上海理工大附中2016届高三数学上学期第一次月考试卷理(含解析)

上海市2016届高三数学3月月考试题 理考生注意：1.本试卷共4页，23道试题，满分150分，考试时间120分钟.2.本考试分设试卷和答题纸. 作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分.一、填空题（本大题共有14题，满分56分．）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对4分，否则一律得零分．1. 已知集合{}{}032,lg 2<--===x x x B x y x A ，则A B =I _______________. 2.复数(1i)(1i)a ++是实数，则实数a =_______________. 3. 方程22log (x 1)2log (x 1)-=-+的解集为_________. 4.已知圆锥的轴与母线的夹角为3π，母线长为3，则过圆锥顶点的轴截面面积的最大值为_________. 5.已知0y x π<<<，且tan tan 2x y ⋅=，1sin sin 3x y ⋅=，则x y -= . 6. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若7=42S ,则237a a a ++= .7.圆22(2)4C x y -+=：, 直线1:3l y x =，2:1l y kx =-，若12,l l 被圆C 所截得的弦的长度之比为1:2，则k 的值为_________.8．设正三棱柱的所有顶点都在一个球面上，且该正三棱柱的底面边长为3，侧棱长为2，则该球的表面积为_________. 9. 已知()ln()f x x a x=+-，若对任意的R m ∈，均存在00x >使得0()f x m =，则实数a 的 取值范围是 ．10.直线=(1)(0)y k x k +>与抛物线2=4y x 相交于,A B 两点，且,A B 两点在抛物线的准线 上的射影分别是,M N ，若2BN AM =，则k 的值是 ． 11.在极坐标中，直线sin 3ρθ=被圆4sin ρθ=截得的弦长为 .12.一射手对靶射击，直到第一次中靶为止．他每次射击中靶的概率是0.9，他有3颗弹子，射击结束后尚余子弹数目ξ的数学期望E ξ= ． 13. 已知ABC ∆，若存在111A B C ∆，满足111cos cos cos 1sin sin sin A B CA B C ===,则称111A B C ∆是ABC ∆的一个“友好”三角形.在满足下述条件的三角形中，存在“友好”三角形的是_______：（请写出符合要求的条件的序号） ①90,60,30A B C ===o o o ；②75,60,45A B C ===o o o ； ③75,75,30A B C ===o o o . 14.如图，在△ABC 中，90ACB ︒∠=，2AC =，1BC =， 点A 、C 分别在x 轴、y 轴上，当点A 在x 轴上运动时，点A BCE C 1A 1B 1FC 随之在y 轴上运动，在运动过程中，点B 到原点O 的最大距离是 .二、选择题（本大题共有4题，满分20分．）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分 15．已知数列{}n a 中，1111,1n na a a +==+，若利用下面程序框图计算该数列的第2016项，则判断框内的条件是( ) A ．2014≤n B ．2016n ≤ C ．2015≤n D ．2017n ≤16．在锐角ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若221sin cos 2C C -=，则下列各式正确的是 ( )C ．2a b c +<D ．2a b c +≥17．已知集合22{(,)|1}M x y x y =+≤，若实数,λμ满足：对任意的(,)x y M ∈，都有(,)x y M λμ∈，则称(,)λμ是集合M 的“和谐实数对”.则以下集合中，存在“和谐实数对”的是 ( ) A ．}4|),{(=+μλμλB ．}4|),{(22=+μλμλ C ．}44|),{(2=-μλμλD ．}4|),{(22=-μλμλ18. 已知正方体''''ABCD A B C D -，记过点A 与三条直线,,'AB AD AA 所成角都相等的直线条数为m ,过点A 与三个平面．．',,'AB AC AD 所成角都相等的直线的条数为n ，则下面结论正确的是 ( )A ．1,1m n ==B ．4,1m n == C. 3,4m n == D ．4,4m n ==三、解答题（本大题共有5题，满分74分．）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19.（本题满分12分）本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分6分． 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，2BAC π∠=，2AB AC ==， 16AA =，点E F 、分别在棱11AA CC 、上，且12AE C F ==．（1）求四棱锥B AEFC -的体积；（2）求BEF ∆所在半平面与ABC ∆所在半平面所成二面角θ的余弦值．？结束输出A 否是A =1A +1n =n +1n =1,A =1开始20.（本题满分14分）本题共有2小题，第（1）小题满分6分， 第（2）小题满分8分.如图，某城市设立以城中心O 为圆心、r 公里为半径圆形保护区，从保护区边缘起，在城中心O 正东方向上一条高速公路PB 、西南方向上有一条一级公路QC ，现要在保护区边缘PQ 弧上选择一点A 作为出口，建一条连接两条公路且与圆O 相切直道BC ．已知通往一级公路道路AC 每公里造价为a 万元，通往高速公路的道路AB 每公里造价为2m a 万元，其中,,a r m 为常数，设POA θ∠=，总造价为y 万元． （1）把y 表示成θ的函数()y f θ=，并求出定义域；（2）当622m +=时，如何确定A 点的位置才能使得总造价最低？6分，第(2)小题8分.已知椭圆2222:1(a b 0)x y C a b+=>>的右顶点、上顶点分别为A 、B ，坐标原点到直线AB的距离为433，且2a b =. （1）求椭圆C 的方程；（2）过椭圆C 的左焦点1F 的直线l 交椭圆于M 、N 两点， 且该椭圆上存在点P ，使得四边形MONP （图形上字母按此 顺序排列）恰好为平行四边形，求直线l 的方程.22.（本题满分16分）本题共有3个小题.第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3)小题满分6分.对于函数(x)f ，若在定义域内存在实数x ，满足(x)(x)f f -=-，称(x)f 为“局部奇 函数”.（1） 已知二次函数2(x)24(R)f a x x a a =+-∈，试判断(x)f 是否为“局部奇函数”？ 并说明理由；（2）若(x)2xf m =+是定义在区间[1,1]-上的“局部奇函数”，求实数m 的取值范围； （3）若12(x)423xx f m m +=-⋅+-是定义在R 的“局部奇函数”，求实数m 的取值范围.23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题①满分6分，第(2)小题②满分8分.已知等比数列{}n a 的首项12015a =，数列{}n a 前n 项和记为n S ，前n 项积记为n T . (1) 若360454S =，求等比数列{}n a 的公比q ； (2) 在(1)的条件下，判断|n T |与|1n T +|的大小；并求n 为何值时，n T 取得最大值； (3) 在(1)的条件下，证明：若数列{}n a 中的任意相邻三项按从小到大排列，则总可以使其成等差数列；若所有这些等差数列的公差按从小到大的顺序依次记为12,,,n d d d L ，则数列{}n d 为等比数列.2015学年第二学期考试参考答案和评分标准一、填空题（本大题共14题,每题4分,满分56分） 1． )3,0( 2．-1 3．{}5 4．92 5．3π6. 187.12 8．8π 9. ),4[+∞ 10．22311．（理）23 （文）6 12. （理）1.89 （文）343+ 13．② 14．（理）12+ （文）22(1)(1)1x y -+-= 二、选择题（本大题共4题，每题5分，满分20分）15. C 16. B 17. C 18. D 三、解答题（本大题共5题，满分74分）19．（本题满分12分）本题共2个小题，每小题6分.解：（理）（1）B AEFC V -=111(42)224332AEFC S AB =⋅=⋅⋅+⨯⨯=……6分 （2）建立如图所示的直角坐标系，则)0,0,0(A ,(0,2,0)B ,(0,0,2)E ,(2,0,4)F ， (2,0,2)EF =u u r ,(0,2,2)EB =-u u r……………………7分设平面BEF 的法向量为(,,)n x y z =r ，则22011,1220n EF x z z x y n EF y z ⎧⋅=+=⎪⇒==-=⎨⋅=-=⎪⎩u u u r r u u u rr 取得， 所以(1,1,1)n =-r……………………………9分平面ABC 的法向量为1(0,0,1)n =r，则113cos 33n n n n θ⋅===⋅r r r r 所以BEF ∆所在半平面与ABC ∆所在半平面所成二面角θ的余弦值为33．…12分 解：（文）（1）111111111111142223323A B C F F A B C A B C V V S C F --∆==⋅=⋅⋅⨯⨯= …6分 （2）连接CE ,由条件知1//CE FA ,所以CEB ∠就是异面直线BE 与1A F 所成的角．8分在CEB ∆中，22BC CE BE ===，所以60CEB ∠=o， ………………10分所以异面直线BE 与1A F 所成的角为60o． …………………………………12分20．（本题满分14分）本题共有2小题，第小题满分6分，第小题满分8分. 解：（1）Q BC 与圆O 相切于A ，∴OA ⊥BC,在∆ABC 中，tan AB r θ=……2分 同理，可得3tan()4AC r πθ=-………4分223tan tan()4y m aAB aAC m ar ar πθθ∴=+=+- 23[tan tan()],(,)442y ar m πππθθθ∴=+-∈………6分 （2）由（1）得2231tan [tan tan()]ar[m tan ]41tan y ar m πθθθθθ--=+-=+- 222[m (tan 1)m 1]tan 1ar θθ=-+++-…………9分(,),tan 1042ππθθ∈∴->Q ∴22m (tan 1)22tan 1m θθ-+≥-………12分 当且仅当2tan 1mθ=-时取等号，又622m +=，所以tan 3,3πθθ== 即A 点在O 东偏南3π的方向上，总造价最低。

