北京市朝阳区2015高三上学期期末考试 数学

2014-2015学年北京市朝阳区高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．（5分）已知集合A={x|x2+x﹣2＜0}，B={x|x＞0}，则集合A∩B等于（）A．{x|x＞﹣2}B．{x|0＜x＜1}C．{x|x＜1}D．{x|﹣2＜x＜1}2．（5分）要得到函数y=tan（x+）的图象，只要将函数y=tanx的图象（）A．向右平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向左平移个单位3．（5分）“a＞1”是“函数f（x）=x3+a在R上为单调递增函数”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的b值等于（）A．﹣3 B．﹣8 C．﹣15 D．﹣245．（5分）如图，点D是线段BC的中点，BC=6，且|+|=|﹣|，则||=（）A．6 B．2 C．3 D．6．（5分）已知命题p：∀x∈R，2x＞0；命题q：在曲线y=cosx上存在斜率为的切线，则下列判断正确的是（）A．p是假命题B．q是真命题C．p∧（￢q）是真命题D．（￢p）∧q是真命题7．（5分）设某公司原有员工100人从事产品A的生产，平均每人每年创造产值t万元（t为正常数）．公司决定从原有员工中分流x（0＜x＜100）人去进行新开发的产品B的生产．分流后，继续从事产品A生产的员工平均每人每年创造产值在原有的基础上增长了1.2x%．若要保证产品A的年产值不减少，则最多能分流的人数是（）A．15 B．16 C．17 D．188．（5分）在平面直角坐标系中，△ABC顶点坐标分别为A（0，0），B（1，），C（m，0）．若△ABC是钝角三角形，则正实数m的取值范围是（）A．0＜m＜1 B．0＜m＜C．0＜m＜或m＞4 D．0＜m＜1或m＞4二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上. 9．（5分）已知平面向量=（2，﹣1），=（x，1），若⊥，则x=．10．（5分）已知sinα=，α∈（，π），则cosα=；tan（+α）=．11．（5分）已知函数f（x）=2x+a•2﹣x，且对于任意的x，有f（﹣x）+f（x）=0，则实数a的值为．12．（5分）已知x，y满足条件，则函数z=﹣2x+y的最大值是．13．（5分）设函数f（x）=，若f（m）=1，则实数m的值等于．14．（5分）已知函数f（x）=（x﹣a）•|x|的图象与直线y=1有且只有一个交点，则实数a的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15．（13分）已知数列{a n}是等差数列，且a2+a5=19，a3+a6=25．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{a n﹣b n}是首项为2，公比为2的等比数列，求数列{b n}的前n项和S n．16．（13分）已知函数f（x）=sinxcosx﹣sin（2x﹣）．（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）在[0，]上的最大值与最小值．17．（14分）如图，在△ABC中，∠ACB为钝角，AB=2，BC=．D为AC延长线上一点，且CD=+1．（Ⅰ）求∠BCD的大小；（Ⅱ）求BD的长及△ABC的面积．18．（13分）已知函数f（x）=x2﹣2ax﹣1+a，a∈R．（Ⅰ）若a=2，试求函数y=（x＞0）的最小值；（Ⅱ）对于任意的x∈[0，2]，不等式f（x）≤a成立，试求a的取值范围．19．（14分）已知数列{a n}与{b n}满足a1+2a2+…+na n=n（n+1）b n，n∈N+．（Ⅰ）若a1=1，a2=2，求b1，b2；（Ⅱ）若a n=，求证：b n＞；（Ⅲ）若b n=n2，求数列{a n}的通项公式．20．（13分）已知函数f（x）=（x﹣a）lnx，a∈R．（Ⅰ）若a=0，对于任意的x∈（0，1），求证：﹣≤f（x）＜0；（Ⅱ）若函数f（x）在其定义域内不是单调函数，求实数a的取值范围．2014-2015学年北京市朝阳区高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．（5分）已知集合A={x|x2+x﹣2＜0}，B={x|x＞0}，则集合A∩B等于（）A．{x|x＞﹣2}B．{x|0＜x＜1}C．{x|x＜1}D．{x|﹣2＜x＜1}【解答】解：由A中不等式变形得：（x﹣1）（x+2）＜0，解得：﹣2＜x＜1，即A={x|﹣2＜x＜1}，∵B={x|x＞0}，∴A∩B={x|0＜x＜1}，故选：B．2．（5分）要得到函数y=tan（x+）的图象，只要将函数y=tanx的图象（）A．向右平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向左平移个单位【解答】解：将函数y=tanx的图象，向左平移个单位，得到y=tan（x+）的图象．故选：D．3．