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第2章 3.对称正定矩阵的平方根法

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3.2矩阵三角分解,平方根

3.2矩阵三角分解,平方根

2014-12-29
北京信息科技大学
4
2 3 1 0 2 3 1 0 2 3 例如A= 4 1 2 1 0 5 2 3 0 5 / 3
这里有A的两种不同的三角分解，类似可举出很多，一般， 若A=LU是一个三角分解，任取与A同阶的非奇异对角矩阵D， 则
xn yn / unn xi ( yi i n 1,
k i 1
u
n
ik
xk ) / uii
, 2,1
2014-12-29
北京信息科技大学
23
例 用杜利特尔分解法求解方程组
2 x1 2 x2 3 x3 3 4 x1 7 x2 7 x3 1 2 x 4 x 5 x 7 1 2 3
， 则矩 , n 1 ）
U 为上三角阵。 其中 L 为单位下三角阵，
其中
A LU
1 l21 1 L l31 l32 l n1 ln 2
1 ln ,n 1
u11 u12 u22 ，U 1
u1n u2 n unn
矩阵三角分解法
矩阵直接三角分解法是高斯消去法的变形方法。 高斯消去法 有多种变形，有的是高斯消去法的改进，有的是用于某种特殊系 数矩阵的化简。 分解原理 1．概述 高斯消去法解线性方程组先消元，然后再回代。当用矩阵描 述时，是对系数矩阵分解为一个上三角阵和一个下三角阵的乘 积，即 LU 分解。因此，高斯消去法与矩阵的 LU 分解是一致的。
2014-12-29 北京信息科技大学 15
紧凑格式
2 2 3 A 4 7 7 5 2 4 (2) 2 (4) 2 (-2) -1 (2) 2 (7) 3 (4) 2 (3) 3 (7) 1 (5) 6

第四节 平方根法

第四节 平方根法

l22 ln 2 lnn
求 解 顺 序 ： 按 L的 列 求 l1 1 , l 2 1 , , l n 1 l 2 2 , l 3 2 , , l n 2 l n n
第r次
a ir
a1 1 a r 1 1 a r1 a n1 a1 r 1 a r 1 r 1 a rr 1 a n r 1 a1 r a r 1 r a rr a nr
l
a l l l
n.
l1 1 lr1 l r 1 1 l n1
l r 1 r 1 l rr -1 l r 1 r -1 l n r -1 l rr l r 1 r lnr ? ?
1
i 1
1T T 1 T T 1 Tx A x 0 a , 0 A A x ) 存在非零解，即, x ( A x , ,0( A 0 ii A y 使得 其中y x) 0 ... 11... 0 ) 对任意 I 若不然，则 存在 AA I (A
a rr a ir
l
k 1
r 1
2 rk
2 ,
l
k 1
r 1
ik rk
l
l ir
, i r 1, , n .
l rr
按 列 计 算 对 称 正 定 矩 阵 C h o lesk y 分 解 .
应用Cholesky分解解线性方程组
b1 y1 , l1 1 i 1 （1 ） 解 L y b , b i l ik y k k 1 yi , i 2 , 3, , n . l ii yn xn , lnn T n （2） 解 L x y, y i lki x k k i 1 xi , i n 1, ,1 . l ii

平方根法

平方根法

j 2, l21
i2
a a21 1 2 1, j 3, l31 31 2 l11 1 l11 1
2 l22 a22 l21 2 1 1
j 3, l32 (a32 l31l21 )
i3
1 (0 1 2) 2 l22 1
2 2 l33 a33 l31 l32 11 22
i2
1 3 1 5 , j 3, l31 a31 l11 l11 3 3
2
2 l22 a22 l21 53
j 3, l32 (a32 l31l21 )
i3
1 5 1 (9 3) 2 2 l22 3 2
a11 l11 l11 a21 l21 l11
ai 1 li 1 l11
i 1, 2 , , n
L的第一列元素 li 1可以求出 假设L的第1 ~ r 1列已求出 , 考察A的第r列元素air
2 2 arr lrk lrk lrk lrr k 1 r k 1 r r 1
3．3 平方根法 系数矩阵为对称正定矩阵的方程组称为对称正定方程组。 对 称正定方程组可用高斯消去法、LU 分解法求解，但可导出计算 量更小的平方根法。 利用对称正定矩阵的三角分解（乔累斯基分解）求解对称正 定方程组的方法称为平方根法。 3.3.1 对称正定矩阵 对称矩阵 A AT 对称正定矩阵 A AT ，且对任意非零向量 x R n 有 ( Ax, x ) x T Ax 0
air lik lrk lik lrk lir lrr
k 1 k 1
r 1
i r , r 1, , n
可得L的元素的计算公式

