高考数学总复习(讲+练+测)： 专题7.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题(讲)

2021年高考数学一轮总复习 7.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题教案理新人教A版典例精析题型一平面区域【例1】已知函数f(x)的定义域为[－2，＋∞)，且f(4)＝f(－2)＝1，f′(x)为f(x)的导函数，函数y＝f′(x)的图象如图所示，则平面区域⎪⎩⎪⎨⎧<+≥≥1)2(,0,0bafba所围成的面积是( )A.2B.4C.5D.8【解析】选B.由f′(x)的图象可知，f(x)在[－2,0]上是减函数，在[0，＋∞)上是增函数. 因为f(－2)＝f(4)＝1，所以当且仅当x∈(－2,4)时，有f(x)＜f(－2)＝f(4)＝1.作出可行域如图所示，其围成的图形面积为4.【点拨】不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域点的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.【变式训练1】若a≥0，b≥0，且当⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥1,0,0yxyx时，恒有ax＋by≤1，则以a，b为坐标的点P(a，b)所形成的平面区域的面积是( )A.12B.π4C.1D.π2【解析】选C.当a＝b＝1时，满足x＋y≤1，且可知0≤a≤1，0≤b≤1，所以点P(a，b)所形成的平面区域为边长为1的正方形，所以面积为1.本题关键是确定点所形成的区域形状.题型二利用线性规划求最值(1)z ＝x ＋2y －4的最大值；(2)z ＝x2＋y2－10y ＋25的最小值；(3)z ＝2y ＋1x ＋1的取值范围. 【解析】作出可行域如图所示，并求出顶点的坐标A(1,3)，B(3,1)，C(7,9).(1)易知直线x ＋2y －4＝z 过点C 时，z 最大.所以x ＝7，y ＝9时，z 取最大值21.(2)z ＝x2＋(y －5)2表示可行域内任一点(x ，y)到定点M(0,5)的距离的平方，过点M 作直线AC 的垂线，易知垂足N 在线段AC 上，故z 的最小值是(|0－5＋2|2)2＝92. (3)z ＝2·y －(－12)x －(－1)表示可行域内任一点(x ，y)与定点Q(－1，－12)连线斜率的2倍. 因为kQA ＝74，kQB ＝38，所以z 的取值范围为[34，72]. 【点拨】线性目标函数的最大值、最小值一般在可行域的顶点处或边界上取得，充分理解目标函数赋予的几何意义是本例的关键.【变式训练2】已知函数f(x)＝13x3＋ax2－bx ＋1(a ，b ∈R)在区间[－1,3]上是减函数，求 a ＋b 的最小值.【解析】因为f′(x)＝x2＋2ax －b ，f(x)在区间[－1,3]上是减函数.所以f′(x)≤0在[－1,3]上恒成立.则作出点(a ，b)表示的平面区域.令z ＝a ＋b ，求出直线－2a －b ＋1＝0与6a －b ＋9＝0的交点A 的坐标为(－1,3). 当直线z ＝a ＋b 过点A(－1,3)时，z ＝a ＋b 取最小值2.题型三 线性规划的实际应用【例3】某木器厂生产圆桌和衣柜两种产品，现有两种木料，第一种有72 m3，第二种有56 m3.假设生产每种产品都需要用两种木料，生产一张圆桌需要用第一种木料0.18 m3，第二种木料0.08m3，可获利润6元，生产一个衣柜需要用第一种木料0.09 m3，第二种木料0.28 m3，可获利润10元.木器厂在现有木料条件下，圆桌和衣柜应各生产多少时才能使所获利润最大？最大利润是多少？【解析】设圆桌生产的张数为x ，衣柜生产的个数为y ，所获利润为z ，则z ＝6x ＋10y ，当直线l ：6x ＋10y ＝0平移到经过点M(350,100)时，z ＝6x ＋10y 最大.zmax ＝6×350＋10×100＝3 100，所以生产圆桌350张，衣柜100个可获得最大利润3 100元.【点拨】解实际线性规划问题，首先设出变量，建立不等式模型表示出约束条件，一定要注意问题的实际意义(如本题中x≥0，y≥0)，然后画出可行域，利用图形求解.【变式训练3】某实验室需购某种化工原料至少106千克，现在市场上该原料有两种包装：一种是每袋35千克，价格为140元；另一种是每袋24千克，价格为120元.在满足需要的条件下，最少要花费 元.【解析】500.设需35千克的x 袋，24千克的y 袋，则目标函数z ＝140x ＋120y ，约束条件为当x ＝1时，y≥7124，即y ＝3，这时zmin ＝140＋120×3＝500. 总结提高1.用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知，找出约束条件和目标函数是关键.2.可行域是二元一次不等式组所表示的平面区域，可行域可以是封闭的多边形，亦可是一侧开放的无限大的平面区域.3.若可行域是一个多边形，那么一般在顶点处，使目标函数值取得最值，最优解一般是多边形的某个顶点.4.实际问题的最优解要求是整数解时，这时要对最优解(非整数解)进行适当调整，其方法是在边界直线的附近寻求与目标函数直线距离最近的整点，而不要在最优解的附近寻找.。

高考数学一轮复习学案：7.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题（含答案）7.3二元一次不等二元一次不等式式组组与简与简单的线性规划问题单的线性规划问题最新考纲考情考向分析1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元一次线性规划问题，并能加以解决.以画二元一次不等式组表示的平面区域.目标函数最值的求法为主，兼顾由最优解可行域情况确定参数的范围，以及简单线性规划问题的实际应用，加强转化与化归和数形结合思想的应用意识本节内容在高考中以选择.填空题的形式进行考查，难度中低档.1二元一次不等式表示的平面区域1一般地，二元一次不等式AxByC0在平面直角坐标系中表示直线AxByC0某一侧所有点组成的平面区域我们把直线画成虚线，以表示区域不包括边界直线当我们在坐标系中画不等式AxByC0所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，则把边界直线画成实线2对于直线AxByC0同一侧的所有点，把它的坐标x，y代入AxByC，所得的符号都相同，所以只需在此直线的同一侧取一个特殊点x0，y0作为测试点，由Ax0By0C的符号即可断定AxByC0表示的是直线AxByC0哪一侧的平面区域2线性规划相关概念名称意义约束条件由变量x，y组成的一次不等式线性约束条件由x，y的一次不等式或方程组成的不等式组目标函数欲求最大值或最小值的函数线性目标函数关于x，y的一次解析式可行解满足线性约束条件的解可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题3重要结论画二元一次不等式表示的平面区域的直线定界，特殊点定域1直线定界不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线2特殊点定域若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取0,1或1,0来验证知识拓展1利用“同号上，异号下”判断二元一次不等式表示的平面区域对于AxByC0或AxByC0时，区域为直线AxByC0的上方；2当BAxByC0表示的平面区域一定在直线AxByC0的上方3点x1，y1，x2，y2在直线AxByC0同侧的充要条件是Ax1By1CAx2By2C0，异侧的充要条件是Ax1By1CAx2By2C0.4 第二.四象限表示的平面区域可以用不等式xy0表示5线性目标函数的最优解是唯一的6最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行解7目标函数zaxbyb0中，z的几何意义是直线axbyz0在y轴上的截距题组二教材改编2P86T3不等式组x3y60，xy20表示的平面区域是答案B解析x3y60表示直线x3y60及其右下方部分，xy20表示直线xy20的左上方部分，故不等式组表示的平面区域为选项B中的阴影部分3P91T2投资生产A产品时，每生产100吨需要资金200万元，需场地200平方米；投资生产B产品时，每生产100吨需要资金300万元，需场地100平方米现某单位可使用资金1400万元，场地900平方米，则上述要求可用不等式组表示为__________________用x，y分别表示生产A，B产品的吨数，x和y的单位是百吨答案200x300y1400，200x100y900，x0，y0解析用表格列出各数据AB总数产品吨数xy资金200x300y1400场地200x100y900所以不难看出，x0，y0,200x300y1400,200x100y900.题组三易错自纠4下列各点中，不在xy10表示的平面区域内的是A0,0B1,1C1,3D2，3答案C解析把各点的坐标代入可得1,3不适合，故选C.5xx日照一模已知变量x，y满足2xy0，x2y30，x0，则z22xy的最大值为A.2B22C2D4答案D解析作出满足不等式组的平面区域，如图阴影部分所示，令m2xy，则当m取得最大值时，z22xy取得最大值由图知直线m2xy经过点A1,2时，m取得最大值，所以zmax22124，故选D.6已知x，y满足xy50，xy0，x3，若使得zaxy取最大值的点x，y有无数个，则a的值为________答案1解析先根据约束条件画出可行域，如图中阴影部分所示，当直线zaxy和直线AB重合时，z取得最大值的点x，y有无数个，akAB1，a1.题型一二元一次不等式组表示的平面区域命题点1不含参数的平面区域问题典例xx黄冈模拟在平面直角坐标系中，已知平面区域Ax，y|xy1，且x0，y0，则平面区域Bxy，xy|x，yA的面积为A2B1C.12D.14答案B解析对于集合B，令mxy，nxy，则xmn2，ymn2，由于x，yA，所以mn2mn21，mn20，mn20，即m1，mn0，mn0，因此平面区域B的面积即为不等式组m1，mn0，mn0所对应的平面区域阴影部分的面积，画出图形可知，该平面区域的面积为212111，故选B.命题点2含参数的平面区域问题典例若不等式组xy0，2xy2，y0，xya表示的平面区域的形状是三角形，则a的取值范围是Aa43B0a1C1a43D00，y12x3，x4y12，则zy3x2的取值范围为A.，12B.，13C.12，13D.13，答案B解析不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，zy3x2表示点D2,3与平面区域内的点x，y之间连线的斜率因为点D2,3与点B8,1连线的斜率为13且C的坐标为2，2，故由图知，zy3x2的取值范围为，13，故选B.2已知x，y满足约束条件xy0，xy2，y0，若zaxy的最大值为4，则a等于A3B2C2D3答案B解析根据已知条件，画出可行域，如图阴影部分所示由zaxy，得yaxz，直线的斜率ka.当0k1，即1a1，即a1时，由图形可知此时最优解为点0,0，此时z0，不合题意；当1k0，即0a1时，无选项满足此范围；当k1时，由图形可知此时最优解为点2,0，此时z2a04，得a2.题型三线性规划的实际应用问题典例某玩具生产公司每天计划生产卫兵.骑兵.伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元1试用每天生产的卫兵个数x与骑兵个数y表示每天的利润元；2怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少解1依题意每天生产的伞兵个数为100xy，所以利润5x6y3100xy2x3y300.2约束条件为5x7y4100xy600，100xy0，x0，y0，x，yN.整理得x3y200，xy100，x0，y0，x，yN.目标函数为2x3y300，作出可行域，如图阴影部分所示，作初始直线l02x3y0，平移l0，当l0经过点A 时，有最大值，由x3y200，xy100，得x50，y50.最优解为A50,50，此时max550元故每天生产卫兵50个，骑兵50个，伞兵0个时利润最大，且最大利润为550元思维升华解线性规划应用问题的一般步骤1审题仔细阅读材料，抓住关键，准确理解题意，明确有哪些限制条件，借助表格或图形理清变量之间的关系2设元设问题中起关键作用或关联较多的量为未知量x，y，并列出相应的不等式组和目标函数3作图准确作出可行域，平移找点最优解4求解代入目标函数求解最大值或最小值5检验根据结果，检验反馈跟踪训练xx全国某高科技企业生产产品A和产品B需要甲.乙两种新型材料生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A.产品B的利润之和的最大值为________元答案216000解析设生产A产品x件，B产品y件，根据所耗费的材料要求.工时要求等其他限制条件，得线性约束条件为1.5x0.5y150，x0.3y90，5x3y600，x0，xN*，y0，yN*，目标函数z2100x900y.作出可行域为图中的四边形，包括边界，顶点为60,100，0,200，0,0，90,0，在60,100处取得最大值，zmax210060900100216000元线性规划问题考点分析线性规划是高考重点考查的一个知识点这类问题一般有三类目标函数是线性的；目标函数是非线性的；已知最优解求参数，处理时要注意搞清是哪种类型，利用数形结合解决问题典例xx天津设变量x，y 满足约束条件xy20，2x3y60，3x2y90，则目标函数z2x5y的最小值为A4B6C10D17答案B解析由约束条件作出可行域如图阴影部分所示，目标函数可化为y25x15z，在图中画出直线y25x，平移该直线，易知经过点A时z最小又知点A的坐标为3,0，zmin23506.故选B.。

专题7.2 二元一次不等式（组）与简单的线性规划【三年高考】1. 【2016高考江苏12】已知实数,x y满足240220330x yx yx y-+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩，，，则22x y+的取值范围是 .【答案】4 [,13] 5【考点】线性规划【名师点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线（一般不涉及虚线），其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等，最后结合图形确定目标函数最值或值域范围.2．【2016高考浙江理数改编】在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影．由区域20340xx yx y-≤⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩中的点在直线x+y-2=0上的投影构成的线段记为AB，则│AB│= ．【答案】32考点：线性规划．【思路点睛】先根据不等式组画出可行域，再根据题目中的定义确定AB 的值．画不等式组所表示的平面区域时要注意通过特殊点验证，防止出现错误．3.【2016年高考北京理数改编】若x ，y 满足2030x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则2x y +的最大值为 ．【答案】4 【解析】试题分析：作出如图可行域，则当y x z +=2经过点P 时，取最大值，而)2,1(P ，∴所求最大值为4．考点：线性规划.xy OP【名师点睛】可行域是封闭区域时，可以将端点代入目标函数，求出最大值与最小值，从而得到相应范围.若线性规划的可行域不是封闭区域时，不能简单的运用代入顶点的方法求最优解.如变式2，需先准确地画出可行域，再将目标函数对应直线在可行域上移动，观察z 的大小变化，得到最优解.4．【2016年高考四川理数改编】设p ：实数x ，y 满足22(1)(1)2x y -+-≤，q ：实数x ，y 满足1,1,1,y x y x y ≥-⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩则p 是q 的 ．（在必要不充分条件、充分不必要条件、充要条件、既不充分也不必要条件中选填）【答案】必要不充分条件 【解析】试题分析：画出可行域（如图所示），可知命题q 中不等式组表示的平面区域ABC ∆在命题p 中不等式表示的圆盘内，故是必要不充分条件.