（5分）“a＞1”是“函数f（x）=x3+a在R上为单调递增函数”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若a＞1，则f′（x）=3x2+a＞0，∴f（x）在R上是增函数，是充分条件，若函数f（x）=x3+a在R上为单调递增函数，∴f′（x）=3x2+a＞0，∴a≥0，不是必要条件，故选：A．4．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的b值等于（）A．﹣3 B．﹣8 C．﹣15 D．﹣24【解答】解：执行程序框图，有a=1，b=1满足条件a＜7，有b=0，a=3满足条件a＜7，有b=﹣3，a=5满足条件a＜7，有b=﹣8，a=8不满足条件a＜7，输出b的值为﹣8．故选：B．5．（5分）如图，点D是线段BC的中点，BC=6，且|+|=|﹣|，则||=（）A．6 B．2 C．3 D．【解答】解：由于|+|=|﹣|，则两边平方得，|+|2=|﹣|2，即有=，即有=0，即，则△ABC为直角三角形，BC为斜边，AD为斜边上的中线，则||=||=3．故选：C．6．（5分）已知命题p：∀x∈R，2x＞0；命题q：在曲线y=cosx上存在斜率为的切线，则下列判断正确的是（）A．p是假命题B．q是真命题C．p∧（￢q）是真命题D．（￢p）∧q是真命题【解答】解：根据指数函数的值域知，命题p是真命题；根据“在切点处的导数值即为切线斜率”，设切点为（x0，cosx0），过该点的切线斜率为k；y′=﹣sinx；∴k=﹣sinx0，即：不存在x 0∈R，使﹣；∴命题q为假命题；∴￢q为真命题，；∴p∧（￢q）是真命题，即C正确；故选：C．7．（5分）设某公司原有员工100人从事产品A的生产，平均每人每年创造产值t万元（t为正常数）．公司决定从原有员工中分流x（0＜x＜100）人去进行新开发的产品B的生产．分流后，继续从事产品A生产的员工平均每人每年创造产值在原有的基础上增长了1.2x%．若要保证产品A的年产值不减少，则最多能分流的人数是（）A．15 B．16 C．17 D．18【解答】解：由题意，公司原有100人每年创造的产值为100t（万元），分流后剩余（100﹣x）人每年创造的产值为（100﹣x）（1+1.2x%）t，则由，解得：0＜x＜．∵x∈N，∴x的最大值为16．故选：B．8．（5分）在平面直角坐标系中，△ABC顶点坐标分别为A（0，0），B（1，），C（m，0）．若△ABC是钝角三角形，则正实数m的取值范围是（）A．0＜m＜1 B．0＜m＜C．0＜m＜或m＞4 D．0＜m＜1或m＞4【解答】解：如图所示，由B（1，），得到AE=1，BE=，根据勾股定理得：AB=2，∠BAE=60°，过B作BD⊥AB，可得∠ADB=30°，∴AD=2AB=4，即D（4，0），则△ABC是钝角三角形时，正实数m的取值范围是0＜m＜1或m＞4，故选：D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上.9．（5分）已知平面向量=（2，﹣1），=（x，1），若⊥，则x=．【解答】解：∵=（2，﹣1），=（x，1），且⊥，∴2x+1×（﹣1）=0，解得x=．故答案为：．10．（5分）已知sinα=，α∈（，π），则cosα=﹣；tan（+α）=．【解答】解：已知sinα=，α∈（，π），根据：sin2α+cos2α=1求出：cosα=则：故答案为：﹣，11．（5分）已知函数f（x）=2x+a•2﹣x，且对于任意的x，有f（﹣x）+f（x）=0，则实数a的值为﹣1．【解答】解：因为对任意的实数x都有f（﹣x）+f（x）=0 成立所以x=0时也成立，∴f（0）+f（0）=0，∴f（0）=0，∴20+a•20=0，即1+a=0∴a=﹣1故答案为：﹣1．12．（5分）已知x，y满足条件，则函数z=﹣2x+y的最大值是4．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，化目标函数z=﹣2x+y为y=2x+z，由图可知，当直线y=2x+z过点A（﹣2，0）时，直线y=2x+z在y轴上的截距最大，即z最大，此时z=﹣2×（﹣2）+0=4．故答案为：4．13．（5分）设函数f（x）=，若f（m）=1，则实数m的值等于±1．【解答】解：当m≤0时，有f（m）=e m+1，e m+1=1解得m=﹣1满足条件；当0＜m≤1时，有f（m）=sinπm+1，∴sinπm+1=1解得πm=kπ，（k∈z）m=k，（k∈z）又∵0＜m≤1∴m=1总之，m=±1故答案为：±114．（5分）已知函数f（x）=（x﹣a）•|x|的图象与直线y=1有且只有一个交点，则实数a的取值范围是（﹣2，+∞）．【解答】解：当x≥0时，f（x）=（x﹣a）•|x|=（x﹣a）•x，当x＜0时，f（x）=（x﹣a）•|x|=﹣（x﹣a）•x=﹣x2+ax若a=0，则f（x）的图象如图：满足条件．若a＞0，则f（x）的图象如图：满足条件，若a＜0，则f（x）的图象如图：要使条件成立，则只需要当x＜0时，函数的最大值小于1，即，即a2＜4，解得﹣2＜a＜2，此时﹣2＜a＜0，综上a＞﹣2，故答案为：（﹣2，+∞）三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15．