【高考总复习】2013高考理数人教A版考点特训31

【全程复习方略】湖南省2013版高中数学 1.1集合提能训练 理 新人教A 版(45分钟 100分)一、选择题(每小题6分，共36分)1.(预测题)设全集U=R ，A={x|x(x-2)<0},B={x|y=ln(1-x)}，则A ∩(U B)是( )(A)(-2，1) (B)(1，2)(C)(-2，1］ (D)［1，2)2.(2012·唐山模拟)若集合M={y|y=3x},集合S={x|y=lg(x-1)},则下列各式正确的是( )(A)M ∪S=M (B)M ∪S=S(C)M=S (D)M ∩S=Ø3.(2012·蚌埠模拟)已知集合M={x|y=2x -}，集合N={y|y=x 2-2x+1,x ∈R},则M ∩N=( ) (A){x|x ≤2} (B){x|x ≥2}(C){x|0≤x ≤2} (D)Ø4.设集合A={x||x-a|<1,x ∈R},B={x|1<x<5,x ∈R}.若A ∩B=Ø，则实数a 的取值范围是( )(A){a|0≤a ≤6} (B){a|a ≤2或a ≥4}(C){a|a ≤0或a ≥6} (D){a|2≤a ≤4}5.如图所示，A ，B 是非空集合，定义集合A#B 为阴影部分表示的集合.若x,y∈R,A={x|y=22x x -},B={y|y=3x ,x>0},则A#B 为( )(A){x|0<x<2} (B){x|1<x ≤2}(C){x|0≤x ≤1或x ≥2} (D){x|0≤x ≤1或x>2}6.集合S ⊆{1,2,3,4,5},且满足“若a ∈S ，则6-a ∈S ”，这样的非空集合S 共有( )(A)5个 (B)7个 (C)15个 (D)31个二、填空题(每小题6分，共18分)7.(2012·安庆模拟)设集合A={5，log 2(a+3)}，集合B={a,b}，若A ∩B={2}，则A ∪B=_______.8.已知集合A={x|x ≤a},B={x|1≤x ≤2},且A ∪R B=R,则实数a 的取值范围是________. 9.已知集合A={a,b,2},B={2,b 2,2a},且A ∩B=A ∪B ，则a=_______.三、解答题(每小题15分，共30分)10.已知集合A={-4，2a-1，a2},B={a-5,1-a,9},分别求适合下列条件的a的值.(1)9∈(A∩B);(2){9}=A∩B.11.(易错题)已知集合A={x|a-1<x<2a+1}，B={x|0<x<1}，若A∩B=Ø，求实数a的取值范围. 【探究创新】(16分)设集合A={x|-1≤x≤2},B={x|x2-(2m+1)x+2m<0}.(1)当m<12时，化简集合B；(2)若A∪B=A，求实数m的取值范围；(3)若R A∩B中只有一个整数，求实数m的取值范围.答案解析1.【解析】选D.由x(x-2)<0得0<x<2，∴A={x|0<x<2},由1-x>0得x<1，∴B={x|x<1},∴U B={x|x≥1},∴A∩(U B)={x|1≤x<2}.2.【解析】选A.∵M={y|y=3x}={y|y>0},S={x|y=lg(x-1)}={x|x>1},∴M∪S=M.3.【解析】选C.由2-x≥0得x≤2，∴M={x|x≤2},∵y=x2-2x+1=(x-1)2≥0.∴N={y|y≥0},∴M∩N={x|0≤x≤2}.4.【解析】选C.由|x-a|<1得a-1<x<a+1,又A∩B=Ø，所以a+1≤1或a-1≥5,解得a≤0或a≥6.5.【解析】选D.由2x-x2≥0得0≤x≤2,∴A={x|0≤x≤2},由x>0得3x>1,∴B={y|y>1},∴A∪B={x|x≥0},A ∩B={x|1<x≤2},令U=A∪B,则U(A∩B)={x|0≤x≤1或x>2}.6.【解析】选B.若满足条件,则单元素的集合为{3};两个元素的集合为{1,5}，{2,4};三个元素的集合为{1,3,5},{2,3,4};四个元素的集合为{1,2,4,5}；五个元素的集合为{1,2,3,4,5}，共有7个.7.【解析】∵A∩B={2},∴2∈A,则log2(a+3)=2.∴a=1,∴b=2.∴A={5,2},B={1,2}.∴A∪B={1,2,5}.答案:{1，2，5}8.【解析】∵R B=(-∞，1)∪(2，+∞)且A∪R B=R，∴{x|1≤x≤2}⊆A，∴a≥2.答案：［2，+∞)9.【解题指南】解答本题有两个关键点：一是A∩B=A∪B⇔A=B;二是由A=B，列方程组求a,b的值.【解析】由A ∩B=A ∪B 知A=B ，∴2a 2a b b a b =⎧⎪=⎨⎪≠⎩或2a b b 2a a b ⎧=⎪=⎨⎪≠⎩解得a 0b 1=⎧⎨=⎩或1a 41b 2⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴a=0或a=14. 答案：0或1410.【解析】(1)∵9∈(A ∩B),∴9∈A 且9∈B,∴2a-1=9或a 2=9,∴a=5或a=-3或a=3,经检验a=5或a=-3符合题意.∴a=5或a=-3.(2)∵{9}=A ∩B ，∴9∈A 且9∈B ，由(1)知a=5或a=-3当a=-3时，A={-4，-7，9}，B={-8，4，9}，此时A ∩B={9},当a=5时,A={-4,9,25},B={0,-4,9},此时A ∩B={-4，9},不合题意.综上知a=-3.【变式备选】已知全集S={1，3，x 3+3x 2+2x},A={1,|2x-1|}，如果S A={0}，则这样的实数x 是否存在？若存在，求出x,若不存在,请说明理由.【解析】∵S A={0},∴0∈S,0∉A,∴x 3+3x 2+2x=0,解得x=0或x=-1，或x=-2.当x=0时，|2x-1|=1不合题意；当x=-1时，|2x-1|=3∈S ，符合题意;当x=-2时，|2x-1|=5∉S,不合题意.综上知，存在实数x=-1符合题意.11.【解析】∵A ∩B=Ø,(1)当A=Ø时，有2a+1≤a-1⇒a ≤-2;(2)当A ≠Ø时，有2a+1>a-1⇒a>-2.又∵A ∩B=Ø，则有2a+1≤0或a-1≥1⇒ a ≤-12或a ≥2,∴-2<a ≤- 12或a ≥2, 由以上可知a ≤- 12或a ≥2. 【方法技巧】集合问题求解技巧(1)解答集合问题,首先要正确理解集合的有关概念,特别是集合中元素的三个特性,对于用描述法给出的集合{x|x ∈P},要紧紧抓住竖线前面的代表元素x 以及它所具有的性质P;要重视图示法的作用,通过数形结合直观解决问题.(2)注意Ø的特殊性,在解题中,若未能指明集合非空时,要考虑到空集的可能性,如A⊆B,则有A=Ø或A≠Ø两种可能,此时应分类讨论.【探究创新】【解析】∵不等式x2-(2m+1)x+2m<0⇔(x-1)(x-2m)<0.(1)当m<12时，2m<1,∴集合B={x|2m<x<1}.(2)若A∪B=A,则B⊆A,∵A={x|-1≤x≤2},①当m<12时,B={x|2m<x<1},此时-1≤2m<1⇒-12≤m<12;②当m=12时,B=Ø,有B⊆A成立;③当m>12时,B={x|1<x<2m},此时1<2m≤2⇒12<m≤1;综上所述，所求m的取值范围是-12≤m≤1.(3)∵A={x|-1≤x≤2}, ∴R A={x|x<-1或x>2},①当m<12时,B={x|2m<x<1},若R A∩B中只有一个整数,则-3≤2m<-2⇒-32≤m<-1;②当m=12时,不符合题意;③当m>12时,B={x|1<x<2m},若R A∩B中只有一个整数,则3<2m≤4,∴32<m≤2.综上知,m的取值范围是-32≤m<-1或32<m≤2.。