考点：1.充分条件、必要条件的判断；2.线性规划.【名师点睛】本题考查充分性与必要性的判断问题，首先是分清条件和结论，然后考察条件推结论，结论推条件是否成立.这类问题往往与函数、三角、不等式等数学知识结合起来考，本题条件与结论可以转化为平面区域的关系，利用充分性、必要性和集合的包含关系得结论．5．【2016高考浙江文数改编】若平面区域30,230,230x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是 . 352 3252考点：线性规划.【思路点睛】先根据不等式组画出可行域，再根据可行域的特点确定取得最值的最优解，代入计算．画不等式组所表示的平面区域时要注意通过特殊点验证，防止出现错误．6.【2016高考新课标3理数】若,x y 满足约束条件1020220x y x y x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩则z x y =+的最大值为_____________.【答案】32【解析】试题分析：作出不等式组满足的平面区域，如图所示，由图知，当目标函数z x y =+经过点1(1,)2A 时取得最大值，即max 13122z =+=．考点：简单的线性规划问题．【技巧点拨】利用图解法解决线性规划问题的一般步骤：(1)作出可行域．将约束条件中的每一个不等式当作等式，作出相应的直线，并确定原不等式的区域，然后求出所有区域的交集；(2)作出目标函数的等值线(等值线是指目标函数过原点的直线)；(3)求出最终结果． 7.【2016高考山东理数改编】若变量x ，y 满足2,239,0,x y x y x 则22x y 的最大值是 ．【答案】10考点：简单线性规划【名师点睛】本题主要考查简单线性规划的应用，是一道基础题目.从历年高考题目看，简单线性规划问题，是不等式中的基本问题，往往围绕目标函数最值的确定，涉及直线的斜率、两点间距离等，考查考生的绘图、用图能力，以及应用数学解决实际问题的能力.8.【2016高考天津理数】设变量x ，y 满足约束条件20,2360,3290.x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩则目标函数25z x y =+的最小值为 ．【答案】6 【解析】试题分析：可行域为一个三角形ABC 及其内部，其中(0,2),(3,0),(1,3)A B C ，直线z 25x y =+过点B 时取最小值6．考点：线性规划【名师点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.9.【2016高考新课标1卷】某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5kg,乙材料1kg,用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg,用3个工时．生产一件产品A 的利润为2100元,生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150kg,乙材料90kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为 元． 【答案】216000 【解析】试题分析：设生产产品A 、产品B 分别为x 、y 件,利润之和为z 元,那么 1.50.5150,0.390,53600,0,0.x y x y x y x y +⎧⎪+⎪⎪+⎨⎪⎪⎪⎩ ①目标函数2100900z x y =+.二元一次不等式组①等价于3300,103900,53600,0,0.x y x y x y x y +⎧⎪+⎪⎪+⎨⎪⎪⎪⎩ ②作出二元一次不等式组②表示的平面区域（如图）,即可行域.将2100900z x y =+变形,得73900z y x =-+,平行直线73y x =-,当直线73900zy x =-+经过点M时,z 取得最大值. 解方程组10390053600x y x y +=⎧⎨+=⎩,得M 的坐标(60,100).所以当60x =,100y =时,max 210060900100216000z =⨯+⨯=. 故生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为216000元. 考点：线性规划的应用【名师点睛】线性规划也是高考中常考的知识点,一般以客观题形式出现,基本题型是给出约束条件求目标函数的最值,常见的结合方式有：纵截距、斜率、两点间的距离、点到直线的距离,解决此类问题常利用数形结合.本题运算量较大,失分的一个主要原因是运算失误.10【2015高考新课标1，文15】若x ,y 满足约束条件20210220x y x y x y +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪-+≥⎩,则z =3x +y 的最大值为 ．【答案】411.【2015高考重庆，文10】若不等式组2022020x y x y x y m +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩,表示的平面区域为三角形，且其面积等于43，则m 的值为__________________. 【答案】1【解析】如图，由于不等式组2022020x y x y x y m +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩,表示的平面区域为ABC ∆，且其面积等于43，再注意到直线:20AB x y +-=与直线:20BC x y m -+=互相垂直，所以ABC ∆是直角三角形，易知，(2,0),(1,1)A B m m -+,2422(,)33m m C -+;从而112222122223ABC m S m m m ∆+=+⋅+-+⋅=43，化简得：2(1)4m +=，解得3m =-,或1m =，检验知当3m =-时，已知不等式组不能表示一个三角形区域，故舍去，所以1m =.12.【2015高考陕西，文11】某企业生产甲乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额表所示，如果生产1吨甲乙产品可获利润分别为3万元.4万元，则该企业每天可获得最大利润为____________________.甲乙原料限额A(吨)3212B(吨)128【答案】18万元13.【2015高考浙江，文14】已知实数x ，y 满足221x y +≤，则2463x y x y +-+--的最大值是 ． 【答案】1514.【2015高考四川，文9】设实数x ，y 满足2102146x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则xy 的最大值为_______________.【答案】252【解析】画出可行域如图 在△ABC 区域中结合图象可知 当动点在线段AC 上时xy 取得最大 此时2x ＋y ＝10xy ＝12(2x ·y )≤21225()222x y +=当且仅当x ＝52，y ＝5时取等号，对应点(52，5)落在线段AC 上，故最大值为252.15．【2014高考安徽卷文第13题】不等式组20240320x y x y x y +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪+-≥⎩表示的平面区域的面积为________.【答案】4A BCyx0 61410A【解析】不等式组所表示的平面区域如下图阴影部分，则其表示的面积112222422ABCD ABD BCD S S S ∆∆=+=⨯⨯+⨯⨯=.16．【2014高考福建卷文第11题】已知圆()()22:1C x a y b -+-=，设平面区域70,30,0x y x y y +-≤⎧⎪Ω=-+≥⎨⎪≥⎩，若圆心C ∈Ω,且圆C 与x 轴相切，则22a b +的最大值为_________________.【答案】3717. 【2014高考全国1卷文第11题】设x ，y 满足约束条件,1,x y a x y +≥⎧⎨-≤-⎩且z x ay =+的最小值为7，则a =___.【答案】3【解析】根据题中约束条件可画出可行域如下图所示，两直线交点坐标为：11(,)22a a A -+，又由题中z x ay =+可知，当0a >时，z 有最小值：21121222a a a a z a -++-=+⨯=，则22172a a +-=，解得：3a =;当0a <时，z 无最小值18. 【2014高考浙江卷文第12题】若、y 满足和240101x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则y x +的取值范围是________.【答案】]3,1[【2017年高考命题预测】纵观2016各地高考试题，对二元一次不等式（组）与线性规划及简单应用这部分的考查，主要考查二元一次不等式（组）表示的平面区域、目标函数的最优解问题、与最优解相关的参数问题，高考中一般会以选填题形式考查．从近几年高考试题来看，试题难度较低，属于中低档试题，一般放在选择题的第5-7题或填空题的前两位．从近几年的高考试题来看，二元一次不等式(组)表示的平面区域(的面积)，求目标函数的最值，线性规划的应用问题等是高考的热点，题型既有选择题，也有填空题，难度为中、低档题．主要考查平面区域的画法，目标函数最值的求法，以及在取得最值时参数的取值范围．同时注重考查等价转化、数形结合思想．对二元一次不等式（组）表示的平面区域的考查，关键明确二元等式表示直线或曲线，而二元不等式表示直线或曲线一侧的平面区域，以小题形式出现.对目标函数的最优解问题的考查，首先要正确画出可行域，明确目标函数的几何意义，以小题形式出现．对与最优解相关的参数问题，在近几年的高考中频频出现，并且题型有所变化，体现“活”“变”“新”等特点，在备考中予以特别关注．故预测2017年高考仍将以目标函数的最值，特别是含参数的线性规划问题，线性规划的综合运用是主要考查点，重点考查学生分析问题、解决问题的能力．【2017年高考考点定位】高考对二元一次不等式（组）与线性规划及简单应用的考查有以下几种主要形式：一是不等式（组）表示的平面区域；二是线性目标函数最优解问题；三是非线性目标函数最优解问题；四是线性规划与其他知识的交汇．【考点1】不等式（组）表示的平面区域 【备考知识梳理】二元一次不等式所表示的平面区域：在平面直角坐标系中，直线:0l Ax By C ++=将平面分成两部分，平面内的点分为三类： ①直线l 上的点（x ，y ）的坐标满足：0=++C By Ax ；②直线l 一侧的平面区域内的点（x ，y ）的坐标满足：0>++C By Ax ； ③直线l 另一侧的平面区域内的点（x ，y ）的坐标满足：0Ax By C ++<.即二元一次不等式0Ax By C ++>或0Ax By C ++<在平面直角坐标系中表示直线0Ax By C ++=的某一侧所有点组成的平面区域，直线0Ax By C ++=叫做这两个区域的边界，（虚线表示区域不包括边界直线，实线表示区域包括边界直线）. 由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.【规律方法技巧】由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是各个不等式所表示的平面区域的公共部分. 1. 判断二元一次不等式Ax+By+c>0(或<0)表示直线的哪一侧的方法：因为对在直线Ax+By+C =0同一侧的所有点(x ,y)，数Ax+By+C 的符号相同，所以只需在此直线的某一侧任取一点(x 0, y 0)（若原点不在直线上，则取原点(0,0)最简便），它的坐标代入Ax+By+c ，由其值的符号即可判断二元一次不等式Ax+By+c>0(或<0)表示直线的哪一侧.2. 画二元一次不等式0(0)Ax By C ++>≥或0(0)Ax By C ++<≤表示的平面区域的基本步骤： ①画出直线:0l Ax By C ++=（有等号画实线，无等号画虚线）；②当0≠C 时，取原点作为特殊点，判断原点所在的平面区域；当0C =时，另取一特殊点判断； ③确定要画不等式所表示的平面区域. 【考点针对训练】1．【江苏省清江中学2016届高三上学期周练数学试题】若点(),x y P 满足约束条件022x x y a x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+≤⎩，且点(),x y P 所形成区域的面积为12，则实数a 的值为 ．【答案】8【解析】由题意作出其平面区域，∵点(),x y P 所形成区域的面积为12，∴0a >，由2x y a -=，令x =0得2a y =-， 由22x y a x y -=+=⎧⎨⎩解得44,212832312a a a x S a ++=∴=⨯+⨯=∴=（），.2．【2015届安徽省淮南一中等四校高三5月联考】设不等式组310060360x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≤⎩表示的平面区域为D ，若函数log a y x =（10≠>a a 且）的图象上存在区域D 上的点，则实数a 的取值范围是____________. 【答案】[)+∞⋃⎥⎦⎤ ⎝⎛,321,0【考点2】线性目标函数最优解问题 【备考知识梳理】名称 意义约束条件 由变量x ，y 组成的不等式(组)线性约束条件 由x ，y 的一次不等式(或方程)组成的不等式(组) 目标函数 关于x ，y 的函数解析式，如z ＝2x ＋3y 等 线性目标函数 关于x ，y 的一次解析式 可行解 满足线性约束条件的解(x ，y ) 可行域 所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解【规律方法技巧】线性目标函数z Ax By C =++（A,B 不全为0）中，当0B ≠时，A z Cy x B B-=-+，这样线性目标函数可看成斜率为AB-，且随z 变化的一组平行线，则把求z 的最大值和最小值的问题转化为直线与可行域有公共点，直线在y 轴上的截距的最大值最小值的问题.因此只需先作出直线Ay x B=-，再平行移动这条直线，最先通过或最后通过的可行域的顶点就是最优解.特别注意，当B>0时，z 的值随着直线在y 轴上的截距的增大而增大；当B<0时，z 的值随着直线在y 轴上的截距的增大而减小.通常情况可以利用可行域边界直线的斜率来判断.对于求整点最优解，如果作图非常准确可用平移求解法，也可以取出目标函数可能取得最值的可行域内的所有整点，依次代入目标函数验证，从而选出最优解，最优解一般在可行域的定点处取得，若要求最优整解，则必须满足x ，y 均为整数，一般在不是整解的最优解的附近找出所有可能取得最值的整点，然后将整点分别代入目标函数验证选出最优整解. 【考点针对训练】1. 【南京市、盐城市2016届高三年级第一次模拟考试数学】已知实数,x y 满足50,220,0,x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩则目标函数z x y =-的最小值为 ▲ . 【答案】3-【解析】可行域为一个三角形及其内部，其三个顶点坐标分别为(1,0),(5,0),(1,4)A B C -,当目标函数过点(1,4)C 时z 取最小值3-．2. 【2015届浙江省宁波市高三下学期第二次模拟考试】已知点(x ，y)的坐标满足条件302602290x y a x y x y --<⎧⎪+->⎨-+>⎪⎩，且x ，y 均为正整数.若4x －y 取到最大值8，则整数a 的最大值为___________. 【答案】5【考点3】非线性规划问题 【备考知识梳理】1.距离型：形如z ＝(x －a )2＋(y －b )2. 2.斜率型：形如z ＝y －bx －a. 【规律方法技巧】对于非线性目标函数的最优解问题，关键要搞清目标函数的几何意义，利用数形结合思想求解． 【考点针对训练】1. 【江苏歌风中学（如皋办学）高三数学九月月考】若变量,x y 满足202300x y x y x -≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则2x y+的最大值为 . 【答案】8【解析】作出题设约束条件表示的可行域，如图OAB ∆内部（含边界），再作直线:0l x y +=，向上平移直线l ，z x y =+增大，当l 过点(1,2)B 时，z x y =+取得最大值3，因此2x y +的最大值为8．