2013-2017年高考数学(理)分类汇编解析：第14章-推理与证明

高考数学（理）试题分类汇编第十四章 推理与证明第1节 合情推理与演绎推理题型149 归纳推理——暂无 1. (2013陕西理14）观察下列等式：211=22123-=- 2221236-+= 2222123410-+-=-照此规律，第n 个等式可为 .2.（2013湖北理14）古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1，3，6，10，…，第n 个三角型数为n n n n 21212)1(2+=+．记第n 个k 边形数为N (,)n k (k …3)，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式：三角形数 N (,3)n =n n 21212+， 正方形数 N 2(,3)n n =，五边形数 N (,5)n =n n 21232-， 六边形数 N (,6)n =n n -22，可以推测N (,)n k 的表达式，由此计算N (10,24)= ． 3.（2014 陕西理 14） 观察分析下表中的数据：猜想一般凸多面体中，,,F V E 所满足的等式是_________. 4.(2015山东理11) 观察下列各式：001C 4=；01133C C 4+=； 0122555C C C 4++=；012337777C C C C 4+++=； ……照此规律，当*n ∈N 时，012121212121C C C C n n n n n -----++++= .4.解析 观察各等式两侧的规律，由归纳推理的思想，不难发现：012121C C n n --++212121C C n n n ---++=14n -．5.（2015湖北理10）设x ∈R ，[]x 表示不超过x 的最大整数. 若存在实数t ，使得[]1t =，2[]2t =，…，[]n t n =同时成立．．．．，则正整数n 的最大值是（ ）． A ．3 B ．4 C ．5 D ．65.解析 由[]1t =， 2[]2t =，…5[]5t =，得21t <…①，232t <…②，343t <…③，454t <…④，565t <…⑤，由②③得56t …，与⑤矛盾，所以正整数n 的最大值是4.故选B.命题意图 考查归纳推理与不等式的性质. 题型150 类比推理——暂无1. (2013福建理15）当1,<∈x R x 时，有如下表达式：OB 3A 3B 2A 2B 1A 1xx x x n -=⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++1112，两边同时积分得：1111122222200011d d d d d 1n x x x x x x x x x+++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=-⎰⎰⎰⎰⎰，从而得到如下等式：23111111111ln 2.2223212n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯+⋅⋅⋅= ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭请根据以上材料所蕴含的数学思想方法，计算：2310121111111C C C C 2223212n n nn n n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯= ⎪ ⎪⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭题型151 演绎推理——暂无1．（2013四川理15）设12,,,n P P P 为平面α内的n 个点，在平面α内的所有点中，若点P 到12,,,n P P P 点的距离之和最小，则称点P 为12,,,n P P P 点的一个“中位点”．例如，线段AB 上的任意点都是端点,A B 的中位点．则有下列命题：①若,,A B C 三个点共线，C 在线段上，则C 是,,A B C 的中位点； ②直角三角形斜边的点是该直角三角形三个顶点的中位点； ③若四个点,,,A B C D 共线，则它们的中位点存在且唯一； ④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点． 其中的真命题是____________．（写出所有真命题的序号）2. (2013安徽理14）如图，互不相同的点12n A A A ，，，，和12n B B B ，，，，分别在角O 的两条边上，所有n n A B 相互平行，且所有梯形11n n n n A B B A ++的面积均相等. 设n n OA a =.若1212a a ==，，则数列{}n a 的通项公式是 .3. （2013浙江理10）在空间中，过点A 作平面π的垂线，垂足为B ，记π()B f A =.设βα,是两个不同的平面，对空间任意一点P ，[]12(),()Q f f P Q f f P βααβ⎡⎤==⎣⎦，恒有21PQ PQ =，则A. 平面α与平面β垂直B. 平面α与平面β所成的（锐）二面角为45C. 平面α与平面β平行D. 平面α与平面β所成的（锐）二面角为604. (2013湖南理8）在等腰三角形ABC 中，=4AB AC =，点P 是边AB 上异于,A B的一点，光线从点P 出发，经,BC CA 发射后又回到原点P （如图1）.若光线QR 经过ABC ∆的中心，则AP 等于（ ）.A ．2B ．1C ．83D ．435.（2014 新课标1理14）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ，B ，C 三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市； 乙说：我没去过C 城市； 丙说：我们三人去过同一城市； 由此可判断乙去过的城市为 . 6.（2014 北京理 20）（本小题13分） 对于数对序列()()()1122:,,,,,,n n P a b a b a b ，记()111T P a b =+，()(){}()112max ,2k k k k T P b T P a a a k n -=++++剟，其中(){}112max ,k k T P a a a -+++表示()1k T P -和12k a a a +++两个数中最大的数，（1）对于数对序列()():2,5,4,1P ，求()()12,T P T P 的值.