数学--南京市2012届高三第二次模拟考试(数学)word版

2012届高三模拟考试数学试题数学试题（理科）本试卷共4页,21小题,满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前,考生要务必填写答题卷上密封线内的有关项目.2.选择题每小题选出答案后，用铅笔把答案代号填在答题卷对应的空格内.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.请考生保持答题卷的整洁.考试结束后，将答题卷和答题卡交回. 参考公式:锥体的体积公式13V Sh =，其中S 为锥体的底面面积，h 为锥体的高. 一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若复数(1)i ai ⋅+是纯虚数，则实数a 的值是（ ）A. 1B. 1-C.0D. 0或1-2．已知集合{||2,A x x x =≤∈R },{2,B x x =≤∈Z },则A B = （ ）A. (0,2)B. [0,2]C. {0, 2}D. {0,1,2}3．设25025..12,25,()2.a b c ===，则,,a b c 的大小关系是（C ）A.a c b >>B. c a b >>C. a b c >>D.b a c >>4．一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为. A. 1 B. 3 C 6 D. 25．设向量(1,0)a = ，11(,)22b = ，则下列结论正确的是 ( )A.a b =B.2a b ⋅= C. a ∥b D. a b - 与b 垂直6．执行如图1所示的程序框图后，输出的值为5，则P 的取值范围（ ）A.715816P <≤ B. 1516P > C. 715816P ≤< D.3748P <≤ 7. 下列四个判断：①某校高三一班和高三二班的人数分别是,m n ，某次测试数学平均分分别是,a b ，则这两个班的数学平均分为2a b+； ②10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12,设其平均数为a ,中位数为b ,众数为c ，则有b a c >>； ③从总体中抽取的样本12221111(,),(,),,(,),,n nn n i i i i x y x y x y x x y y n n ====∑∑ 若记，则回归直线y =bx a +必过点（,x y ）④已知ξ服从正态分布(0N ,2)σ，且(20)0.4P ξ-≤≤=，则(2)0.2P ξ>= 其中正确的个数有： （ ）A ．0个B ． 1 个C ．2 个D ．3个8. 定义符号函数1,0sgn 0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，设111sgn()1sgn()122()()22x x f x f x -+-+=⋅+2()f x ⋅，[0,1]x ∈，其中1()f x =12x +, 2()f x ⋅=2(1)x -, 若1[()][0,)2f f a ∈，则实数a 的取值范围是（ ）A. 1(0,]4B. 11(,)42C. 11(,]42D. 3[0,]8二、填空题:本大共7小题,考生作答6小题,每小题5分，满分30分.(一)必做题(9～13题)9．. 已知A 是单位圆上的点，且点A 在第二象限，点B 是此圆与x 轴正半轴的交点，记AOB α∠=, 若点A的纵坐标为35．则s i n α=_____________;tan(2)πα-=_______________.10．以抛物线24y x =的焦点为圆心，且被y 轴截得的弦长等于2的圆的方程为__________________.11．从如图所示的长方形区域内任取一个点()y x M ,，则点M 取自阴影部分的概率为____________.12．已知,x y 满足约束条件5000x y x y y ++⎧⎪-⎨⎪⎩≥≤≤，则24z x y =+的最小值是_________.13.设()11f x x x =-++，若不等式121()a a f x a+--≥对任意实数0a ≠恒成立，则x 取值集合是_______________________.(二)选做题(14～15题,考生只能从中选做一题) 14．（几何证明选讲选做题）如图，AB 是圆O 的直径，DE AD =，6,8==BD AB ,则ADAC= ;15．(坐标系与参数方程选做题) 已知直线l 方程是11x ty t =+⎧⎨=-⎩(t 为参数），,以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为1ρ=，则圆C 上的点到直线l 的距离最小值是 三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分12分)已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ， 11a =，且1S ，22S ，33S 成等差数列. （1）求数列{}n a 通项公式；（2）设n n b a n =+，求数列{}n b 前n 项和n T ．17．(本小题满分14分) 有一个3×4×5的长方体, 它的六个面上均涂上颜色. 现将这个长方体锯成60个1×1×1的小正方体，从这些小正方体中随机地任取1个，设小正方体涂上颜色的面数为ξ. （１）求0ξ=的概率； （２）求ξ的分布列和数学期望.18．(本小题满分14分)如图5(1)中矩形ABCD 中，已知2AB =，AD =MN 分别为AD 和BC 的中点，对角线BD 与MN 交于O 点，沿MN 把矩形ABNM 折起，使平面ABNM 与平面MNCD 所成角为60 ，如图5(2).（1） 求证：BO DO ⊥；（2） 求AO 与平面BOD 所成角的正弦值.OABDC MNABDCMNO图6B A19．(本小题满分12分)在ABC ∆中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其中2c =，且cos cos 1A bB a == (1)求证：ABC ∆是直角三角形；(2)如图6，设圆O 过,,A B C 三点，点P 位于劣弧AC ︿上，求PAC ∆面积最大值.20.(本小题满分14分)在直角坐标系xOy 中，动点P 与定点(1,0)F 的距离和它到定直线2x =的距离之比是2，设动点P 的轨迹为1C ，Q 是动圆2222:C x y r +=(12)r <<上一点. （1）求动点P 的轨迹1C 的方程； （2）设曲线1C上的三点1122(,),(,)A x y B C x y 与点F 的距离成等差数列，若线段AC 的垂直平分线与x 轴的交点为T ，求直线BT 的斜率k ；（3）若直线PQ 与1C 和动圆2C 均只有一个公共点，求P 、Q 两点的距离PQ 的最大值.21．(本小题满分14分)已知函数()ln(1)f x x mx =++，当0x =时，函数()f x 取得极大值. （１）求实数m 的值；（２）已知结论：若函数()ln(1)f x x mx =++在区间(,)a b 内导数都存在，且1a >-，则存在0(,)x a b ∈，使得0()()()f b f a f x b a-'=-.试用这个结论证明：若121x x -<<，函数121112()()()()()f x f x g x x x f x x x -=-+-，则对任意12(,)x x x ∈，都有()()f x g x >；（３）已知正数12,,,n λλλL ，满足121n λλλ+++=L ，求证：当2n ≥，n N ∈时，对任意大于1-，且互不相等的实数12,,,nx x x L ，都有1122()n n f x x x λλλ+++>L 1122()()()n n f x f x f x λλλ+++L .2012届高考模拟测试数学试题(理科)参考答案和评分标准一．选择题：CACBD ABB二填空题：9.35（2分）247（3分） 10. 22(1)2x y -+= 11. 13 12. 15- 13. 33(,][,)22-∞-+∞ 14. 4315.1三、解答题： 本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．(本题满分14分)解：（1）设数列{}n a 的公比为q ，……………1分若1q =，则111S a ==，21244S a ==，31399S a ==，故13231022S S S +=≠⨯，与已知矛盾，故1q ≠，………………………………………………2分从而得1(1)111n nn a q q S q q--==--，………………………………………………4分由1S ，22S ，33S 成等差数列，得132322S S S +=⨯，即321113411q q q q--+⨯=⨯--， 解得13q =……………………………………………5分 所以11113n n n a a q--⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭.………………………………………………6分（2）由（１）得，11()3n n n b a n n -=+=+，………………………………7分 所以12(1)(2)()n n T a a a n =++++++1(1)(1)(12)12n n b q n nS n q -+=++++=+- ………………………………10分2111()(1)333.12213n n n n n n --+++-=+=-……………………………12分 17．(本题满分12分)（１）60个1×1×1的小正方体中，没有涂上颜色的有6个，61(0)6010P ξ=== … （3分） （２）由（1）可知1(0)10P ξ==；11(1)30P ξ==；2(2)5P ξ==；2(3)15P ξ== … （7分）… （10分）E ξ=0×110+1×1130+2×25+3×215=4730 …（12分）18(本题满分14分)解：（1）由题设，M ，N 是矩形的边AD 和BC 的中点，所以AM ⊥MN, BC ⊥MN, 折叠垂直关系不变，所以∠AMD 是平面ABNM 与平面MNCD 的平面角，依题意，所以∠AMD=60o ， ………………………………………………………………………………………………………２分 由AM=DM ，可知△MAD 是正三角形，所以AD=2，在矩形ABCD 中，AB=2,AD=所以，，由题可知，由勾股定理可知三角形BOD 是直角三角形，所以BO ⊥DO ……………………………………………………………………………………… 5分解（２）设E ，F 是BD ，CD 的中点，则EF ⊥CD, OF ⊥CD, 所以，CD ⊥面OEF, OE CD⊥ 又BO=OD ，所以OE ⊥BD, OE⊥面ABCD, OE ⊂面BOD , 平面BOD ⊥平面ABCD过A 作AH ⊥BD ，由面面垂直的性质定理,可得AH ⊥平面BOD ，连结OH ，…………………… 8分 所以OH 是AO 在平面BOD 的投影，所以∠AOH 为所求的角,即AO 与平面BOD 所成角。

