人教A版高中数学必修二第二章2.1-2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系同步练习A卷

高中数学课时分层作业：课时作业9 空间中直线与直线之间的位置关系——基础巩固类——1．分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是(C)A．一定平行B．一定异面C．相交或异面D．一定相交解析：在空间中分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是异面或相交．故选C．2．两等角的一组对应边平行，则(D)A．另一组对应边平行B．另一组对应边不平行C．另一组对应边不可能垂直D．以上都不对解析：另一组对应边可能平行，也可能不平行，也可能垂直．注意和等角定理(若两个角的对应边平行，则这两个角相等或互补)的区别．3．长方体的一条对角线与长方体的棱所组成的异面直线有(C)A．2对B．3对C．6对D．12对解析：如图所示，在长方体中没有与体对角线平行的棱，要求与长方体体对角线AC1异面的棱所在的直线，只要去掉与AC1相交的六条棱，其余的都与体对角线异面，∴与AC1异面的棱有BB1，A1D1，A1B1，BC，CD，DD1，∴长方体的一条对角线与长方体的棱所组成的异面直线有6对．故选C．4．若直线a，b与直线l所成的角相等，则a，b的位置关系是(D)A．异面B．平行C．相交D．相交、平行、异面均可能解析：若a∥b，显然直线a，b与直线l所成的角相等；若a，b相交，则a，b确定平面α，若直线l⊥α，则l⊥a，l⊥b，此时直线a，b与直线l所成的角相等；当直线a，b异面时，同样存在直线l与a，b都垂直，此时直线a，b与直线l所成的角相等．故选D．5．如下图所示，若G，H，M，N分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有(D)A ．①②B ．②③C ．①④D ．②④解析：①中GH ∥MN ；③中GM ∥HN 且GM ≠HN ，故GH ，MN 必相交，所以①③中GH ，MN 共面，故选D ．6．在四面体ABCD 中，AD ＝BC ，且AD ⊥BC ，E ，F 分别为AB ，CD 的中点，则EF 与BC 所成的角为( B )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90° 解析：如图，取BD 的中点G ，连接EG ，GF ，则∠EFG 即为异面直线EF 与BC 所成的角．因为EG ＝12AD ，GF ＝12BC ，且AD ＝BC ，所以EG ＝GF .因为AD ⊥BC ，EG ∥AD ，GF ∥BC ，所以EG ⊥GF ，所以△EGF 为等腰直角三角形，所以∠EFG ＝45°.7．已知空间两个角α，β，且α与β的两边对应平行，α＝60°，则β为60°或120°. 解析：根据“等角定理”可知，α与β相等或互补，故β为60°或120°. 8．如图所示，已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是AD ，AA 1的中点．(1)直线AB 1和CC 1所成的角为45°； (2)直线AB 1和EF 所成的角为60°.解析：如图．(1)因为BB1∥CC1，所以∠AB1B即为异面直线AB1与CC1所成的角，∠AB1B＝45°.(2)连接B1C，易得EF∥B1C，所以∠AB1C即为异面直线AB1和EF所成的角．连接AC，则△AB1C为正三角形，所以∠AB1C＝60°.9．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：①AB⊥EF；②AB与CM所成的角为60°；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD．其中正确结论的序号是①③.解析：把正方体的平面展开图还原成原来的正方体可知，AB⊥EF，EF与MN为异面直线，AB∥CM，MN⊥CD，所以只有①③正确．10．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别是棱CC1，BB1，DD1的中点．求证：(1)GB∥D1F；(2)∠BGC＝∠FD1E.