当前位置：文档之家 › jun3.1.2复数的几何意义2

jun3.1.2复数的几何意义2

  • 格式：ppt
  • 大小：326.50 KB
  • 文档页数：9

下载文档原格式

  / 9

合集下载

3.1.2复数的几何意义

3.1.2复数的几何意义
2．复数的模 |z|＝|O→Z|.
3．应注意的问题 (1)复数 a＋bi(a，b∈R)的对应点的坐标为(a，b)，而不是(a，bi)． (2)复平面内 y 轴上的单位长度是 1，而不是 i. (3)实数都在 x 轴上，其坐标为(a,0)(a∈R)，纯虚数 bi(b∈R 且 b≠0)都在 y 轴上，其坐标为(0，b)． (4)复数 a＋bi(a，b∈R)对应的向量O→Z是从原点出发的向量，否则就谈不上 一一对应，因为复平面上与向量O→Z相 等的向量有无穷多个．
提问展示问题预设: 变式 1、（1） 复数 z＝ 3＋i2 对应的点在复平面的( )
A．第一象限 象限
B．实轴上
C．虚轴上 D．第四
(2)(2016·全国卷Ⅱ)已知 z＝(m＋3)＋(m－1)i 在复平面内对应的点在 第四象限，则实数 m 的取值范围是( )
A．(－3,1)
B．(－1,3)
C．(1，＋∞)
变式 2(1)已知 z1＝5＋3i，z2＝5＋4i，则下列各式正确的是( )
A．z1>z2
B．z1<z2
C．|z1|>|z 2|
D．|z1|<|z2|
(2)已知 0<a<2，复数 z 的实部为 a，虚部为 1，则|z|的取值范围是( )
A．(1， 3)
B．(1，题型三、复数的模的几何意义
3．1.2 复数的几何意义
一、回顾旧知： 1．复数的分类 (1)复数的分类
2．复数相等的充要条件 设 a，b，c，d 都是实数，那么 a＋bi＝c＋di⇔a＝c，.
二、基础知识感知 阅读教材第 52—53 页内容，然后回答问题 1．复平面的定义[来源:学科网 ZXXK] 建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做 ，x 轴叫做 ，y 轴叫做 ， 实轴上的点都表示 ；除了 外，虚轴上的点都表示 ． 2．复数的几何意义

3.1.2 复数的几何意义

3.1.2 复数的几何意义

探究 [讨论]实轴上的点与实数是一一对应的,虚轴上的点与虚数是一一对应的吗? 解:虚轴上的点与虚数并不是一一对应的,因为除了原点外虚轴上的点只与 纯虚数一一对应.
������������
探究 复数的几何意义 知识点二 复数z=a+bi(a,b∈R)与复平面内的点 Z(a,b) 及以原点为起点,点Z(a,b)为 终点的向量 ������������ 是一一对应的(如图3-1-3所示).
[答案] D [解析] z=(m+1)+(m-1)i对应的 点为(m+1,m-1), ∵0<m<1, ∴1<m+1<2,-1<m-1<0, ∴点(m+1,m-1)位于第四象限.
考点类析
[小结] 由复数的几何意义知,复数与复平面内的点及平面向量一一对应,这 样可以把复数问题转化为点的坐标问题来解决.
解:(1)不一定,复数的模是非负数,即|z|≥0.当z=0时,|z|=0;反之,当|z|=0时,必有 z=0. (2)点Z的轨迹是以原点为圆心,1为半径的一个圆.
������������
探究 [讨论] 平面向量能够与复数一一对应的前提是什么? 解:向量的起点是原点.
对复数几何意义的理解及应用
(1)复数z、复平面上的点Z及向量������������相互联系，即 z＝a＋bi(a，b∈R)⇔Z(a，b)⇔ ������������.
第三章
数系的扩充与复数的引 入
3.1 数系的扩充和复数的概念
3.1.2 复数的几何意义
新课导入
[导入] 讨论：实数可以与数轴上的点一一对应，类比实数，复数能与什么一一对应呢？
探究
知识点一 复平面的定义
1.如图所示,点Z的横坐标为a,纵坐标为b,复数z=a+bi 可用点Z(a,b)表示,这个建立了直角坐标系来表示复数的平 面叫作 复平面 ,x轴叫作 实轴 ,y轴叫作 虚轴 .

