高考复习资料,分教师版和学生版

高考语文总复习：修辞手法、表现手法、表达方式辨析（学生版+教师版）修辞手法、表现手法、表达方式辨析学生版修辞手法【知识卡片】修辞手法比喻比拟借代夸张对偶排比反问设问反复对比引用双关反语顶真通感用典互文叠字呼告讳饰（婉曲）仿词飞白回文列锦一、判断下面句子所用的修辞手法1、湖光秋月两相和，潭面无风镜未磨。

遥望洞庭山水色，白银盘里一青螺。

（刘禹锡《望洞庭》）（）2、草木知春不久归，百般红紫斗芳菲。

（韩愈《晚春》）3、陶尽门前土，屋上无片瓦。

十指不沾泥，鳞鳞居大厦。

（）4、自在飞花轻似梦，无边丝雨细如愁。

（秦观《浣溪纱》）（）5、有志者，事竟成，破釜沉舟，百二秦关终属楚（）6、水是眼波横，山是眉峰聚（）7、云间连下榻，天上接行杯（）8、迢迢牵牛星，皎皎河汉女。

（）9、开我东阁门，坐我西阁床。

（）10、一雨池塘水面平，淡磨明镜照檐楹。

（）11、只恐夜深花睡去，故烧高烛照红妆。

（）12、忽如一夜春风来，千树万树梨花开。

（）13、返咸阳，过宫墙；过宫墙，绕回廊；绕回廊，近椒房；近椒房，月昏黄；月昏黄，夜生凉。

（）14、昆山玉碎凤凰叫，芙蓉泣露香兰笑。

（）15、日月之行，若出其中；星汉灿烂，若出其里。

（）16、问人间谁是英雄？有酾酒临江，横槊曹公。

（）17、羌笛何须怨杨柳，春风不度玉门关。

（）18、凉月如眉挂柳湾，越中山色镜中看。

（）19、君不见黄河之水天上来，奔流到海不复回。

（）20、男儿何不带吴钩，收取关山五十州。

（）21、江东弟子今虽在，肯为君王卷土来？（）22、丞相祠堂何处寻？锦官城外柏森森。

（）23、五岭逶迤腾细浪，乌蒙磅礴走泥丸。

（）24、两岸青山相对出，孤帆一片日边来。

（）25、马跑得越快，离楚国不是越远吗？（）26、想当年，金戈铁马，气吞万里如虎。

（）27、举酒欲饮无管弦。

（）28、乱石穿空，惊涛拍岸，卷起千堆雪。

（）29、淡月梨花曲槛傍，清露苍苔罗袜凉。

恨他愁断肠，为他烧夜香。

——《凭栏人·春思》30、我失骄杨君失柳，杨柳轻飏直上重霄九。

二项式定理进门测判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)C k n a n－k b k是二项展开式的第k项．()(2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．()(3)(a＋b)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关．()(4)在(1－x)9的展开式中系数最大的项是第五、第六两项．()(5)若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，则a7＋a6＋…＋a1的值为128.()作业检查无第2课时阶段训练题型一二项展开式命题点1求二项展开式中的特定项或指定项的系数例1(1)(2x＋x)5的展开式中，x3的系数是______________．(用数字填写答案)(2)(x 2＋x ＋y )5的展开式中，x 5y 2的系数为( ) A ．10 B ．20 C ．30D ．60命题点2 已知二项展开式某项的系数求参数例2 (1)(a ＋x )(1＋x )4的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a ＝____________. (2)若⎝⎛⎭⎫ax 2＋1x 5的展开式中x 5的系数为－80，则实数a ＝________. (1)(x －y )(x ＋y )8的展开式中x 2y 7的系数为________．(用数字填写答案)(2)(x ＋a )10的展开式中，x 7的系数为15，则a ＝________.(用数字填写答案) 题型二 二项式系数的和或各项系数的和的问题 例3 在(2x －3y )10的展开式中，求： (1)二项式系数的和； (2)各项系数的和；(3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和； (4)奇数项系数和与偶数项系数和； (5)x 的奇次项系数和与x 的偶次项系数和．(1)设m 为正整数，(x ＋y )2m 展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y )2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b ，若13a ＝7b ，则m 等于( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8(2)若(1－2x )2 016＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2 016x 2 016，则a 12＋a 222＋…＋a 2 01622 016的结果是多少？题型三 二项式定理的应用例4 (1)设a ∈Z 且0≤a ＜13，若512 012＋a 能被13整除，则a 等于( ) A ．0 B ．1 C ．11 D ．12(2)1.028的近似值是________．(精确到小数点后三位)(1)1－90C 110＋902C 210－903C 310＋…＋(－1)k 90k C k 10＋…＋9010C 1010除以88的余数是( )A ．－1B ．1C ．－87D ．871．二项式定理二项式定理(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b 1＋…＋C k na n －k b k ＋…＋C n n b n (n ∈N *)二项展开式的通项公式T k ＋1＝C k n an －k b k，它表示第k ＋1项 二项式系数二项展开式中各项的系数C k n(k ∈{0,1,2，…，n })2.二项式系数的性质(1)C 0n ＝1，C n n＝1. C m n ＋1＝C m －1n＋C mn . (2)C m n ＝C n －mn.(3)n 是偶数时，12n T+项的二项式系数最大；n 是奇数时，12n T+与112n T++T 项的二项式系数相等且最大．(4)C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n＝2n . 阶段重难点梳理【知识拓展】二项展开式形式上的特点(1)项数为n ＋1.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.(4)二项式的系数从C0n，C1n，一直到C n－1n，C n n.典例(1)若(x－3x)n展开式的各项系数绝对值之和为1 024，则展开式中含x项的系数为________．(2)已知(x－m)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7的展开式中x4的系数是－35，则a1＋a2＋…＋a7＝________. 1．(x－y)n的二项展开式中，第m项的系数是()A．C m n B．C m＋1nC．C m－1n D．(－1)m－1C m－1n2．设i为虚数单位，则(x＋i)6的展开式中含x4的项为() A．－15x4B．15x4C．－20i x4D．20i x43．使(3x＋1x x)n(n∈N*)的展开式中含有常数项的最小的n值为() A．4 B．5 C．6 D．7重点题型训练4．在(x 2－3x )n的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是________．1．在x 2(1＋x )6的展开式中，含x 4项的系数为( ) A ．30 B ．20 C ．15 D ．102．已知⎝⎛⎭⎫x －ax 5的展开式中含32x 的项的系数为30，则a 等于( )A. 3 B ．－ 3 C ．6 D ．－63．(4x －2－x )6(x ∈R )展开式中的常数项是( ) A ．－20 B ．－15 C ．15D ．204．已知(1＋x )n 的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为( ) A ．29 B ．210 C ．211 D ．2125．若在(x ＋1)4(ax －1)的展开式中，x 4的系数为15，则a 的值为( ) A ．－4 B.52 C ．4 D.726．若(1＋x )＋(1＋x )2＋…＋(1＋x )n ＝a 0＋a 1(1－x )＋a 2(1－x )2＋…＋a n (1－x )n ，则a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋(－1)n a n 等于( ) A.34(3n －1) B.34(3n －2) 作业布置C.32(3n －2) D.32(3n －1) 7．若(x ＋a )2(1x －1)5的展开式中常数项为－1，则a 的值为( )A ．1B ．9C ．－1或－9D ．1或98．在(1－2x )6的展开式中，x 2的系数为________．(用数字作答) 9．⎝⎛⎭⎫x 2－1x 8的展开式中x 7的系数为________．(用数字作答) 10．在(2－x )6的展开式中，含x 3的二项式系数为________，系数为________．(均用数字作答) 11．若将函数f (x )＝x 5表示为f (x )＝a 0＋a 1(1＋x )＋a 2(1＋x )2＋…＋a 5(1＋x )5，其中a 0，a 1，a 2，…，a 5为实数，则a 3＝________.12．已知(1－2x )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7. 求：(1)a 1＋a 2＋…＋a 7； (2)a 1＋a 3＋a 5＋a 7； (3)a 0＋a 2＋a 4＋a 6； (4)|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|.13．求证：1＋2＋22＋…＋25n －1(n ∈N *)能被31整除．*14.若(x ＋412x)n 展开式中前三项的系数成等差数列，求：(1)展开式中所有x 的有理项； (2)展开式中系数最大的项．二项式定理判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)C k n an －k b k是二项展开式的第k 项．( × ) (2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．( × ) (3)(a ＋b )n 的展开式中某一项的二项式系数与a ，b 无关．( √ ) (4)在(1－x )9的展开式中系数最大的项是第五、第六两项．( × )(5)若(3x －1)7＝a 7x 7＋a 6x 6＋…＋a 1x ＋a 0，则a 7＋a 6＋…＋a 1的值为128.( × )题型一 二项展开式命题点1 求二项展开式中的特定项或指定项的系数阶段训练进门测例1 (1)(2x ＋x )5的展开式中，x 3的系数是______________．(用数字填写答案) (2)(x 2＋x ＋y )5的展开式中，x 5y 2的系数为( ) A ．10 B ．20 C ．30D ．60答案 (1)10 (2)C解析 (1)(2x ＋x )5展开式的通项公式T k ＋1＝C k 5(2x )5－k ·(x )k ＝C k 525－k52kx-，k ∈{0,1,2,3,4,5}，令5－k 2＝3，解得k ＝4，得T 5＝C 4525－445-2x＝10x 3，∴x 3的系数是10.(2)方法一 利用二项展开式的通项公式求解． (x 2＋x ＋y )5＝[(x 2＋x )＋y ]5，含y 2的项为T 3＝C 25(x 2＋x )3·y 2. 其中(x 2＋x )3中含x 5的项为C 13x 4·x ＝C 13x 5. 所以x 5y 2的系数为C 25C 13＝30.故选C.方法二 利用组合知识求解．(x 2＋x ＋y )5为5个x 2＋x ＋y 之积，其中有两个取y ，两个取x 2，一个取x 即可，所以x 5y 2的系数为C 25C 23＝30.故选C. 命题点2 已知二项展开式某项的系数求参数例2 (1)(a ＋x )(1＋x )4的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a ＝____________. (2)若⎝⎛⎭⎫ax 2＋1x 5的展开式中x 5的系数为－80，则实数a ＝________. 答案 (1)3 (2)－2解析 (1)设(a ＋x )(1＋x )4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，令x ＝1，得16(a ＋1)＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5，① 令x ＝－1，得0＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5.② ①－②，得16(a ＋1)＝2(a 1＋a 3＋a 5)，即展开式中x 的奇数次幂的系数之和为a 1＋a 3＋a 5＝8(a ＋1)，所以8(a ＋1)＝32，解得a ＝3.(2)∵T k ＋1＝C k 5(ax 2)5－k⎝⎛⎭⎫1x k ＝a 5－k C k 55102k x －，∴10－52k ＝5，解得k ＝2，∴a 3C 25＝－80，解得a ＝－2. 思维升华 求二项展开式中的特定项，一般是利用通项公式进行，化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k ＋1，代回通项公式即可．(1)(x －y )(x ＋y )8的展开式中x 2y 7的系数为________．(用数字填写答案)(2)(x ＋a )10的展开式中，x 7的系数为15，则a ＝________.(用数字填写答案) 答案 (1)－20 (2)12解析 (1)x 2y 7＝x ·(xy 7)，其系数为C 78， x 2y 7＝y ·(x 2y 6)，其系数为－C 68，∴x 2y 7的系数为C 78－C 68＝8－28＝－20.(2)设通项为T k ＋1＝C k 10x10－k a k ，令10－k ＝7， ∴k ＝3，∴x 7的系数为C 310a 3＝15， ∴a 3＝18，∴a ＝12.题型二 二项式系数的和或各项系数的和的问题例3 在(2x －3y )10的展开式中，求： (1)二项式系数的和； (2)各项系数的和；(3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和； (4)奇数项系数和与偶数项系数和； (5)x 的奇次项系数和与x 的偶次项系数和．解 设(2x －3y )10＝a 0x 10＋a 1x 9y ＋a 2x 8y 2＋…＋a 10y 10，(*)各项系数的和为a 0＋a 1＋…＋a 10，奇数项系数和为a 0＋a 2＋…＋a 10，偶数项系数和为a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 9，x 的奇次项系数和为a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 9，x 的偶次项系数和为a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 10. 由于(*)是恒等式，故可用“赋值法”求出相关的系数和．(1)二项式系数的和为C 010＋C 110＋…＋C 1010＝210.(2)令x ＝y ＝1，各项系数和为(2－3)10＝(－1)10＝1.(3)奇数项的二项式系数和为C 010＋C 210＋…＋C 1010＝29，偶数项的二项式系数和为C 110＋C 310＋…＋C 910＝29.(4)令x ＝y ＝1，得到a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10＝1，① 令x ＝1，y ＝－1(或x ＝－1，y ＝1)， 得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 10＝510，② ①＋②得2(a 0＋a 2＋…＋a 10)＝1＋510， ∴奇数项系数和为1＋5102；①－②得2(a 1＋a 3＋…＋a 9)＝1－510，∴偶数项系数和为1－5102.(5)x 的奇次项系数和为a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 9＝1－5102；x 的偶次项系数和为a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 10＝1＋5102.思维升华 (1)“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(ax ＋b )n ，(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ∈R )的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x ＝1即可；对形如(ax ＋by )n (a ，b ∈R )的式子求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可．(2)若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则f (x )展开式中各项系数之和为f (1)，奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝f (1)＋f (－1)2，偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝f (1)－f (－1)2.(1)设m 为正整数，(x ＋y )2m 展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y )2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b ，若13a ＝7b ，则m 等于( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 答案 B解析 由题意得a ＝C m 2m ，b ＝C m ＋12m ＋1，∴13C m 2m ＝7C m ＋12m ＋1，∴13·(2m )！m ！·m ！＝7·(2m ＋1)！m ！·(m ＋1)！， ∴7(2m ＋1)m ＋1＝13，解得m ＝6，经检验符合题意，故选B.(2)若(1－2x )2 016＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2 016x 2 016，则a 12＋a 222＋…＋a 2 01622 016的结果是多少？解 当x ＝0时，左边＝1，右边＝a 0，∴a 0＝1.当x ＝12时，左边＝0，右边＝a 0＋a 12＋a 222＋…＋a 2 01622 016，∴0＝1＋a 12＋a 222＋…＋a 2 01622 016.即a 12＋a 222＋…＋a 2 01622 016＝－1.题型三 二项式定理的应用例4 (1)设a ∈Z 且0≤a ＜13，若512 012＋a 能被13整除，则a 等于( ) A ．0 B ．1 C ．11 D ．12(2)1.028的近似值是________．(精确到小数点后三位) 答案 (1)D (2)1.172解析 (1)512 012＋a ＝(52－1)2 012＋a ＝C 02 012·522 012－C 12 012·522 011＋…＋C 2 0112 012×52·(－1)2 011＋C 2 0122 012·(－1)2 012＋a ，∵C 02 012·522 012－C 12 012·522 011＋…＋C 2 0112 012×52·(－1)2 011能被13整除且512 012＋a 能被13整除， ∴C 2 0122 012·(－1)2 012＋a ＝1＋a 也能被13整除，因此a 的值为12. (2)1.028＝(1＋0.02)8≈C 08＋C 18·0.02＋C 28·0.022＋C 38·0.023≈1.172.思维升华 (1)整除问题和求近似值是二项式定理中两类常见的应用问题，整除问题中要关注展开式的最后几项，而求近似值则应关注展开式的前几项．(2)二项式定理的应用基本思路是正用或逆用二项式定理，注意选择合适的形式．(1)1－90C 110＋902C 210－903C 310＋…＋(－1)k 90k C k 10＋…＋9010C 1010除以88的余数是( )A ．－1B ．1C ．－87D ．87 答案 B解析 1－90C 110＋902C 210－903C 310＋…＋(－1)k 90k C k 10＋…＋9010C 1010＝(1－90)10＝8910＝(88＋1)10＝8810＋C 110889＋…＋C 91088＋1，∵前10项均能被88整除，∴余数是1.(2)已知2n ＋2·3n ＋5n －a 能被25整除，求正整数a 的最小值． 解 原式＝4·6n ＋5n －a ＝4(5＋1)n ＋5n －a＝4(C 0n 5n ＋C 1n 5n －1＋…＋C n －2n 52＋C n －1n 5＋C n n)＋5n －a ＝4(C 0n 5n ＋C 1n 5n －1＋…＋C n －2n52)＋25n ＋4－a ， 显然正整数a 的最小值为4.1．二项式定理二项式定理(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b 1＋…＋C kna n －k b k ＋…＋C n n b n (n ∈N *)二项展开式的通项公式T k ＋1＝C k n an －k b k ，它表示第k ＋1项 二项式系数二项展开式中各项的系数C k n (k ∈{0,1,2，…，n })第3课时阶段重难点梳理2.二项式系数的性质(1)C 0n ＝1，C n n＝1. C m n ＋1＝C m －1n＋C m n . (2)C m n ＝C n －mn.(3)n 是偶数时，12n T+项的二项式系数最大；n 是奇数时，12n T+与112n T++T 项的二项式系数相等且最大．(4)C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n＝2n . 【知识拓展】二项展开式形式上的特点 (1)项数为n ＋1.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n ，即a 与b 的指数的和为n .(3)字母a 按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1直到零；字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n .(4)二项式的系数从C 0n ，C 1n ，一直到C n －1n ，C n n .典例 (1)若(x －3x )n 展开式的各项系数绝对值之和为1 024，则展开式中含x 项的系数为________．(2)已知(x －m )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7的展开式中x 4的系数是－35，则a 1＋a 2＋…＋a 7＝________. 错解展示解析 (1)(x ＋3x)n 展开式中，令x ＝1可得4n ＝1 024，∴n ＝5，重点题型训练∴(x －3x )n 展开式的通项T k ＋1＝(－3)k ·C k 5·532kx -，令5－3k2＝1，得k ＝1.故展开式中含x 项的系数为C 15＝5.(2)a 1＋a 2＋…＋a 7＝C 17＋C 27＋…＋C 77＝27－1.答案 (1)5 (2)27－1 现场纠错解析 (1)在(x ＋3x)n 的展开式中，令x ＝1，可得(x －3x )n 展开式的各项系数绝对值之和为4n ＝22n ＝1 024＝210，∴n ＝5.故(x －3x )5展开式的通项为T k ＋1＝(－3)k ·C k 5·532kx -，令5－3k2＝1，得k ＝1，故展开式中含x 项的系数为－15. (2)∵(x －m )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7， 令x ＝0，∴a 0＝(－m )7.又∵展开式中x 4的系数是－35，∴C 37·(－m )3＝－35， ∴m ＝1.∴a 0＝(－m )7＝－1.在(x －m )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7中， 令x ＝1，得0＝－1＋a 1＋a 2＋…＋a 7， 即a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 7＝1. 答案 (1)－15 (2)1纠错心得 和二项展开式有关的问题，要分清所求的是展开式中项的系数还是二项式系数，是系数和还是二项式系数的和.1．(x －y )n 的二项展开式中，第m 项的系数是( ) A ．C m nB ．C m ＋1nC ．C m －1nD ．(－1)m －1C m －1n答案 D解析 (x －y )n 展开式中第m 项的系数为C m －1n(－1)m －1. 2．设i 为虚数单位，则(x ＋i)6的展开式中含x 4的项为( ) A ．－15x 4 B ．15x 4 C ．－20i x 4 D ．20i x 4答案 A解析 由题可知，含x 4的项为C 26x 4i 2＝－15x 4.故选A.3．使(3x ＋1x x )n (n ∈N *)的展开式中含有常数项的最小的n 值为( )A ．4B ．5C ．6D ．7 答案 B解析 (3x ＋1x x)n的展开式中的第k ＋1项为C k n()323k n kx x-－＝C k n 3n －k·52k xn-.若展开式中含常数项，则存在n ∈N *，k ∈N ，使n －52k ＝0.故最小的n 值为5.4．在(x 2－3x )n的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是________．答案 7解析 由题意知n2＋1＝5，解得n ＝8，(x 2－3x )8的展开式的通项T k ＋1＝C k 8(x 2)8－k (－3x)k ＝(－1)k 2k －8C k 848-3k x，令8－4k3＝0，得k ＝6，则展开式中的常数项为(－1)626－8C 68＝7.1．在x 2(1＋x )6的展开式中，含x 4项的系数为( ) A ．30 B ．20 C ．15 D ．10 答案 C解析 因为(1＋x )6的展开式的第k ＋1项为T k ＋1＝C k 6x k ，x 2(1＋x )6的展开式中含x 4的项为C 26x 4＝15x 4，所以系数为15.2．已知⎝⎛⎭⎫x －ax 5的展开式中含32x 的项的系数为30，则a 等于( )A. 3 B ．－ 3 C ．6 D ．－6 答案 D作业布置解析 ⎝⎛⎭⎫x －a x 5的展开式通项T k ＋1＝C k 552k x -(－1)k a k ·2k x -＝(－1)k a k C k 552k x-，令52－k ＝32，则k ＝1，∴T 2＝－a C 1532x ，∴－a C 15＝30，∴a ＝－6，故选D. 3．(4x －2－x )6(x ∈R )展开式中的常数项是( ) A ．－20 B ．－15 C ．15 D ．20答案 C解析 设展开式中的常数项是第k ＋1项，则T k ＋1＝C k 6·(4x )6－k ·(－2－x )k ＝C k 6·(－1)k ·212x －2kx·2－kx＝C k 6·(－1)k ·212x－3kx，∵12x －3kx ＝0恒成立，∴k ＝4， ∴T 5＝C 46·(－1)4＝15. 4．已知(1＋x )n 的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为( ) A ．29 B ．210 C ．211 D ．212 答案 A解析 由题意，C 3n ＝C 7n ，解得n ＝10，则奇数项的二项式系数和为2n －1＝29.故选A. 5．若在(x ＋1)4(ax －1)的展开式中，x 4的系数为15，则a 的值为( ) A ．－4 B.52 C ．4 D.72答案 C解析 ∵(x ＋1)4(ax －1)＝(x 4＋4x 3＋6x 2＋4x ＋1)(ax －1)，∴x 4的系数为4a －1＝15，∴a ＝4. 6．若(1＋x )＋(1＋x )2＋…＋(1＋x )n ＝a 0＋a 1(1－x )＋a 2(1－x )2＋…＋a n (1－x )n ，则a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋(－1)n a n 等于( )A.34(3n －1) B.34(3n －2) C.32(3n －2) D.32(3n －1) 答案 D解析 在展开式中，令x ＝2，得3＋32＋33＋…＋3n ＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋(－1)n a n ， 即a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋(－1)na n ＝3(1－3n )1－3＝32(3n －1)． 7．若(x ＋a )2(1x －1)5的展开式中常数项为－1，则a 的值为( )A ．1B ．9C ．－1或－9D ．1或9答案 D解析 由于(x ＋a )2＝x 2＋2ax ＋a 2，而(1x －1)5的展开式通项为T k ＋1＝(－1)k C k 5·x k －5，其中k ＝0,1,2，…，5.于是(1x －1)5的展开式中x －2的系数为(－1)3C 35＝－10，x －1项的系数为(－1)4C 45＝5，常数项为－1，因此(x ＋a )2(1x －1)5的展开式中常数项为1×(－10)＋2a ×5＋a 2×(－1)＝－a 2＋10a －10，依题意－a 2＋10a －10＝－1，解得a 2－10a ＋9＝0，即a ＝1或a ＝9. 8．在(1－2x )6的展开式中，x 2的系数为________．(用数字作答) 答案 60解析 展开式的通项T k ＋1＝C k 6·16－k ·(－2x )k ＝C k 6(－2)k ·x k .令k ＝2，得T 3＝C 26·4x 2＝60x 2，即x 2的系数为60.9．⎝⎛⎭⎫x 2－1x 8的展开式中x 7的系数为________．(用数字作答)答案 －56解析 ⎝⎛⎭⎫x 2－1x 8的通项T k ＋1＝C k 8(x 2)8－k ⎝⎛⎭⎫－1x k ＝(－1)k C k 8x 16－3k ，当16－3k ＝7时，k ＝3，则x 7的系数为(－1)3C 38＝－56.10．在(2－x )6的展开式中，含x 3的二项式系数为________，系数为________．(均用数字作答) 答案 20 －160解析 (2－x )6展开式的通项T k ＋1＝C k 626－k (－x )k ， 令k ＝3，∴含x 3的二项式系数为C 36＝20，系数为C 36×23×(－1)3＝－160.11．若将函数f (x )＝x 5表示为f (x )＝a 0＋a 1(1＋x )＋a 2(1＋x )2＋…＋a 5(1＋x )5，其中a 0，a 1，a 2，…，a 5为实数，则a 3＝________.答案 10解析 f (x )＝x 5＝(1＋x －1)5，它的通项为T k ＋1＝C k 5(1＋x )5－k ·(－1)k ， T 3＝C 25(1＋x )3(－1)2＝10(1＋x )3，∴a 3＝10.12．已知(1－2x )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7.求：(1)a 1＋a 2＋…＋a 7；(2)a 1＋a 3＋a 5＋a 7；(3)a 0＋a 2＋a 4＋a 6；(4)|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|.解 令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝－1.①令x ＝－1，则a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＋a 6－a 7＝37.②(1)∵a 0＝C 07＝1，∴a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 7＝－2.(2)(①－②)÷2，得a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝－1－372＝－1 094.(3)(①＋②)÷2，得a 0＋a 2＋a 4＋a 6＝－1＋372＝1 093.(4)方法一 ∵(1－2x )7展开式中，a 0、a 2、a 4、a 6大于零，而a 1、a 3、a 5、a 7小于零， ∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|＝(a 0＋a 2＋a 4＋a 6)－(a 1＋a 3＋a 5＋a 7)＝1 093－(－1 094)＝2 187. 方法二 |a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|，即(1＋2x )7展开式中各项的系数和，令x ＝1， ∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|＝37＝2 187.13．求证：1＋2＋22＋…＋25n －1(n ∈N *)能被31整除． 证明 ∵1＋2＋22＋…＋25n －1＝25n －12－1＝25n －1＝32n －1＝(31＋1)n －1＝C 0n ×31n ＋C 1n ×31n －1＋…＋C n －1n ×31＋C n n －1 ＝31(C 0n ×31n －1＋C 1n ×31n －2＋…＋C n －1n )，显然C 0n ×31n －1＋C 1n ×31n －2＋…＋C n －1n 为整数， ∴原式能被31整除．*14.若(x)n 展开式中前三项的系数成等差数列，求：(1)展开式中所有x 的有理项；(2)展开式中系数最大的项．解 易求得展开式前三项的系数为1，12C 1n ，14C 2n .据题意得2×12C 1n ＝1＋14C 2n ⇒n ＝8.(1)设展开式中的有理项为T k ＋1， 由T k ＋1＝C k 8(x )8－k)k ＝(12)k C k 81634kx -，∴k 为4的倍数，又0≤k ≤8，∴k ＝0,4,8.故有理项为T 1＝(12)0C 0816304x -⨯＝x 4，T 5＝(12)4C 4816344x -⨯＝358x ，T 9＝(12)8C 8816384x -⨯＝1256x 2.(2)设展开式中T k ＋1项的系数最大，则⎩⎨⎧ (12)k C k 8≥(12)k ＋1C k ＋18，(12)k C k 8≥(12)k －1C k －18⇒k＝2或k ＝3. 故展开式中系数最大的项为T 3＝(12)2C 2816324x -⨯＝752x ，T 4＝(12)3C 3816334x -⨯＝774x .。