2. 【2015届湖南省怀化市中小学课改质量检测高三第一次模考】已知实数、x y 满足242y xx y y ⎧≤⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则22)2()1(-+-=y x z 的最小值为____________________.【答案】95 【考点4】线性规划问题与其他知识交汇 【备考知识梳理】线性规划问题与其他知识交叉融合，不仅体现了高中数学常用的数学思想方法，比如数形结合思想，转化与化归思想，而且体现了学生综合分析问题的能力，逻辑思维能力以及解决实际问题的能力． 【规律方法技巧】线性规划问题可以和概率、向量、解析几何等交汇考查，关键是通过转化，最终转化为线性规划问题处理． 【规律方法技巧】1．已知不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-≥+224x y x y x ，表示的平面区域为D ，点)0,1(),0,0(A O ．若点M 是D 上的动点，则||OM OM OA ⋅的最小值是____________________.【答案】1010 【解析】设点M 的坐标为(,)x y ，则22||OA OMx OM x y⋅=+，根据约束条件画出可行域可知0x >，故222221||1OA OMx yx yOM x⋅==++，而y x 的几何意义为可行域的点与原点所确定直线的斜率，数形结合可知yx 的最大值为3，则||OM OM OA ⋅的最小值为1010.2．定义,max{,},a a b a b b a b ≥⎧=⎨<⎩，设实数x ，y 满足约束条件22x y ⎧≤⎪⎨≤⎪⎩，则max{4,3}z x y x y =+-的取值范围是_______________. 【答案】[7,10]-【两年模拟详解析】1. 【江苏省扬州中学高三数学月考试卷】已知点x ,y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0y ≥02x ＋y ≤2，若ax ＋y ≤3恒成立，则实数a 的取值范围是__________． 【答案】(－∞,3]【解析】不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0y ≥02x ＋y ≤2表示的平面区域是以(0,0),(0,2),(1,0)O A B 为顶点的三角形内部（含边界），由题意00302303a +≤⎧⎪+≤⎨⎪+≤⎩，所以3a ≤．2．【镇江市2016届高三年级第一次模拟考试】已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤2，x ＋y ≤8，x ≥1，则z ＝2x ＋y 的最小值是________． 【答案】1．【解析】作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y≤2，x ＋y≤8，x ≥1，，其是由点()1,7A ,()1,1B -,()5,3C 围成的三角形区域（包含边界），对于目标函数z ＝2x ＋y ，转化为直线2y x z =-+，过点()1,1B -时，z 最小，即2111z =⨯-=．3．【盐城市2016届高三年级第三次模拟考试】已知实数,x y 满足约束条件152x x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤-⎩，则2123y x -+的最大值为 . 【答案】75【解析】可行域为一个三角形ABC 及其内部，其中)27,23(),3,1(),4,1(C B A ，而2321321y 2+-=+-x y x 表示可行域的点),(y x P到点)21,23(-E 连线的斜率,因此其最大值为.57231214=+-=EA k 4．【江苏省苏北三市（徐州市、连云港市、宿迁市）2016届高三最后一次模拟考试】若实数,x y 满足约束条件1300x y x y y +≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩，则|3410|x y --的最大值为 .【答案】494【解析】1300x y x y y +≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩表示一个三角形ABC 及其内部，其中13(1,0),(0,0),(,)44A B C ，且可行域在直线上方34100x y --=，因此|3410|3410x y x y --=-++，过点13(,)44C 时取最大值，为494．5．【2016高考押题卷（2）【江苏卷】】某工厂用A ，B 两种配件分别生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A 配件、耗时1小时，每生产一件乙产品使用4个B 配件、耗时2小时，该厂每天最多可从配件厂获得16个A 配件和12个B 配件，每天生产甲、乙两种产品总耗时不超过8小时．若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，那么该工厂每天可获取的最大利润为________万元． 【答案】146．【2016年第一次全国大联考【江苏卷】】设不等式组204020xy xy y，，表示的平面区域为D ，若指数函数(0,1)xy a a a =>≠的图象上存在区域D 上的点，则a 的取值范围是_______. 【答案】(0,1)[3)+∞，【解析】可行域D 为一个开放的区域，如图（阴影部分）.当01a <<时，指数函数xy a =的图像与可行域D 恒有交点；当1a >时，需满足13a ≥，才能使指数函数x y a =的图像与可行域D 有交点；综上a 的取值范围是(0,1)[3)+∞，7．【江苏省扬州中学2015届高三4月双周测】若实数,a b 满足20101a b b a a +-≥⎧⎪--≤⎨⎪≤⎩，则22a ba b ++的最大值为_________. 【答案】75【解析】作出约束条件表示的可行域，如图ABC ∆内部（含边界），13(,)22A ，(1,1)C ，设(,)P a b 是可行域内任一点，则OP b k a =的最大值为32312OA k ==，最小值为111OC k ==，23322222a b a b a b a b a +=-=-+++，可见当b a 取最大值3时，22a b a b ++也取最大值为75.8．【泰州市2015届高三第三次调研测试】已知实数x ，y 满足条件||1||1x y ⎧⎨⎩≤≤,,则z 2x +y 的最小值是 ▲ ．【答案】3-【解析】如下图所示，当直线2y x z =-+经过或行域||1||1x y ⎧⎨⎩≤≤,,的边界点(1,1)A --时，目标函数的最小值3-.9．【2015年高考模拟(南通市数学学科基地命题)(4)】设实数x ，y ，b 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≥0，y ≥x ，y ≥－x ＋b ，若z ＝2x ＋y 的最小值为3， 则实数b 的值为 ． 【答案】94【解析】作出约束条件表示的可行域，如图射线OA ，OB 所夹区域且在直线AB 上方(含边界)(AB 待定)，作直线:20l x y +=，平移直线l ，可见当l 过点A 时，z 取得最小值，此时2y x =代入得223x x +=，34x =，故有33(,)42A ，因此3324b =-+，94b =.10．【2015年高考模拟(南通市数学学科基地命题)(6)】实数x ，y 满足121,y y x x y m ≥⎧⎪≤-⎨⎪+≤⎩如果目标函数z=x —y的最小值为-2，则实数m 的值为______. 【答案】8【解析】如图，约束条件表示的可行域应该是ABC ∆内部（含边界）（否则可行域不存在），作直线:0l x y -=，当把直线l 向上平移时，z 减小，因此其最小值点是直线21y x =-与直线x y m +=的交点，由212y x x y =-⎧⎨-=-⎩得(3,5)B ，代入x y m +=得8m =.11．【南京市2015届高三年级第三次模拟考试】若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，x ≥1，y ≥0，则z ＝2x ＋y 的最大值是 ． 【答案】4【解析】作出题中约束条件表示的可行域，如图ABC ∆内部（含边界），再作直线:20l x y +=，当直线l 过点(2,0)C 时，z 取最大值4.12．【徐州市2014～2015学年度高三第三次质量检测】已知实数y x ,满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-+≤-,03,05,0y y x y x 若不等式222)()(y x y x m +≤+恒成立，则实数m 的最大值是 .【答案】2513a ≤【解析】画出由条件05030x y x y y -≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩决定的的可行域如下图所示，因为22222222()22()()11x y xy m x y x y m x y x y x y y x++≤+⇔≤=+=++++令y t x =，由线性规划知识可知312t ≤≤，则22111x y t y x t+=+++，令13(),(1)2f t t t t =+≤≤，由函数()f t 单调性可知，当32t =时，函数()f t 有最大值136，此时222()x y x y ++有最小值2513，所以2513a ≤及.13．【盐城市2015届高三年级第三次模拟考试】若,x y 满足约束条件+20020x y x y x y -≤⎧⎪-≥⎨⎪+≥⎩, 则目标函数z 2x y =+的最大值为 ．【答案】6【解析】不等式组+20020x y x y x y -≤⎧⎪-≥⎨⎪+≥⎩表示的区域如图阴影部分所示：当直线20x y z +-=经过点(4,2)B -时，z 取得最大值6.故答案为6.14．【2015届山东师大附中高三第九次模拟】若关于,x y 的不等式组0010x x y kx y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩，表示的平面区域是直角三角形区域，则正数k 的值为_____________. 【答案】1【解析】由题意得：010x y kx y +=-+=与垂直，因此10, 1.k k -==15.【2015届吉林省东北师大附中高三第四次模拟】已知实数,x y 满足平面区域10:220220x y D x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，则22x y +的最大值为_______________.【答案】816.【2015届浙江省桐乡一中高三下学期联盟学校高考仿真测试】设x y 、满足约束条件360200,0x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩，若目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为10，则23a b+的最小值为_______________. 【答案】517.【2015届河南省南阳市一中高三下学期第三次模拟】设⎩⎨⎧<≥-=,2,,2,y x y y x y x z 若22,22≤≤-≤≤-y x ，则z 的最小值为______________. 【答案】-1【解析】符合22,22≤≤-≤≤-y x 的区域如图所示：当2x y ≥时，目标函数z x y =-在A 点取得最小值-1；当2x y <时，目标函数z y =在A 点处取得最小值-1，综上可得：z 的最小值为-1．18.【2015届甘肃省天水市一中高三高考信息卷一】已知不等式组220,22,22x y x y ⎧+-≥⎪⎪≤⎨⎪≤⎪⎩表示平面区域Ω，过区域Ω中的任意一个点P ，作圆221x y +=的两条切线且切点分别为,A B ，当APB ∠最大时，PA PB ⋅的值为_____________. 【答案】3219.【2015届浙江省余姚市高三第三次模拟考试】已知实数变量,x y 满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤--≥-≥+,0121,0,1y mx y x y x 且目标函数3z x y =-的最大值为4，则实数m 的值为_____________.【答案】1拓展试题以及解析1.设不等式组204020x yx yy表示的平面区域为D，若指数函数xy a的图像上存在区域D上的点，则a的取值范围是__________________. 【答案】(1]3，【入选理由】本题主要考了简单的线性规划，以及指数函数的图像等相关概念,体现了分类讨论的数学思想,意在考查学生的数形结合能力和计算能力.本题考查线性规划与函数图象性质的交汇，通过研究函数xy a =的性质，来确定a 的取值范围，这是线性规划问题涉及不多，故选此题．2.执行如图的程序框图，如果输入,x y R ∈，那么输出的S 的的最小值是_______________.【答案】255121416182022243x+y-6=0x-y+1=0x+2y-2=0C 621A BOyx【入选理由】本题考查考查程序框图中的顺序结构，条件结构以及相应语句,线性规划的应用等基础知识知识，意在考查画图、用图,分析问题、解决问题、及基本运算能力.该题新颖独特，故选此题．3.已知不等式组202020x y y x y -+≥⎧⎪+≥⎨⎪++≤⎩表示的平面区域，则231x y z x +-=-的最大值 .【答案】7【入选理由】本题主要考查线性规划的应用等基础知识知识，意在考查学生的画图、用图，以及数形结合能力和计算能力.此题给出的目标函数231x y z x +-=-，似乎不好入手，但整理后2311211x y y z x x +--==+--，转化为斜率，就转化为常规题，高考线性规划问题的命题越来多变灵活，故选此题.。

