南通二模数学试卷和答案

南通二模数学试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 若函数f(x) = 2x^2 - 4x + 1，则f(1)的值为：A. 1B. 2C. 3D. 42. 已知向量a = (3, -2)，b = (1, 2)，则向量a与b的数量积为：A. -4B. -2C. 4D. 23. 以下哪个函数是奇函数：A. y = x^2B. y = x^3C. y = x^4D. y = x4. 已知等差数列{an}的首项为2，公差为3，求第5项的值：A. 17B. 20C. 23D. 265. 圆x^2 + y^2 = 1与直线x + y = 1的交点个数为：A. 0B. 1C. 2D. 36. 已知双曲线方程为x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1，焦点在x轴上，若a = 2，则b的值为：A. 1B. 2C. 3D. 47. 若函数f(x) = ln(x + √(x^2 + 1))，则f'(x)的值为：A. 1/(x + √(x^2 + 1))B. 1/(x - √(x^2 + 1))C. 1/(x + √(x^2 - 1))D. 1/(x - √(x^2 - 1))8. 已知三角形ABC中，角A = 60°，a = √3，b = 2，则三角形ABC 的面积为：A. √3/2B. √3C. 2√3/3D. 3√3/29. 已知等比数列{bn}的首项为1，公比为2，求前5项的和：A. 31B. 32C. 33D. 3410. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2，求f'(x) = 0的解的个数：A. 0B. 1C. 2D. 3二、填空题（每题4分，共20分）11. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 3，求f(x)的最小值。

答案：-112. 已知函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6，求f'(x) = 0的解。

答案：1, 2, 313. 已知函数f(x) = √(x^2 + 1)，求f'(x)。

2024学年江苏省南通市九年级数学中考二模数学试卷一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.西太湖是苏南仅次于太湖的第二大湖泊，南接宜兴，北通长江，东濒太湖，西接长荡湖，水域面积约164000000平方米，164000000这个数用科学记数法可表示为，其中n的值为()A.6B.7C.8D.92.已知，则()A. B.C. D.3.如图是一个正方体的展开图，则与“学”字相对的是()A.核B.心C.数D.养4.如图，在正方形ABCD中，E是CD的中点，点F在BC上，且图中相似三角形共有【】A.1对B.2对C.3对D.4对5.如图，的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB上的一个动点，则线段OM的长的最小值为()A.3B.4C.6D.86.如图，在等边三角形ABC中，，在中，，，，点B，C，D，E在一条直线上，点C，D重合，沿射线DE方向运动，当点B与点E重合时停止运动．设运动的路程为x，与重叠部分的面积为S，则能反映S与x之间函数关系的图象是()A. B.C. D.二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。

7.比较大小：______填“>”，“<”或“=”8.因式分解_______________.9.小张在“阳光大课间”活动中进行了5次一分钟跳绳练习，所跳个数分别为：160，163，160，157，这组数据的众数为_________.10.若函数的图象经过点和点，写出一个符合条件的函数表达式_____.11.在一个不透明的袋子中只装有n个白球和2个红球，这些球除颜色外其他均相同．如果从袋子中随机摸出一个球，摸到红球的概率是，那么n的值为__.12.如图，已知圆锥的高为，高所在直线与母线的夹角为，圆锥的侧面积为____.13.反比例函数与一次函数的图象交于和B 两点，点B 的纵坐标为，若，则x 的取值范围是______.14.如图，在正方形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，点E 在AD 的延长线上，连接CE ，点F 是CE 的中点，连接OF 交CD 于点若，，则点C 到DF 的距离为_____.15.如图，在一个房间内有一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距地面的垂直距离MA 为am ，此时梯子的倾斜角为，如果梯子底端不动，顶端靠在对面的墙上，此时梯子顶端距地面的垂直距离NB 为2m ，梯子倾斜角为，这间房子的宽度是____用含a 的代数式表示16.如图，在中，分别在上，连接、交于点若，则的值是_________.三、计算题：本大题共2小题，共12分。

2022年江苏省南通市普通高校对口单招数学二模测试卷(含答案)一、单选题(20题)1.要得到函数y=sin2x的图像，只需将函数：y=cos(2x-π/4)的图像A.向左平移π/8个单位B.向右平移π/8个单位C.向左平移π/4个单位D.向右平移π/4个单位2.已知集合M={1，2,3,4}，以={-2,2}，下列结论成立的是（）A.N包含于MB.M∪N=MC.M∩N=ND.M∩N={2}3.A.N为空集B.C.D.4.下列命题错误的是（）A.对于两个向量a，b（a≠0），如果有一个实数，使b=a，则a与b共线B.若|a|=|b|，则a=bC.若a，b为两个单位向量，则a·a=b·bD.若a⊥b，则a·b=05.已知向量a=(sinθ，-2)，6=(1，cosθ)，且a⊥b，则tanθ的值为（）A.2B.-2C.1/2D.-1/26.某高职院校为提高办学质量，建设同时具备理论教学和实践教学能力的“双师型”教师队伍，现决定从3名男教师和3名女教师中任选2人一同到某企业实训，则选中的2人都是男教师的概率为（）A.B.C.D.7.A.B.C.8.A.B.C.D.9.不等式组的解集是（）A.{x|0＜x＜2}B.{x|0＜x＜2.5}C.{x|0＜x＜}D.{x|0＜x＜3}10.A.3B.4C.5D.611.若a，b两直线异面垂直，b，c两直线也异面垂直，则a，c的位置关系（）A.平行B.相交、异面C.平行、异面D.相交、平行、异面12.已知A是锐角，则2A是A.第一象限角B.第二象限角C.第一或第二象限角D.D小于180°的正角13.己知向量a = (2，1)，b =(-1，2)，则a,b之间的位置关系为( )A.平行B.不平行也不垂直C.垂直D.以上都不对14.在空间中垂直于同一条直线的两条直线一定是( )A.平行B.相交C.异面D.前三种情况都有可能15.下列四组函数中表示同一函数的是( )A.y=x与y=B.y=2lnx与y=lnx2C.y=sinx与y=cos()D.y=cos(2π - x)与y=sin(π - x)16.5人排成一排，甲必须在乙之后的排法是（）A.120B.60C.24D.1217.设A-B={x|x∈A且x B}，若M={4，5，6，7，8}，N={7，8，9，10}则M-N等于（）A.{4，5，6，7，8，9，10}B.{7，8}C.{4，5，6，9，10}D.{4，5，6}18.设a，b为实数，则a2=b2的充要条件是（）A.a=bB.a=-bC.a2=b2D.|a|=|b|19.在等差数列{a n}中，若a3+a17=10，则S19等于( )A.65B.75C.85D.9520.在△ABC中，A=60°，|AB|=2，则边BC的长为（）A.B.7C.D.3二、填空题(20题)21.在ABC中，A=45°，b=4，c=，那么a=_____.22.23.若f(x)=2x3+1，则f(1)= 。

2023年江苏省南通市高考数学二模试卷1. 已知P ，Q 为R 的两个非空真子集，若，则下列结论正确的是( ) A. ， B. ， C. ，D.，2. 已知，，则的取值范围是( )A.B. C. D.3. 三人各抛掷骰子一次，落地时向上的点数能组成等差数列的概率为( )A.B.C.D.4. 已知复数z 的实部和虚部均为整数，则满足的复数z 的个数为( )A. 5B. 4C. 3D. 25. 1471年米勒提出了一个问题：在地球表面的什么部位，一根垂直的悬杆看上去最长即可见角最大后人称其为“米勒问题”.我们把地球表面抽象为平面，悬杆抽象为直线l上两点A ，B ，则上述问题可以转化为如下模型：如图1，直线l 垂直于平面，l 上的两点A ，B 位于平面同侧，求平面上一点C ，使得最大.建立图2所示的平面直角坐标系.设，，，，当最大时，( )A. 2abB.C.D. ab6. 已知在三棱锥中，平面BCD ，，，则三棱锥外接球表面积的最小值为( )A. B. C.D.7. 双曲线和椭圆的右焦点分别为F ，，，，P ，Q 分别为，上第一象限内不同于B 的点，若，，则四条直线PA ，PB ，QA ，QB 的斜率之和为( )A. 1B. 0C.D. 不确定值8. 函数，的定义域均为R，且，，关于对称，，则的值为( )A. B. C. D.9. 下列命题中正确是( )A. 中位数就是第50百分位数B. 已知随机变量，若，则C. 已知随机变量，且函数为偶函数，则D. 已知采用分层抽样得到的高三年级男生、女生各100名学生的身高情况为：男生样本平均数172，方差为120，女生样本平均数165，方差为120，则总体样本方差为10. 重庆荣昌折扇是中国四大名扇之一，其精雅宜士人，其华灿宜艳女，深受各阶层人民喜爱.古人曾有诗赞曰：“开合清风纸半张，随机舒卷岂寻常；金环并束龙腰细，玉栅齐编凤翅长”.荣昌折扇平面图为图2的扇形COD，其中，，动点P 在上含端点，连结OP交扇形OAB的弧于点Q，且，则下列说法正确的是( )A. 若，则B. 若，则C. D.11. 在长方体中，，，，则( )A. 若直线与直线CD所成的角为，则B. 若过点A的直线l与长方体所有棱所成的角相等，且l与面交于点M，则C. 若经过点A的直线m与长方体所有面所成的角都为，则D. 若经过点A的平面与长方体所有面所成的二面角都为，则12. 过平面内一点P作曲线两条互相垂直的切线、，切点为、、不重合，设直线、分别与y轴交于点A、B，则( )A. 、两点的纵坐标之积为定值B. 直线的斜率为定值C. 线段AB的长度为定值D. 面积的取值范围为13. 若函数的最大值为2，则常数的值为______.14. 的展开式中的系数为______用数字作答15. 若对于任意的x，，不等式恒成立，则b的取值范围为______.16. 弓琴左图，也可称作“乐弓”，是我国弹弦乐器的始祖.古代有“后羿射十日”的神话，说明上古生民对善射者的尊崇，乐弓自然是弓箭发明的延伸.在我国古籍《吴越春秋》中，曾记载着：“断竹、续竹，飞土逐肉”.弓琴的琴身下部分可近似的看作是半椭球的琴腔，其正面为一椭圆面，它有多条弦，拨动琴弦，音色柔弱动听，现有某研究人员对它做出改进，安装了七根弦，发现声音强劲悦耳.右图是一弓琴琴腔下部分的正面图.若按对称建立如图所示坐标系，为左焦点，均匀对称分布在上半个椭圆弧上，为琴弦，记，数列前n项和为，椭圆方程为，且，则取最小值时，椭圆的离心率为______.17. 如图，在三棱锥中，为等腰直角三角形，，，为正三角形，D为AC的中点．证明：平面平面PAC；若二面角的平面角为锐角，且三棱锥的体积为，求二面角的正弦值．18. 在数列中，求的通项公式．设的前n项和为，证明：19. 设是一个二维离散型随机变量，它们的一切可能取的值为，其中i，，令，称是二维离散型随机变量的联合分布列．与一维的情形相似，我们也习惯于把二维离散型随机变量的联合分布列写成下表形式：………………………现有个相同的球等可能的放入编号为1，2，3的三个盒子中，记落下第1号盒子中的球的个数为X，落入第2号盒子中的球的个数为当时，求的联合分布列；设，且，计算20. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知若，证明：；若，证明：21. 已知椭圆E：的左、右焦点分别为，，焦距与短轴长均为求E的方程；设任意过的直线l交E于M，N，分别作E在点M，N处的切线，且两条切线相交于点P，过作平行于l的直线分别交PM，PN于A，B，求的取值范围．22. 设连续正值函数定义在区间上，如果对于任意，都有，则称为“几何上凸函数”．已知，讨论函数的单调性；若，试判断是否为上的“几何上凸函数”，并说明理由．答案和解析1.【答案】B【解析】解：，，，，A错误；时，，C错误；，，D错误．故选：根据可判断B正确，D错误，并得出，从而判断A，C都错误．本题考查了补集的运算，子集的定义，考查了计算能力，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：，，，故选：通过，，推出，然后求解即可．本题考查求解不等式的范围，是基础题．3.【答案】A【解析】解：根据题意，将一个骰子连续抛掷三次，每次都有6种情况，则共有种情况，它落地时向上的点数能组成等差数列，分两种情况讨论：①若落地时向上的点数若不同，则为1，2，3或1，3，5，或2，3，4或2，4，6或3，4，5或4，5，6；共有6种可能，每种可能的点数顺序可以颠倒，即有种情况；即有种情况，②若落地时向上的点数全相同，有6种情况，共有种情况，落地时向上的点数能组成等差数列的概率为；故选：根据题意，分析可得将一个骰子连续抛掷三次，每次都有6种情况，由分步计数原理可得共有种情况，进而分两种情况讨论骰子落地时向上的点数能组成等差数列的情况，可得符合条件的情况数目，由等可能事件的概率计算公式，计算可得答案．本题考查等可能事件的概率计算，注意题干中“向上的点数能组成等差数列”，向上的点数不要求顺序，如“2，1，3”也符合条件．4.【答案】B【解析】解：设，则，，，，，，，，当时，，即，有两组满足条件，，当，或，，，，，时，，不符合题意，满足的复数z的个数为故选：设，由，可得，则，讨论两种情况即可得答案．本题考查复数的运算，考查共轭复数的概念、复数的运算法则等基础知识，是基础题．5.【答案】B【解析】解：，，，则，，故，当且仅当，即时，等号成立，故当最大时，故选：根据已知条件，结合正切函数的两角差公式，以及基本不等式的公式，即可求解．本题主要考查函数的实际应用，考查转化能力，属于基础题．6.【答案】B【解析】解：如图，设，，K为的外心，O为三棱锥外接球的球心，则平面BCD，又平面BCD，所以，平面BCD，则，四边形OKDA是直角梯形，设，，，由平面BCD，平面BCD，得，则，即，又，则，，令，则，，当且仅当，即时等号成立，所以三棱锥外接球表面积故选：设，，求得的外接圆的半径为，结合图形求得三棱锥外接球半径，然后换元利用基本不等式及不等式的性质得的最小值，从而可得面积的最小值．本题考查了三棱锥外接球的表面积计算，属于中档题．7.【答案】B【解析】解：，又AB的中点为O，，，Q，O三点共线，又，，且，∽，，，，设，，又，，则，，，，，，，，又P，Q，O三点共线，，，，，故选：根据与，易得P，Q，O三点共线且，，从而可得∽，从而可得，即得，即得，再，，从而可得，，再利用斜率公式及，可得证得，从而得解．本题考查双曲线与椭圆的几何性质，向量共线定理的应用，相似三角形的应用，两点的斜率公式的应用，化归转化思想，属中档题．8.【答案】C【解析】解：关于对称，①，，②，由①②得③，又④，④-③得⑤，⑥，⑥-⑤得，，，的周期为8，，⑦，又⑧，⑦-⑧得，结合⑤可得：，为偶函数，，对，令，可得，又结合⑤可得，对⑤：，令，可得，又为偶函数，，，又的周期为8，，，，，，根据的周期性可得：，故选：根据已知条件的两式结合的对称性，可推出是周期为8的偶函数，再结合赋值法，即可分别求出，，，的值，最后再利用函数的周期性，即可求解．本题考查抽象函数的求值问题，函数的对称性与周期性，考查学生的逻辑推理能力，属中档题．9.【答案】ACD【解析】解：对于A，中位数就是第50百分位数，故A正确；对于B，，则，故B错误；对于C，，函数为偶函数，则，区间与关于对称，故，故C正确；对于D，由分层抽样的平均数公式可得，按分层抽样样本方差的计算公式可得，故D正确．故选：对于A，利用中位数的概念，即可求解；对于B，利用二项分布的方差公式及方差性质求解；对于C，利用正态分布的对称性，即可求解；对于D，利用平均数和方差公式计算即可．本题主要考查中位数的概念，正态分布的对称性，二项分布的方差，平均数与方差的求法，考查运算求解能力，属于中档题．10.【答案】ABD【解析】解：如图，作，分别以OC，OE为x，y轴建立平面直角坐标系，则，设，则，由可得，且，，若，则，解得，负值舍去，故，A正确；若，则，所以，所以，故B正确；，由于，故，故，故C错误；由于，故，而，所以，所以，故D正确，故选：建立平面直角系，表示出相关点的坐标，设，可得，由，结合题中条件可判断A，B，表示出相关向量的坐标，利用数量积的运算律，结合三角函数的性质，可判断C，本题考查了平面向量数量积的运算律和三角函数的性质，属于中档题．11.【答案】ABC【解析】解：对于A：如下图，直线AC直线CD所成角，即为直线AC与直线AB所成角，则，故A正确；对于B：以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，过A的直线l与长方体所有棱所成的角相等，与面交于且x，，又，则，故，则，故B正确；对于C：如下图，过A的直线m与长方体所有面所成的角都为，则直线m为以4为棱长的正方体的体对角线AM，故，故C正确；对于D：如下图，过A的平面与长方体所有面所成的二面角都为，只需面与以4为棱长的正方体中相邻的三条棱顶点所在平面平行，如面EDF，故，则，故D错误．故选：对于A，根据长方体的性质找到直线AC与与直线CD所成角的平面角即可；对于B，建立空间直角坐标系，根据线线角相等，结合空间向量夹角的坐标表示求，即可求M坐标，进而确定线段长；对于C、D，将长方体补为以4为棱长的正方体，根据描述找到对应的直线m、平面，结合正方体性质求线面角、面面角的正弦值．本题主要考查了空间角的计算问题，属于较难题目．12.【答案】BCD【解析】解：，时，；时，不妨设，，，切线，，切线、的方程分别为：，，联立解得，，，为定值，面积；、两点的纵坐标之积为不为定值；直线的斜率为为定值．综上可得：只有BCD正确．故选：，利用导数的运算法则可得不妨设，，，根据切线，可得切线、的方程分别为：，，联立解得，分别令，可得，，进而得出，面积、两点的纵坐标之积为不为定值；利用斜率计算公式可得直线的斜率，进而判断出结论．