2016届高三第一次联考数学试题（理科）第I 卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合22{230},{log (1)2}A x x x B x x =--≥=-<，则()..R A B = A ．()1,3 B ．()1,3- C ．()3,5 D ． ()1,5- 2．命题“若220x y +=，则0x y ==”的否命题为A ．若220x y +=，则0x ≠且0y ≠ B ．若220x y +=，则0x ≠或0y ≠ C ．若220x y +≠，则0x ≠且0y ≠ D ．若220x y +≠，则0x ≠或0y ≠3．欧拉公式cos sin ixe x i x =+（i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，2ie 表示的复数在复平面中位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限4．函数222,1,()log (1),1,x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩则52f f ⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦A ．12-B ．1-C ．5-D ．125．等差数列{}n a 前n 项和为n S ，且20162015120162015S S=+，则数列{}n a 的公差为A ．1B ．2C ．2015D ．20166．若ln 2,5a b == 01,s i n 4c x d x π=⎰，则,,a b c 的大小关系 A ．a b c << B ．b a c << C ．c b a << D ．b c a <<7．已知1sin cos 63παα⎛⎫--= ⎪⎝⎭，则cos 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭A ．518B ．-518C ．79D ．-798．已知某几何体的三视图的侧视图是一个正三角形，如图所示，则该几何体的 体积等于A ．B ．C ．D ．9．已知函数()()()21sin ,02f x x ωω=->的周期为π，若将其图象沿x 轴向右平移a 个单位()0a >，所得图象关于原点对称，则实数a 的最小值为A ．πB ．34π C ．2π D ．4π 10．如图所示，在正六边形ABCDEF 中，点P 是△CDE 内(包括边界)的一个动点，设(),AP AF AB R λμλμ=+∈，则λμ+的取值范围是A ．3,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．[]3,4 C ．35,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．3,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦11．若一个四棱锥底面为正方形，顶点在底面的射影为正方形的中心，且该四棱锥的体积为9，当其外接球表面积最小时，它的高为A ．3B ．C ．D ． 12．关于函数()2ln f x x x=+，下列说法错误的是 A ．2x =是()f x 的极小值点B ．函数()y f x x =-有且只有1个零点C ．存在正实数k ，使得()f x kx >恒成立D ．对任意两个正实数12,x x ，且21x x >，若()()12f x f x =，则124x x +>第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13．已知平面直角坐标系中，b ()3,4=，a b ⋅3=-，则向量a 在向量b 的方向上的投影是________． 14．若函数()1,021,20x x f x x -<≤⎧=⎨--≤≤⎩，()()[],2,2g x f x ax x =+∈-为偶函数，则实数a =_________．15．设实数x ，y 满足约束条件202x y y x -≥⎧⎪⎨≥-⎪⎩，则2z x y =+的最大值为________．16．如图所示，已知ABC ∆中，90C ∠= ，6,8AC BC ==，D 为边AC 上 的一点，K 为BD 上的一点，且ABC KAD AKD ∠=∠=∠，则DC =________．第16题图第10题图-12三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分12分)在等比数列{}n a 中，3339,S 22a ==． (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式； (Ⅱ)设2216log n nb a +=，且{}n b 为递增数列，若11n n n c b b +=⋅，求证：12314n c c c c ++++< ．18．(本小题满分12分)如图，ABC ∆中，三个内角B 、A 、C 成等差数列，且10,15AC BC ==． (Ⅰ)求ABC ∆的面积； (Ⅱ)已知平面直角坐标系xOy，点()10,0D ,若函数()s i n ()(0,0,)2f x M x M π=ω+ϕ>ω>ϕ<的图象经过A 、C 、D 三点，且A 、D 为()f x 的图象与x 轴相邻的两个交点，求()f x 的解析式．19． (本小题满分12分)如图，已知长方形ABCD中，AB =AD =M 为DC 的中点．将ADM ∆沿AM 折起，使得平面ADM ⊥平面ABCM ．(Ⅰ)求证：AD BM ⊥；(Ⅱ)若点E 是线段DB 上的一动点，问点E 在何位置时，二面角E AM D --．20． (本小题满分12分)小明同学制作了一个简易的网球发射器，可用于帮忙练习定点接发球，如图1所示，网球场前半区、后半区总长为23.77米，球网的中间部分高度为0.914米，发射器固定安装在后半区离球网底部8米处中轴线上，发射方向与球网底部所在直线垂直．为计算方便，球场长度和球网中间高度分别按24米和1米计算，发射器和网球大小均忽略不计．如图2所示，以发射器所在位置为坐标原点建立平面直角坐标系xOy ，x 轴在地平面上的球场中轴线上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1米．已知若不考虑球网的影响，网球发射后的轨迹在方程2211(1)(0)280y kx k x k =-+>表示的曲线上，其中k 与发射方向有关．发射器的射程是指网球落地点的横坐标．(Ⅰ)求发射器的最大射程；(Ⅱ)请计算k 在什么范围内，发射器能将球发过网（即网球飞行到球网正上空时，网球离地距离大于1米）？若发射器将网球发过球网后，在网球着地前，小明要想在前半区中轴线的正上空选择一个离地面2.55米处的击球点正好击中网球，试问击球点的横坐标a 最大为多少？并请说明理由．21． (本小题满分12分)已知函数()e ,xf x x R =∈．(Ⅰ)若直线y kx =与()f x 的反函数的图象相切，求实数k 的值；(Ⅱ)设,a b R ∈，且()()()(),,,,22f a f b f a f b a b a b A f B C a b +-+⎛⎫≠===⎪-⎝⎭试比较,,A B C 三者的大小，并说明理由．第19题图第20题图图1图2第18题图第22题图请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．22．(本小题满分10分)选修4-1几何证明选讲如图，BC 是圆O 的直径，点F 在弧BC 上，点A 为弧BF 的中点，作AD BC ⊥于点D ，BF 与AD 交于点E ，BF 与AC 交于点G ．(Ⅰ)证明：AE BE =； (Ⅱ)若9,7AG GC ==，求圆O 的半径．23．(本小题满分10分)选修4-4极坐标与参数方程已知曲线C 的极坐标方程为2sin cos 10ρθρθ+=,将曲线1cos :sin x C y αα=⎧⎨=⎩（α为参数）经过伸缩变换32x xy y'=⎧⎨'=⎩后得到曲线2C ．(Ⅰ)求曲线2C 的参数方程； (Ⅱ)若点M 在曲线2C 上运动，试求出M 到曲线C 的距离的最小值．24．(本小题满分10分)选修4-5不等式证明选讲已知函数()1020f x x x =-+-，且满足()1010f x a <+（a R ∈）的解集不是空集．