证明：(1)因为E，F，G分别是正方体的棱CC1，BB1，DD1的中点，所以CE綊GD1，BF綊GD1，所以四边形CED1G与四边形BFD1G均为平行四边形．所以GC∥D1E，GB∥D1F.(2)因为∠BGC 与∠FD 1E 两边的方向都相同，所以∠BGC ＝∠FD 1E .11.如图，在三棱锥A -BCD 中，O ，E 分别是BD ，BC 的中点，AO ⊥OC ，CA ＝CB ＝CD ＝BD ＝2，AB ＝AD ＝2，求异面直线AB 与CD 所成角的余弦值．解：如图，取AC 的中点M ，连接OM ，ME ，OE ，由E 为BC 的中点知ME ∥AB ，OE ∥DC ，所以直线OE 与EM 所成的锐角就是异面直线AB 与CD 所成的角．EM ＝12AB ＝22，OE ＝12DC ＝1，因为OM 是Rt △AOC 斜边AC 上的中线， 所以OM ＝12AC ＝1，取EM 的中点H ，连接OH ，则OH ⊥EM ，在Rt △OEH 中，所以cos ∠OEM ＝EH OE ＝12×221＝24.——能力提升类——12．已知在空间四边形ABCD 中，M ，N 分别是AB ，CD 的中点，且AC ＝4，BD ＝6，则( A )A ．1<MN <5B ．2<MN <10C ．1≤MN ≤5D ．2<MN <5解析：取AD 的中点H ，连接MH ，NH ，则MH 綊12BD ，NH 綊12AC ，且M ，N ，H 三点构成三角形．由三角形中三边关系可得|MH －NH |<MN <|MH ＋NH |，即1<MN <5.13．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1上有一只蚂蚁从A 点出发沿正方体的棱前进，若它走进的第(n ＋2)条棱与第n 条棱是异面的，则这只蚂蚁走过第 2 018条棱之后的位置可能在( D )A ．点A 1处B ．点A 处C ．点D 处 D ．点B 1处解析：由图形(如图)结合正方体的性质知，与直线AB异面的直线有A1D1，B1C1，CC1，DD1，共4条．蚂蚁从A点出发，走进的第(n＋2)条棱与第n条棱是异面的，如AB→BC→CC1→C1D1→D1A1→A1A，按照此走法，每次要走6条棱才回到起点．∵2 018＝6×336＋2，∴这只蚂蚁走过第2 018条棱之后的位置与走过第2条棱之后的位置相同．而前2条棱的走法有以下几种情况：AB→BB1，AB→BC，AD→DC，AD→DD1，AA1→A1B1，AA1→A1D1.故走过第2条棱之后的位置可能有以下几种情况：B1，C，D1.故选D．14．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是棱BB1，B1C1的中点，若∠CMN＝90°，则异面直线AD1与DM所成的角为90°.解析：如图所示，连接BC1，则BC1∥AD1，则异面直线AD1与DM所成的角为直线BC1与DM 所成的角．∵M，N分别是棱BB1，B1C1的中点，∴BC1∥MN.∵∠CMN＝90°，∴BC1⊥MC，又MC是斜线DM在平面BCC1B1上的射影，∴DM⊥BC1，∴直线BC1与DM所成的角为90°，则异面直线AD1与DM所成的角为90°.15．在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，侧面都是矩形，底面四边形ABCD是菱形，且AB ＝BC＝23，∠ABC＝120°，若异面直线A1B和AD1所成的角为90°，求AA1的长．解：如图，连接CD1，AC．由题意得在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，A1D1∥BC，A1D1＝BC＝23，∴四边形A1BCD1是平行四边形，∴A1B∥CD1，∴∠AD1C为A1B和AD1所成的角．∵异面直线A1B和AD1所成的角为90°，∴∠AD1C＝90°.∵在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，侧面都是矩形，且底面是菱形，∴△ACD1是等腰直角三角形，∴AD1＝22AC．∵底面四边形ABCD是菱形且AB＝BC＝23，∠ABC＝120°，∴AC＝23×sin60°×2＝6，∴AD1＝22AC＝32，∴AA1＝AD21－A1D21＝ 6.。

