴=．（II）由（I）可得直线AB的方程为：=1，N．设点N关于直线AB的对称点为S，线段NS的中点T，又AB垂直平分线段NS，∴，解得b=3，∴a=3．∴椭圆E的方程为：．点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、线段的垂直平分线性质、中点坐标公式、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21．（13分）（2015•安徽）设函数f（x）=x2﹣ax+b．（Ⅰ）讨论函数f（sinx）在（﹣，）内的单调性并判断有无极值，有极值时求出最值；（Ⅱ）记f n（x）=x2﹣a0x+b0，求函数|f（sinx）﹣f0（sinx）|在[﹣，]上的最大值D2（Ⅲ）在（Ⅱ）中，取a n=b n=0，求s=b﹣满足条件D≤1时的最大值．考点：二次函数的性质．专题：函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）设t=sinx，f（t）=t2﹣at+b（﹣1＜t＜1），讨论对称轴和区间的关系，即可判断极值的存在；（Ⅱ）设t=sinx，t∈[﹣1，1]，求得|f（t）﹣f0（t）|，设g（t）=|﹣t（a﹣a0）+（b﹣b0）|，讨论g（1），g（﹣1）取得最大值；（Ⅲ）由（Ⅱ）讨论ab≥0时，ab≤0时，D的取值，求得点（a，b）所在区域，求得s=b﹣的最大值．解答：解：（Ⅰ）设t=sinx，在x∈（﹣，）递增，即有f（t）=t2﹣at+b（﹣1＜t＜1），f′（t）=2t﹣a，①当a≥2时，f′（t）≤0，f（t）递减，即f（sinx）递减；当a≤﹣2时，f′（t）≥0，f（t）递增，即f（sinx）递增．即有a≥2或a≤﹣2时，不存在极值．②当﹣2＜a＜2时，﹣1＜t＜，f′（t）＜0，f（sinx）递减；＜t＜1，f′（t）＞0，f（sinx）递增．f（sinx）有极小值f（）=b﹣；（Ⅱ）设t=sinx，t∈[﹣1，1]，|f（t）﹣f0（t）|=|﹣t（a﹣a0）+（b﹣b0）|，易知t=±1时，取得最大值，设g（t）=|﹣t（a﹣a0）+（b﹣b0）|，而g（1）=|﹣（a﹣a0）+（b﹣b0）|，g（﹣1）=|（a﹣a0）+（b﹣b0）|，则当（a﹣a0）（b﹣b0）≥0时，D=g（t）max=g（﹣1）=|（a﹣a0）+（b﹣b0）|；当（a﹣a0）（b﹣b0）≤0时，D=g（t）max=g（1）=|﹣（a﹣a0）+（b﹣b0）|．（Ⅲ）由（Ⅱ）得ab≥0时，D=|a+b|，当ab≤0时，D=|a﹣b|．即有或，点（a，b）在如图所示的区域内，则有s=b﹣，当b取最大值1时，取最小值0时，s max=1．点评：本题考查函数的性质和运用，主要考查二次函数的单调性和极值、最值，考查分类讨论的思想方法和数形结合的思想，属于难题．参与本试卷答题和审题的老师有：刘长柏；changq；双曲线；maths；742048；w3239003；qiss；孙佑中；雪狼王；cst（排名不分先后）菁优网2015年6月13日。
2015年安徽省高考数学试卷（理科）一。
选择题（每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的) 1．（5分)(2015•安徽）设i 是虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（ ） A ． 第一象限 B ． 第二象限 C ． 第三象限 D ． 第四象限 2．（5分）(2015•安徽）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( ） A ． y =cosx B ． y =sinx C ． y =lnx D ． y =x 2+1 3．(5分)（2015•安徽)设p:1＜x ＜2，q ：2x ＞1，则p 是q 成立的（ ） A ． 充分不必要条件 B ． 必要不充分条件 C ． 充分必要条件 D ． 既不充分也不必要条件 4．（5分）(2015•安徽）下列双曲线中,焦点在y 轴上且渐近线方程为y=±2x 的是（ ) A ． x 2﹣=1 B ． ﹣y 2=1 C ． ﹣x 2=1 D ． y 2﹣=1 5．（5分）（2015•安徽）已知m ，n 是两条不同直线,α，β是两个不同平面,则下列命题正确的是（ ） A ． 若α,β垂直于同一平面，则α与β平行 B ． 若m,n 平行于同一平面，则m 与n 平行 C ． 若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线 D ． 若m ，n 不平行,则m 与n 不可能垂直于同一平面 6．（5分）（2015•安徽）若样本数据x 1，x 2，…，x 10的标准差为8,则数据2x 1﹣1，2x 2﹣1,…,2x 10﹣1的标准差为（ ） A ． 8 B ． 15 C ． 16 D ． 32 7．(5分）（2015•安徽)一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（ ） A ． 1+ B ． 2+ C ． 1+2 D ． 2 8．（5分）（2015•安徽）△ABC 是边长为2的等边三角形,已知向量，满足=2，=2+，则下列结论正确的是（ ）A ． ｜｜=1B ． ⊥C ． •=1D ． （4+）⊥9．（5分）(2015•安徽）函数f （x)=的图象如图所示,则下列结论成立的是（ ） A ． a ＞0，b ＞0，c ＜0 B ． a ＜0,b ＞0，c ＞0 C ． a ＜0，b ＞0，c ＜0 D ． a ＜0,b ＜0，c ＜0 10．(5分)(2015•安徽）已知函数f （x ）=Asin(ωx+φ)(A ，ω,φ均为正的常数)的最小正周期为π,当x=时，函数f （x ）取得最小值，则下列结论正确的是（ ） A ． f （2）＜f （﹣2）＜f(0） B ． f （0)＜f （2）＜f(﹣2） C ． f （﹣2)＜f （0）＜f(2） D ． f (2）＜f （0）＜f （﹣2） 二。