(Ⅰ)求实数a 的取值集合A ； (Ⅱ)若,,b A a b ∈≠求证：abbaa b a b >．数学试题（理科）参考答案一、选择题 ADBAB DCCDB AC二、填空题 35- 12- 10 73三、解答题17. （1）1q =时，32n a =； ………………2分1q ≠时，116()2n n a -=⋅- ………………4分（2）由题意知：116()2n n a -=⋅- ………………6分∴2116()4n n a +=⋅∴2n b n = ………………8分 ∴111111()2(2n 2)4(n 1)41n c n n n n ===-⋅+⋅++ ………………10分∴123111(1)414n c c c c n ++++=-<+ ………………12分 18. （1）在△ABC 中，60B = ………………1分 由余弦定理可知：2222c o s 60a b c b c =+- ………………2分∴2101250c c --=5c A B ∴== ………………4分 又∵10cos605AO =⋅=BO ∴=125(5633)22ABC S ∴=+⨯= . ………………6分(2)T=2×（10+5）=30,∴15πω= ………………8分∵(5)Msin((5))015f π-=⋅-+ϕ=s i n ()03π∴-+ϕ=，,3k k Z π∴-+ϕ=π∈2πϕ< ，3π∴ϕ=。

第I 卷 选择题（共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的．1．设集合U ={-2，-1，0，1，2，3，4}，A={一1，0}，B={0，1，2，3，4}，则=( )A.{-2,1}B.{-2}C.{-2,0}D.{0,1,2,3,4}2．已知命题p ，q ，“pq 为真”是“p ∨q 为真”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件3. 已知向量|a |=2,| b |=l ，且a 与b 的夹角为争则a 与a +2b 的夹角为( ) A ．6π B ．3π C ．2π D ．23π 4．已知倾斜角为θ的直线，与直线x-3y+l=0垂直，则2223sin -cos θθ=( ) A ．103 B ．一103 C ．1013 D ．一1013 5．直线y= 4x 与曲线y=x 2围成的封闭区域面积为( )A ．223B ．8C ．323D ．163 6．设a=12201441(),log 2015,log 22b c ==，则( ) A. a>b>c B. b>c>a C. b>a>c D. a>c>b7．若向量m= (-1，4)与n=(2，t)的夹角为钝角，则函数f (t)=t 2—2t+1的值域是 ( )A ．()1,8181,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ B ．1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C. [0,81) (81,+∞)D. [0,+∞)8．在△ABC 中内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b, c ，若a b =，， 则tanA=( )A B ．1 C ．3D. 9．在边长为2的正三角形ABC 中，2,3BC BD CA CE AD BE ==⋅=，则A ．1B ．-1C ．3D ．-310．若函数f (x)= sin(2x+ϕ)满足对一切x ∈R ，都有f (x)≥()7f π成立，则下列关系 式中不成立的是( )11．定义在R 上的奇函数f (x)满足f (x+1)=f （一x ），当x ∈(0，1)时，1211log ||,22()10, 2x x f x x ⎧-≠⎪=⎨⎪=⎩，则f (x)在区间[1，32]内是( ) A ．增函数且f （x ）>0 B ．增函数且f (x)<oC ．减函数且f (x)>0D ．减函数且f （x ）<012．在矩形ABCD 中，,P 为矩形内一点，且(,),53A P A B A D R λμλμμ=+∈的最大值为( ’ ABCD第II 卷 非选择题（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．函数()1()tan 026f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的最小正周期为3π，则ω= 。

2015-2016学年上海市某校高三（上）第一次联考数学试卷（理科）一、填空题：本大题满分56分。

本大题共有14题，只要求直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分。

1. 函数f(x)=x 2−1(x ≥1)的反函数是f −1(x)=________．2. 已知|a →|=2，|b →|=1，a →和b →的夹角为π3，则a →⋅b →=________． 3. 幂函数y ＝f(x)的图象经过点(4, 12)，则f(14)=________． 4. 方程log 2(x −3)=log 4(5−x)的解为________．5. 若直线l 1的一个法向量n →=(1, 1)，若直线l 2的一个方向向量d →=(1, −2)，则l 1与l 2的夹角θ=________．（用反三角函数表示）6. 直线l:x +√3y −2=0交圆x 2+y 2=2于A 、B 两点，则|AB|=________．7. 已知α∈(0, π)，且tan(α+π4)=17，则cosα=________．8. 无穷等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3=6，S 6=3，则lim n →∞S n =________．9. 已知f(x)=kx −|x −1|有两个不同的零点，则实数k 的取值范围是________．10. 已知a 、b 、c 是△ABC 中∠A 、∠B 、∠C 的对边，若a =7，A =60∘，△ABC 的面积为10√3，则△ABC 的周长为________．11. 奇函数f(x)的定义域为R ，若f(x +2)为偶函数，且f(1)=1，则f(100)+f(101)=________．12. 已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4、S 2、S 3成等差数列，且a 2+a 3+a 4=−18，若S n ≥2016，则n 的取值范围为________．13. 设m ∈R ，过定点A 的动直线x +my =0和过定点B 的动直线mx −y −m +3=0交于点P(x, y)．则|PA|⋅|PB|的最大值是________． 14. 不等式(2−|x|)(2+x)>0的解集为________．15. 设[x]表示不超过x 的最大整数，若[π]=3，[−1.2]=−2．给出下列命题： ①对任意的实数x ，都有x −1<[x]≤x ．②对任意的实数x 、y ，都有[x +y]≥[x]+[y]．③[lg1]+[lg2]+[lg3]+...+[lg2014]+[lg2015]=4940．④若函数f(x)=[x[x]]，当x ∈[0, n)(n ∈N ∗)时，令f(x)的值域为A ，记集合A 中元素个数为a n ，则a n +49n的最小值为192，其中所有真命题的序号为________．二、选择题：本大题满分20分。

2016届高三第一次月考数学(理科)试卷答案一.选择题:二.填空题:13. 8 14. 71 15. ⎪⎭⎫⎢⎣⎡ππ，43 16. ②③④三．解答题17.解：（1）根据表中已知数据，解得6,2,5πϕω-===A函数表达式为)62sin(5)(-=x x f ．．．．．．．．．．．．．．．．．6分（2）函数)(x f 图像向左平移6π个单位后对应的函数是 )62sin(5)(π+=x x g ， 其对称中心的横坐标满足Z k k x ∈=+,62ππ122ππ-=k x ，所以离原点最近的对称中心是)0,12(π-．．．．．．．．．．．．．．．．．12分18.解：因为)2cos()cos 2()(2θ+⋅+=x x a x f 为奇函数，),0(,πθ∈∈R a 所以2πθ=，)cos 2(2sin )(2x a x x f +⋅-=0)4(=πf ，则1-=a ．．．．．．．．．．5分（2）x x f 4sin 21)(-=，因为52sin 21)4(-=-=ααf ，即54sin =α 又因为),2(ππα∈，所以53cos -=α，=+)3sin(πα10334- ．．．．．．．．．．．12分19.（1）设2)421(8585-=-x k u ，售价为10元时，年销量为28万件，解得2=k 所以182128585)421(222++-=+--=x x x u 所以)116(108108332)6)(18212(232<<--+-=-++-=x x x x x x x y．．．．．．．．．．．．．．．．．5分（2）)9)(2(6)1811(62'---=+--=x x x x y当0)9,6('>∈y x 时，，当0)11,9('<∈y x 时，，当9=x 时，年利润最大为135万元。