必修1【1】第一章集合与函数概念1．1 集合1．2 函数及其表示1．3 函数的基本性质第二章基本初等函数（Ⅰ）2．1 指数函数2．2 对数函数2．3 幂函数第三章函数的应用3．1 函数与方程3．2 函数模型及其应用必修2第一章空间几何体1．1 空间几何体的结构1．2 空间几何体的三视图和直观图1．3 空间几何体的表面积与体积第二章点、直线、平面之间的位置关系2．1 空间点、直线、平面之间的位置关系2．2 直线、平面平行的判定及其性质2．3 直线、平面垂直的判定及其性质第三章直线与方程3．1 直线的倾斜角与斜率3．2 直线的方程3．3 直线的交点坐标与距离公式必修3第一章算法初步1．1 算法与程序框图1．2 基本算法语句1．3 算法案例阅读与思考割圆术第二章统计2．1 随机抽样阅读与思考一个著名的案例阅读与思考广告中数据的可靠性阅读与思考如何得到敏感性问题的诚实反应2．2 用样本估计总体阅读与思考生产过程中的质量控制图2．3 变量间的相关关系阅读与思考相关关系的强与弱第三章概率3．1 随机事件的概率阅读与思考天气变化的认识过程3．2 古典概型3．3 几何概型必修4第一章三角函数1．1 任意角和弧度制1．2 任意角的三角函数1．3 三角函数的诱导公式1．4 三角函数的图象与性质1．5 函数y=Asin（ωx+ψ）1．6 三角函数模型的简单应用第二章平面向量2．1 平面向量的实际背景及基本概念2．2 平面向量的线性运算2．3 平面向量的基本定理及坐标表示2．4 平面向量的数量积2．5 平面向量应用举例第三章三角恒等变换3．1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式3．2 简单的三角恒等变换必修5第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.2应用举例1.3实习作业第二章数列2.1数列的概念与简单表示法2.2等差数列2.3等差数列的前n项和2.4等比数列2.5等比数列的前n项和第三章不等式3.1不等关系与不等式3.2一元二次不等式及其解法3.3二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题3.3.1二元一次不等式（组）与平面区域3.3.2简单的线性规划问题3.4基本不等式选修1-1第一章常用逻辑用语1.1命题及其关系1.2充分条件与必要条件1.3简单的逻辑联结词1.4全称量词与存在量词第二章圆锥曲线与方程2.1椭圆2.2双曲线2.3抛物线第三章导数及其应用3.1变化率与导数3.2导数的计算3.3导数在研究函数中的应用3.4生活中的优化问题举例选修1-2第一章统计案例1．1回归分析的基本思想及其初步应用1．2独立性检验的基本思想及其初步应用第二章推理与证明2．1合情推理与演绎证明2．2直接证明与间接证明第三章数系的扩充与复数的引入3．1数系的扩充和复数的概念3．2复数代数形式的四则运算第四章框图4．1流程图4．2结构图选修2-1第一章常用逻辑用语1.1命题及其关系1.2充分条件与必要条件1.3简单的逻辑联结词1.4全称量词与存在量词第二章圆锥曲线与方程2.1曲线与方程2.2椭圆2.3双曲线2.4抛物线第三章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算3.2立体几何中的向量方法选修2-2第一章导数及其应用1.1变化率与导数1.2导数的计算1.3导数在研究函数中的应用1.4生活中的优化问题举例1.5定积分的概念1.6微积分基本定理1.7定积分的简单应用第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理2.2直接证明与间接证明2.3数学归纳法第三章数系的扩充与复数的引入3.1数系的扩充和复数的概念3.2复数代数形式的四则运算选修2-3第一章计数原理1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理1.2排列与组合1.3二项式定理第二章随机变量及其分布2.1离散型随机变量及其分布列2.2二项分布及其应用2.3离散型随机变量的均值与方差2.4正态分布第三章统计案例3.1回归分析的基本思想及其初步应用3.2独立性检验的基本思想及其初步应用选修3-1第一讲早期的算术与几何第二讲古希腊数学第三讲中国古代数学瑰宝第四讲平面解析几何的产生第五讲微积分的诞3．4 函数的应用（Ⅱ）必修二第一章立体几何初步1．1 空间几何体1．2 点、线、面之间的位置关系第二章平面解析几何初步 2．1 平面真角坐标系中的基本公式2．2 直线方程2．3 圆的方程2．4 空间直角坐标系必修三第一章算法初步1．1 算法与程序框图1．2 基本算法语句1．3 中国古代数学中的算法案例第二章统计2．1 随机抽样2．2 用样本估计总体2．3 变量的相关性第三章概率3．1 随机现象3．2 古典概型3．3 随机数的含义与应用 3．4 概率的应用必修四第一章基本初等函(Ⅱ) 1．1 任意角的概念与弧度制 1．2 任意角的三角函数1．3 三角函数的图象与性质第二章平面向量2．1 向量的线性运算2．2 向量的分解与向量的坐标运算2．3 平面向量的数量积2．4 向量的应用第三章三角恒等变换3．1 和角公式3．2 倍角公式和半角公式 3．3 三角函数的积化和差与和差化积必修五第一章解直角三角形1．1 正弦定理和余弦定理1．2 应用举例第二章数列2．1 数列2．2 等差数列2．3 等比数列第三章不等式3．1 不等关系与不等式3．2 均值不等式3．3 一元二次不等式及其解法 3．4 不等式的实际应用3．5 二元一次不等式（组）与简单线性规划问题选修1－1第一章常用逻辑用语1．1 命题与量词1．2 基本逻辑联结词1．3 充分条件、必要条件与命题的四种形式第二章圆锥曲线与方程2．1 椭圆2．2 双曲线2．3 抛物线第三章导数及其应用3．1 导数3．2 导数的运算3．3 导数的应用选修1－2第一章统计案例第二章推理与证明第三章数系的扩充与复数的引入第四章框图选修4－5第一章不等式的基本性质和证明的基本方法1．1 不等式的基本性质和一元二次不等式的解法1．2 基本不等式1．3 绝对值不等式的解法 1．4 绝对值的三角不等式 1．5 不等式证明的基本方法第二章柯西不等式与排序不等式及其应用2．1 柯西不等式2．2 排序不等式2．3 平均值不等式(选学) 2．4 最大值与最小值问题，优化的数学模型第三章数学归纳法与贝努利不等式3．1 数学归纳法原理3．2 用数学归纳法证明不等式，贝努利不等式。