【学生版】微专题：对勾函数的变式与应用1、对勾函数的性质与图像对勾函数是一种类似于反比例函数的一般双曲函数，又被称为“双勾函数”、“勾函数”、“对号函数”、“双飞燕函数”；所谓的对勾函数，是形如：()bf x ax x=+（0ab >）的函数；对勾函数()b f x ax x =+，当0,0a b ≠≠时, 对勾函数()bf x ax x=+是正比例函数()f x ax =与反比例函数()bf x x=“叠加”而成的函数； （1）当,a b 同号时, 对勾函数()bf x ax x=+的图像形状酷似双勾；故称“对勾函数”；如下图所示：（2）当,a b 异号时, 对勾函数()bf x ax x=+的图像形状发生了变化，如下图所示：2、对勾函数的变式变式1、函数2()(0)ax bx cf x ac x++=>； 此类函数可变形为： 变式2、函数()(0,0)af x x a k x k=+>≠+； 此类函数可变形为：变式3、函数2()(0,0)axf x a b x b=≠>+； 此类函数可变形为：变式4、函数2()(0)ax bx cf x a x m++=≠+ 此类函数可变形为： 变式5、函数2()(0)x mf x a ax bx c+=≠++此类函数可变形为： 变式6、函数()f x=； 此类函数可变形为： 变式7、函数2()0)f x a =>；此类函数可变形为： 3、对勾函数的应用例1、求函数23()x f x x+=在下列条件下的值域：（1）()(,0)0,x ∈-∞+∞；（2）(2,3]x ∈ 【提示】； 【解析】； 【说明】；例2、求下列函数在(1,2]x ∈的值域：（1）21x y x =+；（2）232x x y x ++=；（3）()51f x x x =+-；【提示】； 【解析】； 【说明】；例3、求函数()3f x x =+的值域； 【答案】； 【解析】；例4、求函数2()f x =的最小值。