本题考查了导数的几何意义、切线方程、点斜式、三角形面积计算公式、相互垂直与斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13.【答案】【解析】解：数，由函数的最大值为2，得，解得，可得故答案为：展开两角和的正弦，再由辅助角公式化积，利用最大值为2求得，进一步可得常数的值．本题考查三角函数最值的求法，考查两角和的正弦及辅助角公式的应用，是基础题．14.【答案】【解析】解：原式，前一个式子含的式子为，后一个式子含的式子为，故整个展开式中含的项为，故系数为故答案为：利用计数原理结合组合数的公式求解．本题考查二项式展开式的性质和学生的计算能力，属于中档题．15.【答案】【解析】解：由，得，设，则，令，得，在上单调递减，在上单调递增，最小值为，即，，即，令，则，令，得，在上单调递增，在上单调递减，当时，取最大值，所以b的取值范围是故答案为：依题意，，设，利用导数研究函数的单调性，可得，令，利用导数研究函数的单调性，可得b的取值范围是本题考查利用导数研究函数的单调性，最值，考查不等式的恒成立问题，考查转化思想及运算求解能力，属于中档题．16.【答案】【解析】解：设，有，则椭圆的焦半径公式，由题意可得为等差数列，，由题意，，的横坐标把AB八等分，所以，，又因为，所以，所以，当且仅当，即时取等号，即椭圆的离心率，故答案为：由椭圆的焦半径公式可得，由对称性可得，由题意，，，a成等差数列，可得，可得，的表达式，由均值不等式，可得取最小值时a，c的关系，进而求出椭圆的离心率．本题考查椭圆的对称性的应用及等差数列的性质的应用，椭圆的焦半径公式的应用，均值不等式的应用，属于中档题．17.【答案】解：证明：，D为AC中点，，又是等边三角形，，，，BD，平面PDB，平面PDB，平面PAC，平面平面PDB；是等边三角形，，的面积为，设三棱锥的底面ABC上的高为h，则，解得，为等腰直角三角形，，，，，作交于O，则，，又，是DB的中点，以O为坐标原点，OB所在直线为x轴，在平面ABC中过O作BD的垂线为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，，，，，，设是平面PAB的一个法向量，则，取，得，设平面PBC的一个法向量，则，取，得，，故二面角的正弦值为【解析】本题考查面面垂直的判定以及利用空间向量求平面与平面所成角的正弦值，属于中档题．求出，，平面PDB，由此能证明平面平面作于O，O是DB的中点，以O为坐标原点，OB为x轴，在平面ABC中过O作BD的垂线为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的正弦值．18.【答案】解：，，又，所以是以首项为，公比为的等比数列，从而，所以，证明：，，设①，则②，①-②得：，从而，故【解析】本题考查数列的递推公式，等比数列的证明及错位相减法求和，属于较难题．由数列的递推公式可得的通项公式，先对进行变形，得，再利用错位相减法求和即可得证．19.【答案】解：由题意知X可取0，1，2，Y可取0，1，2，则，，，，，，，的联合分布列为：01 21 020 0当时，，，，设，则由二项分布的期望公式得【解析】由题意知X 可取0，1，2，Y 可取0，1，2，直接计算概率，列出的联系分布列即可；直接计算，结合二项分布的期望公式求出本题考查二维离散型随机变量的联合分布列、概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式、二项分布等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.【答案】证明：由正弦定理可得，，所以，，，，则，即，因为，所以；证明：由已知得，，又由正弦定理可得，，因为，所以，由知，，则，又由正弦定理可得，，又，则，将以及代入可得，，整理可得，因为，，所以，则，令，则，，则，所以当，恒成立，所以在上单调递减，所以，即，综上所述，【解析】根据正余弦定理角化边，整理即可；根据正弦定理推得，即可得到通过分析，可得以及，代入，整理可得到，令，构造，求导得到在上单调递减．进而得到本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于中档题．21.【答案】解：由题意，，可得，可得，所以椭圆的方程为：；由题意，，显然l 的斜率不为0，故设l 的方程为，，，联立，即，故，，由题意可知M ，N 不在x 轴上，即过M ，N 两点的切线斜率存在，设过M 点的切线方程为，与椭圆联立有，整理可得：，，可得，即过M 点的切线方程为，即，同理可得过N 点的切线方程为，联立两切线方程，整理可得：，即，化简可得，代入，可得，可得，设MN 的中点为，则，，所以，因为，，所以，即O，Q，P三点共线，又过平行于l的直线分别交PM，PN于A，B，易得∽，取AB中点R，根据三角形的性质有R，O，Q，P四点共线，结合椭圆的对称性，可得，当且仅当时取等号．故的取值范围是【解析】由题意可得b，c的值，进而求出a的值，求出椭圆的方程；设直线l的方程，与椭圆的方程联立，求出两根之和及两根之积，求出直线过M的点的切线方程，与椭圆的方程联立，由判别式为0，可得直线OM的斜率，同理可得过切点N的切线方程，两式联立，整理可得P的坐标，可得MN的中点Q的坐标，再由三角形相似，即椭圆的对称性可得的取值范围．本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合应用，属于中档题．22.【答案】解：定义域为，的导函数当时，，故在单调递减；当时，得：；由得：；于是在单调递减，在单调递增，综上，当时，在单调递减；当时，在单调递减，在单调递增．是上的几何上凸函数，证明如下：由可知，当时，在单调递减，在单调递增．故，故为连续正值函数，由于，，要证是上的几何上凸函数．需证，即证，，，则，需证，由，且，故只需证，下面给出证明：设，则，即在上，递减，所以，即综上，成立，故，得证．【解析】对函数求导，分及讨论导函数与0的关系，进而得到单调性情况；将代入，根据新定义利用分析法证明即可．本题考查利用导数研究函数的单调性，考查不等式的证明，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于难题．。

2024年中考适应性测试数学试题注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项1.本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将本试卷和答题纸一并交回．2.答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题纸指定的位置．3.答案必须按要求填涂、书写在答题纸上，在试卷、草稿纸上答题一律无效．一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题纸上．1. -4的相反数是（ ）A. B. C. 4 D. -4【答案】C【解析】【分析】根据相反数的定义（只有符号不同的两个数，叫做互为相反数）即可求解．【详解】-4的相反数是4，故选：C ．【点晴】此题主要考查相反数，解题的关键是熟知相反数的定义．2. 下列图案由正多边形拼成，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D.【答案】B【解析】【详解】根据轴对称图形与中心对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合．因此，A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；1414B 、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；C 、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；D 、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意．故选B ．3. 下列式子中，计算正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用完全平方公式，合并同类项的法则，同底数幂的除法的法则，积的乘方的法则对各项进行运算即可．【详解】解：A 、，故不符合题意；B 、与不属于同类项，不能合并，故不符合题意；C 、，故符合题意；D 、，故不符合题意；故选：C ．【点睛】本题主要考查完全平方公式，合并同类项，积的乘方，同底数幂的除法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．4. 如图是一个几何体的三视图，这个几何体是（ ）A. 圆锥B. 长方体C. 球D. 圆柱【答案】D ()2224x x +=+22xy y x -=()22346x y x y =1052a a a ÷=22(2)44x x x +=++2xy 2y -23246()x y x y =1055a a a ÷=【分析】根据三视图的定义及性质：“长对正，宽相等、高平齐”，可知该几何体为圆柱【详解】主视图和俯视图为矩形，则该几何体为柱体，根据左视图为圆，可知该几何体为：圆柱A 、B 、C 选项不符合题意，D 符合题意．故选D ．【点睛】考查几何体的三视图的知识，从正面看的图形是主视图，从左面看到的图形是左视图，从上面看到的图象是俯视图．掌握以上知识是解题的关键．5. 若关于的一元二次方程的一个解是，则的值是（ ）A. 2025B. 2024C. 2023D. 2022【答案】A【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的解，熟知一元二次方程的解即为能使方程成立的未知数的值是解本题的关键．把代入原方程，可得，即可求解．【详解】解：∵一元二次方程的一个解是，∴，∴，∴．故选：A ．6. 如图，数轴上点，分别对应2，4，过点作，以点为圆心，长为半径画弧，交于点；以原点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则点对应的数是（ ）A. B. C. 5 D. 【答案】B x ()2202400mx nx m +-=≠1x =1m n ++1x =2024m n +=()2202400mx nx m +-=≠1x =20240m n +-=2024m n +=12025m n ++=A B B PQ AB ⊥B AB PQC O OC MM【分析】直接利用勾股定理得出OC 的长，进而得出答案．【详解】解：如图所示：由题意可得：OB=2，BC=1，则故点M 对应的数是：故选B.【点睛】此题主要考查了勾股定理，根据题意得出OC 的长是解题关键．7. 如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在边DC 上，DE ：EC=3：1，连接AE 交BD 于点F ，则△DEF 的面积与△BAF 的面积之比为（ ）A. 3：4B. 9：16C. 9：1D. 3：1【答案】B【解析】【分析】根据题意可证明△DFE ∽△BFA ，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可得出答案．【详解】解：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴DC ∥AB ，∴△DFE ∽△BFA ，∵DE ：EC =3：1，∴DE ：DC =3：4，∴DE ：AB =3：4，∴S △DFE ：S △BFA =9：16．故选：B ．8. 如图，与正五边形的两边相切于两点，则的度数是（ ）=O ABCDE ,AE CD ,A C AOC ∠A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据切线的性质，可得∠OAE ＝90°，∠OCD ＝90°，结合正五边形的每个内角的度数为108°，即可求解．【详解】解： ∵A E 、CD 切⊙O 于点A 、C ，∴∠OAE ＝90°，∠OCD ＝90°，∴正五边形ABCDE的每个内角的度数为： ，∴∠AOC ＝540°−90°−90°−108°−108°＝144°，故选：A ．【点睛】本题主要考查正多边形的内角和公式的应用，以及切线的性质定理，掌握正多边形的内角和定理是解题的关键．9. 如图，在平面直角坐标系中，直线与y 轴交于点C ，与反比例函数，在第一象限内的图像交于点B ，连接，若，，则m 的值是（ ）A. 6B. 8C. 10D. 12【答案】D【解析】【分析】先根据直线求得点C 的坐标，然后根据求得，然后利用正切的定义求得，从而求得点B 的坐标，求得结论．144︒130︒129︒108︒()521801085-⨯︒=︒4y kx ＝＋m y x =OB 4OBC S = 1tan 3BOC ∠=4OBC S = 2BD =6OD =【详解】解：∵直线与y 轴交于点C ，当时，，∴点C 的坐标为，∴，过B 作轴于D ，∵，∴，∵，∴，∴，∴点B 的坐标为，∵反比例函数，在第一象限内的图像经过点B ，∴．故选：D ．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点坐标，正切的含义，解题的关键是作辅助线构造直角三角形．10. 如图，已知A ，B 两点的坐标分别为（8，0），（0，8），点C ，F 分别是直线x ＝﹣5和x 轴上的动点，CF ＝10，点D 是线段CF 的中点，连接AD 交y 轴于点E ，当△ABE 面积取得最小值时，sin ∠BAD 的值是（ ）4y kx =+0x =4y ＝()0,44OC =BD y ⊥4OBC S = 2BD =1tan 3BOC ∠=13BD OD =6OD =()2,6m y x=2612m =⨯=A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】设直线x ＝﹣5交x 轴于，可知，推出点的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆，推出当直线与相切时，的面积最小，作于，求出的值，即可解题．【详解】解：如图，设直线x ＝﹣5交x 轴于，由题意得，点的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆，当直线与相切时，的面积最小，是切线，点是切点，817717K 152KD CF ==D K 5AD K ABE EH AB ⊥H EH K 152KD CF ==D ∴K 5AD K ABE AD D AD KD∴⊥13,5AK DK == 12AD ∴=tan OE DK EAO OA AD ∠== 5812OE ∴=103OE ∴=263AE ∴==作于故选：D ．【点睛】本题考查切线的性质、正切、勾股定理、正弦等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．二、填空题（本题共8小题，第11~12题每小题3分，第13~18题每小题4分，共30分）不需写出解答过程，把最后结果填在答题纸对应的位置上．11. 因式分解：______．【答案】【解析】【分析】先提公因式2，再利用完全平方公式分解．【详解】解：故答案为：．【点睛】本题考查了因式分解，解题的关键是掌握提公因式法和公式法的综合应用．12. 太阳主要成分是氢，氢原子的半径约为．这个数用科学记数法可以表示为________．【答案】【解析】【分析】本题主要考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法求解即可．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n 为整数．解题关键是正确确定a 的值以及n 的值．的EH AB ⊥H12ABE AOB AOE S AB EH S S =⋅=-EH ∴=sin EH BAD AE ∴∠===2288a a -+=()222a -2288a a -+()2244a a =-+()222a =-()222a -0.000000000053m 115.310-⨯10n a ⨯1<10a ≤【详解】用科学记数法可以表示为．故答案为：．13. 某个函数具有性质：当>0时，随的增大而增大，这个函数的表达式可以是____（只要写出一个符合题意的答案即可）【答案】【解析】【分析】根据一次函数的性质、反比例函数的性质、二次函数的性质写出一个满足条件的函数即可.【详解】某个函数具有性质：当>0时，随的增大而增大，这个函数的表达式可以是，故答案为(答案不唯一).【点睛】本题考查了函数的性质，熟练掌握一次函数的性质、反比例函数的性质、二次函数的性质是解本题的关键.14. 已知扇形的面积为12π，半径等于6，则它的圆心角等于___________度．【答案】120【解析】【详解】扇形面积=圆心角×π×半径平方/360即 12π=n×π×36÷36012=n÷10所以 n=120°．故答案为120．15. 如图是一个直角三角形纸片的一部分，测得，，，则原来的三角形纸片的面积是________．（结果精确到，参考数据：，，．）【答案】201【解析】0.000000000053115.310-⨯115.310-⨯x y x 2y x =x y x 2y x =2y x =90A ∠=︒76B ∠=︒10cm AB =2cm 21cm sin 760.97︒≈cos 760.24︒≈tan 76 4.01︒≈【分析】先延长直角三角形两边相交于点，利用，求出直角边的长，即可求出三角形纸片的面积．【详解】如图延长直角三角形的两边相交于点，在中，，∴，∴，∴，故答案是201．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，以及三角形的面积，掌握直角三角形的边角关系是解题的关键．16. 我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，原文：今有人盗库绢，不知所失几何．但闻草中分绢，人得六匹，盈六匹；人得七匹，不足七匹．问人、绢各几何？注释：（娟）纺织品的统称；（人得）每人分得；（匹）量词，用于纺织品等；（盈）：剩下．则库绢共有______匹．【答案】84【解析】【分析】根据“人得六匹，盈六匹；人得七匹，不足七匹”列出方程组即可．