空间中直线与直线之间的位置关系知识导学：（1）理解异面直线的概念、空间中两条直线的位置关系及画法；（2）理解异面直线所成角的定义、X 围及应用，进一步培养空间想象能力．一、基础知识：1、平面的基本性质：2、不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线．3、空间两条直线的位置关系：空间两直线{⎧⎪⎨⎪⎩相交直线:同一平面内,有且只有一个公共点;共面直线平行直线:同一平面内,没有公共点;异面直线:不同在任何一个平面内,没有共公点.b a ba αβαO a'b a（1） （2） （3）1A1C 4、异面直线所成的角：已知两条异面直线a与b，经过空间任一点O作直线a’//a，b’//b，直线a’与b’所成的锐角（或直角）叫做异面直线a与b所成的角．异面直线所成的角的X围：(0︒，90]︒．如果两条异面直线所成的角是直角，叫做这两条直线互相垂直．注意：两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形．二、例题解析：例1、在空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，则：（1）四边形EFGH是__________四边形；（2）若AC=BD，则四边形EFGH是_______；（3）若AC=BD，且AC⊥BD，则四边形EFGH是_______________。

例2、如图，空间四边形ABCD中，AB=CD，AB⊥CD，E、F分别为BC、AD的中点，求EF和AB所成的角．例3、在正方体ABCD—A1B1C1D1中，（1）与直线A1B异面的棱有（2）与直线CC1垂直的棱有____________________________；（3）直线A1B和CC1的夹角是______度；A1B和B1C的夹角是______度；（4）与直线A1B的夹角为60°的所有面对角线有__________________。