高中语文部编版必修上册文言文挖空训练《梦游天姥吟留别》海客谈瀛洲，烟涛微茫信（）难求；越人语（）天姥，云霞明灭或（）可睹。

天姥连天向天横，势拔五岳掩赤城。

天台一万八千丈，对此欲倒东南倾。

我欲因（）之梦吴越，一夜飞度（）镜湖月。

湖月照我影，送我至剡溪。

谢公宿处今尚在，渌水荡漾清猿啼。

脚著（）谢公屐，身登青云梯。

半壁见海日，空中闻天鸡。

千岩万转路不定，迷花倚石忽已暝。

熊咆龙吟殷岩泉，栗（活用：）深林兮惊（活用：）层巅。

云青青兮欲雨（活用：），水澹澹兮生烟。

列缺霹雳，丘峦崩摧。

洞天石扉，訇然中（活用：）开。

青冥浩荡不见底，日月照耀金银台。

霓为衣兮风为马，云之君兮纷纷而来下。

虎鼓（活用：）瑟兮鸾回（活用：）车，仙之人兮列如麻。

忽魂悸以魄动，恍惊起而长嗟。

惟觉时之枕席，失向来（）之烟霞。

世间行乐亦如此，古来万事东流水。

别君去兮何时还？且放白鹿青崖间，须行即骑访名山。

安（）能摧眉折腰事（）权贵，使我不得开心颜！《琵琶行》元和十年，予左迁（）九江郡司马。

明年（）秋，送客湓浦口，闻舟中夜弹琵琶者，听其音，铮铮然有京都声（）。

问其人，本长安倡女（），尝学琵琶于穆、曹二善才（），年长色衰，委身（）为（）贾人（）妇。

遂命酒，使快（）弹数曲。

曲罢悯然（），自叙少小时欢乐事，今漂沦（）憔悴，转徙于江湖间。

予出官（）二年，恬然（）自安，感斯人言，是夕始觉有迁谪（）意。

因为（）长句（），歌（）以赠之，凡（）六百一十六言，命（）曰《琵琶行》。

浔阳江头（）夜送客，枫叶荻花秋瑟瑟（）。

主人（）下马客在船，举酒欲饮无管弦（）。

醉不成欢惨将别，别时茫茫江浸月。

忽闻水上琵琶声，主人忘归客不发。

寻声暗（）问弹者谁？琵琶声停欲语迟。

移船相近邀相见，添酒回灯（）重开宴。

千呼万唤始出来，犹抱琵琶半遮面。

转轴拨弦（）三两声，未成曲调先有情。

弦弦掩抑（）声声思（），似诉平生不得志。

低眉信手（）续续（）弹，说尽心中无限事。

轻拢（）慢捻（）抹（）复挑（），初为《霓裳》（）后《六幺》（）。

随机事件的概率进门测判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)事件发生频率与概率是相同的．()(2)随机事件和随机试验是一回事．()(3)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值．()(4)两个事件的和事件是指两个事件都得发生．()(5)对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件．()(6)两互斥事件的概率和为1. ( )阶段训练题型一事件关系的判断例1(1)从1,2,3，…，7这7个数中任取两个数，其中：①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；②至少有一个是奇数和两个都是奇数；③至少有一个是奇数和两个都是偶数；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数．上述事件中，是对立事件的是()A．①B．②④C．③D．①③(2)设条件甲：“事件A与事件B是对立事件”，结论乙：“概率满足P(A)＋P(B)＝1”，则甲是乙的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(3)在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，若事件“2张全是移动卡”的概率是310，那么概率是710的事件是()A．至多有一张移动卡B．恰有一张移动卡C．都不是移动卡D．至少有一张移动卡从装有两个白球和两个黄球的口袋中任取2个球，以下给出了四组事件：①至少有1个白球与至少有1个黄球；②至少有1个黄球与都是黄球；③恰有1个白球与恰有1个黄球；④恰有1个白球与都是黄球．其中互斥而不对立的事件共有()A．0组B．1组C．2组D．3组题型二随机事件的频率与概率例2某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：(1)记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”，求P(A)的估计值；(2)记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”，求P(B)的估计值；(3)求续保人本年度的平均保费的估计值．某超市随机选取1 000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买.(1)估计顾客同时购买乙和丙的概率；(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；(3)如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？题型三互斥事件、对立事件的概率命题点1 互斥事件的概率例3 袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率是13，得到黑球或黄球的概率是512，得到黄球或绿球的概率也是512，试求得到黑球、黄球和绿球的概率各是多少？命题点2 对立事件的概率例4 某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖，一等奖，二等奖的事件分别为A ，B ，C ，求：(1)P (A )，P (B )，P (C )； (2)1张奖券的中奖概率；(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数相应的概率如下：求：(1)至多2人排队等候的概率；(2)至少3人排队等候的概率．1．概率和频率(1)在相同的条件S 下重复n 次试验，观察某一事件A 是否出现，称n 次试验中事件A 出现的次数n A 为事件A 出现的频数，称事件A 出现的比例f n (A )＝n An为事件A 出现的频率．(2)对于给定的随机事件A ，在相同条件下，随着试验次数的增加，事件A 发生的频率会在某个常数附近摆动并趋于稳定，我们可以用这个常数来刻画随机事件A 发生的可能性大小，并把这个常数称为随机事件A 的概率，记作P (A )． 2．事件的关系与运算定义符号表示包含关系如果事件A 发生，则事件B 一定发生，这时称事件B 包含事件A (或称事件A 包含于事件B )B ⊇A (或A ⊆B ) 相等关系若B ⊇A 且A ⊇BA ＝B 并事件(和事件)若某事件发生当且仅当事件A 发生或事件B 发生，称此事件为事件A 与事件B 的并事件(或和事件)A ∪B (或A ＋B )交事件 若某事件发生当且仅当事件A 发生且事件B 发生，则称此事件为事件A 与事件B 的交事件(或A ∩B (或AB )阶段重难点梳理(积事件)积事件)若A∩B为不可能事件(A∩B＝∅)，那么称事件A互斥事件A∩B＝∅与事件B互斥若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那P(A)＋P(B)＝1 对立事件么称事件A与事件B互为对立事件3.概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1.(2)必然事件的概率P(E)＝1.(3)不可能事件的概率P(F)＝0.(4)概率的加法公式如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．(5)对立事件的概率若事件A与事件B互为对立事件，则P(A)＝1－P(B)．【知识拓展】互斥事件与对立事件的区别与联系互斥事件与对立事件都是两个事件的关系，互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生，因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件．重点题型训练典例 某超市为了了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%. (1)确定x ，y 的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过．．．2分钟的概率．(将频率视为概率)1．从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数a ，从{1,2,3}中随机选取一个数b ，则b >a 的概率是( ) A.45 B.35 C.25 D.152．将一枚硬币向上抛掷10次，其中“正面向上恰有5次”是( ) A ．必然事件B ．随机事件C ．不可能事件D ．无法确定3．某射手在一次射击中，射中10环，9环，8环的概率分别为0.2,0.3,0.1，则此射手在一次射击中不超过8环的概率为( ) A ．0.5 B ．0.3 C ．0.6 D ．0.94．袋中装有9个白球，2个红球，从中任取3个球，则①恰有1个红球和全是白球；②至少有1个红球和全是白球；③至少有1个红球和至少有2个白球；④至少有1个白球和至少有1个红球．在上述事件中，是对立事件的为________．1．甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是12，甲获胜的概率是13，则甲不输的概率为( )A.56 B.25 C.16D.132．袋中装有3个白球，4个黑球，从中任取3个球，则①恰有1个白球和全是白球；②至少有1个白球和全是黑球；③至少有1个白球和至少有2个白球；④至少有1个白球和至少有1个黑球． 在上述事件中，是对立事件的为( ) A ．① B ．② C ．③ D ．④3．从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A ＝{抽到一等品}，事件B ＝{抽到二等品}，事件C ＝{抽到三等品}，且已知P (A )＝0.65，P (B )＝0.2，P (C )＝0.1，则事件“抽到的产品不是一等品”的概率作业布置为()A．0.7 B．0.65 C．0.35 D．0.54．有一个游戏，其规则是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个方向前进，每人一个方向．事件“甲向南”与事件“乙向南”是()A．互斥但非对立事件B．对立事件C．相互独立事件D．以上都不对5．从一篮子鸡蛋中任取1个，如果其重量小于30克的概率为0.3，重量在[30,40]克的概率为0.5，那么重量不小于30克的概率为()A．0.8 B．0.5 C．0.7 D．0.36．从存放的号码分别为1,2,3，…，10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一张卡片并记下号码，统计结果如下：则取到号码为奇数的卡片的频率是()A．0.53 B．0.5 C．0.47 D．0.377．在200件产品中，有192件一级品，8件二级品，则下列事件：①在这200件产品中任意选出9件，全部是一级品；②在这200件产品中任意选出9件，全部是二级品；③在这200件产品中任意选出9件，不全是二级品．其中________是必然事件；________是不可能事件；________是随机事件．8．若随机事件A，B互斥，A，B发生的概率均不等于0，且P(A)＝2－a，P(B)＝4a－5，则实数a 的取值范围是________________．9．在5张卡片上分别写有数字1,2,3,4,5，然后将它们混合，再任意排列成一行，则得到的数能被2或5整除的概率是________．10．一个口袋内装有大小相同的红球，白球和黑球，从中摸出一个球，摸出红球或白球的概率为0.58，摸出红球或黑球的概率为0.62，那么摸出红球的概率为________．11．某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：(1)若每辆车的投保金额均为2 800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4 000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4 000元的概率．12．国家射击队的队员为在射击世锦赛上取得优异成绩，正在加紧备战，经过近期训练，某队员射击一次命中7～10环的概率如下表所示：求该射击队员射击一次：(1)射中9环或10环的概率；(2)命中不足8环的概率．*13.一盒中装有12个球，其中5个红球，4个黑球，2个白球，1个绿球．从中随机取出1球，求：(1)取出1球是红球或黑球的概率；(2)取出1球是红球或黑球或白球的概率．随机事件的概率进门测判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)事件发生频率与概率是相同的．(×)(2)随机事件和随机试验是一回事．(×)(3)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值．(√)(4)两个事件的和事件是指两个事件都得发生．(×)(5)对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件．(√)(6)两互斥事件的概率和为1.(×)阶段训练题型一事件关系的判断例1(1)从1,2,3，…，7这7个数中任取两个数，其中：①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；②至少有一个是奇数和两个都是奇数； ③至少有一个是奇数和两个都是偶数； ④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数． 上述事件中，是对立事件的是( ) A ．① B ．②④ C ．③ D ．①③(2)设条件甲：“事件A 与事件B 是对立事件”，结论乙：“概率满足P (A )＋P (B )＝1”，则甲是乙的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(3)在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，若事件“2张全是移动卡”的概率是310，那么概率是710的事件是( )A ．至多有一张移动卡B ．恰有一张移动卡C ．都不是移动卡D ．至少有一张移动卡答案 (1)C (2)A (3)A解析 (1)③中“至少有一个是奇数”即“两个奇数或一奇一偶”，而从1～7中任取两个数根据取到数的奇偶性可认为共有三个事件：“两个都是奇数”、“一奇一偶”、“两个都是偶数”，故“至少有一个是奇数”与“两个都是偶数”是对立事件，易知其余都不是对立事件．(2)若事件A 与事件B 是对立事件，则A ∪B 为必然事件，再由概率的加法公式得P (A )＋P (B )＝1.设掷一枚硬币3次，事件A ：“至少出现一次正面”，事件B ：“3次出现正面”，则P (A )＝78，P (B )＝18，满足P (A )＋P (B )＝1，但A ，B 不是对立事件． (3)至多有一张移动卡包含“一张移动卡，一张联通卡”，“两张全是联通卡”两个事件，它是“2张全是移动卡”的对立事件．思维升华(1)准确把握互斥事件与对立事件的概念①互斥事件是不可能同时发生的事件，但可以同时不发生．②对立事件是特殊的互斥事件，特殊在对立的两个事件不可能都不发生，即有且仅有一个发生．(2)判别互斥、对立事件的方法判别互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件．从装有两个白球和两个黄球的口袋中任取2个球，以下给出了四组事件：①至少有1个白球与至少有1个黄球；②至少有1个黄球与都是黄球；③恰有1个白球与恰有1个黄球；④恰有1个白球与都是黄球．其中互斥而不对立的事件共有()A．0组B．1组C．2组D．3组答案 B解析①中“至少有1个白球”与“至少有1个黄球”可以同时发生，如恰好1个白球和1个黄球，①中的两个事件不是互斥事件．②中“至少有1个黄球”说明可以是1个白球和1个黄球或2个黄球，则两个事件不互斥．③中“恰有1个白球”与“恰有1个黄球”，都是指有1个白球和1个黄球，因此两个事件是同一事件．④中两事件不能同时发生，也可能都不发生，因此两事件是互斥事件，但不是对立事件，故选B.题型二随机事件的频率与概率例2 某险种的基本保费为a (单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：(1)记A 为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”，求P (A )的估计值；(2)记B 为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”，求P (B )的估计值；(3)求续保人本年度的平均保费的估计值．解 (1)事件A 发生当且仅当一年内出险次数小于2.由所给数据知，一年内出险次数小于2的频率为60＋50200＝0.55，故P (A )的估计值为0.55. (2)事件B 发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由所给数据知，一年内出险次数大于1且小于4的频率为30＋30200＝0.3，故P (B )的估计值为0.3.(3)由所给数据得调查的200名续保人的平均保费为0.85a×0.30＋a×0.25＋1.25a×0.15＋1.5a×0.15＋1.75a×0.10＋2a×0.05＝1.192 5a.因此，续保人本年度平均保费的估计值为1.192 5a.思维升华(1)概率与频率的关系频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率作为随机事件概率的估计值．(2)随机事件概率的求法利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数，这个常数就是概率．某超市随机选取1 000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买.(1)估计顾客同时购买乙和丙的概率；(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；(3)如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？ 解 (1)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙， 所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为2001 000＝0.2.(2)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中，有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品．所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为100＋2001 000＝0.3.(3)与(1)同理，可得：顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为2001 000＝0.2，顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为100＋200＋3001 000＝0.6，顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为1001 000＝0.1.所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大． 题型三 互斥事件、对立事件的概率 命题点1 互斥事件的概率例3 袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率是13，得到黑球或黄球的概率是512，得到黄球或绿球的概率也是512，试求得到黑球、黄球和绿球的概率各是多少？解 方法一 从袋中选取一个球，记事件“摸到红球”“摸到黑球”“摸到黄球”“摸到绿球”分别为A ，B ，C ，D ，则有P (A )＝13，P (B ∪C )＝P (B )＋P (C )＝512，P (C ∪D )＝P (C )＋P (D )＝512，P (B ∪C ∪D )＝P (B )＋P (C )＋P (D )＝1－P (A )＝1－13＝23，解得P (B )＝14，P (C )＝16，P (D )＝14，因此得到黑球、黄球、绿球的概率分别是14，16，14.方法二 设红球有n 个，则n 12＝13，所以n ＝4，即红球有4个． 又得到黑球或黄球的概率是512，所以黑球和黄球共5个． 又总球数是12，所以绿球有12－4－5＝3(个)．又得到黄球或绿球的概率也是512，所以黄球和绿球共5个，而绿球有3个，所以黄球有5－3＝2(个)．所以黑球有12－4－3－2＝3(个)． 因此得到黑球、黄球、绿球的概率分别是 312＝14，212＝16，312＝14. 命题点2 对立事件的概率例4 某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖，一等奖，二等奖的事件分别为A ，B ，C ，求：(1)P (A )，P (B )，P (C )；(2)1张奖券的中奖概率；(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率． 解 (1)P (A )＝11 000，P (B )＝101 000＝1100， P (C )＝501 000＝120.故事件A ，B ，C 的概率分别为11 000，1100，120. (2)1张奖券中奖包含中特等奖，一等奖，二等奖． 设“1张奖券中奖”这个事件为M ，则M ＝A ∪B ∪C . ∵A ，B ，C 两两互斥，∴P (M )＝P (A ∪B ∪C )＝P (A )＋P (B )＋P (C ) ＝1＋10＋501 000＝611 000.故1张奖券的中奖概率为611 000.(3)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N ，则事件N 与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件，∴P (N )＝1－P (A ∪B )＝1－⎝⎛⎭⎫11 000＋1100＝9891 000. 故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为9891 000.思维升华 求复杂事件的概率的两种方法求概率的关键是分清所求事件是由哪些事件组成的，求解时通常有两种方法： (1)将所求事件转化成几个彼此互斥的事件的和事件，利用概率加法公式求解概率；(2)若将一个较复杂的事件转化为几个互斥事件的和事件时，需要分类太多，而其对立面的分类较少，可考虑利用对立事件的概率公式，即“正难则反”．它常用来求“至少”或“至多”型事件的概率．经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数相应的概率如下：排队人数012345人及5人以上概率0.10.160.30.30.10.04求：(1)至多2人排队等候的概率；(2)至少3人排队等候的概率．解记“无人排队等候”为事件A，“1人排队等候”为事件B，“2人排队等候”为事件C，“3人排队等候”为事件D，“4人排队等候”为事件E，“5人及5人以上排队等候”为事件F，则事件A、B、C、D、E、F彼此互斥．(1)记“至多2人排队等候”为事件G，则G＝A＋B＋C，所以P(G)＝P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.(2)方法一记“至少3人排队等候”为事件H，则H＝D＋E＋F，所以P(H)＝P(D＋E＋F)＝P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44.方法二记“至少3人排队等候”为事件H，则其对立事件为事件G，所以P(H)＝1－P(G)＝0.44.1．概率和频率(1)在相同的条件S 下重复n 次试验，观察某一事件A 是否出现，称n 次试验中事件A 出现的次数n A 为事件A 出现的频数，称事件A 出现的比例f n (A )＝n An为事件A 出现的频率．(2)对于给定的随机事件A ，在相同条件下，随着试验次数的增加，事件A 发生的频率会在某个常数附近摆动并趋于稳定，我们可以用这个常数来刻画随机事件A 发生的可能性大小，并把这个常数称为随机事件A 的概率，记作P (A )． 2．事件的关系与运算若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那对立事件P(A)＋P(B)＝1么称事件A与事件B互为对立事件3.概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1.(2)必然事件的概率P(E)＝1.(3)不可能事件的概率P(F)＝0.(4)概率的加法公式如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．(5)对立事件的概率若事件A与事件B互为对立事件，则P(A)＝1－P(B)．【知识拓展】互斥事件与对立事件的区别与联系互斥事件与对立事件都是两个事件的关系，互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生，因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件．重点题型训练典例某超市为了了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.(1)确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过．．．2分钟的概率．(将频率视为概率)思想方法指导若某一事件包含的基本事件多，而它的对立事件包含的基本事件少，则可用“正难则反”思想求解．规范解答解(1)由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以x＝15，y＝20.[2分]该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为1×15＋1.5×30＋2×25＋2.5×20＋3×10100＝1.9(分钟)．[7分](2)记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A1，A2分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为2.5分钟”，“该顾客一次购物的结算时间为3分钟”，将频率视为概率得P(A1)＝20100＝15，P(A2)＝10100＝110.[10分]P(A)＝1－P(A1)－P(A2)＝1－15－110＝710.[12分]故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为710.[15分]1．从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数a ，从{1,2,3}中随机选取一个数b ，则b >a 的概率是( ) A.45 B.35 C.25 D.15 答案 D解析 基本事件的个数有5×3＝15，其中满足b >a 的有3种，所以b >a 的概率为315＝15.2．将一枚硬币向上抛掷10次，其中“正面向上恰有5次”是( ) A ．必然事件 B ．随机事件 C ．不可能事件 D ．无法确定答案 B解析 抛掷10次硬币正面向上的次数可能为0～10，都有可能发生，正面向上5次是随机事件． 3．某射手在一次射击中，射中10环，9环，8环的概率分别为0.2,0.3,0.1，则此射手在一次射击中不超过8环的概率为( ) A ．0.5 B ．0.3 C ．0.6 D ．0.9 答案 A解析 依题设知，此射手在一次射击中不超过8环的概率为1－(0.2＋0.3)＝0.5.4．袋中装有9个白球，2个红球，从中任取3个球，则①恰有1个红球和全是白球；②至少有1个红球和全是白球；③至少有1个红球和至少有2个白球；④至少有1个白球和至少有1个红球．在上述事件中，是对立事件的为________． 答案 ②解析 ①是互斥不对立的事件，②是对立事件，③④不是互斥事件.1．甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是12，甲获胜的概率是13，则甲不输的概率为( )A.56 B.25 C.16 D.13答案 A解析 事件“甲不输”包含“和棋”和“甲获胜”这两个互斥事件，所以甲不输的概率为12＋13＝56.2．袋中装有3个白球，4个黑球，从中任取3个球，则①恰有1个白球和全是白球；②至少有1个白球和全是黑球；③至少有1个白球和至少有2个白球；④至少有1个白球和至少有1个黑球． 在上述事件中，是对立事件的为( ) A ．① B ．② C ．③ D ．④ 答案 B解析 至少有1个白球和全是黑球不同时发生，且一定有一个发生． ∴②中两事件是对立事件．3．从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A ＝{抽到一等品}，事件B ＝{抽到二等品}，事件C ＝{抽到三等品}，且已知P (A )＝0.65，P (B )＝0.2，P (C )＝0.1，则事件“抽到的产品不是一等品”的概率为( )A ．0.7B ．0.65C ．0.35D ．0.5作业布置答案 C解析∵“抽到的产品不是一等品”与事件A是对立事件，∴所求概率P＝1－P(A)＝0.35.4．有一个游戏，其规则是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个方向前进，每人一个方向．事件“甲向南”与事件“乙向南”是()A．互斥但非对立事件B．对立事件C．相互独立事件D．以上都不对答案 A解析由于每人一个方向，故“甲向南”意味着“乙向南”是不可能的，故是互斥事件，但不是对立事件，故选A.5．从一篮子鸡蛋中任取1个，如果其重量小于30克的概率为0.3，重量在[30,40]克的概率为0.5，那么重量不小于30克的概率为()A．0.8 B．0.5 C．0.7 D．0.3答案 C解析由互斥事件概率公式知重量大于40克的概率为1－0.3－0.5＝0.2，又∵0.5＋0.2＝0.7，∴重量不小于30克的概率为0.7.6．从存放的号码分别为1,2,3，…，10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一张卡片并记下号码，统计结果如下：则取到号码为奇数的卡片的频率是( ) A ．0.53 B ．0.5 C ．0.47 D ．0.37 答案 A解析 取到号码为奇数的卡片的次数为13＋5＋6＋18＋11＝53，则所求的频率为53100＝0.53.故选A.7．在200件产品中，有192件一级品，8件二级品，则下列事件： ①在这200件产品中任意选出9件，全部是一级品； ②在这200件产品中任意选出9件，全部是二级品； ③在这200件产品中任意选出9件，不全是二级品．其中________是必然事件；________是不可能事件；________是随机事件． 答案 ③ ② ①8．若随机事件A ，B 互斥，A ，B 发生的概率均不等于0，且P (A )＝2－a ，P (B )＝4a －5，则实数a 的取值范围是________________． 答案 (54，43]解析 由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧0<P (A )<1，0<P (B )<1，P (A )＋P (B )≤1⇒⎩⎪⎨⎪⎧0<2－a <1，0<4a －5<13a －3≤1，⇒⎩⎪⎨⎪⎧1<a <2，54<a <32，a ≤43⇒54<a ≤43. 9．在5张卡片上分别写有数字1,2,3,4,5，然后将它们混合，再任意排列成一行，则得到的数能被2或5整除的概率是________． 答案 35解析个位数字共有5种情况，只有当个位数字取2,4,5时，得到的数才能被2或5整除，所以概率为3 5.10．一个口袋内装有大小相同的红球，白球和黑球，从中摸出一个球，摸出红球或白球的概率为0.58，摸出红球或黑球的概率为0.62，那么摸出红球的概率为________．答案0.2解析记事件A，B，C分别是摸出红球，白球和黑球，则A，B，C互为互斥事件且P(A＋B)＝0.58，P(A＋C)＝0.62，所以P(C)＝1－P(A＋B)＝0.42，P(B)＝1－P(A＋C)＝0.38，P(A)＝1－P(C)－P(B)＝1－0.38－0.42＝0.2.11．某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：(1)若每辆车的投保金额均为2 800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4 000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4 000元的概率．解(1)设A表示事件“赔付金额为3 000元”，B表示事件“赔付金额为4 000元”，以频率估计概率得P(A)＝1501 000＝0.15，P(B)＝1201 000＝0.12.由于投保金额为2 800元，赔付金额大于投保金额对应的情形是赔付金额为3 000元和4 000元，所以其概率为P(A)＋P(B)＝0.15＋0.12＝0.27.。

