双语版材料力学第九章
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材料力学双语教学学习资料
第七章应力和应变分析强度理论Chapter Seven Stress and Strain Analysis Strength Theories§7–1 应力状态概述§7–1 Concepts of the State of Stress1．一点的应力状态：过一点有无数的截面，这一点的各个截面上应力情况的集合，称为这点的应力状态。
The state of stress at a point: There are countless sections through a point. The gathering of stresses in all sections is called the state of stress at this point.2．单元体：构件内的点的代表物，是包围被研究点的无限小的几何体，常用的是正六面体。
Element: Delegate of a point in the member. It is an infinitesimal geometric body enveloping the studied point. In common use it is a correctitude cubic body.* 3．主单元体：各侧面上剪应力均为零的单元体。
Principal element :The element in which the shearing stresses in side planes are all zero.* 4．主平面：剪应力为零的截面。
Principal Planes:The planes on which the shearing stresses are zero.* 5．主应力：主平面上的正应力。
Principal stresses: Normal stresses acting on the principle planes.6．主应力排列规定；按代数值大小Convention of the order for three principal stresses: In magnitude of the algebraic value.7．三向应力状态：三个主应力都不为零的应力状态。
材料力学第9章
•减小长度系数μ（增强约束）
目录
§9.6
提高压杆稳定性的措施
•增大截面惯性矩 I（合理选择截面形状）
目录
例 求下列细长压杆的临界力。
b3h , Pcry 解：①、绕 y 轴，两端铰支：=1.0，I y 12 ②、绕 z 轴，左端固定，右端铰支：
=0.7 ， ③、压杆的临界力
EI y
I z 1 198.3cm 4 , I y1 25.6cm 4
两根槽钢图示组合之后，
I Z 2I Z 1 2 198.3 396.6cm4
I y 2[ I y1 A1 ( z0 a / 2)2 ]
2 [25.6 12.74 (1.52 a / 2)2 ]
对于其他支座条件下细长压杆，求临界压力有两种方法： 1、从挠曲线微分方程入手 2、比较变形曲线
B
l
A
l
C
一端固定一端自由
Fcr
2 EI
(2l ) 2
目录
§9.3 其他支座条件下细长压杆的临界压力
Fcr
B D
l 2
l 4
Fcr
B
0.7l
l
C A
C A
l 4
两端固定 Fcr
EI
2
(0.5l ) 2
所以
目录
§9.2 两端铰支细长压杆的临界压力
w
当
临界压力 时， 欧拉公式
挠曲线方程 得
w
目录
§9.2 两端铰支细长压杆的临界压力
----欧拉公式
1、适用条件： •理想压杆（轴线为直线，压力与轴线 重合，材料均匀） 2、
1 Fcr 2 l
杆长，Fcr小，易失稳
材料力学柴国鈡第9章答案汇总
9.1 图示起重架，在横梁的中点受到集中力F 的作用，材料的许用应力MPa 100][=σ。
试选择横梁工字钢的型号（不考虑工字钢的自重）。
解：由0=∑C M 可得05.130tan 3=⨯-︒⨯⨯F F Ax ，kN 13=Ax F由0=∑B M 可得05.13=⨯-⨯F F Ay ，kN 5.7=Ay F横梁的跨中截面上有最大弯矩 m kN 25.115.15.7max ⋅=⨯=M横梁上的最大压应力][max max σσ≤+=zAx W MA F上述强度条件中截面面积A 和抗弯截面系数z W 都是未知的，因此首先忽略轴力的影响来选取工字钢型号，然后再利用上式做强度校核。