考点特训(二十)一、选择题1．(2011年新课标)由曲线y ＝x ，直线y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为( )A.103 B ．4 C.163D ．6解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝x －2，得A (4,2)．则S ＝⎠⎛04(x －x ＋2)d x答案：C2．(2012年福建莆田高三质检)如图，由函数f (x )＝e x －e 的图象，直线x ＝2及x 轴所围成的阴影部分面积等于( )A ．e 2－2e －1B ．e 2－2eC.e 2－e2D ．e 2－2e ＋1解析：面积S ＝⎠⎛12f (x )d x ＝⎠⎛12(e x －e)d x ＝(e x －e x )|21＝(e 2－2e)－(e 1－e)＝e 2－2e.答案：B3．(2012年山西大同市高三学情调研)由直线y ＝2x 及曲线y ＝3－x 2围成的封闭图形的面积为( )A ．2 3B ．9－2 3 C.353D.323答案：D4．设集合P ＝{x |⎠⎛0x (3t 2－10t ＋6)d t ＝0，x >0}，则集合P 的非空子集个数是( )A ．2B ．3C ．7D ．8解析：依题意得⎠⎛0x (3t 2－10t ＋6)d t ＝(t 3－5t 2＋6t )⎪⎪⎪x0＝x 3－5x 2＋6x ＝0，由此解得x ＝0或x ＝2或x ＝3.又x >0，因此集合P ＝{2,3}，集合P 的非空子集的个数是22－1＝3，选B.答案：B5．设函数f (x )＝x m ＋ax 的导函数f ′(x )＝2x ＋1，则⎠⎛12f (－x )d x 的值等于( )A.56B.12C.23D.16解析：由于f (x )＝x m ＋ax 的导函数f ′(x )＝2x ＋1，所以f (x )＝x 2＋x ，于是⎠⎛12f (－x )d x ＝⎠⎛12(x 2－x )d x ＝(13x 3－12x 2)|21＝56. 答案：A6．(2012年东北三校联考)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，－2≤x <0，2cos x ，0≤x ≤π2的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为( )A.32 B ．1 C ．4D.12答案：C 二、填空题7．(2012年河南郑州高三模拟)曲线y ＝cos x (0≤x ≤3π2)与坐标轴所围成的图形面积是________．答案：38．(2012年吉林实验中学高三模拟)设函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，若⎠⎛01f (x )d x ＝f (x 0)，0≤x 0≤1，则x 0的值为________．解析：⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax 2＋c )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 3＋cx |1＝13a ＋c ＝f (x 0)＝ax 20＋c ，∴x 20＝13，x 0＝±33.又0≤x 0≤1，∴x 0＝33. 答案：339．(2012年山东临沂一模)函数f (x )＝x 3－x 2＋x ＋1在点(1,2)处的切线与函数g (x )＝x 2围成的图形的面积等于______．解析：函数的导数为f ′(x )＝3x 2－2x ＋1，所以f ′(1)＝3－2＋1＝2，即切线方程为y －2＝2(x －1)，整理得y ＝2x .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝2x ，解得交点坐标为(0,0)，(2,2)，所以切线与函数g (x )＝x 2围成的图形的面积为⎠⎛02(2x －x 2)d x ＝(x 2－13x 3)|20＝4－83＝43.答案：43 三、解答题10．求下列定积分： (1)⎠⎛0a (3x 2－x ＋1)d x ； (2)⎠⎛12⎝⎛⎭⎪⎫e 2x ＋1x d x . 解：(1)⎠⎛0a(3x 2－x ＋1)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3－12x 2＋x ⎪⎪⎪a＝a 3－12a 2＋a .(2)∵(ln x )′＝1x ，⎝ ⎛⎭⎪⎫12e 2x ′＝e 2x ，∴⎠⎛12(e 2x ＋1x )d x ＝⎠⎛12e 2x d x ＋⎠⎛121x d x＝12e 2x ⎪⎪⎪21＋ln x ⎪⎪⎪21＝12e 4－12e 2＋ln2－ln1 ＝12e 4－12e 2＋ln2.11．已知 f (x )为二次函数，且f (－1)＝2，f ′(0)＝0，⎠⎛01 f (x )d x ＝－2.(1)求 f (x )的解析式；(2)求 f (x )在[－1,1]上的最大值与最小值． 解：(1)设 f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 则f ′(x )＝2ax ＋b . 由f (－1)＝2，f ′(0)＝0， 得⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＋c ＝2b ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2－a b ＝0. ∴ f (x )＝ax 2＋(2－a )．又⎠⎛01 f (x )d x ＝⎠⎛01[ax 2＋(2－a )]d x ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤13ax 3＋(2－a )x ⎪⎪⎪10＝2－23a ＝－2. ∴a ＝6，∴c ＝－4.从而 f (x )＝6x 2－4. (2)∵ f (x )＝6x 2－4，x ∈[－1,1]，所以当x ＝0时， f (x )min ＝－4；当x ＝±1时， f (x )max ＝2.12．一质点在直线上从时刻t ＝0(s)开始以速度v ＝t 2－4t ＋3(m/s)运动．求： (1)在t ＝4 s 的位置；(2)在t ＝4 s 内运动的路程． 解：(1)在时刻t ＝4时该点的位置为 ⎠⎛04(t 2－4t ＋3)d t ＝(13t 3－2t 2＋3t )⎪⎪⎪40＝43(m)，即在t ＝4 s 时刻该质点距出发点43 m.(2)因为v (t )＝t 2－4t ＋3＝(t －1)(t －3)，所以在区间[0,1]及[3,4]上的v (t )≥0， 在区间[1,3]上，v (t )≤0，所以t ＝4 s 时的路程为 S ＝⎠⎛01(t 2－4t ＋3)d t ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎠⎛13(t 2－4t ＋3)d t ＋⎠⎛34(t 2－4t ＋3)d t＝(13t 3－2t 2＋3t )⎪⎪⎪ 10＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪13t 3－2t 2＋3t |31 ＋(13t 3－2t 2＋3t )⎪⎪⎪43＝43＋43＋43＝4(m)即质点在4 s 内运动的路程为4 m. [热点预测]13．(1)(2012年河北正定中学高三第2次月考)如图，设D 是图中边长为4的正方形区域，E 是D 内函数y ＝x 2图象下方的点构成的区域．向D 中随机投一点，则该点落入E 中的概率为( )A.15 B.14 C.13D.12(2)(2012年北京石景山一模)如图，圆O ：x 2＋y 2＝π2内的正弦曲线y ＝sin x 与x 轴围成的区域记为M (图中阴影部分)，随机往圆O 内投一个点A ，则点A 落在区域M 内的概率是________．解析：(1)S 阴影＝2⎠⎛02x 2dx ＝2×13x 3⎪⎪⎪20＝2×83＝163，P ＝16316＝13.(2)阴影部分的面积为2⎠⎛0πsin x d x ＝2(－cos x )|π0＝4，圆的面积为π3，所以点A落在区域M 内的概率是4π3.答案：(1)C (2)4π3。

4-3三角函数的图象与性质闯关密练特训1.(文)(2011·大纲全国卷理)设函数f (x )＝cos ωx (ω>0)，将y ＝f (x )的图象向右平移π3个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于( )A.13 B ．3 C ．6 D ．9[答案] C[解析] 由题意知，π3＝2πω·k (k ∈Z )，∴ω＝6k ，令k ＝1，∴ω＝6.(理)(2012·浙江诸暨质检)函数f (x )＝sin2x ＋3cos2x 的图象可以由函数y ＝2sin2x 的图象经哪种平移得到( )A ．向左平移π12个单位B ．向左平移π6个单位C ．向右平移π12个单位D ．向右平移π6个单位[答案] B[解析] ∵f (x )＝sin2x ＋3cos2x ＝2sin(2x ＋π3)＝2sin2(x ＋π6)，∴f (x )的图象可以由函数y ＝2sin2x 向左平移π6个单位得到，故应选B. 2．(文)(2012·福建文，8)函数f (x )＝sin(x －π4)的图象的一条对称轴是( )A ．x ＝π4B ．x ＝π2C ．x ＝－π4D ．x ＝－π2[答案] C[解析] 本题考查了正弦型函数图象的对称轴问题． 函数f (x )＝sin(x －π4)的图象的对称轴是x －π4＝k π＋π2，k ∈Z ，即x ＝k π＋3π4，k ∈Z . 当k ＝－1时，x ＝－π＋3π4＝－π4.[点评] 正弦(余弦)型函数图象的对称轴过图象的最高点或最低点．(理)(2011·海淀模拟)函数f (x )＝sin(2x ＋π3)图象的对称轴方程可以为( )A ．