（2）记m 为,,,a b c d 四个数中最小值，对于由两个数对()(),,,a b c d 组成的数对序列()():,,,P a b c d 和()(),,,P':c d a b ，试分别对m a =和m d =的两种情况比较()2T P 和()2T P'的大小.（3）在由5个数对()()()()()11,8,5,2,16,11,11,11,4,6组成的所有数对序列中，写出一个数对序列P 使()5T P 最小，并写出()5T P 的值.（只需写出结论）.7.（2017全国2卷理科7）甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（ ）.A ．乙可以知道四人的成绩B ．丁可以知道四人的成绩C ．乙、丁可以知道对方的成绩D ．乙、丁可以知道自己的成绩7．解析 四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说的话．甲不知道自己成绩→乙、丙中必有一优一良（若为两优，甲会知道自己成绩；两良亦然）.乙看了丙成绩，知道自己的成绩→丁看甲，甲、丁中也为一优一良，丁知道自己的成绩．故选D.8.（2017 全国1卷理科12）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16 ，…，其中第一项是02，接下来的两项是02，12，再接下来的三项是02，12，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数100N N >：且该数列的前N 项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是（ ）.A.440B.330C.220D.1108. 解析 设首项为第1组，接下来两项为第2组，再接下来三项为第3组，以此类推．设第n 组的项数为n ，则n 组的项数和为()12n n +，由题意得，100N >，令()11002n n +>，得14n ≥且*n ∈N ，即N 出现在第13组之后，第n 组的和为122112nn -=--，n 组总共的和为()12122212n n n n+--=---，若要使前N 项和为2的整数幂，则()12n n N +-项的和21k-应与2n --互为相反数，即()*21214k n k n -=+∈N ，≥，()2log 3k n =+，得n 的最小值为295n k ==，，则()2912954402N ⨯+=+=.故选A.第2节 证明题型152 综合法与分析法证明1.（2015全国II 理24）选修4-5：不等式选讲设a ，b ，c ，d 均为正数，且a b c d +=+.证明：(1)若ab cd >b c -<-1.分析（1）由a b c d +=+，及ab cd > ，可证明22> ，两边开>2）由第（1）问的结论来证明.在证明中要注意分别证明充分性和必要性. 解析（1）因为2a b =++，2c d =++a b c d +=+，ab cd >，得22>（2）( i)若a b c d -<-，则()()22a b c d -<-，即()()2244a b ab c d cd +-<+-.因为a b c d +=+，所以ab cd >>( ii)>22>，即a b ++c d >++因为a b c d +=+，所以ab cd >，于是()()()()222244a b a b ab c d cd c d -=+-<+-=-，因此a b c d -<-.>a b c d -<-的充要条件.命题意图 不等式的证明要紧抓不等式的性质，结合其正负性来证明.充要条件的证明体现了数学推理的严谨性，要分充分性和必要性两个方面来证明.2.（2016山东理16（1））在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知tan tan 2(tan tan ).cos cos A BA B B A+=+求证：2a b c +=； 2.解析 （1）由题意知，sin sin sin sin 2cos cos cos cos cos cos A B A B A B A B A B⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭， 化简得()2sin cos sin cos sin sin A B B A A B +=+，即()2sin sin sin A B A B +=+.因为πA B C ++=，所以()()sinsin πsin A B C C +=-=.从而sin sin =2sin A B C +.由正弦定理得2a b c +=.3.（2016四川理17（1））在ABC △中，角A ，B ， C 所对的边分别是a ， b ，c ，且cos cos sin A B Ca b c+=. 证明：sin sin sin A B C =； 3.解析（1）根据正弦定理，可设(0)sin sin sin a b ck k A B C===>，则sin a k A =，sin b k B =，sin c k C =.代入cos cos sin A B Ca b c+=中，有cos cos sin sin sin sin A B C k A k B k C +=，可变形得sin sin sin cos +sin cos sin().A B A B B A A B ==+在ABC △中，由πA B C ++=，有()()sin sin πsin A B C C +=-=， 所以sin sin sin .A B C =4.（2016浙江理20（1））设数列{}n a 满足112n n a a +-…，n *∈N ．求证：()1122n n a a --…，n *∈N ；4.解析 由11122n n n na a a a ++--≤…，得1112n n a a +-….两边同时除以2n ，得1*11,222n n n n na a n ++-∈N …，所以1223111223122222222n nn n n n n a a a a a a a a --⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭121111+++222n -⋅⋅⋅= (1)1111221111212n n --⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫⎝⎭=-< ⎪⎝⎭-，因此()1122n n a a --…. 