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第8章 非线性系统分析

第8章 非线性系统分析
14
一、非线性控制系统概述(11)
考虑著名的范德波尔方程
x 2 (1 x2 ) x x 0, 0
该方程描述具有非线性阻尼的非线性二阶系统。当扰动使 x 1 时，因为 (1 x 2 ) 0 系统具有负阻尼，此时系统 x(t ) 的运动呈发散形式；当 x 1 时，因为 从外部获得能量， 2 (1 x 2）＞0，系统具有正阻尼，此时系统消耗能量， x(t ) 的运动呈收敛形式；而 当x＝1 时，系统为零阻尼， 系统运动呈等幅振荡形式。 上述分析表明，系统能克 服扰动对 的影响，保持幅 值为1的等幅振荡，见右图。
1
第八章 非线性控制系统分析
本章主要内容： 一、非线性控制系统概述 二、常见非线性特性及其对系统运动的影响 三、描述函数法
2
第八章、非线性控制系统分析
本章要求 : 1、了解非线性系统的特点 2、了解常见非线性特性及其对系统运动的影响 3、掌握研究非线性系统描述函数法
3
一、非线性控制系统概述
本节主要内容： 1、研究非线性控制理论的意义 2、非线性系统的特征 3、非线性系统的分析与设计方法
5
一、非线性控制系统概述(2)
6
一、非线性控制系统概述(3)
在下图所示的柱形液位系统中，设 H为液位高度，Qi 为 C 为贮槽的截面积。根据水力 液体流入量， Q0为液体流出量， 学原理知
Q0 k H
其中比例系数 k 取决于液体的粘度的阀阻。 液体系统的动态方程为
dH C Qi Q 0 Qi k H dt
显然，液位和液体输入量的数字关系式为非线性微分方程。 由此可见，实际系统中普遍存在非线性因素。
7
一、非线性控制系统概述(4)

非线性系统理论

非线性系统理论

强非线性
非线性系统的线性化描述
对非线性系统的局部线性化处理：
最简单的一维非线性系统，动力学方程的一般形式为：
x f (x)
“非线性是对线性的偏离”
按泰勒公式展开的无穷级数：
f ( x ) f ( x 0 ) f ( x 0 )( x x 0 ) ( x )
“略去非线性余项” 近似表示为以下线性系统：
极限环
稳定：自持振荡
非线性系统
自激振荡
丌稳定：非自持振荡
系统在没有周期性外作用 力驱动下由于本身的非线性 判断一个非线性系统有无极限环
效应而自収出现周期运动。
非线性系统的自激振荡
极限环
孤立的闭合轨道 周围无闭合轨道，只有螺旋型轨道 对周围的轨道 要么吸引，要么排斥 一类定态 代表系统的一类典型的运动体制
非线性 余项
f ( x ) f ( x 0 ) f ( x 0 )( x x 0 ) ax b
非线性系统的线性化描述
局部线性化加微扰方法：
线性化 近似处理
分段线性化方法： 用一系列首尾相接的折线段 近似代表曲线。
对结论 加以修正
高次项为 扰动因素
如：沿曲折的海岸线修路
中心点
非闭合轨道 周围有无穷多条闭合轨道 对附近的闭合轨道 既丌互相吸引，也丌相互排斥 附近的闭合轨道是系统的扰动态 丌代表系统的一种典型运动体制
非线性系统的非平庸行为
多吸引子 并存
自激振荡
混沌运动
……
——非线性系统的各种非平庸行为
以上都是非线性相互作用产生的系统
现象，反映的是系统的整体涌现性。
非线性系统的双稳态
启示
1、现实世界本质上是非线性的

自动控制理论——非线性系统的分析

自动控制理论——非线性系统的分析

Aa A a
3 滞环特性
K ( A sin t a ) x2 (t ) K ( A a ) K ( A sin t a )
x2 x2

3 2 2
a
0
a
x1
0
2

2
t
滞环非线性环节的 描述函数为
N ( A) C1 j1 1 e A12 B12 e j1 A A
一 非线性系统稳定性分析
• 描述函数是在正弦输入信号作用下，输出 的基波分量与输入正弦信号之间的关系。
• 描述函数只能用于对非线性系统的稳定性 和自持振荡的近似分析。
含有非线性环节的系统结构图
r