3.1.2复数的几何意义

3.1.2复数的几何意义

3.规定：如果两个复数的实部和虚部分别相等， 那么我们就说这两个复数相等．
若a,b, c, d R,
a c
a bi c di b d
注：1) a bi 0 a 0 且 b 0
2) 一般来说，两个复数只能说相等或不相
等，而不能比较大小了.
知识引入
实数可以用数轴上的点来表示。
实数 一一对应 数轴上的点
3.1数系的扩充和复数的概念
3.1.2 复数的几何意义
知识回顾
1.复数的代数形式： 通常用字母 z 表示，即
z a bi (a R,b R)
i 其中 称为虚数单位。
实部 虚部
2.复数的分类：
实数 b 0
复数z a bi (a,b R)
虚数
纯虚数 a 0，b 0 b0
非纯虚数 a 0，b 0
a
O
A
X
| a | = | OA |
复数 z=a+bi在复平 面上对应的点Z(a,b)到原 点的距离。
y z=a+bi
Z (a,b)
O
x
能否把实数绝对值概念 推广到复数范围呢？
| z | = |OZ| a2 b2 (复数z的模)
例2 求下列复数的模： (1)z1=-5i (2)z2=-3+4i (3)z3=5-5i
(数)
(形)
直线
规定了正方向，原点，单位长度
x
o1
数轴
(几何模型)
你能否找到用来表示复数的几何模型呢？
一个复数由什么
唯一确定？
Z=a+bi(a, b∈R)
实部!
虚部!
有序实数对(a,b)
一一对应
复数z=a+bi

3.1.2复数的几何意义 (2)

3.1.2复数的几何意义 (2)

| z | = |OZ| a2 b2 (复数z的模)
例3 求下列复数的模： (1)z1=-5i (2)z2=-3+4i (3)z3=5-5i (4)z4=1+mi(m∈R) (5)z5=4a-3ai(a<0) 思考： (1)复数的模能否比较大小？ (2)满足|z|=5(z∈R)的z值有几个？
(3)满足|z|=5(z∈C)的z值有几个？
ox
y轴------虚轴
由于向量 OZ 由点Z唯一确定，
所以复数的第二个几何意义是：
一一对应
复数z=a+bi
平面向量 OZ
例1.辨析：
下列命题中的假命题是（D）
(A)在复平面内，对应于实数的点都在实 轴上；
(B)在复平面内，对应于纯虚数的点都在 虚轴上；
(C)在复平面内，实轴上的点所对应的复 数都是实数；
∴(m2+m-6)-2(m2+m-2)+4=0， ∴m=1或m=-2。
实数绝对值的几何意义 复数绝对值的几何意义
实数a在数轴上所 对应的点A到原点O 的距离。
a
O
A
X
| a | = | OA |
复数 z=a+bi在复平 面上对应的点Z(a,b)到原 点的距离。
y z=a+bi
Z (a,b)
O
x
能否把实数绝对值概念 推广到复数范围呢？
(D)在复平面内，虚轴上的点所对应的复 数都是纯虚数。
例2 已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内所 对应的点位于第二象限，求实数m允许的取值范围。
解：由mm22
m m
6 2
0 0
得m