[基础题组练]1．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋6<0，x －y ＋2≥0表示的平面区域是( )解析：选C.用特殊点代入,比如(0,0),容易判断为C.2．(2019·开封市高三定位考试)已知实数x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x ＋2y ＋2≥0，x ≤1，则z ＝⎝⎛⎭⎫12x －2y的最大值是( )A.132 B.116 C ．32D ．64解析：选C.作出不等式组表示的平面区域,如图中阴影部分所示,设u ＝x －2y ,由图知,当u ＝x －2y 经过点A (1,3)时取得最小值,即u min ＝1－2×3＝－5,此时z ＝⎝⎛⎭⎫12x －2y取得最大值,即z max ＝⎝⎛⎭⎫12－5＝32,故选C.3．(2018·高考北京卷)设集合A ＝{(x ,y )|x －y ≥1,ax ＋y >4,x －ay ≤2},则( ) A ．对任意实数a ,(2,1)∈A B ．对任意实数a ,(2,1)∉A C ．当且仅当a <0时,(2,1)∉A D ．当且仅当a ≤32时,(2,1)∉A解析：选D.若(2,1)∈A ,则⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋1>4，2－a ≤2，解得a >32,所以当且仅当a ≤32时,(2,1)∉A ,故选D.4．(2019·长春市质量检测(二))已知动点M (x ,y )满足线性条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x ＋y ≥0，5x ＋y －8≤0，定点N (3,1),则直线MN 斜率的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C.不等式组表示的平面区域为△ABC 内部及边界,如图所示,数形结合可知,当M 点与B 点重合时,MN 的斜率最大．由⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋y －8＝0，x ＋y ＝0，得B (2,－2)．MN 斜率的最大值为1＋23－2＝3.5．(2019·陕西省质量检测(一))若变量x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤1，x ＋y ≥0，x －y －2≤0，则z ＝x －2y 的最大值为________．解析：法一：由约束条件可知可行域的边界分别为直线y ＝1,x ＋y ＝0,x －y －2＝0,则边界的交点分别为(－1,1),(3,1),(1,－1),分别代入z ＝x －2y ,得对应的z 分别为－3,1,3,可得z 的最大值为3.法二：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,作出直线x －2y ＝0并平移,由图可知,当直线过点(1,－1)时,z 取得最大值,即z max ＝1－2×(－1)＝3. 答案：36．(2019·广东茂名模拟)已知点A (1,2),点P (x ,y )满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≤0，x ＋3y －3≥0，O 为坐标原点,则z ＝OA →·OP →的最大值为________．解析：由题意知z ＝OA →·OP →＝x ＋2y ,作出可行域如图阴影部分,作直线l 0：y ＝－12x ,当l 0移到过A (1,2)的l 的位置时,z 取得最大值,即z max ＝1＋2×2＝5.答案：57．(2019·石家庄市质量检测(二))设变量x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －3≤0，x ＋y ≥3，y －2≤0，则y ＋1x的最大值为________．解析：作出可行域,如图中阴影部分所示,而y ＋1x 表示区域内的动点(x ,y )与定点(0,－1)连线的斜率的取值范围,由图可知,当直线过点C (1,2)时,斜率最大,为2－（－1）1－0＝3.答案：38．若x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2.(1)求目标函数z ＝12x －y ＋12的最值；(2)若目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值,求a 的取值范围． 解：(1)作出可行域如图中阴影部分所示,可求得A (3,4),B (0,1),C (1,0)． 平移初始直线12x －y ＋12＝0,过A (3,4)时z 取最小值－2,过C (1,0)时z 取最大值1. 所以z 的最大值为1,最小值为－2.(2)直线ax ＋2y ＝z 仅在点(1,0)处取得最小值,由图象可知－1<－a2<2,解得－4<a <2.故a 的取值范围是(－4,2)．[综合题组练]1．(2019·高考全国卷Ⅲ)记不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥6，2x －y ≥0表示的平面区域为D .命题p ：∃(x ,y )∈D ,2x ＋y ≥9；命题q ：∀(x ,y )∈D ,2x ＋y ≤12.下面给出了四个命题①p ∨q ②綈p ∨q ③p ∧綈q ④綈p ∧綈q 这四个命题中,所有真命题的编号是( ) A ．①③ B ．①② C ．②③D ．③④解析：选A.通解 作出不等式组表示的平面区域D 如图中阴影部分所示,直线2x ＋y ＝9和直线2x ＋y ＝12均穿过了平面区域D ,不等式2x ＋y ≥9表示的区域为直线2x ＋y ＝9及其右上方的区域,所以命题p 正确；不等式2x ＋y ≤12表示的区域为直线2x ＋y ＝12及其左下方的区域,所以命题q 不正确．所以命题p ∨q 和p ∧綈q 正确．故选A.优解 在不等式组表示的平面区域D 内取点(7,0),点(7,0)满足不等式2x ＋y ≥9,所以命题p 正确；点(7,0)不满足不等式2x ＋y ≤12,所以命题q 不正确．所以命题p ∨q 和p ∧綈q 正确．故选A.2．(2019·重庆六校联考)已知x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0，若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一,则实数a 的值为( )A.12或－1 B ．2或12C ．2或1D ．2或－1解析：选D.画出约束条件所表示的可行域,如图中阴影部分所示．令z ＝0,画出直线y ＝ax ,a ＝0显然不满足题意．当a <0时,要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一,则需使直线y ＝ax 与x ＋y －2＝0平行,此时a ＝－1；当a >0时,要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一,则需使直线y ＝ax 与2x －y ＋2＝0平行,此时a ＝2.综上,a ＝－1或2.3．(2019·安徽合肥一模)某企业生产甲、乙两种产品,销售利润分别为2千元/件、1千元/件．甲、乙两种产品都需要在A ,B 两种设备上加工,生产一件甲产品需用A 设备2小时,B 设备6小时；生产一件乙产品需用A 设备3小时,B 设备1小时．A ,B 两种设备每月可使用时间数分别为480小时、960小时,若生产的产品都能及时售出,则该企业每月利润的最大值为( )A ．320千克B ．360千克C ．400千克D ．440千克解析：选 B.设生产甲产品x 件,生产乙产品y 件,利润z 千元,则⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ≤480，6x ＋y ≤960，z ＝2x ＋y ,作出⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，2x ＋3y ≤480，6x ＋y ≤960表示的可行域如图中阴影部分所示,作出直线2x ＋y ＝0,平移该直线,当直线z ＝2x ＋y 经过直线2x ＋3y ＝480与直线6x ＋y ＝960的交点(150,60)(满足x ∈N ,y ∈N )时,z 取得最大值,为360.4．(综合型)实数x ,y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，2x －y －5≤0，x ＋y －4≥0，则z ＝|x ＋2y －4|的最大值为________．解析：作出不等式组表示的平面区域,如图中阴影部分所示．z ＝|x ＋2y －4|＝|x ＋2y －4|5·5,其几何含义为阴影区域内的点到直线x ＋2y －4＝0的距离的5倍．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2＝0，2x －y －5＝0，得点B 坐标为(7,9),显然点B到直线x ＋2y －4＝0的距离最大,此时z max ＝21.答案：21。

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单的线性规划问题真题演练集训 理 新人教A 版1．［2016·山东卷］若变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，2x －3y ≤9，，x ≥0则x 2＋y 2的最大值是( ）A ．4B ．9C ．10D ．12答案：C解析：作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，设P （x ，y )为平面区域内任意一点，则x 2＋y 2表示|OP ｜2。

显然，当点P 与点A 重合时，x 2＋y 2取得最大值,由错误!解得错误!故A (3，－1）．所以x 2＋y 2的最大值为32＋(－1)2＝10。

故选C. 2．［2016·北京卷］若x ，y 满足错误!则2x ＋y 的最大值为（ ） A ．0 B ．3 C ．4 D ．5答案：C解析：不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≤0x ＋y ≤3，x ≥0表示的可行域如图中阴影部分所示，由错误!解得错误!故当目标函数z＝2x＋y经过点A（1，2)时，z取得最大值,z max＝2×1＋2＝4。

故选C。

3．[2015·陕西卷］某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为( )甲乙原料限额A（吨）3212B(吨)128A。

专题二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题一、考点全归纳1．二元一次不等式(组)表示的平面区域满足二元一次不等式(组)的x和y的取值构成的有序数对(x，y)，叫做二元一次不等式(组)的解，所有这样的有序数对(x，y)构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集．3．线性规划的有关概念1．画二元一次不等式表示的平面区域的直线定界，特殊点定域；(1)直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实数．(2)特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取(0，1)或(1，0)来验证． 2．利用“同号上，异号下”判断二元一次不等式表示的平面区域对于Ax ＋By ＋C >0或Ax ＋By ＋C <0，则有 (1)当B (Ax ＋By ＋C )>0时，区域为直线Ax ＋By ＋C ＝0的上方； (2)当B (Ax ＋By ＋C )<0时，区域为直线Ax ＋By ＋C ＝0的下方． 3．平移规律当b >0时，直线z ＝ax ＋by 向上平移z 变大，向下平移z 变小；当b <0时，直线z ＝ax ＋by 向上平移z 变小，向下平移z 变大．二、题型全归纳题型 一 二元一次不等式(组)表示的平面区域【题型要点】(1)求平面区域面积的方法①首先画出不等式组表示的平面区域，若不能直接画出，应利用题目的已知条件转化为不等式组问题，从而再作出平面区域；①对平面区域进行分析，若为三角形应确定底与高，若为规则的四边形(如平行四边形或梯形)，可利用面积公式直接求解，若为不规则四边形，可分割成几个三角形分别求解再求和． (2)根据平面区域确定参数的方法在含有参数的二元一次不等式组所表示的平面区域问题中，首先把不含参数的平面区域确定好，然后用数形结合的方法根据参数的不同取值情况画图观察区域的形状，根据求解要求确定问题的答案．命题角度一 平面区域的面积【例1】不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域的面积等于( )A.32 B ．23 C.43D ．34【解析】表示的平面区域如图阴影部分所示，A ⎝⎛⎭⎫0，43，B (1，1)，C (0，4)，则①ABC 的面积为12×1×83＝43.故选C. 【例2】．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥2，2x －y ≤4，x －y ≥0所围成的平面区域的面积为( )A ．3 2B ．6 2C ．6D ．3不等式组所围成的平面区域为①ABC ，其中A (2,0)，B (4，4)，C (1,1)，所求平面区域的面积为S ①ABO －S ①ACO ＝12×(2×4－2×1)＝3. 角度二 平面区域的形状【例3】若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0，x ＋y ≤a表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是________．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0表示的平面区域如图所示(阴影部分)． 解⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，2x ＋y ＝2得A ⎝⎛⎭⎫23，23；解⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，2x ＋y ＝2得B (1，0)．若原不等式组表示的平面区域是一个三角形，则直线x ＋y ＝a 中的a 的取值范围是0<a ≤1或a ≥43.【例4】(2020·南昌一模)设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，x －y ＋1≥0，3x －y －5≤0表示的平面区域为M ，若直线y ＝kx 经过区域M 内的点，则实数k 的取值范围为( )A. ⎥⎦⎤ ⎝⎛221，B.⎥⎦⎤⎢⎣⎡3421，C.⎥⎦⎤⎢⎣⎡221，D.⎥⎦⎤⎢⎣⎡234，【解析】不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，x －y ＋1≥0，3x －y －5≤0表示的平面区域如图中阴影部分所示，即三角形ABC (含边界)，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －3＝0，3x －y －5＝0得点A (2,1)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3＝0，x －y ＋1＝0得点C (1，2)，又直线OA 的斜率为k OA ＝12，直线OC 的斜率为k OC ＝2，而直线y ＝kx 表示过原点O 的直线，因此根据题意可得k OA ≤k ≤k OC ，即12≤k ≤2.题型二 求目标函数的最值命题角度一 求线性目标函数的最值【题型要点】(1)求目标函数的最值形如z ＝ax ＋by (b ≠0)的目标函数，可变形为斜截式y ＝－a b x ＋zb(b ≠0)．①若b >0，当直线过可行域且在y 轴上的截距最大时，z 值最大，在y 轴上截距最小时，z 值最小；①若b <0，当直线过可行域且在y 轴上的截距最大时，z 值最小，在y 轴上的截距最小时，z 值最大． (2)求目标函数最优解的常用方法如果可行域是一个多边形，那么一般在某顶点处使目标函数取得最优解，到底哪个顶点为最优解，可有两种方法判断：①将可行域各顶点的坐标代入目标函数，通过比较各顶点函数值大小即可求得最优解； ①将目标函数的直线平移，最先通过或最后通过的顶点便是最优解．【例1】 (2020·广东佛山一模)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤5，2x －y ≤4，y ≤x ＋1，y ≥0.则目标函数z ＝2x ＋y 的最大值为( )A ．7B ．8C ．15D ．16【解析】作出变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤5，2x －y ≤4，y ≤x ＋1，y ≥0.的可行域如图中阴影部分所示：由图可知，目标函数z ＝2x ＋y 在点A 处取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝5，2x －y ＝4得A (3，2)．所以z max ＝2×3＋2＝8.故选B.【例2】．(2019·全国卷Ⅱ)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －6≥0，x ＋y －3≤0，y －2≤0，则z ＝3x －y 的最大值是________．【解析】 作出已知约束条件对应的可行域(图中阴影部分)由图易知，当直线y ＝3x －z 过点C 时，－z 最小，即z 最大．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －3＝0，2x ＋3y －6＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝0，即C 点坐标为(3,0)，故z max ＝3×3－0＝9. 命题角度二 求非线性目标函数的最值【题型要点】常见两类非线性目标函数的几何意义(1)x 2＋y 2表示点(x ，y )与原点(0，0)间的距离，（x －a ）2＋（y －b ）2表示点(x ，y )与点(a ，b )间的距离； (2)yx 表示点(x ，y )与原点(0，0)连线的斜率，y －b x －a表示点(x ，y )与点(a ，b )连线的斜率． 【例3】(2020·安徽马鞍山一模)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，y ≤x ＋1，y ≥1－x 则x 2＋y 2的最大值与最小值之和为( )A ．5B ．112 C ．6 D ．