G1 j
x1
N A
x2
x 2
G2 j
y
H j
• 非线性部分用描述函数 N ( A) 表示； • 非线性部分用描述函数 G ( j ) 表示； G( j) G1 ( j)G2 ( j)H ( j) • 自持振荡只与非线性系统的结构和参 数有关，分析自持振荡时，设 r 0 。
x1
t
a)
单值继电特性在正弦输入作用下的输出波形
(2)．非单值继电特性
x2
x2m x2m
x2
非继电特性的 描述函数为
a
x2m
0
aቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x1
0
x2m

t
4 x2m j N ( A) e A
b)
A
A


0
A
x1
t
a)
非单值继电特性在正弦输入作用下的输出波形
7-5 用描述函数研究非线性系统

1.1 非线性科学介绍

1.1 非线性科学介绍

几乎和线性世界相对应，非线性也有三个 重要的特性。
1. 非线性各个部分的不可叠加性是它最为明 显的特色。 线性系统满足叠加原理，整体等于部分 之和，而与之对应的非线性系统，由于部分 和部分之间的相互作用使得整体不再是等于 部分之和。
2. 非线性常常表现出复杂性
和线性系统的简单性（它可以表现为确定性， 一定约束下的唯一性…等等）相对应，非线性系 统则可以表现出各种复杂性，例如对初值敏感， 内在随机…等等。
分形
• 分形是不能用通常的长度、面积、体积表示的几何 形体，其内部存在着无穷层次，具有见微知著、由 点及面的自相似结构．自相似即局部与整体的相似 性．适当放大或缩小几何尺寸，分形的整个结构并 不改变，这就是标度不变性．花菜、海岸线、闪电、 松花蛋或树枝，就具有分形特征．换言之，分形是 局部以某种方式与整体相似的形态．分形可分多种 类型，如简单分形、自仿射分形、多分形、随机分 形、胖分形及复平面上的分形等．描述分形特征的 参数叫分维．分形理论开创了20世纪数学的新阶段， 是刻画混沌运动的直观的几何语言，是更接近于现 实世界的数学．
把非线性和复杂性联系起来，究其原因是复杂 性的根源正在于复杂系统内部各元素之间非线 性的相互作用。
3. 非线性演化方程会出现奇异性和突变性 谷超豪明确指出：从线性到非线性不是一个量 的变化，而是一个质的飞跃。其中最突出的是 确定性的非线性演化方程会出现非周期性，奇 异性和突变性。所有这些现象都是在原有的线 性世界中闻所未闻，见所未见的。
1)、非线性演化规律存在固有的不稳定性
• 大多数人的头脑中所具有的常常是Newton 和Laplace的决定论思想。当初始条件和边 界条件确定之后，那么一切规律将可以精 确预测。 • MIT的Lorentz 既是一个气象学家，又是一个 应用数学家。这两点必然性的交叉产生了 一个革命的火花。因此，他对数值模拟气 象特别感兴趣。 • “蝴蝶效应”（Butterfly Effect）。

第6章非线性控制系统分析

第6章非线性控制系统分析

一般非线性
描述函数不仅适合于分段线性系统，也适合于一般
非线性系统，只要能求出非线性环节的描述函数。我们 举一个例子:
1 1 3 y x x 2 4
因为它是单值、奇对称的，A1
0, 1 0 ，先求出 y (t ) ：
1 1 3 3 y (t ) A sin t A sin t 2 4
n 1

A 0 Yn sin(n t n )
n 1
y (t ) A0 ( An cos n t Bn sin n t )
n 1

A 0 Yn sin(n t n )
n 1
1 2 式中：A0 y (t )d t 0 2 1 2 An y (t ) cos n td t
2 1 2 1
这意味着一个非线性元件在正弦输入下，其输出也是
一个同频率的正弦量，只是振幅和相位发生了变化。
这与线性元件在正弦信号作用下的输出具有形式上的 相似性，故称上述近似处理为谐波线性化。
描述函数法的定义：输入为正弦函数时，输出的基波分量 与输入正弦量的复数比。其数学表达式为
Y sin( t 1 ) Y1 N ( A) 1 1 A sin t A A12 B12 A arctan 1 A B1
y
B
C
0
C
x
B
(a)
死区特性 一般的测量元件、执行机构都具有不灵敏区特性。只有在输 入信号大到一定程度以后才会有输出。一般的机械系统、 电机等, 都不同程度地存在死区。这种只有当输入量超过 一定值后才有输出的特性称为死区特 性，如图b所示。
y
k
C
0
C
x
k