正定矩阵的算术平方根

正定矩阵的算术平方根

于 是 Ｑ 一 厂 Ａ） （ ．
于是
Ｐ Ｐ ＝ Ｂ １ ：
从 而
Ｖ Ｕ 一 Ｕ Ａ） ＝ ｆ Ｕ Ｑ ｆ（ Ｕ （ ＡＵ ）＝ ， Ａ） （ ．
（ 一ＡＣ一 （ ）
＝ （ 一ＡＣ （ ） ．
弓 理 ４ 设 Ａ是 ，阶实 对称矩 阵 ， ｌ ｌ Ｂ是 Ｔ阶 正定 ｔ 矩 阵． 存 在可逆 实矩 阵 Ｃ使 Ｃ＇Ｃ为 对角 矩阵 ， 则 Ａ 而
第 １ ５卷 第 １ 期
２１ ０ ２年 １月
高 等 数 学 研 究
Ｓ ＴＵＤＩ Ｎ ＥＳ Ｉ ＣＯＬ ＬＥＧＥ Ｍ ＡＴＨ Ｅ ＡＴＩ Ｍ ＣＳ
Ｖ０ ＿ ５， ． ｌ １ ＮＯ １ Ｊ ｎ ，２ １ ａ． ０２
正 定 矩 阵 的算 术 平 方 根
－
张姗 梅 ，刘 雁
证 明 因 Ｂ是 正定 矩阵 ， 专有意 义且 Ｂ Ｂ 专也是 正定矩 阵． 于是
ＡＢ 一 （ ） Ｉ 一曰ｉ Ｉ Ｉ Ａ ｉ 曰百
，
所 以Ａ Ｂ与 ＢＴ Ｔ 似． 因为 ｌ ｉ相 仰 又
（ １ Ｂｉ） Ｂｉ １ ： （ （ 一 Ｂｉ Ｂｉ Ａ 口号） Ａ Ｂ号） ｉ １， Ａ
在 读 ： ｍａｌｚｌ ６ ８ ＠ ｘ ｍｓ． ｌ Ｅ ｉ ｙｉ ９０ ｎ ｎ ｅ ： ｕ ｌ
则有 ｆ Ａ）＝ ￣ （ｆ ／ （ ＝ １ ２ … ，） ， ， ￡．
第１ ５卷 第 １期
张姗 梅 ， 刘雁 ： 定 矩 阵 的 算 术 平 方 根 正
＞ ０（ ｉ： １， ， ， ２ … ），
（ ）存在 可逆 实矩 阵 ｃ使 Ａ — Ｃｃ． ３ ， （ ）若可 逆实 矩阵 Ｃ使 ４
收稿 日期 ：０ ００—４ 修 改 日期 ：０ １１ －４ ２ １ －６０ ； ２ １－２２

对称正定矩阵

对称正定矩阵

对称正定矩阵
对称正定矩阵是一种非常常见的矩阵，它可以用来描述物体之间的静态关系，如力学刚体的位置，剪力，也可以用于描述数学中复杂的参数模型。

它的定义是：任何非空矩阵都可
以写成点乘积的形式，而且当且仅当它可以用n阶对称矩阵表示时，并且这个矩阵满足正
定性，即满足矩阵的所有特征根都是正的。

对称正定矩阵有三个重要的性质，第一是其特征根都是正的，第二，其对角线上的元素都是非负的，最后，该矩阵是对称的，也就是矩阵的转置矩阵和自身相等。

这三个性质一起
决定了对称正定矩阵有着巨大的数学价值，可以用来建模复杂的运动问题，或者以二次型
表示维数问题。

此外，对称正定矩阵在图论理论中也有着重要的地位，它可以用来解决最大流最小割问题，也可以用来定义图上的拓扑结构。

这就是为什么现实世界中庞大的网络系统，如交通网络，电话网络，都可以用图论的方法来研究和解释的原因。

总而言之，对称正定矩阵在工程实践和数学理论中都有着不可替代的作用，它不但有助于解决复杂的运动问题，而且可用于定义图上的结构，可以说是建立复杂结构的力量和支持
良好。