南京市2012年届高三第二次模拟考试数学试卷解析 2012.3一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分1．已知集合{}R x x x x A ∈≤-=,02|2，}{a x x B ≥=|，若B B A =Y ，则实数a 的取值范围是 。

解析：B B A =Y 可知道B A ⊆，又]2,0[=A 所以实数a 的取值范围是]0,(-∞11.已知i b iia -=+3，其中Rb a ∈,，i 为虚数单位，则=+b a 。

解析：将等式两边都乘i ，得到bi i a +=+13，两边比较得结果为412.某单位从4名应聘者A 、B 、C 、D 中招聘2人，如果这4名应聘者被录用的机会均等，则A ，B 两人中至少有1人被录用的概率是 。

解析：从题目来看，所有的可能性共有6种，但A ，B 都没被录取的情况只有一种，即满足条件的有5种，所以结果为65 4、某日用品按行业质量标准分成王五个等级，等级系数X 依次为1，2，3，4，5.现从一批该日用品中随机抽取200件，对其等级系数进行统计分析，得到频率f 的分布如下的件数为 。

解析：由所有频率之和为1，可知道a =0.1，由频率公式可知道所求件数为20。

5、已知变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≥+212y y x y x ，则目标函数y x z +-=2的取值范围是解析：画出可行域，可以知道目标函数的取值范围是[－4，2]6、已知双曲线1222=-y ax 的一条渐近线方程为02=-y x ，则该双曲线的离心率=e解析：焦点在x 轴上的双曲线的渐近线方程是0=±ay bx ，与题是所给比较得5.1,2===c b a ，所以结果为527、已知圆C 的经过直线022=+-y x 与坐标轴的两个交点，又经过抛物线x y 82=的焦点，则圆C 的方程为 。

解析：先求直线得022=+-y x 与坐标轴的交点为)2,0(),0,1(B A -，抛物线x y 82=的焦点为)0,2(D ，可把圆C 的方程设为一般形式，把点坐标代入求得x 2＋y 2－x －y －2＝0法2。

南京市2024届高三年级第二次模拟考试数学2024.05注意事项：1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷．2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知向量a ＝(1，2)，b ＝(x ，x ＋3)．若a ∥b ，则x ＝A ．－6B ．－2C ．3D ．62．“0＜r ＜2”是“过点(1，0)有两条直线与圆C ：x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)相切”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．为了得到函数y ＝sin(2x ＋π3)的图象，只要把函数y ＝sin2x 图象上所有的点A ．向左平移π6个单位B ．向左平移π3个单位C ．向右平移π6个单位D ．向右平移π3个单位4．我们把各项均为0或1的数列称为0－1数列，0－1数列在计算机科学和信息技术领域有着广泛的应用．把佩尔数列{P n }(P 1＝0，P 2＝1，P n ＋2＝2P n ＋1＋P n ，n ∈N *)中的奇数换成0，偶数换成1，得到0－1数列{a n }．记{a n }的前n 项和为S n ，则S 20＝A ．16B ．12C ．10D ．85．已知P (A )＝35，P (A ―B )＝15P (A |B )＝12，则P (B )＝A ．15B ．25C ．35D ．456．在圆O 1O 2中，圆O 2的半径是圆O 1半径的2倍，且O 2恰为该圆台外接球的球心，则圆台的侧面积与球的表面积之比为A ．3：4B ．1：2C ．3：8D ．3：107．已知椭圆C 的左、右焦点分别为F 1，F 2，下顶点为A ，直线AF 1交C 于另一点B ，△ABF 2的内切圆与BF 2相切于点P ．若BP ＝F 1F 2，则C 的离心率为A ．13B ．12C ．23D ．348．在斜△ABC 中，若sin A ＝cos B ，则3tan B ＋tan C 的最小值为A ．2B ．5C ．6D ．43二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，不选或有选错的得0分．9．已知z1，z2为共轭复数，则A．z12＝z22B．|z1|＝|z2|C．z1＋z2∈R D．z1z2∈R10．已知函数f(x)满足f(x)f(y)＝f(xy)＋|x|＋|y|，则A．f(0)＝1B．f(1)＝－1C．f(x)是偶函数D．f(x)是奇函数11．已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1的棱长均为2，∠A1AB＝∠A1AD＝∠BAD＝60°，点P在△A1BD内，则A．A1P∥平面B1CD1B．A1P⊥AC1C．PC1≥6AP D．AP＋PC1≥26三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知集合A＝{1，2，4}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则集合B的元素个数为▲．13．在平面四边形ABCD中，∠A＝135°，∠B＝∠D＝90°，AB＝2，AD＝2，则四边形ABCD 的面积为▲．14．已知函数f(x)＝x3－ax＋1(a∈R)的两个极值点为x1，x2(x1＜x2)，记A(x1，f(x1))，C(x2，f(x2))．点B，D在f(x)的图象上，满足AB，CD均垂直于y轴．若四边形ABCD为菱形，则a＝▲．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．(本小题满分13分)某地5家超市春节期间的广告支出x(万元)与销售额y(万元)的数据如下：超市A B C D E 广告支出x 24568销售额y3040606070(1)从A ，B ，C ，D ，E 这5家超市中随机抽取3家，记销售额不少于60万元的超市个数为X ，求随机变量X 的分布列及期望E (X )；(2)利用最小二乘法求y 关于x 的线性回归方程，并预测广告支出为10万元时的销售额．附：线性回归方程^y ＝^bx ＋^a 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：^b ＝∑n i ＝1x i y i －n -x -y∑ni ＝1x i 2－n -x 2，^a ＝―y －^b ―x ．16．(本小题满分15分)已知函数f (x )＝x 2－ax ＋ae x，其中a ∈R ．(1)当a ＝0时，求曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程；(2)当a ＞0时，若f (x )在区间[0，a ]上的最小值为1e，求a 的值．17．(本小题满分15分)在五面体ABCDEF中，CD⊥平面ADE，EF⊥平面ADE．(1)求证：AB∥CD；(2)若AB＝2AD＝2EF＝2，∠ADE＝∠CBF＝90°，点D到平面ABFE的距离为22，求二面角A－BF－C的大小．(第17题图)18．(本小题满分17分)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)与双曲线E：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)有公共的焦点F，且p＝4b．过F的直线l与抛物线C交于A，B两点，与E的两条渐近线交于P，Q两点(均位于y轴右侧)．(1)求E的渐近线方程；(2)若实数λ满足λ(1|OP|＋1|OQ|)＝|1|AF|－1|BF||，求λ的取值范围．19．(本小题满分17分)已知数列{a n}的前n项和为S n．若对每一个n∈N*，有且仅有一个m∈N*，使得S m≤a n＜S m＋1，则称{a n}为“X数列”．记b n＝S m＋1－a n，n∈N*，称数列{b n}为{a n}的“余项数列”．(1)若{a n}的前四项依次为0，1，－1，1，试判断{a n}是否为“X数列”，并说明理由；(2)若S n＝2n，证明{a n}为“X数列”，并求它的“余项数列”的通项公式；(3)已知正项数列{a n}为“X数列”，且{a n}的“余项数列”为等差数列，证明：S n≤(1＋2n－2)a1．。