3346max cm 5.112m m 1025.111001025.11][=⨯=⨯=≥σM W z查表，选取16号工字钢，其z W 为141cm 3，A 为26.131 cm 2，代入（1）式得到][MPa 8.841410001025.111.2613130006max σσ≤=⨯+=因此，最终选择16号工字钢。
9.2 如图所示的链环，其截面直径m m 50=d ，受拉力kN 10=F作用，试求链环的最大正应力。
解：最大拉应力：MPa 0.5432/5060100004/501000032max max,=⨯⨯+⨯=+=ππσz N t W M A F最大压应力：MPa 8.4332/5060100004/501000032max max,-=⨯⨯-⨯=-=ππσz N c W M A F9.3 如图所示夹具，夹紧力为=F 2kN ，材料的许用应力为=][σ170MPa ，试校核m-m 截面的强度。
解：m-m 截面上的最大正应力（拉应力）为][MPa 0.1606/2010502000201020002max max,σσ<=⨯⨯+⨯=+=z t W M A F故夹具满足强度条件。
9.4 图示简支梁，已知：=q 20kN/m ，=F 1500kN ，=e 80mm 。
英汉双语材料力学9
Material Mechanics 9 材料力学9概述：材料力学是研究材料在外力作用下受力、变形及破坏规律的学科。
目前，材料力学已成为材料科学最为基础和重要的学科之一。
在现代科技和工业生产中，材料力学的应用越来越广泛。
材料力学的分支很多，其中包括了应力、变形、破坏、断裂、塑性、蠕变、疲劳、材料动力学、非线性力学等等。
一、应力应力指材料内部受到的载荷作用下发生的内力状态。
应力可以分为三种：正应力、剪应力和体应力。
正应力分为正向和负向两种，是指载荷由材料内部向外发出的面的垂直方向对面积的比值。
剪应力则是指载荷由材料内部向外发出的面的切向（平行于面）对面积的比值。
而体应力则是指材料内部所有面受到的载荷的合力对体积的比值。
二、变形变形是材料在外力作用下所发生的形状、尺寸、位置以及物理和化学性质等方面的变化。
变形可分为弹性变形和塑性变形，其中弹性变形指当材料受到外力之后，只会形成可逆的变形，即在释放外力后会回复到原有的形态。
而塑性变形，则是指在材料受到外力作用之后，会引起形态上的不可逆性变化。
三、破坏材料在受到外力作用下，可能会引起破坏，破坏可分为静态破坏和疲劳破坏。
静态破坏指在一定载荷作用时间后，材料内部发生的破坏现象，常见的有拉断、压碎、弯曲破坏等。
而疲劳破坏则是指在材料受到周期性变化载荷作用时，材料内部会发生渐进性的破坏现象，常见的有金属疲劳、材料疲劳等。
四、断裂断裂是指材料在外力作用下分裂开来的现象。
材料的断裂可以分为两种：韧性断裂和脆性断裂。
韧性断裂指在材料断裂的时候，能够发生一定程度的拉伸和变形，属于可塑性断裂。
而脆性断裂，则是指在材料发生断裂时，无法发生显著的塑性变形，即属于不可塑性断裂。
五、塑性塑性是指在材料受到外力作用时发生的非弹性变形，可以分为一般塑性、温度塑性和蠕变塑性等。
材料的塑性受到许多因素的影响，如温度、内部缺陷等。
六、蠕变蠕变是指材料在常温和高温下，在一定应力作用下呈现出的随时间延长而发生的塑性变形。
材料力学-第9章 扭转
y
dy dx
z
剪应力成对定理
在两个互相垂直的平面
上，剪应力必然成对存在， 且数值相等，两者都垂直于
两个平面的交线，方向则共
x
同指向或共同背离这一交线 ，这就是剪应力成对定理（
dz
pairing principle of shear
stresses）。
第9章 扭转
剪应力互等定理与剪切胡克定律
d M x
dx GIp
第9章 扭转
圆轴扭转变形与刚度条件
受扭圆轴的刚度设计准则
为了机械运动的稳定和工作精度，机械设计中要根据不 同要求，对受扭圆轴的变形加以限制，亦即进行刚度设计。
扭转刚度设计是将单位长度上的相对扭转角限制在允许 的范围内，即必须使构件满足刚度设计准则或称刚度条件：
IP
max
Wp—— 扭转截面系数。
第9章 扭转
极惯性矩与抗扭截面系数
第9章 扭转
圆轴扭转横截面上的应力
极惯性矩Ｉp
I p
2dA 2dA A
扭转截面系数Ｗp
Wp
Ip r
Ip
d 4 32
0.1d 4
Wp
d 4 16
0.2d 4
其中d为圆截 面直径（d、D 为圆环内外径）
M xl
GIP
对于各段扭矩不等或截面极惯性矩不等的阶梯状圆轴， 轴两端面的相对扭转角为：
n M xili
i1 GI Pi
第9章 扭转
圆轴扭转变形与刚度条件
单位长度的相对扭转角
在很多情形下，两端面的相对扭矩角不能反映圆轴扭转 变形的程度，因而更多采用单位长度扭转角表示圆轴的扭转 变形，单位长度扭转角即扭转角的变化率。单位长度相对扭 转角为：
工程力学材料力学第九章.