3.1.2复数的几何意义

3.1.2复数的几何意义

y
连结OZ, 显然向量OZ是由点Z唯一确定的反过来, ; 点Z(相对原点来说 也可以由向量 唯一确定因 ) OZ . 此, 复数集C与复平面内的向量所成 的集合也是 一一对应的 实数0与零向量对应 即 ( ),
一一对应
复数z a bi
平面向量OZ
这是复数的另一种几何 意义.
为方便起见 我们常把复数 a bi说成点 , z Z或说成向量OZ, 并且规定, 相等的向量表 示同一个复数 .
复数的这种几何表示于 1797年由挪威的测量 学家韦塞尔 Caspar Wessel )提出 随即由瑞士 ( , 的藏书家阿甘得(Jean Robert Argand ) 出书 进行讨论并得到高斯的 ,因此这种几何表 认同 示也称为阿甘得图 Argand diagram). (
例如,复平面内的原点0,0表示实数0,实轴上的点 2,0 表示实数2, 虚轴上的点0,1表示纯虚数 i, 点 2,3表示复数 2 3 i等.
向量OZ的模r叫做复数z a bi的模,记作 | z | 或 | a bi | .如果 b 0,那么 z a bi 是 一个实数a,它的模等于| a | (就是a的绝对 值).由模的定义可知 | z || a bi | r : a b r 0, r R .
3.1.2 复数的几何意义
思考 我们知道,实数与数轴上的点一一 对 应,因此,实数可用数轴上的点来 .类比实 表示 数的几何意义复数的几何意义是什么 ? , 呢
根据复数相等的定义, 任意一个复数 z a bi, 都可以由一个有序实数 a, b 唯一确 对 定.由于有序实数对a, b 与平面直角坐标系 中的点一一对应因此复数集与平面直角 , 坐 标系中的点集之间可以 建立一一对应 .

3.1.2 复数的几何意义

3.1.2 复数的几何意义

3.1.2 复数的几何意义知识点一 复平面根据复数相等的定义，任何一个复数z =a +b i ，都可以由一个有序实数对（a ，b ）唯一确定，因为有序实数对（a ，b ）与平面直角坐标系中的点一一对应，所以复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应。

如图3.1-2，点Z 的横坐标是a ，纵坐标是b ，复数z =a +b i 可用点Z （a ，b ）表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴．显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。

知识点二 复数的几何意义按照复数的几何表示法，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应．由此可知，复数集C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应的，即复数b a z +=i −−−→←一一对应复平面内的点Z （a ，b ）。

这是复数的一种几何意义。

在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的。

这样，我们还可以用平面向量来表示复数。

如图3. 1-4，设复平面内的点Z 表示复数z =a +b i ，连接OZ ，显然向量OZ 是由点Z 唯一确定；反过来，点Z （相对于原点 来说）也可以由向量OZ 唯一确定。

因此，复数集C 与复平面内的向量所成的集合也是一一对应的（实数0与零向量对应），即复数b a z +=i −−−→←一一对应平面向量OZ 。

这是复数的另一种几何意义。

提示（1）复数的几何意义架起了复数与解析几何和平面向量之间的桥梁，使得复数问题既可以用几何方法解决，也可以用向量方法解决。

（2）复数z =a +b i （a ，b ∈R ）可用复平面内的点Z （a ，b ）表示，复平面内的点Z 的坐标是（a ，b ），而不是（a ，b i ）。

（3）为了方便，我们常把复数z = a + b i （a ，b ∈R ）说成点Z （a ，b ）或向量OZ ，并且规定，相等的向量表示同一个复数，知识点三 复数的模向量 向量OZ 的模r 叫做复数z =a +b i （a ，b ∈R ）的模，记作|z |或| a +b i |，如果b =0，那么z =a +b i 是一个实数a ，它的模等于|a |（就是a 的绝对值）。