高考语文：文化常识试题精选40题！（教师版+学生版）【学生版】一、下列有关文学文化常识的表述，不正确的一项是(3分)A.“戊申晦”（《登泰山记》）兼用干支纪日法、月相纪日法。

“晦”是指农历每月的最后一日，此类纪日法依序还有朔、既望、望。

B.“予左迁九江郡司马”（《琵琶行》），古有贵右贱左之说，故称贬官为“左迁”。

白居易由京官贬黜至地方，因官职低而着“青衫”。

C.中国古典诗歌包括古体诗和近体诗。

“歌”“行”“吟”是古体诗的文学体裁；近体诗包括律诗和绝句，律诗二、四、六、八句押韵。

D.古人的名与字之间往往是有联系的，有的相同或相近，如姚鼐字姬传、白居易字乐天、苏轼字子瞻；有的含义相反，如韩愈字退之。

二、对文中所涉及的文学常识,下列说法不正确的一项是（）（3分）A．“唐宋八大家”是唐宋两代八个散文代表作家的称号，即唐代的韩愈、柳宗元和宋代的欧阳修、苏洵、苏轼、苏辙、王安石、曾巩。

B．进士，贡士参加殿试录为三甲都叫进士。

考中进士，一甲二甲即授官职，三甲学习三年再授官职。

C．博士，古为官名，秦汉时是掌管书籍文典、通晓史事的官职，后成为学术上专通一经或精通一艺、从事教授生徒的官职。

D．卒，这里指死亡之意。

据《礼记·曲礼》所记，天子死曰崩，诸侯死曰薨，大夫死曰卒，士曰不禄，庶人曰死。

三、下列对文中加点词语的相关内容的解说，不正确的一项是( )A．军旅，指军队，后引申为指有关军队及军队作战的事情。

文中便是军队作战之义。

B．家庙，指儒家为祖先立的庙。

古时有官爵者才能建家庙，作为祭祀祖先的场所。

C．拜舞，指跪拜与舞蹈，下跪叩首之后舞蹈而退，这是古代朝拜的一种礼节。

D．持节，指古代使臣奉命出行，必执符节以为凭证，也可指官名。

文中便是后者之义。

四、下列对文中加点的词语的解说，不正确的一项是（3分）（）A．“继室”指元配死后续娶的妻子，“继”意为“续娶”。

B．“一肩”意为“一担”，文中指砍柴的数量，“肩”指“担”。

高考语文语言文字运用（标点符号的用法与作用）学生版一、标点符号的用法（请判断下列各句中标点符号使用是否正确，将不正确的修改正确）1、这是临比赛胆怯呢？还是身体不舒服？（口诀：）2、安排工作了吗？这些新来的同志？（口诀：）3、除了他能去，谁呢，你吗，你能去吗？（口诀：）4、可爱的，我能不爱你吗，我怎么能不爱你呢？（口诀：）5、我们应该研究一下，这件事究竟应该怎么办？（口诀：）6、原子弹、氢弹的爆炸、人造卫星的发射、回收，标志着我国科学技术的发展达到新的水平。

（口诀：）7、中、小学生省、市领导城、乡交流工、农、兵调查、研究（口诀：）8、他三十六、七岁距这里二、三里这个小孩有四、五岁今天做值日的是四、五组（口诀：）9、他是一位有多年经验，工作积极性很高，非常优秀的教师。