7【解析】作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，y ≤x ＋1，y ≥1－x 表示的可行域如图中阴影部分所示，x 2＋y 2的几何意义是原点O 到可行域内点的距离的平方，由图可知，O 到直线x ＋y －1＝0的距离最小，为12.可行域内的点B 与坐标原点的距离最大，为22＋12＝ 5.所以x 2＋y 2的最大值与最小值之和为5＋12＝112.故选B.【例4】实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x ≥0，y ≤2.(1)若z ＝yx，求z 的最大值和最小值，并求z 的取值范围；(2)若z ＝x 2＋y 2，求z 的最大值与最小值，并求z 的取值范围． 【解析】 由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x ≥0，y ≤2，作出可行域，如图中阴影部分所示．(1)z ＝yx表示可行域内任一点与坐标原点连线的斜率，因此yx的范围为直线OB 的斜率到直线OA 的斜率(直线OA 的斜率不存在，即z max 不存在)．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，y ＝2，得B (1，2)，所以k OB ＝21＝2，即z min ＝2，所以z 的取值范围是[2，＋∞)．(2)z ＝x 2＋y 2表示可行域内的任意一点与坐标原点之间距离的平方．因此x 2＋y 2的最小值为OA 2，最大值为OB 2.由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，x ＝0，得A (0，1)，所以OA 2＝(02＋12)2＝1，OB 2＝(12＋22)2＝5，所以z 的取值范围是[1，5]．命题角度三 求参数值或取值范围【题型要点】求解线性规划中含参数问题的基本方法有两种：一是把参数当成常数用，根据线性规划问题的求解方法求出最优解，代入目标函数确定最值，通过构造方程或不等式求解参数的值或取值范围；二是先分离含有参数的式子，通过观察的方法确定含参的式子所满足的条件，确定最优解的位置，从而求出参数．【例5】(2020·江西九江一模)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x ＋y －m ≥0，x －3≤0，若z ＝2x －3y 的最大值为9，则正实数m的值为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．8【解析】作出x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x ＋y －m ≥0，x －3≤0，表示的可行域如图中阴影部分所示，由图可知z ＝2x －3y 在点A 处取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －m ＝0，x ＝3解得A (3，m －3)，由z max ＝2×3－3(m －3)＝9，解得m ＝2.故选A.【例6】(2020·陕西咸阳模拟检测(一))若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1≥0，x ＋y ≥0，x ≤0，若z ＝ax －y (a ①R )的最小值是－1，则a 的取值范围是 ．【解析】 画出可行域如图所示(阴影部分)，目标函数对应的直线为y ＝ax －z ，当截距－z 最大时，目标函数z 取得最小值，因为z ＝ax －y (a ①R )的最小值是－1，所以在A (0，1)处取得最小值．由图象可知，直线 y ＝ax －z 的斜率a ≤2，因为当a >2时，目标函数在B 点取得最小值，所以a 的取值范围是(－∞，2]．【例7】(2020·华南师大附中二模)已知a >0，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤3，y ≥a (x －3)，若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a ＝( )A.12B.13C ．1D ．2【解析】作出不等式组表示的可行域，如图阴影部分(含边界)．当直线z ＝2x ＋y 过交点A 时，z 取最小值，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝a (x －3)，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2a ，①z min ＝2－2a ＝1，解得a ＝12.题型三 线性规划的实际应用【题型要点】线性规划解决实际问题的一般步骤 (1)能建立线性规划模型的实际问题①给定一定量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源，使完成的任务量最大，收益最大； ①给定一项任务，问怎样统筹安排，使完成这项任务耗费的人力、物力资源最少． (2)解决线性规划实际问题的一般步骤①转化：设元，写出线性约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为数学上的线性规划问题； ①求解：解决这个纯数学的线性规划问题；①作答：根据实际问题，得到实际问题的解，据此作出回答．【例1】(2020·河北“五个一名校联盟”模拟)某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的限量如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得的最大利润为( )B ．17万元C ．18万元D ．19万元【解析】 设该企业每天生产x 吨甲产品，y 吨乙产品，可获得利润为z 万元，则z ＝3x ＋4y ，且x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ≤12，x ＋2y ≤8，x ≥0，y ≥0，作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线3x ＋4y ＝0并平移，可知当直线经过点(2，3)时，z 取得最大值，z max ＝3×2＋4×3＝18(万元)．故选C.【例2】(2020·武汉市部分学校调研)某公司生产甲、乙两种桶装产品，已知生产甲产品1桶需耗A 原料2千克，B 原料3千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克，B 原料1千克，每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元，公司在每天消耗A ，B 原料都不超过12千克的条件下，生产这两种产品可获得的最大利润为( )A ．1 800元B ．2 100元C ．2 400元D ．2 700元【解析】 设生产甲产品x 桶，生产乙产品y 桶，每天的利润为z 元．根据题意，有⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2y≤12，3x ＋y ≤12，x ≥0，x ①N *，y ≥0，y ①N *，z ＝300x ＋400y .作出⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2y ≤12，3x ＋y ≤12，x ≥0，y ≥0所表示的可行域，如图中阴影部分所示，作出直线3x ＋4y ＝0并平移，当直线经过点A (0，6)时，z 有最大值，z max ＝400×6＝2 400，故选C.三、高效训练突破 一、选择题1．(2020·贵阳期中)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y <－3x ＋12，x <2y 表示的平面区域为( )【解析】选特殊点(0,6)检验，当x ＝0，y ＝6时，y <－3x ＋12成立，x <2y 成立，所以点(0,6)在不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y <－3x ＋12，x <2y 表示的平面区域内，另外注意到边界线是虚线，故选B. 2．(2020·揭阳模拟)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1≤0，2x －y ＋1≥0，x ≥0，则z ＝x2＋y 的最小值为( )A ．－1B ．－2C ．1D ．2【解析】：作出x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1≤0，2x －y ＋1≥0，x ≥0的平面区域如图所示(阴影部分)：由图易得，目标函数z ＝x2＋y 在点A 处取最小值，为－1.故选A.3．(2020·福建漳州一模)若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －3≥0，x －2y ＋2≤0.则x ＋y ( )A ．有最小值无最大值B ．有最大值无最小值C ．既有最小值也有最大值D ．既无最小值也无最大值【解析】：如图中阴影部分所示即为实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －3≥0，x －2y ＋2≤0的可行域，由⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －3＝0，x －2y ＋2＝0得A ⎝⎛⎭⎫85，95.由图易得当x ＝85，y ＝95时，x ＋y 有最小值175，没有最大值．故选 A.4．(2020·琼海摸底)若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，y －x ≤1，y ≥0，则z ＝2x ·8y 的最大值是( )A ．4B ．8C ．16D ．32【解析】先根据实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，y －x ≤1，y ≥0画出可行域(如图阴影部分所示)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，y －x ＝1，解得A ⎝⎛⎭⎫12，32， 当直线u ＝x ＋3y 过点A 时，u 取得最大值是12＋3×32＝5，则z ＝2x ·8y ＝2x ＋3y 的最大值为25＝32.5．(2020·华中师范大学第一附中模拟)已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ＋y ≤2，x ≤－1，则x ＋yy 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤12，23 B.⎝⎛⎦⎤0，23 C.⎝⎛⎦⎤－1，－13 D.⎣⎡⎦⎤32，2【解析】作出约束条件表示的可行域，如图中阴影部分由图可知k ＝y x 在点A (－1,3)处取得最小值－3，且斜率k 小于直线x ＋y ＝1的斜率－1.故－3≤k <－1.所以－1<xy ≤－13.故0<x ＋y y ≤23.6．(2020·洛阳市统考)点P (x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0x －2y ＋1≤0，x ＋y －2≤0点Q 在曲线x 2＋(y ＋2)2＝1上，则|PQ |的取值范围是( )A ．[5－1，10－1]B ．[5－1，10＋1]C ．[10－1，5]D ．[5－1，5]【解析】：作出点P 满足的线性约束条件表示的平面区域(如图中阴影部分所示)，因为点Q 所在圆的圆心为M (0，－2)，所以|PM |取得最小值的最优解为(－1，0)，取得最大值的最优解为(0，2)，所以|PM |的最小值为5，最大值为4，又圆M 的半径为1，所以|PQ |的取值范围是[5－1，5]，故选D.7.不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋y ≤3，y ≥x ＋1表示的平面区域为Ω，直线y ＝kx －1与区域Ω有公共点，则实数k 的取值范围为( )A ．(0，3]B ．[－1，1]C ．(－∞，3]D ．[3，＋∞) 【解析】：直线y ＝kx －1过定点M (0，－1)，由图可知，当直线y ＝kx －1经过直线y ＝x ＋1与直线x ＋y ＝3的交点C (1，2)时，k 最小，此时k CM ＝2－（－1）1－0＝3，因此k ≥3，即k ①[3，＋∞)．故选D.8．实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥a ，y ≥x ，x ＋y ≤2(a <1)，且z ＝2x ＋y 的最大值是最小值的4倍，则a 的值是( )A.211 B ．14 C.12D ．34【解析】：在直角坐标系中作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分(包括边界)所示当目标函数z ＝2x ＋y 经过可行域中的点B (1，1)时有最大值3，当目标函数z ＝2x ＋y 经过可行域中的点 A (a ，a )时有最小值3a ，由3＝4×3a ，得a ＝14.9..不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，y ≥2，x ＋y ≤4的解集记为D ，则“①(x ，y )①D ，使x －y ≥a 成立”的必要不充分条件是( )A ．a <0B ．a ≤－3C ．a >0D ．a ≤－2【解析】：画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，y ≥2，x ＋y ≤4表示的区域D ，如图中阴影部分所示其中A (2，2)，B (1，2)，C (1，3)，①(x ，y )①D ，使x －y ≥a 成立，则a ≤(x －y )min ，平移直线x －y ＝0，易知当直线经过点C (1，3)时，x －y 取得最小值，(x －y )min ＝－2，则a ≤－2，故必要不充分条件可以是a <0，故选A.10．(2020·河南洛阳一模)已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≤2，x －2y ＋2≥0，x ＋y ＋2≥0，则z ＝yx －5的取值范围为( )A.⎣⎡⎦⎤－23，43B.⎣⎡⎦⎤－43，23C.⎝⎛⎦⎤－∞，－23①⎣⎡⎭⎫34，＋∞D.⎝⎛⎦⎤－∞，－34①⎣⎡⎭⎫32，＋∞ 【解析】：作出可行域如图所示(阴影部分)，z ＝yx －5表示可行域内的点(x ，y )与定点C (5，0)连线的斜率，易求得A (2，2)，B (2，－4)，所以k AC ＝－23，k BC ＝43，则由图可知－23≤z ≤43.故选A.11．(2020·太原模拟)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋2y －2≥0，4x －y －8≤0，则z ＝|x ＋3y |的最大值为( )A ．15B ．13C ．3D ．2【解析】：法一：画出约束条件所表示的可行域，如图所示(阴影部分)， 设z 1＝x ＋3y ，可化为y ＝－13x ＋z 13，当直线y ＝－13x ＋z 13经过点A 时，直线在y 轴上的截距最大，此时z 1取得最大值；当直线y ＝－13x ＋z 13经过点B 时，直线在y 轴上的截距最小，此时z 1取得最小值，由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，4x －y －8＝0解得A (3，4)，此时最大值为3＋3×4＝15; 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －2＝0，4x －y －8＝0解得B (2，0)，此时最小值为2＋3×0＝2，所以z ＝|x ＋3y |的最大值为15，故选A. 二、填空题1．(2020·福州市质量检测)已知点A (0，2)，动点P (x ，y )的坐标满足条件⎩⎨⎧x ≥0y ≤x，则|P A |的最小值是 ．【答案】：2【解析】：可行域为如图所示的阴影部分，|P A |表示可行域上的点到点A (0，2)的距离，所以|P A |的最小值转化成点A 到直线y ＝x 的距离，所以|P A |min ＝|－2|2＝ 2.2．(2020·安徽五校联盟第二次质检)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1x ＋2y ≤2，x ≤a 目标函数z ＝2x ＋3y 的最小值为2，则a ＝ ．