【详解】解：若设贼有x 人，库绢有y 匹，根据题意得：，的C tan AC B AB=AC C Rt ABC △90A ∠=︒tan AC B AB=tan 10tan 7610 4.0140.1AC AB B =⋅=⨯︒≈⨯=111040.120122S AB AC =⋅=⨯⨯≈6677x y x y +=⎧⎨-=⎩解得：，∴库绢共有84匹，故答案为：84．【点睛】本题考查了二元一次方程组的实际应用，解题的关键是根据题意找到等量关系，列出方程组，难度不大．17. 已知四边形是矩形，，E 为边上一动点且不与B 、C 重合，连接，如图，过点E 作交于点N ．将沿翻折，点C 恰好落在边上，那么的长___________．【答案】2或##或【解析】【分析】过点E 作于F ，则四边形是矩形，得出，由折叠的性质得出，，证明，得出，则，由，得出，则，得出，设，则，，，则，求出，，由，即可得出结果；【详解】解：过点E 作于F ，如图所示：则四边形是矩形，∴，由折叠的性质得：，，1384x y =⎧⎨=⎩ABCD 24AB BC ==，BC AE ENAE ⊥CD ECN EN AD BE 23232EF AD ⊥ABEF 2AB EF AF BE ===，CE C E CN C N ''==，90EC N C '∠=∠=︒EC F C ND '' C D DN C N EF FC CE ''=='C D DN CN EF FC CE '=='AB BE CE CN =CN BE CE AB =C D DN BE EF FC AB'=='C D BE '=BE x =C D AF x '==42C F x '=-4CE x =-42242DN x CN x x x ==--，()2DN x x =-42x x CN -=（）2CN DN CD +==EF AD ⊥ABEF 2AB EF AF BE ===，CE C E CN C N ''==，90EC N C '∠=∠=︒∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，同理可得：，∴，∴，∴，设，则，，，∴，∴，，∴，解得：或，∴或．故答案为：2或．【点睛】本题考查了矩形判定与性质、相似三角形的判定与性质、折叠的性质、一元二次方程的解法，三角形面积的计算等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．18. 在平面直角坐标系中，点的坐标为，是第一象限内任意一点，连接，，若，，若点到轴的距离为，则的最小值为________．【答案】【解析】【分析】由题意可作出以为直径的，根据已知条件及圆的相关知识可得答案．的90NC D EC F ''∠+∠=︒90C ND NC D ''∠+∠=︒EC F C ND ''∠=∠D EFC '∠=∠EC F C ND '' C D DN C N EF FC C E''==''C D DN CN EF FC CE'=='AB BE CE CN=CN BE CE AB=C D DN BE EF FC AB '=='C D BE '=BE x =C D AF x '==42C F x '=-4CE x =-42242DN x CN x x x ==--，()2DN x x =-42x x CN -=（）2CN DN x x +=（﹣）42x x -+=（）2CD =2x =23x =2BE =23BE =23A ()20，P PO PA POA m ∠=︒PAO n ∠=︒P x 1m n +90OA M【详解】解：如图，在平面直角坐标系中作出以为直径的，设直线与相切于点，则垂直于直线，根据三角形内角和定理可知，要使得取得最小值，则需取得最大值．点到轴的距离为，而为半径，，点的坐标为，，为以为直径的圆的一个圆周角，．在直线上任取一点不同于点的一点，连接，交于点，连接，则，，的最大值为，的最小值为．故答案为：．【点睛】本题考查了坐标与图形的相关性质，直径所对的圆周角是直角、三角形的内角和及外角性质等知识点，掌握以上知识是解题的关键．三、解答题（本题共8小题，共90分）解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请在答题纸对应的位置和区域内解答．19. （1）解不等式组：；（2）解方程：．OA M 1y =M P MP 1y =m n +OPA ∠ P x 1PM 1PM ∴= A ()2,01OM ∴=OPA ∴∠OA 90OPA ∴∠=︒1y =P P 'OP 'M Q AQ 90AQO A ∠=︒>∠P 'O OPA A ∴∠>∠P 'O OPA ∴∠90︒m n ∴+90904211123x x x x +>-+⎧⎪-⎨-≤⎪⎩214111x x x --=+-【答案】（1）；（2）无解【解析】【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，解分式方程，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．（1）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可；（2）先化为整式方程，再解一元一次方程，然后对所求的方程的解进行检验即可得．【详解】解：（1）由①得，，由②得，．∴原不等式组的解集．（2）解：去分母得：，整理得：，解得：，检验：将代入，∴是原方程的增根，∴原分式方程无解．20. 如图，B 、C 在直线EF 上，AE ∥FD ，AE ＝FD ，且BE ＝CF ，（1）求证：△ABE ≌△DCF ；（2）连接AC 、BD ，求证：四边形ACDB 是平行四边形．【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】【分析】（1）根据SAS 即可证明；（2）只要证明AB ∥CD ，AB ＝CD 即可解决问题．14x -<≤4211123x x x x +>-+⎧⎪⎨--≤⎪⎩①②1x >-4x ≤14x -<≤214111x x x --=+-22(1)41x x --=-222141x x x -+-=-=1x -=1x -210x -==1x -【详解】证明：（1）∵AE ∥DF ，∴∠AEF ＝∠DFE ，∴∠AEB ＝∠DFC ，∵AE ＝FD ，BE ＝CF ，∴△AEB ≌△DFC （SAS ）．（2）连接AC 、BD ．∵△AEB ≌△DFC ，∴AB ＝CD ，∠ABE ＝∠DCF ，∴AB ∥DC ，∴四边形ABDC 是平行四边形．【点睛】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．21. 为进一步宣传防溺水知识，提高学生防溺水的能力，某校组织七、八年级各200名学生进行防溺水知识竞赛（满分100分）．现分别在七、八年级中各随机抽取10名学生的测试成绩（单位：分）进行统计、整理如下：七年级：86，90，79，84，74，93，76，81，90，87．八年级：85，76，90，81，84，92，81，84，83，84．七、八年级测试成绩频数统计表七年级343八年级17七、八年级测试成绩分析统计表平均数中位数众数方差七年级849036.4x 7080x ≤<8090x ≤<90100x ≤≤ab八年级848418.4根据以上信息，解答下列问题：（1）_________，_________，_________；（2）按学生的实际成绩，你认为哪个年级的学生掌握防溺水知识的总体水平较好？请说明理由．（3）如果把的记为“优秀”，把的记为“合格”，学校规定两项成绩按计算．通过计算比较哪个年级得分较高？【答案】（1），，（2）八年级总体水平较为好些；理由见解析（3）七年级得分较高【解析】【分析】（1）从题目中给出的七，八年级中各随机抽取10名学生的测试成绩中可直接求出，的值，根据中位数定义可求出；（2）根据方差的意义求解即可；（3）根据加权平均数的定义计算，从而得出答案．【小问1详解】解：八年级的10名学生中有8名学生成绩低于90分，，根据众数的定义可知：，把七年级10名学生的测试成绩排好顺序为：74，76，79，81，84，86，87，90，90，93，根据中位数的定义可知，该组数据的中位数为，故答案为：2，85，84；【小问2详解】八年级好些七八年级成绩的平均数相等，但八年级成绩的方差小于七年级成绩的方差，所以八年级总体水平较为好些【小问3详解】七年级得分：八年级得分：c =a b =c =85x ≥7085x ≤<6:428584a c b 10712a ∴=--=84c =8486852b +==(902938786)0.6(8481797476)0.4425.2⨯+++⨯+++++⨯=(909285)0.6(8438128376)0.4389.8++⨯+⨯+⨯++⨯=∴七年级得分较高．【点睛】本题考查了方差、中位数，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．22. 人工智能是数字经济高质量发展的引擎，也是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动，中国人工智能行业可按照应用领域分为四大类别：决策类人工智能，人工智能机器人，语音及语义人工智能，视觉类人工智能，将四个类型的图标依次制成A ，B ，C ，D 四张卡片（卡片背面完全相同），将四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上．（1）随机抽取一张，抽到决策类人工智能的卡片的概率为_______；（2）从中随机抽取一张，记录卡片的内容后不放回洗匀，再随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法求抽取到的两张卡片中不含D 卡片的概率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本题考查了概率公式计算，画树状图法计算，正确选择方法是解题的关键．(1)利用公式计算即可．(2) 不放回型的概率计算，利用画树状图法计算即可．【小问1详解】一共有4种等可能性，抽到决策类人工智能的卡片有1种等可能性，故抽到决策类人工智能的卡片的概率为，故答案为：．【小问2详解】根据题意，画树状图如下：一共有12种等可能性，其中，两张卡片中不含D 卡片等可能性有6种．14121414故两张卡片中不含D卡片的概率是．23. 如图，在中，，以斜边上的中线为直径作，与交于点，与的另一个交点为，过作，垂足为．（1）求证：是的切线；（2）若的直径为5，，求的长．【答案】（1）见解析；（2）．【解析】【分析】（1）欲证明MN 为⊙O 的切线，只要证明OM ⊥MN ．（2）连接，分别求出BD=5，BE=，根据求解即可．【详解】（1）证明：连接，，．在中，是斜边上的中线，，，，，，，是的切线．（2）连接，易知，61122=Rt ABC 90ACB ︒∠=AB CD O BC M AB E M MN AB ⊥N MN O O 3sin 5B =ED 75ED =,DM CE 325ED BE BD =-OM OC OM = OCM OMC ∴∠=∠Rt ABC CD AB 12CD AB BD ∴==DCB DBC ∴∠=∠OMC DBC ∴∠=∠//OM BD ∴MN BD ⊥ MN OM ∴⊥MN ∴O ,DM CE ,DM BC CE AB ⊥⊥由（1）可知，故M 为的中点，，，在中，，．在中，，．【点睛】本题考查切线的判定和性质，等腰三角形的性质，解直角三角形等知识；熟练掌握切线的判定定理是解题的关键．24. 为响应荆州市“创建全国文明城市”号召，某单位不断美化环境，拟在一块矩形空地上修建绿色植物园，其中一边靠墙，可利用的墙长不超过18m ，另外三边由36m 长的栅栏围成．设矩形ABCD 空地中，垂直于墙的边AB =x m ，面积为y m 2（如图）．（1）求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（2）若矩形空地的面积为160m 2，求x 的值；（3）若该单位用8600元购买了甲、乙、丙三种绿色植物共400棵（每种植物的单价和每棵栽种的合理用地面积如下表）．问丙种植物最多可以购买多少棵？此时，这批植物可以全部栽种到这块空地上吗？请说明理由．甲乙丙单价（元/棵）141628合理用地（m 2/棵）0.410.45BD CD ==BC 3sin 5B = 4cos 5B ∴=Rt BMD △cos 4BM BD B =⋅=28BC BM ∴==Rt CEB 32cos 5BE BC B =⋅=327555ED BE BD ∴=-=-=【答案】（1）y =﹣2x 2+36x （0<x <18）；（2）x 的值为10；（3）这批植物不可以全部栽种到这块空地上．【解析】【分析】（1）根据矩形的面积公式计算即可；（2）构建方程即可解决问题，注意检验是否符合题意；（3）利用二次函数的性质求出y 的最大值，设购买了乙种绿色植物a 棵，购买了丙种绿色植物b 棵，由题意：14（400﹣a ﹣b ）+16a +28b =8600，可得a +7b =1500，推出b 的最大值为214，此时a =2，再求出实际植物面积即可判断.【详解】（1）y =x （36﹣2x ）=﹣2x 2+36x （0<x <18）；（2）由题意：﹣2x 2+36x =160，解得x =10或8，∵x =8时，36﹣16=20＜18，不符合题意，∴x 的值为10；（3）∵y =﹣2x 2+36x =﹣2（x ﹣9）2+162，∴x =9时，y 有最大值162，设购买了乙种绿色植物a 棵，购买了丙种绿色植物b 棵，由题意：14（400﹣a ﹣b ）+16a +28b =8600，∴a +7b =1500，∴b 的最大值为214，此时a =2，需要种植的面积=0.4×（400﹣214﹣2）+1×2+0.4×214=162.8＞162，∴这批植物不可以全部栽种到这块空地上．【点睛】本题考查了二次函数的应用，弄清题意，熟练掌握一元二次方程的解法、二次函数的性质等是解题的关键．25. 如图，在矩形中，，M 是对角线上的动点，过点M 作的垂线交折线于点N ，当点N 不和点A ，C ，D 重合时，以为边作等边，使点P 和点D 在直线的同侧，设．（1）若点N 落在边上，求等边的边长（用含m 的代数式表示）．（2）若点P 落在的边上，求m的值．ABCD 330BC BAC =∠=︒，AC AC AD DC －MN MNP MN AM m =AD MNP △ ACD（3）作直线，若点M ，N 关于直线的对称点分别为，，，求m 的值．【答案】（1（2） （3）1或【解析】【分析】（1）在中利用正切函数关系即可求得，从而求得等边的边长；（2）依题意可得，则可求得的长，另一方面，由矩形的性质及已知，在中，可求得，由建立方程即可求得m 的值；（3）分两种情况：点N 在上；点N 在上，分别计算即可．【小问1详解】解：在矩形中，，∵，，∴，∴；【小问2详解】当P 落上时，如图，，∵，∴，∵，∴，∵，，∴，∵，∴，在,DP DP M 'N 'M N CD ''∥125m =154RtNMA △NM MNP △90APM ∠=︒PM Rt NMC △NM NM PM =AD DC ABCD 90DAB ∠=︒NM AC ⊥30BAC ∠=︒60NAM ∠=︒tan 60NM AM =⋅︒=AD MN PM =9060CMN PMN ∠=︒∠=︒，30AMP ∠=︒60DAC ∠=︒90APM ∠=︒AM m =o sin 60PM AM=PM m ==330BC BAC =∠=︒，90B Ð=°26AC BC ==∴；∵，∴，∴；∴由，∴．【小问3详解】分两种情况：①当N 在上时，如图，，延长、交于同一点E ，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，由对称得：，∴，中，，，∵，∴，∵，∴．6CM m =-AB CD ∥30DCM BAC ∠=∠=︒tan 30)NM CM m =⋅︒=-NM PM=)m -=125m =AD M N CD ''∥MN M N ''DP 3060ANM MNP ∠=︒∠=︒，90ANP ∠=︒90ADC ∠=︒PN CD ∥M N CD ''∥PN M N ''∥o 60MEM MNP '∠=∠=o 30MEP M EP '∠=∠=90MPE ∠=︒Rt ANM △22AN AM m ==MN PN ==30NPD ∠=︒ND m =33AD m ==1m =②当N 在上时，如图，当时，在上，延长、，交上同一点为E ，∴，∴，由对称知，，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴,在与中，，∴，∴，由（2）知：，∴，，解得，DC MN CD ''∥N 'AC N M ''NM DP o 30EN M DCA '∠=∠=12ME N E '=MN M N ME M E '''==，12M E N E ''=M N M E '''=ME MN MP ==1302MPE MEP PMN ∠=∠=∠=︒90NPE NPM MPE ∠=∠+∠=︒60CNM MNP ∠=∠=︒60DNP CNM ∠=∠=︒DNP CNM 90DNP CNM DPN EMN NP MN ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨='⎪⎩DNP CNM △≌△DN CN =)6MN m =-)26CN MN m ==-)162m -=⨯154m =则时m 的值为1或．【点睛】本题是四边形动点问题，考查了矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，三角函数，等边三角形的性质等知识，灵活运用它们是关键，注意分类讨论．26. 如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于，，与轴交于点．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上是否存在一点，满？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由；（3）如图2，过点作的垂线，垂足为，，分别为射线，上的两个动点，且满足，连接，请直按写出的最小值．