(完整word版)线性方程组的平方根解法

(完整word版)线性方程组的平方根解法

浅析线性方程组的平方根解法在求解线性方程组时,直接解法有顺序高斯消元法、列主元高斯消元法、全主元高斯消元法、高斯约当消元法、消元形式的追赶法、LU 分解法、矩阵形式的追赶法，当我们遇到对称正定线性方程组时，我们就要用到平方根法(对称LLT 分解法)来求解，为了熟悉和熟练运用平方根法求解线性方程组，下面对运用平方根法求解线性方程组进行解析。

一、运用平方根法求解线性方程组涉及到的定理及定义我们在运用平方根法求解线性方程组时，要判定线性方程组Ax=b 的系数矩阵A 是否是对称正定矩阵，那么我们就要了解正定矩阵的性质和如下定理及定义：1、由线性代数知，正定矩阵具有如下性质：1) 正定矩阵A 是非奇异的2) 正定矩阵A 的任一主子矩阵也必为正定矩阵 3) 正定矩阵A 的主对角元素均为正数 4) 正定矩阵 A 的特征值均大于零 5) 正定矩阵A 的行列式必为正数定义一 线性方程组Ax=b 的系数矩阵A 是对称正定矩阵，那么Ax=b 是对称正定线性方程组。

定义二 如果方阵A 满足A=AT ，那么A 是对称阵。

2.1.4 平方根法和改进的平方根法如果A 是n 阶对称矩阵，由定理2还可得如下分解定理：定理2 若A 为n 阶对称矩阵，且A 的各阶顺序主子式都不为零，则A 可惟一分解为：A ＝LDLT ，其中L 为单位下三角阵，D 为对角阵。

证明 因为A 的各阶顺序主子式都不为零，所以A 可惟一分解为：A ＝LU 因为 ，所以可将 U 分解为：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nn u u u U 2211⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11122211112 u u u u u u n nn n 1DU =其中 D 为对角矩阵，U1为单位上三角阵．于是：A ＝LDU1＝L(DU1)因为A 为对称矩阵，所以，A ＝AT ＝U1TDTLT ＝U1T(DLT)，由 A 的 LU 分解的惟一性即得：L ＝U1T ，即U1＝LT ，故A ＝LDLT 。

平 方 根 法

∆i>0, i=1,2,…,n 因此存在惟一的分解 A=LU
L是单位下三角阵, U是上三角阵, 将U再分解
u11
u 22
1
u
nn
u12
u11 1
u1n
u11
u n1,n
DU 0
u n1,n1
1
其中D为对角阵, U0为单位上三角阵，于是
A = L U = L D U0
又
A = AT = U0TD LT
数值计算方法
点l11是 需由a11要此进1例, 行可开l以21方看a运l1出211 算，11。平 1为,方避根免l法31 开解al方13正11 运定12算方 ，2程我组们的改缺
A LDL 用 解ll3232单成位a3三3a2l角2321 阵ll32222作1为11分24解T1阵4，13即的l把32 形对a式称32 l，正22l3其1定l21中矩 0阵11A分2 2
l11 l21 ln1
l22
l
n
2
l
nn
按矩阵乘法展开，可逐行求出分解矩阵L的元素，计
算公式是对于i=1,2,…,n
i1
1
lii (aii li2k ) 2
k 1
i 1
a ji l jk lik
l ji
k 1
lii
j=i+1, i+2,…,n
这一方法称为平方根法,又称乔累斯基(Cholesky)分
数值计算方法
平方根法 工程实际计算中,线性方程组的系数矩阵
常常具有对称正定性，其各阶顺序主子式及 全部特征值均大于0。矩阵的这一特性使它的 三角分解也有更简单的形式，从而导出一些 特殊的解法，如平方根法与改进的平方根法。