三、达标训练：1、关于异面直线下列说法正确的是（）A．不相交的两条直线是异面直线B．分别在两个平面内的两条直线是异面直线C．没有公共点的两条直线是异面直线D．既不相交也不平行的两条直线是异面直线2、给出三个命题：②若两条直线都与第三条直线垂直，则这两条直线互相平行；③若两条直线都与第三条直线平行，则这两条直线互相平行。

高中数学必修2知识点总结第一章 空间几何体1.1柱、锥、台、球的结构特征（1)棱柱：定义:有两个面互相平行,其余各面都是四边形,且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。

分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。

表示:用各顶点字母,如五棱柱'''''E D C B A ABCDE -或用对角线的端点字母，如五棱柱'AD几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形;侧面、对角面都是平行四边形;侧棱平行且相等;平行于底面的截面是与底面全等的多边形．（2)棱锥定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的几何体 分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等表示:用各顶点字母,如五棱锥'''''E D C B A P -几何特征:侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似,其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。

(３）棱台：定义:用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,截面和底面之间的部分 分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等表示:用各顶点字母,如五棱台'''''E D C B A P -几何特征:①上下底面是相似的平行多边形 ②侧面是梯形 ③侧棱交于原棱锥的顶点（4）圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体几何特征:①底面是全等的圆；②母线与轴平行;③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图是一个矩形． （5)圆锥：定义:以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体 几何特征:①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点;③侧面展开图是一个扇形。

(6)圆台:定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥,截面和底面之间的部分几何特征:①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点；③侧面展开图是一个弓形。

§2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系一、教材分析空间中直线与直线的位置关系是立体几何中最基本的位置关系，直线的异面关系是本节的重点和难点.异面直线的定义与其他概念的定义不同，它是以否定形式给出的，因此它的证明方法也就与众不同.公理4是空间等角定理的基础，而等角定理又是定义两异面直线所成角的基础，请注意知识之间的相互关系，准确把握两异面直线所成角的概念.二、教学目标1．知识与技能（1）了解空间中两条直线的位置关系；（2）理解异面直线的概念、画法，培养学生的空间想象能力；（3）理解并掌握公理4；（4）理解并掌握等角公理；（5）异面直线所成角的定义、范围及应用。