2012届南京师大附中高三数学二轮复习周统测（四) 2012。

3。

14一．填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卷相应的位置上．．．．．．．．．．1．设集合A＝{x||x－2｜≤2}，B＝｛y｜y=－x2,－1≤x≤2},则A∩B ＝▲．2．高三⑴班共有56人，学号依次为1，2，3，…，56．现采用系统抽样的办法抽取一个容量为4的样本，已知学号为6，34,48的同学在样本中，那么还有一个同学的学号应为▲．3．已知复数z1＝2＋i，z2＝3－i，其中i是虚数单位，则复数错误!的实部与虚部之和为▲．4．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的值是▲．5．如图，在ABC△中，3AB=，2AC=，D是边BC的中点，则AD BC⋅=▲．6．已知a ＝log 30。

5，b ＝30。

2，c ＝sin2,则a ，b ,c 按从小到大的排列顺序是 ▲ ．7．若△ABC 的内角A 满足322sin =A ,则=+A A cos sin ▲ ．8．下列四个命题：①命题“若1,0232==+-x x x 则”的逆否命题为“若1x ≠，则2320x x -+≠"； ②若命题p :“∃x ∈R ，使得x 2＋x ＋1＜0．”则p ⌝：“x ∀∈R ，x 2＋x＋1≥0”；③对于平面向量a ，b ,c ，若a ≠b ，则a ·c ≠b ·c ；④已知u ,v 为实数,向量a ,b 不共线，则u a ＋v b ＝0的充要条件是u ＝v ＝0．其中真命题有 ▲ （填上所有真命题的序号）．9．如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，且AD//BC,90ABC ∠=︒，侧棱PA ⊥底面ABCD ，若AB=BC=12AD ，则CD与平面PAC 所成的角为 ▲ ．10．数列1,错误!，错误!，…，错误!的前n 项和为 ▲ ．11．已知抛物线x y 42=的准线与双曲线1222=-y ax )0(>a 相交于B A ,两点，且F 是抛物线的焦点，若FAB ∆是直角三角形,则双曲线的离心率为 ▲ ．12．己知函数f (x )＝错误!则不等式2)(x x f ≥的解集为 ▲ ．13．实系数方程220xax b ++=的两根为1x 、2x ，且12012x x <<<<，则21b a --的取值范围是 ▲ ．14．已知函数f （x ）=2111x ax x +++（a ∈R ），若对于任意的x ∈N ＊,f (x )≥3恒成立， 则a 的取值范围是 ▲ ．二．解答题:本大题共6小题,共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明．证明过程或演算步骤． 15．(本题满分14分）如图，平面PAC ⊥平面ABC ，点E 、F 、O 分别为线段PA 、PB 、AC 的中点,点G 是线段CO 的中点，4AB BC AC===，22PA PC ==．求证： （1)PA ⊥平面EBO ; （2）FG ∥平面EBO ．16．（本题满分14分）设向量a ＝（1，cos2θ)，b ＝（2，1），c ＝(4sin θ,1），d ＝（错误!sin θ,1）． （1）若θ∈（0，错误!)，求a ·b －c ·d 的取值范围；（2）若θ∈[0，π)，函数f （x )＝｜x －1|,比较f (a ·b ）与f (c ·d )的大小．17．(本题满分14分）如图,线段AB=8，点C 在线段AB 上，且AC=2，P 为线段CB 上一动点，点A绕着C 旋PABOE FG转后与点B绕点P旋转后重合于点D，设,=∆的面积为()f x．CP x CPD（1）求x的取值范围；（2）求f(x）的的最大值．18．(本小题满分15分）已知A（－2，0)，B(2，0)为椭圆C的左、右顶点，E(1，错误!）是C上的一点．F为C的右焦点。

17．如图，在平面直角坐标系xoy 中， 椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为23，以原点为圆心，椭圆C 的短半轴长为半径的圆与直线x-y+2=0相切． （1）求椭圆C 的方程； （2）已知点P(0,1),Q(0,2),设M,N 是椭圆C 上关于y 轴对称的不同两点，直线PM 与QN 相交于点T 。