[bS] =120MPa，钢板的许用拉应力 []=160MPa. 试校核铆钉
接头的强度.
t
t
F
F
t
F
F
b
t
F
F
F/4
F
b
F
F/4
剪切面
(1) 校核铆钉的剪切强度 每个铆钉受剪面上的剪力为
每个铆钉受力为 F/4 F
FQ 4 22.5kN
FQ FQ 112MPa
107MPa
2-2
FN 2 A2
3F 4 (b 2d )t
99.3MPa
整个接头是安全的
A lb
bs
Fbs Abs
F cb
bs 2
Fs A
4F
d 2
bs
Fbs Abs
F dh
为充分利用材料，切 应力和挤压应力应同时满 足强度条件
F
4F
dh 2 d 2
d 8h
剪切和挤压的实用计算
图示齿轮用平键与轴连接， 已知轴的直径d=70mm，键的尺寸 为 b h l 2012100mm，
或
bl
h 2
l
bs
bs
2b
h
2(20 103 )(28.6 106 ) 12 103
95.3106 Pa 95.3MPa [bs ]
平键满足强度要求。
目录
例题4 一销钉连接如图所示，
已知外力 F=18kN,被连接的构件
A 和 B 的厚度分别为 t=8mm 和
工程力学(材料力学部分第九章)
Pcr
2EI ( l)2
临界应力
cr
Pcr A
2EI ( l)2 A
将惯性矩写为
I i2A
i 惯性半径
cr
2Ei2 A ( l)2 A
2E l 2
i
16
将惯性矩写为
I i2A
i 惯性半径
cr
2Ei2 A ( l)2 A
2E
l
2
i
柔度 (长细比)
l
i
柔度 是压杆稳定问题中的一个重要参数，它全
5) 校核 n = Pcr /P nst 是否成立。
29
1 稳定校核问题
1) 计算 1 ， 2， ；
2) 确定属于哪一种杆(大柔度杆，中柔度杆， 小柔度杆) ；
3) 根据杆的类型求出 cr 和 Pcr ;
4) 计算杆所受到的实际压力 P； 5) 校核 n = Pcr /P nst 是否成立。 2 确定许可载荷 前3步同稳定校核问题； 4) P Pcr / nst 。
其中，A为杆中点的挠度。 l
A的数值不确定。
欧拉公式与精确解曲线
精确解曲线
P 1.152Pcr时，
0.3l
理想受压直杆 非理想受压直杆
11
§9. 3 其他支座条件下细长压杆的临界压力
1 一端固支一端自由的压杆 由两端铰支压杆的临界 压力公式
2EI
Pcr (2l)2
2 一端固支一端滑动固支 （简称为两端固支）
P
n2 2EI
l2
因为临界压力是微弯平衡状态下的最
小压力， 所以，应取 n = 1 。
Pcr
2EI
l2
欧拉公式
这就是两端铰支细长压杆的临界压力公式。
材料力学第9章
f
三、斜弯曲时的挠度 斜弯曲时梁的挠度，同样可用叠加原理计 算。 先求出 Py 引起的挠度 f y 和 PZ 引起的挠度 ， f fz 再按矢量合成求出总挠度 的大小和方向。
例 求如图所示悬臂梁自由端的挠度。 可查表得
fy p yl
3
o
m
x
y
3EI z
y
z
m
p z
j
pz l 3 fz 3EI y
N My Mz sD A Wy Wz
1.67 2.5 8 106
y
A
B
C
z
D
7.17 106 N / m2
二、截面核心
图a表示一受偏心压缩的短柱 将 P向轴线简化为图b：
M y PzP
M z PyP
(a)
x p
yp
zA
y
o zp
x
z
z
My o M
对于矩形截面杆，有
s max
N My Mz A Wy Wz
（9-7）
式中的符号由危险点处轴力和弯矩实际引 起的应力是拉还是压来决定。 危险点处于单向应力状态，其强度条件为
s max s
（9-8）
例 图为小型压力机示意图。其铸铁框架材料 [s ] 120MPa 。 许用拉应力[s ] 30MPa，许用压应力 试按立柱的强度确定压力机的最大许可压力P。 （立柱的截面尺寸如图b所示。）
N M y z0 s A Iy
p
m
n
My
即
P 0.425 P 7.5 102 30 106 150 104 5310 10 8
N
材料力学 第九章
)
D 3
Wp= 16 ( 1- 4 )
=d / D
41
§9–6圆轴扭转破坏与强度条件
一、扭转失效与扭转极限应力
低碳钢试件： 沿横截面断开。
铸铁试件： 沿与轴线约成45的 螺旋线断开。
42
在扭转实验中，塑性材料试件受扭时，首先屈服，在试 件表面出现横向与纵向的滑移线，继续增大扭转力偶， 试件沿横截面剪断；脆性试件没有变形很小，最后会在 与轴线成45o角的螺旋面发生断裂。
m2
m3
m1
m4
A T
– 4.78
B
C
– 9.56
n D
6.37
x
17
§9–3 切应力互等定理与剪切胡克定律
薄壁圆筒：壁厚
t
1 10
r0
（r0：为平均半径）
一、实验：
1.实验前： ①绘纵向线，圆周线； ②施加一对外力偶 m。
18
2.实验后： ①圆周线不变； ②纵向线变成斜直线。
3.结论：①圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改 变，只是绕轴线作了相对转动。
剪应变和扭转角之间的关系.