（13分）已知数列{a n}是等差数列，且a2+a5=19，a3+a6=25．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{a n﹣b n}是首项为2，公比为2的等比数列，求数列{b n}的前n项和S n．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，∵a2+a5=19，a3+a6=25．∴，解得．∴a n=3n﹣1．（Ⅱ）∵数列{a n﹣b n}是首项为2，公比为2的等比数列，∴a n﹣b n=2n，∴．∴数列{b n}的前n项和S n=﹣=﹣2n+1．16．（13分）已知函数f（x）=sinxcosx﹣sin（2x﹣）．（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）在[0，]上的最大值与最小值．【解答】（本小题满分13分）解：（1）f（x）=sinxcosx﹣sin（2x﹣）=sin2x﹣（sin2xcos﹣cos2xsin）=sin2x﹣sin2x+cos2x=sin（2x+）则f（x）的最小正周期为π．…（7分）（2）因为x∈[0，]，则2x+∈[，]．所以sin（2x+）∈[﹣，]．则f（x）在[0，]，上的最大值为，此时2x+=，即x=．f（x）在[0，]，上的最小值为﹣，此时2x+=，即x=．…（13分）17．（14分）如图，在△ABC中，∠ACB为钝角，AB=2，BC=．D为AC延长线上一点，且CD=+1．（Ⅰ）求∠BCD的大小；（Ⅱ）求BD的长及△ABC的面积．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）在△ABC中，因为，，由正弦定理可得，即，所以．因为∠ACB为钝角，所以．所以．…（6分）（Ⅱ）在△BCD中，由余弦定理可知BD2=CB2+DC2﹣2CB•DC•cos∠BCD，即，整理得BD=2．在△ABC中，由余弦定理可知BC2=AB2+AC2﹣2AB•AC•cosA，即，整理得．解得．因为∠ACB为钝角，所以AC＜AB=2．所以．所以△ABC的面积．…．（13分）18．（13分）已知函数f（x）=x2﹣2ax﹣1+a，a∈R．（Ⅰ）若a=2，试求函数y=（x＞0）的最小值；（Ⅱ）对于任意的x∈[0，2]，不等式f（x）≤a成立，试求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）依题意得y===x﹣4．因为x＞0，所以x，当且仅当x=时，即x=1时，等号成立．所以y≥﹣2．所以当x=1时，y=的最小值为﹣2．…（6分）（Ⅱ）因为f（x）﹣a=x2﹣2ax﹣1，所以要使得“∀x∈[0，2]，不等式f（x）≤a成立”只要“x2﹣2ax﹣1≤0在[0，2]恒成立”．不妨设g（x）=x2﹣2ax﹣1，则只要g（x）≤0在[0，2]恒成立．因为g（x）=x2﹣2ax﹣1=（x﹣a）2﹣1﹣a2，所以即，解得a≥．所以a的取值范围是[，+∞）．…（13分）19．（14分）已知数列{a n}与{b n}满足a1+2a2+…+na n=n（n+1）b n，n∈N+．（Ⅰ）若a1=1，a2=2，求b1，b2；（Ⅱ）若a n=，求证：b n＞；（Ⅲ）若b n=n2，求数列{a n}的通项公式．【解答】解：（Ⅰ）当n=1时，有a1=2b1=1，则b1=，当n=2时，有a1+2a2=2×（2+1）b2，又∵a1=1，a2=2，∴b2=．（Ⅱ）∵a n=，∴na n=n•=n+1，∴a1+2a2+…+na n==n（n+1）b n，∴b n==（1+）．（Ⅲ）当n＞1时，∵a1+2a2+…+na n=n（n+1）b n，①∴a1+2a2+…+（n﹣1）a n=n（n﹣1）b n﹣1，②﹣1①﹣②得，na n=n（n+1）b n﹣n（n﹣1）b n﹣1，即a n=（n+1）b n﹣（n﹣1）b n﹣1，又∵b n=n2，∴a n=（n+1）n2﹣（n﹣1）（n﹣1）2=4n2﹣3n+1，（n≥2）．当n=1时，b1=12，又a1=2b1=2也符合上式．∴a n=4n2﹣3n+1 （n∈N+）．20．（13分）已知函数f（x）=（x﹣a）lnx，a∈R．（Ⅰ）若a=0，对于任意的x∈（0，1），求证：﹣≤f（x）＜0；（Ⅱ）若函数f（x）在其定义域内不是单调函数，求实数a的取值范围．【解答】证明：（Ⅰ）当a=0时，f（x）=xlnx，∴f′（x）=lnx+1．令f′（x）=lnx+1=0，解得x=．当x∈（0，）时，f′（x）＜0，所以函数f（x）在（0，）是减函数；当x∈（，+∞）时，f′（x）＞0，所以函数f（x）在（，+∞）为增函数．所以函数f（x）在x=处取得最小值﹣，因为x∈（0，1）时，lnx＜0，所以对任意x∈（0，1），都有f（x）＜0，即对任意x∈（0，1），﹣≤f（x）＜0；…（6分）（Ⅱ）函数f（x）的定义域为（0，+∞）．又f′（x）=，设g（x）=xlnx+x﹣a．令g（x）=xlnx+x﹣a=0，即a=xlnx+x，设函数h（x）=xlnx+x．