求证：点T 在椭圆C 上。

解：（1）由题意知b ＝22＝2． ………………………… 3分 因为离心率e ＝c a ＝32，所以b a ＝1－(c a )2＝12所以a ＝22． … 2分 所以椭圆C 的方程为x 28＋y 22＝1． …………………………1分 （2）证明：由题意可设M ，N 的坐标分别为(x 0，y 0)，(－x 0，y 0)，则直线PM 的方程为y ＝y 0－1x 0x ＋1， ① ………………………… 1分 直线QN 的方程为y ＝y 0－2－x 0x ＋2． ② ………………………… 1分 证法一 联立①②解得x ＝x 02y 0－3，y ＝3y 0－42y 0－3， 3分 即T (x 02y 0－3，3y 0－42y 0－3)． 由x 028＋y 022＝1可得x 02＝8－4y 02． 所以x 28＋y 24＝18(x 02y 0－3)2＋12(3y 0－42y 0－3)2＝x 02＋4(3y 0－4)28(2y 0－3)2＝8－4y 02＋4(3y 0－4)28(2y 0－3)2＝32y 02－96y 0＋728(2y 0－3)2＝8(2y 0－3)28(2y 0－3)2＝1， 所以点T 坐标满足椭圆C 的方程，即点T 在椭圆C 上． ……………………… 3分证法二 设T (x ，y )．联立①②解得x 0＝x 2y －3，y 0＝3y －42y －3． 3分 因为x 028＋y 022＝1，所以18(x 2y －3)2＋12(3y －42y －3)2＝1． 整理得x 28＋(3y －4)22＝(2y －3)2，所以x 28＋9y 22－12y ＋8＝4y 2－12y ＋9，即x 28＋y 22＝1． 所以点T 坐标满足椭圆C 的方程，即点T 在椭圆C 上．…………………………3分说明：（1）第（1）问：只要由b ＝2，a ＝22，加上标准方程x 28＋y 22＝1．即可得满分．过程可以从简． （2）第（1）问：没有任何过程，只正确写出标准方程x 28＋y 22＝1，只给3分． （3）第（2）问：正确写出直线PM 方程y ＝y 0－1x 0x ＋1，或P ，M ，T (x ，y )三点共线y 0－y x 0－x＝y 0－1x 0，或y 0－y x 0－x ＝y －1x ，或y 0－1x 0=y －1x 等形式都得1分．正确写直线QN 的方程为y ＝y 0－2－x 0x ＋2．或P ，N ，T (x ，y )三点共线y 0－y x 0－x ＝y 0－2x 0，或y 0－y x 0－x ＝y －2x ，或y 0－2x 0＝y －2x 形式都得1分． （4）从方程组正确解出x ＝x 02y 0－3，y ＝3y 0－42y 0－3，不一定要写出T 点坐标，即可得3分． （5）代入x 28＋y 24必须出现消元后的关于y 0的一个正确式子，如8－4y 02＋4(3y 0－4)28(2y 0－3)2，再下结论x 28＋y 24＝1即可得3分．如只代入只得18(x 02y 0－3)2＋12(3y 0－42y 0－3)2＝x 02＋4(3y 0－4)28(2y 0－3)2＝1（等于1的前一个式中还是两个量x 0，y 02）不给分．（6）如果正确解出x 0＝x 2y －3，y 0＝3y －42y －3得3分，代入x 028＋y 022＝1，得18(x 2y －3)2＋12(3y －42y －3)2＝1．下面即可说：整理得x 28＋y 22＝1，不扣分． （7）在把T 坐标代入椭圆方程时，用(x 02y 0－3)28＋y 22＝1,解出y 2＝(3y 0－42y 0－3)2，说明横坐标x 02y 0－3的点，纵坐标y 2与T 的坐标相同，所以T 在椭圆中．不扣．（8）消元时，也可以把y 02换成x 02，结果为－8x 02－96y 0＋136－8x 02－96y 0＋136=1,不扣分． （9）设M (x 0，8－x 022)，其他运算都正确，扣1分． （10）设M (2－y 02，y 0)，N (－2－y 02，y 0)不扣分．（11）解出T 的坐标符号不正确，如T (－x 02y 0－3，）或（，－3y 0－42y 0－3）只扣解交点的3分，后面证明不错，不扣分．（12）直接把T 坐标代入x 28＋y 24＝1推出，x 02＋4y 02＝8，扣证明点在椭圆中3分． （13）设M (22cos θ，2sin θ)，得T (22cos θ22sin θ－3，32sin θ－422sin θ－3)，代入即可，不扣分． 【典型错误】（1）运算错误：把a ，b 求错；直线PM ，QN 方程求错；交点T 坐标求错；坐标代入出错等．（2）方法错误：不设点M 坐标，而设PM 斜率k 1，PN 斜率k 2，用k 1，k 2表示T 的坐标，用不出M ，N 对称关系．或想把PM ，PN 分别与椭圆联列，解出交点，证明它们有一个交点一样，即为T 点．这些方法太繁，不好．（3）逻辑错误：一是先把点T 坐标代入方程，推出满足条件；二是把直线PM 方程与椭圆方程联列论为解出的交点到是M ，T 等．18． 某单位设计一个展览沙盘，现欲在沙盘平面内，布设一个对角线在l 上的四边形电气线路，如图所示，为充分利用现有材料，边BC,CD 用一根5米长的材料弯折而成，边BA,AD 用一根9米长的材料弯折而成，要求A ∠和C ∠互补，且AB=BC,(1) 设AB=x 米，cosA=()f x ,求()f x 的解析式，并指出x 的取值范围．(2) 求四边形ABCD 面积的最大值。