131209第8章非线性控制系统分析

131209第8章非线性控制系统分析

非线性系统的数学模型是非线性微分方程；但至今为止 非线性微分方程没有成熟的解法；
8.2 几种典型的非线性特性
饱和特性 死区特性 间隙特性 继电器特性 变增益特性
(1)饱和特性(如运算放大器，学习效率等)
1. 对系统而言，饱和特性往往促使系统稳 定，但会减小放大系数，从而导致稳定 精度降低。 2. 饱和特性的例子是放大器，许多执行元 件也具有饱和特性。例如伺服电机。 3. 实际上，执行元件一般兼有死区和饱和 特性。
y1 ( t )
4M

sin t
理想继电特性的描述函数：
4M N ( A) 0 A
一般继电特性的描述函数：
2M mh 2 h 2 2M h N ( A) 1 ( ) 1 ( ) j ( m 1) 2 A A A A ( A h)
可能不稳定—发散、衰减等
3. 自振运动— 非线性系统特有的运动形式，产生自持振荡 4. 发生频率畸变—频率响应的复杂性 — 跳频响应，倍/分频 响应，组合振荡
非线性控制系统的分析方法
小扰动线性化
非线性系统研究方法 仿真方法
全数字仿真 半实物仿真 相平面法 描述函数法 波波夫法 反馈线性化法 微分几何方法
h 0 理想继电特性： m 1 死区继电特性： m 1 纯滞环继电特性：
4M N ( A) A
4M h N ( A) 1 A A
2
2
4M 4 Mh h N ( A) 1 j A A2 A
一般而言,描述函数 N(A)是A的函数,与频率无关 非线性环节为单/非单值函数时,N(A)是实/复数,虚部为/不为0
在小误差信号时具有较小的增益，从而提高系统的相对稳定性。 同时抑制高频低振幅噪声，提高系统响应控制信号的准确度。

自动控制理论第二十七讲


ɺɺ + x + x = 0 x ɺ
ɺ x1 = x2 ɺ x2 = − x2 − x1 dx2 x2 + x1 =− =α dx1 x2 1 x2 = − x1 1+ α
等倾斜线方程
CHANG’AN UNIVERSITY
长安大学电子与控制工程学院
自动控制理论
第七章 非线性系统的分析
相轨迹的画法 α取不同值时，可在相 取不同值时， 取不同值时 平面上画出若干不同的 等倾线， 等倾线，在每条等倾线 上画出表示该等倾线斜 率值的小线段， 率值的小线段，这些小 线段表示相轨迹通过等 倾线时的方向， 倾线时的方向，从相轨 迹的起点按顺序将各小 线段连接起来， 线段连接起来，就得到 了所求的相轨迹 。
tAB = tB − tA = ∫
x
.
xA
0 o
x
D
.
x 3 x 2 x 1θ A
θB θ CD θ BC
x
θ AB
x
θ
p
B
A
C
CHANG’AN UNIVERSITY
长安大学电子与控制工程学院
自动控制理论
第七章 非线性系统的分析
x = x1 p cosθ + ox1 ɺ x = x1 p sin θ
长安大学电子与控制工程学院
自动控制理论
第七章 非线性系统的分析
二、由相轨迹求暂态响应 点移动到X 【问题的提出】：相轨迹上坐标 XA点移动到 B点 问题的提出】 所需的时间。 所需的时间。 解决方法之一】 【解决方法之一】
dx1 x2 = ɺ x2 = x1 dt xB dx 1 tB − tA = ∫ xA x 2
x x 【解】 mɺɺ + kx = ɺɺ + x = 0