2．过程与方法让学生在学习过程中不断归纳整理所学知识.3．情感、态度与价值让学生感受到掌握空间两直线关系的必要性，提高学生的学习兴趣.三、重点难点两直线异面的判定方法，以及两异面直线所成角的求法.四、课时安排1课时五、教学设计（一）导入新课思路1.(情境导入）在浩瀚的夜空，两颗流星飞逝而过（假设它们的轨迹为直线），请同学们讨论这两直线的位置关系. 学生：有可能平行，有可能相交，还有一种位置关系不平行也不相交，就像教室内的日光灯管所在的直线与黑板的左右两侧所在的直线一样.教师：回答得很好，像这样的两直线的位置关系还可以举出很多，又如学校的旗杆所在的直线与其旁边公路所在的直线，它们既不相交，也不平行，即不能处在同一平面内.今天我们讨论空间中直线与直线的位置关系.思路2.（事例导入）观察长方体（图1），你能发现长方体ABCD—A′B′C′D′中，线段A′B所在的直线与线段C′C所在直线的位置关系如何？图1（二）推进新课、新知探究、提出问题①什么叫做异面直线？②总结空间中直线与直线的位置关系.③两异面直线的画法.④在同一平面内，如果两直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行.在空间这个结论成立吗？⑤什么是空间等角定理？⑥什么叫做两异面直线所成的角？⑦什么叫做两条直线互相垂直？活动：先让学生动手做题，再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路.讨论结果：①异面直线是指不同在任何一个平面内的两条直线.它是以否定的形式给出的，以否定形式给出的问题一般用反证法证明.②空间两条直线的位置关系有且只有三种.结合长方体模型(图1)，引导学生得出空间的两条直线的三种位置关系：⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧.,:;,:;,:没有公共点不同在任何一个平面内异面直线没有公共点同一平面内平行直线有且只有一个公共点同一平面内相交直线共面直线 ③教师再次强调异面直线不共面的特点，作图时通常用一个或两个平面衬托，如图2.图2④组织学生思考：长方体ABCD —A′B′C′D′中，如图1, BB′∥AA′，DD′∥AA′,BB′与DD′平行吗？ 通过观察得出结论：BB′与DD′平行. 再联系其他相应实例归纳出公理4.公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行. 符号表示为：a ∥b,b ∥c ⇒a ∥c.强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用. 公理4是：判断空间两条直线平行的依据，不必证明，可直接应用.⑤等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. ⑥怎么定义两条异面直线所成的角呢？能否转化为用共面直线所成的角来表示呢？可以把异面直线所成角转化为平面内两直线所成角来表示.如图3，异面直线a、b，在空间中任取一点O，过点O分别引a′∥a，b′∥b，则a′，b′所成的锐角（或直角）叫做两条异面直线所成的角.图3针对这个定义，我们来思考两个问题.问题1：这样定义两条异面直线所成的角，是否合理？对空间中的任一点O有无限制条件？答：在这个定义中，空间中的一点是任意取的.若在空间中，再取一点O′（图4），过点O′作a″∥a，b″∥b，根据等角定理，a″与b″所成的锐角（或直角）和a′与b′所成的锐角（或直角）相等，即过空间任意一点引两条直线分别平行于两条异面直线，它们所成的锐角（或直角）都是相等的，值是唯一的、确定的，而与所取的点位置无关，这表明这样定义两条异面直线所成角的合理性.注意：有时，为了方便，可将点O取在a或b上（如图3）.图4问题2：这个定义与平面内两相交直线所成角是否矛盾？答：没有矛盾.当a、b相交时，此定义仍适用，表明此定义与平面内两相交直线所成角的概念没有矛盾，是相交直线所成角概念的推广.⑦在定义中，两条异面直线所成角的范围是（0°，90°]，若两条异面直线所成的角是直角，我们就说这两条异面直线互相垂直.例如，正方体上的任一条棱和不平行于它的八条棱都是相互垂直的，其中有的和这条棱相交，有的和这条棱异面（图5）.图5（三）应用示例思路1例1 如图6，空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点.图6求证：四边形EFGH 是平行四边形.证明：连接EH ，因为EH 是△ABD 的中位线，所以EH ∥BD ，且EH=BD 21. 同理，FG ∥BD ，且FG=BD 21. 所以EH ∥FG ，且EH=FG.所以四边形EFGH 为平行四边形. 变式训练1.如图6，空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点且AC=BD. 求证：四边形EFGH 是菱形.证明：连接EH ，因为EH 是△ABD 的中位线，所以EH ∥BD ，且EH=BD 21. 同理，FG ∥BD ，EF ∥AC ，且FG=BD 21,EF=AC 21. 所以EH ∥FG ，且EH=FG.所以四边形EFGH 为平行四边形. 因为AC=BD,所以EF=EH. 所以四边形EFGH 为菱形.2.如图6，空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点且AC=BD ，AC ⊥BD.求证：四边形EFGH 是正方形.证明：连接EH ，因为EH 是△ABD 的中位线， 所以EH ∥BD ，且EH=BD 21. 同理，FG ∥BD ，EF ∥AC ，且FG=BD 21，EF=AC 21. 所以EH ∥FG ，且EH=FG.所以四边形EFGH 为平行四边形. 