数值分析-第二章-线性方程（直接求解二--平方根法）

数值分析-第⼆章-线性⽅程（直接求解⼆--平⽅根法）Doolittle分解复习
LDU分解
定理：矩阵A的各阶顺序主⼦式≠0，A可唯⼀分解为：A=LDU
其中，L单位下三⾓矩阵，U单位上三⾓矩阵，D⾮奇异对⾓矩阵。

【即从Doolittle分解的U中，提取出对⾓阵】
提取⽅法：U的每⾏提取出对⾓元素【每⾏其余元素，缩⼩相应倍数】，组成对⾓矩阵D
Cholesky分解
定理：A为对称正定矩阵，存在⾮奇异下三⾓矩阵L，主对⾓为正时，分解唯⼀。

补充：A正定--各阶顺序主⼦式＞0.矩阵A的特征值都>0
理解：将D开⽅，之后前后合并
平⽅根法
上⽂说明了，Cholesky分解的过程，但是计算过程可以简化，直接求出L矩阵，⽆需先进⾏Toolittle分解和LDU分解
改进平⽅根法
从上式可以看出，通过Crount分解，再转换成LDL^T分解.
相⽐于平⽅根法，改进平⽅根法，计算量相当，但可以避免开⽅运算。

计算机底层的运算，最终转化成加法运算。

越是复杂的运算，转换的层数越⾼，计算时间越多。

在能够避免复杂运算的时候，尽量避免复杂运算。

平方根的计算方法

平方根的计算方法平方根是数学中非常常见的概念。

它表示一个数的平方根可以返回该数，即进行平方运算得到原数的操作。

然而，平方根的计算并不总是那么简单。

在这篇文章中，我们将详细介绍几种不同的方法来计算平方根。

1.牛顿迭代法牛顿迭代法是一种用于求解方程或函数近似解的方法。

对于平方根计算来说，我们可以将问题转化为求解方程x^2=a的近似解。

迭代公式如下：x(n+1)=(1/2)*(x(n)+a/x(n))其中，x(n)是第n次迭代的近似解。

初始值可以是任意正数，后续的迭代将会越来越接近真实的平方根。

2.二分法二分法是一种用于求解函数零点的迭代算法。

对于平方根计算来说，我们可以将问题转化为求解方程x^2-a=0的近似解。

迭代公式如下：x(n+1)=(x(n)+a/x(n))/2其中，x(n)是第n次迭代的近似解。

初始值可以是任意正数，后续的迭代将会越来越接近真实的平方根。

3.整数平方根方法该方法适用于计算整数的平方根。

可以通过不断尝试从小到大的整数i，找到最大的整数i，使得i的平方小于等于给定的数a，即i^2<=a。

该方法的时间复杂度较低，但只适用于整数。

4.应用特殊数学公式有一些特殊的数学公式可以用来计算一些数的平方根。

例如，牛顿迭代公式可以使用泰勒级数展开近似计算平方根。

还有一些其他公式，如连分数、二次无理数等。

这些公式的使用需要对数学的原理有一定的了解，并且适用范围有限。

总结起来，计算平方根的方法有很多种，包括牛顿迭代法、二分法、整数平方根方法以及特殊数学公式等。

每种方法都有其适用范围和优缺点。

在实际计算中，我们可以根据具体情况选择最合适的方法来计算平方根。

数值分析第二章第二部分


方程求解公式：
yk = bk − ∑ lkj y j j =1 n x = yk − l x ∑ k d k j = k +1 jk j
k −1
k = 1,2,L, n k = n, n − 1, L,1
1 M ln3
D = dia g ( d 1 , L , d n )
22
% l 例：用平方根法解方程组 Ax = b 9 −6 12 −3 11 % T % −6 5 −9 2 其中b = [12, −8, 24, 5] l 22 l 21 A= % % % l 12 −9 21 0 l l 解： 31 32 33 % % % % % %T 2 0 6 l l l 41 l −3 先分解A = LL 42 43 44 第一列 % %2 % = a = 3, 第二列 l 22 = a22 − l 21 = 1 l 11 11 % % % = a32 − l 31l 21 = −1, a 21 l % 32 = −2, l21 = % % l 22 l
22
~~
L L O
% l k1 % l M % l
k2
L L L L O
k2
n2
M % l
% l kk
nk
矩阵相乘比较得计算公式
% 2 =a , 第一列 l 11 11
O L
kk