令h′（x）=lnx+2=0，则x=．当x∈（0，）时，h′（x）＜0，所以函数h（x）在（0，）是减函数；当x∈（，+∞）时，h′（x）＞0，所以函数h（x）在（，+∞）为增函数．所以函数h（x）在x=处取得最小值﹣，则x∈（0，+∞）时，h（x）≥﹣．于是，当a≥﹣时，直线y=a与函数h（x）=xlnx+x的图象有公共点，即函数g（x）=xlnx+x﹣a至少有一个零点，也就是方程f′（x）=0至少有一个实数根．当a=﹣时，g （x ）=xlnx +x ﹣a 有且只有一个零点，所以f′（x ）≥0恒成立，函数f （x ）为单调增函数，不合题意，舍去． 即当a ＞﹣时，函数f （x ）不是单调增函数．又因为f′（x ）＜0不恒成立， 所以a ＞﹣为所求．…（13分）赠送—高中数学知识点【2.1.1】指数与指数幂的运算 （1）根式的概念①如果,,,1nx a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n n a n 是偶数时，正数a 的正的n n a 表示，负的n 次方根用符号n a -0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n a n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：()n n a a =；当n 为奇数时，nn a a =；当n 为偶数时，(0)|| (0) nna a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩． （2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,m n m na a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 11()()(0,,,mm m nn n aa m n N a a-+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)rsr sa a aa r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈③()(0,0,)r r rab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质 （4）指数函数 定义函数(0xy a a =>且1)a ≠叫做指数函数图象1a >01a <<定义域 R值域 (0,)+∞过定点 图象过定点(0,1)，即当0x =时，1y =．奇偶性 非奇非偶单调性在R 上是增函数在R 上是减函数函数值的 变化情况1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x >>==<< 1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x <>==>< 变化对 图象的影响 在第一象限内，a 越大图象越高；在第二象限内，a 越大图象越低．〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫xa y =xy(0,1)O1y =xa y =xy (0,1)O 1y =做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a MM N N-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a Na N =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且【2.2.2】对数函数及其性质。

北京市朝阳区2014-2015学年度高三年级第一学期期末统一考试 数学试卷（理工类） 2015．1 （考试时间120分钟满分150分） 本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分 第一部分（选择题共40分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．为虚数单位，则复数在复平面内对应的点所在的象限是 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2. 过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点．若中点到抛物线准线的距离为6，则线段的长为 A． B． C． D．无法确定 3．设函数的图象为，下面结论中正确的是 A．函数的最小正周期是 B．图象关于点对称 C．图象可由函数的图象向右平移个单位得到 D．函数在区间上是增函数 4．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的全面积是 A．．C． D．表示不重合的两个平面，，表示不重合的两条直线．