当前位置：文档之家 › 一元二次方程知识点及练习题

一元二次方程知识点及练习题

  • 格式：doc
  • 大小：393.50 KB
  • 文档页数：11

一元二次方程只含有一个未知数．．．．．．．．，并且②未知数的最高次数是．．．．．．．．．2．，这样的③整式方程．．．．就是一元二次方程。

)0(02≠=++a c bx“未知数的最高次数是2”：①该项系数不为“0”； ②未知数指数为“2”；③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论例1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ） A ()()12132+=+x x B02112=-+x xC 02=++c bx ax D 1222+=+x x x变式：当k 时，关于x 的方程3222+=+x x kx 是一元二次方程。

例2、方程()0132=+++mx xm m是关于x 的一元二次方程，则m 的值为 。

★1、方程782=x 的一次项系数是 ，常数项是 。

★2、若方程()021=--m xm 是关于x 的一元一次方程，⑴求m 的值；⑵写出关于x 的一元一次方程。

★★3、若方程()112=∙+-x m x m 是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是 。

★★★4、若方程nx m +x n -2x 2=0是一元二次方程，则下列不可能的是（ ）A.m=n=2B.m=2,n=1C.n=2,m=1D.m=n=1例1、已知322-+y y 的值为2，则1242++y y 的值为 。

例2、关于x 的一元二次方程()04222=-++-a x x a 的一个根为0，则a 的值为 。

例3、已知关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+，则此方程必有一根为 。

例4、已知b a ,是方程042=+-m x x 的两个根，c b ,是方程0582=+-m y y 的两个根，则m 的值为 。

★1、已知方程0102=-+kx x 的一根是2，则k 为 ，另一根是 。

★2、已知关于x 的方程022=-+kx x 的一个解与方程311=-+x x 的解相同。

⑴求k 的值； ⑵方程的另一个解。

★3、已知m 是方程012=--x x 的一个根，则代数式=-m m 2 。

★★4、已知a 是0132=+-x x 的根，则=-a a 622。

★★5、方程()()02=-+-+-a c x c b x b a 的一个根为（ ）A 1-B 1C c b -D a -★★★6、若=∙=-+y x 则y x 324,0352 。

()m x m m ±=⇒≥=,02※※对于()m a x =+2，()()22n bx m ax +=+等形式均适用直接开方法例1、解方程：();08212=-x()216252x -=0;()();09132=--x例2、解关于x 的方程：02=-b ax例3、若()()2221619+=-x x ，则x 的值为 。

）A.12322-=+x x B.()022=-x C.x x -=+132D.092=+x)()021=--xxxx21,xxxx==⇒或0”，()()22nbxmax+=+，()()()()cxaxbxax++=++，222=++aaxx例1、()()3532-=-xxx的根为（）A25=x B 3=x C 3,2521==xx D52=x例2、若()()044342=-+++yxyx，则4x+y的值为。

变式1：()()=+=-+-+2222222,06b则ababa。

变式2：若()()032=+--+yxyx，则x+y的值为。

变式3：若142=++yxyx，282=++xxyy，则x+y的值为。

例3、方程062=-+xx的解为（）A.2321=-=，xxB.2321-==，xx C.3321-==，xx D.2221-==，xx例4、解方程：()04321322=++++xx例5、已知023222=--yxyx,则yxyx-+的值为。

变式：已知023222=--yxyx,且0,0>>yx,则yxyx-+的值为。

★1、下列说法中：①方程02=++q px x 的二根为1x ，2x ，则))((212x x x x q px x --=++ ② )4)(2(862--=-+-x x x x .③)3)(2(6522--=+-a a b ab a ④ ))()((22y x y x y x y x -++=-⑤方程07)13(2=-+x 可变形为0)713)(713(=-+++x x 正确的有（ ）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 ★2、以71+与71-为根的一元二次方程是（）A ．0622=--x x B ．0622=+-x xC ．0622=-+y yD ．0622=++y y★★3、⑴写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为1，且两根互为倒数：⑵写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为1，且两根互为相反数： ★★4、若实数x 、y 满足()()023=++-+y x y x ，则x+y 的值为（ ）A 、-1或-2B 、-1或2C 、1或-2D 、1或2 5、方程：2122=+x x 的解是 。