．．．．．．．．．．．．．12分20. （12分）（1）)2(363)(2'a x x ax x x f -=-=令a x x x f 20,0)('===或得当0>a 时，）），（，在（+∞∞,20)(a x f -单调递增，在)2,0(a 上单调递减 当0<a 时，）），（，在（+∞∞,02)(a x f -单调递增，在)0,2(a 上单调递减 ．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 （2）由4321≤≤a 知)(x f 在]2,1[a 上递减，在]2,2[a 递增097)1()2(>-=-a f f 3334128)2(,128)2(a b b a a a f m b a f M -=+-==+-==81243+-=-a a m M设0)1)(1(121212)(,8124)(2'3<-+=-=+-=a a a a g a a a g所以]4321[)(，在a g 上单调递减，1611)43()(,25)21()(min max ====g a g g a g所以251611≤-≤m M ．．．．．．．．．．．12分 21.（1）2a ≥- ．．．．．．．．．．．．．．．．4分（2）()()ln ,1f x f x x x x k x =+<- 即ln 1x x x k x +<-对任意1x >恒成立。

南模中学2021学年第一学期高三期中考试数学学科（理）试卷一、填空题：(每题4分)1.函数23()(0)f x x x -=<的反函数是1()f x -=___________.2. 已知1sin cos 2αα=+，且0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，那么cos 2sin()4απα-的值为3.函数3()sin())22f x x x ππ=-++,方程()0f x k -=在[0,]x π∈上有两个不等的实根,那么实数k 的取值范围为 .4.关于函数()sin 2cos 2f x x x =-有以下命题：①函数()y f x =的最小正周期为π； ②直线4x π=是()y f x =的一条对称轴； ③点(,0)8π是()y f x =的图象的一个对称中心；④将()y f x =的图象向左平移4π个单位，可取得2y x =的图象． 其中真命题的序号是 .5. 某船在A 处看灯塔S 在北偏东30°方向，它以每小时18海里的速度向正北方向航行，通过40分钟航行到B 处，看灯塔S 在北偏东75°方向，那么现在该船到灯塔S 的距离约为 海里.6. 设A 是自然数集的一个非空子集，关于k A ∈,若是2k A ∉，A 那么k 是A 的一个“酷元”,给定集合{}2lg(36),S x y x x N ==-∈,设集合M 由集合S 中的两个元素组成，且集合M 中的两个元素都是“酷元”，那么如此的集合M 有 个．7.某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率别离是32和53. 现安排甲组研发新产品A ，乙组研发新产品B. 设甲、乙两组的研发彼此独立. 假设新产品A 研发成功，预计企业可获利润120万元；假设新产品B 研发成功，估量企业可取得利润100万元. 那么该企业可获利润的数学期望为 万元.8. .设函数()sin f x x x π=+,则1240264027()()()()2014201420142014f f f f ++++= . 9.关于函数()f x ,假设在概念域内存在实数x ,知足()()f x f x -=-,那么称()f x 为“局部奇函数”．若 ()2x f x m =+是概念在[1,1]-上的“局部奇函数”，则实数m 的取值范围是 .10.假设不等式23log 0a x x -<在1(0,)3x ∈内恒成立，则a 的取值范围是 ．11.设180,0,102y x y x x y>>+++=，那么2x y +的最大值为 . 12. 已知偶函数()f x 知足对任意的x R ∈均有(1)(3)f x f x +=-,且2(1)[0,1]()1(1,2]m x x f x x x ⎧-∈=⎨-∈⎩,假设方程3()f x x =恰有5个实数解,那么实数m 的取值范围是 .13.已知函数2()22(4)1f x mx m x =--+, ()g x mx =,假设关于任一实数x()f x 与()g x 至少有一个为正数，那么实数m 的取值范围是 .14.已知函数()(2)f x x a x =+,且关于x 的不等式()()f x a f x +<的解集为A ,假设11[,]22A -⊆,那么实数a 的取值范围是 .二、选择题: (每题5分)15. 若是关于任意实数x ，[]x 表示不超过x 的最大整数. 例如 []3.273=，[]0.60=.那么“[][]x y =”是“1x y -<”的（ ）A ．充分而没必要要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也没必要要条件16.以下函数中，既是偶函数，又在区间()1,2内是增函数的为 （ ） A. 22log 2x y x -=+ B. cos 2y x = C. 222x xy --= D. 2log y x = 17. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边别离a ，b ，c ，给出以下命题：①A＞B ＞C ，那么sinA ＞sinB ＞sinC ；②必存在A ，B ，C ，使tanAtanBtanC ＜tanA+tanB+tanC 成立；③若tanAtanB ＞1，那么△ABC 必然是钝角三角形；④若a=40，b=20，B=25°，△ABC 必有两解．其中真命题个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 18.已知函数2212(1),,1,12()111,0,.362x x x x f x x x ⎧⎛⎤-+-∈ ⎪⎥+⎪⎝⎦=⎨⎡⎤⎪-+∈⎢⎥⎪⎣⎦⎩函数π()sin()22(0)6g x a x a a =-+>,假设存在[]12,0,1x x ∈, 使得12()()f x g x =成立,那么实数a 的取值范围是（ ）A ．14,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦ C ．24,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦三、解答题：19. （此题12分） 函数22()log 1x f x x -=-的概念域为集合A,关于x 的不等式2212()()2ax a x a R +<∈的解集为B,求使A B B ⋃=的实数a 的取值范围.20、（此题14分）已知函数21()2cos 22f x x x =--, （1）求函数()f x 在[0,]2π的最大值和最小值,并给出取得最值时的x 值;（2）设ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边别离为a ，b ，c ，且c =，()0f C =，假设sin 2sin B A =，求a ，b 的值．21、（此题14分）已知函数22()()()6x x f x e a e a -=-+-- , x R ∈(1)求()f x 的最小值; (2)假设函数()f x 在R 上存在零点,求实数a 的取值范围.22. （此题16分）已知函数()22f x x a x x =-+,a R ∈(1)若0a =,判定函数()y f x =的奇偶性，并说明理由；(2）假设函数()f x 在R 上是增函数，求实数的取值a 范围；(3）假设存在实数[2,2]a ∈-,使得关于x 的方程()(2)0f x tf a -=有三个不相等的实数根，求实数t 的取值范围．23.（此题18分）已知函数()y f x =，x D ∈，若是关于概念域D 内的任意实数x ，关于给定的非零常数m ，总存在非零常数T ，恒有()()f x T mf x +>成立，那么称函数()y f x =是D 上的m 级类增周期函数，周期为T ．假设恒有()()f x T mf x +=成立，那么称函数()f x 是D 上的m 级类周期函数,周期为T ．(1)已知函数2()f x x ax =-+是[3,)+∞上的周期为1的2级类增周期函数，求实数a 的取值范围；(2)已知T=1，()y f x =是[0,)+∞上m 级类周期函数，且()y f x =是 [0,)+∞上的单调递增函数,当[0,1)x ∈时,()2x f x =，求实数m 的取值范围；(3)是不是存在实数k ，使函数()cos f x kx =是R 上的周期为T 的T 级类周期函数，假设存在，求出实数k 和T 的值，假设不存在，说明理由．南模中学2021学年第一学期高三期中考试数学学科（理）试卷参考答案1. -32(0)x x-> 2.142- 3.3[,3)24. ①③5. 626. 57. 1408. 40279.5[,1]4-- 10.1[,1)2711. 1812.837415415837 (,)(,) 6666++++--⋃13. (0,8) 14. （-1,0）15.A 16.D 17.C 18. A 19.20．22.考点函数奇偶性的判断；函数单调性的性质．专题函数的性质及应用．分析（1）若a=0，根据函数奇偶性的定义即可判断函数y=f（x）的奇偶性；（2）根据函数单调性的定义和性质，利用二次函数的性质即可求实数a的取值范围；（3）根据方程有三个不同的实数根，建立条件关系即可得到结论．解答解：（1）函数y=f（x）为奇函数．当a=0时，f（x）=x|x|+2x，∴f（﹣x）=﹣x|x|﹣2x=﹣f（x），∴函数y=f（x）为奇函数；（2）f（x）=，当x≥2a时，f（x）的对称轴为：x=a﹣1；当x＜2a时，y=f（x）的对称轴为：x=a+1；∴当a﹣1≤2a≤a+1时，f（x）在R上是增函数，即﹣1≤a≤1时，函数f（x）在R上是增函数；（3）方程f（x）﹣tf（2a）=0的解即为方程f（x）=tf（2a）的解．①当﹣1≤a≤1时，函数f（x）在R上是增函数，∴关于x的方程f（x）=tf（2a）不可能有三个不相等的实数根；…（9分）②当a＞1时，即2a＞a+1＞a﹣1，∴f（x）在（﹣∞，a+1）上单调增，在（a+1，2a）上单调减，在（2a，+∞）上单调增，∴当f（2a）＜tf（2a）＜f（a+1）时，关于x的方程f（x）=tf （2a）有三个不相等的实数根；即4a＜t﹣4a＜（a+1）2，∵a＞1，∴．设，∵存在a∈[﹣2，2]，使得关于x的方程f（x）=tf（2a）有三个不相等的实数根，∴1＜t＜h（a）max，又可证在（1，2]上单调增∴＜h（a）max=，∴1＜t＜③当a＜﹣1时，即2a＜a﹣1＜a+1，∴f（x）在（﹣∞，2a）上单调增，在（2a，a﹣1）上单调减，在（a﹣1，+∞）上单调增，∴当f（a﹣1）＜tf（2a）＜f（2a）时，关于x的方程f（x）=tf （2a）有三个不相等的实数根；即﹣（a﹣1）2＜t﹣4a＜4a，∵a＜﹣1，∴，设，∵存在a∈[﹣2，2]，使得关于x的方程f（x）=tf（2a）有三个不相等的实数根，∴1＜t＜g（a）max，又可证在[﹣2，﹣1）上单调减，∴g（a）max=，∴1＜t＜；综上：1＜t＜．23 .。