若，，，则“∥”是“∥且∥”的 A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．在中，，则的最大值是 A． B． C． D． 7．点在的内部，且满足，则的面积与的面积之比是 A． B． 3 C． D．2 8.设连续正整数的集合，若是的子集且满足条件：当时，，则集合中元素的个数最多是（） A. B. C. D. 第二部分（非选择题共110分） 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上． 9．角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则的值是．（）的离心率是；渐近线方程是．表示平面区域为，在区域内随机取一点，则点落在圆内的概率为． 12．有一口大钟每到整点就自动以报时，1点响1声，2点响2声，3点响3声 (12)响12声，且每次报时时相邻两次之间的间隔均为1秒．在一次大钟报时时，某人从第一声铃响开始计时如果此次是12点的报时，则此人至少需等待秒才能确定；如果此次是11点的报时，则此人至少需等待秒才能确定．的边上有异于顶点的6个点，边上有异于顶点的4个点，加上点，以这11个点为顶点共可以组成个三角形（用数字作答）．14．已知函数．下列命题：①函数既有最大值又有最小值；②函数的图象轴对称；③函数在区间上零点；④函数在区间上单调递增． 其中真命题是．（填写出所有真命题的序号）15．40)，[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80]绘制频率分布直方图，如图所示.若规定年龄分布在[20,40)岁的人为“青年人”，[40,60)为“中年人”， [60,80]为“老年人”. （Ⅰ）若每一组数据的平均值用该区间中点值来代替，试估算所调查的600人的平均年龄； （Ⅱ）将上述人口分布的频率视为该城市在20-80年龄段的人口分布的概率．从该城市20-80年龄段市民中随机抽取3人，记抽到“老年人”的人数为，求随机变量的分布列和数学期望． 1 6．中，底面是正方形，侧面底面，，点是的中点，点在边上移动． （Ⅰ）若为中点，求证：//平面； （Ⅱ）求证：； （Ⅲ）若，二面角的余弦值等于，试判断点在边上的位置，并说明理由. 17．（本小题满分13分） 若有穷数列，，（是正整数）满足条件：，则称其为“对称数列”．例如，和都是“对称数列”． （Ⅰ）若是25项的“对称数列”，且，是首项为1，公比为2的等比数列．求的所有项和； （Ⅱ）若是50项的“对称数列”，且，是首项为1，公差为2的等差数列．求的前项和，. 18．（本小题满分13分） 设函数． 时,求函数的单调区间； （Ⅱ）设为的导函数，当时，函数的图象总在的图象的上方，求的取值范围． 19．（本小题满分14分） 已知椭圆过点，离心率为．过椭圆右顶点的两条斜率乘积为的直线分别交椭圆于两点． （Ⅰ）求椭圆的标准方程； （Ⅱ）直线是否过定点？若过定点，求出点的坐标；若不过，请说明理由． 20．（本小题满分13分） 已知函数，，，,且． （Ⅰ）当，，时，若方程恰存在两个相等的实数根，求实数的值； （Ⅱ）求证：方程有两个不相等的实数根； （Ⅲ）若方程的两个实数根是，试比较与的大小并说明理由． E A F B C P D 年龄 0.02 0.03 0.01 70 80 60 50 40 30 20。

北京市朝阳区2014-2015学年度高三第一学期期末统一考试数学（文史类）试卷2015.1（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 设i 为虚数单位，则复数1i z =-的模z =A. 1B. C. 2D. 2. 已知全集U =R ，若集合{}20A x x x =-<，则U A =ðA. {0x x ≤，或}1x ≥B. {0x x <，或}1x > C. }{01x x << D.{}1x x ≥ 3.一个四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为A.1B.2C.3D.4正视图 侧视图 俯视图4.执行如右图所示的程序框图,则输出的i 的值是A.3B.4C.5D.65.若,a b 是两个非零的平面向量，则 “a =b ”是“()()=0⋅a +b a b -”的A. 充分且不必要条件B. 必要且不充分条件C.充要条件D. 既不充分也不必要条件6. 如图，塔AB 底部为点B ，若,C D 两点相距为100m 并且与点B 在同一水平线上，现从,C D 两点测得塔顶A 的仰角分别为45o 和30o ，则塔AB 的高约为（精确到0.1m1.73≈1.41≈）A. 36.5B. 115.6C. 120.5D. 136.57.已知定义在R 上的函数(1)1,()221,x x x x f x x ⎧+<⎪=⎨-≥⎪⎩若直线y a =与函数()f x 的图象恰有两个公共点，则实数a的取值范围是A. ()0,2B.[)0,2C.(]0,2D. []1,28. 如图，在正方体中1111ABCD A B C D -，M 为BC 的中点，点N 在四边形11CDDC 及其内部运动．若11MN AC ⊥，则N 点的轨迹为A. 线段B. 圆的一部分C. 