x ＝π12B ．x ＝5π12C ．x ＝π3D ．x ＝π6[答案] A[解析] 令2x ＋π3＝k π＋π2得x ＝k π2＋π12，k ∈Z ，令k ＝0得x ＝π12，故选A.[点评] f (x )＝sin(2x ＋π3)的图象的对称轴过最高点将选项代入检验，∵2×π12＋π3＝π2，∴选A. 3．(文)(2011·唐山模拟)函数y ＝sin(2x ＋π6)的一个递减区间为( )A ．(π6，2π3)B ．(－π3，π6)C ．(－π2，π2)D ．(π2，3π2)[答案] A[解析] 由2k π＋π2≤2x ＋π6≤2k π＋3π2得，k π＋π6≤x ≤k π＋2π3(k ∈Z )， 令k ＝0得，π6≤x ≤2π3，故选A.(理)(2012·新课标全国理，9)已知ω>0，函数f (x )＝sin(ωx ＋π4)在(π2，π)上单调递减，则ω的取值范围是( )A ．[12，54]B ．[12，34]C ．(0，12]D ．(0,2][答案] A[解析] 本题考查了三角函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质及间接法解题．ω＝2⇒ωx ＋π4∈[5π4，9π4]不合题意，排除D ，ω＝1⇒(ωx ＋π4)∈[3π4，5π4]合题意，排除B ，C.4．(2011·大连模拟)已知函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间[－π3，π4]上的最小值是－2，则ω的最小值为( )A.23B.32 C ．2 D ．3[答案] B[解析] ∵f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间[－π3，π4]上的最小值为－2，∴T 4≤π3，即π2ω≤π3， ∴ω≥32，即ω的最小值为32.5．(文)(2011·吉林一中月考)函数y ＝sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，ω>0,0≤φ<2π)的部分图象如图，则( )A ．ω＝π2，φ＝π4B ．ω＝π3，φ＝π6C ．ω＝π4，φ＝π4D ．ω＝π4，φ＝5π4[答案] C[解析] ∵T 4＝3－1＝2，∴T ＝8，∴ω＝2πT ＝π4.令π4×1＋φ＝π2，得φ＝π4，∴选C. (理)函数y ＝xsin x，x ∈(－π，0)∪(0，π)的图象可能是下列图象中的( )[答案] C[解析] 依题意，函数y ＝xsin x ，x ∈(－π，0)∪(0，π)为偶函数，排除A ，当x ∈(0，π)时，直线y ＝x 的图象在y ＝sin x 上方，所以y ＝xsin x>1，故选C. 6．(文)(2011·课标全国文)设函数f (x )＝sin(2x ＋π4)＋cos(2x ＋π4)，则( ) A ．y ＝f (x )在(0，π2)单调递增，其图象关于直线x ＝π4对称B ．y ＝f (x )在(0，π2)单调递增，其图象关于直线x ＝π2对称C ．y ＝f (x )在(0，π2)单调递减，其图象关于直线x ＝π4对称D ．y ＝f (x )在(0，π2)单调递减，其图象关于直线x ＝π2对称[答案] D[解析] f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝2cos2x . 则函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2单调递减，其图象关于直线x ＝π2对称． (理)(2011·河南五校联考)给出下列命题：①函数y ＝cos(23x ＋π2)是奇函数；②存在实数α，使得sin α＋cos α＝32；③若α、β是第一象限角且α<β，则tan α<tan β；④x ＝π8是函数y ＝sin(2x ＋5π4)的一条对称轴方程；⑤函数y ＝sin(2x ＋π3)的图象关于点(π12，0)成中心对称图形．其中正确命题的序号为( ) A ．①③ B ．②④ C ．①④ D ．④⑤[答案] C[解析] ①y ＝cos(23x ＋π2)⇒y ＝－sin 23x 是奇函数；②由sin α＋cos α＝2sin(α＋π4)的最大值为2<32，所以不存在实数α，使得sin α＋cos α＝32；③α，β是第一象限角且α<β.例如：45°<30°＋360°，但tan45°>tan(30°＋360°)， 即tan α<tan β不成立；④把x ＝π8代入y ＝sin(2x ＋5π4)得y ＝sin 3π2＝－1，所以x ＝π8是函数y ＝sin(2x ＋5π4)的一条对称轴；⑤把x ＝π12代入y ＝sin(2x ＋π3)得y ＝sin π2＝1，所以点(π12，0)不是函数y ＝sin(2x ＋π3)的对称中心．综上所述，只有①④正确．[点评] 作为选择题，判断①成立后排除B 、D ，再判断③(或④)即可下结论．7．(文)函数y ＝cos x 的定义域为[a ，b ]，值域为[－12，1]，则b －a 的最小值为________．[答案]2π3[解析] cos x ＝－12时，x ＝2k π＋2π3或x ＝2k π＋4π3，k ∈Z ，cos x ＝1时，x ＝2k π，k∈Z .由图象观察知，b －a 的最小值为2π3.(理)(2011·江苏南通一模)函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx (x ∈R )，又f (α)＝－2，f (β)＝0，且|α－β|的最小值等于π2，则正数ω的值为________．[答案] 1[解析] f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx ＝2sin(ωx ＋π3)，由f (α)＝－2，f (β)＝0，且|α－β|的最小值等于π2可知，T 4＝π2，T ＝2π，所以ω＝1.8．已知关于x 的方程2sin 2x －3sin2x ＋m －1＝0在x ∈(π2，π)上有两个不同的实数根，则m 的取值范围是________．[答案] －2<m <－1[解析] m ＝1－2sin 2x ＋3sin2x ＝cos2x ＋3sin2x ＝2sin(2x ＋π6)，∵x ∈(π2，π)时，原方程有两个不同的实数根，∴直线y ＝m 与曲线y ＝2sin(2x ＋π6)，x ∈(π2，π)有两个不同的交点，∴－2<m <－1.9．(2011·济南调研)设函数y ＝2sin(2x ＋π3)的图象关于点P (x 0,0)成中心对称，若x 0∈[－π2，0]，则x 0＝________.[答案] －π6[解析] ∵函数y ＝2sin(2x ＋π3)的对称中心是函数图象与x 轴的交点，∴2sin(2x 0＋π3)＝0，∵x 0∈[－π2，0]∴x 0＝－π6.10．(文)(2011·北京文)已知函数f (x )＝4cos x sin(x ＋π6)－1.(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间[－π6，π4]上的最大值和最小值．[解析] (1)因为f (x )＝4cos x sin(x ＋π6)－1＝4cos x (32sin x ＋12cos x )－1 ＝3sin2x ＋2cos 2x －1＝3sin2x ＋cos2x ＝2sin(2x ＋π6)．所以f (x )的最小正周期为π.(2)因为－π6≤x ≤π4，所以－π6≤2x ＋π6≤2π3.于是，当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )取得最大值2；当2x ＋π6＝－π6，即x ＝－π6时，f (x )取得最小值－1.(理)(2011·天津南开中学月考)已知a ＝(sin x ，－cos x )，b ＝(cos x ，3cos x )，函数f (x )＝a ·b ＋32. (1)求f (x )的最小正周期，并求其图象对称中心的坐标； (2)当0≤x ≤π2时，求函数f (x )的值域．[解析] (1)f (x )＝sin x cos x －3cos 2x ＋32＝12sin2x －32(cos2x ＋1)＋32 ＝12sin2x －32cos2x ＝sin(2x －π3)， 所以f (x )的最小正周期为π. 令sin(2x －π3)＝0，得2x －π3＝k π，∴x ＝k π2＋π6，k ∈Z . 故所求对称中心的坐标为(k π2＋π6，0)(k ∈Z )． (2)∵0≤x ≤π2，∴－π3≤2x －π3≤2π3.∴－32≤sin(2x －π3)≤1，即f (x )的值域为[－32，1]. 能力拓展提升11.