自动控制原理第七章

基本思想 相轨迹的特点 相轨迹的绘制方法 线性系统的相平面图 非线性系统的相平面图
基本思想
ɺ x
x
相平面分析法是分析非线性系统性能的一种图 示方法。 示方法。而相轨迹和相平面图的绘制为该分析方法的前提 条件。 条件。
x 1 (t), 2 (t) x
相平面定义：由两个线性无关的状态变量 作为坐标的平面称 为相平面。通常采用位移和位移的变化率作为状态变量用于描述一、二 阶系统的运动特性。
ɺɺ = -f(x, x ) ɺ x ⇒ ɺ ɺɺ = d x x = − f(x, x ) ɺ ɺ x dx ⇒ ɺ ɺ dx f(x, x ) = − ɺ dx x
ɺ x
x
相轨迹的绘制方法
解析法
消除变量法 直接积分法
等倾线法绘制相轨迹思 ɺɺ + f(x,ɺ ) = 0 x x 令： ⇒ 路： ɺ dx f(x,ɺ ) x =− ɺ x dx
E 0
Im
∞
Re
死区继电器的负倒描述函数曲线
Im
N(E) N(E)
4M = πE = 0
Δ2 1− E 2 (E ≤ Δ )
(E
≥ Δ)
∆ ∞
E Re
−
1 N(E)
= − 4M
πE
Δ2 1− E 2
(E
≥ Δ)
拐点参数：
E = 2 Δ 1 − N(E) E =
Y ϕ 非线性环节的描述函数 ：N = 1 e j 1 = E
2 2 − A 1 + B 1 jtg 1 B 1 B A = 1+j 1 e E E E
A1
描述函数的自变量为输入正弦信号的幅值
求取描述函数应用举例

非线性控制系统分析教学课件


航天器控制系统
航天器控制系统是一个高度复杂的非线性控制系统，它涉及到轨道控制、姿态控制和推进系 统控制等多个方面。
航天器控制系统需要处理各种动态特性和非线性特性，如气动力、引力扰动和热效应等，以 确保航天器能够精确地完成预定任务。
航天器控制系统的设计需要运用非线性控制理论和方法，如自适应控制、鲁棒控制等，以提 高航天器的稳定性和精度。
非线性控制系统分析 教学课件
contents
目录
• 非线性控制系统概述 • 非线性控制系统的基本理论 • 非线性控制系统的分析与设计 • 非线性控制系统的应用实例 • 非线性控制系统的发展趋势与挑战
CHAPTER 01
非线性控制系统概述ห้องสมุดไป่ตู้
非线性控制系统的定义与特点
总结词
非线性、动态、输入与输出关系复杂
详细描述
反馈线性化方法是一种通过引入适当的反馈控制律，将非线性系统转化为线性系统的设 计方法。它通过调整系统的输入和输出，使得系统的动态行为变得线性化，从而可以利
用线性控制理论进行设计和分析。
滑模控制方法
总结词
一种用于处理非线性控制系统不确定性 的方法
VS
详细描述
滑模控制方法是一种通过设计滑模面和滑 模控制器，使得系统状态在滑模面上滑动 并达到期望目标的方法。它利用滑模面的 设计，使得系统对不确定性具有鲁棒性， 能够有效地处理非线性系统中的不确定性 和干扰。
非线性控制系统的基本理论
状态空间模型
状态空间模型是描述非线性控制系统动态特性的数学模型，由状态方程和输出方程 组成。
状态变量是描述系统内部状态的变量，输出变量是描述系统外部输出的变量。
建立状态空间模型需要考虑系统的非线性特性，包括死区、饱和、非线性函数等。

S2-非线性离散系统


3.55
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
2.1 解的形态及稳定性 问题1：如何观察和确定迭代解？ Poincare截面
3.8
1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.1
N 100
N 500
1 0.9 0.8 0.7
循环：扫描参数区间
循环：数值迭代 消除过渡过程并画图
2.1 解的形态及稳定性 问题4：分岔图的程序实现
2.1 解的形态及稳定性
2.1 解的形态及稳定性 【分岔】 随着参数的变化，动力系统的解的性态发生质的变化。
发生分岔的前提：失稳
分岔：把定常解、周期解的稳定性和混沌联系在一起。 运动稳定性：经典的课题 混沌：现代的课题
临界慢化现象：在解的性态发生改变的临界点处，过 渡过程变得很长，收敛速度变得非常慢。
2.1 解的形态及稳定性
一元一次离散映射系统数值迭代的问题： 观察和确定迭代解 临界点处的迭代：临界慢化现象 初值点对迭代解性态的影响 分岔图的绘制
2.1 解的形态及稳定性 问题3：初值对解的性态的影响
8 7 6 5 4 3 x 10
29
60
80
100
120
y = 4.7332e-031
f ( x) 2 x
2 1 0
2.1 解的形态及稳定性
f ( x) x(1 x)
x=0.1; u=0.5; for i=1:100 y=u*x*(1-x); x=y; end y
运行结果： y = 7.8544e-008
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若曲线G(jω )和曲线-1/N(X)相交，则系统存在周期运动；
若当振幅X增大时， -1/N(X)曲线由G(jω )包围的区域（不 稳定区）穿出，该交点处存在着稳定的周期运动，该交点是自 振点。
例6-3 判定图6-14所示特性的自振点。
解 图a为一高阶线性函数与无回差理想继电特性的串联，M1、M3 点为自振点，M2为不能持续工作的振荡点。
0
0
Y A B n
2 n
2 n
n arctg
An Bn
由于典型非线性特性均属奇对称函数；A0=0，又谐波线性化后略 去高次谐波，只取基波，故有
y ( t ) A cos t B sin t Y sin( t ) 1 1 1 1

