第一讲偏好与效用

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定理 当X是有限集合时，一个理性的偏好关系一定能够 用效用函数表示
令X1 是X中最差选项的集合 如果X- X1 非空；令X2是X- X1中最差选项的集合， …. 如果X-(X1∪X2…∪Xn-1)非空;令Xn是X-(X1∪X2…∪Xn-1)中最差选 项的集合 • 直到 X =X1∪ X2 …,∪Xk • 因为X是有限的，所以k最大是|X|,而且根据引理Xn不是空集 ,n=1,2,…,k • 定义： u(x)=k, if x∈ Xk – 如果a b,那么 a∉X1∪X2…∪Xu(b)-1,所以u(a) u(b) • • • •
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偏好关系
• 一个有效的回答一般排除以下情形 – 反应缺乏判断比较能力
• x和y不可比较 • 我不知道x是什么 • 我没有想法
偏好关系
• 理性的偏好关系
– 是定义在选择集 X 上满足以下条件的二元关系 • 完备性 (Completeness) 任意两个消费束 x, , y，都有 都有x y 或 y x。 • 传递性 (Transitivity) 任意消费束x, y, z,如果x y和y z, 那么就有x z
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（2 ） li n→∞ x n = x 和 lim lim li n→∞ y n = y 那么，就有 x (x) x y y {yn} y x
– 所以有 yn ≻ xn – 与条件矛盾，所以假设不成立。
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证明：D1与D2等价
• D2ÆD1
– 给定偏好满足D2，令x≻y，B(x,r) 和B(y,r) – 假设对任意领域B(x,r) 和B(y,r) ，都存在 z∈ B(y), w∈ B(x) 使得 z w. – 由假设得到存在 xn ∈ B(x,1/n), yn ∈ B(y,1/n), 使得yn xn – 而且有 lim nÆ∞ xn=x, lim nÆ∞ yn=y。 – 所以，由D2得到 y x。 – 与条件矛盾，所以假设不成立
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定理* 当X是可数集合时，一个理性的偏好关系一定能够 用效用函数表示
• 第一步：定义u(x) – 令{xn}是集合X所有选项的一个排列； 定义 u(x1)=0. – 假设对{x1,…, xn-1}已经定义u(x1)…, u(xn-1),即 xk xl⇔u(xk) u(xl) – 如果 ∃k<n, 使得xn ∼xk，那么u(xn)=u(xk)； – 如果不存在，那么 集合{u(xk)| xn ; xk}∪{-1} 一定位于集合 {u(xk)| xk; xn}∪{1} 之下，定义u(xn)为两个集合之间的数字 • 所以， ∀k<n, xk xn ⇔ u(xk) u(xn) • 第二步：证明u(x) 表示该偏好关系 – ∀ x,y∈X, 在排列{xn}中分别有 xk=x,xl=y, – 令n=Max{k,l}，根据定义 xk xn ⇔ u(xk) u(xn)
序数效用性质
• 正单调变换：v(x) =f(u(x))
其中 f: RÆR 是在u的取值范围上是严格递增函数。
• 定理1.2：效用函数在正单调变换下的唯一性 – v( (x) ) =u( (x)+8 ) – v(x) =100*u(x)+8 – v(x) =u(x)3 – v(x) =u(x)2
– 实值函数u( (x) )能够表示偏好关系 ，那么，当且仅当 那么 当 仅当 v(x)是u(x)的正单调变换,v(x)也能够表示该偏好关系。 • 证明： – x0 x1 – iff u(x0) ≥ u(x1) [因为u是表示偏好的效用函数] – iff f (u(x0) ) ≥ f (u(x1)) [因为f 是严格递增函数] – iff v(x0) ≥ v(x1)
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– 是定义在选择集 集 X 上的二元关系，记为“ ”，对任意 任意 给定的x和y∈X，“x y”表示“x不比y差”或“x弱偏 好于y”
偏好关系
• 问题 – R (x,y)： “x是否不比y差？” （二选一）
• 是 • 不
• 有效的回答应该
– 对R (x,y)和R (y,x)的回答至少有一个是“是” – 对任意x,y,z∈X,如果对R (x,y)和R (y,z)的回答是“是”， 那么对R (x,z)的回答也是“是”
第一讲 偏好与效用
• 目标 – 偏好关系与效用函数的基本性质
第一讲 偏好与效用
夏纪军 上海财经大学 经济学院
• 要点 – 偏好关系
• 完备性、传递性
– 效用函数
• 定义、用性质、存在性
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偏好关系
• 选择集：X ={x, y, z,….} – 消费集： X={(x1, x2)∈R+2 : x1 0; x2 0} • 弱偏好关系
x
x2, 当
1 1 2 x1 > x12 , or x1 = x12 , and x1 2 ≥ x2