江苏省南京市2012届高三3月第二次模拟考试数学试卷数学试卷一．填空题1.已知集合}|{},,02|{2a x x B R x x x x A ≥=∈≤-=,若B B A =⋃,则实数a 的取值范围是_______________2.已知i b ii a -=+3，其中R b a ∈,，i 为虚数单位，则b a +=_____________ 3.某单位从4名应聘者A,B,C,D 中招聘2人，如果这4名应聘者被录用的机会均等，则A,B 两人中至少有1人被录用的概率是________________4.某日用品按行业质量标准分为五个等级，等级系数X 依次为1,2,3,4,5，现从一批该日用品中随机抽取200件，对其等级系数进行统计分析，得到频率f的分布表如下：则在所抽取的200件日用品中，等级系数X=1的件数为_______________5.已知变量x,y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≥+.2,1,2y y x y x 则目标函数y x z +-=2的取值范围是_________6.已知双曲线1222=-y ax 的一条渐近线方程为02=-y x ,则该双曲线的离心率e=_______7.已知圆C 经过直线022=+-y x 与坐标轴的两个交点,又经过抛物线x y 82=的焦点,则圆C 的方程为________________8.设n S 是等差数列}{n a 的前n 项和，若3163=S S ,则=76S S _____________ 9.已知函数)2||,0,0)(sin(πϕωϕω<>>+=A x A y 的部分图像如图所示，则ω的值为___10.在如果所示的流程图中，若输入n 的值为11.则输出A 的值为______11.一块边长为10cm 的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形作侧面，以它们的公共顶点P 为顶点，加工成一个如图所示的正四棱锥容器，当x=6cm 时，该容器的容积为__________________3cm .12.下列四个命题：（1）“01,2≤+-∈∃x x R x ”的否定;(2)“若2,062>≥-+x x x 则”的否命题；(3)在ABC ∆中，“o A 30>”是“21sin >A ”的充分不必要条件； (4)“函数)tan()(ϕ+=x x f 为奇函数”的充要条件是“)(Z k k ∈=πϕ”.其中真命题的序号是____________________(真命题的序号都填上)13.在面积为2的ABC ∆中，E,F 分别是AB ，AC 的中点，点P 在直线EF 上，则2+⋅的最小值是______________14.已知关于x 的方程03)2(log 22222=-+++a x a x 有唯一解，则实数a 的值为________二、解答题15．（本题满分14分）设向量a ＝(2，sin θ)，b ＝(1，cos θ)，θ为锐角（1）若a ·b =613,求sin θ+cos θ的值； （2）若a //b ,求sin(2θ+3π)的值．16. （本题满分14分）如图，四边形ABCD 是矩形，平面ABCD ⊥平面BCE ，BE ⊥EC.（1） 求证：平面AEC ⊥平面ABE ；（2） 点F 在BE 上，若DE//平面ACF ，求BEBF 的值。