椭圆的一部分D.双曲线的一部分第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上．9. 双曲线22:14x C y -=的离心率是 ；渐近线方程是 ． 10.为了解某厂职工家庭人均月收入情况,调查了该厂80户居民月收入,列出频率分布表 如下:则这80户居民中, 家庭人均月收入在[)2800,3400元之间的有 户（用数字作答）；假设家庭人均月收入在第一组和第二组的为中低收入家庭,现从该厂全体职工家庭中随机抽取一个家庭,估计该家庭为中低收入家庭的概率是 . ACD A 1B 1C 1D 1 M N .11. 已知圆C 的圆心位于第二象限且在直线21y x =+上，若圆C 与两个坐标轴都相切，则圆C 的标准方程是______.12. 某单位有职工共60人，为了开展社团活动，对全体职工进行问卷调查，其中喜欢体育运动的共28人，喜欢文艺活动的共26人，还有12人对体育运动和文艺活动都不喜欢， 则喜欢体育运动但不喜欢文艺活动的人共有 人.13. 在平面直角坐标系中，若关于,x y 的不等式组0,,(1)y y x y k x ≥⎧⎪≤⎨⎪≤-⎩表示一个三角形区域，则实数k 的取值范围是______.14. 设2212()cos (1)sin cos 3sin f x a x a x x x =+-+（22120a a +≠），若无论x 为何值，函数()f x 的图象总是一条直线，则12a a +的值是______.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15. （本小题满分13分）（Ⅰ）从该幼儿园教师中随机抽取一人，求具有研究生学历的概率；（Ⅱ）从幼儿园所有具有研究生学历的教师中随机抽取2人，求有35岁以下的研究生或50岁以上的研究生的概率. 16. （本小题满分13分）已知平面向量a =(sin ,cos )x x ，b =(sin ,cos )x x -，c =(cos ,sin )x x --，x ∈R ，函数()()f x =⋅-a b c .（Ⅰ）求函数()f x 的单调递减区间；（Ⅱ）若22f α⎛⎫=⎪⎝⎭，求sin α的值. 17. （本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，PD ⊥平面ABCD ．点E 是线段BD 的中点，点F 是线段PD 上的动点．（Ⅰ）若F 是PD 的中点，求证：EF //平面PBC ； （Ⅱ）求证： CE BF ⊥；（Ⅲ）若2AB =，3PD =，当三棱锥P BCF -的体积等于43时，试判断点F 在边PD 上的位置，并说明理由.18.（本小题满分13分）已知公比为q 的等比数列{}n a ()n *∈N 中，22a =，前三项的和为7.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若01q <<，设数列{}n b 满足12...n n b a a a =⋅⋅⋅，n *∈N ,求使01n b <<的n 的最小值.19. （本小题满分13分）已知函数()e ln x f x a x =-，a ∈R . （I ）若1x =是()f x 的极值点，求a 的值： DAPCEFB（Ⅱ）当e a =时，求证：()e f x ≥.20. （本小题满分14分）已知离心率为的椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>与直线2x =相交于,P Q 两点（点P 在x 轴上方），且2PQ =．点,A B 是椭圆上位于直线PQ 两侧的两个动点，且APQ BPQ ∠=∠．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）求四边形APBQ 面积的取值范围．北京市朝阳区2014-2015学年度高三年级第一学期期末统一考试数学答案（文史类）2015.1一、选择题：（满分40分）二、填空题：（满分30分）三、解答题：（满分80分）15. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）设：“从该幼儿园教师中随机抽取一人，具有研究生学历”为事件A，由题可知幼儿园总共有教师30人，其中“具有研究生学历”的共6人.则61 ()==305 P A.答：从该幼儿园教师中随机抽取一人，具有研究生学历的概率为15. ………4分（Ⅱ）设幼儿园中35岁以下具有研究生学历的教师为A1，A2，35～50岁(含35岁和50岁)具有研究生学历的教师为B1，B2，B3，50岁以上具有研究生学历的教师为C，从幼儿园所有具有研究生学历的教师中随机抽取2人，所有可能结果有15个，它们是：（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A1，C），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A2，C），（B1，B2），（B1，B3），（B1，C），（B2，B3），（B2，C），（B 3，C ），记“从幼儿园所有具有研究生学历的教师中随机抽取2人，有35岁以下的研究生或50岁以上的研究生”为事件D ，则D 中的结果共有12个，它们是：（A 1，A 2），（A 1，B 1），（A 1，B 2），（A 1，B 3），（A 1，C ），（A 2，B 1），（A 2，B 2），（A 2，B 3），（A 2，C ），（B 1，C ），（B 2，C ），（B 3，C ），故所求概率为124()==155P D ． 