【答案】（1） （2）存在，或 （3【解析】【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）过点作的角平分线，交轴于点，过点作于，得到，然后由求出，得到，过点作，垂足为，，设点坐标为，根据题意分点在第四象限和点在第三象限两种情况讨论，分别求解即可；M N CD ''∥154xOy 2y ax bx c =++x ()4,0A -()4,0B y ()0,3C -P 12COP OCA ∠∠=P O CB H M N OC OH :3:5OM ON =,BM CN 35BM CN +23316y x =-48,33P ⎛⎫- ⎪⎝⎭48,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭C OCA ∠CD x D D DEAC ⊥E 2AE AC CE =-=4cos 5OA OAC AC ∠==32OD =COP OCD ∠=∠P PQ OC ⊥Q 12PQ OQ =P 23,316m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭P P（3）过点作，同时使得，连接，证明出，得到，得到，过点作，垂足为，利用勾股定理求解即可．【小问1详解】把，，代入得，解得得∴抛物线的解析式为；【小问2详解】过点作的角平分线，交轴于点，过点作于，∵为的角平分线，轴， ∴，，，∴∵∴∵∴∴又，即O QOC CON ∠∠=95OQ =QM OQM OCN ∽35QM OM CN ON ==35BM CN BM QM BQ +=+≥B BE OQ ⊥E ()4,0A -()4,0B ()0,3C -2y ax bx c=++164016403a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=-⎩3,0,316a b c ===-23316y x =-C OCA ∠CD x D D DEAC ⊥E CD OCA ∠DO y ⊥DE AC⊥DCE DCO ∠=∠90DEC DOC ∠=∠=︒DE DO =DEC DOC≌()0,3C -3OC =3CE OC ∴==2AE AC CE ∴=-=()4,0A -5OA =5AC ==4cos 5OA OAC AC ∠== 45AE AD ∴=245AD =52AD ∴=32OD ∴=在中，又，过点作，垂足为，设点坐标为①若点在第四象限时，或（舍）．②若点在第三象限时，同理可得关于轴的对称点综上所述，或；【小问3详解】Rt ODC △312tan 32OD OCD OC ∠===12COP OCA ∠=∠ 12OCD OCA ∠=∠COP OCD∴∠=∠P PQ OC ⊥Q 12PQ OQ ∴=P 23,316m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭P 2132316PQ m OQ m ==⎛⎫-- ⎪⎝⎭2332480m m +-=143m ∴=212m =-48,33P ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭P P y 48,33P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭48,33P ⎛⎫- ⎪⎝⎭48,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭如图，过点作，同时使得，连接，又，过点作，垂足为，，在中，，，，在中，∴．【点睛】此题考查了二次函数的综合题，解直角三角形，相似三角形的性质和判定，勾股定理等知识，灵活运用所学知识是解题的关键．O QOC CON ∠∠=95OQ =QM 93535OQOC== 35OM ON =OQ OM OC ON∴=QOC CON∠=∠ OQM OCN∴ ∽35QM OM CN ON ∴==35QM CN ∴=35BM CN BM QM BQ ∴+=+≥B BE OQ ⊥E EOB BOH ∠∠∴=Rt OCB △125OH =165BH =125OE ∴=165BE =Rt QEB V BQ ==35BM CN +。

江苏省南通市中考数学二模试卷学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1．如图①表示正六棱柱形状的高大建筑物，图②中的阴影部分表示该建筑物的俯视图，P、Q、M、N表示小明在地面上的活动区域，小明想同时看到该建筑物的三个侧面，他应在（）A．P 区域B．Q 区域C．区域D．区域2．书架的第一层放有 2 本文艺书、3 本科技书，书架的第二层放有 4 本文艺书、1 本科技书，从两层各取 1 本书，恰好都是科技书的概率是（）A．325B．49C．1720D．253．已知弦AB把圆周角分成1 : 3的两部分，则弦AB所对的圆周角的度数为（）A．452B．1352C． 900或270D． 450或13504．圆锥的底面半径为1，表面积为4 ，则圆锥的母线长为（）．A．4 B．3 C．2D．3 25．如图，Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，角平分线AE交CD于H，EF⊥AB于F，则下列结论中不正确的是（）A．∠ACD=∠B B．CH=CE=EF C．AC=AF D．CH=HD6．小明和爸爸妈妈三人玩跷跷板，爸爸坐在跷跷板的一端，小明和妈妈一同坐在跷跷板的另一端，他们都不用力时，爸爸那端着地，已知爸爸的体重为 70 kg，妈妈的体重为 50 kg，那么小明的体重可能是（）A．l8kg B．22 kg C．28 kg D．30 kg7．如图，在 Rt△ABC 中，∠B = 90°，ED 垂直平分AC，交AC边于点D，交BC边于E. ∠C= 35°，则∠BAE为（）A． 10°B．15°C．20°D．25°8．下列式子中是完全平方式的是（ ）A ．22b ab a ++B ．222++a aC ．222b b a +-D ．122++a a9．在①(65)65ab a a b +÷=+；②（8x2y 22(84)(4)2x y xy xy x y -÷-=--；③ 22(1510)(5)32x yz xy xy x y -÷=-；④222(33)33x y xy x x xy y -+÷=-中，不正确的有（ ）A ．1 个B ．2 个C ．3 个D ． 4 个 10．如图是一个可以自由转动的转盘，转动这个转盘，当它停止转动时，指针指向的可能性最大的区域是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．411．当身边没有量角器时，怎样得到一些特定度数的角呢？动手操作有时可以解“燃眉之急”．如图，已知长方形ABCD ，我们按如下步骤操作可以得到一个特定的角：（1）以点A 所在直线为折痕，折叠纸片，使点B 落在AD 上，折痕与BC 交于E ；（2）将纸片展平后，再一次折叠纸片，以E 所在直线为折痕，使点A 落在BC 上，折痕EF 交AD 于F ．则∠AFE 的度数为（ ）A ．60︒B ．67.5︒C ．72︒D ．75︒二、填空题12．为了测量校园水平地面上一棵不可攀的树的高度，学校数学兴趣小组做了如下的探索：根据《科学》中光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如图所示的测量方案：把一面很小的镜子放在离树底 B 点8.4m 的 E 点处，然后沿着直线 BE 后退到点 D ，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A ，再用皮尺量得 DE=2.4m ，观察者日高CD= 1.6 m ，则树的高度约为 m ．(精确到0.1 m).13．在一个有两层的书架中，上层放有语文、数学两本书，下层放有科学、英语、社会 3 本书，由于封面都被同样的纸包起来，无法辨认，现分别从上下层中各抽出一本书，恰好分别是数学和社会的概率是 ． 14．若a= 3 cm ，2b= 1 cm ，则a ：b= ． 15．若一个多边形的内角和与外角和的和等于900°，则它有 条对角线.16．如图，已知AB ＝AC ，BE ＝CE ，延长AE 交BC 于D ，则图中全等三角形共有 对.17．在□ABCD 中．M 是BC 的中点，N 是MC 的中点，P 为AD 上任意一点．若□ABCD 的面积是l ，则△PMN 的面积为 ．18．一个五边形的三个内角都是直角，另两个内角的度数都是n ，则n= ．19．已知一组数据有40个，把它分成六组，第一组到第四组的频数分别是l0，5，7，6,第 五组的频率是0．2，则第六组的频率是 ．20． 计算：(1)32320()25⨯-= ； (2)31645122÷= ； (3)1320(5)353⨯-÷= ； 21．如图所示，不等式的解为 .22．如图，AB 、CD 是大圆的两条互相垂直的直径，AB=2，则图中阴影部分的面积是 (结果保留π).23．若4m a =，8n a =，则32m n a -= ．24．当98m =-时，244m m -+的值为 ．25．已知方程230x -=与2330x y +-=，写出它们的两个共同点： ．写出它们的两个不同点： ．26．如图所示的四个两两相联的等圆．右边的三个圆可以看做是左边的圆经过 得到的．三、解答题27．如图所示，要测量河对岸一铁塔的高度，小明在A 处测得塔顶D 的仰角为 30°，向塔前进50 m 到达 B 处，测得塔顶的仰角为 45°，小明测得的塔高 CD 是多少？ (精确到0.1m)28．一个物体的俯视图是正方形，你认为这个物体可能是什么形状?你能写出两种或两种以上不同的物体吗?29．某大桥打下的一根用特殊材料制成的桩管(横截面如图所示)，它的外半径为R(m)，内半径为 r(m)，用含 R，r 的代数式表示桩管的横截面积，这个多项式能分解因式吗？若R= 1.15 m，r =0. 85m，计算它的横截面面积. (结果保留 )30．如图，直线AD与BE相交于点0，∠1与∠2互余，∠2=62°，求∠3的度数．【参考答案】学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1．B2．A3．D4．B5．D6．A7．C8．D9．C10．C11．B二、填空题12．5.613．114．66. 115．516．317．118．8135°19．0．120．（1）-2）3）21．x≥22．11π23．2124．1000025．共同点：都含未知数 x，都是一次方程等. 不同点：一个是一元方程，一个是二元方程；前一个方程的解是唯一的，后一个方程有无数个解26．平移三、解答题27．设 CD=x,则,AC-BC=50,50x -=,1)x ==25 2.73268.3≈⨯= ∴CD=68. 3(m) 28．正方体，正四棱柱等 29．0.6πm 230．28°。

南通市2023届高三第二次调研测试数学模拟试题 参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．1. B2. B3. A4. B5. B6. B7. B8. C二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．9. ACD 10. ABD 11. ABC 12. BCD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.π214. 42- 15. 21[,)2e +∞ 16.四、解答题：本题共6小题，共70分.解：(1)证明：PA PC =，D 为AC 中点，AC PD ∴⊥，又ABC 是等边三角形，BA BC =，AC BD ∴⊥，BD PD D ⋂=，BD ，PD ⊂平面PDB ，AC ∴⊥平面PDB ，AC ⊂平面PAC ，∴平面PAC ⊥平面PDB ；(2)ABC 是等边三角形，2AC =，ABC ∴设三棱锥P ABC -的底面ABC 上的高为h ，则1336P ABC V h h -===，解得12h =， PAC 为等腰直角三角形，PA PC =，2AC =，1DP ∴=，30PDB ︒∴∠=，作PO DB ⊥交于O ，则12PO =，2DO ∴=， 又3BD =O ∴是DB 的中点，以O 为坐标原点，OB 所在直线为x 轴，在平面ABC 中过O 作BD 的垂线为y 轴， OP 为z 轴，建立空间直角坐标系，(1,0)A -，B ，1(0,0,)2P ，(C ， 313131(,1,),(,0,),()222222AP PB PC ∴==-=-， 设(,,)n x y z =是平面PAB 的一个法向量，则3102231022n AP x y z n PB xz ⎧⋅=++=⎪⎪⎨⎪⋅=-=⎪⎩，取1x =，得(1,3,n =-，设平面PBC 的一个法向量(,,)m a b c =，则3102231022m PB a c m PC b c⎧⋅=-=⎪⎪⎨⎪⋅=-+-=⎪⎩，取1a =，得(1,3,m =，1cos ,||||7m n m n m n ⋅∴<>==⋅，sin ,17m n ∴<>=-=故二面角A PB C -- 18. (1)解：122(1)(24)(1)n n n a n a n n +++=+，*n N ∈122(11)(1)1(1)2n nn a n a n n++++∴=⋅+， 又12(11)112a +=，∴数列2(1){}n n a n +是首项为12，公比为12的等比数列， 从而2(1)1()2nn n a n +=，则2*.(1)2n nn a n N n =∈+⋅ (2)证明：2(1)2122n n n nn n n n a n n ==⋅<+⋅+，212.222n n nS ∴<+++设212222n n n T =+++，则2311122222nn nT +=+++， 两式相减得1211111111122211222222212n n n n n n n n n T ++++-+=+++-=-=--， 从而222n n n T +=-，故22.2n n n S +<-19. 解：(1)X 可取0，1，2；Y 可取0，1，2， 则，，， ，，，(1,2)(2,1)(2,2)0P X Y P X Y P X Y =========，故(,)X Y 的联合分布列为：(2)当k m n +>时，(,)0P X k Y m ===，于是0(,)(,)n n kk m m p P X k Y m P X k Y m -========∑∑2333k m k n k nkn kmk n n k nn knn nn m m C C C CC -----=====∑∑，因此，设Z 服从二项分布，则20. 证明：(1)由正弦定理sin sin b c B C =，所以sin sin B bC c=， 由余弦定理可得222cos 2a c b B ac +-=，222cos 2a b c C ab +-=，所以由已知可得22222222a c b a b ac a b c c a ab+--=+--，即，因为b c ≠，所以2a b c =+；(2)由已知得，sin sin 22sin cos B C C C ==，又由正弦定理sin sin b cB C=可得，2cos b c C =， 因为cos 1C <，所以2b c <，由(1)知，2a b c =+，则b ca a+=， 又由正弦定理sin sin sin a b cA B C==可得，，又2cos b c C =，则2cos bc C=，将12cos 1a C =-以及2cos bc C=代入2a b c =+可得，，整理可得，，因为2B C =，A B C π++=，所以03C π<<，则1cos 12C <<，令2cos t C =，则12t <<， ，则，当12t <<时，恒成立，所以在上单调递减.所以，即2.3b >综上所述，22.3c b >>21. 解：(1)由题意得，4=，24b =，解得24b =，28a =，所以椭圆E 的方程为221;84x y +=(2)由题意得，2(2,0)F ，显然l 的斜率不为0，设直线l 的方程为2x ty =+，11(,)M x y ，22(,)N x y ，联立221842x y x ty ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消x 整理得22(2)440t y ty ++-=， ，12242t y y t +=-+，12242y y t =-+， 由题意知，M ，N 不在x 轴上，则分别作E 在点M ，N 上的两条切线的斜率存在，联立过M ，N 的切线方程，整理得121222112128.28x y x y y y y x y x y y y y +=⎧⎨+=⎩相减可得122121()8()x y x y x y y -=-，即122121[(2)(2)]8()ty y ty y x y y +-+=-，化简可得4x =，代入11184x x y y+=，可得11114242(2)2x ty y t y y --+===-，故(4,2).P t - 设MN 的中点为(,)Q Q Q x y ，则122222Q y y t y t +==-+，22224222Q t x t t =-+=++， 故2242(,)22tQ t t -++， 因为2222422OQ t t t k t -+==-+，242OP t t k -==-，所以OQ OP k k =，所以O ，Q ，P 三点共线， 又过1F 作平行于l 的直线分别交PM ，PN 于A ，B ，易得PMN ∽PAB ， 取AB 中点R ，根据三角形的性质有R ，O ，Q ，P 四点共线，结合椭圆的对称性有22||2||2||212||||||Q P x OA OB OR OQ x t OP OP OP +====+…， 当且仅当0t =时取等号，所以||(0,1]||OA OB OP +∈22. 解：()()f x 1定义域为(0,)+∞，()f x 的导函数1()f x a x'=-，当0a …时，1()0f x a x'=-<，故()x 在(0,)+∞单调递减; 当0a >时，由1()0f x a x '=->得：1;x a >由1()0f x a x '=-<得10;x a<<于是()f x 在1(0,)a 单调递减，在1(,)a+∞单调递增， 综上，当0a …时，()f x 在(0,)+∞单调递减;当0a >时，()f x 在1(0,)a 单调递减，在1(,)a+∞单调递增.()()f x 2是2[,)x e ∈+∞上的几何上凸函数，证明如下：由()1可知，当a e =时，()f x 在1(0,)e 单调递减，在1(,)e+∞单调递增.故111()()ln 20f x f e e e e=⋅-=>…，故()f x 为连续正值函数， 由于f =121122()()(ln )(ln )f x f x ex x ex x ⋅=--，要证()f x 是2[,)e +∞上的几何上凸函数.需证1212()()()f x x f x f x ⋅⋅…，即证21212[()]()()f x x f x f x ⋅⋅…， 221212121212(ln )2ln e x x x x e x x e x x x x -=-212122112(ln ln )ln ln e x x e x x x x x x -++⋅，则1221(ln ln )e x x x x -+，需证，由，且12211212(ln ln )ln()e x x x x e x x x x +-22111122[()ln ()ln ]e x x x x x x x x =⋅-⋅+⋅-⋅ 2121122()(ln ln )e x x x x x x =--⋅ 12122112ln ln 2()()x x e x x x x x x =-- 故只需证12122112ln ln 2()()0x x e x x x x x x --…，下面给出证明：设ln ()x h x x =，则21ln ()xh x x-'=，即在(,)e +∞上()0h x '<，()h x 递减， 而1x ，2(,)x e ∈+∞，所以1212()[()()]0x x h x h x --…，即12122112ln ln 2()()0x x e x x x x x x --…，综上，成立，故1212()()()f x x f x f x ⋅⋅…，得证.。