% l n1 % ln 2 M % l nk M % l nn
% = a , l 11 11 a % l % % = k1 , k = 2,L n l l k 1 11 = ak 1 , k1 % l 11 % 2+l % 2 =a , l % = a −l % 2, 第二列 l 21 22 22 22 22 21 % % ak 2 − l k 1 l 21 % l % % % % k = 3,L4n l k 1 21 + lk 2 l 22 = a k 2 , lk 2 = % l
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对称正定矩阵的平方根法
邹昌文
平方根法 / Choleski’s Method /： ——对称 / symmetric / 正定 / positive definite / 对称 矩阵的分解法 对称阵， 定义 一个矩阵 A = ( aij )n×n 称为对称阵，如果 aij = aji 。 × 称为对称阵 v v x T Ax > 0 对任意非 称为正定阵 正定阵， 定义 一个矩阵 A 称为正定阵，如果 v 都成立。 零向量 x 都成立。 回顾： 回顾：对称正定阵的几个重要性质 A−1 亦对称正定，且 aii > 0 亦对称正定， A 的顺序主子阵 / leading principal submatrices / Ak 亦对 v T v −1 T 称正定 v v v −1vT v Tv v v −1 T −1 = x 对任意 v = ) 存在非零解，即 1 若不然，则 x ≠ 0 a0 存在非零解，Ay = v 若不然，= I ,A x A, v存在 vy=≠I0 ,0使得 Ax ) v(0,...A...0) AA v ( A ( 其中 ii = x Ax > ⇒ T T −1value / λ1 > 0 v T − −1 v A 的特征值v/ y = A x x A i x = y AA Ay = y Ay > 0 eigen v 即T Ax = 0 存在非零解。 v第 i v 。 存在非零解。 x 位 k 0 对称性显然。 A ) > 0 对称性显然。对任意 xk ≠ v ∈ R 有 A 的全部顺序主子式 det ( k v xk v vT v v T v λ 的非零特征向量 ∈ Rn 设对应特征值x > 0 , 其中 x = v ≠ 0 xk v k xk = x A v v v A 。 0 2 vT n v T 为 x因为 det( A) = ∏ λix λx = λ x 。 ，则 0 < x A x =
例二
用LDL 分解法解方程组
T
3 3 5 x1 10 3 5 9 x 2 = 16 5 9 17 x 30 3
u11 令D = M 0 u1 n 1 L L 0 u11 O M , P = D − 1U = M O M L unn 0 L 1
则A = LDP 对称， 又A对称，故有
A = P DL = A = LDP
T T T
由三角分解的唯一性， 由三角分解的唯一性， 得P T = L 即A = P DP
TLeabharlann 为正定矩阵， 又A为正定矩阵，所以 D的对角元素均为正数 令
u11 ~ D= M 0
T
L O L
0 M u11
~T ~ T ~ T~ 则A = P D DP = ( DP ) DP = LLT
i =1
定理： 为对称正定矩阵时， 定理：当 A为对称正定矩阵时，存 在非奇异下 三角矩阵 L 使得 A = LLT 的对角元素为正时， 当限定 L的对角元素为正时，分 解是唯一的
顺序主子式大于零， 证：因为A对称正定，所以其各阶 顺序主子式大于零， 因为 对称正定， 由定理， 由定理，存在唯一分解 A = LU 为单位下三角矩阵， 其中L为单位下三角矩阵， U为上三角矩阵
L的求法
1 j −1 l jj = (a jj − ∑ l 2 ) 2 jk k =1 j−1 l = (a − l l ) / l ∑1 ik jk jj ij ij k=
( j = 1, 2 L n) ( i = j + 1,L , n)
例一
用平方根法解方程组 3 2 3 x1 5 2 2 0 x 2 = 3 3 0 12 x 7 3