物性实验得到扭矩和扭转角之 间的线性关系.
对于线性材料引入剪切模量
变形大小
(材料常数,需事先给定)
27
§9–4 圆轴扭转截面上的应力
①变形几何方面
扭转圆轴横截面应力
②物理关系方面 ③静力学方面
一、等直圆杆扭转实验观察：
1. 横截面变形后 仍为平面；
2. 轴向无伸缩； 3. 纵向线变形后仍为平行。
m2 1
m3 2 m1
3 m4
x
T1 m2 4.78kN m
n
T2 m2 m3 0 ,
材料力学(双语)压杆稳定
y(0) = y′(0) = 0; y( L) = y′( L) = 0
M0 A = 0, B = − , kL = 2nπ P
∴ kL = 2nπ
and
kL = nπ
In order to determine the minimum critical pressure“k”must be the minimum value except zero, that is：
π 2 EI min Pcr = ( μL ) 2
General form of Euler’s formula of the critical pressure
μ—Leng1 Euler’s formula of the slender compressive column under various constraint conditions
6
10.2 Euler Formula of Critical Load
1. Critical pressure for the column with two hinged ends
Suppose the pressure has reached the critical value and the column has been in tiny bending state as shown in the figure. Start to determine the critical force with the deflective curve.
P cr =
π 2 EI
l
2
P P cr ≈ cr ≈ cr ≈ 2 P 2 (0.5l) (0.7l) (2l)2
π 2 EI
π 2 EI
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①Analysis of external forces：External forces are
reduced along the centroid of section and resolved along principal axes of inertia.
②Analysis of internal forces：Determine the internalforce equation and its diagram corresponding to each external force component and the critical section.
Mechanics of Materials
Chapter 9
Composite deformations
1
2
CHAPTER 9 COMPOSITE DEFORMATIONS
Skew a.斜交的
§9–1 SUMMARY
§9–2 SKEW BENDING
§9–3 COMBINATION OF BENDING AND
③Analysis of stresses：Plot the distribution
diagram of the stress in the critical section，do the superposition of the stresses and establish the strength condition of the critical point.
力
M y M cos j
Pz z
4
§9–1
SUMMARY
1、Composite deformation：
Structural members will produce several types of simple deformations when subjected to complex external loads . The stress corresponding to each simple deformation can not be neglected when the magnitude of each stress has the same order . This kind of deformation is called the composite deformation .
M z Py ( L x) P( L x) sinj M sinj
m z
x Pz P
M y M cos j
j
P
Pz
z
x y
m
L
Py
Py
y
17
解：1.将外载沿横截面的形心主轴分解 2.研究两个平面弯曲 ① 内
Py Psinj
Pz Pcos j
M z Py ( Lx) P( Lx)sinj M sinj
in the same plane.
transversal 横向的
2、Methods to study the skew bending：
1).Resolve：Resolve the external load along two centroid principal axes of inertia of the cross section and get two perpendicular planar bending .
P
R M P
P
z x
y
5
§9–1
概 述
一、组合变形 ：在复杂外载作用下，构件的变形会包含几种简
单变形，当几种变形所对应的应力属同一量级时，不能忽略
之，这类构件的变形称为组合变形。 P P
R
M P y
z x
6
P
hg
7
P
hg
8
P q
hg
Dam
9
P q
hg
水坝
10
2、Methods to study composite deformations— Principle of superposition
11
二、组合变形的研究方法 —— 叠加原理 ①外力分析：外力向形心(或弯心)简化并沿形心主惯性轴分解; ②内力分析：求每个外力分量对应的内力方程和内力图，确
定危险面。
③应力分析：画危险面应力分布图，叠加，建立危险点的强 度条件。
12
§9–2 SKEW BENDING transverse 横向的 1、Skew bending：After bending deformation , the deflection curve and the external forces（transversal forces） of the rod are not
TORSION
§9-4 BENDING AND TENSION OR COMPRESSION ECCENTRIC TENSION OR COMPRESSION KERNEL OF THE SECTION
3
第九章 组合变形
§9–1 概述
§9–2 斜弯曲
§9–3 弯曲与扭转的组合
§9-4 拉(压)弯组合 偏心拉（压） 截面核心
z x Pz
j
P
Pz
Py
z
Py2.叠加：对两个平面弯曲进行研究；然后将计算结果叠加起来。
z x Pz
j
P
Pz
Py
z
Py
y
P
y
Solution：1.Resolve the external force along the centroid principal axis of inertia of the cross section Py Psinj Pz Pcos j 2.Study the bending in two planes : ①Internal forces
z P
j
Pz
z x
Py
y y Pz P Py
13
§9–2 向力）不共面。 二、斜弯曲的研究方法 ：
斜弯曲
一、斜弯曲：杆件产生弯曲变形，但弯曲后，挠曲线与外力（横
1.分解：将外载沿横截面的两个形心主轴分解，于是得到两个正交 的平面弯曲。
z P
j
Pz Py y
z x Pz y P
Py
13 14
2).Sum：Analyze bending in two perpendicular planes and sum the results of the calculation.