(文)(2011·苏州模拟)函数y ＝sin x ·|cos x sin x|(0<x <π)的图象大致是( )[答案] B[解析] y ＝sin x ·|cos xsin x|＝⎩⎪⎨⎪⎧cos x ，0<x <π20，x ＝π2－cos x ，π2<x <π.(理)(2011·辽宁文)已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)，y ＝f (x )的部分图象如图，则f (π24)＝( )A ．2＋ 3 B. 3 C.33D ．2－ 3[答案] B[解析] 由图可知：T ＝2×(38π－π8)＝π2，∴ω＝πT＝2，又∵图象过点(38π，0)，∴A ·tan(2×38π＋φ)＝A ·tan(34π＋φ)＝0，∴φ＝π4.又∵图象还过点(0,1)，∴A tan(2×0＋π4)＝A ＝1，∴f (x )＝tan(2x ＋π4)，∴f (π24)＝tan(2×π24＋π4)＝tan(π12＋π4)＝tan π3＝ 3.12．(文)为了使函数y ＝cos ωx (ω>0)在区间[0,1]上至多出现50次最小值，则ω的最大值是( )A ．98π B.1972π C ．99π D ．100π[答案] C[解析] 由题意至多出现50次最小值即至多需用4912个周期，∴992·2πω≥1，∴ω≤99π，故选C.(理)有一种波，其波形为函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x 的图象，若在区间[0，t ](t >0)上至少有2个波谷(图象的最低点)，则正整数t 的最小值是( )A ．5B ．6C ．7D ．8 [答案] C[解析] ∵y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x 的图象在[0，t ]上至少有2个波谷，函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x 的周期T＝4，∴t ≥74T ＝7，故选C.13．(文)(2011·南昌调研)设函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，φ∈(－π2，π2))的最小正周期为π，且其图象关于直线x ＝π12对称，则在下面四个结论中：①图象关于点(π4，0)对称；②图象关于点(π3，0)对称；③在[0，π6]上是增函数；④在[－π6，0]上是增函数中，所有正确结论的编号为________． [答案] ②④[解析] 由最小正周期为π得，2πω＝π，∴ω＝2；再由图象关于直线x ＝π12对称，∴2×π12＋φ＝π2，∴φ＝π3，∴f (x )＝sin(2x ＋π3)，当x ＝π4时，f (π4)＝12≠0，故①错；当x ＝π3时，f (π3)＝0，故②正确；由2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2 (k ∈Z )得，k π－5π12≤x ≤k π＋π12，令k ＝0得，－5π12≤x ≤π12，故③错，④正确，∴正确结论为②④. (理)(2011·南京模拟)已知函数f (x )＝x sin x ，现有下列命题：①函数f (x )是偶函数；②函数f (x )的最小正周期是2π；③点(π，0)是函数f (x )的图象的一个对称中心；④函数f (x )在区间[0，π2]上单调递增，在区间[－π2，0]上单调递减．其中真命题是________(写出所有真命题的序号)． [答案] ①④[解析] ∵y ＝x 与y ＝sin x 均为奇函数，∴f (x )为偶函数，故①真；∵f (π2)＝π2，f (π2＋2π)＝π2＋2π≠π2，∴②假；∵f (π2)＝π2，f (3π2)＝－3π2，π2＋3π2＝2π，π2＋(－3π2)≠0，∴③假；设0≤x 1<x 2≤π2，则f x 1f x 2＝x 1x 2·sin x 1sin x 2<1，∴f (x 1)<f (x 2)(f (x 2)>0)，∴f (x )在[0，π2]上为增函数，又∵f (x )为偶函数，∴f (x )在[－π2，0]上为减函数，∴④真．14．函数f (x )＝2a cos 2x ＋b sin x cos x 满足：f (0)＝2，f (π3)＝12＋32.(1)求函数f (x )的最大值和最小值；(2)若α、β∈(0，π)，f (α)＝f (β)，且α≠β，求tan(α＋β)的值．[解析] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧f ＝2，f π3＝12＋32，得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝2，12a ＋34b ＝12＋32.解得a ＝1，b ＝2，∴f (x )＝sin2x ＋cos2x ＋1＝2sin(2x ＋π4)＋1，∵－1≤sin(2x ＋π4)≤1，∴f (x )max ＝2＋1，f (x )min ＝1－ 2.(2)由f (α)＝f (β)得，sin(2α＋π4)＝sin(2β＋π4)．∵2α＋π4、2β＋π4∈(π4，9π4)，且α≠β，∴2α＋π4＝π－(2β＋π4)或2α＋π4＝3π－(2β＋π4)，∴α＋β＝π4或α＋β＝5π4，故tan(α＋β)＝1.15．(文)(2011·长沙一中月考)已知f (x )＝sin x ＋sin(π2－x )．(1)若α∈[0，π]，且sin2α＝13，求f (α)的值；(2)若x ∈[0，π]，求f (x )的单调递增区间． [解析] (1)由题设知f (α)＝sin α＋cos α. ∵sin2α＝13＝2sin α·cos α>0，α∈[0，π]，∴α∈(0，π2)，sin α＋cos α>0.由(sin α＋cos α)2＝1＋2sin α·cos α＝43，得sin α＋cos α＝233，∴f (α)＝23 3.(2)由(1)知f (x )＝2sin(x ＋π4)，又0≤x ≤π， ∴f (x )的单调递增区间为[0，π4]．(理)在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，向量m ＝(b,2a －c )，n ＝(cos B ，cos C )，且m ∥n .(1)求角B 的大小；(2)设f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －B 2＋sin ωx (ω>0)，且f (x )的最小正周期为π，求f (x )在区间[0，π2]上的最大值和最小值． [解析] (1)由m ∥n 得，b cos C ＝(2a －c )cos B ， ∴b cos C ＋c cos B ＝2a cos B .由正弦定理得，sin B cos C ＋sin C cos B ＝2sin A cos B ， 即sin(B ＋C )＝2sin A cos B .又B ＋C ＝π－A ，∴sin A ＝2sin A cos B .又sin A ≠0，∴cos B ＝12.又B ∈(0，π)，∴B ＝π3.(2)由题知f (x )＝cos(ωx －π6)＋sin ωx ＝32cos ωx ＋32sin ωx ＝3sin(ωx ＋π6)， 由已知得2πω＝π，∴ω＝2，f (x )＝3sin(2x ＋π6)，当x ∈[0，π2]时，(2x ＋π6)∈[π6，7π6]，sin(2x ＋π6)∈[－12，1]．因此，当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )取得最大值 3.当2x ＋π6＝7π6，即x ＝π2时，f (x )取得最小值－32.16．(文)(2011·福建四地六校联考)已知函数f (x )＝－1＋23sin x cos x ＋2cos 2x . (1)求f (x )的单调递减区间；(2)求f (x )图象上与原点最近的对称中心的坐标；(3)若角α，β的终边不共线，且f (α)＝f (β)，求tan(α＋β)的值． [解析] f (x )＝3sin2x ＋cos2x ＝2sin(2x ＋π6)，(1)由2k π＋π2≤2x ＋π6≤2k π＋3π2(k ∈Z )得k π＋π6≤x ≤k π＋2π3(k ∈Z )，∴f (x )的单调减区间为[k π＋π6，k π＋2π3](k ∈Z )．(2)由sin(2x ＋π6)＝0得2x ＋π6＝k π(k ∈Z )，即x ＝k π2－π12(k ∈Z )， ∴f (x )图象上与原点最近的对称中心坐标是(－π12，0)．(3)由f (α)＝f (β)得：2sin(2α＋π6)＝2sin(2β＋π6)，又∵角α与β的终边不共线，∴(2α＋π6)＋(2β＋π6)＝2k π＋π(k ∈Z )，即α＋β＝k π＋π3(k ∈Z )，∴tan(α＋β)＝ 3.