2015年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（理科）参考公式：如果事件A 与B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+.标准差s =121()n x x x x n =+++….第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10个小题；每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.1.(15安徽高考)设i 是虚数单位，则复数2i1i-在复平面内所对应的点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【参考答案】B【测量目标】复数的运算；复数的几何意义. 【试题分析】由题意2i 2i(1i)22i 1i 1i (1i)(1i)2+-+===-+--+，其对应的点坐标为(1,1)-，位于第二象限，故选B.2. (15安徽高考)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ） A.cos y x = B.sin y x = C.ln y x = D.21y x =+ 【参考答案】A【测量目标】函数的奇偶性；函数零点的概念.【试题分析】由选项可知，B ， C 项均不是偶函数，故排除B ，C.A ，D 项是偶函数，但D 项与x 轴没有交点，即D 项的函数不存在零点，故选A.3. (15安徽高考)设:12,:21xp x q ＜＜＞，则p 是q 成立的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 【参考答案】A【测量目标】指数运算；充要条件的概念.【试题分析】由0:22x q ＞，解得0x ＞，易知，p 能推出q ，但q 不能推出p ，故p 是q 成立的充分不必要条件，选A.4. (15安徽高考)下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为2y x =±的是（ ）A.2214y x -= B.2214x y -= C.2214y x -= D.2214x y -=【参考答案】C【测量目标】双曲线的渐近线.【试题分析】由题意，选项A ，B 的焦点在x 轴，故排除A ，B .C 的渐近线方程为2204y x -=，即2y x =±，故选C.5. (15安徽高考)已知m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是（ ） A.若α，β垂直于同一平面，则α与β平行 B.若m ，n 平行于同一平面，则m 与n 平行C.若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线D.若m ，n 不平行，则m 与n 不可能垂直于同一平面 【参考答案】D【测量目标】直线、平面的垂直、平行判定定理以及性质定理的应用.【试题分析】由A ，α，β垂直于同一平面，则α，β可以相交、平行，故A 不正确；由B ，m ，n 平行于同一平面，则m ，n 可以平行、重合、相交、异面，故B 不正确；由C ，α，β不平行，但α平面内会存在平行于β的直线，如α平面中平行于α，β交线的直线；由D 项，其逆否命题为“若m 与n 垂直于同一平面，则m ，n 平行”是真命题，故项正确.所以选D.6. (15安徽高考)若样本数据1x ，2x ， ，10x 的标准差为8，则数据121x -，221x -， ，1021x -的标准差为（ ）A.8B.15C.16D.32 【参考答案】C【测量目标】样本的方差与标准差的应用.【试题分析】设样本数据1x ，2x ，⋅⋅⋅，10x 8=，即方差64DX =，而数据121x -，221x -，⋅⋅⋅，1021x -的方差22(21)2264D X DX -==⨯16=.故选C.7. (15安徽高考)一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（ ）A.1B. 2C.1+D.第7题图【参考答案】B【测量目标】由三视图还原原图；多面体体积求解. 