B1 1 arcg A1
2
这是一种非线性超前校正线路，有利用改善系统性能。
a ) 原来线路
b )线路的描述函数曲线
本章主要知识点与主要线索
结构归化 非线性系统 典型结构 计算 查表
N(X )
乃氏曲线 线性部分
1 N(X )
稳定性 , 自 振 , 求自 振 参数
分段线性的 开关线 分段相迹方程 非线性系统 奇点类型
积分 求解
第15次课
教学学时：2学时 目的要求：通过本次课程了解非线性系统的概念和改善非线性 系统性能的措施及非线性特性的利用，掌握描述函数法的计算 和应用 知识要点： 1.非线性系统概述 a.常见非线性特征 b.非线性系统的特点 2.函数描述法 a.描述函数的概念和计算 b.改善非线性系统性能的措施及非线性特性的利用 教学步骤：先介绍非线性系统的概述，在围绕概述讲述描述函数 法的计算和应用并举例说明
6.2 描 述 函 数 法
6.3 改善非线性系统性能的措施及非
线性特性的利用
本章作业
End
6.1 非线性系统问题概述
何谓非线性系统：只要系统中包含一个或一个以上具有非线性
静特性的元件，即称为非线性系统。 非线性系统的主要特征： 系统的稳定性除与结构参数有 关外，还与起始偏差的大小有关 。 统的响应形式与输入信号的大 小和初始条件有关。 在没有外界周期变化信号输入 时，非线性系统完全可能产生具有 固定周期和幅值的稳定振荡过程。
Y 1 A B
2 1
2 1
则描述函数为
Y Y Y 1 j 1 1 e cos j 1sin N（A）= A 1 1 A A
B A 1 j 1 b ( A )ja ( A ) A A
例6-1 求理想继电特性的描述函数
解（1）作正弦输入时非线性的输出波形 图6-9a表示了理想继电特性在正弦信号作用下的输出波形。 （2）写出y(t)的数学表达式 （3）用傅氏级数展开，计算其基波分量
教具及教学手段：多媒体、实物模型、背景历史等等
板书或旁注意： 1.图6-8既非线性系统典型结构的讲解（15分钟） 2.例题6-1、6-2的讲解既描述函数法的计算 （30分钟）
3.图6-22的讲解 （15分钟）
4.图6-25既控制函数的对数频率的讲解 （30分钟）
教学内容：
第六章 非线性系统理论
6.1 非线性系统概述

4M



＝

sint1
代入整理得： A1＝
4M A 2 1 4 M 4 M a 2 y ( t ) sin td t cos t 1 ( ) 1 0 A
B1＝



（３）描述函数
1 A a a 2 2 arcsin A a j N ( A ) 4 M A 4 M 4 M
一.实际系统中的非线性因素
图7-1 一些常见的非线性特性
二 饱和
饱和特性也是系统中最常见的一种非线性特性。
部件的饱和现象 理想化后的饱和特性典型数学表达式为：
Ka x1 a x2 Kx1 | x1 | a Ka x a 1
式中： a 是线性范围， K为线性范围内的传递系数（对于放大