(理)(2011·浙江文)已知函数f (x )＝A sin(π3x ＋φ)，x ∈R ，A >0,0<φ<π2.y ＝f (x )的部分图象如图所示，P 、Q 分别为该图象的最高点和最低点，点P 的坐标为(1，A )．(1)求f (x )的最小正周期及φ的值；(2)若点R 的坐标为(1,0)，∠PRQ ＝2π3，求A 的值．[解析] (1)由题意得，T ＝2ππ3＝6， 因为P (1，A )在y ＝A sin(π3x ＋φ)的图象上，所以sin(π3＋φ)＝1.又因为0<φ<π2，所以φ＝π6.(2)设点Q 的坐标为(x 0，－A )，由题意可知π3x 0＋π6＝3π2，得x 0＝4，所以Q (4，－A )．连接PQ ，在△PRQ 中，∠PRQ ＝23π，由余弦定理得，cos ∠PRQ ＝RP 2＋RQ 2－PQ 22RP ·RQ ＝A 2＋9＋A 2－＋4A 22A ·9＋A2＝－12， 解得A 2＝3 又A >0，所以A ＝ 3.1．(2012·河北郑口中学模拟)已知函数f (x )＝A sin(x ＋φ)(A >0，－π2<φ<0)在x ＝5π6处取得最大值，则f (x )在[－π，0]上的单调增区间是( )A ．[－π，－5π6]B ．[－5π6，－π6]C ．[－π3，0]D ．[－π6，0][答案] D[解析] ∵f (x )＝A sin(x ＋φ)在x ＝5π6处取得最大值，A >0，－π2<φ<0，∴φ＝－π3，∴f (x )＝A sin(x －π3)，由2k π－π2≤x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z )得2k π－π6≤x ≤2k π＋5π6，令k ＝0得－π6≤x ≤0，故选D.2．(2011·长沙二模)若将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω>0)的图象向右平移π4个单位长度后，与函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3的图象重合，则ω的最小值为( )A ．1B ．2 C.112D.233[答案] D[解析] y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＋π4＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3，∴π4－π4ω＋2k π＝π3，∴ω＝8k －13(k ∈Z )， 又∵ω>0，∴ωmin ＝233.3．(2011·北京大兴区模拟)已知函数f (x )＝3sin πxR图象上相邻的一个最大值点与一个最小值点恰好都在圆x 2＋y 2＝R 2上，则f (x )的最小正周期为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 [答案] D[解析] f (x )的周期T ＝2ππR＝2R ，f (x )的最大值是3，结合图形分析知R >3，则2R >23>3，只有2R ＝4这一种可能，故选D.4．(2012·河北保定模拟)已知向量a ＝(cos θ，sin θ)与b ＝(cos θ，－sin θ)互相垂直，且θ为锐角，则函数f (x )＝sin(2x －θ)的图象的一条对称轴是直线( )A ．x ＝πB ．x ＝7π8C ．x ＝π4D ．x ＝π2[答案] B[解析] a ·b ＝cos 2θ－sin 2θ＝cos2θ＝0， ∵θ为锐角，∴θ＝π4，∴f (x )＝sin(2x －π4)．由2x －π4＝k π＋π2得，x ＝k π2＋3π8，令k ＝1得x ＝7π8，故选B.5.(2011·北京西城模拟)函数y ＝sin(πx ＋φ)(φ>0)的部分图象如图所示，设P 是图象的最高点，A ，B 是图象与x 轴的交点，则tan ∠APB ＝( )A ．10B ．8 C.87 D.47[答案] B[分析] 利用正弦函数的周期、最值等性质求解．[解析] 如图，过P 作PC ⊥x 轴，垂足为C ，设∠APC ＝α，∠BPC ＝β，∴∠APB ＝α＋β，y ＝sin(πx ＋φ)，T ＝2ππ＝2，tan α＝AC PC ＝121＝12，tan β＝BC PC ＝321＝32，则tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β＝12＋321－12×32＝8，∴选B.6．对任意x 1，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，x 2>x 1，y 1＝1＋sin x 1x 1，y 2＝1＋sin x 2x 2，则( )A ．y 1＝y 2B ．y 1>y 2C ．y 1<y 2D ．y 1，y 2的大小关系不能确定 [答案] B[解析] 取函数y ＝1＋sin x ，则1＋sin x 1x 1的几何意义为过原点及点(x 1,1＋sin x 1)的直线斜率，1＋sin x 2x 2的几何意义为过原点及点(x 2,1＋sin x 2)的直线斜率，由x 1<x 2，观察函数y ＝1＋sin x 的图象可得y 1>y 2.选B.7．(2011·菏泽模拟)对于函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，sin x ≤cos xcos x ，sin x >cos x ，给出下列四个命题：①该函数是以π为最小正周期的周期函数；②当且仅当x ＝π＋k π(k ∈Z )时，该函数取得最小值是－1； ③该函数的图象关于直线x ＝5π4＋2k π(k ∈Z )对称；④当且仅当2k π<x <π2＋2k π(k ∈Z )时，0<f (x )≤22.其中正确命题的序号是________(请将所有正确命题的序号都填上) [答案] ③④[解析] 画出函数f (x )的图象，易知③④正确．8．已知函数f (x )＝3sin(2x －π6)＋2sin 2(x －π12)(x ∈R )．(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求使函数f (x )取得最大值的x 的集合． [解析] (1)f (x )＝3sin(2x －π6)＋1－cos2(x －π12)＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤32sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋1＝2sin(2x －π3)＋1.所以最小正周期为T ＝π.(2)当f (x )取最大值时，只要sin(2x －π3)＝1，得出x ＝k π＋5π12(k ∈Z )，∴x 值的集合为{x |x ＝k π＋5π12，k ∈Z }．[点评] 差异分析是解答数学问题的有效方法．诸如：化复杂为简单，异角化同角，异名化同名，高次化低次，化为一个角的同名三角函数的形式等等．。

考点特训(二十六)一、选择题1．函数y ＝sin 2x 的图象，向右平移φ(φ>0)个单位，得到的图象恰好关于x ＝π6对称，则φ的最小值为( )A.512π B.116π C.1112π D ．以上都不对解析：y ＝sin 2x 的图象向右平移φ个单位得到y ＝sin 2(x －φ)的图象，又关于x ＝π6对称，则2(π6－φ)＝kπ＋π2(k ∈Z )，2φ＝－kπ－π6，取k ＝－1，得φ＝512π. 答案：A2．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，A >0，ω>0，|φ|<π2)的图象(部分)如图，则f (x )的解析式是( )A ．f (x )＝2sin(πx ＋π6)(x ∈R ) B ．f (x )＝2sin(2πx ＋π6)(x ∈R ) C ．f (x )＝2sin(πx ＋π3)(x ∈R ) D ．f (x )＝2sin(2πx ＋π3)(x ∈R )解析：由三角函数图象可得A ＝2，T ＝4×(56－13)＝2＝2πω，则ω＝π，将点(13，2)代入f (x )＝2sin(ωx ＋φ)可得sin(π3＋φ)＝1，解得φ＝π6，∴f (x )＝2sin(πx ＋π6)．答案：A3．已知函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)的部分图象如图所示，则( )A ．ω＝1，φ＝π6 B ．ω＝1，φ＝－π6 C ．ω＝2，φ＝π6 D ．ω＝2，φ＝－π6解析：由图象知T ＝π，∴ω＝2，∴y ＝sin(2x ＋φ)． 又由于y ＝sin(2x ＋φ)图象过点(π3，1)， ∴sin(2π3＋φ)＝1，∴2π3＋φ＝2k π＋π2， ∴φ＝2k π－π6(k ∈Z )．