（口诀：）10、随着年龄的增长，儿童会问“月亮为什么跟我走”、“天有多高”、“世界上为什么会有坏人”这些问题。

（口诀：）11、他长得那么英俊、那么潇洒、那么活力四射。

（口诀：）12、他多么英俊、多么潇洒、多么活力四射。

（口诀：）13、他的神色还是那么的安祥；他的举止还是那么凝重。

（口诀：）14、做要靠想来指导；想要靠做来实践。

（口诀：）15、做，要靠想来指导；想要靠做来实践。

（口诀：）16、张家界石峰林立，峭壁万仞；天子山居高临下，气势磅礴；索溪峪群峰环抱，雄壮高峻。

（口诀：）17、下午，他拣了好几件东西，两条长桌，四个椅子，一副香炉烛台，一杆台秤（口诀：）18、他不爱学习，喜欢体育，人缘挺好。

我知道的就这些。

（口诀：）19、“这个问题，”李明说：“让我好好考虑考虑。

”（口诀：）20、记者在一些家庭采访，不少家长反映：孩子作业多，作业时间长，有时做作业到深夜，这些情况在全国多处学校都存在。

（口诀：）21、标点复习要注意三点：一、概念，二、不套用情况：1、～2、～3、……（口诀：）22、毛泽东教导我们：“好好学习，天天向上”。

（口诀：）23、“好好学习，天天向上。

专题05 平面解析几何1．【2021年新高考1卷】已知1F ，2F 是椭圆C ：22194x y+=的两个焦点，点M 在C 上，则12MF MF ⋅的最大值为（ ）A ．13B ．12C ．9D ．6【答案】C【分析】本题通过利用椭圆定义得到1226MF MF a +==，借助基本不等式212122MF MF MF MF ⎛+⎫⋅≤ ⎪⎝⎭即可得到答案．【解析】由题，229,4a b ==，则1226MF MF a +==，所以2121292MF MF MF MF ⎛+⎫⋅≤= ⎪⎝⎭（当且仅当123MF MF ==时，等号成立）． 故选：C ．2．【2021年新高考2卷】抛物线22(0)y px p =>的焦点到直线1y x =+的距离为2，则p =（ ） A ．1 B ．2 C ．22 D ．4【答案】B【分析】首先确定抛物线的焦点坐标，然后结合点到直线距离公式可得p 的值. 【解析】抛物线的焦点坐标为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，其到直线10x y -+=的距离：012211pd -+==+，解得：2p =(6p =-舍去).故选：B. 3．【2022年新高考1卷】已知O 为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交C 于P ，Q 两点，则（ ）A ．C 的准线为B ．直线AB 与C 相切 C ．D ．【答案】BCD【分析】求出抛物线方程可判断A ，联立AB 与抛物线的方程求交点可判断B ，利用距离公式及弦长公式可判断C、D.【解析】将点的代入抛物线方程得，所以抛物线方程为，故准线方程为，A错误；，所以直线的方程为，联立，可得，解得，故B正确；设过的直线为，若直线与轴重合，则直线与抛物线只有一个交点，所以，直线的斜率存在，设其方程为，，联立，得，所以，所以或，，又，，所以，故C正确；因为，，所以，而，故D正确.故选：BCD 4．【2022年新高考2卷】已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点，若，则（）A．直线的斜率为B．C．D．【答案】ACD【分析】由及抛物线方程求得，再由斜率公式即可判断A选项；表示出直线的方程，联立抛物线求得，即可求出判断B选项；由抛物线的定义求出即可判断C选项；由，求得，为钝角即可判断D选项.【解析】对于A，易得，由可得点在的垂直平分线上，则点横坐标为，代入抛物线可得，则，则直线的斜率为，A 正确；对于B ，由斜率为可得直线的方程为，联立抛物线方程得，设，则，则，代入抛物线得，解得，则，则，B 错误；对于C ，由抛物线定义知：，C 正确；对于D ，，则为钝角， 又，则为钝角，又，则，D 正确.故选：ACD.5．【2021年新高考1卷】已知点P 在圆()()225516x y -+-=上，点()4,0A 、()0,2B ，则（ ）A ．点P 到直线AB 的距离小于10 B ．点P 到直线AB 的距离大于2C ．当PBA ∠最小时，32PB =D ．当PBA ∠最大时，32PB =【答案】ACD【分析】计算出圆心到直线AB 的距离，可得出点P 到直线AB 的距离的取值范围，可判断AB 选项的正误；分析可知，当PBA ∠最大或最小时，PB 与圆M 相切，利用勾股定理可判断CD 选项的正误.【解析】圆()()225516x y -+-=的圆心为()5,5M ，半径为4，直线AB 的方程为142x y +=，即240x y +-=，圆心M 到直线AB 的距离为2252541111545512+⨯-==>+，所以，点P 到直线AB 的距离的最小值为115425-<，最大值为1154105+<，A 选项正确，B 选项错误；如下图所示：当PBA ∠最大或最小时，PB 与圆M 相切，连接MP 、BM ，可知PM PB ⊥，()()22052534BM =-+-4MP =，由勾股定理可得2232BP BM MP =-=CD 选项正确.故选：ACD.【点睛】结论点睛：若直线l 与半径为r 的圆C 相离，圆心C 到直线l 的距离为d ，则圆C 上一点P 到直线l 的距离的取值范围是[],d r d r -+.6．【2021年新高考2卷】已知直线2:0l ax by r +-=与圆222:C x y r +=，点(,)A a b ，则下列说法正确的是（ ）A ．若点A 在圆C 上，则直线l 与圆C 相切B ．若点A 在圆C 内，则直线l 与圆C 相离 C ．若点A 在圆C 外，则直线l 与圆C 相离D ．若点A 在直线l 上，则直线l 与圆C 相切 【答案】ABD【分析】转化点与圆、点与直线的位置关系为222,a b r +的大小关系，结合点到直线的距离及直线与圆的位置关系即可得解. 【解析】圆心()0,0C 到直线l的距离2d =若点(),A a b 在圆C 上，则222a b r +=，所以2d r =，则直线l 与圆C 相切，故A 正确；若点(),A a b 在圆C 内，则222a b r +<，所以2d r =，则直线l 与圆C 相离，故B 正确；若点(),A a b 在圆C 外，则222a b r +>，所以2d r =，则直线l 与圆C 相交，故C 错误；若点(),A a b 在直线l 上，则2220a b r +-=即222=a b r +，所以2d r ，直线l 与圆C 相切，故D 正确.故选：ABD.7．【2020年新高考1卷（山东卷）】已知曲线22:1C mx ny +=.（ ） A ．若m >n >0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上 B ．若m =n >0，则CC ．若mn <0，则C是双曲线，其渐近线方程为y = D ．若m =0，n >0，则C 是两条直线 【答案】ACD【分析】结合选项进行逐项分析求解，0m n >>时表示椭圆，0m n =>时表示圆，0mn <时表示双曲线，0,0m n =>时表示两条直线.【解析】对于A ，若0m n >>，则221mx ny +=可化为22111x y m n +=， 因为0m n >>，所以11m n<， 即曲线C 表示焦点在y 轴上的椭圆，故A 正确；对于B ，若0m n =>，则221mx ny +=可化为221x y n+=， 此时曲线C 表示圆心在原点，半径为nn的圆，故B 不正确； 对于C ，若0mn <，则221mx ny +=可化为22111x y m n +=，此时曲线C 表示双曲线， 由220mx ny +=可得my x n=±-，故C 正确； 对于D ，若0,0m n =>，则221mx ny +=可化为21y n=， ny n=±，此时曲线C 表示平行于x 轴的两条直线，故D 正确； 故选：ACD.【点睛】本题主要考查曲线方程的特征，熟知常见曲线方程之间的区别是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养. 8．【2022年新高考1卷】写出与圆和都相切的一条直线的方程________________． 【答案】或或【分析】先判断两圆位置关系，分情况讨论即可. 【解析】圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，两圆圆心距为，等于两圆半径之和，故两圆外切，如图，当切线为l时，因为，所以，设方程为O到l的距离，解得，所以l的方程为，当切线为m时，设直线方程为，其中，，由题意，解得，当切线为n时，易知切线方程为，故答案为：或或.9．【2022年新高考1卷】已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长是________________．【答案】13【分析】利用离心率得到椭圆的方程为，根据离心率得到直线的斜率，进而利用直线的垂直关系得到直线的斜率，写出直线的方程：，代入椭圆方程，整理化简得到：，利用弦长公式求得，得，根据对称性将的周长转化为的周长，利用椭圆的定义得到周长为.【解析】∵椭圆的离心率为，∴，∴，∴椭圆的方程为，不妨设左焦点为，右焦点为，如图所示，∵，∴，∴为正三角形，∵过且垂直于的直线与C交于D，E两点，为线段的垂直平分线，∴直线的斜率为，斜率倒数为，直线的方程：，代入椭圆方程，整理化简得到：，判别式，∴，∴，得，∵为线段的垂直平分线，根据对称性，，∴的周长等于的周长，利用椭圆的定义得到周长为.故答案为：13.10．【2022年新高考2卷】设点，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则a的取值范围是________．【答案】【分析】首先求出点关于对称点的坐标，即可得到直线的方程，根据圆心到直线的距离小于等于半径得到不等式，解得即可；【解析】解：关于对称的点的坐标为，在直线上，所以所在直线即为直线，所以直线为，即；圆，圆心，半径，依题意圆心到直线的距离，即，解得，即；故答案为：11．【2022年新高考2卷】已知直线l 与椭圆在第一象限交于A ，B 两点，l 与x轴，y 轴分别交于M ，N 两点，且，则l 的方程为___________．【答案】【分析】令的中点为，设，，利用点差法得到，设直线，，，求出、的坐标，再根据求出、，即可得解； 【解析】解：令的中点为，因为，所以，设，，则，，所以，即所以，即，设直线，，，令得，令得，即，，所以， 即，解得或（舍去），又，即，解得或（舍去），所以直线，即；故答案为：12．【2021年新高考1卷】已知O 为坐标原点，抛物线C ：22y px =(0p >)的焦点为F ，P为C 上一点，PF 与x 轴垂直，Q 为x 轴上一点，且PQ OP ⊥，若6FQ =，则C 的准线方程为______. 【答案】32x =-【分析】先用坐标表示P Q ，，再根据向量垂直坐标表示列方程，解得p ，即得结果. 【解析】抛物线C ：22y px = (0p >)的焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭,∵P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直， 所以P 的横坐标为2p ，代入抛物线方程求得P 的纵坐标为p ±,不妨设(,)2pP p ,因为Q 为x 轴上一点，且PQ OP ⊥，所以Q 在F 的右侧， 又||6FQ =，(6,0),(6,)2pQ PQ p ∴+∴=- 因为PQ OP ⊥，所以PQ OP ⋅=2602pp ⨯-=, 0,3p p >∴=，所以C 的准线方程为32x =-故答案为：32x =-.【点睛】利用向量数量积处理垂直关系是本题关键.13．【2021年新高考2卷】若双曲线22221x y a b -=的离心率为2，则此双曲线的渐近线方程___________.【答案】y =【分析】根据离心率得出2c a =，结合222+=a b c 得出,a b 关系，即可求出双曲线的渐近线方程.【解析】由题可知，离心率2ce a==，即2c a =，又22224a b c a +==，即223b a =，则ba=故此双曲线的渐近线方程为y =.故答案为：y =.14．【2020年新高考1卷（山东卷）C ：y 2=4x 的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则AB =________． 【答案】163【分析】先根据抛物线的方程求得抛物线焦点坐标，利用点斜式得直线方程，与抛物线方程联立消去y 并整理得到关于x 的二次方程，接下来可以利用弦长公式或者利用抛物线定义将焦点弦长转化求得结果.【解析】∵抛物线的方程为24y x =，∴抛物线的焦点F 坐标为(1,0)F ， 又∵直线AB 过焦点F 且斜率为3，∴直线AB 的方程为：3(1)y x =- 代入抛物线方程消去y 并化简得231030x x -+=，解法一：解得121,33x x == ，所以212116||1||13|3|33AB k x x =+-=+⋅-=解法二：10036640∆=-=>，设1122(,),(,)A x y B x y ，则12103x x +=, 过,A B 分别作准线1x =-的垂线，设垂足分别为,C D 如图所示. 12||||||||||11AB AF BF AC BD x x =+=+=+++1216+2=3x x =+故答案为：163【点睛】本题考查抛物线焦点弦长，涉及利用抛物线的定义进行转化，弦长公式，属基础题. 15．【2022年新高考1卷】已知点在双曲线上，直线l 交C 于P ，Q 两点，直线的斜率之和为0．(1)求l 的斜率； (2)若，求的面积．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）由点在双曲线上可求出，易知直线l的斜率存在，设，，再根据，即可解出l的斜率；（2）根据直线的斜率之和为0可知直线的倾斜角互补，再根据即可求出直线的斜率，再分别联立直线与双曲线方程求出点的坐标，即可得到直线的方程以及的长，由点到直线的距离公式求出点到直线的距离，即可得出的面积．【解析】(1)因为点在双曲线上，所以，解得，即双曲线易知直线l的斜率存在，设，，联立可得，，所以，，．所以由可得，，即，即，所以，化简得，，即，所以或，当时，直线过点，与题意不符，舍去，故．(2)不妨设直线的倾斜角为，因为，所以，因为，所以，即，即，解得，于是，直线，直线，联立可得，，因为方程有一个根为，所以，，同理可得，，．所以，，点到直线的距离，故的面积为．16．【2022年新高考2卷】已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为．(1)求C的方程；(2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点在C上，且．过P且斜率为的直线与过Q且斜率为的直线交于点M.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：①M在上；②；③．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.【答案】(1)；(2)见解析【分析】（1）利用焦点坐标求得的值，利用渐近线方程求得的关系，进而利用的平方关系求得的值，得到双曲线的方程；（2）先分析得到直线的斜率存在且不为零，设直线AB的斜率为k,M(x0,y0),由③|AM|=| BM|等价分析得到；由直线和的斜率得到直线方程，结合双曲线的方程，两点间距离公式得到直线PQ的斜率，由②等价转化为，由①在直线上等价于，然后选择两个作为已知条件一个作为结论，进行证明即可.【解析】(1)右焦点为，∴,∵渐近线方程为，∴，∴，∴，∴，∴．∴C的方程为：；(2)由已知得直线的斜率存在且不为零，直线的斜率不为零，若选由①②推③或选由②③推①：由②成立可知直线的斜率存在且不为零；若选①③推②，则为线段的中点，假若直线的斜率不存在，则由双曲线的对称性可知在轴上，即为焦点,此时由对称性可知、关于轴对称，与从而，已知不符；总之，直线的斜率存在且不为零.设直线的斜率为,直线方程为,则条件①在上，等价于；两渐近线的方程合并为,联立消去y并化简整理得：设,线段中点为,则,设,则条件③等价于,移项并利用平方差公式整理得：，,即,即；由题意知直线的斜率为, 直线的斜率为,∴由,∴,所以直线的斜率,直线,即,代入双曲线的方程,即中，得：,解得的横坐标：,同理：，∴∴, ∴条件②等价于，综上所述：条件①在上，等价于；条件②等价于；条件③等价于；选①②推③:由①②解得：,∴③成立；选①③推②：由①③解得：，，∴，∴②成立；选②③推①：由②③解得：，，∴，∴，∴①成立.17．【2021年新高考1卷】在平面直角坐标系xOy 中，已知点()117,0F -、()21217,02F MF MF -=，，点M 的轨迹为C .（1）求C 的方程； （2）设点T 在直线12x =上，过T 的两条直线分别交C 于A 、B 两点和P ，Q 两点，且TA TB TP TQ ⋅=⋅，求直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和.【答案】（1）()221116y x x -=≥；（2）0. 【分析】(1) 利用双曲线的定义可知轨迹C 是以点1F 、2F 为左、右焦点双曲线的右支，求出a 、b 的值，即可得出轨迹C 的方程；(2)方法一：设出点的坐标和直线方程，联立直线方程与曲线C 的方程，结合韦达定理求得直线的斜率，最后化简计算可得12k k +的值. 【解析】(1) 因为12122217MF MF F F -=<=，所以，轨迹C 是以点1F 、2F 为左、右焦点的双曲线的右支，设轨迹C 的方程为()222210,0x y a b a b -=>>，则22a =，可得1a =，2174b a =-=，所以，轨迹C 的方程为()221116y x x -=≥.（2）[方法一] 【最优解】：直线方程与双曲线方程联立，如图所示，设1(,)2T n ,设直线AB 的方程为112211(),,(2,(),)y n k x A x y B x y -=-．联立1221()2116y n k x y x ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩,化简得22221111211(16)(2)1604k x k k n x k n k n -+---+-=.则22211112122211111624,1616k n k n k k n x x x x k k +-+-+==--．故12,11||)||)22TA x TB x --．则222111221(12)(1)11||||(1)()()2216n k TA TB k x x k ++⋅=+--=-．设PQ 的方程为21()2y n k x -=-，同理22222(12)(1)||||16n k TP TQ k ++⋅=-． 因为TA TB TP TQ ⋅=⋅，所以22122212111616k k k k ++=--，化简得22121717111616k k +=+--，所以22121616k k -=-，即2212k k =．因为11k k ≠，所以120k k +=．[方法二] ：参数方程法设1(,)2T m ．设直线AB 的倾斜角为1θ，则其参数方程为111cos 2sin x t y m t θθ⎧=+⎪⎨⎪=+⎩，联立直线方程与曲线C 的方程2216160(1)x y x --≥=，可得222221111cos 116(cos )(sin 2sin )1604t m t t mt θθθθ+-++-=+，整理得22221111(16cos sin )(16cos 2sin )(12)0t m t m θθθθ-+--+=．设12,TA t TB t ==，由根与系数的关系得2212222111(12)12||||16cos sin 117cos t m m TA TB t θθθ-++⋅===--⋅．设直线PQ 的倾斜角为2θ，34,TP t TQ t ==，同理可得2342212||||117cos m T T t P Q t θ+⋅==-⋅ 由||||||||TA TB TP TQ ⋅=⋅，得2212cos cos θθ=．因为12θθ≠，所以12s o o s c c θθ=-．由题意分析知12θθπ+=．所以12tan tan 0θθ+=， 故直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和为0． [方法三]：利用圆幂定理因为TA TB TP TQ ⋅=⋅，由圆幂定理知A ，B ，P ，Q 四点共圆．设1(,)2T t ,直线AB 的方程为11()2y t k x -=-，直线PQ 的方程为21()2y t k x -=-,则二次曲线1212()()022k kk x y t k x y t --+--+=． 又由22116y x -=，得过A ，B ，P ，Q 四点的二次曲线系方程为：221212()()(1)0(0)2216k k y k x y t k x y t x λμλ--+--++--=≠，整理可得：[]2212121212()()()()16k x y k k xy t k k k k k x μμλλλλ++--+++-12(2)02y k k t m λ++-+=，其中21212()42k k t m t k k λμ⎡⎤=+-+-⎢⎥⎣⎦． 由于A ，B ，P ，Q 四点共圆，则xy 项的系数为0，即120k k +=.【整体点评】(2)方法一：直线方程与二次曲线的方程联立，结合韦达定理处理圆锥曲线问题是最经典的方法，它体现了解析几何的特征，是该题的通性通法，也是最优解； 方法二：参数方程的使用充分利用了参数的几何意义，要求解题过程中对参数有深刻的理解，并能够灵活的应用到题目中.方法三：圆幂定理的应用更多的提现了几何的思想，二次曲线系的应用使得计算更为简单.18．