2024年中考第二次模拟考试（南通卷）数学·全解全析注意事项：1．本试卷共6页．全卷满分150分．考试时间为120分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效．2．请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上．3．答选择题必须用2B 铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效．4．作图必须用2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．第Ⅰ卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）1．2023-的相反数是（）A ．2023B ．2023-C ．12023D ．12023-【答案】A【解析】解：2023-的相反数是2023．故选A ．2．下列运算，正确的是（）A ．422a a -=B ．632a a a ÷=C ．222()ab a b -=-D ．3262()a b a b -=【答案】D【解析】解：A.422a a a -=，故该选项不正确，不符合题意；B.633a a a ÷=，故该选项不正确，不符合题意；C.222()2a b a ab b -=-+，故该选项不正确，不符合题意；D.3262()a b a b -=，故该选项正确，符合题意；故选：D ．3．随着我国航天领域的快速发展，从“天宫一号”发射升空，到天和核心舱归位，我国正式迈入了“空间站时代”．下面是有关我国航天领域的图标，其图标既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】解：A ．是轴对称图形不是中心对称图形，故该选项不符合题意；B ．既是轴对称图形又是中心对称图形，故该选项符合题意；C ．是轴对称图形不是中心对称图形，，故该选项不符合题意；D ．既不是轴对称图形又不是中心对称图形，故该选项不符合题意；故选：B ．4．如图桌上摆放这一个茶杯和一摞书，从上面看到的图形是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】解：书和茶杯从上面看到的图形的分别是长方形和圆，故选：A ．5．如图1的晾衣架中存在多组平行关系，将晾衣架的侧面抽象成如图2的数学问题，已知 AB MN PQ ，若2100∠=︒，3130∠=︒，则1∠的度数为（）A ．40︒B ．50︒C ．60︒D ．70︒【答案】B【解析】解：延长AB 到点C ，如图：AB MN ，2180CBD ∴∠+∠=︒，180280CBD ∠\Ð=°-=°，∵3130∠=︒，∴350CBE CBD ∠∠Ð=-=°AB PQ ，150CBE \Ð=Ð=°，故选：B ．6．若x ，y 的值均扩大为原来的2倍，则下列分式的值保持不变的是（）A ．2636x y ++B ．22x y C ．32x yx y +-D ．21x yx +-【答案】C【解析】解：A.2636x y ++中x ，y 的值均扩大为原来的2倍得到46236633x x y y ++=++，故原选项不合题意；B.22x y 中x ，y 的值均扩大为原来的2倍得到22824x y yx =，故原选项不合题意；C.32x y x y+-中x ，y 的值均扩大为原来的2倍得到226432x y x y y x x y +=-+-，故原选项符合题意；D.21x y x +-中x ，y 的值均扩大为原来的2倍得到1242x y x +-，故原选项不合题意．故选：C ．7．若干名学生一起去种树，如果每人种4棵，则还剩下3棵树苗；如果每人种5棵，则缺少5棵树苗，设学生有x 人，树苗有y 棵，根据题意可列出方程组（）A ．4355x y x y =-⎧⎨=+⎩B ．4355x y x y =-⎧⎨=-⎩C ．5345x y x y =-⎧⎨=+⎩D ．5345x y x y =+⎧⎨=-⎩【答案】A 【解析】解：设学生有x 人，树苗有y 棵，根据题意可列出方程组：4355x y x y =-⎧⎨=+⎩，故A 正确．故选：A ．8．若关于x 的不等式组0721x m x -≤⎧⎨-≥⎩的解集为x m ≤，则m 的取值范围是（）A ．3m <B ．3m >C ．3m ≤D ．3m ≥【答案】C 【解析】解：∵关于x 的不等式组0721x m x -≤⎧⎨-≥⎩∴0x m -≤，得x m≤721x -≥，得3x≥∵解集为x m≤根据小小取小∴3m ≤故选：C9．如图1在矩形ABCD 中，点P 从点A 出发，匀速沿AB BD →向点D 运动，连接DP ，设点P 的运动距离为x DP ，的长为y y ，关于x 的函数图像如图2所示，则当点P 为AB 中点时，DP 的长为（）A ．5B ．8C ．52D ．213【答案】D 【解析】解∶因为P 点是从A 点出发的，A 为初始点，观察图象0x =时6y =，则6AD =，P 从A 向B 移动的过程中，DP 是不断增加的而P 从B 向D 移动的过程中，DP 是不断减少的，因此转折点为B 点，P 运动到B 点时，即x a =时，AB a =，此时2y a =+，即2DP DB a ==+，6AD =，AB a=90A ∠=︒由勾股定理得：()22226a a +=+解得：8a =8AB ∴=当点P 为AB 中点时，4AP =，22226452213DP AD AP ∴+=+==故选：D ．10．已知实数m ，n 满足222+=+m n mn ，则()()()22322m n m n m n -++-的最大值为（）A ．24B ．443C ．1663D ．4-【答案】B 【解析】解：()()()22322m n m n m n -++-222241294m mn n m n =-++-225125m mn n =-+()5212mn mn=+-107mn =-；∵()22220m n m n mn +++=≥，222+=+m n mn ，∴220mn mn ++≥，∴32mn ≥-，∴23mn ≥-，∴441073mn -≤，∴()()()22322m n m n m n -++-的最大值为443，故选：B ．第Ⅱ卷二、填空题（本大题共8小题，11-12每小题3分，13-18每小题4分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）11．分解因式32312a ab -=．【答案】()()322a a b a b +-【解析】解：()()()322231234322a ab a a b a a b a b -=-=+-，故答案为：()()322a a b a b +-．12．第七次全国人口普查结果显示，我国具有大学文化程度的人口超218000000人．数字218000000用科学记数法表示为．【答案】82.1810⨯【解析】解：8218000000 2.1810=⨯，故答案为：82.1810⨯．13．如图，是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点P 处放一水平的平面镜，光线从点A 出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD 的顶端C 处，已知,AB BD CD BD ⊥⊥，且测得1.2m, 1.8m,12m AB BP PD ===，那么该古城墙的高度是m ．【答案】8【解析】解：由题意知：入射光线AP 与反射光线PC ，APB CPD ∠=∠，又ABP CDP ∠=∠ ，ABP CDP ∴ ∽，所以::AB BP CD PD=即1.2:1.8:12CD =，解得8CD =米．故答案为：814．如果一个多边形的内角和与外角和的比是7:2，那么这个多边形的边数是．【答案】9【解析】解：设这个多边形的边数为n ，依题意得：()721803602n -⋅︒=⨯︒，解得9n =，∴这个多边形的边数为9．故答案为：9．15．圭表（如图1)是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标杆（称为“表”)和一把呈南北方向水平固定摆放的与标杆垂直的长尺（称为“圭”)，当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上．图2是一个根据某市地理位置设计的圭表平面示意图，表AC 垂直圭BC ．已知该市冬至正午太阳高度角（即)ABC ∠为α，夏至正午太阳高度角（即)ADC ∠为β，若表AC 的长为m ，则圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即DB 的长）为【答案】tan tan m m αβ-【解析】解：在Rt ACD △中，AC m =，ADC β∠=，tan tan AC m CD ββ∴==，在Rt ACB △中，ABC α∠=，tan tan AC m BC αα∴==，tan tan m m BD BC CD αβ∴=-=-，故答案为：tan tan m m αβ-．16．已知扇形的面积为60π，弧长为12π，将它围成一个圆锥，则该圆锥的高是．【答案】8【解析】解：设母线长为R ，由题意得：160122R ππ=⨯⨯，解得10R =．设圆锥的底面半径为r ，则122r ππ=，解得：6r =，221068-=，故答案为：8．17．如图所示，在正方形ABCD 中，10AB =，点P 为射线CD 上一动点，连接BP ，取其中点M ，连接DM ，将线段DM 沿CD 翻折得到线段DN ，连接AM ，MN ，BN ，则AM MN BN ++的最小值为．【答案】10510+【解析】解：设MN 交CD 于E 点，由折叠的性质得MN CD ⊥，ME EN =，DM DN =，在正方形ABCD 中，90C ADC ∠=∠=︒，∴MN BC AD ∥∥，∴PME PBC ∽△△，∵M 为BP 中点，∴12ME PM BC PB ==，∴152EN ME BC ===，∴10MN AD ==，∴四边形AMND 为平行四边形，∴点N 的轨迹为直线DC 右侧5个单位的平行线l ，作D 关于直线l 的对称点H ，如图所示，此时NH DN =，10DH =，则BN DN +最小值为BH ，即AM MN BN ++最小值221010510BH MN AH AB =+++=+，故答案为：10510．18．如图，OABC 的顶点B ，C 分别落在反比例函数(0,0)a y a x x=>>和(0,0)b y b x x =<<的图象上，连结OB ，将OBC △沿着OB 翻折，点C 的对应点D 恰好落在(0,0)a y a x x=>>的图象上，OD 与BA 交于点E ．已知OBE △的面积为6，3OE DE =，则a b -的值为，ab 的值为．【答案】1635-/0.6-【解析】解：3OE DE = ，:4:3OD OE ∴=，483OBC OBD OBE S S S ∴===△△△，1||82a b ∴-=，16a b ∴-=．过点B ，点E ，点D 作BG x ⊥轴，EH x ⊥轴，DF x ⊥轴，垂足分别为,,G H F ，如图所示则182BGA OAB OBG S S S a =-=-△△△．∵四边形OABC 是平行四边形，∴OA BC =，OAB OCB∠=∠∵折叠，∴BC BD =，OCB ODB ∠=∠∴BD OA =，OAB ODB ∠=∠又∵BED OEA ∠=∠∴BDE OAE △≌△，BE OE ∴=，862BDE OEA S S ==-=△△，:3:4BE AB ∴=，11816216EHA BGA a S S ⎛⎫∴==-⨯ ⎪⎝⎭ ，916OEH OEA EHA ODF S S S S ∴=-=△△△△，1928216162a a⎛⎫∴--⨯=⨯ ⎪⎝⎭，解得6a =．10b ∴=-，35ab ∴=-．故答案为：3165-，．三、解答题（本大题共8个小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）19．解方程或不等式组：(1)12362132x x =---(2)解不等式组22123x x x x≥-⎧⎪-⎨<⎪⎩，并把解集表示在数轴上．【解析】（1）解：12362132x x =---()14331x =---593x =-+29x =-经检验：29x =-是原方程的解；（2）解：22123x x x x≥-⎧⎪⎨-<⎪⎩①②由①可得：2x ≥-，由②可得：3x <，∴原不等式组的解集为23x -≤<；在数轴上表示如图所示：20．甲骨文是迄今为止中国发现的年代最早的成熟文字系统，是汉字的源头和中华优秀传统文化的根脉，赵星在了解甲骨文后，制作了如图所示的四张卡片（这四张卡片分别用字母A ，B ，C ，D 表示，正面文字依次是文、明、自、由，这四张卡片除正面内容不同外，其余均相同），现将四张卡片背面朝上，洗匀放好．(1)赵星从中随机抽取一张卡片，所抽取的卡片上的文字是“文”的概率为______．(2)赵星从中随机抽取一张卡片不放回，张涵再从中随机抽取一张卡片，请用列表或画树状图的方法计算两人抽取的卡片恰好组成“自由”一词的概率．【解析】（1）通过卡片上的文字，可以看到是轴对称图形的为“文”，所以卡片上的文字是轴对称图形的概率为14；（2）画树状图如下：由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中两人抽取的卡片恰好组成“自由”一词的可能性有2种，∴两人抽取的卡片恰好组成“自由”一词的概率为21126=．21．在“书香进校园”读书活动中，为了解学生课外读物的阅读情况，随机调查了部分学生的课外阅读量．绘制成不完整的扇形统计图（图1）和条形统计图（图2），其中条形统计图被墨汁污染了一部分．(1)条形统计图中被墨汁污染的人数为______人．“8本”所在扇形的圆心角度数为______︒；(2)求被抽查到的学生课外阅读量的平均数和中位数；(3)随后又补查了m名学生，若已知他们在本学期阅读量都是10本，将这些数据和之前的数据合并后，发现阅读量的众数没改变，求m的最大值．【解析】（1）解：840%20÷=（人），202684---=（人），620360108÷⨯︒=︒，故答案为：4；108︒（2）解：由统计图可得平均数为7286981048.720⨯+⨯+⨯+⨯=本，∴被调查同学阅读量的平均数为8.7本，该部分学生阅读量从小到大排序后第10个和第11个均为9本，∴阅读量的中位数为9992+=（本）（3）解：原来阅读量的众数为9本∴48m+<，解得4m<，m为正整数，∴m的最大值为3．22．拟在新竣工的长方形广场的内部修建一个音乐喷泉，要求音乐喷泉M到广场的两个入口A，B的距离相等，且到广场管理处C的距离等于A和B之间距离的一半，A，B，C的位置如图所示．请在原图上利用尺规作出音乐喷泉M的位置．【解析】解：连接AB ，作AB 的垂直平分线，以点C 为圆心，以AB 长的一半为半径画弧交AB 的垂直平分线于点M ，如图所示，点M即为所求．23．如图，直线l 与O 相切于点M ，点P 为直线l 上一点，直线PO 交O 于点A 、B ，点C 在线段PM 上，连接BC ，且CM BC =．(1)判断直线BC 与O 的位置关系，并说明理由；(2)若2AB BP =，O 的半径为6cm ，求图中阴影部分的面积．【解析】（1）解：直线BC 是O 的切线，理由：连接MO ，CO ，∵直线l 与O 相切于点M ，∴90PMO ∠=︒，在OBC △和OMC 中BC MC CO CO BO MO =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴()SSS OBC OMC ≌，∴90CBO CMO ∠=∠=︒，AB 为直径，∴直线BC 是O 的切线；（2）过点O 作ON AM ⊥于点N ，∵2AB BP =，∴PB BO MO ==，即12MO PO =，又∵90PMO ∠=︒，则1sin 2MO OPM PO ∠==，∴MPO 30∠=︒，∴60POM ∠=︒，则120MOA ∠=︒，∴()22120612cm 360AOM S ππ⨯==扇形，∵120MOA ∠=︒，ON AM ⊥，∴60MON AON ∠=∠=︒，∴()163cm 2NO =⨯=，)3sin 60633cm 2MN CO =⋅︒==，∴63cm AM =，则)211339322AOM S NO AM cm =⨯⨯=⨯⨯= ，∴图中阴影部分的面积为：(2123cm AOM AOM S S π-=- 扇形．24．某公司开发出一种新技术产品，上市推广应用，从销售的第1个月开始，当月销售量y （件）与第x 个月之间的函数关系如图1所示，月产品销售成本z （元）与当月销售量y （件）之间的函数关系如图2所示，每件产品的售价为100元．(1)求出y 与x 和z 与y 之间的函数关系式；（不要求写自变量的取值范围）(2)推广销售的第三个月利润为多少？(3)第几个月获得利润最大？最大利润是多少？