∵|φ|<π2，∴φ＝－π6. 答案：D4．(2012～2013学年辽宁协作体)要得到函数y ＝3cos x 的图象，只需将函数y ＝3sin(2x －π6)的图象上所有点的( )A ．横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，所得图象再向左平移π12个单位长度 B ．横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，所得图象再向右平移π6个单位长度C ．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象再向左平移2π3个单位长度D ．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象再向右平移π6个单位长度 解析：将函数y ＝3sin(2x －π6)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，可得函数y ＝3sin(x －π6)的图象，再向左平移2π3个单位长度，可得函数y ＝3sin(x －π6＋2π3)＝3sin(x ＋π2)＝3cos x 的图象．答案：C5．(2013学年度河北普通高中高三11月质监)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，(A >0，ω>0)的图象如图所示，为了得到g (x )＝－A cos ωx 的图象，可以将f (x )的图象A ．向右平移π12个单位长度 B ．向右平移5π12个单位长度 C ．向左平移π12个单位长度D ．向左平移5π12个单位长度解析：由图象可求得A ＝1，ω＝2，φ＝π3， 则f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，而g (x )＝－A cos ωx ＝－cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －512π＋π3，则将f (x )的图象向右平移5π12个单位长度，得到g (x )的图象．答案：B6．(2013届江西省百所重点高中阶段性诊断考试)若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)在一个周期内的图象如图所示，M ，N 分别是这段图象的最高点与最低点，且OM →⊥ON →，则A ·ω＝( )A.π6 B.7π12C.76πD.73π解析：由题中图象知T 4＝π3－π12，∴T ＝π，∴ω＝2.则M (π12，A )，N (712π，－A )，由OM →⊥ON →得OM →·ON →＝0，得7π2122＝A 2， ∴A ＝712π，∴A ·ω＝76π.故选C. 答案：C 二、填空题7．(2011年辽宁)已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)，y ＝f (x )的部分图象如右图，则f (π24)＝________.解析：从图可看出周期T ＝π2，∴πω＝π2，ω＝2 又f (x )＝A tan(2x ＋φ) x ＝38π时，A tan(34π＋φ)＝0tan(34π＋φ)＝0，|φ|<π2，∴φ＝π4.∴f (x )＝A tan(2x ＋π4)．取x ＝0，A tan π4＝1， ∴A ＝1，∴f (x )＝tan(2x ＋π4)． f (π24)＝tan(π12＋π4)＝tan π3＝ 3. 答案： 38．若动直线x ＝a 与函数f (x )＝sin x 和g (x )＝cos x 的图象分别交于M 、N 两点，则|MN |的最大值为________．解析：设x ＝a 与f (x )＝sin x 的交点为M (a ，y 1)， x ＝a 与g (x )＝cos x 的交点为N (a ，y 2)， 则|MN |＝|y 1－y 2|＝|sin a －cos a | ＝2|sin(a －π4)|≤ 2. 答案： 29．(2012年四川成都一模)已知函数f (x )＝sin(π3x ＋π3)(x >0)的图象与x 轴的交点从左到右依次为(x 1,0)，(x 2,0)，(x 3,0)，…，则数列{x n }的前4项和为________．解析：令f (x )＝sin(π3x ＋π3)＝0，则π3x ＋π3＝kπ， ∴x ＝3k －1(k ∈N *)，∴x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝3(1＋2＋3＋4)－4＝26. 答案：26 三、解答题10．(2012年哈三中高三月考)设函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)(ω>0，－π2<φ<0)的最小正周期为π.且f (π4)＝32.(1)求ω和φ的值；(2)在给定坐标系中作出函数f (x )在[0，π]上的图象； (3)若f (x )>22，求x 的取值范围． 解：(1)周期T ＝2πω，∴ω＝2，∵f (π4)＝cos(2×π4＋φ)＝cos(π2＋φ)＝－sin φ＝32， ∵－π2<φ<0，∴φ＝－π3.(2)∵f (x )＝cos(2x －π3)，列表如下：(3)cos(2x －π3)>22，∴2kπ－π4<2x －π3<2kπ＋π4 2kπ＋π12<2x <2kπ＋712π， kπ＋π24<x <kπ＋724π，k ∈Z ，∴x 的范围是{x |kπ＋π24<x <kπ＋724π，k ∈Z }． 11．(2012年安徽)设函数f (x )＝22cos(2x ＋π4)＋sin 2x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)设函数g (x )对任意x ∈R ，有g (x ＋π2)＝g (x )，且当x ∈[0，π2]时，g (x )＝12－f (x )．求g (x )在区间[－π，0]上的解析式．解：(1)f (x )＝22cos(2x ＋π4)＋sin 2x ＝22(cos 2x cos π4－sin 2x sin π4)＋1－cos 2x 2＝12－12sin 2x ，故f (x )的最小正周期为π. (2)当x ∈[0，π2]时，g (x )＝12－f (x )＝12sin 2x .故①当x ∈[－π2，0]时，x ＋π2∈[0，π2]．由于对任意x ∈R ，g (x ＋π2)＝g (x )，从而g (x )＝g (x ＋π2)＝12sin[2(x ＋π2)]＝12sin(π＋2x )＝－12sin 2x .②当x ∈[－π，－π2)时，x ＋π∈[0，π2)． 从而g (x )＝g (x ＋π)＝12sin[2(x ＋π)]＝12sin 2x . 综合①，②得g (x )在[－π，0]上的解析式为g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12sin 2x ，x ∈[－π，－π2)，－12sin 2x ，x ∈[－π2，0].12．(2012年山东济宁多考点综合练)已知函数f (x )＝3sin(x －φ)cos(x －φ)－cos 2(x －φ)＋12(0≤φ≤π2)为偶函数．(1)求函数f (x )的最小正周期及单调减区间；(2)把函数f(x)的图象向右平移π6个单位(纵坐标不变)，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)的对称中心．解：(1)f(x)＝32sin(2x－2φ)－cos(2x－2φ)＋12＋12＝32sin(2x－2φ)－12cos(2x－2φ)＝sin(2x－2φ－π6)．∵函数f(x)为偶函数，∴2φ＋π6＝kπ＋π2，k∈Z，∴φ＝kπ2＋π6，k∈Z.又∵0≤φ≤π2，∴φ＝π6.∴f(x)＝sin(2x－π3－π6)＝－cos 2x，∴f(x)的最小正周期为T＝2π2＝π.由2kπ－π≤2x≤2kπ，k∈Z，得kπ－π2≤x≤kπ，k∈Z.∴f(x)的单调减区间为[kπ－π2，kπ](k∈Z)．(2)函数f(x)＝－cos 2x的图象向右平移π6个单位，得到g(x)＝－cos 2(x－π6)的图象，即g(x)＝－cos(2x－π3)，令2x－π3＝kπ＋π2，k∈Z，∴x＝kπ2＋5π12，k∈Z.∴g(x)的对称中心为(kπ2＋5π12，0)，k∈Z.[热点预测]13．(1)(2012年浙江模拟)如果两个函数的图象平移后能够重合，那么称这两个函数为“互为生成”函数．给出下列四个函数：①f(x)＝sin x＋cos x；②f(x)＝2 (sin x＋cos x)；③f(x)＝sin x；④f(x)＝2sin x＋ 2.其中为“互为生成”函数的是() A．①②B．②③C．③④D．①④(2)如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点(4π3，0)中心对称，那么|φ|的最小值为________．解析：(1)首先化简所给四函数解析式：①f (x )＝2sin(x ＋π4，②f (x )＝2sin(x ＋π4)，③f (x )＝sin x ，④f (x )＝2sin x ＋ 2.可知，③f (x )＝sin x 不能单纯经过平移与其他三个函数图象重合，必须经过伸缩变换才能实现，故③不能与其他函数构成“互为生成”函数，同理，①与②的图象也不能仅靠图象平移达到重合，因此①④可仅靠平移能使其图象重合，所以①④为“互为生成”函数，故选D.(2)由题意得3cos(2×4π3＋φ)＝3cos(2π3＋φ＋2π)＝3cos(2π3＋φ)＝0，∴2π3＋φ＝kπ＋π2(k ∈Z )，φ＝kπ－π6(k ∈Z )，取k ＝0， 得|φ|的最小值为π6. 答案：(1)D (2)π6。