答：从幼儿园所有具有研究生学历的教师中随机抽取2人，有35岁以下的研究生或50岁以上的研究生的概率为45. ………………13分 16.（本小题满分13分）（Ⅰ）因为a =(sin ,cos )x x ，b =(sin ,cos )x x -，c =(cos ,sin )x x --， 所以()()sin cos ,sin cos x x x x -=+-b c ，()()f x =⋅-a b c =sin (sin cos )cos (sin cos )x x x x x x ++-.则()f x =22sin 2sin cos cos x x x x +-=sin 2cos 2x x -)4x π=-.则当222242k x k ππ3ππ+≤-≤π+时，即88k x k 3π7ππ+≤≤π+时，函数()f x 为减函数，k ∈Z .所以函数()f x 的单调递减区间是,88k k 3π7π⎡⎤π+π+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z . ………………7分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，())4f x x π=-，又22f α⎛⎫=⎪⎝⎭，)42απ-=，1sin()42απ-=.因为 22sin ()cos ()144ααππ-+-=，所以cos()4απ-=. sin sin ()44ααππ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦ππππsin()cos cos()sin 4444αα=-+-.所以当cos()42απ-=时，sin α=122224⨯+⨯=；当cos()42απ-=时，sin α=1(22224⨯+-⨯=. ………………13分 17. （本小题满分14分）（Ⅰ）证明：在PDB ∆中，因为点E 是BD 中点，点F 是PD 中点， 所以EF //PB ．又因为EF ⊄平面PBC ，PB ⊂平面PBC ， 所以EF //平面PBC ．…………4分 （Ⅱ）证明：因为PD ⊥平面ABCD ， 且CE ⊂平面ABCD ， 所以PD CE ⊥．又因为底面ABCD 是正方形，且点E 是BD 的中点， 所以CE BD ⊥． 因为BDPD D =，所以CE ⊥平面PBD ，而BF ⊂平面PBD ，所以CE BF ⊥． …………9分 （Ⅲ）点F 为边PD 上靠近D 点的三等分点． 说明如下：由（Ⅱ）可知， CE ⊥平面PBF ．又因为PD ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以PD BD ⊥. 设PF x =． 由2AB =得BD =CE =，所以11123263P BCF C BPF V V PF BD CE x --==⨯⨯⋅⋅=⨯=． 由已知2433x =， 所以2x =． 因为3PD =，所以点F 为边PD 上靠近D 点的三等分点．…………14分18. （本小题满分13分） （Ⅰ）由已知得，212327a a a a =⎧⎨++=⎩，解得2q =，11a =或12q =，14a =．DAPCEF B则数列{}n a 的通项公式为12n n a -=或31()2n n a -=，n *∈N ……………5分（Ⅱ）因为01q <<，所以31()2n n a -=，n *∈N .(5)210...(3)21211...()()22n n n n n b a a a ---+++-=⋅⋅⋅==，n *∈N . 由01n b <<，即(5)210()12n n -<<，即(5)02n n ->，即 即5n >.则使01n b <<的最小的n 的值为6． …………………13分19. （本小题满分13分）（I ）函数()f x 的定义域为(0,)+∞. 因为()e xaf x x'=-, 又1x =是()f x 的极值点,所以(1)e 0f a '=-=，解得e a =. 经检验，1x =是()f x 的极值点， 所以a 的值为e . ………5分 （Ⅱ）证明： 方法1：当e a =时，()e eln x f x x =-.所以e e e()e x xx f x x x-'=-=. 若01x <<，则1<e e x <，所以e e x x <，所以e e<0x x -. 所以函数()f x 在(0,1)单调递减.若1x >，则e >e x ，所以e >e x x ，所以e e>0x x -. 所以函数()f x 在(1,)+∞单调递增. 所以当1x =时，min ()(1)e f x f ==.(0x →时， e eln x x -→+∞;x →+∞时， e eln x x -→+∞.)