【解析】：作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1x ＋2y ≤2x ≤a 表示的平面区域如图中阴影部分所示，作出直线2x ＋3y ＝0，平移直线2x＋3y ＝0，显然过A (a ，1－a )时，z ＝2x ＋3y 取得最小值，则2a ＋3(1－a )＝2，a ＝1.3.(2020·安徽省考试试题)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0x －3y ＋1≤0，3x －y －5≥0则z ＝2x －y 的最小值为 ．【解析】：法一：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，作出直线2x －y ＝0，平移该直线，由图可知当直线经过点A 时，目标函数z ＝2x －y 取得最小值．由⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －5＝0x ＋y －7＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝4，即A (3，4)，所以z min ＝2×3－4＝2.法二：易知目标函数z ＝2x －y 的最小值在可行域的顶点处取得，由⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －5＝0x ＋y －7＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝4，由⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －5＝0x －3y ＋1＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝1，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7＝0x －3y ＋1＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5y ＝2，所以可行域的顶点坐标分别为(3，4)，(2，1)，(5，2)，代入目标函数得对应的z 的值为2，3，8，所以z 的最小值为2.4．(2020·郑州市第二次质量预测)设实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋10≤0x ＋2≥0x ＋2y －5≤0，则z ＝y x的取值范围为 ．【解析】：画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．z ＝yx 表示平面区域内的点与坐标原点O 的连线的斜率．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5＝0x －3y ＋10＝0，得 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝3，即A (－1，3)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2x －3y ＋10＝0，得 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2y ＝83，即B ⎝⎛⎭⎫－2，83. 所以z max ＝k OB ＝83－2＝－43，z min ＝k OA ＝3－1＝－3，所以z ＝yx 的取值范围为⎣⎡⎦⎤－3，－43. 5．已知点A (2，1)，O 是坐标原点，P (x ，y )的坐标满足：⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≤0x －2y ＋3≥0y ≥0，设z ＝OP →·OA →，则z 的最大值是________．【解析】由题意，作出可行域如图中阴影部分所示．z ＝OP →·OA →＝2x ＋y ，作出直线2x ＋y ＝0并平移，可知当直线过点C 时，z 取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝0x －2y ＋3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝2，即C (1，2)，则z 的最大值是4. 6．(2019·湖北“四地七校”联考)若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，2x －y －5≤0，x ＋y －4≥0，则z ＝x ＋2y －4的最大值是________．【解析】画出x ，y 满足的可行域，如图中阴影部分所示，由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2＝0，2x －y －5＝0，解得点B (7,9)，则目标函数z ＝x ＋2y －4经过点B (7,9)时，z 取得最大值为7＋18－4＝21.7．(2019·河南安阳)已知向量a ＝(2,3)，b ＝(x ，y )，且变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，y ≤x ，x ＋y －3≤0，则z ＝a ·b 的最大值为________．【解析】 a ·b ＝2x ＋3y ，作出题中可行域，如图①OAB 内部(含边界)，作直线l ：2x ＋3y ＝0，向上平移直线l .当直线过点A ⎪⎭⎫⎝⎛2323，时，z ＝2x ＋3y ＝152为最大值．8．(2019·厦门模拟)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5≥0，x －3y ＋5≥0，2x －y －5≤0，则z ＝x 2＋y 2的最大值为________．【解析】不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5≥0，x －3y ＋5≥0，2x －y －5≤0所表示的平面区域如图中阴影部分所示z ＝x 2＋y 2表示可行域内的点到原点距离的平方．z ＝x 2＋y 2的最大值对应的点为A .由⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋5＝0，2x －y －5＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝3，则A (4,3)．所以z ＝x 2＋y 2的最大值为|OA |2＝42＋32＝25，因此z ＝x 2＋y 2的最大值为25.9.已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，y －x ＋1≤0，y －2x ＋4≥0.若目标函数z ＝y －ax (a ≠0)取得最大值时的最优解有无数个，则z ＝y －ax (a ≠0)的最小值为________．【解析】作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．易得A (1,0)，B (2,0)，C (3,2)，由z ＝y －ax (a ≠0)得y ＝ax ＋z .当a >0时，作直线l 0：y ＝ax ＋z ，平移l 0可知，当y ＝ax ＋z 与x －y －1＝0重合时，z 取得最大值的最优解有无数个，此时a ＝1.当直线过B 点时，z 有最小值z min ＝0－1×2＝－2；当a <0时，数形结合知，z ＝y －ax 取得最大值的最优解不可能无限多．综上可知z min ＝－2.10．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧6x ＋y －1≥0，x －y －3≤0，y ≤0，则z ＝y －ln x 的取值范围为________．【答案】：[－2，ln 6]【解析】：作出可行域如图(阴影部分)其中A (16，0)，B (3，0)，C (47，－177)． 由图可知，当y ＝ln x ＋z 过点A (16，0)时z 取得最大值， z max ＝0－ln 16＝ln 6.设y ＝ln x ＋z 的图象与直线y ＝x －3 相切于点M (x 0，y 0)，由y ＝ln x ＋z 得y ′＝1x ，令1x 0＝1得x 0＝1①⎪⎭⎫ ⎝⎛374，， 故y ＝ln x ＋z 与y ＝x －3切于点M (1，－2)时，z 取得最小值，z min ＝－2－ln 1＝－2.所以z ＝y －ln x 的取值范围为[－2，ln 6]．11.(2020·浙江杭州模拟)若存在实数x ，y ，m 使不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x －3y ＋2≤0，x ＋y －6≤0与不等式x －2y ＋m ≤0都成立，则实数m 的取值范围是________【解析】：作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x －3y ＋2≤0，x ＋y －6≤0表示的平面区域，如图中阴影部分所示，其中A (4，2)，B (1，1)，C (3，3)．设z ＝x －2y ，将直线l ：z ＝x －2y 进行平移，当l 经过点A 时，目标函数z 达到最大值，可得z max ＝4－2×2＝0，当l 经过点C 时，目标函数z 达到最小值，可得z min ＝3－2×3＝－3，因此z ＝x －2y 的取值范围为[－3，0]．因为存在实数m ，使不等式x －2y ＋m ≤0成立，即存在实数m ，使x －2y ≤－m 成立，所以－m 大于或等于z 的最小值，即－3≤－m ，解得m ≤3，.12．(2020·安徽合肥一模)某企业生产甲、乙两种产品，销售利润分别为2千元/件、1千元/件．甲、乙两种产品都需要在A ，B 两种设备上加工，生产一件甲产品需用A 设备2小时，B 设备6小时；生产一件乙产品需用A 设备3小时，B 设备1小时．A ，B 两种设备每月可使用时间数分别为480小时、960小时，若生产的产品都能及时售出，则该企业每月利润的最大值为 千克．【解析】：设生产甲产品x 件，生产乙产品y 件，利润z 千元，则⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ≤480，6x ＋y ≤960，z ＝2x ＋y ，作出⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，2x ＋3y ≤480，6x ＋y ≤960表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线2x ＋y ＝0，平移该直线，当直线z ＝2x ＋y 经过直线2x ＋3y ＝480与直线6x ＋y ＝960的交点(150，60)(满足x ①N ，y ①N )时，z 取得最大值，为360.三 解答题1．已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ＞0x ＋y ＋1＜03x ＋y ＋9＞0，记点(x ，y )对应的平面区域为P .(1)设z ＝y ＋1x ＋3，求z 的取值范围； (2)过点(－5，1)的一束光线，射到x 轴被反射后经过区域P ，当反射光线所在直线l 经过区域P 内的整点(即横纵坐标均是整数的点)时，求直线l 的方程．【解析】：平面区域如图中阴影部分所示，易得A ，B ，C 三点的坐标分别为A (－4，3)，B (－3，0)， C (－1，0)．(1)由z ＝y ＋1x ＋3知z 的值即是定点P (－3，－1)与区域内的点Q (x ，y )连接的直线的斜率，当直线过A (－4，3)时，z ＝－4；当直线过C (－1，0)时，z ＝12.故z 的取值范围是(－∞，－4)①⎝⎛⎭⎫12，＋∞. (2)过点(－5，1)的光线被x 轴反射后的光线所在直线必经过点(－5，－1)，由题设可得区域内坐标为整数点仅有点(－3，1)，故直线l 的方程是y －1（－1）－1＝（x ＋3）（－5）＋3，即x －y ＋4＝0. 2．某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A ，B ，C 三种主要原料．生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示： 原料现有A 种原料200吨，B 种原料1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元．分别用x ，y 表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数．(1)用x ，y 列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；(2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润．【解析】：(1)由已知得，x ，y 满足的数学关系式为⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ≤200，8x ＋5y ≤360，3x ＋10y ≤300，x ≥0，y ≥0.设二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分．(2)设利润为z 万元，则目标函数为z ＝2x ＋3y .考虑z ＝2x ＋3y ，将它变形为y ＝－23x ＋z 3， 这是斜率为－23，随z 变化的一族平行直线.z 3为直线在y 轴上的截距，当z 3取最大值时，z 的值最大．又因为x ，y 满足约束条件，所以由图2可知，当直线z ＝2x ＋3y 经过可行域上的点M 时，截距z 3最大，即z 最大． 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ＝200，3x ＋10y ＝300，得点M 的坐标为(20，24)．所以z max ＝2×20＋3×24＝112. 即生产甲种肥料20车皮、乙种肥料24车皮时利润最大，且最大利润为112万元．。