6、已知06622=--y xy x ，且0>x ，0>y ，求yx yx --362的值。

7、方程()012000199819992=-⨯-x x 的较大根为r ，方程01200820072=+-x x 的较小根为s ，则s-r 的值为 。

()002≠=++a c bx 222442a ac b a b x -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⇒ ※在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代数式的值或极值之类的问题。

例1、试用配方法说明322+-x x 的值恒大于0。

例2、已知x 、y 为实数，求代数式74222+-++y x y x 的最小值。

例3、已知，x、y y x y x 0136422=+-++为实数，求yx 的值。

例4、分解因式：31242++x x1、试用配方法说明47102-+-x x 的值恒小于0。

2、已知041122=---+x x xx ，则=+x x 1. 3、若912322-+--=x x t ，则t 的最大值为 ，最小值为 。

4、如果4122411-++-=--++b a c b a ,那么c b a 32-+的值为 。

)04,02≥-≠ac b a 且aac b b x 242-±-=,()04,02≥-≠ac b a 且例1、选择适当方法解下列方程：⑴().6132=+x ⑵()().863-=++x x ⑶0142=+-x x⑷01432=--x x ⑸()()()()5211313+-=+-x x x x例2、在实数范围内分解因式：（1）3222--x x ； （2）1842-+-x x . ⑶22542y xy x --⑴求代数式的值； ⑵解二元二次方程组。

1、已知0232=+-x x，求代数式()11123-+--x x x 的值。

例2、如果012=-+x x ，那么代数式7223-+x x 的值。

例3、已知a 是一元二次方程0132=+-x x 的一根，求1152223++--a a a a 的值。

例1、若关于x 的方程0122=-+x k x 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 。

例2、关于x 的方程()0212=++-m mx x m 有实数根，则m 的取值范围是( )A.10≠≥且m m B.0≥m C.1≠m D.1>m例3、已知关于x 的方程()0222=++-k x k x(1)求证：无论k 取何值时，方程总有实数根；(2)若等腰∆ABC 的一边长为1，另两边长恰好是方程的两个根，求∆ABC 的周长。

例4、已知二次三项式2)6(92-++-m x m x 是一个完全平方式，试求m 的值.例5、m 为何值时，方程组⎩⎨⎧=+=+.3,6222y mx y x有两个不同的实数解？有两个相同的实数解？1、当k 时，关于x 的二次三项式92++kx x 是完全平方式。

2、当k 取何值时，多项式k x x 2432+-是一个完全平方式？这个完全平方式是什么？3、已知方程022=+-mx mx 有两个不相等的实数根，则m 的值是 .4、k 为何值时，方程组⎩⎨⎧=+--+=.0124,22y x y kx y （1）有两组相等的实数解，并求此解；（2）有两组不相等的实数解；（3）没有实数解.5、当k 取何值时，方程04234422=+-++-k m m x mx x 的根与m 均为有理数？(2012山东德州中考,15,4,)若关于x 的方程22(2)0ax a x a +++=有实数解，那么实数a 的取值范围是_____________．（2012湖北襄阳，12，3分）如果关于x 的一元二次方程kx 2＋1＝0有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是A ．k ＜12B ．k ＜12且k ≠0 C ．－12≤k ＜12 D ．－12≤k ＜12且k ≠0例1、关于x 的方程()03212=-++mx x m ⑴有两个实数根，则m 为 ,⑵只有一个根，则m 为 。

例2、不解方程，判断关于x 的方程()3222-=+--k k x x 根的情况。

例3、如果关于x 的方程022=++kx x 及方程022=--k x x 均有实数根，问这两方程是否有相同的根？若有，请求出这相同的根及k 的值；若没有，请说明理由。

⑴“碰面”问题；⑵“复利率”问题；⑶“几何”问题；⑷“最值”型问题；⑸“图表”类问题1、五羊足球队的庆祝晚宴，出席者两两碰杯一次，共碰杯990次，问晚宴共有多少人出席？2、某小组每人送他人一张照片，全组共送了90张，那么这个小组共多少人？3、北京申奥成功，促进了一批产业的迅速发展，某通讯公司开发了一种新型通讯产品投放市场，根据计划，第一年投入资金600万元，第二年比第一年减少31，第三年比第二年减少21，该产品第一年收入资金约400万元，公司计划三年内不仅要将投入的总资金全部收回，还要盈利31，要实现这一目标，该产品收入的年平均增长率约为多少？（结果精确到0.1，61.313≈）4、某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克，销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克，针对此回答：（1）当销售价定为每千克55元时，计算月销售量和月销售利润。