【2021年新高考2卷】已知椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>，右焦点为F ，（1）求椭圆C 的方程；（2）设M ，N 是椭圆C 上的两点，直线MN 与曲线222(0)x y b x +=>相切．证明：M ，N ，F 三点共线的充要条件是||MN =【答案】（1）2213x y +=；（2）证明见解析.【分析】（1）由离心率公式可得a =2b ，即可得解；（2）必要性：由三点共线及直线与圆相切可得直线方程，联立直线与椭圆方程可证MN充分性：设直线():,0MN y kx b kb =+<，由直线与圆相切得221b k =+，联立直线与椭圆方=1k =±，即可得解.【解析】（1）由题意，椭圆半焦距c =c e a ==，所以a = 又2221b a c =-=，所以椭圆方程为2213x y +=；（2）由（1）得，曲线为221(0)x y x +=>，当直线MN 的斜率不存在时，直线:1MN x =，不合题意； 当直线MN 的斜率存在时，设()()1122,,,M x y N x y ， 必要性：若M ，N ，F三点共线，可设直线(:MN y k x =即0kx y --=，由直线MN 与曲线221(0)x y x +=>1=，解得1k =±，联立(2213y x x y ⎧=±⎪⎨⎪+=⎩可得2430x -+=，所以1212324x x x x +=⋅=，所以MN 所以必要性成立；充分性：设直线():,0MN y kx b kb =+<即0kx y b -+=， 由直线MN 与曲线221(0)x y x +=>1=，所以221b k =+，联立2213y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()222136330k x kbx b +++-=， 所以2121222633,1313kb b x x x x k k -+=-⋅=++，所以MN ==()22310k -=，所以1k =±， 所以1k b =⎧⎪⎨=⎪⎩或1k b =-⎧⎪⎨=⎪⎩:MN y x=y x =-，所以直线MN 过点F ，M ，N ，F 三点共线，充分性成立； 所以M ，N ，F 三点共线的充要条件是||MN = 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是直线方程与椭圆方程联立及韦达定理的应用，注意运算的准确性是解题的重中之重.19．【2020年新高考1卷（山东卷）】已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>过点()2,1A ． （1）求C 的方程：（2）点M ，N 在C 上，且AM AN ⊥，AD MN ⊥，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得DQ 为定值．【答案】（1）22163x y +=；（2）详见解析.【分析】（1）由题意得到关于,,a b c 的方程组，求解方程组即可确定椭圆方程.（2）方法一：设出点M ，N 的坐标，在斜率存在时设方程为y kx m =+, 联立直线方程与椭圆方程，根据已知条件，已得到,m k 的关系，进而得直线MN 恒过定点，在直线斜率不存在时要单独验证，然后结合直角三角形的性质即可确定满足题意的点Q 的位置. 【解析】（1）由题意可得：22222411c aa b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得：2226,3a b c ===，故椭圆方程为：22163x y +=.(2)［方法一］：通性通法 设点()()1122,,,M x y N x y ，若直线MN 斜率存在时，设直线MN 的方程为：y kx m =+， 代入椭圆方程消去y 并整理得：()222124260kxkmx m +++-=，可得122412km x x k +=-+，21222612m x x k -=+，因为AM AN ⊥，所以·0AM AN =，即()()()()121222110x x y y --+--=， 根据1122,kx m y kx m y =+=+,代入整理可得：()()()()22121212140x x km k x x km ++--++-+=，所以()()()22222264121401212m km k km k m k k -⎛⎫++---+-+= ⎪++⎝⎭， 整理化简得()()231210k m k m +++-=，因为(2,1)A 不在直线MN 上，所以210k m +-≠，故23101k m k ++=≠，，于是MN 的方程为2133y k x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭()1k ≠，所以直线过定点直线过定点21,33P ⎛⎫- ⎪⎝⎭.当直线MN 的斜率不存在时，可得()11,N x y -， 由·0AM AN =得：()()()()111122110x x y y --+---=， 得()1221210x y -+-=，结合2211163x y +=可得：2113840x x -+=， 解得：123x =或22x =（舍）.此时直线MN 过点21,33P ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 令Q 为AP 的中点，即41,33Q ⎛⎫⎪⎝⎭，若D 与P 不重合，则由题设知AP 是Rt ADP △的斜边，故12DQ AP =， 若D 与P 重合，则12DQ AP =，故存在点41,33Q ⎛⎫⎪⎝⎭，使得DQ 为定值. ［方法二］【最优解】：平移坐标系将原坐标系平移，原来的O 点平移至点A 处，则在新的坐标系下椭圆的方程为22(2)(1)163x y +++=，设直线MN 的方程为4mx ny ．将直线MN 方程与椭圆方程联立得224240x x y y +++=，即22()2()0x mx ny x y mx ny y +++++=，化简得22(2)()(1)0n y m n xy m x +++++=，即2(2)()(1)0y y n m n m x x ⎛⎫⎛⎫+++++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．设()()1122,,,M x y N x y ，因为AM AN ⊥则1212AM AN y y k k x x ⋅=⋅112m n +==-+，即3m n =--． 代入直线MN 方程中得()340n y x x ---=．则在新坐标系下直线MN 过定点44,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则在原坐标系下直线MN 过定点21,33P ⎛⎫- ⎪⎝⎭．又AD MN ⊥，D 在以AP 为直径的圆上．AP 的中点41,33⎛⎫⎪⎝⎭即为圆心Q ．经检验，直线MN 垂直于x 轴时也成立．故存在41,33Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，使得1||||2DQ AP =．［方法三］：建立曲线系 A 点处的切线方程为21163x y ⨯⨯+=，即30x y +-=．设直线MA 的方程为11210k x y k --+=，直线MB 的方程为22210k x y k --+=，直线MN 的方程为0kx y m -+=．由题意得121k k ．则过A ，M ，N 三点的二次曲线系方程用椭圆及直线,MA MB 可表示为()()22112212121063x y k x y k k x y k λ⎛⎫+-+--+--+= ⎪⎝⎭（其中λ为系数）． 用直线MN 及点A 处的切线可表示为()(3)0kx y m x y μ-+⋅+-=（其中μ为系数）．即()()22112212121()(3)63x y k x y k k x y k kx y m x y λμ⎛⎫+-+--+--+=-++- ⎪⎝⎭． 对比xy 项、x 项及y 项系数得()()()121212(1),4(3),21(3).k k k k k m k k k m λμλμλμ⎧+=-⎪++=-⎨⎪+-=+⎩①②③将①代入②③，消去,λμ并化简得3210m k ++=，即2133m k =--．故直线MN 的方程为2133y k x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，直线MN 过定点21,33P ⎛⎫- ⎪⎝⎭．又AD MN ⊥，D 在以AP 为直径的圆上．AP 中点41,33⎛⎫⎪⎝⎭即为圆心Q ．经检验，直线MN 垂直于x 轴时也成立．故存在41,33Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，使得1||||2DQ AP ==．［方法四］：设()()1122,,,M x y N x y ．若直线MN 的斜率不存在，则()()1111,,,M x y N x y -． 因为AM AN ⊥，则0AM AN ⋅=，即()1221210x y -+-=．由2211163x y +=，解得123x =或12x =（舍）．所以直线MN 的方程为23x =．若直线MN 的斜率存在，设直线MN 的方程为y kx m =+，则()()()222122()6120x kx m k x x x x ++-=+--=．令2x =，则()()1222(21)(21)2212k m k m x x k +-++--=+．又()()221221262y m y y y y y k k -⎛⎫⎛⎫+-=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令1y =，则()()122(21)(21)1112k m k m y y k +--+---=+．因为AM AN ⊥，所以()()()()12122211AM AN x x y y ⋅=--+--2(21)(231)12k m k m k +-++=+0=，即21m k =-+或2133m k =--．当21m k =-+时，直线MN 的方程为21(2)1y kx k k x =-+=-+．所以直线MN 恒过(2,1)A ，不合题意；当2133m k =--时，直线MN 的方程为21213333y kx k k x ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭，所以直线MN 恒过21,33P ⎛⎫- ⎪⎝⎭．综上，直线MN 恒过21,33P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以||3AP =又因为AD MN ⊥，即AD AP ⊥，所以点D 在以线段AP 为直径的圆上运动．取线段AP 的中点为41,33Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则1||||2DQ AP =．所以存在定点Q ，使得||DQ 为定值．【整体点评】（2）方法一：设出直线MN 方程，然后与椭圆方程联立，通过题目条件可知直线过定点P ，再根据平面几何知识可知定点Q 即为AP 的中点，该法也是本题的通性通法； 方法二：通过坐标系平移，将原来的O 点平移至点A 处，设直线MN 的方程为4mx ny ，再通过与椭圆方程联立，构建齐次式，由韦达定理求出,m n 的关系，从而可知直线过定点P ，从而可知定点Q 即为AP 的中点，该法是本题的最优解；方法三：设直线:MN y kx m =+，再利用过点,,A M N 的曲线系，根据比较对应项系数可求出,m k 的关系，从而求出直线过定点P ，故可知定点Q 即为AP 的中点；方法四：同方法一，只不过中间运算时采用了一元二次方程的零点式赋值，简化了求解()()1222--x x 以及()()1211y y --的计算．20．【2020年新高考2卷（海南卷）】已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>过点M （2，3）,点A 为其左顶点，且AM 的斜率为12 ， （1）求C 的方程；（2）点N 为椭圆上任意一点，求△AMN 的面积的最大值.【答案】（1）2211612x y +=；（2）18.【分析】(1)由题意分别求得a ,b 的值即可确定椭圆方程；(2)首先利用几何关系找到三角形面积最大时点N 的位置，然后联立直线方程与椭圆方程，结合判别式确定点N 到直线AM 的距离即可求得三角形面积的最大值. 【解析】(1)由题意可知直线AM 的方程为：13(2)2y x -=-，即24-=-x y .当y =0时，解得4x =-，所以a =4，椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>过点M (2，3)，可得249116b +=，解得b 2=12.所以C 的方程：2211612x y +=.(2)设与直线AM 平行的直线方程为：2x y m -=，如图所示，当直线与椭圆相切时，与AM 距离比较远的直线与椭圆的切点为N ，此时△AMN 的面积取得最大值.联立直线方程2x y m -=与椭圆方程2211612x y +=，可得：()2232448m y y ++=， 化简可得：2216123480y my m ++-=，所以()221444163480m m ∆=-⨯-=，即m 2=64，解得m =±8，与AM 距离比较远的直线方程：28x y -=， 直线AM 方程为：24-=-x y ，点N 到直线AM 的距离即两平行线之间的距离， 利用平行线之间的距离公式可得：12514d ==+由两点之间距离公式可得||AM =.所以△AMN 的面积的最大值：1182⨯=.【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．【】专题05 平面解析几何1．【2021年新高考1卷】已知1F ，2F 是椭圆C ：22194x y+=的两个焦点，点M 在C 上，则12MF MF ⋅的最大值为（ ）A ．13B ．12C ．9D ．62．【2021年新高考2卷】抛物线22(0)y px p =>的焦点到直线1y x =+的距离为2，则p =（ ） A ．1B ．2C ．22D ．43．【2022年新高考1卷】已知O 为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交C 于P ，Q 两点，则（ ）A ．C 的准线为B ．直线AB 与C 相切 C ．D ．4．【2022年新高考2卷】已知O 为坐标原点，过抛物线焦点F 的直线与C 交于A ，B 两点，其中A 在第一象限，点，若，则（ ） A ．直线的斜率为B ．C ．D ．5．【2021年新高考1卷】已知点P 在圆()()225516x y -+-=上，点()4,0A 、()0,2B ，则（ ）A ．点P 到直线AB 的距离小于10 B ．点P 到直线AB 的距离大于2C ．当PBA ∠最小时，32PB =D ．当PBA ∠最大时，32PB =6．【2021年新高考2卷】已知直线2:0l ax by r +-=与圆222:C x y r +=，点(,)A a b ，则下列说法正确的是（ ）A ．若点A 在圆C 上，则直线l 与圆C 相切B ．若点A 在圆C 内，则直线l 与圆C 相离 C ．若点A 在圆C 外，则直线l 与圆C 相离D ．若点A 在直线l 上，则直线l 与圆C 相切7．【2020年新高考1卷（山东卷）】已知曲线22:1C mx ny +=.（ ） A ．若m >n >0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上 B ．若m =n >0，则C nC ．若mn <0，则C 是双曲线，其渐近线方程为my x n=±- D ．若m =0，n >0，则C 是两条直线 8．【2022年新高考1卷】写出与圆和都相切的一条直线的方程________________． 9．【2022年新高考1卷】已知椭圆，C 的上顶点为A ，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与C 交于D ，E 两点，，则的周长是________________． 10．【2022年新高考2卷】设点，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则a 的取值范围是________．11．【2022年新高考2卷】已知直线l 与椭圆在第一象限交于A ，B 两点，l 与x轴，y 轴分别交于M ，N 两点，且，则l 的方程为___________．12．【2021年新高考1卷】已知O 为坐标原点，抛物线C ：22y px =(0p >)的焦点为F ，P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，Q 为x 轴上一点，且PQ OP ⊥，若6FQ =，则C 的准线方程为______.13．【2021年新高考2卷】若双曲线22221x y a b -=的离心率为2，则此双曲线的渐近线方程___________.14．【2020年新高考1卷（山东卷）】斜率为3的直线过抛物线C ：y 2=4x 的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则AB =________． 15．【2022年新高考1卷】已知点在双曲线上，直线l 交C 于P ，Q 两点，直线的斜率之和为0．(1)求l 的斜率； (2)若，求的面积．16．【2022年新高考2卷】已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为．(1)求C 的方程；(2)过F 的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点，点在C 上，且．过P 且斜率为的直线与过Q 且斜率为的直线交于点M .从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立： ①M 在上；②；③．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.17．【2021年新高考1卷】在平面直角坐标系xOy 中，已知点()1F 、)2122F MF MF -=，，点M 的轨迹为C .（1）求C 的方程； （2）设点T 在直线12x =上，过T 的两条直线分别交C 于A 、B 两点和P ，Q 两点，且TA TB TP TQ ⋅=⋅，求直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和.18．【2021年新高考2卷】已知椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>，右焦点为F ，（1）求椭圆C 的方程；（2）设M ，N 是椭圆C 上的两点，直线MN 与曲线222(0)x y b x +=>相切．证明：M ，N ，F 三点共线的充要条件是||MN =19．【2020年新高考1卷（山东卷）】已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>过点()2,1A ． （1）求C 的方程：（2）点M ，N 在C 上，且AM AN ⊥，AD MN ⊥，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得DQ 为定值．20．【2020年新高考2卷（海南卷）】已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>过点M （2，3）,点A 为其左顶点，且AM 的斜率为12 ， （1）求C 的方程；（2）点N 为椭圆上任意一点，求△AMN 的面积的最大值.【】三年专题05 立体几何（选择题、填空题）（理科专用）1．【2022年新高考1卷】南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔时，相应水面的面积为；水位为海拔时，相应水面的面积为，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔上升到时，增加的水量约为（）（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】根据题意只要求出棱台的高，即可利用棱台的体积公式求出．【详解】依题意可知棱台的高为(m)，所以增加的水量即为棱台的体积．棱台上底面积，下底面积，∴．故选：C．2．【2022年新高考1卷】已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】设正四棱锥的高为，由球的截面性质列方程求出正四棱锥的底面边长与高的关系，由此确定正四棱锥体积的取值范围. 【详解】 ∵ 球的体积为，所以球的半径,设正四棱锥的底面边长为，高为，则，,所以，所以正四棱锥的体积，所以，当时，，当时，，所以当时，正四棱锥的体积取最大值，最大值为， 又时，，时，,所以正四棱锥的体积的最小值为， 所以该正四棱锥体积的取值范围是.故选：C.3．【2022年新高考2卷】已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可求出正三棱台上下底面所在圆面的半径，再根据球心距，圆面半径，以及球的半径之间的关系，即可解出球的半径，从而得出球的表面积． 【详解】设正三棱台上下底面所在圆面的半径，所以，即，设球心到上下底面的距离分别为，球的半径为，所以，，故或，即或，解得符合题意，所以球的表面积为．故选：A ．4．【2021年甲卷理科】2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m ），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A ，B ，C 三点，且A ，B ，C 在同一水平面上的投影,,A B C '''满足45AC B ∠'''=︒，。