2016年普通高等学校招生全国统一考试 上海 数学试卷（理工农医类）一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1、设x R ∈,则不等式13<-x 的解集为______________________ 【答案】（2,4） 【解析】试题分析：由题意得：1x 31-<-<，解得2x 4<<. 考点：绝对值不等式的基本解法. 2、设iiZ 23+=，期中i 为虚数单位，则Im z =______________________ 【答案】-3 【解析】 试题分析：32i23,Imz=-3.iz i +==- 考点：1.复数的运算；2.复数的概念.3、已知平行直线012:,012:21=++=-+y x l y x l ，则21,l l 的距离_______________【解析】试题分析：利用两平行线间距离公式得d 5===考点：主要考查两平行线间距离公式.4、某次体检，6位同学的身高（单位：米）分别为1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77则这组数据的中位数是_________（米） 【答案】1.76 【解析】试题分析：将这6位同学的身高按照从矮到高排列为：1.69,1.72,1.75，1.77,1.78，1.80，这六个数的中位数是1.75与1.77的平均数，显然为1.76. 考点：主要考查了中位数的概念.5、已知点(3,9)在函数x a x f +=1)(的图像上，则________)()(1=-x f x f 的反函数 【答案】2log (x 1)- 【解析】试题分析：将点（3，9）带入函数()x f x 1a =+的解析式得a 2=，所以()x f x 12=+，用y 表示x 得2x log (y 1)=-，所以()12log (f x x 1)-=-.考点：反函数的概念以及指对数式的转化.6、如图，在正四棱柱1111D C B A ABCD -中，底面ABCD 的边长为3，1BD 与底面所成角的大小为32arctan ，则该正四棱柱的高等于____________【答案】【解析】试题分析：由题意得11122tan 33DD DBD DD BD ∠==⇒=⇒= 考点：线面角7、方程3sin 1cos 2x x =+在区间[]π2,0上的解为___________ 【答案】566ππ或 【解析】试题分析：化简3sinx 1cos 2x =+得：23sinx 22sin x =-，所以22sin x 3sinx 20+-=，解得1sinx 2=或sinx 2=-（舍去），所以在区间[0，2π]上的解为566ππ或.学.科.网 考点：二倍角公式及三角函数求值.8、在nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-23的二项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于_________【答案】112 【解析】试题分析：由二项式定理得：二项式所有项的二项系数之和为n 2，由题意得n2256=，所以n 8=，考点：中二项式的通项为84r r 8rr r r 33r 1882T C ()(2)C x x--+=-=-，求常数项则令84r 033-=，所以r 2=，所以3T 112=. 考点：二项式定理.9、已知ABC ∆的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于_________【解析】试题分析：利用余弦定理可求得最大边7所对应角的余弦值为22235712352+-=-⨯⨯，所以此角的正弦值2R =,所以R = 考点：正弦、余弦定理.10、设.0,0>>b a 若关于,x y 的方程组11ax y x by +=⎧⎨+=⎩无解，则b a +的取值范围是____________【答案】2+∞（，）【解析】试题分析：将方程组中的（1）式化简得y 1ax =-，代入（2）式整理得(1ab)x 1b -=-，方程组无解应该满足1ab 0-=且1b 0-≠，所以ab 1=且b 1≠，所以由基本不等式得a b 2+>=.考点：方程组的思想以及基本不等式的应用.11.无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成，n S 为{}n a 的前n 项和.若对任意*∈N n ，{}3,2∈n S ，则k 的最大值为________.【答案】4【解析】试题分析：要满足数列中的条件，涉及最多的项的数列可以为2,1,1,0,0,0,-⋅⋅⋅，所以最多由4个不同的数组成.考点：数列的项与和.12.在平面直角坐标系中，已知A （1,0），B （0，-1），P 是曲线21x y -=上一个动点，则BA BP ⋅的取值范围是 . 【答案】考点：1.平面向量的数量积；2.三角函数的图象和性质；3.数形结合的思想. 13.设[)π2,0,,∈∈c R b a ，若对任意实数x 都有()c bx a x +=⎪⎭⎫⎝⎛-sin 33sin 2π，则满足条件的有序实数组()c b a ,,的组数为 . 【答案】4【解析】试题分析：2,3a b =±=±，当,a b 确定时，c 唯一，故有4种组合. 考点：三角函数[0,114.如图，在平面直角坐标系xOy 中，O 为正八边形821A A A 的中心，()0,11A .任取不同的两点j i A A ,，点P 满足0=++j i OA OA OP ，则点P 落在第一象限的概率是.【答案】528【解析】试题分析：共有2828C =种基本事件，其中使点P 落在第一象限共有2325C +=种基本事件，故概率为528. 考点：古典概型 二、选择题（5×4=20）15.设R a ∈，则“1>a ”是“12>a ”的（ ）（A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充要条件 （D ）既非充分也非必要条件 【答案】A【解析】试题分析：2211,111a a a a a >⇒>>⇒><-或，所以是充分非必要条件，选A.考点：充要条件16.下列极坐标方程中，对应的曲线为右图的是（ ）（A ）θρcos 56+= （B ）θρin s 56+=（C ）θρcos 56-= （D ）θρin s 56-= 【答案】D【解析】试题分析： 依次取30,,,22ππθπ=，结合图形可知只有65sin ρθ=-满足，选D. 考点：极坐标系17.已知无穷等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，且S S n n =∞→lim .下列条件中，使得()*∈<N n S S n 2恒成立的是（ ）（A ）7.06.0,01<<>q a （B ）6.07.0,01-<<-<q a （C ）8.07.0,01<<>q a （D ）7.08.0,01-<<-<q a 【答案】B【解析】试题分析：由题意得：11112,(0|q |1)11n q a a q q -<<<--对一切正整数恒成立，当10a >时12n q >不恒成立，舍去；当10a <时21122n q q <⇒<，因此选B. 考点：1.数列的极限；2.等比数列的求和.18、设()f x 、()g x 、()h x 是定义域为R 的三个函数，对于命题：①若()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +均为增函数，则()f x 、()g x 、()h x 中至少有一个增函数；②若()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +均是以T 为周期的函数，则()f x 、()g x 、()h x 均是以T 为周期的函数，下列判断正确的是（ ）A 、①和②均为真命题B 、①和②均为假命题C 、①为真命题，②为假命题D 、①为假命题，②为真命题【答案】D 【解析】 试题分析： 因为[()g(x)][()(x)][g()(x)]()2f x f x h x h f x +++-+=必为周期为π的函数，所以②正确；增函数减增函数不一定为增函数，因此①不一定.选D.函数性质考点：1.抽象函数；2.函数的单调性；3.函数的周期性. 三、解答题（74分）19. 将边长为1的正方形11AAOO （及其内部）绕的1OO 旋转一周形成圆柱，如图，AC 长为23π，11A B 长为3π，其中1B 与C 在平面11AAOO 的同侧。