所以()e f x ≥. ………13分方法2：当e a =时，()e eln x f x x =-， 所以e e e ()e x xx f x x x -'=-=. 设()e e x g x x =-，则()e (1)x g x x '=+，所以()g x 在(0,)+∞单调递增.又(1)0g =，所以当(0,1)x ∈时，()0g x <，即()0f x '<，所以()f x 在(0,1)单调递减； 当(1,)x ∈+∞时，()0g x >，即()0f x '>，所以()f x 在(1,)+∞单调递增.（接下来表述同解法1相应内容）所以()e f x ≥. ………13分20.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由已知得2e =，则12b a =，设椭圆方程为22221(0)4x y b b b +=> 由题意可知点(2,1)P 在椭圆上，所以224114b b+=．解得22b =． 故椭圆C 的标准方程为22182x y +=． ………4分 （Ⅱ）由题意可知，直线PA ，直线PB 的斜率都存在且不等于0．因为APQ BPQ ∠=∠，所以PA PB k k =-．设直线PA 的斜率为k ，则直线:1(2)PA y k x -=-（0k ≠）．由2248(12),x y y kx k ⎧+=⎨=+-⎩得222(14)8(12)161640k x k k x k k ++-+--=……(1).依题意，方程（1）有两个不相等的实数根，即根的判别式0∆>成立.即()222264(12)4(14)161640k k k k k ∆=--+-->, 化简得216(21)0k +>，解得12k ≠-.因为2是方程（1）的一个解，所以2216164214A k k x k --⋅=+． 所以2288214A k k x k --=+． 当方程（1）根的判别式0∆=时，12k =-，此时直线PA 与椭圆相切.由题意，可知直线PB 的方程为1(2)y k x -=--． 同理，易得22228()8()288214()14B k k k k x k k----+-==+-+． 由于点,A B 是椭圆上位于直线PQ 两侧的两个动点，APQ BPQ ∠=∠， 且能存在四边形APBQ ，则直线PA 的斜率k 需满足12k >. 设四边形APBQ 面积为S ，则112222APQ BPQ A B S S S PQ x PQ x ∆∆=+=⋅-+⋅- 2222188288221414B A k k k k PQ x x k k --+-=⋅-=-++ 21614k k =+ 由于12k >，故 216161144k S k k k==++. 当12k >时，144k k +>，即110144k k <<+，即04S <<. (此处另解：设t k =，讨论函数1()4f t t t =+在1,2t ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时的取值范围. 222141()4t f t t t-'=-=，则当12t >时，()0f t '>，()f t 单调递增.则当12t>时，()(4,)f t∈+∞，即S∈()0,4.)所以四边形APBQ面积S的取值范围是()0,4.………14分。

北京师大附中2015届上学期高三年级期末考试数学试卷（AP 班）本试卷满分100分，考试时间为90分钟。

一、选择题（每小题5分，共30分）1. 直线053=++y x 的倾斜角是（ ）A. 30°B. 120°C. 60°D. 150°2. 直线026=++y x 在x 轴和y 轴上的截距分别是（ ）A. 31,2B. 31,2--C. 3,21--D. 3,2--3. 与直线0543:=+-y x l 关于x 轴对称的直线的方程为（ ）A. 0543=-+y xB. 0543=++y xC. 0543=+-y xD. 0543=--y x 4. 圆()22-x ()232=++y 的圆心和半径分别是（ ）A. ()2,3,2- B. ()2,3,2- C. ()1,3,2- D. ()2,3,2- 5. 方程022=++-+m y x y x 表示一个圆，则m 的取值范围是（ ）A. 2≤mB. 2<mC. 21<mD. 21≤m 6. 下列圆中，与直线03=+-y x 相切的圆的方程为（ ）A. 122=+y xB. ()()21122=-++y xC. ()21+x 22=+yD. ()()21122=++-y x 二、填空题（每空5分，共35分）7. 若直线()53-=-x k y 过点（-1，-2），则k 的值为___________。

8. 过点A （0，1），B （2，0）的直线方程为_____________。

9. 已知过点P （-2，m ），Q （m ，4）的直线与直线012=-+y x 平行，则=m __________。

10. 两圆222r y x =+与()()()013222>=++-r r y x 外切，则r 的值为_________。

11. 圆064622=++-+y x y x 截直线05=--y x 所得的弦长为___________。