因为AC=BD ，所以EF=EH.因为FG ∥BD ，EF ∥AC ，所以∠FEH 为两异面直线AC 与BD 所成的角.又因为AC ⊥BD ，所以EF ⊥EH. 所以四边形EFGH 为正方形.点评：“见中点找中点”构造三角形的中位线是证明平行常用的方法. 例2 如图7，已知正方体ABCD —A′B′C′D′.图7(1)哪些棱所在直线与直线BA′是异面直线？ (2)直线BA′和CC′的夹角是多少？ (3)哪些棱所在直线与直线AA′垂直？解：(1)由异面直线的定义可知，棱AD 、DC 、CC′、DD′、D′C′、B′C′所在直线分别与BA′是异面直线. (2)由BB′∥CC′可知，∠B′BA′是异面直线BA′和CC′的夹角，∠B′BA′=45°，所以直线BA′和CC′的夹角为45°.（3）直线AB 、BC 、CD 、DA 、A′B′、B′C′、C′D′、D′A′分别与直线AA′垂直. 变式训练如图8，已知正方体ABCD —A′B′C′D′.图8（1）求异面直线BC′与A′B′所成的角的度数；（2）求异面直线CD′和BC′所成的角的度数.解：（1）由A′B′∥C′D′可知，∠BC′D′是异面直线BC′与A′B′所成的角，∵BC′⊥C′D′，∴异面直线BC′与A′B′所成的角的度数为90°.（2）连接AD′,AC,由AD′∥BC′可知，∠AD′C是异面直线CD′和BC′所成的角，∵△AD′C是等边三角形.∴∠AD′C=60°，即异面直线CD′和BC′所成的角的度数为60°.点评：“平移法”是求两异面直线所成角的基本方法.思路2例1 在长方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是棱AA1和棱CC1的中点.求证：EB1∥DF，ED∥B1F.活动：学生先思考或讨论，然后再回答，教师点拨、提示并及时评价学生.证明：如图9，设G是DD1的中点，分别连接EG，GC1.图9∵EG A1D1，B1C1A1D1,∴EG B1C1.四边形EB1C1G是平行四边形,∴EB1GC1.同理可证DF GC1，∴EB1DF.∴四边形EB1FD是平行四边形.∴ED∥B1F.变式训练如图10，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是AA1、AB的中点，试判断下列各对线段所在直线的位置关系：图10（1）AB与CC1；（2）A1B1与DC；（3）A1C与D1B；（4）DC与BD1；（5）D1E与CF.解：（1）∵C∈平面ABCD，AB⊂平面ABCD，又C∉AB，C1∉平面ABCD,∴AB与CC1异面.（2）∵A1B1∥AB，AB∥DC，∴A1B1∥DC.（3）∵A1D1∥B1C1，B1C1∥BC，∴A1D1∥BC，则A1、B、C、D1在同一平面内.∴A1C与D1B相交.（4）∵B∈平面ABCD，DC⊂平面ABCD，又B∉DC，D1∉平面ABCD,∴DC与BD1异面.（5）如图10，CF与DA的延长线交于G，连接D1G，∵AF∥DC，F为AB中点，∴A为DG的中点.又AE ∥DD 1，∴GD 1过AA 1的中点E.∴直线D 1E 与CF 相交.点评：两条直线平行，在空间中不管它们的位置如何，看上去都平行（或重合）.两条直线相交，总可以找到它们的交点.作图时用实点标出.两条直线异面，有时看上去像平行（如图中的EB 与A 1C ），有时看上去像相交（如图中的DC 与D 1B ）.所以要仔细观察，培养空间想象能力，尤其要学会两条直线异面判定的方法.例2 如图11，点A 是BCD 所在平面外一点，AD=BC ，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，且EF=22AD ，求异面直线AD 和BC 所成的角.图11解：设G 是AC 中点，连接EG 、FG .因E 、F 分别是AB 、CD 中点，故EG ∥BC 且EG=BC 21，FG ∥AD ，且FG=AD 21.由异面直线所成角定义可知EG 与FG 所成锐角或直角为异面直线AD 、BC 所成角，即∠EGF 为所求.由BC=AD 知EG=GF=AD 21，又EF=22AD,由勾股定理可得∠EGF=90°.点评：本题的平移点是AC 中点G ，按定义过G 分别作出了两条异面直线的平行线，然后在△EFG 中求角.通常在出现线段中点时，常取另一线段中点，以构成中位线，既可用平行关系，又可用线段的倍半关系.变式训练设空间四边形ABCD ，E 、F 、G 、H 分别是AC 、BC 、DB 、DA 的中点，若AB=212，CD=24，且HG·HE·sin ∠EHG=312，求AB 和CD 所成的角.解：如图12，由三角形中位线的性质知，HG ∥AB ，HE ∥CD ，图12∴∠EHG 就是异面直线AB 和CD 所成的角. 由题意可知EFGH 是平行四边形，HG=2621=AB ，HE=3221=CD ， ∴HG·HE·sin ∠EHG=612sin ∠EHG . ∴612sin ∠EHG=312.∴sin ∠EHG=22.故∠EHG=45°. ∴AB 和CD 所成的角为45°. （四）知能训练如图13，表示一个正方体表面的一种展开图，图中的四条线段AB 、CD 、EF 和GH 在原正方体中相互异面的有对____________.图13答案：三 （五）拓展提升图14是一个正方体的展开图，在原正方体中，有下列命题：图14①AB与CD所在直线垂直；②CD与EF所在直线平行；③AB与MN所在直线成60°角；④MN与EF所在直线异面.其中正确命题的序号是（）A.①③B.①④C.②③D.③④答案：D（六）课堂小结本节学习了空间两直线的三种位置关系：平行、相交、异面，其中异面关系是重点和难点.为了准确理解两异面直线所成角的概念，我们学习了公理4和等角定理.（七）作业课本习题2.1 A组3、4.。