【解析】（1）解：设y 与x 的函数关系式y kx b =+，代入(1,40),(2,50)得40250k b k b +=⎧⎨+=⎩解得1030k b =⎧⎨=⎩1030∴=+y x 将(60,1300)代入21()5002z y h =-+得20h =或100h =（舍去）2211(20)5002070022z y y y ∴=-+=-+；（2）设第x 个月的利润为w 元，则22211100120700(1030)120(1030)70050900245022w y z y y x x x x =-=-+-=-+++-=-++当3x =时，4700w =，故第3个月的利润为4700元；（3）由（2）知，2250900245050(90)6500w x x x =-++=--+当9x =时，w 有最大值为6500元，答：第9个月利润最大，最大利润为6500元．25．如图1，P 是正方形ABCD 边BC 上一点，线段AE 与AD 关于直线AP 对称，连接EB 并延长交直线AP 于点F ，连接CF ．(1)补全图形，求AFE ∠的大小；(2)用等式表示线段CF BE ，之间的数量关系，并证明；(3)连接CE ，G 是CE 的中点，2AB =，若点P 从点B 运动到点C ，直接写出DG 的最大值．【解析】（1）解：补全图形如图1，∵线段AE 与AD 关于直线AP 对称，∴12DAF EAF ∠=∠=∠+∠，AB AE =，∴180119022AEB ABE ︒-∠∠∠=∠==︒-，∵222190DAF ∠+∠=∠+∠=︒，∴()1180********AFE EAF AEB ∠=︒-∠-∠=︒-∠+∠=︒，∴AFE ∠为45︒；（2）解：2BE CF =，证明如下：如图2，连接DF ，DB ，连接DE 交AF 于H ，由对称的性质可得，DF FE =，45AFD AFE ∠=∠=︒，DE AF ⊥，∴90DFE ∠=︒，90FHD ∠=︒，∴DEF 是等腰直角三角形，∴45FDE ∠=︒，∵45CDB ∠=︒，∴∠∠∠∠-=-CDB FDB FDE FDB ，即CDF BDE ∠=∠，又∵cos 45CDDFBD BE =︒=，∴CDF BDE ∽，∴22CF CD BE BD ==，解得2BE CF =，∴2BE CF =；（3）解：如图3，连接AC ，BD ，交点为O ，由正方形的性质可得2AD AB ==，45ADB ∠=︒，O 为AC 的中点，∴cos 2DO AD ADB =⋅∠2AE AD ==，又∵G 是CE 的中点，∴OG 是ACE △的中位线，∴112OG AE ==，由题意知，E 在以A 为圆心，以2为半径的14的圆上运动，∴G 在以O 为圆心，以1为半径的14的圆上运动，如图3，∴当D O G 、、三点共线时，DG 最大，∴21DG DO OG =+=，∴DG 21．26．对于一个函数给出如下定义：对于函数y ，若当a ≤x ≤b ，函数值y 满足m ≤y ≤n ，且满足n ﹣m ＝k （b ﹣a ），则称此函数为“k 属和合函数”，例如：正比例函数y ＝﹣3x ，当1≤x ≤3时，﹣9≤y ≤﹣3，则﹣3﹣（﹣9）＝k （3﹣1），求得：k ＝3，所以函数y ＝﹣3x 为“3属和合函数”．（1）若一次函数y ＝kx ﹣1（1≤x ≤3）为“4属和合函数”，求k 的值；（2）反比例函数k y x=（k ＞0，a ≤x ≤b ，且0＜a ＜b ）是“k 属和合函数”，且a +b ＝3，请求出a ﹣b 的值；（3）已知二次函数y ＝﹣x 2+2ax +3，当﹣1≤x ≤1时，y 是“k 属和合函数”，求k 的取值范围．【解析】解：（1）当k ＞0时，y 随x 的增大而增大，∵1≤x ≤3，∴k ﹣1≤y ≤3k ﹣1，∵函数y ＝kx ﹣1（1≤x ≤3）为“k 属和合函数”，∴（3k ﹣1）﹣（k ﹣1）＝4（3﹣1），∴k ＝4；当k＜0时，y随x的增大而减小，∴3k﹣1≤y≤k﹣1，∴（k﹣1）﹣（3k﹣1）＝4（3﹣1），∴k＝﹣4，综上所述，k的值为4或﹣4；（2）∵反比例函数y＝kx，k＞0，∴在第一象限，y随x的增大而减小，当a≤x≤b且0＜a＜b是“k属和合函数”，∴ka﹣kb＝k（b﹣a），∴ab＝1，∵a+b＝3，∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝9﹣4＝5，∴a﹣b5（3）∵二次函数y＝﹣x2+2ax+3的对称轴为直线x＝a，∵当﹣1≤x≤1时，y是“k属和合函数”，∴当x＝﹣1时，y＝2﹣2a，当x＝1时，y＝2+2a，当x＝a时，y＝a2+3，①如图1，当a≤﹣1时，当x＝﹣1时，有y最大值＝2﹣2a，当x＝1时，有y最小值＝2+2a∴（2﹣2a）﹣（2+2a）＝k•[1﹣（﹣1）]＝2k，∴k＝﹣2a，而a≤﹣1，∴k≥2；②如图2，当﹣1＜a≤0时，当x＝a时，有y最大值＝a2+3，当x＝1时，有y最小值＝2+2a，∴a2+3﹣（2+2a）＝2k，∴k＝2 (1)2a-，∴12≤k＜2；③如图3，当0＜a≤1时，当x＝a时，有y最大值＝a2+3，当x＝﹣1时，有y最小值＝2﹣2a，∴a2+3﹣（2﹣2a）＝2k，∴k＝2 (1)2a+，∴12＜k≤2；④如图4，当a＞1时，当x＝1时，有y最大值＝2+2a，当x＝﹣1时，有y最小值＝2﹣2a，∴（2+2a）﹣（2﹣2a）＝2k，∴k＝2a，∴k＞2．综上所述，当﹣1≤x≤1时，y是“k属和合函数”，k的取值范围为k≥12．。

2024年高考适应性考试（二）数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上.1.2sin12π的值为（ ）A.12 B.12+ C.14D.342.已知复数z 满足234i z =−+，则z =（ ）A.32B.5D.23.若()()()231021001210111x x x a a x a x a x ++++++=++++ ，则2a 等于（ ） A.49B.55C.120D.1654.已知()f x 对于任意,x y ∈R ，都有()()()f x y f x f y +=⋅，且122f=则()4f =（ ）A.4B.8C.64D.2565.已知函数cos yx ωω+（0ω>）在区间2,43ππ−上单调递增，则ω的最大值为（ ）A.14 B.12C.1211D.836.某同学在一次数学测试中的成绩是班级第三名，成绩处于第90百分位数，则该班级的人数可能为（ ） A.15B.25C.30D.357.已知曲线221:420C x y x y +−+=与曲线()22:C f x x =在第一象限交于点A ，在A 处两条曲线的切线倾斜角分别为α，β，则（ ）A.2παβ+=B.2παβ−=C.3παβ+=D.4παβ−=8.在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D −中，P ，Q ，R 分别为棱BC ，CD ，1CC 的中点，平面PQR 截正方体1111ABCD A B C D −外接球所得的截面面积为（ ）A.53π B.83π C.353π二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，请把答案填涂在答题卡相应位置上.9.已知向量a 在向量b方向上的投影向量为32，向量(b = ，且a 与b 夹角6π，则向量a 可以为（ ） A.()0,2B.()2,0C.(D.)10.已知椭圆2222:1x y C a b +=（0a b >>）的左，右焦点分别为1F ，2F ，上，下两个顶点分别为1B ，2B ，11B F 的延长线交C 于A ，且11112AF B F =，则（ ） A.椭圆CB.直线1ABC.12AB F △为等腰三角形D.21:AB AB =11.某农科所针对耕种深度x （单位：cm ）与水稻每公顷产量（单位：t ）的关系进行研究，所得部分数据如下表：已知m n <，用最小二乘法求出y 关于x 的经验回归方程： y bx a =+ ，621510ii y ==∑，()62124ii y y =−=∑，数据在样本()12,m ，()14,n 的残差分别为1ε，2ε.（参考数据：两个变量x ，y 之间的相关系数r ，参考公式：()()()121niii nii x x y y b x x ==−−=−∑∑ ，ay b x =−⋅ ，nx y r =则（ ）A.17m n +=B.47b= C. 107a= D.121εε+=−三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知()32f x x x =−，当0h →时，()()11f h f h+−→_________. 13.已知二面角l αβ−−为直二面角，A α∈，B β∈，A l ∉，B l ∉，则AB 与α，β所成的角分别为6π，4π，AB 与l 所成的角为___________.14.已知抛物线2:4C y x =，过点()4,0的直线与抛物线交于A ，B 两点，则线段AB 中点M 的轨迹方程为__________.四、解答题：本题共5小题，共77分，解答过程写出文字说明、证明过程或者演算过程.15.（本小题满分13分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2112n n S a n −=+，*n ∈N . （1）求1a ，2a ，并证明：数列{}1n n a a ++是等差数列； （2）求20S .16.（本小题满分15分）已知函数()ln f x x ax =−，()2g x ax=，0a ≠. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若0a >且()()f x g x ≤恒成立，求a 的最小值.17.（本小题满分15分）某班组建了一支8人的篮球队，其中甲、乙、丙、丁四位同学入选，该班体育老师担任教练.（1）从甲、乙、丙、丁中任选两人担任队长和副队长，甲不担任队长，共有多少种选法？（2）某次传球基本功训练，体育老师与甲、乙、丙、丁进行传球训练，老师传给每位学生的概率都相等，每位学生传球给同学的概率也相等，学生传给老师的概率为17.传球从老师开始，记为第一次传球，前三次传球中，甲同学恰好有一次接到球且第三次传球后球回到老师手中的概率是多少？18.（本小题满分17分）已知三棱柱111ABC A B C −中，底面ABC △是边长为2的正三角形，G 为1A BC △的重心，1160A AB A AC ∠=∠=°.（1）求证：1B B BC ⊥；（2）已知12A A =，P ∈平面ABC ，且1C P ⊥平面1A BC . ①求证：1AG C P ∥；②求1A P 与平面1A BC 所成角的正弦值.19.（本小题满分17分）已知双曲线E 的渐近线为y x =±，左顶点为()A . （1）求双曲线E 的方程；（2）直线:l x t =交x 轴于点D ，过D 点的直线交双曲线E 于B ，C ，直线AB ，AC 分别交l 于G ，H ，若O ，A ，G ，H 均在圆P 上，①求D 的横坐标； ②求圆P 面积的最小值.【参考答案】一、单选题1.A2.C3.D4.D5.B6.B7.A8.A二、多选题9.AD 10.ACD 11.ABD三、填空题12.113.3π14.()224y x =−四、解答题15.（1）当1n =时，由条件得11122a a −=，所以14a =. 当2n =时，由条件得()122152a a a +−=，所以22a =. 因为2112n n S a n −=+，所以()2111112n n S a n −−−=−+（2n ≥），两式相减得：1112122n n n a a a n −−+=−，即142n n a a n −+=−，所以()()()()11412424n n n n a a a a n n +−+−+=+−−−= ， 从而数列{}1n n a a ++为等差数列. （2）由（1）知142n n a a n −+=−，与（1）类似，可证：12a a +，34a a +，…，1920a a +成等差数列， 所以()()()2012341920S a a a a a a =++++++()()()()1067842244242024202+=×−+×−++×−== . 16.（1）()11ax f x a x x−′=−=（0a ≠）， 当0a <时，由于0x >，所以()0f x ′>恒成立，从而()f x 在()0,+∞上递增； 当0a >时，10x a <<，()0f x ′>；1x a>，()0f x ′<，从而()f x 在10,a上递增，在1,a+∞递减. （2）令()()()2ln h x f x g x x ax ax−−−，要使()()f x g x ≤恒成立， 只要使()0h x ≤恒成立，也只要使()max 0h x ≤.()()()221212ax ax h x a x ax ax −+−′=−+=， 由于0a >，0x >，所以10ax +>恒成立，当20x a <<时，()0h x ′>，当2x a<<+∞时，()0h x ′<，所以2x a =，()max22ln 30h x h a a==−≤， 解得：32a e ≥，所以a 的最小值为32e. 17.（1）法一先选出队长，由于甲不担任队长，方法数为13C ； 再选出副队长，方法数也是13C ，故共有方法数为11339C C ×=（种）. 方法二 先不考虑队长人选对甲的限制，共有方法数为244312A =×=（种）； 若甲任队长，方法数为13C ，故甲不担任队长的选法种数为1239−=（种）答：从甲、乙、丙、丁中任选两人分别担任队长和副队长，甲不担任队长的选法共有9种. （2）①若第一次传球，老师传给了甲，其概率为14；第二次传球甲只能传给乙、丙、丁中的任一位同学，其概率为67；第三次传球，乙、丙、丁中的一位传球给老师，其概率为17，故这种传球方式，三次传球后球回到老师手中的概率为：161347798××=. ②若第一次传球，老师传给乙、丙、丁中的任一位，其概率为34，第二次传球，乙、丙、丁中的一位传球给甲，其概率为27，第三次传球，甲将球传给老师，其概率为17，这种传球方式，三次传球后球回到老师手中的概率为321347798××=. 所以，前三次传球中满足题意的概率为：333989849+=. 答：前三次传球中，甲同学恰好有一次接到球且第三次传球后球回到老师手中的概率是349. 18.（1）连1AG 交BC 于D ，连AD . 由于G 为1A BC △的重心，所以D 为BC 的中点.在三棱柱111ABC A B C −中，因为AB AC =，11A A A A =，11A AB A AC ∠=∠，所以11A AB A AC △≌△，从而11A B A C =.由于D 为BC 的中点，所以AD BC ⊥，1A D BC ⊥，又1AD A D D = ，所以BC ⊥平面1A AD ，因为1A A ⊂平面1A AD ，所以1BC A A ⊥，因为11A A B B ∥，所以1BC B B ⊥.（2）①∵12A AAB ==，160A AB ∠=°，∴1A AB △为正三角形；同理，1A AC △也为正三角形，∴112A B A CBC ===，从而三棱锥1A A BC −的所有棱长均为2，该四面体为正四面体， 由于G 为1A BC △的重心，∴AG ⊥平面1A BC ，又1C P ⊥平面1A BC ，所以1AG C P ∥. ②设ABC △的重心为O ，O AD ∈，且:2:1AO OD =，在平面ABC 内，过O 作OE BC ∥，连1A O ，则1A O ⊥平面ABC .以O 为原点，以OA ，OE ，1OA 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系.1A O所以A，B，1,0C −，1A ，()111111,0OC OA A C OA AC =+=+=+−=−，所以1C − . 设(),,G x y z ，1A P与平面1A BC 所成的角为θ，则()1,,1,03x y z =++−=，所以AG =， 因为P ∈平面ABC ，所以设(),,0P x y ，由①知：1C P AG∥，从而存在实数λ，使1C P AG λ= ，所以1,x y λ ++ ，解得：3λ=−，1y =−，x =，从而1,0P −.(11,5,A P =−−∥，令(5,a =− ，(AG − ∥，令(n =− ，sin θ. 19.（1）因为双曲线的渐近线关于坐标轴及原点对称，又顶点在x轴上，可设双曲线的方程为22221x y a b−=（0a >，0b >），从而渐近线方程为：by x a=±，由题条件知：b a =.因为双曲线的左顶点为()A ，所以a =1b =，双曲线的方程为：2213x y −=.（2）①(),0D t ，设直线BC 的方程为：my x t =−，将x my t =+代入方程：22330x y −−=， 得：()2223230m y mty t −++−=，当230m −≠且()221230t m ∆=+−>时，设()11,B x y ，()22,C x y ，则12223mt y y m +=−−，212233t y y m −=−. 设直线AG 得倾斜角为α，不妨设02πα<<，则2AGH πα∠=−，由于O ，A ，G ，H 四点共圆知：HOD AGH ∠=∠，所以直线OH 的倾斜角为2πα−，sin sin 2tan tan 12cos cos 2AG OH k k παπαααπαα −⋅=⋅−=×=−.直线AC的方程为：yx ，令x t =，则y =H t ， 所以OH k=，又AGABk k==1=，((1212t y y t x x ⇒=+，又11x my t =+，22xmy t =+代入上式得：((1212t y y t my t my t +=+++，((()(22121212t y y t m y y m t y y t ⇒+++++，(((2222222332333t t mtt t m m t t m m m −−−⇒⋅⋅++⋅++ −−−，化简得：2430t +−=，解得：t =（舍）或t =. 故点D的坐标为.②(:tan AG y x α=⋅+，由①知：t =，所以tan G α. 1:tan OH y x α=，所以H ， 若G ，H 在x 轴上方时，G 在H 的上方，即tan 0α>α> 若G ，H 在x 轴下方时，即tan 0α<tan α<tan α>tan α<又直线AG与渐近线不平行，所以tan α≠所以0απ<<，tan α>或α<且tan α≠因为OG 设圆P 的半径为R ，面积为S ，则2sin OGR α==， 所以()()()2222222125tan 125tan sin cos 3164sin 64sin R αααααα+⋅++=×=×()()22222125tan 1tan 33125tan 2664tan 64tan ααααα++ =×=++327266416 =≥，当且仅当22125tantan αα=即tan α=tan α>或tan α<且tan α≠所以22716R >且274R ≠，从而2716S π>且74S π≠.。