等差数列一、知识梳理1．数列的定义:按照_________排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的________ 2、已知数列{a n}的前n项和S n，则a n＝________3．等差数列的定义：4、等差数列的通项公式：5．等差数列的前n项和公式：6、等差数列的前n项和公式与函数的关系：（1）（2）7、等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n＝a m＋________(n，m∈N*)．(2)若{a n}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则________.(3)若{a n}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为________.(4)若{a n}，{b n}是等差数列，则{pa n＋qb n}是________数列．(5)若{a n}是等差数列，公差为d，则a k，a k＋m，a k＋2m，…(k，m∈N*)是公差为________的等差数列．8．等差数列的前n项和的最值在等差数列{a n}中，a1>0，d<0，则S n存在最值；若a1<0，d>0，则S n存在最值．试一试1．若数列{a n}满足：a1＝19，a n＋1＝a n－3(n∈N*)，而数列{a n}的前n项和数值最大时，n 的值为．2．等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1＝2，S3＝12，则a6＝.3．设{a n }为等差数列，公差d ＝－2，S n 为其前n 项和，若S 10＝S 11，则a 1＝ .4．在等差数列{a n }中，已知a 4＋a 8＝16，则该数列前11项和S 11＝ .题型一 由数列的前几项求数列的通项 例1 写出下面各数列的一个通项公式：(1)3,5,7,9，…； (2)12，34，78，1516，3132； (3)－1，32，－13，34，－15，36，…； (4)3,33,333,3333，….题型二 由数列的前n 项和S n 求数列的通项例2 已知下面数列{a n }的前n 项和S n ，求{a n }的通项公式： (1)S n ＝2n 2－3n ； (2)S n ＝3n ＋b .题型三 等差数列基本量的运算例3 (1)在数列{a n }中，若a 1＝－2，且对任意的n ∈N *有2a n ＋1＝1＋2a n ，则数列{a n }前10项的和为 ．(2)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝ .跟踪训练 (1)若等差数列{a n }的前5项和S 5＝25，且a 2＝3，则a 7＝ . (2)记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝12，S 4＝20，则S 6＝ .(3)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 33－S 22＝1，则数列{a n }的公差是 ．题型四 等差数列的性质及应用例2 (1)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9＝ . (2)若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列的项数为 ．(3)S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝－2 014，S 2 0142 014－S 2 0082 008＝6，则S 2 016＝ .题型五 等差数列的判定与证明例3 已知数列{a n }中，a 1＝35，a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，数列{b n }满足b n ＝1a n －1(n ∈N *)．(1)求证：数列{b n }是等差数列；(2)求数列{a n }中的最大项和最小项，并说明理由．课堂练习：1．等差数列{a n}的前n项和为S n，已知S10＝0，S15＝25，则nS n的最小值为．2、已知数列{a n}的前n项和S n＝3n2－2n＋1，则其通项公式为．3、设数列{a n}是等差数列，若a3＋a4＋a5＝12，则a1＋a2＋…＋a7＝.4、已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S10＝10，S20＝30，则S30＝.5、已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足：a n＋2S n S n－1＝0(n≥2，n∈N*)，a1＝12，判断⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n与{a n}是否为等差数列，并说明你的理由．6、在等差数列{a n}中，2(a1＋a3＋a5)＋3(a7＋a9)＝54，则此数列前10项的和S10＝.7、在等差数列{a n}中，S10＝100，S100＝10，则S110＝.8、已知等差数列{a n}的首项a1＝20，公差d＝－2，则前n项和S n的最大值为．9、若等差数列{a n}满足a7＋a8＋a9>0，a7＋a10<0，则当n＝时，{a n}的前n项和最大．6.1等差数列作业1．已知直线(3m ＋1)x ＋(1－m )y －4＝0所过定点的横、纵坐标分别是等差数列{a n }的第一项与第二项，若b n ＝1a n ·a n ＋1，数列{b n }的前n 项和为T n ，则T 10＝ .2．设数列{a n }，{b n }都是等差数列，且a 1＝25，b 1＝75，a 2＋b 2＝100，则a 37＋b 37＝ .3．等差数列{a n }中，已知a 5>0，a 4＋a 7<0，则当{a n }的前n 项和S n 取到最大值时n 为 ．4、在等差数列{a n }中，a 1>0，a 10·a 11<0，若此数列的前10项和S 10＝36，前18项和S 18＝ 12，则数列{|a n |}的前18项和T 18的值是 ．5．已知递增的等差数列{a n }满足a 1＝1，a 3＝a 22－4，则a n ＝ .6、等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 5＋a 7＝4，a 6＋a 8＝－2，则当S n 取最大值时，n 的值是 ．7．已知数列{a n }中，a 1＝1且1a n ＋1＝1a n ＋13(n ∈N *)，则a 10＝ .8、已知数列{a n }为等差数列，若a 11a 10<－1，且它们的前n 项和S n 有最大值，则使S n >0的n的最大值为 ．9．设等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若对任意自然数n 都有S n T n ＝2n －34n －3，则a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4的值为 ．10．在等差数列{a n }中，a 1＝1，a 3＝－3.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)若数列{a n }的前k 项和S k ＝－35，求k 的值．11．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1<0，S 2 015＝0.(1)求S n 的最小值及此时n 的值； (2)求n 的取值集合，使其满足a n ≥S n .12．已知数列{a n }的各项均为正数，前n 项和为S n ，且满足2S n ＝a 2n ＋n －4(n ∈N *)．(1)求证：数列{a n }为等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式．13．已知数列{a n }中，a 1＝12，a n ＋1＝3a n a n ＋3.(1)求a n ； (2)设数列{b n }的前n 项和为S n ，且b n ·n (3－4a n )a n ＝1，求证：12≤S n <1.数列的概念及简单表示法一、知识梳理 1．数列的定义按照一定次序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．2、已知数列{a n }的前n 项和S n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1 (n ＝1)，S n －S n －1(n ≥2).3．等差数列的定义如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母 d 表示． 2．等差数列的通项公式如果等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，那么它的通项公式是a n ＝a 1＋(n －1)d . 3．等差中项如果A ＝a ＋b2，那么A 叫做a 与b 的等差中项．4．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n . (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d . (4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列．(5)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列．5．等差数列的前n 项和公式设等差数列{a n }的公差为d ，其前n 项和S n ＝n (a 1＋a n )2或S n ＝na 1＋n (n －1)2d .6．等差数列的前n 项和公式与函数的关系 S n ＝d2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n . 数列{a n }是等差数列⇔S n ＝An 2＋Bn (A 、B 为常数)． 7．等差数列的前n 项和的最值在等差数列{a n }中，a 1>0，d <0，则S n 存在最 大 值；若a 1<0，d >0，则S n 存在最 小 值．试一试1．若数列{a n }满足：a 1＝19，a n ＋1＝a n －3(n ∈N *)，而数列{a n }的前n 项和数值最大时，n的值为 ． 答案 7解析 ∵a n ＋1－a n ＝－3，∴数列{a n }是以19为首项，－3为公差的等差数列， ∴a n ＝19＋(n －1)×(－3)＝22－3n . ∵a 7＝22－21＝1>0，a 8＝22－24＝－2<0， ∴n ＝7时，数列{a n }的前n 项和最大．1．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，S 3＝12，则a 6＝ . 答案 12解析 由题意知a 1＝2，由S 3＝3a 1＋3×22×d ＝12，解得d ＝2，所以a 6＝a 1＋5d ＝2＋5×2＝12.2．设{a n }为等差数列，公差d ＝－2，S n 为其前n 项和，若S 10＝S 11，则a 1＝ . 答案 20解析 因为S 10＝S 11，所以a 11＝0. 又因为a 11＝a 1＋10d ，所以a 1＝20.3．在等差数列{a n }中，已知a 4＋a 8＝16，则该数列前11项和S 11＝ . 答案 88解析 S 11＝11(a 1＋a 11)2＝11(a 4＋a 8)2＝88.题型一 由数列的前几项求数列的通项 例1 写出下面各数列的一个通项公式： (1)3,5,7,9，…；(2)12，34，78，1516，3132，…； (3)－1，32，－13，34，－15，36，…；(4)3,33,333,3 333，….解 (1)各项减去1后为正偶数，所以a n ＝2n ＋1.(2)每一项的分子比分母少1，而分母组成数列21,22,23,24，…，所以a n ＝2n －12n .(3)奇数项为负，偶数项为正，故通项公式中含因子(－1)n ；各项绝对值的分母组成数列1,2,3,4，…；而各项绝对值的分子组成的数列中，奇数项为1，偶数项为3，即奇数项为2－1，偶数项为2＋1，所以a n ＝(－1)n ·2＋(－1)nn.也可写为a n＝⎩⎨⎧－1n，n 为正奇数，3n ，n 为正偶数.(4)将数列各项改写为93，993，9993，9 9993，…，分母都是3，而分子分别是10－1,102－1,103－1,104－1，…， 所以a n ＝13(10n －1)．思维升华 根据所给数列的前几项求其通项时，需仔细观察分析，抓住其几方面的特征：分式中分子、分母的各自特征；相邻项的联系特征；拆项后的各部分特征；符号特征，应多进行对比、分析，从整体到局部多角度观察、归纳、联想．题型二 由数列的前n 项和S n 求数列的通项例2 已知下面数列{a n }的前n 项和S n ，求{a n }的通项公式： (1)S n ＝2n 2－3n ； (2)S n ＝3n ＋b .解 (1)a 1＝S 1＝2－3＝－1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2－3n )－[2(n －1)2－3(n －1)]＝4n －5， 由于a 1也适合此等式，∴a n ＝4n －5. (2)a 1＝S 1＝3＋b ， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1 ＝(3n ＋b )－(3n －1＋b )＝2·3n －1. 当b ＝－1时，a 1适合此等式． 当b ≠－1时，a 1不适合此等式． ∴当b ＝－1时，a n ＝2·3n －1；当b ≠－1时，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3＋b ，n ＝1，2·3n －1，n ≥2.思维升华 数列的通项a n 与前n 项和S n 的关系是a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.当n ＝1时，a 1若适合S n －S n －1，则n ＝1的情况可并入n ≥2时的通项a n ；当n ＝1时，a 1若不适合S n －S n －1，则用分段函数的形式表示．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2－2n ＋1，则其通项公式为 ．答案 a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，6n －5，n ≥2解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12－2×1＋1＝2； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n 2－2n ＋1－[3(n －1)2－2(n －1)＋1] ＝6n －5，显然当n ＝1时，不满足上式．故数列的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，6n －5，n ≥2.题型一 等差数列基本量的运算例1 (1)在数列{a n }中，若a 1＝－2，且对任意的n ∈N *有2a n ＋1＝1＋2a n ，则数列{a n }前10项的和为 ．(2)(2013·课标全国Ⅰ改编)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝ .答案 (1)52(2)5 解析 (1)由2a n ＋1＝1＋2a n 得a n ＋1－a n ＝12， 所以数列{a n }是首项为－2，公差为12的等差数列， 所以S 10＝10×(－2)＋10×(10－1)2×12＝52. (2)由题意得a m ＝S m －S m －1＝2，a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝3，故d ＝1，因为S m ＝0，故ma 1＋m (m －1)2d ＝0， 故a 1＝－m －12， 因为a m ＋a m ＋1＝S m ＋1－S m －1＝5，故a m ＋a m ＋1＝2a 1＋(2m －1)d＝－(m －1)＋2m －1＝5，即m ＝5.思维升华 (1)等差数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题．(2)数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法．(1)若等差数列{a n }的前5项和S 5＝25，且a 2＝3，则a 7＝ .(2)记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝12，S 4＝20，则S 6＝ . (3)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 33－S 22＝1，则数列{a n }的公差是 ． 答案 (1)13 (2)48 (3)2解析 (1)由题意得S 5＝5(a 1＋a 5)2＝5a 3＝25，故a 3＝5，公差d ＝a 3－a 2＝2，a 7＝a 2＋5d ＝3＋5×2＝13.(2)∵S 4＝2＋6d ＝20，∴d ＝3，故S 6＝3＋15d ＝48.(3)∵S n ＝n (a 1＋a n )2，∴S n n ＝a 1＋a n 2，又S 33－S 22＝1， 得a 1＋a 32－a 1＋a 22＝1，即a 3－a 2＝2， ∴数列{a n }的公差为2.题型二 等差数列的性质及应用例2 (1)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9＝ .(2)若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列的项数为 ．(3)已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝－2 014，S 2 0142 014－S 2 0082 008＝6，则S 2 016＝ .答案 (1)45 (2)13 (3)2 016解析 (1)由{a n }是等差数列，得S 3，S 6－S 3，S 9－S 6为等差数列．即2(S 6－S 3)＝S 3＋(S 9－S 6)，得到S 9－S 6＝2S 6－3S 3＝45.(2)因为a 1＋a 2＋a 3＝34，a n －2＋a n －1＋a n ＝146，a 1＋a 2＋a 3＋a n －2＋a n －1＋a n ＝34＋146＝180，又因为a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝a 3＋a n －2，所以3(a 1＋a n )＝180，从而a 1＋a n ＝60，所以S n ＝n (a 1＋a n )2＝n ·602＝390，即n ＝13. (3)由等差数列的性质可得{S n n}也为等差数列，设其公差为d . 则S 2 0142 014－S 2 0082 008＝6d ＝6，∴d ＝1. 故S 2 0162 016＝S 11＋2 015d ＝－2 014＋2 015＝1， ∴S 2 016＝1×2 016＝2 016.思维升华 在等差数列{a n }中，数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 也成等差数列；{S n n}也是等差数列．等差数列的性质是解题的重要工具．(1)设数列{a n }是等差数列，若a 3＋a 4＋a 5＝12，则a 1＋a 2＋…＋a 7＝ .(2)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝10，S 20＝30，则S 30＝ . 答案 (1)28 (2)60解析 (1)∵a 3＋a 4＋a 5＝3a 4＝12，∴a 4＝4，∴a 1＋a 2＋…＋a 7＝7a 4＝28.(2)∵S 10，S 20－S 10，S 30－S 20成等差数列，∴2(S 20－S 10)＝S 10＋S 30－S 20，∴40＝10＋S 30－30，∴S 30＝60.题型三 等差数列的判定与证明例3 已知数列{a n }中，a 1＝35，a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，数列{b n }满足b n ＝1a n －1(n ∈N *)． (1)求证：数列{b n }是等差数列；(2)求数列{a n }中的最大项和最小项，并说明理由．(1)证明 因为a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)， b n ＝1a n －1(n ∈N *)， 所以b n ＋1－b n ＝1a n ＋1－1－1a n －1＝1(2－1a n)－1－1a n －1＝a n a n －1－1a n －1＝1. 又b 1＝1a 1－1＝－52. 所以数列{b n }是以－52为首项，1为公差的等差数列． (2)解 由(1)知b n ＝n －72， 则a n ＝1＋1b n ＝1＋22n －7. 设f (x )＝1＋22x －7， 则f (x )在区间(－∞，72)和(72，＋∞)上为减函数． 所以当n ＝3时，a n 取得最小值－1，当n ＝4时，a n 取得最大值3.思维升华 等差数列的四个判定方法：(1)定义法：证明对任意正整数n 都有a n ＋1－a n 等于同一个常数．(2)等差中项法：证明对任意正整数n 都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2后，可递推得出a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ＝a n －a n －1＝a n －1－a n －2＝…＝a 2－a 1，根据定义得出数列{a n }为等差数列．(3)通项公式法：得出a n ＝pn ＋q 后，得a n ＋1－a n ＝p 对任意正整数n 恒成立，根据定义判定数列{a n }为等差数列．(4)前n 项和公式法：得出S n ＝An 2＋Bn 后，根据S n ，a n 的关系，得出a n ，再使用定义法证明数列{a n }为等差数列．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足：a n ＋2S n S n －1＝0(n ≥2，n ∈N *)，a 1＝12，判断⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 与{a n }是否为等差数列，并说明你的理由． 解 因为a n ＝S n －S n －1(n ≥2)，又因为a n ＋2S n S n －1＝0，所以S n －S n －1＋2S n S n －1＝0(n ≥2)，所以1S n －1S n －1＝2(n ≥2)， 又因为S 1＝a 1＝12， 所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以2为首项，2为公差的等差数列． 所以1S n ＝2＋(n －1)×2＝2n ，故S n ＝12n. 所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12n －12(n －1)＝－12n (n －1)， 所以a n ＋1＝－12n (n ＋1)， 而a n ＋1－a n ＝－12n (n ＋1)－－12n (n －1)＝－12n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1－1n －1＝1n (n －1)(n ＋1). 所以当n ≥2时，a n ＋1－a n 的值不是一个与n 无关的常数，故数列{a n }不是一个等差数列．综上，可知⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列，{a n }不是等差数列．等差数列的前n 项和及其最值典例：(1)在等差数列{a n }中，2(a 1＋a 3＋a 5)＋3(a 7＋a 9)＝54，则此数列前10项的和S 10＝ .(2)在等差数列{a n }中，S 10＝100，S 100＝10，则S 110＝ .(3)已知等差数列{a n }的首项a 1＝20，公差d ＝－2，则前n 项和S n 的最大值为 ．(4)(2014·北京)若等差数列{a n }满足a 7＋a 8＋a 9>0，a 7＋a 10<0，则当n ＝ 时，{a n }的前n 项和最大．思维点拨 (1)求等差数列前n 项和，可以通过求解基本量a 1，d ，代入前n 项和公式计算，也可以利用等差数列的性质：a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝…；(2)求等差数列前n 项和的最值，可以将S n 化为关于n 的二次函数，求二次函数的最值，也可以观察等差数列的符号变化趋势，找最后的非负项或非正项．解析 (1)由题意得a 3＋a 8＝9，∴S 10＝10(a 1＋a 10)2＝10(a 3＋a 8)2＝10×92＝45. (2)方法一 设数列{a n }的公差为d ，首项为a 1，则⎩⎨⎧ 10a 1＋10×92d ＝100，100a 1＋100×992d ＝10，解得⎩⎨⎧ a 1＝1 099100，d ＝－1150.所以S 110＝110a 1＋110×1092d ＝－110. 方法二 因为S 100－S 10＝(a 11＋a 100)×902＝－90， 所以a 11＋a 100＝－2，所以S 110＝(a 1＋a 110)×1102＝(a 11＋a 100)×1102＝－110.(3)因为等差数列{a n }的首项a 1＝20，公差d ＝－2，代入求和公式得，S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝20n －n (n －1)2×2 ＝－n 2＋21n ＝－(n －212)2＋(212)2， 又因为n ∈N *，所以n ＝10或n ＝11时，S n 取得最大值，最大值为110.(4)∵a 7＋a 8＋a 9＝3a 8>0，∴a 8>0.∵a 7＋a 10＝a 8＋a 9<0，∴a 9<－a 8<0.∴数列的前8项和最大，即n ＝8.答案 (1)45 (2)－110 (3)110 (4)8温馨提醒 (1)利用函数思想求等差数列前n 项和S n 的最值时，要注意到n ∈N *；(2)利用等差数列的性质求S n ，突出了整体思想，减少了运算量.方法与技巧1．等差数列的判断方法(1)定义法：a n ＋1－a n ＝d (d 是常数)⇔{a n }是等差数列．(2)等差中项法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2 (n ∈N *)⇔{a n }是等差数列．(3)通项公式：a n ＝pn ＋q (p ，q 为常数)⇔{a n }是等差数列．(4)前n 项和公式：S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)⇔{a n }是等差数列．2．方程思想和化归思想：在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为a 1和d 等基本量，通过建立方程(组)获得解．3．等差数列性质灵活使用，可以大大减少运算量．4．在遇到三个数成等差数列问题时，可设三个数为(1)a ，a ＋d ，a ＋2d ；(2)a －d ，a ，a ＋d ；(3)a －d ，a ＋d ，a ＋3d 等，可视具体情况而定．失误与防范1．当公差d ≠0时，等差数列的通项公式是n 的一次函数，当公差d ＝0时，a n 为常数．2．公差不为0的等差数列的前n 项和公式是n 的二次函数，且常数项为0.若某数列的前n 项和公式是常数项不为0的二次函数，则该数列不是等差数列，它从第二项起成等差数列.课堂练习：4．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 10＝0，S 15＝25，则nS n 的最小值为 ． 答案 －49解析 由题意知a 1＋a 10＝0，a 1＋a 15＝103. 两式相减得a 15－a 10＝103＝5d ， ∴d ＝23，a 1＝－3. ∴nS n ＝n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫na 1＋n (n －1)2d ＝n 3－10n 23＝f (n )， 令f (x )＝x 3－10x 23，x >0， f ′(x )＝13x (3x －20)． 令f ′(x )＝0得x ＝0(舍)或x ＝203. 当x >203时，f (x )是单调递增的； 当0<x <203时，f (x )是单调递减的． 故当n ＝7时，f (n )取最小值，f (n )min ＝－49.∴nS n 的最小值为－49.A 组 专项基础训练(时间：40分钟)1．已知数列{a n }是等差数列，a 1＋a 7＝－8，a 2＝2，则数列{a n }的公差d ＝ . 答案 －3解析 方法一 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋(a 1＋6d )＝－8，a 1＋d ＝2，解得a 1＝5，d ＝－3.方法二 a 1＋a 7＝2a 4＝－8，∴a 4＝－4，∴a 4－a 2＝－4－2＝2d ，∴d ＝－3.2．已知直线(3m ＋1)x ＋(1－m )y －4＝0所过定点的横、纵坐标分别是等差数列{a n }的第一项与第二项，若b n ＝1a n ·a n ＋1，数列{b n }的前n 项和为T n ，则T 10＝ . 答案 1021 解析 依题意，将(3m ＋1)x ＋(1－m )y －4＝0化为(x ＋y －4)＋m (3x －y )＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －4＝0，3x －y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝3，所以直线(3m ＋1)x ＋(1－m )y －4＝0过定点(1,3)，所以a 1＝1，a 2＝3，所以公差d ＝2，a n ＝2n －1，所以b n ＝1a n ·a n ＋1＝12(12n －1－12n ＋1)，T 10＝12×(11－13＋13－15＋…＋120－1－120＋1)＝12×(11－121)＝1021. 3．设数列{a n }，{b n }都是等差数列，且a 1＝25，b 1＝75，a 2＋b 2＝100，则a 37＋b 37＝ . 答案 100解析 设{a n }，{b n }的公差分别为d 1，d 2，则(a n ＋1＋b n ＋1)－(a n ＋b n )＝(a n ＋1－a n )＋(b n ＋1－b n )＝d 1＋d 2，∴{a n ＋b n }为等差数列，又a 1＋b 1＝a 2＋b 2＝100，∴{a n ＋b n }为常数列，∴a 37＋b 37＝100.4．等差数列{a n }中，已知a 5>0，a 4＋a 7<0，则当{a n }的前n 项和S n 取到最大值时n 为 ．答案 5解析 ∵⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＋a 7＝a 5＋a 6<0，a 5>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 5>0，a 6<0，∴S n 的最大值为S 5.5．在等差数列{a n }中，a 1>0，a 10·a 11<0，若此数列的前10项和S 10＝36，前18项和S 18＝12，则数列{|a n |}的前18项和T 18的值是 ．答案 60解析 由a 1>0，a 10·a 11<0可知d <0，a 10>0，a 11<0，∴T 18＝a 1＋…＋a 10－a 11－…－a 18＝S 10－(S 18－S 10)＝60.6．已知递增的等差数列{a n }满足a 1＝1，a 3＝a 22－4，则a n ＝ . 答案 2n －1解析 设等差数列的公差为d ，∵a 3＝a 22－4，∴1＋2d ＝(1＋d )2－4，解得d 2＝4，即d ＝±2.由于该数列为递增数列，故d ＝2.∴a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1.7．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 5＋a 7＝4，a 6＋a 8＝－2，则当S n 取最大值时，n的值是 ．答案 6解析 依题意得2a 6＝4,2a 7＝－2，a 6＝2>0，a 7＝－1<0；又数列{a n }是等差数列，因此在该数列中，前6项均为正数，自第7项起以后各项均为负数，于是当S n 取最大值时，n ＝6.8．已知数列{a n }中，a 1＝1且1a n ＋1＝1a n ＋13(n ∈N *)，则a 10＝ . 答案 14解析 由已知1a 10＝1a 1＋(10－1)×13＝1＋3＝4， ∴a 10＝14. 9．在等差数列{a n }中，a 1＝1，a 3＝－3.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{a n }的前k 项和S k ＝－35，求k 的值．解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d .由a 1＝1，a 3＝－3，可得1＋2d ＝－3，解得d ＝－2.从而a n ＝1＋(n －1)×(－2)＝3－2n .(2)由(1)可知a n ＝3－2n ，所以S n ＝n [1＋(3－2n )]2＝2n －n 2. 由S k ＝－35，可得2k －k 2＝－35，即k 2－2k －35＝0，解得k ＝7或k ＝－5.又k ∈N *，故k ＝7.10．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1<0，S 2 015＝0.(1)求S n 的最小值及此时n 的值；(2)求n 的取值集合，使其满足a n ≥S n .解 (1)设公差为d ，则由S 2 015＝0⇒2 015a 1＋2 015×2 0142d ＝0⇒a 1＋1 007d ＝0， d ＝－11 007a 1，a 1＋a n ＝2 015－n 1 007a 1， ∴S n ＝n 2(a 1＋a n )＝n 2·2 015－n 1 007a 1＝a 12 014(2 015n －n 2)． ∵a 1<0，n ∈N *，∴当n ＝1 007或1 008时，S n 取最小值504a 1.(2)a n ＝1 008－n 1 007a 1， S n ≤a n ⇔a 12 014(2 015n －n 2)≤1 008－n 1 007a 1. ∵a 1<0，∴n 2－2 017n ＋2 016≤0，即(n －1)(n －2 016)≤0，解得1≤n ≤2 016.故所求n 的取值集合为{n |1≤n ≤2 016，n ∈N *}．B 组 专项能力提升(时间：25分钟)1．已知数列{a n }为等差数列，若a 11a 10<－1，且它们的前n 项和S n 有最大值，则使S n >0的n 的最大值为 ．答案 19解析 ∵a 11a 10<－1，且S n 有最大值， ∴a 10>0，a 11<0，且a 10＋a 11<0，∴S 19＝19(a 1＋a 19)2＝19·a 10>0， S 20＝20(a 1＋a 20)2＝10(a 10＋a 11)<0， 故使得S n >0的n 的最大值为19.2．(2013·辽宁改编)下面是关于公差d ＞0的等差数列{a n }的四个命题： p 1：数列{a n }是递增数列；p 2：数列{na n }是递增数列；p 3：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是递增数列；p 4：数列{a n ＋3nd }是递增数列． 其中，真命题为 ．答案 p 1，p 4解析 由于p 1：a n ＝a 1＋(n －1)d ，d ＞0，∴a n －a n －1＝d ＞0，命题p 1正确．对于p 2：na n ＝na 1＋n (n －1)d ，∴na n －(n －1)a n －1＝a 1＋2(n －1)d 与0的大小和a 1的取值情况有关． 故数列{na n }不一定递增，命题p 2不正确．对于p 3：a n n ＝a 1n ＋n －1n d ，∴a n n －a n －1n －1＝－a 1＋d n (n －1)， 当d －a 1＞0，即d ＞a 1时，数列{a n n}递增， 但d ＞a 1不一定成立，则p 3不正确．对于p 4：设b n ＝a n ＋3nd ，则b n ＋1－b n ＝a n ＋1－a n ＋3d ＝4d ＞0.∴数列{a n ＋3nd }是递增数列，p 4正确．综上，正确的命题为p 1，p 4.3．设等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若对任意自然数n 都有S n T n ＝2n －34n －3，则a9b5＋b7＋a3b8＋b4的值为．答案19 41解析∵{a n}，{b n}为等差数列，∴a9b5＋b7＋a3b8＋b4＝a92b6＋a32b6＝a9＋a32b6＝a6b6.∵S11T11＝a1＋a11b1＋b11＝2a62b6＝2×11－34×11－3＝1941，∴a6b6＝1941.4．已知数列{a n}的各项均为正数，前n项和为S n，且满足2S n＝a2n＋n－4(n∈N*)．(1)求证：数列{a n}为等差数列；(2)求数列{a n}的通项公式．(1)证明当n＝1时，有2a1＝a21＋1－4，即a21－2a1－3＝0，解得a1＝3(a1＝－1舍去)．当n≥2时，有2S n－1＝a2n－1＋n－5，又2S n＝a2n＋n－4，两式相减得2a n＝a2n－a2n－1＋1，即a2n－2a n＋1＝a2n－1，也即(a n－1)2＝a2n－1，因此a n－1＝a n－1或a n－1＝－a n－1.若a n－1＝－a n－1，则a n＋a n－1＝1.而a1＝3，所以a 2＝－2，这与数列{a n }的各项均为正数相矛盾， 所以a n －1＝a n －1，即a n －a n －1＝1，因此数列{a n }为等差数列．(2)解 由(1)知a 1＝3，d ＝1，所以数列{a n }的通项公式a n ＝3＋(n －1)×1＝n ＋2， 即a n ＝n ＋2.5．已知数列{a n }中，a 1＝12，a n ＋1＝3a n a n ＋3. (1)求a n ；(2)设数列{b n }的前n 项和为S n ，且b n ·n (3－4a n )a n ＝1，求证：12≤S n <1. (1)解 由已知得a n ≠0则由a n ＋1＝3a n a n ＋3， 得1a n ＋1＝a n ＋33a n ， 即1a n ＋1－1a n ＝13，而1a 1＝2， ∴{1a n }是以2为首项，以13为公差的等差数列． ∴1a n ＝2＋13(n －1)＝n ＋53， ∴a n ＝3n ＋5. (2)证明 ∵b n ·n (3－4a n )a n＝1， 则由(1)得b n ＝1n (n ＋1)，∴S n＝b1＋b2＋…＋b n＝(1－12)＋(12－13)＋(13－14)＋…＋(1n－1n＋1)＝1－1n＋1关于n单调递增，∴12≤S n<1.。