（2）商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？5、将一条长20cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长作成一个正方形。

（1）要使这两个正方形的面积之和等于17cm 2，那么这两段铁丝的长度分别为多少？（2）两个正方形的面积之和可能等于12cm 2吗？若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由。

合集下载

一元二次方程知识点总结&练习

一元二次方程知识点总结&练习

一元二次方程的解法【知识点归纳与总结】一、概念：一元二次方程的一般形式为：ax 2+bx+c=0, (a≠0)，它是只含一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程。

二、基本思路与方法: 解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。

一元二次方程有四种解法：1、直接开平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法。

1 用直接开平方法解形如 (x-m)2=n (n≥0) 的方程，其解为x=m±.例1．解方程（1）75 (3x+1)2=7 （2）9x 2-24x+16=112．配方法：用配方法解方程ax 2+bx+c=0 (a≠0) 先将常数c 移到方程右边：ax 2+bx=-c 将二次项系数化为1：x 2+b a x=-ca方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：x 2+b a x+(b 2a )2=-c a +(b2a)2方程左边成为一个完全平方式：(x+)2= 当b 2-4ac≥0时，x+=±∴ x= (这就是求根公式)例2．用配方法解方程 3x 2-4x-2=03．公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△=b 2-4ac 的值，当b 2-4ac≥0时，把各项系数a, b, c 的值代入求根公式x=(b 2-4ac≥0)就可得到方程的根。

例3．用公式法解方程 2x 2-8x=-54．因式分解法：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根。

这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。

例4．用因式分解法解下列方程：(1) (x+3)(x-6)=-8(2) 2x2+3x=0(3) 6x2+5x-50=0(4)x2-2(+)x+4=0小结：一般解一元二次方程，最常用的方法还是因式分解法，在应用因式分解法时，一般要先将方程写成一般形式，同时应使二次项系数化为正数。

一元二次方程知识点总结及相关练习题

一元二次方程知识点总结及相关练习题

一元二次方程知识点总结及相关练习题一、一元二次方程一元二次方程是指含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程。

它的一般形式为ax^2+bx+c=0（其中a≠0），其中ax^2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。

二、一元二次方程的解法1.直接开平方法直接开平方法是利用平方根的定义直接开平方求解一元二次方程的方法。

它适用于解形如(x+a)=b的一元二次方程。

根据平方根的定义可知，x+a是b的平方根，当b≥0时，x=-a±b；当b<0时，方程没有实数根。

2.配方法配方法的理论根据是完全平方公式a±2ab+b=(a±b)^2，把公式中的a看做未知数x，并用x代替，则有x±2bx+b=(x±b)^2.配方法的步骤是：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式。

3.公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的方法，它是解一元二次方程的一般方法。

一元二次方程ax^2+bx+c=0的求根公式是x=(-b±√(b^2-4ac))/2a。

公式法的步骤是把一元二次方程的各系数分别代入，这里二次项的系数为a，一次项的系数为b，常数项的系数为c。

4.因式分解法因式分解法是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法。

这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。

分解因式法的步骤是：把方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式、公式法或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式。