2012届高三数学综合题一、填空题：1．计算：2sin20︒＋cos10︒＋tan20︒⋅sin10︒＝ ．2．已知以1为首项的数列{a n }满足：a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ＋1，a n ＜3，a n 3，a n ≥3，则a 20＝ ．3．已知函数f (x )＝a sin 2π5x ＋b tan π5x （a ，b 为常数，x ∈R )．若f (1)＝－1，则不等式f (24)＞log 2x的解集为________．4．若0＜x ＜π4，则函数y ＝tan 3x tan2x的最大值为 ．5．已知f (x )是定义在(0，＋∞)上的单调函数，且对任意的x ∈(0，＋∞)，都有f [f (x )－x 3]＝2，则过点(1，2)且与曲线y ＝f (x )相切的直线方程是________．6．已知{a n }是等差数列，若a 12＋a 52≤10，则a 5＋a 6＋…＋a 9的最大值是 ． 7．设正项数列{a n }的前n 项和是S n ，若{a n }和{S n }都是等差数列，且公差相等，则a 1＝ ． 8．设抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，点A (0，3)．点P 在抛物线上且满足→AP ＝12→PF ，则P 到该抛物线准线的距离为 ．9．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，过双曲线右焦点F 且垂直于x 轴的直线与双曲线及其渐近线分别交于点M ，N ，且M ，N 都在第一象限．若MN ＝a3，则双曲线的离心率为 ．10．在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：x －y ＋3＝0与圆O ：x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)相交于A ，B两点．若→OA ＋2→OB ＝3→OC ，且点C 也在圆O 上，则圆O 的半径r ＝ ． 11．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点为F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，P 为该椭圆上一点，且→PF 1·→PF 2＝c 2，则此椭圆离心率的取值范围是 ． 12．如图在△ABC 中，∠BAC ＝120︒，AB ＝1，AC ＝2，D 为BC 边上 一点→DC ＝2→BD ，则→AD ·→BC ＝ ．变式：若条件改为→DC ＝λ→BD ，则→AD ·→BC 的取值范围为 ．13．已知函数f (x )＝2cos2x ＋sin 2x －4cos x ，x ∈R ，则函数f (x )的最大值为 ．ABDC14．已知一个底面为正方形的长方体容器，若下底面和四个侧面的面积和27，则当容器的容积最大时，底面边长的值为____________． 二、解答题：1．设函数f (x )＝cos(2x ＋π3)＋sin 2x －12．（1）当x ∈[0，π]时，求f (x )的单调递减区间； （2）当f (α－π8)＝33时，求f (2α)的值．2．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos A cos B ＝ba ＝3．（1）求C ；（2）如图，设半径为R 的圆O 过A ，B ，C 三点，点P 位于劣弧⌒AC 上，∠P AB ＝θ，求四边形APCB 面积S (θ)的解析式及 最大值．3．设△ABC 中，→AB ＝c ，→BC ＝a ，→CA ＝b ，且a ⋅b ＝b ⋅c ＝－2，b 与c －b 的夹角为150︒． （1）求∣b ∣；（2）求△ABC 的面积．4．如图，空间几何体ABCDEF 中，四边形ABCD 是菱形，直角梯形ADFE 所在平面与面ABCD 垂直，且AE ⊥AD ，EF //AD ，其中P ，Q 分别为棱BE ，DF 的中点． （1）求证：BD ⊥CE ；（2）求证：PQ ∥平面ABCD ．P AB COA B C D EF P Q (第4题)5．在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝BC ＝AD ＝2，CD ＝4，E 为边BC 的中点，如图1．将△ADE 沿AE 折起到△AEP 位置，连PB 、PC ，点Q 是棱AE 的中点，点M 在棱PC 上，如图2．（1）若P A ∥平面MQB ，求PM ∶MC ；（2）若平面AEP 平面ABCE ，点M 是PC 的中点，求三棱锥A －MQB 的体积.6．某高校从参加今年自主招生考试的学生中随机抽取容量为50的学生成绩样本，得频率分布表如下：（1）写出表中①②位置的数据；（2）为了选拔出更优秀的学生，高校决定在第三、四、五组中用分层抽样法抽取6名学生进行第二轮考核，分别求第三、四、五各组参加考核人数；（3）在（2）的前提下，高校决定在这6名学生中录取2名学生，求2人中至少有1名是第四组的概率．C DE (第5题图(1))B A QC E M P F N (第5题图(2))7．在南海的渔政管理中，我海监船C 在我作业渔船A 的北20︒东方向上，渔政船310在A 的北40︒西方向上的B 处，测得渔政船310距C 为62海里．上级指示，海监船原地监测，渔政船310紧急前往A 处，走了40海里后，到达D 处，此时测得渔政船310距C 为 42海里，问我渔政船310还要航行多少海里才能到达A 处？8． 