第七章不等式 7.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题理1．二元一次不等式表示的平面区域(1)一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的平面区域．我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线．当我们在坐标系中画不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，则把边界直线画成实线．(2)由于对直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，把它的坐标(x，y)代入Ax＋By＋C，所得的符号都相同，所以只需在此直线的同一侧取一个特殊点(x0，y0)作为测试点，由Ax0＋By0＋C的符号即可判断Ax＋By＋C>0表示的直线是Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域．2．线性规划相关概念名称意义约束条件由变量x，y组成的一次不等式线性约束条件由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组目标函数欲求最大值或最小值的函数线性目标函数关于x，y的一次解析式可行解满足线性约束条件的解可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题3.重要结论画二元一次不等式表示的平面区域的直线定界，特殊点定域：(1)直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线；(2)特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取(0,1)或(1,0)来验证．【知识拓展】1．利用“同号上，异号下”判断二元一次不等式表示的平面区域：对于Ax＋By＋C>0或Ax＋By＋C<0，则有(1)当B (Ax ＋By ＋C )>0时，区域为直线Ax ＋By ＋C ＝0的上方； (2)当B (Ax ＋By ＋C )<0时，区域为直线Ax ＋By ＋C ＝0的下方． 2．最优解和可行解的关系：最优解必定是可行解，但可行解不一定是最优解．最优解不一定唯一，有时唯一，有时有多个． 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的交集．( √ ) (2)不等式Ax ＋By ＋C >0表示的平面区域一定在直线Ax ＋By ＋C ＝0的上方．( × ) (3)点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)在直线Ax ＋By ＋C ＝0同侧的充要条件是(Ax 1＋By 1＋C )(Ax 2＋By 2＋C )>0，异侧的充要条件是(Ax 1＋By 1＋C )(Ax 2＋By 2＋C )<0.( √ )(4)第二、四象限表示的平面区域可以用不等式xy <0表示．( √ ) (5)线性目标函数的最优解是唯一的．( × )(6)最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行解．( √ )(7)目标函数z ＝ax ＋by (b ≠0)中，z 的几何意义是直线ax ＋by －z ＝0在y 轴上的截距．( × )1．下列各点中，不在x ＋y －1≤0表示的平面区域内的是( ) A ．(0,0) B ．(－1,1) C ．(－1,3) D ．(2，－3) 答案 C解析 把各点的坐标代入可得(－1,3)不适合，故选C. 2．(教材改编)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋6<0，x －y ＋2≥0表示的平面区域是( )答案 C解析 用特殊点代入，比如(0,0)，容易判断为C. 3．(2016·)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≤0，x ＋y ≤3，x ≥0，则2x ＋y 的最大值为( )A ．0B ．3C ．4D ．5 答案 C解析 不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示．令z ＝2x ＋y ，则y ＝－2x ＋z ，作直线2x ＋y ＝0并平移，当直线过点A 时，截距最大，即z 取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝0，x ＋y ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，所以A 点坐标为(1,2)，可得2x ＋y 的最大值为2×1＋2＝4.4．(教材改编)已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y －2≥0，x ＋y －4≤0，x －3y ＋3≤0，则z ＝－3x ＋y 的最小值为________．答案 0解析 画出可行域为阴影部分．z ＝－3x ＋y ，即y ＝3x ＋z 过交点A 时，z 最小．解⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y －2＝0，x ＋y －4＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3，∴z min ＝－3×1＋3＝0.5．(教材改编)投资生产A 产品时，每生产100吨需要资金200万元，需场地200平方米；投资生产B 产品时，每生产100吨需要资金300万元，需场地100平方米．现某单位可使用资金1 400万元，场地900平方米，则上述要求可用不等式组表示为__________________(用x ，y 分别表示生产A ，B 产品的吨数，x 和y 的单位是百吨)．答案 ⎩⎪⎨⎪⎧200x ＋300y ≤1 400，200x ＋100y ≤900，x ≥0，y ≥0解析 用表格列出各数据A B 总数 产品吨数 xy资金 200x 300y 1 400 场地200x100y900所以不难看出，x ≥0，y ≥0,200x ＋300y ≤1 400,200x ＋100y ≤900.题型一 二元一次不等式(组)表示的平面区域 命题点1 不含参数的平面区域问题例1 (1)不等式(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)，应是下列图形中的( )(2)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域的面积等于( )A.32B.23 C.43D.34答案 (1)C (2)C解析 (1)(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，x ＋y －3≤0，或⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≤0，x ＋y －3≥0.画出平面区域后，只有C 符合题意．(2)由题意得不等式组表示的平面区域如图阴影部分，A (0，43)，B (1,1)，C (0,4)，则△ABC的面积为12×1×83＝43.故选C.命题点2 含参数的平面区域问题例2 (1)(2015·某某)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x ＋2y －2≥0，x －y ＋2m ≥0表示的平面区域为三角形，且其面积等于43，则m 的值为( )A ．－3B ．1 C.43D ．3(2)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域被直线y ＝kx ＋43分为面积相等的两部分，则k 的值是______________________________． 答案 (1)B (2)73解析 (1)不等式组表示的平面区域如图，则图中A 点纵坐标y A ＝1＋m ，B 点纵坐标y B ＝2m ＋23，C 点横坐标x C ＝－2m ，∴S △ABD ＝S △ACD －S △BCD ＝12×(2＋2m )×(1＋m )－12×(2＋2m )×2m ＋23＝m ＋123＝43， ∴m ＝1或m ＝－3，又∵当m ＝－3时，不满足题意，应舍去，∴m ＝1. (2)不等式组表示的平面区域如图所示．由于直线y ＝kx ＋43过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43.因此只有直线过AB 中点时，直线y ＝kx ＋43能平分平面区域． 因为A (1,1)，B (0,4)，所以AB 中点D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，52.当y ＝kx ＋43过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，52时，52＝k 2＋43， 所以k ＝73.思维升华 (1)求平面区域的面积：①首先画出不等式组表示的平面区域，若不能直接画出，应利用题目的已知条件转化为不等式组问题，从而再作出平面区域；②对平面区域进行分析，若为三角形应确定底与高，若为规则的四边形(如平行四边形或梯形)，可利用面积公式直接求解，若为不规则四边形，可分割成几个三角形分别求解再求和即可．(2)利用几何意义求解的平面区域问题，也应作出平面图形，利用数形结合的方法去求解．(1)若函数y ＝2x图象上存在点(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，x ≥m ，则实数m 的最大值为( )A.12B ．1 C.32D ．2 (2)已知约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y －4≤0，kx －y ≤0表示面积为1的直角三角形区域，则实数k 的值为( )A ．1B ．－1C ．0D ．－2 答案 (1)B (2)A解析 (1)在同一直角坐标系中作出函数y ＝2x的图象及⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0所表示的平面区域，如图阴影部分所示．由图可知，当m ≤1时，函数y ＝2x的图象上存在点(x ，y )满足约束条件， 故m 的最大值为1.(2)由于x ＝1与x ＋y －4＝0不可能垂直，所以只可能x ＋y －4＝0与kx －y ＝0垂直或x ＝1与kx －y ＝0垂直．①当x ＋y －4＝0与kx －y ＝0垂直时，k ＝1，检验知三角形区域面积为1，即符合要求． ②当x ＝1与kx －y ＝0垂直时，k ＝0，检验不符合要求． 题型二 求目标函数的最值问题 命题点1 求线性目标函数的最值例3 (2016·全国丙卷)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x －2y ≤0，x ＋2y －2≤0，则z ＝x ＋y 的最大值为________． 答案 32解析 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x －2y ≤0，x ＋2y －2≤0的可行域为以A (－2，－1)，B (0,1)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12为顶点的三角形内部及边界，则y ＝－x ＋z 过点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12时z 取得最大值32. 命题点2 求非线性目标函数的最值例4 实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x ≥0，y ≤2.(1)若z ＝yx，求z 的最大值和最小值，并求z 的取值X 围； (2)若z ＝x 2＋y 2，求z 的最大值与最小值，并求z 的取值X 围．解 由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x ≥0，y ≤2，作出可行域，如图中阴影部分所示．(1)z ＝yx表示可行域内任一点与坐标原点连线的斜率，因此y x的X 围为直线OB 的斜率到直线OA 的斜率(直线OA 的斜率不存在，即z max 不存在)．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，y ＝2，得B (1,2)，∴k OB ＝21＝2，即z min ＝2，∴z 的取值X 围是[2，＋∞)．(2)z ＝x 2＋y 2表示可行域内的任意一点与坐标原点之间距离的平方． 因此x 2＋y 2的最小值为OA 2，最大值为OB 2.由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，x ＝0，得A (0,1)，∴OA 2＝(02＋12)2＝1，OB 2＝(12＋22)2＝5， ∴z 的取值X 围是[1,5]． 引申探究 1．若z ＝y －1x －1，求z 的取值X 围． 解 z ＝y －1x －1可以看作过点P (1,1)及(x ，y )两点的直线的斜率． ∴z 的取值X 围是(－∞，0]．2．若z ＝x 2＋y 2－2x －2y ＋3.求z 的最大值、最小值． 解 z ＝x 2＋y 2－2x －2y ＋3 ＝(x －1)2＋(y －1)2＋1，而(x －1)2＋(y －1)2表示点P (1,1)与Q (x ，y )的距离的平方PQ 2，PQ 2max ＝(0－1)2＋(2－1)2＝2，PQ 2min ＝(|1－1＋1|12＋－12)2＝12， ∴z max ＝2＋1＝3，z min ＝12＋1＝32.命题点3 求参数值或取值X 围例5 (1)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥1，y ≤2x －1，x ＋y ≤m ，如果目标函数z ＝x －y 的最小值为－1，则实数m ＝________.(2)已知a >0，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤3，y ≥a x －3，若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a ＝________. 答案 (1)5 (2)12解析 (1)显然，当m <2时，不等式组表示的平面区域是空集；当m ＝2时，不等式组表示的平面区域只包含一个点A (1,1)．此时z min ＝1－1＝0≠－1. 显然都不符合题意．故必有m >2，此时不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥1，y ≤2x －1，x ＋y ≤m所表示的平面区域如图所示，平面区域为一个三角形区域， 其顶点为A (1,1)，B (m －1,1)，C (m ＋13，2m －13)．由图可知，当直线y ＝x －z 经过点C 时，z 取得最小值，最小值为m ＋13－2m －13＝2－m3.由题意，得2－m3＝－1，解得m ＝5.(2)作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分)．易知直线z ＝2x ＋y 过交点A 时，z 取最小值，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝a x －3，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2a ，∴z min ＝2－2a ＝1，解得a ＝12.思维升华 (1)先准确作出可行域，再借助目标函数的几何意义求目标函数的最值． (2)当目标函数是非线性的函数时，常利用目标函数的几何意义来解题，常见代数式的几何意义：①x 2＋y 2表示点(x ，y )与原点(0,0)的距离，x －a2＋y －b2表示点(x ，y )与点(a ，b )的距离；②y x 表示点(x ，y )与原点(0,0)连线的斜率，y －bx －a表示点(x ，y )与点(a ，b )连线的斜率． (3)当目标函数中含有参数时，要根据临界位置确定参数所满足的条件．(1)变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0，x －2y ＋2≥0，mx －y ≤0.若z ＝2x －y 的最大值为2，则实数m 等于( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2(2)当实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4≤0，x －y －1≤0，x ≥1时，1≤ax ＋y ≤4恒成立，则实数a 的取值X 围是________．答案 (1)C (2)[1，32]解析 (1)对于选项A ，当m ＝－2时，可行域如图①，直线y ＝2x －z 的截距可以无限小，z不存在最大值，不符合题意，故A 不正确；对于选项B ，当m ＝－1时，mx －y ≤0等同于x ＋y ≥0，可行域如图②，直线y ＝2x －z 的截距可以无限小，z 不存在最大值，不符合题意，故B 不正确；对于选项C ，当m ＝1时，可行域如图③，当直线y ＝2x －z 过点A (2,2)时截距最小，z 最大为2，满足题意，故C 正确；对于选项D ，当m ＝2时，可行域如图④，直线y ＝2x －z 与直线OB 平行，截距最小值为0，z 最大为0，不符合题意，故D 不正确．(2)画可行域如图所示，设目标函数z ＝ax ＋y ，即y ＝－ax ＋z ，要使1≤z ≤4恒成立，则a >0，数形结合知，满足⎩⎪⎨⎪⎧1≤2a ＋1≤4，1≤a ≤4即可，解得1≤a ≤32.所以a 的取值X 围是[1，32]．题型三 线性规划的实际应用问题例6 某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时．若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元． (1)试用每天生产的卫兵个数x 与骑兵个数y 表示每天的利润ω(元)； (2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？ 解 (1)依题意每天生产的伞兵个数为100－x －y ， 所以利润ω＝5x ＋6y ＋3(100－x －y )＝2x ＋3y ＋300.(2)约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋7y ＋4100－x －y ≤600，100－x －y ≥0，x ≥0，y ≥0，x 、y ∈N .