1.分类讨论的常见情形（1）由数学概念引起的分类讨论：主要是指有的概念本身是分类的，在不同条件下有不同结论，则必须进行分类讨论求解，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等.（2）由性质、定理、公式引起的分类讨论：有的数学定理、公式、性质是分类给出的，在不同条件下结论不一致，如二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，由a的正负而导致开口方向不确定，等比数列前n项和公式因公比q是否为1而导致公式的表达式不确定等.（3）由某些数学式子变形引起的分类讨论：有的数学式子本身是分类给出的，如ax2+bx+c ＞0，a=0，a＜0，a＞0解法是不同的.（4）由图形引起的分类讨论：有的图形的类型、位置也要分类，如角的终边所在象限，点、线、面的位置关系等.（5）由实际意义引起的讨论：此类问题在应用题中常见.（6）由参数变化引起的讨论：所解问题含有参数时，必须对参数的不同取值进行分类讨论；含有参数的数学问题中，参变量的不同取值，使得变形受限导致不同的结果.2.分类的原则（1）每次分类的对象是确定的，标准是同一的；分类讨论问题的难点在于什么时候开始讨论，即认识为什么要分类讨论，又从几方面开始讨论，只有明确了讨论原因，才能准确、恰当地进行分类与讨论.这就要求我们准确掌握所用的概念、定理、定义，考虑问题要全面.函数问题中的定义域，方程问题中根之间的大小，直线与二次曲线位置关系中的判别式等等，常常是分类讨论划分的依据.（2）每次分类的对象不遗漏、不重复、分层次、不越级讨论.当问题中出现多个不确定因素时，要以起主导作用的因素进行划分，做到不重不漏，然后对划分的每一类分别求解，再整合后得到一个完整的答案.数形结合是简化分类讨论的重要方法.3.分类讨论的一般步骤第一，明确讨论对象，确定对象的范围；第二，确定分类标准，进行合理分类，做到不重不漏；第三，逐类讨论，获得阶段性结果；第四，归纳总结，得出结论.4.分类讨论应注意的问题第一，按主元分类的结果应求并集.第二，按参数分类的结果要分类给出.第三，分类讨论是一种重要的解题策略，但这种分类讨论的方法有时比较繁杂，若有可能，应尽量避免分类.类型一：不等式中的字母讨论1、解关于的不等式：.思路点拨：依据式子的特点，此题应先按对最高次项的系数是否为0来分类，然后对式子分解因式，并按两个根之间的大小关系来分类讨论.而对于与时，先写简单好作的.解析：（1）当时，原不等式化为一次不等式：，∴；（2）当时，原不等式变为：，①若，则原不等式化为∵，∴，∴不等式解为或，②若，则原不等式化为，（ⅰ）当时，，不等式解为，（ⅱ）当时，，不等式解为；（ⅲ）当时，，不等式解为，综上所述，原不等式的解集为：当时，解集为；当时，解集为{x|x＞1}；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为.总结升华：1. 对于分类讨论的解题程序可大致分为以下几个步骤:（1）明确讨论的对象，确定对象的全体，确定分类标准，正确分类，不重不漏；（2）逐步进行讨论，获得结段性结论；（3）归纳总结，综合结论.2．一般分类讨论问题的原则为: 按谁碍事就分谁.不等式中的字母讨论标准有：最高次项的系数能否为0，不等式对应的根的大小关系，有没有根（判别式）等.3．字母讨论一般按从易到难，从等到不等的顺序进行.举一反三：【变式1】解关于的不等式:（）.解析：原不等式可分解因式为: ，（下面按两个根与的大小关系分类）（1）当，即或时，不等式为或，不等式的解集为：；（2）当，即时，不等式的解集为：；（3）当，即或时，不等式的解集为：；综上所述，原不等式的解集为：当或时，；当时，；当或时，.【变式2】解关于的不等式:.解析：（1）当时，不等式为, 解集为；（2）当时，需要对方程的根的情况进行讨论：①即时，方程有两根.则原不等式的解为.②即时，方程没有实根，此时为开口向上的抛物线，故原不等式的解为.③即时，方程有两相等实根为，则原不等式的解为.（3）当时，恒成立，即时，方程有两根.此时，为开口向下的抛物线，故原不等式的解集为.综上所述，原不等式的解集为：当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为.类型二：函数中的分类讨论2、设为实数，记函数的最大值为，（Ⅰ）设，求的取值范围，并把表示为的函数；（Ⅱ）求；（Ⅲ）试求满足的所有实数.解析：（I）∵，∴要使有意义，必须且，即∵，且……①∴的取值范围是，由①得：，∴，，（II）由题意知即为函数，的最大值，∵时，直线是抛物线的对称轴，∴可分以下几种情况进行讨论：（1）当时，函数，的图象是开口向上的抛物线的一段，由知在上单调递增，故；（2）当时，，，有=2；（3）当时，，函数，的图象是开口向下的抛物线的一段，若即时，，若即时，，若即时，，综上所述，有=（III）当时，；当时，，，∴，∴，故当时，；当时，，由知：，故；当时，，故或，从而有或，要使，必须有，，即，此时，，综上所述，满足的所有实数为：或.举一反三：【变式1】函数的图象经过点(-1，3)，且f(x)在(-1，+∞)上恒有f(x)＜3，求函数f(x).解析：f(x)图象经过点(-1，3)，则，整理得：，解得或(1)当时，则，此时x∈(-1，+∞)时，f(x)＞3，不满足题意；(2)当，则，此时，x∈(-1，+∞)时，即f(x)＜3，满足题意为所求.综上，.【变式2】已知函数有最大值2，求实数的取值.解析：令，则().(1)当即时，，解得:或（舍）；(2)当即时，,解得:或（舍）；(3)当即时，，解得（全都舍去）.综上，当或时，能使函数的最大值为2.3、已知函数（）.（1）讨论的单调性；（2）求在区间上的最小值.解析：（1）函数的定义域为（0，+∞）对求导数，得解不等式，得0＜x＜e解不等式，得x＞e故在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减（2）①当2a≤e时，即时，由（1）知在（0，e）上单调递增，所以②当a≥e时，由（1）知在（e，+∞）上单调递减，所以③当时，需比较与的大小因为所以，若，则，此时若2＜a＜e，则，此时综上，当0＜a≤2时，；当a＞2时总结升华：对于函数问题，定义域要首先考虑，而（２）中③比较大小时，作差应该是非常有效的方法.举一反三：【变式1】设，（1）利用函数单调性的意义，判断f(x)在（0，+∞）上的单调性；（2）记f(x)在0＜x≤1上的最小值为g(a)，求y=g(a)的解析式.解析：（1）设0＜x1＜x2＜+∞则f(x2)-f(x1)=由题设x2-x1＞0，ax1·x2＞0∴当0＜x1＜x2≤时，，∴f(x2)-f(x1)＜0，即f(x2)＜f(x1)，则f(x)在区间[0，]单调递减，当＜x1＜x2＜+∞时，，∴f(x2)-f(x1)＞0，即f(x2)＞f(x1)，则f(x)在区间（，+∞）单调递增.（2）因为0＜x≤1，由（1）的结论，当0＜≤1即a≥1时，g(a)=f()=2-;当＞1，即0＜a＜1时，g(a)=f(1)=a综上，所求的函数y=g(a)＝.【变式2】求函数在上的值域.解析：令，则(1)当0＜a≤1时，∵0≤x≤a，∴f′(x)≥0(只有a=1且x=1时f′(x)=0)∴f(x)在[0,a]上单增，从而，值域为；(2)当a＞1时，∵0≤x≤a，∴f(x)在单增，在上单减，并且，∴，值域为；(3)当-1≤a＜0时，∵0≤x≤|a|，∴f(x)在[0,|a|]上递减从而即，值域为(4)当a＜-1时，∵0≤x≤|a|，∴f(x)在单减，在上单增，∴，又，∴，值域为.