2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系一、教学目标分析1．能理解异面直线的定义；2．了解空间中两条直线的三种位置关系，知道异面直线、异面直线的夹角的概念；3．能正确理解平行公理和等角定理，并会运用进行相关的推理证明；4．通过对实际模型的认识，能将文字语言转化为图形语言和符号语言，能准确地使用数学语言表述几何对象的位置关系，并能解决一些简单的推理论证及应用问题；5．通过对比空间和平面两直线间的位置关系之间异同和联系，逐步提高将立体图形转为平面图形的能力；6．在学习空间中两直线间的位置关系时，逐步提高辩证唯物主义观点和公理化思想、空间想象能力和思维能力．二、教学策略选择1．以长方体为载体，使学生在直观感知的基础上，认识空间中两直线的位置关系；2．通过“直观感知——操作确认——思维辩证”的认知过程展开，得到平行公理和等角定理．三、教学资源与工具1．本节课多媒体课件；2．高中新课程标准实验教科书《数学》（人教A版）必修2；3．三角尺作图工具．四、教学过程设计1.复习导入，归纳概念，练习巩固①．提出问题：思考“同一平面内的两条直线有几种位置关系？空间中的两条直线呢？”利用课件展示长方体模型，从长方体中抽象出空间中直线的位置关系．让学生观察空间图形中直线的位置关系，直观感受空间中的两条直线间的位置关系．②给出异面直线定义，异面直线的判定方法：（1）不同在任何一个平面内。

（2）既不相交也不平行的直线结合直观感知，引导学生得出：空间中两条直线的三种位置关系：相交、平行、异面。

③．阐明异面直线的画法：平面衬托法注意：由第一图可以总结出连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线。

④．有学生总结空间中直线与直线间的位置关系，不完整的地方，教室完善。

⑤.师生合作探究（借助于媒体展示正方体的直观图）下图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么AB ，CD ，EF ，GH 这四条线段所在的直线是异面直线的有 对．2.直观感知，操作确认，灵活运用①．直观感知：展示折叠书不完全展开时，直立在桌面上的图片，让学生感知空间中的平行直线。