三 用描述函数研究非线性系统的稳定性和自振
１、稳定性分析
图6-11 用描述函数法表示的非线性系统结构图 在以上条件下，由于高次谐波的冲分衰减，可以将N（A）看成一个 复放大系数，故系数闭环频率特性
j N ( A ) G (j ) 1 N ( A ) G ( J ）
自振分析
n 0


y ( t ) y ( t ) A c o s t B s i n t Y s i n ( t ) 1 1 1 1 1
A B Y A A 1 1 1 1 B 1 1 N ( X ) a r c t g j 1 X X B 1 X X
2 2
图6-26是一个非线性积分器，它的特点是幅频特性具有积分性 质，而相频特性只滞后-38o而不是90o，因而具有相位超前的补 偿作用，有利于改善动态性能。 将y(x)展开为傅氏级数，取其 基波
4 A A sin t cos t Y(t)= RC RC
其描述函数为
o 1 4 j38 1 e N(a)= RC
相迹方程
作图
相迹 求时间
等倾线法 时间响应
本 本章 章作 作业 业
P321 6-1 6-3 6-4 6-6 6-7
End




0

0

0
图6-9 理想继电特性的输入输出波形及

1 N ( A ) 曲线
例6-2 求带滞环继电特性的描述函数
（２）本特性y(t)既非奇函数，亦非偶函数，但A0=0，故
y ( t)cos td t A1＝ 0 1
2
t t 2 1 1 1 M cos td t M cos td t M cos td t ＝ 0 t t 1 1
y ( t ) A ( A cos n t B sin n t ) A Y sin n t ( ) 0 n n 0 n n
n 1 n 1




其中
12 A ( t ) cos n td t n y
12 B ( t ) sin n td t n y
一 改善非线性特性之措施
用振荡线性化消除死区间隙以及继电特性等非线性因素的不利 影响。
图6-22 死区与饱和特性并联
二 非线性特性的应用 1．非线性微分反馈
二阶系统加入微分反馈后，可以提高阻尼比，减小系统的超 调量，但同时上升时间变慢，调节时间增长，快速性变差了。
图6-23 非线性阻尼控 制 a ) 结构图 b ) 阶跃响 应



应用限制条件
• 输入输出特性奇对称，即 y(x)=-y(-x), A0=0。 • 系统的线性部分具有较好的低通滤波性能。 • 结构图可简化为一个非线性环节和一个线性部分的串联。
典型环节描述函数
死区特性、饱和特性、继电特性、间隙特性
(一) 描述函数的计算
A sin t 设非线性环节的特性为 y f (x) ,在正弦输入信号 x 作用下输出为 y (x) 展开为傅氏级数有:
式中
=R1C1
R K2= R
2
T1=（R1+R2）C1；
。
系统开环传递函数
K s 1 ) 1K 2( G(S)= s(sT 1 )( Ts1 ) 1
可作出其对数频率特性入图6-25曲线1。
它使系统具有两种跟随 速度，快速性也教好， 比较满意的解决了稳态 精度及系统超调之见的 矛盾。
3.非线性相位补偿
2、非线性串联校正 图6-24a为非线性串 联校正方块图，图624b为校正环节电路。
K1,K2为两级放大器，如果将第二级放大器的限幅调的低一些， 利用其饱和非线性特性加上R1C1F反馈网络，作为非线性串联 校正环节，则在线性范围内时，其传递函数为
k 2 ( s 1) G2（S）= T s 1 1
图b系统原不能稳定工作，和继电特性串联后在M2点自振，M1 点为不能持续工作的振荡点。
图c为三阶线性函数与不灵敏区特性的串联，M2点为自振点，M1 点为不能持续工作的振荡点。 例6-4 判定图6-15a所示自振点并求自振参数
若线性部分为三阶系统，现讨论系统的稳定情况：
第三节 改善非线性系统性能的措施及非线性特性的利用
元件，也称增益）。
三 常见非线性因素对系统的影响
不灵敏区（死区特性）
饱和特性
间隙特性
继电特性
摩擦特性

6.2 描述函数法
描述函数法又称谐波线性化法，是分析系统的一种工程近似方法。
描述函数的定义
N(X)
G(jω )
x ( t ) X s i n t , y ( t ) A ( A c o s n t B s i n n t ) 0 n n
因本特性为单值对称，A0=0，A1=0
4 4 M 4 M 4 M 2 2 2 M sin td t d (cos t ) cos t B1= 0 0 0
B1 4 M （4）计算描述函数N（A )= A A 4 4 4 M 4 M M 2 2 2 M sin td t d (cos t ) cos t