类型三：数列4、数列{a n}的前n项和为S n，已知{S n}是各项均为正数的等比数列，试比较与的大小，并证明你的结论.解析：设等比数列{S n}的公比为q，则q＞0①q=1时，S n=S1=a1当n=1时，，a2=0，∴，即当n≥2时，a n=S n-S n-1=a1-a1=0，，即②q≠1时，S n=S1·q n-1=a1·q n-1当n=1时，∴，即.当n≥2时，a n=S n-S n-1=a1·q n-1-a1·q n-2=a1·q n-2(q-1)此时∴q＞1时，，0＜q＜1时，.总结升华：等比数列前n项和公式分q=1或q≠1两种情况进行讨论.举一反三：【变式1】求数列：1，a+a2,a2+a3+a4,a3+a4+a5+a6,……（其中a≠0）的前n项和S n. 解析：数列的通项a n=a n-1+a n+…+a2n-2讨论：（1）当a=1时，a n=n，S n=1+2+…+n=（2）当a=-1时，，∴，（3）当a≠±1且a≠0时，，∴.【变式2】设{a n}是由正数组成的等比数列，S n是其前n项和，证明:.解析：（1）当q=1时，S n=na1，从而，（2）当q≠1时，，从而由（1）（2）得:.∵函数为单调递减函数.∴∴.【变式3】已知{a n}是公比为q的等比数列，且a1，a3，a2成等差数列.(Ⅰ)求q的值；(Ⅱ)设{b n}是以2为首项，q为公差的等差数列，其前n项和为S n，当n≥2时，比较S n与b n的大小，并说明理由.解析：(Ⅰ)由题设2a3=a1+a2，即2a1q2=a1+a1q,∵a1≠0，∴2q2-q-1=0，∴或，(Ⅱ)若q=1，则当n≥2时，若当n≥2时，故对于n∈N+，当2≤n≤9时，S n＞b n；当n=10时，S n=b n；当n≥11时，S n＜b n.【变式4】对于数列，规定数列为数列的一阶差分数列，其中；一般地，规定为的k阶差分数列，其中且k∈N*，k≥2。

专题2——函数与方程一、 函数概念与性质1．奇偶性 )(x f 偶函数⇔()()f x f x -=⇔)(x f 图象关于y 轴对称)(x f 奇函数⇔()()f x f x -=-⇔)(x f 图象关于原点对称注 ：① )(x f 有奇偶性⇒定义域关于原点对称 ② )(x f 奇函数,在x=0有定义⇒f(0)=0③“奇+奇=奇”（公共定义域内）2．单调性 (1)设[]2121,,x x b a x x ≠∈⋅那么[]1212()()()0x x f x f x -->⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔>--上是增函数；[]1212()()()0x x f x f x --<⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔<--上是减函数. (2)设函数)(x f y =在某个区间内可导，如果0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；如果0)(<'x f ，则)(x f 为减函数.注：①判断单调性必须考虑定义域②)(x f 单调性判断：定义法、图象法、性质法“增+增=增”③奇函数在对称区间上单调性相同；偶函数在对称区间上单调性相反④.如果函数)(x f 和)(x g 都是减函数,则在公共定义域内,和函数)()(x g x f +也是减函数; 如果函数)(u f y =和)(x g u =在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数)]([x g f y =是增函数（同增异减） 3．周期性（1）)()(a x f x f +=，则)(x f 的周期a T =； （2）0)()(=++a x f x f ，或)0)(()(1)(≠=+x f x f a x f ，或1()()f x a f x +=-(()0)f x ≠,a T 2= 4.二次函数三种解析式：(1)一般式2()(0)f x ax bx c a =++≠;(2)顶点式2()()(0)f x a x h k a =-+≠;(3)零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠.对称轴（针对一般式）：a bx 2-= 顶点：)44,2(2a b ac a b --单调性：0 a ，]2,(a b--∞递减，),2[+∞-a b 递增，当a b x 2-=，min )(x f a b ac 442-= 0 a ，]2,(a b--∞递增，),2[+∞-a b 递减，当a b x 2-=，max )(x f a b ac 442-=奇偶性：2()(0)f x ax bx c a =++≠是偶函数⇔b=0；注：一次函数b ax x f +=)(奇函数⇔b=0 闭区间上最值：配方法、图象法、讨论法---注意对称轴与区间的位置关系二．基本初等函数1.分数指数幂：)0(10≠=a a ， n naa 1=- ，m n mna a =，1m n m na a -= 2.根式的性质（1）()nn a a =.（2）当n 为奇数时，n n a a =；当n 为偶数时，,0||,0n n a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩.3.有理指数幂的运算性质(1) (0,,)rsr sa a aa r s Q +⋅=>∈. (2) ()(0,,)r s rs a a a r s Q =>∈.(3)()(0,0,)rr rab a b a b r Q =>>∈.4.指数式与对数式的互化式： log b a N b a N =⇔=(0,1,0)a a N >≠>.5.对数的换底公式log log log m a m NN a=(0a >,且1a ≠,0m >,且1m ≠, 0N >).推论 log log m na a nb b m =(0a >,且1a >,,0m n >,且1m ≠,1n ≠, 0N >).6.对数的四则运算法则：NM MN a a a log log log +=N M NMa a alog log log -= M n M a n a log log = a b b m m a log log log =a blg lg =n a a b b n log log =a b log 1=注：性质01log =a 1log =a a N aNa =log常用对数N N 10log lg =，15lg 2lg =+ 自然对数N N e log ln =，1ln =e7.指数与对数函数 xa y = x y a log =定义域、值域、过定点、单调性？注：xa y =与x y a log =图象关于x y =对称（互为反函数）8.幂函数 12132,,,-====x y x y x y x y ，x y =（画出简图）αx y =在第一象限图象如下：α>101<<αα<0三．函数图象与方程 1．描点法函数化简→定义域→讨论性质（奇偶、单调），取特殊点如零点、最值点等 2．图象变换平移：“左加右减，上加下减” )()(h x f y x f y +=→=伸缩：)1()(x f y x f y ϖϖ=−−−−−−−−→−=倍来的每一点的横坐标变为原对称：“对称谁，谁不变，对称原点都要变”)()()()()()(x f y x f y x f y x f y x f y x f y y x --=−−→−=-=−→−=-=−→−=原点轴轴注：)(x f y =ax =→直线)2(x a f y -=翻折：→=)(x f y |()|y f x =保留x 轴上方部分，并将下方部分沿x 轴翻折到上方y=f(x)cb aoyxy=|f(x)|cb aoyx→=)(x f y (||)y f x =保留y 轴右边部分，并将右边部分沿y 轴翻折到左边3.零点定理若0)()(<b f a f ，则)(x f y =在),(b a 内有零点（条件：)(x f 在],[b a 上图象连续不间断） 注：①)(x f 零点：0)(=x f 的实根②在],[b a 上连续的单调函数)(x f ，0)()(<b f a f ，则)(x f 在),(b a 上有且仅有一个零点 ③二分法判断函数零点---0)()(<b f a f ？ 4.平均增长率的问题如果原来产值的基础数为N ，平均增长率为p ，则对于时间x 的总产值y ，有(1)xy N p =+.练习题： 一、选择题1．判断下列各组中的两个函数是同一函数的为（ ）⑴3)5)(3(1+-+=x x x y ，52-=x y ；⑵111-+=x x y ，)1)(1(2-+=x x y ；⑶x x f=)(，2)(x x g =；⑷()f x =()F x =⑸21)52()(-=x x f ，52)(2-=x x f 。