5.XXX定理利用韦达定理可以求出一元二次方程中的各系数。

韦达定理就是在一元二次方程中，二根之和=-b/a，二根之积=c/a也可以表示为x1+x2=-b/a,x1x2=c/a。

在题目中，XXX定理是很常用的。

三、一元二次方程根的判别式根的判别式指的是一元二次方程ax^2+bx+c=0的根的判别式，通常用“Δ”来表示，即Δ=b^2-4ac。

一元二次方程专项练习

一元二次方程专项练习

知识点一、一兀二次方■程的有关is 念1- 一元二次方程的耙盔■MftfiJS.只含有f 未堀缸一5&,并且未磁的歸次数是乱二次）的整4为程，叫做一元二次 沁IV 捌一元二次方程必须抓住三个条ifH2- 一元二次方程的一般地 任何T ■关千筈的一元二次方程，者髓訛点形如亦■*■弘+亡=°@ * °）,这种范式叫做一元二决 昱二次顾，J 是二扶顶葢数；圧是一；欠顷，b 昱一次顶盏蚣u 是常数项.⑴只有当a ?〔时，方程口「+牀乂 = Q 才是一元二次》程?吃）在农备项系数时，应把一元二灰方程叱成一般形式，指明一元二次方程备项系救丽 性质絢号.3.i 元二次方程的解=使一无二次方程左右两边相等的未知數的值叫做一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根. 亿—元二次方程很的重要结论（D 若 訥心），则_元二衣方程耐+加+匚=°3厂〕好TR 〒”反之也成立，即若科1是一元二次方程颂十加+z °仏注0）的一^根，则（2）若才b+T 『!UTEr 次方程财十尿+f = 丸）蠱有一振^_1;眉之也威屯 即苦TET 次媚用仏+“0（处0）的_^.则心d心）若—元二次方程曲'+处火E 有一t 根尸心剿口 反之也成立.若曰，則一X 二B ) .33. 已知y V2x J x 2 6，贝U x y 的平方根是 _______4. 若x 21V y~3 0 ,则xy 的值为 ________ .5. 已知实数x , y 满足2x y y 2 y 10,求x y 的值.46. 已知x 号，化简J （x 2）2x 4的结果是 _____________7. __________________ 比较大小：4 J 3 _________ 7 |^2 J 3 =方程的一^那式.其中i 不荽漏掉前面的ifcse二次根式1•当X 取何值时，以下代数式有意义? （2）r 12xF 列根式中，不是 最简二次根式的是（ (1) .1 2x 2. (4)、. X 2⑶12.已知x 2 一 10，求x 24x 6的值13.已知a 110，求a 1的值.aa知识点二 一无二泱方程的解法1- 开*元二次旗（1）直接开方法解一元二次方栓-元二;戾方程的解的方法称为直接开 平方法 ②两裝①Aa ②伽+”二醉懵2切知识点匸一元二次方程的解法-配方法務一元二次方w 配旗（"切=^-°3的瑋比 再勅用直接开平方法求解|这不懈一元二次方程的方法叫配方袪.8. .10在两个连续整数 9 .设..7的小数部分为 「3）（2 10•计算：（2 11.计算：（1）a 和b 之间，a ,10 b ，那么a 、b 的值分别是 b ，那么（4 b ）b 的值是_ 忑）= , （2 冏 2 = 4仝2,(2.3 3迈)2=2方⑧配方法瞬一元二次方程的理恰依据是公式’知识点二、配方袪的应用在比较尢小中的应用・通辻作差袪最后柝顼或添项、田滅完全平方，使此戢于零（威小干峯而比较吐丿卜用于求待定字母的值：配方法在敦值中的应刖 将療等式右边变为①左边配顺完莹平方式后，再运 用非负数的性虧求岀待定宇每的取值.用于求最僵“配方法”在求录大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出阜值.用干证明「配方法级在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道诧方法円在二次 贏馥柚有着广泛肘应用.类坐一，用Hi 方法解一元二次方® 1用配方法解方程2（1^3-^-1 = 0,② 2『+ 7“3 二 0类型二、配方法在代数中的应＜3.用配方法证明-10,+?「4时倩小于CI.1娈式】⑴2r + Si ■涮壘小值；⑵-F T 昭"的蜃丈值公式法解一元二次方程_ -b 士 J 沪-4*:L —^次方程的求很公式 勢 話-伽2 0时* “ ―£ 2・一5^戳方稈根的判别式卜元二次方程根时判别戎A=i 3-4xc_ |3 •用公式法解二矜!fc 方程的步骤用公如解关干X 的一元二次方厨'fta+r =啦工°）的涉蘇①把一元二次方程化为一晰式= ②确定卜4匚的值（:要注意符号h _ -& 土制-虹 ③求出户・4»:的直 倨 i 3-4ac ＞0i 则利用仝式"无 求出原方程的辭若“如＜5则療方程无实嘏知识点.因式分解法解一元二次方程1. 用因式骨解法解一元二次方程的步彈⑴熔方程右迪化为0;⑵烬方程左迪分解対两个一次式的积；⑶ 令这两个一次式們丸0,得到两个一元一次方程I 4〕解这两个一元一次方程，它们的解就是原 方程的解2常用的因式分解法Im 于小:2. 4.（4） 2r +x-G=0〔公式注） 知识点一、一元二凉方程根的刑别式一元二次方程°，中加+Z 0（"0）中，卩-4疋叫做一元二次方程川十亦+z 0倣孟0）的根旳 判别式，通常坪'仏''来表示，即A -i J-4ac（"当&>0时，一元二決方程有2个不相等的实數根戸⑺ 当MD 时，一元二次方程有2个相等的实数根（站当A<o at ，一元二次方程没有实数根一 要点连释；和月报的判別式判定一兒二汝方程根前惰况的步曝①把一元二次方程化酋一股形式,②确定 必丄的仙 ⑧计算卩-4砒刖僞 ④根据仏:的符号判定方 程根的情况.2. 一二次方程根的判别帥逆用在方前F+B 时*0（叭Q ）中，⑴ 方程有两个不相導的卖数根二'-4必 >山 ⑵ 方程有两个相等的夹数根二；/一4銘丸 ⑶ 方程没有实数根二於-4如<o1） 逆用一^二次方程根的判别式咖S0K 的值或取值荊围，但不總ife 二灰項乘敷不为口这一聃2） 若」元二衣方程有两个实数根则护一4冊丸，知识点二.一元二次方程的根与系数的关系划果-元二次方程+办+" 0（a 事0）的两个实數根是巾 h ,（13⑺十歹一笳=0一（直接开平方法）⑵ 2* -7r-^ = 0 （配方法）注克它的硼鉀■为厲山A 爭山k 解下列方程⑶（r + 2）2「（工+刁〔因式幷解法）（4也就建说,对于任何一个有实数根的一元二次方程,两根之和等于方程豹一钦项暮数除C1 二次项裁所得的商的相反埶衬根之积等于常裁项除以二枫H系数所得的BL工一疋欢方程的根与系数的关系的应用⑴舅根-不解方亀利用根与系数的关系可以檢验两个数是不是一元二次方程的两个根;此时，常當涉及代數式的一些重要鲂館如①#+£ =仙+可）'一2珂期.③勺可+ %阳二+ Xj）?⑤（矿舒二（珂坷）科:②I耳-鬲I=J A号）"=j佃+石y ■如丄十J -巧+巧②珂耳；h i州玉）-绍可®珂鬲画亦珂亦■⑥（州十旬⑴+0 =话+旳1坷片巴1十1 ■彳+# .（©十西尸■ 2咼花® K] 叼彳£（勺阳）$⑩I丙I +1肝A J（I询i+i和卩=犹+可+21西・阳|二J（两+可）i扃眄+21珂■两|.叹两个数丸W尢根的一元二次方程是1■ E*冷“#¥厂°飞门利用一世次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号设一元二次方程加+D时2 0（口工0）的两棍齿兀乩则①些虫孑。