某校学生社团心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其注意力指数p 与听课时间t 之间的关系满足如图所示的曲线．当t ∈(0，14]时，曲线是二次函数图象的一部分，当t ∈[14，40]时，曲线是函数y ＝log a (x －5)＋83(a ＞0且a ≠1）)图象的一部分．根据专家研究，当注意力指数p 大于等于80时听课效果最佳． （1）试求p ＝f (t )的函数关系式； （2）老师在什么时段内安排核心内容能使得学生听课效果最佳？请说明理由．9．一个截面为抛物线形的旧河道，河口宽AB ＝4米，河深2米，现要将其截面改造为等腰梯形，要求河道深度不变，而且施工时只能挖土，不准向河道填土， 试求当截面梯形的下底长为多少米时，才能使挖出的土最少？AB10．如图，在直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，过点A (a ，0)与B (0，－b )的直线与原点的距离为2105．又有直线y ＝12x 与椭圆C 交于D ，E 两点，过D 点作斜率为k 的直线l 1．直线l 1与椭圆C 的另一个交点为P ，与直线x ＝4的交点为Q ，过Q 点作直线EP 的垂线l 2．（1）求椭圆的方程；（2）求证：直线l 2恒过一定点．11．如图，在直角坐标系xOy 中，已知圆O ：x 2＋y 2＝4，点A (1，0)，B 为直线x ＝4上任意一点，直线AB 交圆O 于不同两点M ，N ． （1）若→MA ＝2→AN ，求直线AB 的方程；（2）设→AM ＝λ→MB ，→AN ＝μ→NB ，求证：λ＋μ为定值．12．若两个椭圆的离心率相等，则称它们为“相似椭圆”．如图，在直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：x 26＋y 23＝1，A 1，A 2分别为椭圆C 1的左、右顶点．椭圆C 2以线段A 1A 2为短轴且与椭圆C 1为“相似椭圆”． （1）求椭圆C 2的方程；（2）设P 为椭圆C 2上异于A 1，A 2的任意一点，过P 作PQ ⊥x 轴，垂足为Q ，线段PQ 交椭圆C 1于点H ．求证：H 为△P A 1A 2的垂心．（垂心为三角形三条高的交点）13．如图，在直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1上一点P (1，32)，过点P 的直线l 1，l 2与椭圆C 分别交于点A ，B （不同于P ），且它们的斜率k 1，k 2满足k 1k 2＝－34．（1）求证：直线AB 过定点； （2）求△P AB 面积的最大值．14．数列{a n }满足：a 1＝1，a 2＝2，a n +2＝a n ＋a n +12(n ∈N*)．（1）设b n ＝a n +1－a n ，求数列{b n }的通项公式；（2）确定最小正整数N 的值，使n ＞N 时，|a n －53|＜29n恒成立．15．设a 1＜a 2＜…＜a k (k ∈N*)，若对于任意正整数i ，j (1≤i ≤j ≤k )，a j －a i 都是a 1，a 2，…，a k 中的一个，则称a 1，a 2，…，a k 是“可减数列”．（1）若数列b 1，b 2，…，b k 是等比数列，求证：b 1，b 2，…，b k 一定不是“可减数列”； （2）求证：a 1，a 2，…，a k 是“可减数列”的充要条件是a 1，a 2，…，a k 是等差数列，且a 1＝0．16．设数列｛a n ｝满足：a n （n ∈N*）是整数，且a n +1－a n 是关于x 的方程x 2＋( a n +1－2)x －2a n +1＝0的根．（1）若a 1＝4，且n ≥2时，4≤a n ≤8，求数列{a n }的前100项和S 100； （2）若a 1＝－8，a 6＝1，且a n ＜a n ＋1（n ∈N*），求数列{a n }的通项公式．17．对于函数y ＝f (x )，若存在开区间D ，同时满足：①存在a ∈D ，当x ＜a 时，函数f (x )单调递减，当x ＞a 时，函数f (x )单调递增； ②对任意x ＞0，只要a －x ，a ＋x ∈D ，都有f (a －x )＞f (a ＋x )． 则称y ＝f (x )为D 内的“勾函数”．（1）证明：函数y ＝∣ln x ∣为(0，＋∞)内的“勾函数”．（2）若D 内的“勾函数”y ＝g (x )的导函数为y ＝g '(x )，y ＝g (x )在D 内有两个零点x 1，x 2，求证：g '(x 1＋x 22)＞0．（3）对于给定常数λ，是否存在m ，使函数h (x )＝13λx 3－12λ2x 2－2λ3x ＋1在(m ，＋∞)内为“勾函数”？若存在，试求出m 的取值范围，若不存在，说明理由．18．已知函数f (x )＝ln x ＋ax 2－2bx (a ，b ∈R ），g (x )＝2x －2x ＋1－c ln x ．（1）当c ＝1时，求函数g (x )在[1，e]上的最小值；（2）当a ＝12时，f (x )与g (x )在定义域上单调性相反，求｜b ｜＋c 的最小值；*（3）当b ＞2a ＞0时，求证：存在m ∈R ，使f (x )＝m 的三个不同的实数解t 1，t 2，t 3．且对任意i ，j ∈{1，2，3}且i ≠j ，都有2t i ＋t j ＜2b －a (t i ＋t j )．19．在平面直角坐标系中，动点P 到点M (1，0)的距离与到y 轴的距离之和为2，记点P 的轨迹为C ．（1）求轨迹C 的方程；（2）过原点且斜率为k 的直线l 与曲线C 有两个交点A ，B (点A 在y 轴右侧)，若→OA ＝－3→OB ，求线段AB 的长．。