整理得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ≤200，x ＋y ≤100，x ≥0，y ≥0，x 、y ∈N .目标函数为ω＝2x ＋3y ＋300，作出可行域，如图所示，作初始直线l 0：2x ＋3y ＝0，平移l 0，当l 0经过点A 时，ω有最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝200，x ＋y ＝100，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝50，y ＝50.∴最优解为A (50,50)，此时ωmax ＝550元．故每天生产卫兵50个，骑兵50个，伞兵0个时利润最大，且最大利润为550元． 思维升华 解线性规划应用问题的一般步骤(1)审题：仔细阅读材料，抓住关键，准确理解题意，明确有哪些限制条件，借助表格或图形理清变量之间的关系．(2)设元：设问题中起关键作用(或关联较多) 的量为未知量x ，y ，并列出相应的不等式组和目标函数．(3)作图：准确作出可行域，平移找点(最优解)． (4)求解：代入目标函数求解(最大值或最小值)． (5)检验：根据结果，检验反馈．某电视机厂计划在下一个生产周期内生产两种型号电视机，每台A 型或B 型电视机所得利润分别为6和4个单位，而生产一台A 型和B 型电视机所耗原料分别为2和3个单位，所需工时分别为4和2个单位，如果允许使用的原料为100个单位，工时为120个单位，且A 型和B 型电视机产量分别不低于5台和10台，应当生产每种类型电视机多少台，才能使利润最大？解 设生产A 型电视机x 台，B 型电视机y 台，则根据已知条件知线性约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ≤100，4x ＋2y ≤120，x≥5，y ≥10，x ，y ∈N ，即⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ≤100，2x ＋y ≤60，x ≥5，y ≥10，x ，y ∈N .线性目标函数为z ＝6x ＋4y .根据约束条件作出可行域如图中阴影部分整点所示，作直线l 0：3x ＋2y ＝0，当直线l 0平移至点A 时，z 取最大值，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝100，2x ＋y ＝60，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝20，y ＝20.所以生产两种类型电视机各20台时，所获利润最大．8．含参数的线性规划问题典例 (1)在直角坐标系xOy 中，若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，y ≤2x ，y ≤k x －1－1表示一个三角形区域，则实数k 的取值X 围是________．(2)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≤2，y ≥0，若z ＝ax ＋y 的最大值为4，则a ＝________.错解展示解析 (1)如图，直线y ＝k (x －1)－1过点(1，－1)，作出直线y ＝2x ，当k <－1或0<k <2或k >2时，不等式组表示一个三角形区域．(2)由不等式组表示的可行域，可知z ＝ax ＋y 在点A (1,1)处取到最大值4， ∴a ＋1＝4，∴a ＝3.答案 (1)(－∞，－1)∪(0,2)∪(2，＋∞) (2)3 现场纠错解析 (1)直线y ＝k (x －1)－1过定点(1，－1)，当这条直线的斜率为负值时，该直线与y 轴的交点必须在坐标原点上方，即直线的斜率为(－∞，－1)，只有此时可构成三角形区域．(2)作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，x ＋y ＝2，得A (1,1)．z ＝ax ＋y 等价于y ＝－ax ＋z ，因为z 的最大值为4，即直线y ＝－ax ＋z 的纵截距最大为4. 若z ＝ax ＋y 在A (1,1)处取得最大值， 则纵截距必小于2，故只有直线y ＝－ax ＋z 过点(2,0)且－a <0时符合题意， ∴4＝a ×2＋0，即a ＝2. 答案 (1)(－∞，－1) (2)2纠错心得 (1)含参数的平面区域问题，要结合直线的各种情况进行分析，不能凭直觉解答． (2)目标函数含参的线性规划问题，要根据z 的几何意义确定最优解，切忌搞错符号．1．若点(m,1)在不等式2x ＋3y －5>0所表示的平面区域内，则m 的取值X 围是( ) A ．m ≥1 B．m ≤1 C．m <1 D ．m >1 答案 D解析 由2m ＋3－5>0，得m >1.2．若函数y ＝log 2x 的图象上存在点(x ，y )，满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，2x －y ＋2≥0，y ≥m ，则实数m 的最大值为( ) A.12B ．1 C.32 D ．2 答案 B解析 如图，作出不等式组表示的可行域，当函数y ＝log 2x 的图象过点(2,1)时，实数m 有最大值1.3．直线2x ＋y －10＝0与不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x －y ≥－2，4x ＋3y ≤20表示的平面区域的公共点有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个 答案 B解析 由不等式组画出可行域的平面区域如图(阴影部分)．直线2x ＋y －10＝0恰过点A (5,0)，且其斜率k ＝－2<k AB ＝－43，即直线2x ＋y －10＝0与平面区域仅有一个公共点A (5,0)．4．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0，x ＋y ≤a表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值X 围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞B ．(0,1]C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，43D ．(0,1]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞ 答案 D解析 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0表示的平面区域如图(阴影部分)，求A ，B 两点的坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23和(1,0)，若原不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值X 围是0＜a ≤1或a ≥43.5．(2016·某某)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，2x ＋3y －6≥0，3x ＋2y －9≤0，则目标函数z ＝2x ＋5y 的最小值为( )A ．－4B ．6C ．10D ．17 答案 B解析 由约束条件作出可行域如图所示，目标函数可化为y ＝－25x ＋15z ，在图中画出直线y ＝－25x ，平移该直线，易知经过点A 时z 最小． 又知点A 的坐标为(3,0)， ∴z min ＝2×3＋5×0＝6.故选B.6．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －3y ＋1≤0，3x －y －5≥0，则z ＝2x －y 的最大值为( )A ．10B ．8C ．3D ．2 答案 B解析 画出可行域如图所示．由z ＝2x －y ，得y ＝2x －z ，欲求z 的最大值， 可将直线y ＝2x 向下平移，当经过区域内的点，且满足在y 轴上的截距－z 最小时， 即得z 的最大值，如图，可知当过点A 时z 最大，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7＝0，x －3y ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝2，即A (5,2)，则z max ＝2×5－2＝8.7．某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A 原料1千克、B 原料2千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克、B 原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A 、B 原料都不超过12千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是( )A ．1 800元B ．2 400元C ．2 800元D ．3 100元 答案 C解析 设每天生产甲种产品x 桶，乙种产品y 桶，则根据题意得x 、y 满足的约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ∈N ，y ≥0，y ∈N ，x ＋2y ≤12，2x ＋y ≤12.设获利z 元， 则z ＝300x ＋400y . 画出可行域如图．画出直线l ：300x ＋400y ＝0， 即3x ＋4y ＝0.平移直线l ，从图中可知，当直线过点M 时， 目标函数取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝12，2x ＋y ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝4， 即M 的坐标为(4,4)，∴z max ＝300×4＋400×4＝2 800(元)．故选C.8．(2017·枣庄月考)已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x >0，4x ＋3y ≤4，y ≥0，则ω＝y ＋1x的最小值是( ) A ．－2 B ．2 C ．－1 D ．1 答案 D解析 作出不等式组对应的平面区域如图，ω＝y ＋1x的几何意义是区域内的点P (x ，y )与定点A (0，－1)所在直线的斜率，由图象可知当P 位于点D (1,0)时，直线AP 的斜率最小，此时ω＝y ＋1x 的最小值为－1－00－1＝1. 故选D.*9.已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥1，x －y ≤1，y －1≤0，若z ＝x －2y 的最大值与最小值分别为a ，b ，且方程x 2－kx ＋1＝0在区间(b ，a )上有两个不同实数解，则实数k 的取值X 围是( )A ．(－6，－2)B ．(－3,2)C ．(－103，－2)D ．(－103，－3)答案 C解析 作出可行域，如图所示，则目标函数z ＝x －2y 在点(1,0)处取得最大值1，在点(－1,1)处取得最小值－3， ∴a ＝1，b ＝－3，从而可知方程x 2－kx ＋1＝0在区间(－3，1)上有两个不同实数解． 令f (x )＝x 2－kx ＋1，则⎩⎪⎨⎪⎧f －3>0，f 1>0，－3<k2<1，Δ＝k 2－4>0⇒－103<k <－2，故选C.10．若关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x ＋y ≥0，kx －y ＋1≥0表示的平面区域是等腰直角三角形，则其表示的区域面积为________． 答案 12或14解析 直线kx －y ＋1＝0过点(0,1)，要使不等式组表示的区域为直角三角形，只有直线kx －y ＋1＝0垂直于y 轴(如图(1))或与直线x ＋y ＝0垂直(如图(2))时才符合题意．所以S ＝12×1×1＝12或S ＝12×22×22＝14.11．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －3≤0，x ＋3y －3≥0，y －1≤0，若目标函数z ＝ax ＋y (其中a >0)仅在点(3,0)处取得最大值，则a 的取值X 围是__________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞解析 画出x 、y 满足约束条件的可行域如图所示，要使目标函数z ＝ax ＋y 仅在点(3,0)处取得最大值，则直线y ＝－ax ＋z 的斜率应小于直线x ＋2y －3＝0的斜率，即－a <－12，∴a >12.12．(2016·某某中学、某某一中联考)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥x ，4x ＋3y ≤12，则x ＋2y ＋3x ＋1的取值X 围是________． 答案 [3,11] 解析 设z ＝x ＋2y ＋3x ＋1＝x ＋1＋2y ＋1x ＋1＝1＋2·y ＋1x ＋1， 设z ′＝y ＋1z ＋1，则z ′的几何意义为动点P (x ，y )到定点D (－1，－1)的斜率．画出可行域如图阴影部分所示，则易得z ′∈[k DA ，k DB ]，易得z ′∈[1,5]，∴z ＝1＋2·z ′∈[3,11]．*13.给定区域D ：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋4y ≥4，x ＋y ≤4，x ≥0，令点集T ＝{(x 0，y 0)∈D |x 0，y 0∈Z ，(x 0，y 0)是z ＝x ＋y在D 上取得最大值或最小值的点}，则T 中的点共确定________条不同的直线． 答案 6解析 作出图形可知，△ABF 所围成的区域即为区域D ，其中A (0,1)是z 在D 上取得最小值的点，B ，C ，D ，E ，F 是z 在D 上取得最大值的点，则T 中的点共确定AB ，AC ，AD ，AE ，AF ，BF 共6条不同的直线．14.已知D 是以点A (4,1)，B (－1，－6)，C (－3，2)为顶点的三角形区域(包括边界与内部)．如图所示．(1)写出表示区域D 的不等式组；(2)设点B (－1，－6)，C (－3,2)在直线4x －3y －a ＝0的异侧，求a 的取值X 围． 解 (1)直线AB ，AC ，BC 的方程分别为7x －5y －23＝0，x ＋7y －11＝0,4x ＋y ＋10＝0.原点(0,0)在区域D 内，故表示区域D 的不等式组为⎩⎪⎨⎪⎧ 7x －5y －23≤0，x ＋7y －11≤0，4x ＋y ＋10≥0.(2)根据题意有[4×(－1)－3×(－6)－a ][4×(－3)－3×2－a ]<0，即(14－a )(－18－a )<0，解得－18<a <14.故a 的取值X 围是(－18,14)．15．某客运公司用A 、B 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每辆车每天往返一次．A 、B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1 600元/辆和2 400元/辆，公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B 型车不多于A 型车7辆．若每天运送人数不少于900，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A 型车、B 型车各多少辆？解 设A 型、B 型车辆分别为x 、y 辆，相应营运成本为z 元，则z ＝1 600x ＋2 400y .由题意，得x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ≤21，y ≤x ＋7，36x ＋60y ≥900，x ，y ≥0，x ，y ∈N .作出可行域如图阴影部分所示，可行域的三个顶点坐标分别为P (5，12)，Q (7,14)，R (15,6)．由图可知，当直线z ＝1 600x ＋2 400y 经过可行域的点P 时，直线z ＝1 600x ＋2 400y 在y 轴上的截距z 2 400最小，即z 取得最小值． 故应配备A 型车5辆、B 型车12辆，可以满足公司从甲地去乙地的营运成本最小．。