绝密★启用前 2016年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学试卷（理工农医类）（满分150分，考试时间120分钟）考生注意1.本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页.2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答题纸指定位置.3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一律不得分.4.用2B 铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1．设x R ∈,则不等式13<-x 的解集为_____________．2．设32iz i +=，其中i 为虚数单位，则Im z =_____________．3．已知平行直线012:,012:21=++=-+y x l y x l ，则l 1与l 2的距离是_____________． 4．某次体检，6位同学的身高（单位：米）分别为1.72，1.78，1.75，1.80，1.69，1.77，则这组数据的中位数是_________（米）．5．已知点(3,9)在函数x a x f +=1)(的图像上，则________)()(1=-x f x f 的反函数． 6．如图，在正四棱柱1111D C B A ABCD -中，底面ABCD 的边长为3，1BD 与底面所成的角的大小为32arctan，则该正四棱柱的高等于____________．7．方程3sin 1cos 2x x =+在区间[]0,2π上的解为___________ .8．在nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-23的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于_________．9．已知ABC ∆的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于_________．10．设.0,0>>b a 若关于,x y 的方程组11ax y x by +=⎧⎨+=⎩，无解，则b a +的取值范围是____________． 11．无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成，n S 为{}n a 的前n 项和.若对任意N n *∈，{}3,2∈n S ，则k 的最大值为________.12．在平面直角坐标系中，已知A （1,0），B （0，-1），P 是曲线21x y -=上一个动点，则BA BP ⋅的取值范围是_____________.13.设[),,0,2πa b R c ∈∈.若对任意实数x 都有()c bx a x +=⎪⎭⎫ ⎝⎛-sin 33sin 2π，则满足条件的有序实数组()c b a ,,的组数为 .14.如图，在平面直角坐标系xOy 中，O 为正八边形821A A A 的中心，()0,11A .任取不同的两点ji A A ,，点P 满足=++j i OA OA OP ，则点P 落在第一象限的概率是_____________.二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得五分，否则一律得零分.15.设R a ∈，则“1>a ”是“12>a ”的（ ）.（A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充要条件 （D ）既非充分也非必要条件 16.下列极坐标方程中，对应的曲线为如图的是（ ）.（A ）θρcos 56+= （B ）65sin ρθ=+ （C ）θρcos 56-= （D ）65sin ρθ=- 17.已知无穷等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，且S S n n =∞→lim .下列条件中，使得()2N n S S n *<∈恒成立的是（ ）.7.06.0,01<<>q a （B ）6.07.0,01-<<-<q a（C ）8.07.0,01<<>q a （D ）7.08.0,01-<<-<q a18．设()f x 、()g x 、()h x 是定义域为R 的三个函数，对于命题：①若()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +均是增函数，则()f x 、()g x 、()h x 中至少有一个增函数；②若()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +均是以T 为周期的函数，则()f x 、()g x 、()h x 均是以T 为周期的函数，下列判断正确的是（ ）.（A ）①和②均为真命题 （B ）①和②均为假命题（C ）①为真命题，②为假命题 （D ）①为假命题，②为真命题三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19. （本题满分12分）本题共有2个小题，第一小题满分6分，第二小题满分6分.将边长为1的正方形11AAO O （及其内部）绕的1OO 旋转一周形成圆柱，如图，AC长为23π，11A B 长为3π，其中1B 与C 在平面11AAO O的同侧.（1）求三棱锥111C O A B 的体积；（2）求异面直线1B C 与1AA 所成的角的大小.20．（本题满分14）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 有一块正方形菜地EFGH ,EH 所在直线是一条小河.收获的蔬菜可送到F 点或河边运走.于是，菜地分为两个区域1S 和2S ，其中1S 中的蔬菜运到河边较近，2S 中的蔬菜运到F 点较近，而菜地内1S 和2S 的分界线C 上的点到河边与到F 点的距离相等，现建立平面直角坐标系，其中原点O 为EF 的中点，点F 的坐标为（1,0），如图.（1）求菜地内的分界线C 的方程;（2）菜农从蔬菜运量估计出1S 面积是2S 面积的两倍，由此得到1S 面积的“经验值”为38.设M 是C 上纵坐标为1的点，请计算以EH 为一边、另有一边过点M 的矩形的面积，及五边形EOMGH 的面积，并判断哪一个更接近于1S 面积的经验值.21.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.双曲线2221(0)y x b b -=>的左、右焦点分别为12F F 、，直线l 过2F 且与双曲线交于A B 、两点.（1）若l 的倾斜角为π2，1F AB ∆是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；（2）设b =，若l 的斜率存在，且11()0F A F B AB +⋅=，求l 的斜率.22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.已知a R ∈，函数21()log ()f x a x =+.（1）当5a =时，解不等式()0f x >； （2）若关于x 的方程2()log [(4)25]0f x a x a --+-=的解集中恰好有一个元素，求a的取值范围；（3）设0a >，若对任意1[,1]2t ∈，函数()f x 在区间[,1]t t +上的最大值与最小值的差不超过1，求a 的取值范围.23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.若无穷数列{}n a 满足：只要*(,N )p q a a p q =∈，必有11p q a a ++=，则称{}n a 具有性质P . （1）若{}n a 具有性质P ，且12451,2,3,2a a a a ====，67821a a a ++=，求3a ；（2）若无穷数列{}n b 是等差数列，无穷数列{}n c 是公比为正数的等比数列，151b c ==，5181b c ==，n n n a b c =+，判断{}n a 是否具有性质P ，并说明理由；（3）设{}n b 是无穷数列，已知*1sin (N )n n n a b a n +=+∈.求证：“对任意1,{}n a a 都具有性质P”的充要条件为“{}nb是常数列”.考生注意：1. 本试卷共4页，23道试题，满分150分.考试时间120分钟.2. 本考试分设试卷和答题纸.试卷包括试题与答题要求.作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分.3. 答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号，并将核对后的条形码贴在指定位置上，在答题纸反面清楚地填写姓名.一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1．设x R ∈,则不等式13<-x 的解集为_____________．【答案】（2,4） 【解析】试题分析：由题意得：1x 31-<-<，解得2x 4<<. 考点：绝对值不等式的基本解法.2．设32iz i +=，其中i 为虚数单位，则Im z =_____________．【答案】-3 【解析】 试题分析：32i23,Im z= 3.i z i +==--考点：1.复数的运算；2.复数的概念.3．已知平行直线012:,012:21=++=-+y x l y x l ，则l 1与l 2的距离是_____________．