【试题分析】由题意，该四面体的直观图如下，第7题图ABD △，BCD △是直角三角形，ABC △，ACD △是等边三角形，则°11=60222BCD ABD ACD S S S ===△△△，，所以四面体的表面积2122BCD ABD ABC ACD S S S S S =+++=⨯+=△△△△ B. 8. (15安徽高考)ABC △是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足2AB = a ，2AC =+a b ，则下列结论正确的是（ ）A.1=bB.⊥a bC.1⋅=a bD.(4)BC +⊥a b【参考答案】D【测量目标】平面向量的线性运算；平面向量的数量积. 【试题分析】如图，第8题图由题意，(2)2BC AC AB =-=+-=a b a b ，故2=b ，故A 错误；222==a a ，所以1=a ，又2(2)AB AC ⋅=⋅+=a ab 24a °2422cos1202+=+⨯=ab ，所以1⋅=-a b ，故B ，C 错误；BC 中点为D ，则2AB AC AD += ，且AD BC ⊥，所以(4)BC +⊥ a b ，故选D.9. (15安徽高考)函数2()()ax bf x x c +=+的图象,如图所示，则下列结论成立的是（ ）第9题图A.0a ＞，0b ＞，0c ＜B.0a ＜，0b ＞，0c ＞C.0a ＜，0b ＞，0c ＜D.0a ＜，0b ＜，0c ＜ 【参考答案】C【测量目标】函数的图象与应用. 【试题分析】由2()()ax bf x x c +=+及图象可知，0x c c ≠--，＞，则0c ＜；当0x =时，2(0)0b f c =＞，所以0b ＞；当00y ax b =+=，，所以0bx a=-＞，所以0a ＜ 故0a ＜，0b ＞，0c ＜，选C. 10. (15安徽高考)已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（A ，ω，ϕ均为正的常数）的最小正周期为π，当2π3x = 时，函数()f x 取得最小值，则下列结论正确的是（ ）A.(2)(2)(0)f f f -＜＜B.(0)(2)(2)f f f -＜＜C.(2)(0)(2)f f f -＜＜D.(2)(0)(2)f f f -＜＜【参考答案】A【测量目标】三角函数的图象与应用；函数值得大小比较.【试题分析】由题意，()sin()f x A x ωϕ=+(0A ＞，0ω＞，0)ϕ＞， 2π2ππT ωω===，所以2ω=，则()sin(2)f x A x ϕ=+，而当2π3x =时，2ππ2π32k k ϕ⨯+=+∈Z ，，解得 ππ6k k ϕ=+∈Z ，，所以π()sin(2)(0)6f x A x A =+＞则当ππ22π62x k +=+，即ππ6x k =+时，f (x )取得最大值.要比较f (2)，f (-2)，f (0)的大小，只需判断2，2-，0与最近的最高点处对称轴的距离大小，距离越大，值越小，易知0，2与π6，比较近，2-与5π6-比较近，所以当k =0时，π6x =，此时ππ00.522 1.4766-=-=，，当k =1-时，5π6x =-，此时5π2()0.66---=，所以(2)(2)(0)f f f -＜＜，故选A. 第Ⅱ卷（非选择题 共100分）考生注意事项：请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡的相应位置. 11. (15安徽高考)371()x x+的展开式中5x 的系数是 .（用数字填写答案） 【参考答案】35【测量目标】二项式定理的展开式应用.【试题分析】由题意372141771C ()()C rrr r r r T x x x--+==，令2145r -=，得4r =，则5x 的系数是47C 35=. 12. (15安徽高考)在极坐标中，圆8sin ρθ=上的点到直线π()3θρ=∈R 距离的最大值是 .【参考答案】6【测量目标】极坐标方程与平面直角坐标方程的转化；圆上的点到直线的距离. 【试题分析】由题意28sin ρρθ=，转化为直角坐标方程为228x y y +=，即22(4)16x y +-=；直线π()3θρ=∈R 转化为直角坐标方程为y =，则圆上到直线的距离最大值是通过圆心的直线，设圆心到直线的距离为d ，圆的半径为r，则圆到直线距离的最大值424 6.D d r =+==+=13. (15安徽高考)执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的n 为.第13题图【参考答案】4【测量目标】程序框图的应用.【试题分析】由题意，程序框图循环如下：①11a n ==，；②1312112a n =+==+，；③ 17133512a n =+==+，；④1171471215a n =+==+，，此时17 1.4140.0030.00512-≈＜，所以输出4n =.14. (15安徽高考)已知数列{}n a 是递增的等比数列，142398a a a a +==，，则数列{}n a 的前n 项和等于 .【参考答案】21n-【测量目标】等比数列的性质；等比数列的前n 项和公式. 【试题分析】由题意，14231498a a a a a a +=⎧⎨⋅=⋅=⎩，解得1418a a ==，或者1481a a ==，，而数列{}n a 是递增的等比数列，所以1418a a ==，，即3418a q a ==，所以2q =，因而数列{}n a 的前n 项和 1(1)1221112n nn n a q S q --===---.15. (15安徽高考)设30x ax b ++=，其中a b ，均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的 是 .