初中数学一元二次方程知识点总结(含习题)

初中数学一元二次方程知识点总结(含习题)

初中数学一元二次方程知识点总结(含习题)一元二次方程知识点的总结知识结构梳理：1、概念1) 一元二次方程含有一个未知数。

2) 未知数的最高次数是2.3) 是方程。

4) 一元二次方程的一般形式是ax²+bx+c=0.2、解法1) 因式分解法，适用于能化为(x+m)(x+n)=0的一元二次方程。

2) 公式法，即把方程变形为ax²+bx+c=0的形式，一元二次方程的解为x=[-b±√(b²-4ac)]/(2a)。

3) 完全平方式，其中求根公式是(x±a)²=b，当时，方程有两个不相等的实数根。

4) 配方法，其中求根公式是(x±a)(x±b)=0，当时，方程有两个实数根。

5) 二次函数图像法，当时，方程有没有实数根。

3、应用1) 一元二次方程可用于解某些求值题。

2) 一元二次方程可用于解决实际问题的步骤包括：列方程、化简方程、解方程、检验答案。

知识点归类：考点一：一元二次方程的定义如果一个方程通过移项可以使右边为0，而左边只含有一个未知数的二次多项式，那么这样的方程叫做一元二次方程。

一元二次方程必须同时满足以下三点：①方程是整式方程。

②它只含有一个未知数。

③未知数的最高次数是2.考点二：一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式为ax²+bx+c=0，其中a、b、c分别叫做二次项系数、一次项系数、常数项。

要准确找出一个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，必须把它先化为一般形式。

考点三：解一元二次方程的方法一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。

解一元二次方程的方法包括因式分解法、公式法、完全平方式、配方法和二次函数图像法。

解一元二次方程有四种常用方法：直接开平方法、配方法、因式分解法和公式法。

选择哪种方法要根据具体情况而定。

直接开平方法是解形如x²=a的方程的方法，解为x=±√a。

配方法是将方程的左边加上一次项系数一半的平方，再减去这个数，使得含未知数的项在一个完全平方式里，然后用因式分解法或直接开平方法解方程。