【解析】试题分析：利用两平行线间的距离公式得d ===.考点：两平行线间距离公式.4．某次体检，6位同学的身高（单位：米）分别为1.72，1.78，1.75，1.80，1.69，1.77，则这组数据的中位数是_________（米）． 【答案】1.76考点：中位数的概念.5．已知点(3,9)在函数x a x f +=1)(的图像上，则________)()(1=-x f x f 的反函数． 【答案】2log (1)x -【解析】试题分析： 将点（3，9）代入函数()xf x 1a =+中得a 2=，所以()xf x 12=+，用y 表示x 得2x log (y 1)=-，所以()12log (f x x 1)-=-.考点：反函数的概念以及指、对数式的转化.6．如图，在正四棱柱1111D C B A ABCD -中，底面ABCD 的边长为3，1BD 与底面所成的角的大小为32arctan，则该正四棱柱的高等于____________．【答案】【解析】试题分析：连结BD，则由题意得11122tan 33DD DBD DD BD ∠==⇒=⇒=.考点：线面角7．方程3sin 1cos 2x x =+在区间[]0,2π上的解为___________ .【答案】566ππ， 【解析】试题分析：化简3sinx 1cos 2x =+得：23sinx 22sin x =-，所以22sin x 3sinx 20+-=，解得1sinx 2=或sinx 2=-（舍去），又[]0,2πx ∈，所以566x ππ=或. 考点：二倍角公式及三角函数求值.8．在nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-23的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于_________． 【答案】112 【解析】试题分析：由二项式定理得：所有项的二项式系数之和为n2，即n2256=，所以n 8=，又二项展开式的通项为84r r 8rr r r 33r 1882T C ()(2)C x x --+=-=-，令84r 033-=，所以r 2=，所以3T 112=，即常数项为112.考点：二项式定理.9．已知ABC ∆的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于_________．【解析】试题分析：利用余弦定理可求得最大边7所对应角的余弦值为22235712352+-=-⨯⨯，所以此角的正弦值2R=,所以R=.考点：正弦、余弦定理.10．设.0,0>>ba若关于,x y的方程组11ax yx by+=⎧⎨+=⎩，无解，则ba+的取值范围是____________．【答案】2+∞（，）【解析】试题分析：将方程组中上面的式子化简得y1ax=-，代入下面的式子整理得(1ab)x1b-=-，方程组无解应该满足1ab0-=且1b0-≠，所以ab1=且b1≠，所以由基本不等式得a b2+>=，即ba+的取值范围是2+∞（，）.考点：方程组的思想以及基本不等式的应用.11．无穷数列{}na由k个不同的数组成，nS为{}na的前n项和.若对任意Nn*∈，{}3,2∈nS，则k的最大值为________.【答案】4考点：数列的项与和.12．在平面直角坐标系中，已知A（1,0），B（0，-1），P是曲线21xy-=上一个动点，则BABP⋅的取值范围是_____________.【答案】【解析】试题分析：由题意设(cos ,sin )P αα, ，则(cos ,1sin )BP αα=+，又，所以π=cos sin )+1[0,14BP BA ααα⋅+++∈+.考点：1.数量积的运算；2.数形结合的思想.13.设[),,0,2πa b R c ∈∈.若对任意实数x 都有()c bx a x +=⎪⎭⎫ ⎝⎛-sin 33sin 2π，则满足条件的有序实数组()c b a ,,的组数为 . 【答案】4【解析】试题分析：当2a =时，5sin(3)sin(32)sin(3)333πππx x πx -=-+=+，5(,)(3,)3πb c =，又4sin(3)sin[(3)]sin(3)333πππx πx x -=--=-+，4(,)(3,)3πb c =-，注意到[0,2)c π∈，所以只有2组：5(23,)3π，, 4(23,)3π-，满足题意；当2a =-时，同理可得出满足题意的()c b a ,,也有2组，故共有4组.考点：三角函数14.如图，在平面直角坐标系xOy 中，O 为正八边形821A A A 的中心，()0,11A .任取不同的两点ji A A ,，点P 满足=++j i OA OA OP ，则点P 落在第一象限的概率是_____________.【答案】528【解析】试题分析：[0,π]α∈(1,1)BA =共有2828C =种基本事件，其中使点P 落在第一象限的情况有2325C +=种，故所求概率为528.考点：古典概型三、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得五分，否则一律得零分.15.设R a ∈，则“1>a ”是“12>a ”的（ ）.（B ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充要条件 （D ）既非充分也非必要条件 【答案】A【解析】试题分析：2211,111a a a a a >⇒>>⇒><-或，所以“1>a ”是“12>a ”的充分非必要条件，选A.考点：充要条件17.下列极坐标方程中，对应的曲线为如图的是（ ）.（B ）θρcos 56+= （B ）65sin ρθ=+ （C ）θρcos 56-= （D ）65sin ρθ=- 【答案】D【解析】试题分析：依次取30,,,22ππθπ=，结合图形可知只有65sin ρθ=-满足，选D.考点：极坐标方程18.已知无穷等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，且S S n n =∞→lim .下列条件中，使得()2N n S S n *<∈恒成立的是（ ）.7.06.0,01<<>q a （B ）6.07.0,01-<<-<q a（C ）8.07.0,01<<>q a （D ）7.08.0,01-<<-<q a 【答案】B考点：1.数列的极限；2.等比数列求和.18．设()f x 、()g x 、()h x 是定义域为R 的三个函数，对于命题：①若()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +均是增函数，则()f x 、()g x 、()h x 中至少有一个增函数；②若()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +均是以T 为周期的函数，则()f x 、()g x 、()h x 均是以T 为周期的函数，下列判断正确的是（ ）.（A ）①和②均为真命题 （B ）①和②均为假命题（C ）①为真命题，②为假命题 （D ）①为假命题，②为真命题【答案】D 【解析】 试题分析：因为[()g(x)][()(x)][g()(x)]()2f x f x h x h f x +++-+=，所以[(+)g(+)][(+)(+)][g(+)(+)](+)2f x T x T f x T h x T x T h x T f x T +++-+=,又()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +均是以T 为周期的函数，所以[()g()][()()][g()()](+)=()2f x x f x h x x h x f x T f x +++-+=，所以()f x 是周期为T 的函数，同理可得()g x 、()h x 均是以T 为周期的函数，②正确；()f x 、()g x 、()h x 中至少有一个增函数包含一个增函数、两个减函数；两个增函数、一个减函数；三个增函数，其中当三个函数中一个为增函数、另两个为减函数时，由于减函数加减函数一定为减函数，所以①不正确.选D.考点：1.抽象函数；2.函数的单调性；3.函数的周期性.三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19. （本题满分12分）本题共有2个小题，第一小题满分6分，第二小题满分6分. 将边长为1的正方形11AAO O （及其内部）绕的1OO 旋转一周形成圆柱，如图，AC 长为23π，11A B长为3π，其中1B 与C 在平面11AAOO 的同侧. （1）求三棱锥111C O A B -的体积；（2）求异面直线1B C 与1AA 所成的角的大小.【答案】（1；（2）π4.【解析】试题分析：（1）由题意可知，圆柱的高1h =，底面半径1r =，1113π∠A O B =，再由三角形面积公式计算111S ∆O A B 后即得.（2）设过点1B 的母线与下底面交于点B ，根据11//BB AA ，知1C ∠B B或其补角为直线1CB 与1AA 所成的角，再结合题设条件确定πC 3∠OB =，C 1B =．得出1πC 4∠B B =即可．试题解析：（1）由题意可知，圆柱的高1h =，底面半径1r =．由11A B 的长为π3，可知111π3∠A O B =．11111111111sin 2S ∆O A B =O A ⋅O B ⋅∠A O B =111111C 1V 3S h -O A B ∆O A B =⋅=．从而直线1C B 与1AA 所成的角的大小为π4．考点：1.几何体的体积；2.空间角.20．（本题满分14）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 有一块正方形菜地EFGH ,EH 所在直线是一条小河.