江苏省南京市2012届高三“市二模"模拟考试数学试卷注意事项:1.本试卷共4页,包括填空题（第1题—第14题）、解答题（第15题-第20题）两部分，本试卷满分为160分，考试时间为120分钟;2. 统一用黑色水笔作答，答题前，请务必将自己的姓名、学校、考号填涂在答卷纸上相应位置上，试题的答案写在答卷纸上对应题目的答案空格内，考试结束后,交回答卷纸.一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在相应位置上。

1. 已知函数x x f cos )(=，则)(x f 的导函数)('x f =。

2.命题“02,2>+∈∀x R x ”的否定是 命题。

（填“真”或“假”之一）3. 若椭圆)90(1922<<=+m my x 的焦距为32,则=m 。

4.抛物线xy 22=上一点M 到焦点的距离为1，则点M 的横坐标是 。

5.下面四个条件中，使b a >成立的充分而不必要的条件是 。

(填写序号）①1->b a ②1+>b a ③22b a> ④33b a> 6.如图所示的“双塔”形立体建筑，已知ABDP -和CBD Q -是两个高相等的正三棱锥，四点DC B A ,,,在同一平面内，要使塔尖Q P ,之间的距离为50m, 则底边AB 的长为 m.7.若n m ,为两条不同的直线,βα,为两个不同的平面，则以下命题正确的是 。

（填写序号） ①若α//m ,α⊂n ，则n m //； ②若α//m ,βα//，则β//m ;③若α⊥m ，n m //，βα//，则β⊥n ; ④若n m ⊥，α⊥m ，β⊥n ,则βα⊥8.如图，一圆形纸片的圆心为O ，F 是圆内一定点，M 是圆周上一动点，把纸片折叠使点M 与点F 重合，然后抹平纸片，折痕为CD ，设CD 与OM 交于点P ，则点P 的轨迹是 .（填写“椭圆”、“双曲线”、“抛物线”和“圆”中的一种情况） 切线与轴9.曲线x y =与xy 8=在它们交点处的两条所围成的三角形的面积为 。