（写出所有正确条件的编号）①33a b =-=-，；②32a b =-=，；③32a b =-，＞；④02a b ==，；⑤12a b ==，. 【参考答案】①③④⑤【测量目标】函数零点与方程的根之间的关系；函数的单调性及其极值.【试题分析】令3()f x x ax b =++，求导得2()3f x x a '=+，当0a ≥时，()0f x '≥，所以()f x 单调递增，且至少存在一个数使()0f x ＜，至少存在一个数使()0f x ＞，所以3()f x x ax b =++必有一个零点，即方程30x ax b ++=仅有一根，故④⑤正确；当0a ＜时，若3a =-，则2()333(1)(1)f x x x x '=-=+-，易知，()f x 在()()11-∞-+∞，，，上单调递增，在[]11-，上单调递减，所以()(1)13f x f b b =-=-++=+极大，()(1)132f x f b b ==-+=-极小，要使方程仅有一根，则()(1)1320f x f b b =-=-++=+极大＜，或者()(1)1320f x f b b ==-+=-极小＞，解得2b -＜或2b ＞，故①③正确.所以使得三次方程仅有一个实根的是①③④⑤.三.解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的 指定区域内.16. (15安徽高考)（本小题满分12分）在ABC △中，3π64A AB AC ===，，点D 在BC 边上，AD BD =，求AD 的长. 【测量目标】正弦定理、余弦定理的应用.【试题分析】设ABC △的内角A B C ，，所对边的长分别是a b c ，，，由余弦定理得222223π2cos 626cos1836(36)904a b c bc BAC =+-=+-⨯⨯=+--=∠，所以a =再由正弦定理得sin sinb BAC B a ===∠.由题设知04B π＜＜，所以cos B==在ABD △中，由正弦定理得sin sin(π2)AB B AD B ⋅==-6sin 2sin cos B B B 3cos B==17. (15安徽高考)（本小题满分12分）已知2件次品和3件正品放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放 回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束. （1）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率;（2）已知每检测一件产品需要费用100元，设X 表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所 需要的检测费用（单位：元），求X 的分布列和均值（数学期望） 【测量目标】(1)随机事件的概率；(2)随机变量的分布列与期望.【试题分析】（1）记 “第一次检查出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A .112325A A 3()A 10P A ==. （2）X 的可能取值为200,300,400.2225A 1(200)A 10P X ===. 3112323235A C C A 3(300)A 10P X +===. 136(400)1(200)(300)1101010P X P X P X ==-=-==--=. 故X 的分布列为1200300400350101010EX =⨯+⨯+⨯=. 18. (15安徽高考)（本小题满分12分） 设*n ∈N ，n x 是曲线221n y x+=+在点(12)，处的切线与x 轴交点的横坐标. （1）求数列{}n x 的通项公式；（2）记2221321n n T x x x -= ，证明14nT n≥. 【测量目标】(1)数列的通项公式；(2)放缩法证明不等式.【试题分析】（1）2221(1)(22)n n y x n x ++''=+=+，曲线221n y x +=+在点（1，2）处的切线斜率为2n +2.从而切线方程为2(22)(1)y n x -=+-.令0y =解得切线与x 轴交点的横坐标1111n nx n n =-=++. （2）由题设和（1）中的计算结果知22222213211321()()()242n n n T x x x n--== . 当1n =时，114T =.当2n ≥时，因为222222122221(21)(21)1441()2(2)(2)(2)n n n n n n n xn n n n n -------====＞，所以211211()2234n n T n n -⨯⨯⨯⨯= ＞.综上可得对任意的n ∈*N ，均有14n T n ≥.19. (15安徽高考)（本小题满分13分）如图所示，在多面体111A B D DCBA ，四边形11AA B B ，11ADDA ，ABCD 均为正方形，E 为11B D 的中点，过1A D E ，，的平面交1CD 于F . （1）证明：1EF BC ∥； （2）求二面角11E AD B --余弦值.