收获的蔬菜可送到F 点或河边运走.于是，菜地分为两个区域1S 和2S ，其中1S 中的蔬菜运到河边较近，2S 中的蔬菜运到F 点较近，而菜地内1S 和2S 的分界线C 上的点到河边与到F 点的距离相等，现建立平面直角坐标系，其中原点O 为EF 的中点，点F 的坐标为（1,0），如图.（3）求菜地内的分界线C 的方程;（4）菜农从蔬菜运量估计出1S 面积是2S 面积的两倍，由此得到1S 面积的“经验值”为38.设M 是C 上纵坐标为1的点，请计算以EH 为一边、另有一边过点M 的矩形的面积，及五边形EOMGH 的面积，并判断哪一个更接近于1S 面积的经验值.【答案】（1）24y x =（02y <<）；（2）矩形面积为52，五边形面积为114，五边形面积更接近于1S 面积的“经验值”．【解析】试题分析：（1）由C 上的点到直线EH 与到点F 的距离相等，知C 是以F 为焦点、以EH 为准线的抛物线在正方形FG E H 内的部分．（2）通过计算矩形面积，五边形面积，以及计算矩形面积与“经验值”之差的绝对值，五边形面积与“经验值”之差的绝对值，比较二者大小即可．试题解析：（1）因为C 上的点到直线EH 与到点F 的距离相等，所以C 是以F 为焦点、以EH 为准线的抛物线在正方形FG E H 内的部分，其方程为24y x =（02y <<）．（2）依题意，点M 的坐标为1,14⎛⎫⎪⎝⎭．所求的矩形面积为52，而所求的五边形面积为114．矩形面积与“经验值”之差的绝对值为581236-=，而五边形面积与“经验值”之差 的绝对值为11814312-=，所以五边形面积更接近于1S 面积的“经验值”． 考点：1.抛物线的定义及其标准方程；2.面积计算.21.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.双曲线2221(0)y x b b -=>的左、右焦点分别为12F F 、，直线l 过2F 且与双曲线交于A B 、两点.（1）若l 的倾斜角为π2，1F AB ∆是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；（2）设b =，若l 的斜率存在，且11()0F A F B AB +⋅=，求l 的斜率.【答案】（1）y =；（2）.【解析】 试题分析：（1）设(),x y A A A ，根据题设条件得到()24413b b +=，从而解得2b 的值．（2）设()11,x y A ，()22,x y B ，直线:l ()2y k x =-与双曲线方程联立，得到一元二次方程，根据l 与双曲线交于两点，可得230k -≠，且()23610k ∆=+>．再设AB 的中点为(),x y M M M ，由()11F F 0A +B ⋅AB =即1F 0M ⋅AB =，从而得到1F 1kk M⋅=-，进而构建关于k 的方程求解即可． 试题解析：（1）设(),x y A A A ．由()22132y x y k x ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩，得()222234430kx k x k --++=．因为l 与双曲线交于两点，所以230k -≠，且()23610k ∆=+>．设AB 的中点为(),x y M M M ．由()11F F 0A +B ⋅AB =即1F 0M ⋅AB =，知1F M ⊥AB ，故1F 1k k M⋅=-．而2122223x x k x k M +==-，()2623k y k x k M M =-=-，1F 2323k k k M =-，所以23123k k k ⋅=--，得235k =，故l 的斜率为155±． 考点：1.双曲线的几何性质；2.直线与双曲线的位置关系；3.平面向量的数量积.22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.已知a R ∈，函数21()log ()f x a x =+.（1）当5a =时，解不等式()0f x >； （2）若关于x 的方程2()log [(4)25]0f x a x a --+-=的解集中恰好有一个元素，求a的取值范围；（3）设0a >，若对任意1[,1]2t ∈，函数()f x 在区间[,1]t t +上的最大值与最小值的差不超过1，求a 的取值范围.【答案】（1）()1,0,4x ⎛⎫∈-∞-+∞ ⎪⎝⎭；（2）(]{}1,23,4；（3）2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．【解析】试题分析：（1）由21log 50x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭，得151x +>，从而得解．（2）将其转化为()()24510a x a x -+--=，讨论当4a =、3a =时，以及3a ≠且4a ≠时的情况即可．（3）讨论()f x 在()0,+∞上的单调性，再确定函数()f x 在区间[],1t t +上的最大值与最小值之差，从而得到()2110at a t ++-≥，对任意1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦成立． 试题解析：（1）由21log 50x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭，得151x +>， 解得()1,0,4x ⎛⎫∈-∞-+∞ ⎪⎝⎭．（2）()1425a a x a x +=-+-，()()24510a x a x -+--=，当4a =时，1x =-，经检验，满足题意． 当3a =时，121x x ==-，经检验，满足题意．当3a ≠且4a ≠时，114x a =-，21x =-，12x x ≠．1x 是原方程的解当且仅当11a x +>，即2a >； 2x 是原方程的解当且仅当21a x +>，即1a >．于是满足题意的(]1,2a ∈．综上，a 的取值范围为(]{}1,23,4．因为0a >，所以函数()211y at a t =++-在区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，12t =时，y 有最小值3142a -，由31042a -≥，得23a ≥． 故a 的取值范围为2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．考点：1.对数函数的性质；2.函数与方程；3.二次函数的性质.23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.若无穷数列{}n a 满足：只要*(,N )p q a a p q =∈，必有11p q a a ++=，则称{}n a 具有性质P . （1）若{}n a 具有性质P ，且12451,2,3,2a a a a ====，67821a a a ++=，求3a ；（2）若无穷数列{}n b 是等差数列，无穷数列{}n c 是公比为正数的等比数列，151b c ==，5181b c ==，n n n a b c =+，判断{}n a 是否具有性质P ，并说明理由；（3）设{}n b 是无穷数列，已知*1sin (N )n n n a b a n +=+∈.求证：“对任意1,{}n a a都具有性质P ”的充要条件为“{}n b 是常数列”.【答案】（1）16；（2）{}n a 不具有性质P ，理由见解析；（3）见解析．【解析】 试题分析：（1）根据已知条件，得到678332a a a a ++=++，结合67821a a a ++=求解即可．（2）根据{}n b 的公差为20，{}n c 的公比为13，写出通项公式，从而可得520193nn n n a b c n -=+=-+．通过计算1582a a ==，248a =，63043a =，26a a ≠，即知{}n a 不具有性质P ．（3）从充分性、必要性两方面加以证明，其中必要性用反证法证明． 试题解析：（1）因为52a a =，所以63a a =，743a a ==，852a a ==． 于是678332a a a a ++=++，又因为67821a a a ++=，解得316a =．（2）{}n b 的公差为20，{}n c 的公比为13，所以()12012019n b n n =+-=-，1518133n n n c --⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭．520193nn n n a b c n -=+=-+． 1582a a ==，但248a =，63043a =，26a a ≠， 所以{}n a 不具有性质P ．[证]（3）充分性：当{}n b 为常数列时，11sin n n a b a +=+．对任意给定的1a ，只要p q a a =，则由11sin sin p q b a b a +=+，必有11p q a a ++=．充分性得证．必要性：用反证法证明．假设{}n b 不是常数列，则存在k *∈N ， 使得12k b b b b ==⋅⋅⋅==，而1k b b +≠．下面证明存在满足1sin n n n a b a +=+的{}n a ，使得121k a a a +==⋅⋅⋅=，但21k k a a ++≠．设()sin f x x x b =--，取m *∈N ，使得πm b >，则()0f m m b ππ=->，()0f m m b ππ-=--<，故存在c 使得()0f c =．考点：1.等差数列、等比数列的通项公式；2.充要条件的证明；3.反证法.祝福语祝你考试成功!。