3.1.2复数的几何意义

曹县三中高二数学理导学案1编号38 3.1.2复数的几何意义制作 高洪梅 审核 高二数学组 2017-4【学习目标】 1、了解复数的几何意义．理解复数的模的概念，会求复数的模 合作探究：1. 复数的几何意义：① 讨论：实数可以与数轴上的点一一对应，类比实数，复数能与什么一一对应呢？（分析复数的代数形式，因为它是由实部a 和虚部同时确定，即有顺序的两实数，不难想到有序实数对或点的坐标）②复平面、实轴、虚轴：解读：复数z =a +bi (a 、b ∈R )与有序实数对(a ，b )是一一对应关系注意：1、实轴上的点都表示实数的点都表示纯虚数，因为原点对应的有序实数对为(0，0)， 它所确定的复数是z =0+0i =0表示是实数.2、复数 中的字母z 用小写字母表示，点Z(a,b)中的Z 用大写字母表示．3、复数与向量间的对应（复数的另一种几何意义）复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)平面向量___________．4. 复数的模 复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)对应的向量为OZ →，则OZ →的模叫做复数z 的模，记作|z |，且|z |＝_________. 复数z 的模的几何意义，就是复数z 在复平面内的点到原点的距离，．探究一：复平面探究二：复数与复平面上的点的一一对应关系例1．下列命题中的假命题是（ ）(A)在复平面内，对应于实数的点都在实轴上； (B)在复平面内，对应于纯虚数的点都在虚轴上； (C)在复平面内，实轴上的点所对应的复数都是实数； (D)在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数。

练习（1）在复平面内，分别用点和向量表示下列复数．4，2＋i ，－i ，－1＋3i ，3－2i（2）练习：课本P54练习第1，2题（口答）．例2、已知复数z ＝(m 2＋m －6) ＋(m 2＋m －2)i 在复平面内所对应的点位于第二象限，求实数m 允许的取值范围．探究三：复数与向量间的对应（复数的另一种几何意义）：探究四：复数的模：例3、求下列复数的模：(1)z 1=-5i (2)z 2=-3+4i(3)z 3=5-5i(4)z 4=1+mi(m ∈R) (5)z 5=4a-3ai(a<0)例4、(1)满足|z|=5(z ∈R)的z 值有几个？（2)满足|z|=5(z ∈C)的复数z 对应的点在复平面上将构成怎样的图形？ (3)满足3<|z|<5(z ∈C)的复数z 对应的点在复平面上将构成怎样的图形？例5、设z 为纯虚数，且|z －1|＝|－1＋i|，求复数z .课堂小结： 课后作业：。

3.1.2复数的几何意义

虚轴上的点都表示纯 虚数吗？
2.“a=0”是“复数a+bi(a,b∈R)所对应的点在虚轴上”的 ( C ) (A)必要不充分条件 (B)充分不必要条件 (C)充要条件 (D)不充分不必要条件
变式题:1.已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i 求证:对一切实数m,此复数所对应的点不可能位 于第四象限. 表示复数的点所 转化 复数的实部与虚部所满 在象限的问题 足的不等式组的问题 (几何问题) (代数问题)
2.满足 z 2 z 3 0的复数z 在复平面内对应点的 轨迹为_____________. 以原点为圆心，以3为半径的圆
本课小结：
二个概念： (1)复平面
(2)复数的模
三种思想： (1)类比思想 (2)转化思想 (3)数形结合思想
作业: 课本 P 106A 组第 5 、6 题
| z | = a 2 b2
z =a +b i Z (a,b)
O
y
x
例2.求下列复数的模：
(1)z1=-5i
|Z1|=5
z3 5 2 (3)z3=5-5i 2 (4)z4=1+mi(m∈R) z4 1 m (5)z5=4a-3ai(a<0) |Z5|=-5a
(2)z2=-3+4i
|Z2|=5
复数的几何意义
实数的几何意义
在几何上,我 们用什么来表 示实数?
实数可以用数轴 上的点来表示。
一一对应
实数 (数)
数轴上的点 (形)
想 一 想 ︖
类比实数的表示, 可以用什么来表 示复数？
回 忆
复数的 一般形 式？
Z=a+bi(a, b∈R)