• 无差异关系 ～
– x～y ，当且仅当 x y ，同时有y – 无差异集： ～(y)={x ∈ X : x ~ y} ——无差异曲线
• 例：(5,0) (5 0) ， (4,100) (4 100) – (5,0) (4,100) (5,0)
– 但是，没有 (4,100) y}= ～(y) ∪; (y)
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• 弱偏好集： (y)={x ∈ X : x
– 所以，(5,0) ; (4,100)
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偏好关系
• 字典序偏好(Lexicographic preference )
– ～(x0)={(1,1)} – ≻(x0)={x|x1>1 或 x1=1，x2>1} – ≺(x0)={x|x1<1 或 x1=1，x2<1} x2 x0=(1, 1)
L
定义：效用函数
： 实值函数 u(·): R+n ÆR是表示偏好关系 的效用函数， 如果 ∀ x0, x1∈R +n, x0 x1 ⇔ u(x0) ≥ u(x1)
X∈R+n x0 x1
u (·)
R u0
x0
x1
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x1
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序数效用性质
• 设u(x)表示的是偏好关系 的效用函数 ∀ x0, x1∈R +n, x0 x1 ⇔ u(x0) ≥ u(x1)
– 答案取决于其他因素
• 取决于我父母怎么想的 • 取决于具体情况，一般我更喜欢x
– ……
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偏好关系
• 严格偏好关系 ≻
– x≻y ，当且仅当： x y，但没有y – 严格偏好集：;(y)={x ∈ X : x ; y} x
偏好关系
• 字典序偏好(Lexicographic preference )： – x=(x1, x2) – x1
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效用函数存在性
• 定理：必要条件 – 只有当一个偏好关系是理性时才可能由一个效 用函数来表示。 • 简单情形 简单情形： – 当X是有限集合时 – 当X是可数集和时
引理 ∀ A⊆X， 都存在一个最差的选项 a, 即 ∃ a∈A，使 得x a ∀x∈A • 证明（归纳法）：
– 如果A是单点集，那么A的唯一选项也就是最差的选项； – 令A的选项数量为n+1，并且 x ∈ A – 集合A-{x}大小为n，根据假设A-{x}存在最差选项y； – 如果 x y ，那么y是A的最差选项 – 如果 y x ，那么根据传递性，x是A的最差选项
证明：D1与D2等价
• D1ÆD2
– 给定偏好满足D1，令{xn,yn}是一个序列，满足xn yn， 而且有 lim nÆ∞ xn=x, lim nÆ∞ yn=y。 – 假设 x y 不成立，那么有 y≻x. – 根据D1，存在领域 存在 域B(y)和B(x)，使得所有 使得所有z∈ B(y), w∈ B(x)都有 z≻w. – 当N 足够大时，序列{xn,yn}中所有n>N ,都有 xn ∈ B(x) ，yn∈ B(y) {xn} {yn}
x1
x2
x1 (1,1) x ′ ≻x 1 x1 x2 y
Bδ(x2)
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偏好的连续性
• 等价定义2 (D2)：
– (J-R) 对任意的 x∈X， （1）对任意的n,都有xn (x)在X上是闭集。 yn，
n n ∞ – (MWG) 给定两个消费组合序列 {(x , y )}n =1, 如果满足：
• 字典序偏好
– x=(x1, x2) – x1 •
L
1
(Lexicographic preference )：
2 1 2 1 2
偏好的连续性
• 如果 x2 比 x1差，那么微小的变化不会逆转偏好关系 • 定义 1（D1）：
– 如果x1 ≻ x2 ，那么存在领域Bδ(x1)和Bδ(x2)，使得对任意 x∈ B(x1), y∈B(x2) 都有 x ≻ y x2 x1 ≻ x2 1 Bδ(x1) x
x2, 当 x1 > x1 , or x1 = x1 , and x2 ≥ x2
命题：定义在[0,1]×[0,1]上的 L不存在效用函数来表示
– 假设函数 u(x)是表示 L的效用函数 – 对任意 任 a∈[0,1], [ , ], (a, 1) ) ;L(a, ,0), ), 所 所以,有u(a, 1) ) > u(a, ,0) ) – 所以，存在有理数r(a) 满足：u(a, 1)> q(a)> u(a,0) – 定义：q(a) 是从[0,1]到有理数集的单值函数， – 而且q(a)是一一对应函数 • 因为如果b>a，那么(b, 0) ;L (a, 1) 和 u(b, 0)> u(a,1) • 所以， q(b) > u(b, 0) > u(a,1) > q(a)，即q(b) ≠q(a) – 但这在数学是不可能的，因为不能在一个不可数的实 数集与可数的有理数集建立起一一对应关系。