南通市2023届高三第二次调研测试数学模拟试题1. 已知P ，Q 为R 的两个非空真子集，若R RQ P Ü痧，则下列结论正确的是( )A. x Q ∀∈，x P ∈B. 0R x P ∃∈ð，0R x Q ∈ðC.0x Q ∃∉，0x P ∈D.R x P ∀∈ð，R x Q ∈ð【答案】 B 【解析】 【分析】本题考查元素与集合关系、子集、全称量词与存在量词等概念，属于中档题． 【解答】 解：P ， Q 为 R 的两个非空真子集，R RQ P Ü痧，故P Q Ü，对于选项 A ：由题意知 P 是 Q 的真子集，故x Q ∃∈，x P ∉，故不正确，对于选项 B ：由R Q ð是R P ð的真子集且R Q ð，R P ð都不是空集知，0R x P ∃∈ð，0R x Q ∈ð，故正确.对于选项 C ：由R Q ð是R P ð的真子集知，x Q ∀∉，x P ∉，故不正确，对于选项 D ：Q 是R P ð的真子集，故R R x P ∃∈痧，R x Q ∉ð，故不正确，故选：.B 2. 已知则42a b -的取值范围是( )A.B.C.D.【答案】 B 【解析】 【分析】本题考查不等式求解不等式的范围，是基础题.通过[0,1]a b -∈，[2,4]a b +∈，推出42()3()a b a b a b -=++-，然后求解即可. 【解答】 解：[0,1]a b -∈，[2,4]a b +∈，42()3()a b a b a b -=++-， 42[2,7].a b ∴-∈故选：.B3. 三人各抛掷骰子一次，落地时向上的点数能组成等差数列的概率为( ) A.736B.112C.115D.118【答案】 A 【解析】 【分析】本题考查古典概型及其计算，涉及排列组合、等差数列问题，属于中档题.根据题意，分析可得将一个骰子连续抛掷三次，每次都有6种情况，由分步计数原理可得共有36种情况，进而分两种情况讨论骰子落地时向上的点数能组成等差数列的情况，可得符合条件的情况数目，由古典概型公式计算可得答案. 【解答】解：根据题意，将一个骰子连续抛掷三次， 每次都有6种情况，则共有36216=种情况，它落地时向上的点数能组成等差数列，分两种情况讨论： ①若落地时向上的点数若不同，则为1，2，3或1，3，5，或2，3，4或2，4，6或3，4，5或4，5，6; 共有6种可能，每种可能的点数顺序可以颠倒， 即有336A =种情况;即有6636⨯=种情况，②若落地时向上的点数全相同，有6种情况，∴共有36642+=种情况，落地时向上的点数能组成等差数列的概率为427;21636= 故选.A4. 已知复数z 的实部和虚部均为整数，则满足的复数z 的个数为( )A. 5B. 4C. 3D. 2【答案】 B 【解析】 【分析】本题考查了复数的概念与分类，复数的模及几何意义，属于中档题. 【解答】解：设(,)za bi ab Z =+∈，则z a bi =-，22|1|(1)z a b -=-+，所以22(1) 1.a b -+…法一：因为2(1)0a -…，所以21b …，即1 1.b -剟当1b =±时，10a -=，即1a=，有两组满足条件当0b =时，10a -=或11a -=±，所以，，但0a=，0b =时0z =，不符合题意 故选.C法二：如图，可转化为研究圆面22(1)1a b -+…内(包括边界)的整点个数.圆面包括的整点分别为(0,0)，(1,0)，(2,0)，(1,1)，(1,1)-，而(0,0)不适合0z ≠，则符合题意的整点共有4个.故选.B5. 1471年米勒向诺德尔教授提出的有趣问题：在地球表面的什么部位，一根垂直的悬杆看上去最长(即可见角最大).后人将其称为“米勒问题”，是载入数学史上的第一个极值问题.我们把地球表面抽象为平面α，悬杆抽象为线段(AB 或直线l 上两点A ，)B ，则上述问题可以转化为如下的数学模型：如图1，一条直线l 垂直于一个平面α，直线l 有两点A ，B 位于平面α的同侧，求平面上一点C ，使得ACB ∠最大.建立如图2所示的平面直角坐标系.设A ，B 两点的坐标分别为，设点C 的坐标为，当ACB∠最大时，c =( )A. 2abB.C.D. ab【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了两角和与差的正切函数公式，利用基本不等式求最值，正切函数的单调性，属于中档题.首先根据条件得到22tan tan()1a b a b c c ACB OCA OCB ab ab c c c--∠=∠-∠==++，再根据基本不等式可求得tan ACB ∠的最大值，根据正切函数的单调性，即可判定答案.【解答】解：由题意可知ACB ∠是锐角，且ACB OCA OCB ∠=∠-∠，而t a n,t a nab OCA OCB cc∠=∠=， 所以2tan tan ()1a b a b c c ACB OCA OCB ab ab c c c--∠=∠-∠==++，而ab c c+…，当且仅当abc c =，即c =时取等号，所以当c =时，2tan a b ACB abc c-∠=+…ACB ∠最大， 故选：.B6. 在三棱锥A BCD -中，AD ⊥平面BCD ，,12ABD CBD BD BC π∠+∠===，则已知三棱锥A BCD -外接球表面积的最小值为( )A.14πB.12πC.14πD.12π【答案】 B 【解析】 【分析】本题考查三棱锥的外接球，考查线面垂直的性质，基本不等式的应用等知识，属于难题. 设ABD α∠=，CBD β∠=，求得BCD 的外接圆的半径为12cos2r β=，结合图形求得三棱锥外接球半径2222132cos ()244(1cos )AD Rr ββ-=+=-+-，然后换元利用基本不等式及不等式的性质得2R 的最小值，从而可得面积的最小值． 【解答】解：如图，设ABD α∠=，CBD β∠=，K 为BCD 的外心，O 为三棱锥A BCD -外接球的球心，则OK ⊥平面BCD ，又AD ⊥平面BCD ，所以//OK AD ，KD ⊂平面BCD ，则OK DK ⊥，四边形OKDA 是直角梯形， 设OK h =，DK r =，OD R =，由AD ⊥平面BCD ，BD ⊂平面BCD ，得AD BD ⊥，则1tan tan AD αβ==，2sin2CDβ=，2sin 22sin r ββ=，即12cos2r β=，又，则12h AD =，2222222111cos 1()24tan 2(1cos )4(1cos )44cos 2AD R r βββββ=+=+=+=-+-232cos 4(1cos )ββ-+-，令32cos t β=-，则3cos 2tβ-=，(1,3)t ∈， 221111154654446t R t t t t =--=----=--++-…=，当且仅当5t t =，即t=所以三棱锥A BCD -外接球表面积2114482S R πππ=⨯=…，故选.B7. 已知双曲线22122:1(0)x y C a b a b -=>>和椭圆22222C :1x y a b+=的右焦点分别为,F F '，(,0),(,0)A a B a -，,P Q 分别为12,C C 上第一象限内不同于B 的点，若，3PFQF ='，则四条直线,,,PA PB QA QB 的斜率之和为( ) A. 1 B. 0C.1-D. 不确定值【答案】 B 【解析】 【分析】本题考查椭圆方程、双曲线方程，直线与圆锥曲线的综合知识，考查逻辑推理、运算求解能力，考查数形结合、等价转化等数学思想，属于较难题．依题意，先证明O 、P 、Q 三点共线，是解题的关键，又//PF QF '，且，利用相似比可得3λ=，进一步得到222a b =，再利用点在曲线上代入方程得出相应等式，利用O 、P 、Q 三点共线得1212x x y y =，最后利用斜率公式代入得12340.k k k k +++=【解答】解：设O 为原点，则2PA PB PO +=，2.QA QB QO +=而，得PO QO λ=，于是O 、P 、Q 三点共线，因为3PF QF ='，所以//PFQF '，且，得，2222223,2a b a b a b+∴=∴=- 设11(,)P x y 、22(,)Q x y ，点P 在双曲线222212x y b b -=的上，有22112212x y b b-=， 则2221122.x b y -=设直线,,,PA PB QA QB 的斜率分别是12,k k ，34,k k ，所以111111222111122y y x y xk k x a x a x b y +=+==+-- ①又由点Q 在椭圆222212x y b b +=上，有2222222.x b y -=-同理可得2342x k k y +=- ②O 、P 、Q 三点共线，1212.x x y y ∴=由①、②得12340.k k k k +++=8. 【答案】 C【解析】略9. 下列命题中正确是( ) A. 中位数就是第50百分位数 B. 已知随机变量X ∽1(,)2B n ，若(21)5D X +=，则10n = C. 已知随机变量ξ∽2(,)N μσ，且函数()(2)f x P x x ξ=<<+为偶函数，则1μ=D. 已知采用分层抽样得到的高三年级男生、女生各100名学生的身高情况为：男生样本平均数172，方差为120，女生样本平均数165，方差为120，则总体样本方差为132.25. 【答案】 ACD 【解析】 【分析】本题考查百分位数、二项分布反差，正态分布，样本方差，属于中档题. 【解答】中位数就是第50百分位数，选项A 正确; 对选项B ，X ∽1(,)2B n ，则11(21)4()4522D X D X n n +==⨯⨯⨯==，故B 错误; 对选项C ，ξ∽2(,)N μσ，函数()(2)f x P x x ξ=<<+为偶函数，则()(2)()(2)f x P x x f x P x x ξξ-=-<<-+==<<+，区间(,2)x x --与(,2)x x +关于x μ=对称，故22122x x x x μ-+++-===，选项C 正确;对选项D ，分层抽样的平均数1001003371721651001001001002z=⨯+⨯=++，按分成抽样样 本方差的计算公式2221337337[120(172)][120(165)]132.25.222S =+-++-=答案选： ACD10. 重庆荣昌折扇是中国四大名扇之一，始于1551年明代嘉靖年间，明末已成为贡品人朝，产品以其精湛的工业制作而闻名于海内外．经历代艺人刻苦钻研、精工创制，荣昌折扇逐步发展成为具有独特风格的中国传统工艺品，其精雅宜士人，其华灿宜艳女，深受各阶层人民喜爱．古人曾有诗赞曰：“开合清风纸半张，随机舒卷岂寻常；金环并束龙腰细，玉栅齐编凤翅长，偏称游人携袖里，不劳侍女执花傍；宫罗旧赐休相妒，还汝团圆共夜凉”图1为荣昌折扇，其平面图为图2的扇形COD ，其中23CODπ∠=，33OC OA ==，动点P 在CD 上(含端点)，连结OP 交扇形OAB 的弧AB 于点Q ，且O Q x O C y O D =+，则下列说法正确的是( )A. 若y x =，则23x y +=B. 若2y x =，则0OA OP ⋅=C.2AB PQ ⋅-…D.112PA PB ⋅…【答案】 ABD 【解析】 【分析】本题考查了三角函数与向量的综合．建立平面直角坐标系，表示出相关点的坐标，设2(cos ,sin ),[0,]3Q πθθθ∈，可得(3cos ,3sin )P θθ，由OQ xOC yOD =+，结合题中条件可判断A ，B ；表示出相关向量的坐标，利用数量积的运算律，结合三角函数的性质，可判断C ，.D 【解答】解：如图，作OE OC ⊥，分别以OC ，OE 为x ，y 轴建立平面直角坐标系，则13333(1,0),(3,0),(,),(,)2222A CB D --，设2(cos ,sin ),[0,]3Q πθθθ∈，则(3cos ,3sin )P θθ， 由OQ xOC yOD =+可得333cos 3,sin 22x y y θθ=-=，且0x >，0y >， 若y x =，则2222333cos sin (3)()122x x x θθ+=-+=，解得13xy ==，(负值舍去)，故23x y +=，A 正确； 若2y x =，则3cos 30,(1,0)(0,1)02x y OA OP θ=-=⋅=⋅=，故B 正确；33(,)(2cos ,2sin )3sin 3cos 23sin()223AB PQ πθθθθθ⋅=-⋅=-=-'由于2[0,]3πθ∈，故[,]333πππθ-∈-，故23sin()33πθ--…，故C 错误； 由于13(3cos 1,3sin ),(3cos ,3sin )22PA PB θθθθ=-=+-，故1317(3cos 1,3sin )(3cos ,3sin )3sin()2226PA PBπθθθθθ⋅=-⋅+-=-+，而5[,]666πππθ+∈， 故1717113sin()32622PA PB πθ⋅=-+-=…，故D 正确，故选.ABD11. 在长方体1111ABCD A B C D -中，12,3,4AB AA AD ===，则下列命题为真命题的是( )A. 若直线1AC 与直线CD 所成的角为ϕ，则5tan 2ϕ=B. 若经过点A 的直线l 与长方体所有棱所成的角相等，且l 与面11BCC B 交于点M ，则AM =C. 若经过点A 的直线m 与长方体所有面所成的角都为θ，则sin θ=D. 若经过点A 的平面β与长方体所有面所成的二面角都为μ，则sin μ= 【答案】 ABC 【解析】 【分析】本题考查异面直线所成角及线面夹角以及二面角求解，属于较难题. A 根据长方体的性质找到直线1AC 与直线CD 所成角的平面角即可;B 构建空间直角坐标系，根据线线角相等，结合空间向量夹角的坐标表示求 1cos AA <， cos AM AB >=<， cos AM AD >=<， AM >，即可求M 坐标，进而确定线段长;C 、D 将长方体补为以4为棱长的正方体，根据描述找到对应的直线 m ，平面 β，结合正方体性质求线面角、面面角的正弦值. 【解答】 解：:A 如下图，直线 1AC 与直线CD 所成角，即为直线 1AC 与直线AB 所成角1BAC ∠， 则 115tan tan 2BC BAC AB ϕ=∠==，正确;:B 构建如下图示的坐标系，过A 的直线l 与长方体所有棱所成的角相等， 与面11BCC B 交于(,2,)M x z 且x ，0z >，又1(0,0,3)AA =， (0,2,0)AB =， (4,0,0)AD =，则 1cos AA <， 224z AM x z >=++cos AB =<，2224AM x z>=++cos AD =<，224x AM x z>=++，故2x z ==，则23AM =，正确.:C 如下图，过A 的直线m 与长方体所有面所成的角都为θ，则直线m 为以4为棱长的正方体的体对角线AM ， 故3sin 3θ=，正确;:D 如下图，过A 的平面 β与长方体所有面所成的二面角都为μ，只需面β与以4为棱长的正方体中相邻的三条棱顶点所在平面平行，如平面EDF ，故3cos 33EDF ADE S S μ==，则6sin 3μ=，错误.故选.ABC12. 过平面内一点P 作曲线两条互相垂直的切线1l 、2l ，切点为1P 、21(P P 、2P 不重合)，设直线1l 、2l 分别与y 轴交于点A 、B ，则下列结论正确的是( ) A.1P 、2P 两点的纵坐标之积为定值 B. 直线12PP 的斜率为定值 C. 线段AB 的长度为定值 D. 三角形ABP 面积的取值范围为【答案】 BCD 【解析】 【分析】本题考查了导数的几何意义，利用导数判断函数的单调性以及最值，直线的斜率公式，属于较难题. A .由条件可知两条直线的斜率存在时，斜率之积为1-，讨论12,P P 的位置，即可判断； B .由两点12,P P 的坐标，表示直线12PP 的斜率，即可判断； C .分别求切线方程，并表示点,A B 的坐标，即可求线段AB 的长度；D .根据切线方程，求交点P 的横坐标，因为为定值，即转化为求点P 的横坐标的取值范围，即可得解.【解答】 解：因为，所以，当01x <<时，1y x'=-；当1x …时，1y x '=，不妨设点1P ，2P 的横坐标分别为1x ，2x ，且12x x <，若1201x x <<…时，直线1l ，2l 的斜率分别为111k x =-，221k x =-，此时121210k k x x =>，不合题意； 若211x x >…时，则直线1l ，2l 的斜率分别为111k x =，221k x =，此时121210k k x x =>，不合题意.所以1201x x <<…或1201x x <<…，则111k x =-，221k x =，由题意可得121211k k x x =-=-，可得121x x =， 若11x =，则21x =；若21x =，则11x =，不合题意，所以1201x x <<<，选项A 对；对于选项B ，易知点，，所以，直线12PP 的斜率为1221122121ln ln ln ()0PP x x x x k x x x x +===--，选项B 对；对于选项C ，直线1l 的方程为，令0x =可得11ln y x =-，即点，直线2l 的方程为，令0x =可得21ln 1ln 1y x x =-=--，即点，所以，，选项C 对；对于选项D ，联立可得1212121221Px x xx x x x ==++，令，其中，则，所以，函数在上单调递增，则当时，，所以，，选项D 对.故选.BCD13. 若函数()sin()cos f x x x ϕ=++，(0)ϕπ<<的最大值为2，则常数ϕ的一个取值为__________.【答案】2π【解析】 【分析】本题考查三角恒等变换，辅助角公式，三角函数最值，以及考查运算能力，属于中档题． 由两角和差公式，及辅助角公式化简得())f x x θ=+，其中()f xcos θ=，sin θ=，结合题意可得2=，解得ϕ，即可得出答案．【解答】 解：()sin()cos f x x x ϕ=++sin cos cos sin cos x x x ϕϕ=++ sin cos (1sin )cos x x ϕϕ=++)x θ=+，其中cos θ=，sin θ=，所以()f x 2=，所以22cos (1sin )4ϕϕ++=，即22sin 4ϕ+=，所以sin 1ϕ=，所以22k πϕπ=+，k Z ∈，0ϕπ<<，∴当0k =时，.2πϕ=故答案为：.2π14.820221(1)(1)x x-+的展开式中2x 的系数为__________.(用数字作答).