高考语文基础保分题型精选精练14（语言文字运用+古代文化常识+情景默写）【教师版在前，学生版在后】一、补写出下列两组句子中的空缺部分。

补写下列句子。

（1）王安石《桂枝香·金陵怀古》中，借“____________，____________”两句，感叹六朝因荒淫而相继亡覆的史实皆成过往，唯见秋草凄碧，触目惊心，空贻后人凭吊之资。

（2）孔子在《论语》中指出自己并非“生而知之者”，而是“学而知之者”，肯定了学习对于个人成长的重要意义，而韩愈《师说》中也用反问句“____________，____________”明确学习的必要性。

（3）“猿啼”，高急之声，似哭似号，古代诗歌中写到猿啼时多指哀音，诗人心中的哀怨、愁苦、凄怆、孤寂无以出之，故借猿啼而写出。

如杜甫的“____________”，白居易的“____________”皆为千古名句。

【答案】（1）六朝旧事随流水（2）但寒烟衰草凝绿（3）人非生而知之者（4）孰能无惑（5）风急天高猿啸哀（6）杜鹃啼血猿哀鸣补写出下列句子中的空缺部分。

（l）苏轼《赤壁赋》中“_____，_____”两句描写音乐，与李白《春夜洛城闻笛》中“此夜曲中闻折柳，何人不起故园情”描写音乐的角度相同。

（2）《邹忌讽齐王纳谏》中齐王的政令嘉奖进言者，“____”，可得上等奖赏；“____”，可得中等奖赏。

（3）《劝学》中说借助车马的人不是脚走得快，却可以有“____”的效果；“____”不善于游泳，却可以横渡长江黄河，论证借助外物的好处。

【答案】（1）舞幽壑之潜蛟（2）泣孤舟之嫠妇（3）群臣吏民能面刺寡人之过者（4）上书谏寡人者（5）而致千里（6）假舟楫者二、完成下边两道古代文化常识题。

下列对文中相关内容的解说，不正确的一项是（3分）（）A．同光，是年号。

年号，是我国历代封建王朝用来纪年的一种名号。

历代帝王凡遇到“天降祥瑞”或内讧外忧，遇到大事、要事，往往要更改一下年号。