3.1.2复数的几何意义

O
A
x
|a| = |OA|
a (a ≥ 0) a (a 0)
探究点4 复数的模的几何意义:
复数 z=a+bi的模r就是复数 z=a+bi在复 平面上对应的点Z(a,b)到原点的距离. y z= a + b i Z(a,b) O x
2 2
|z|=r=|OZ|
a b
复数的模其实是实数绝对值概念的推广
2.复数集C与复平面内的向量所成的集合也是一
一对应的，即 复数z＝a＋bi 一一对应 复平面内的向量 OZ
3.复数z＝a＋bi与复平面内的点Z（a，b）和向量 OZ 是一个三角对应关系，即
复数z＝a＋bi
点 Z(a ， b)
向量 O Z
0
这是复数的一种几何意义.
总结提升
一般地，实轴上的点，虚轴上的点，各象限内 的点分别表示什么样的数？ 实轴上的点表示实数，
虚轴上的点除原点外都表
示纯虚数，各象限内的点 表示实部不为零的虚数.
探究点2 复数的向量表示 有序实数对(a,b)
复数z=a+bi （数）
一一对应
直角坐标系中 的点Z(a,b) （形）
平 面 向 量 OZ
y z=a+bi
b
向 量 O Z的 模 r 叫 做 复 数 z = a + b i 的 模 , 记 作 z 或 a + bi .
Z(a,b)
易知 z = a +b
2 2
0
a
x 这是复数的又一种几何意义.
探究点3 实数绝对值的几何意义:
实数a在数轴上所对应的
点A到原点O的距离. a
数轴上的点 (形 )
0
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

典例回顾: 已知复数 z m2 (1 i) m(3 i) 6i ,则当m为何实 数时，复数z是（1）零？（2）对应点在第三象 限？
z m 3m (m m 6)i
2 2
（1）m=3 （2） 0 m 3
复数的几何意义（二）
直角坐标系中的点Z(a,b) 一一对应 一一对应 平面向量 O Z 复数的另一个几何意义： 复数z=a+bi z=a+bi Z(a,b)
2 2
5
5 O x
5
2
即：x y 25
2
–5
图形: 以原点为圆心, 半径为5的圆
品味高考:
（2008广东卷）已知 0 a 2，复数 z a i ， 则 z 的取值范围是（ C ）
A .(1, 5 )
B .(1, 3 )
C .(1,
5)
D .(1,
3)
（2009）已知复数 z 1 2i, z 1 i, z 3 2i , 1 2 3
y
| a | = | OA |
能否把实数绝对值概念 推广到复数范围呢？
z=a+bi Z (a,b)
O
x
2
| z | = | OZ |
a b
2
(称为复数z的模)
例3 ：求下列复数的模：
(1)z1=-5i (2)z2=-3+4i (3)z3=5-5i (4)z4=1+mi (m∈R) (5)z5=4a-3ai (a>0)
a b
注意：相等的向量 一一对应 y
复数z=a+bi
一一对应
平面向量 OZ
表示同一个复数.
o
x
实数绝对值的几何意义
复数绝对值的几何意义
对应平面向量 OZ 的模 | OZ |，即复数z=a+bi在
实数a在数轴上所 对应的点 A到原点 O 的距离。 a
O A X
复平面上对应的点Z(a,b) 到原点的距离。
3.1数系的扩充和复数的概念
3.1.2 复数的几何意义2
知识回顾
1.两个复数相等的条件:
即 : 若a , b, c , d R, 则 a bi c di a c且b d
2.复数的几何意义：
复数z=a+bi
一一对应பைடு நூலகம்
直角坐标系中的点Z(a,b)
注:实轴上的点表示实数,虚轴上的点(除原点) 都表示纯虚数。
它们所对应的点分别为A，B，C．
若 ，则 x y 的值是 OC xOA yOB
5
。
小结:
复数的几何意 义是什么？
思考： (1)复数的模能否比较大小？
(2)满足|z|=5(z∈R)的z值有几个？
(3)满足|z|=5(z∈C)的z值有几个？ 这些复 数对应的点在复平面上构成怎样的图形？
y
满足|z|=5(z∈C)的 复数z对应的点在复 平面上将构成怎样 的图形？ –5 设z=x+yi (x,y∈R)
| z | x y