第19题图【测量目标】(1)线面平行的判定定理与性质定理；(2)二面角的求解.【试题分析】（1）由正方形的性质可知11A B AB DC ∥∥且11==A B AB DC ，所以四边形11A B CD 为平行四边形，从而11B C A D ∥，又1A D ⊂面1A DE ,1B C ⊄面1A DE ，于是1B C ∥面1A DE ，又1B C ⊂面11B CD ，而面1A DE 面11B CD EF =，所以1EF B C ∥.（2）因为四边形11AA B B，11ADD A ，ABCD 均为正方形，所以1AA AB ⊥，1AA AD ⊥，AD AB ⊥，且1AA AB AD ==，以A 为原点，分别以1AB AD AA，，为x 轴，y 轴，z 轴单位正向量建立，如图所示的空间直角坐标系，可得点的坐标A （0,0,0），B （1,0,0），D （0,1,0），1(0,1)A ，1(1,0,1)B ，1(0,1,1)D 而E 点为11B D 的中点，所以E 的坐标为（12,12,1）.设1A DE 的法向量1111(,,)r s t n =,而该面上向量111(,,0)22A E = ,1(0,1,1)A D =- ,由11,A E A D ⊥⊥n n 得111,,r s t 应满足的方程组111111+=0,220r s s t ⎧⎪⎨⎪-=⎩(1,1,1)-为其一组解，所以可取1(1,1,1)--n =，设面11A B CD 的法向量2222(,,)r s t n =,而该面上向量111(1,0,0),(0,1,1),A B A D ==-由此同理可得2(0,1,1)n ，所以结合图形知二面角11E A D B --的余弦值为1211||||||⋅==⋅n n n n第19题图20. (15安徽高考)（本小题满分13分）设椭圆E 的方程为22221(0),x y a b a b+=>>点O 为坐标原点，点A 的坐标为(a ,0)，点B 的坐标为(0,)b ，点M 在线段AB 上，满足||2||BM MA =，直线OM的斜率为10. （1）求E 的离心率e ；（2）设点C 的坐标为(0,)b -，N 为线段AC 的中点，点N 关于直线AB 的对称点的纵坐标为72，求 E 的方程.【测量目标】(1)椭圆的简单几何性质；(2)点关于直线对称的应用，直线与椭圆的综合应用. 【试题解析】（1）由题设条件知，点M 的坐标为21(,)33a b，又OM k =，从而2b a =，进而得,2,a c b ===故c e a == （2）由题设条件和（1）的计算结果可得，直线AB1y b+=，点N的坐标为1,)2b -，设点N 关于直线AB 的对称点S 的坐标为17(,)2x ，则线段NS 的中点T的坐标为117,)244x b +-+.又点T 在直线AB 上，且1,NS AB k k ⋅=-从而有11744171x b b b+-+=⎨+⎪=解得3b =，所以a =圆E 的方程为221459x y +=. 21. (15安徽高考)（本小题满分13分）设函数2()f x x ax b =-+.（1）讨论函数(sin )f x 在ππ(,)22-内的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值； （2）记2000()f x x a x b =-+，求函数0|(sin )(sin )|f x f x -在ππ[,]22-上的最大值D ； （3）在（2）中，取000a b ==，求24a zb =-满足1D ≤时的最大值. 【测量目标】(1)函数的单调性、极值与最值；(2) 绝对值不等式的应用.【试题解析】（1）2(sin )sin sin sin (sin ),f x x a x b x x a b =-+=-+ ππ22x -<<. [(sin )](2sin )cos ,f x x a x '=-ππ22x -<<，因为ππ22x -<<，所以cos 0,22sin 2.x x >-<< ①当2,a b -∈R ≤时，函数(sin )f x 单调递增，无极值；②2,a b ∈R ≥时，函数(sin )f x 单调递减，无极值；③22,a -<<在ππ(,)22-内存在唯一的0x ，使得02sin x a =，0π2x x -<≤时，函数(sin )f x 单调递减；0π2x x <<时，函数(sin )f x 单调递增. 因此，22,a -<<b ∈R 时，函数(sin )f x 在0x 处有极小值20(sin )().24a a f x fb ==- (2) ππ22x -≤≤时，00000|(sin )(sin )||()sin |||||,f x f x a a x b b a a b b -=-+--+-≤ 当00()()0a a b b --≥时，取π2x =，等号成立， 当00()()0a a b b --<时，取π2x =-，等号成立，由此可知，函数0|(sin )(sin )|f x f x -在ππ[,]22-上的最大值为00||+||D a a b b =--. (3) D ≤1，即||||1a b +≤，此时201,11,a b -≤≤≤≤从而214a zb =-≤，取0,1,a b ==则||||1,a b +≤并且214a z b =-=，由此可知，24a z b =-满足条件1D ≤的最大值为1.。