reduced along the centroid of section and resolved along principal axes of inertia.
②Analysis of internal forces：Determine the internalforce equation and its diagram corresponding to each external force component and the critical section.
Mechanics of Materials
Chapter 9
Composite deformations
1
2
CHAPTER 9 COMPOSITE DEFORMATIONS
Skew a.斜交的
§9–1 SUMMARY
§9–2 SKEW BENDING
§9–3 COMBINATION OF BENDING AND
③Analysis of stresses：Plot the distribution
diagram of the stress in the critical section，do the superposition of the stresses and establish the strength condition of the critical point.
力
M y M cos j
Pz z
4
§9–1
SUMMARY
1、Composite deformation：
Structural members will produce several types of simple deformations when subjected to complex external loads . The stress corresponding to each simple deformation can not be neglected when the magnitude of each stress has the same order . This kind of deformation is called the composite deformation .
M z Py ( L x) P( L x) sinj M sinj
m z
x Pz P
M y M cos j
j
P
Pz
z
x y
m
L
Py
Py
y
17
解：1.将外载沿横截面的形心主轴分解 2.研究两个平面弯曲 ① 内
Py Psinj
Pz Pcos j
M z Py ( Lx) P( Lx)sinj M sinj
in the same plane.
transversal 横向的
2、Methods to study the skew bending：
1).Resolve：Resolve the external load along two centroid principal axes of inertia of the cross section and get two perpendicular planar bending .
P
R M P
P
z x
y
5
§9–1
概 述
一、组合变形 ：在复杂外载作用下，构件的变形会包含几种简
单变形，当几种变形所对应的应力属同一量级时，不能忽略
之，这类构件的变形称为组合变形。 P P
R
M P y
z x
6
P
hg
7
P
hg
8
P q
hg
Dam
9
P q
hg
水坝
10
2、Methods to study composite deformations— Principle of superposition
11
二、组合变形的研究方法 —— 叠加原理 ①外力分析：外力向形心(或弯心)简化并沿形心主惯性轴分解; ②内力分析：求每个外力分量对应的内力方程和内力图，确
定危险面。
③应力分析：画危险面应力分布图，叠加，建立危险点的强 度条件。
12
§9–2 SKEW BENDING transverse 横向的 1、Skew bending：After bending deformation , the deflection curve and the external forces（transversal forces） of the rod are not
TORSION
§9-4 BENDING AND TENSION OR COMPRESSION ECCENTRIC TENSION OR COMPRESSION KERNEL OF THE SECTION
3
第九章 组合变形
§9–1 概述
§9–2 斜弯曲
§9–3 弯曲与扭转的组合
§9-4 拉(压)弯组合 偏心拉（压） 截面核心
z x Pz
j
P
Pz
Py
z
Py2.叠加：对两个平面弯曲进行研究；然后将计算结果叠加起来。
z x Pz
j
P
Pz
Py
z
Py
y
P
y
Solution：1.Resolve the external force along the centroid principal axis of inertia of the cross section Py Psinj Pz Pcos j 2.Study the bending in two planes : ①Internal forces
z P
j
Pz
z x
Py
y y Pz P Py
13
§9–2 向力）不共面。 二、斜弯曲的研究方法 ：
斜弯曲
一、斜弯曲：杆件产生弯曲变形，但弯曲后，挠曲线与外力（横
1.分解：将外载沿横截面的两个形心主轴分解，于是得到两个正交 的平面弯曲。
z P
j
Pz Py y
z x Pz y P
Py
13 14
2).Sum：Analyze bending in two perpendicular planes and sum the results of the calculation.