【答案】42-【解析】 【分析】本题考查二项式指定项的系数，二项展开式及其通项，属于中档题. 先将121x +看成一项，得到展开式通项公式，确定8r =，进而简化通项公式，得到4k =与6k =时满足要求，求出展开式中2x 的系数，相加得到答案. 【解答】解：1820228220221(1)[(1)]xx x-=++的展开式通项公式为120228218()(1)r rr r TC xx --+=+， 由于求解的是展开式中2x 的系数，故8r =，其中182(1)x +展开式通项公式为1482288()k k kk C x C x--=，令422k-=，得：4k =，此时展开式中2x 的系数为48(1)70C ⨯-=-， 令412k -=，得：6k =，此时展开式中2x 的系数为6828C =，综上：展开式中2x 的系数为702842.-+=- 故答案为：42.-15. 若对于任意的x ，(0,)a ∈+∞，不等式22ax ab e a x +…恒成立，则b 的取值范围为__________. 【答案】21[,)2e +∞ 【解析】 【分析】本题主要考查了导数中的恒成立问题，利用导数求函数的最值，属于中档题. 由22ax abea x +…，得22ax ab e a x +…，设2()ax ab e f x x+=，利用导数求出函数的最值，即可确定出b 的取值范围． 【解答】 解：由22ax abea x +…，得22ax ab e a x +…，设2()ax ab e f x x+=，则22222(1)()a ab ax ab ax abaxe e ax e f x x x +++--'==，令()0f x '=，得1x a=，()fx 在1(0,)a上单调递减，在1(,)a+∞上单调递增， 所以()f x 最小值为1221()abf ae a a+=…，即12ab e a +…，两边取对数得12ln ab a +…，即ln 12a b a-…， 令ln 1()2x g x x -=，则22ln ()2xg x x-'=，令()0g x '=，得2x e =， ()g x 在2(0,)e 上单调递增，在2(,)e +∞上单调递减，则当2x e =时，()g x 取最大值212e ，所以b 的取值范围是21[,).2e+∞16. 弓琴(如图1)，它脱胎于古代的猎弓也可以称作“乐弓”，是我国弹弦乐器的始祖．古代有“后羿射十日”的神话，说明上古生民对善射者的尊崇，乐弓自然是弓箭发明的延伸．古代传说将“琴”的创始归于伏羲，也正由于他是以渔猎为生的部落氏族首领．在我国古籍《吴越春秋》中，曾记载着：“断竹、续竹，飞土逐肉”，常用于民歌或舞蹈伴奏，流行于台湾原住民中的布农、邹等民族聚居地区．弓琴的琴身下部分可近似的看作是半椭球的琴腔，其正面为一椭圆面，它有多条弦，拨动琴弦，发音柔弱，音色比较动听，现有某专业乐器研究人员对它做出改进，安装了七根弦，发现声音强劲悦耳．如图2，是一弓琴琴腔下部分的正面图．若按对称建立如图所示坐标系，1(,0)F c -恰为左焦点，(1,2,3,4,5,6,7)i P i =均匀对称分布在上半个椭圆弧上，1i PF 为琴弦，记1||(1,2,3,4,5,6,7)i i a PF i ==，数列{}n a 前n 项和为n S ，椭圆方程为22221x y a b+=，且644a c ac +=，则77128S a +-取最小值时椭圆的离心率为__________.图1 图2 【答案】【解析】 【分析】本题考查椭圆的第二定义、性质与方程，可设(,)i i i P x y ，有8(,1,2,3,4,5,6,7)k k x x i k -=-=，由焦半径公式有1||i i PF a ex =+，由对称性得a -，1x ，2x ，3x ，⋯，7x 成等差数列，从而可求7x ，这样求得77S a +，再利用基本不等式成立条件求出离心率．本题属于中档题.【解答】解：设(,)i i i P x y ，有8(,1,2,3,4,5,6,7)xkx k i k =--=，得1||(i i PF a ex e =+为椭圆的离心率)，数列{}n a 是等差数列，77112371||7()7i i S PF a e x x x x a ===++++=∑，由题意1P ，2P ，3P ，7P 的横坐标把AB 八等分，所以734x a =，7734c a a ex a =+=+，又644a c ac +=，16114a c∴+=，故77316132123128(8)()128128128441616c a c S a a a c c a +-=++-=+++-+…当且仅当a =17. 如图，在三棱锥P ABC -中，PAC 为等腰直角三角形，PA PC =，2AC =，ABC 为正三角形，D 为AC 的中点．(1)证明：平面PDB ⊥平面PAC ；(2)若二面角P AC B --的平面角为锐角，且三棱锥P ABC -的体积为，求二面角A PBC --的正弦值．【答案】解：(1)证明：PA PC =，D AC 中点，AC PD ∴⊥， 又ABC 是等边三角形，BA BC =， AC BD ∴⊥，BD PD D ⋂=，BD ，PD ⊂平面PDB ， AC ∴⊥平面PDB ， AC ⊂平面PAC ，∴平面PAC ⊥平面PDB ；(2)ABC 是等边三角形，2AC =，ABC ∴的面积为设三棱锥P ABC -的底面ABC 上的高为h ，则13P ABCVh -===，解得12h=， PAC 为等腰直角三角形，PA PC =，2AC =，1DP ∴=，30PDB ︒∴∠=，作PO DB ⊥交于O ，则12PO =，2DO ∴=， 又3BD =O ∴是DB 的中点，以O 为坐标原点，OB 所在直线为x 轴，在平面ABC 中过O 作BD 的垂线为y 轴， OP 为z 轴，建立空间直角坐标系，(1,0)A -，B ，1(0,0,)2P，(C ，313131(,1,),(,0,),()222222AP PB PC ∴==-=-，设(,,)nx y z =是平面PAB 的一个法向量，则3102231022n AP x y z n PB x z ⎧⋅=++=⎪⎪⎨⎪⋅=-=⎪⎩，取1x=，得(1,3,n =-，设平面PBC 的一个法向量(,,)m a b c =，则3102231022m PB a c m PC b c ⎧⋅=-=⎪⎪⎨⎪⋅=-+-=⎪⎩， 取1a=，得(1,3,m =，1cos ,||||7m n m n m n ⋅∴<>==⋅，sin ,1m n ∴<>=-=故二面角A PBC --的正弦值为【解析】本题考查面面垂直的判定以及利用空间向量求平面与平面所成角的正弦值，属于中档题．(1)求出AC PD ⊥，AC BD ⊥，AC ⊥平面PDB ，由此能证明平面PAC ⊥平面.PDB(2)作PO DB ⊥于O ，O 是DB 的中点，以O 为坐标原点，OB 为x 轴，在平面ABC 中过O 作BD 的垂线为y 轴，OP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A PB C --的正弦值．18. 在数列{}n a 中，114a =，*122(1)(24).(1)n n n a n a n N n n +++=∈+ (1)求{}n a 的通项公式.(2)设{}n a 的前n 项和为n S ，证明：22.2n n n S +<-【答案】(1)解：122(1)(24)(1)n n n a n a n n +++=+，*n N ∈122(11)(1)1(1)2n nn a n n n ++++∴=⋅+，又12(11)112a +=， ∴数列2(1){}n n a n +是首项为12，公比为12的等比数列，从而2(1)1()2nn n a n +=，则2*.(1)2n nn a n N n =∈+⋅ (2)证明：2(1)2122n n n nn n n na n n ==⋅<+⋅+，212.222n n n S ∴<+++设212222n n n T =+++，则2311122222n n n T +=+++，两式相减得1211111111122211222222212n n n n n n n n n T ++++-+=+++-=-=--，从而222nnn T +=-， 故22.2n nn S +<- 【解析】本题考查数列的递推关系，等比数列的通项公式以及错位相减法求和，属于中档题.(1)根据题意得到122(11)(1)1(1)2n nn a n a n n ++++=⋅+，从而数列2(1){}n n a n +是首项为12，公比为12的等比数列，进而求出{}n a 的通项公式.2(2)(1)2122n n n nn n n na n n ==⋅<+⋅+，再运用错位相减法求和即可.19. 设(,)X Y 是一个二维离散型随机变量，它们的一切可能取的值为j (,)i a b ，其中i ，j ∈N*，令j j (,)i i p P X a Y b ===，称j (,i P i j ∈N *)是二维离散型随机变量(,)X Y 的联合分布列．与一维的情形相似，我们也习惯于把二维离散型随机变量的联合分布列写成下表形式：现有(n n ∈N*)个相同的球等可能的放入编号为1，2，3的三个盒子中，记落下第1号盒子中的球的个数为X ，落入第2号盒子中的球的个数为.Y(1)当2n =时，求(,)X Y 的联合分布列； (2)设(,)n k m p P X k Y m ====∑，k ∈N 且k n …，计算0.nkk k p =∑【答案】解：(1)X 可取0，1，2；Y 可取0，1，2， 则，，， ，，，(1,2)(2,1)(2,2)0P X Y P X Y P X Y =========，故(,)X Y 的联合分布列为：(2)当k m n +>时，(,)0P X k Y m ===，于是(,)(,)n n kk m m p P X k Y m P X k Y m -========∑∑002333k m k n k n kn kmk n n k nn kn n nn m m C C C CC -----=====∑∑，因此，设Z 服从二项分布，则【解析】本题考查了离散型随机变量的均值以及独立重复试验的概率问题，考查计算能力，是较难题.(1)根据题意，X 可取0，1，2；Y 可取0，1，2，应用独立事件的乘法公式求相对应的概率，即可得到分布列； (2)计算，得Z 服从二项分布，再计算nkk k p=∑即可.20. 记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos sin .cos sin a B Ba C C-=-(1)若b c ≠，证明：2a b c =+； (2)若2B C =，证明：22.3c b >>【答案】证明：(1)由正弦定理sin sin b c B C =，所以sin sin B bC c=，由余弦定理可得222cos 2a c b B ac +-=，222cos 2a b c C ab+-=，所以由已知可得22222222a c b a b ac a b c c a ab+--=+--， 即，因为b c ≠，所以2a b c =+；(2)由已知得，sin sin 22sin cos B C C C ==，又由正弦定理sin sin b cB C=可得，2cos b c C =， 因为cos 1C <，所以2b c <，由(1)知，2a b c =+，则b ca a+=，又由正弦定理sin sin sin a b cA B C==可得，，又2cos b c C =，则2cos bcC=，将12cos 1a C =-以及2cos bc C=代入2a b c =+可得，，整理可得，，因为2B C =，A B C π++=，所以03C π<<，则1cos 12C <<， 令2cos t C =，则12t <<，，则，当12t <<时，恒成立，所以在上单调递减.所以，即2.3b> 综上所述，22.3c b >>【解析】本题考查正、余弦定理的综合应用，三角恒等变换的应用，利用导数求函数的最值，属于困难题.(1)根据正余弦定理角化边，整理即可；(2)根据正弦定理推得2cos b c C =，即可得到2b c <；通过分析，可得12cos 1a C =-以及2cos bc C =，代入2a b c =+，整理可得到，令2cos tC =，构造32()1t b f t t t t ==--+，求导得到在上单调递减，进而得到，即可得到结果.21. 已知椭圆2222:1,(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，焦距与短轴长均为4. (1)求E 的方程;(2)设任意过2F 的直线为l 交E 于M ，N ，分别作E 在点M ，N 上的两条切线，并记它们的交点为P ，过1F 作平行于l 的直线分别交,PM PN 于A ，B ，求||||OA OB OP +的取值范围.【答案】解：(1)由题意得，2224a b -=，24b =，解得24b =，28a =，所以椭圆E 的方程为221;84x y +=(2)由题意得，2(2,0)F ，显然l 的斜率不为0，设直线l 的方程为2x ty =+，11(,)M x y ，22(,)N x y ，联立221842x y x ty ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消x 整理得22(2)440t y ty ++-=， ，12242t y y t +=-+，12242y y t =-+， 由题意知，M ，N 不在x 轴上，则分别作E 在点M ，N 上的两条切线的斜率存在，联立过M ，N 的切线方程，整理得121222112128.28x y x y y y y x y x y y y y +=⎧⎨+=⎩ 相减可得122121()8()x y x y x y y -=-，即122121[(2)(2)]8()ty y ty y x y y +-+=-，化简可得4x =，代入11184x x y y+=，可得11114242(2)2x ty y t y y --+===-，故(4,2).P t - 设MN 的中点为(,)Q Q Q x y ，则122222Q y y t y t +==-+，22224222Q t x t t =-+=++，故2242(,)22tQ t t -++， 因为2222422OQ t t t k t -+==-+，242OPt t k -==-，所以OQ OP k k =，所以O ，Q ，P 三点共线，又过1F 作平行于l 的直线分别交PM ，PN 于A ，B ，易得PMN ∽PAB ，取AB 中点R ，根据三角形的性质有R ，O ，Q ，P 四点共线， 结合椭圆的对称性有22||2||2||212||||||Q P x OA OB OR OQ x t OP OP OP +====+…，当且仅当0t=时取等号，所以||(0,1]||OA OB OP +∈【解析】本题考查求椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系及其应用，中点坐标公式，属于较难题.(1)根据焦距和短轴长的公式求解即可;(2)设l 的方程为2x ty =+，11(,)M x y ，22(,)N x y ，联立直线与椭圆的方程，根据椭圆的切线方程，联立可得(4,2)P t -，设MN 的中点为(,)Q Q Q x y ，根据韦达定理可得2242(,)22t Q t t -++，再结合三角形与椭圆的性质可得R ，O ，Q ，P 四点共线，从而化简||2||||||OA OB OQ OP OP +=，再根据Q ，P 的横坐标关系，结合参数的范围求解即可.22. 设连续正值函数()g x 定义在区间(0,)I⊆+∞上，如果对于任意1x ，2x I ∈都有g ，则称()g x 为“几何上凸函数”．已知()ln f x ax x =-，a ∈R .()Ⅰ讨论函数()f x 的单调性；()Ⅱ若a e =，试判断()f x 是否为2[,)x e ∈+∞上的“几何上凸函数”，并说明理由．【答案】解：()()f x Ⅰ定义域为(0,)+∞，()f x 的导函数1()f x a x'=-， 当0a …时，1()0f x a x'=-<，故()f x 在(0,)+∞单调递减;当0a>时，由1()0f x a x '=->得：1;x a >由1()0f x a x '=-<得10;x a<<于是()f x 在1(0,)a单调递减，在1(,)a +∞单调递增，综上，当0a …时，()f x 在(0,)+∞单调递减;当0a >时，()f x 在1(0,)a单调递减，在1(,)a +∞单调递增.()()f x Ⅱ是2[,)x e ∈+∞上的几何上凸函数，证明如下：由()Ⅰ可知，当a e =时，()f x 在1(0,)e 单调递减，在1(,)e+∞单调递增.故111()()ln 20f x f e e e e=⋅-=>…，故()f x 为连续正值函数，由于121212()ln f x x e x x x x =-，121122()()(ln )(ln )f x f x ex x ex x ⋅=--，要证()f x 是2[,)e +∞上的几何上凸函数.需证1212()()()f x x f x f x ⋅⋅…，即证21212[()]()()f x x f x f x ⋅⋅…， 221212121212(ln )2ln e x x x x e x x e x x x x -=-212122112(ln ln )ln ln e x x e x x x x x x -++⋅，则1221(ln ln )e x x x x -+，需证，由，且12211212(ln ln )ln()e x x x x e x x x x +-22111122[()ln ()ln ]e x x x x x x x x =⋅-⋅+⋅-⋅ 2121122()(ln ln )e x x x x x x =--⋅ 12122112ln ln 2()()x x e x x x x x x =--故只需证12122112ln ln 2()()0x x ex x x x x x --…，下面给出证明：设ln ()x h x x =，则21ln ()xh x x-'=，即在(,)e +∞上()0h x '<，()h x 递减， 而1x ，2(,)x e ∈+∞，所以1212()[()()]0x x h x h x --…，即12122112ln ln 2()()0x x ex x x x x x --…，综上，成立，故1212()()()f x x f x f x ⋅⋅…，得证.【解析】本题考查函数的新定义问题，利用导数研究函数的单调性，着重考查推理证明的逻辑思维能力，属于难题．()Ⅰ求导，利用导数即可研究函数的单调性； ()Ⅱ根据几何上凸函数的定义，结合导数即可判断.。