5.（2016天津理18）已知{}n a 是各项均为正数的等差数列，公差为d ，对任意的*n ∈N ， n b 是n a 和1n a +的等比中项.（1）设22*1,n n nc b b n +=-∈N ，求证：数列{}n c 是等差数列； （2）设1ad =，()2211nkn k k T b ==-∑，*n ∈N .求证：21112nk kT d =<∑. 5.解析 （1）证明：由题意得21n n n b a a +=，有221n n n c b b +=-=121n n n n a a aa +++-=12n da +，因此()212122n n n n c c d a a d +++-=-=，所以{}n c 是等差数列.（2）证明：()()()2222221234212n n n T b b b b b b -=-++-+++-+=()2422n d a a a +++=()()2222212n n a a d d n n +⋅=+. 所以()222211111111111112121212nn n k k k k T d k k d k k d n d ===⎛⎫⎛⎫==-=-< ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭∑∑∑. 题型153 反证法证明1.（2015湖南理16（3））设0a >，0b >，且11a b a b+=+. （1）2a b +…；（2）22a a +<与22b b +<不可能同时成立.1.解析 证明： 由abb a b a b a +=+=+11，0,0>>b a 得 1=ab （i ）由基本不等式及1=ab，有2a b +=…，即2a b +…. (ii ) 假设22<+a a 与22<+b b 同时成立，则由22<+a a 及0>a 得10<<a ； 同理，10<<b ，从而10<<ab ，这与1=ab 相矛盾. 故22<+a a 与22<+b b 不可能同时成立.2.（2016全国甲理15）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是_______.3.（2016浙江理20）设数列{}n a 满足112n n a a +-…，n *∈N ． （1）求证：()1122n n a a --…，n *∈N ；（2）若32nn a ⎛⎫⎪⎝⎭…，n *∈N ，证明：2n a …，n *∈N ．3.解析 （1）由11122n n n na a a a ++--≤…，得1112n n a a +-….两边同时除以2n ，得1*11,222n n n n na a n ++-∈N …， 所以1223111223122222222n nn n n n n a a a a a a a a --⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭121111+++222n -⋅⋅⋅= (1)1111221111212n n --⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫⎝⎭=-< ⎪⎝⎭-，因此()1122n n a a --….（2）任取n *∈N ，由（1）知，对于任意m n >，1121112122222222n m n n n n m m nmnn n n m m a a a a a a a a +++-+++-⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭11122n n +++⋅⋅⋅+ (111)11122111111222212n m n m n m n n -----⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭==-< ⎪⎝⎭-，故11222m nn n m a a -⎛⎫<+⋅ ⎪⎝⎭≤11132222m n n m -⎡⎤⎛⎫+⋅⋅⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦3224m n ⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭．从而对于任意m n >，均有3224mn n a ⎛⎫<+⋅ ⎪⎝⎭①，当m 趋于正无穷时，3224mn⎛⎫+⋅ ⎪⎝⎭单调递减趋于0，即 2.n a …否则存在*0n ∈N ，有02n a >，取正整数00342log 2n n a m ->，且00m n >，则0340002log 23322244n n amn n n a -⎛⎫⎛⎫⋅<⋅=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即0003224m n na ⎛⎫>+⋅ ⎪⎝⎭与式①相矛盾.由上所述，对于任意n ∈N ，均有2n a ….4．（2016上海理23（3）） 若无穷数列{}n a 满足：只要p q a a =()*,p q ∈N ，必有11p q a a ++=，则称{}n a 具有性质P ．（1）若{}n a 具有性质P ． 且11a =， 22a =， 43a =， 52a =，67821a a a ++=，求3a ；（2）若无穷数列{}n b 是等差数列，无穷数列{}n c 是公比为正数的等比数列，151b c ==，5181b c ==，n n n a b c =+，判断{}n a 是否具有性质P ，并说明理由； （3）设{}n b 是无穷数列，已知1sin n n n a b a +=+()*n ∈N ，求证：“对任意1a ，{}n a 都具有性质P ”的充要条件为“{}n b 是常数列”．4．解析 （1）因为252a a ==，所以36a a =，473a a ==，582a a ==，67821a a a ++=，所以6782116a a a =--=，所以316a =． （2）设{}n b 的公差为d ，{}n c 的公差为q ，则0q >， 因为51480b b d -==，所以20d =，故2019n b n =-；因为451181c q c ==，所以13q =，故513n n c -⎛⎫= ⎪⎝⎭．所以5120193n n n n a b c n -⎛⎫=+=-+ ⎪⎝⎭，由题意1582a a ==，但2212748a =+=，6130410133a =+=，显然62a a ≠ 故{}n a 不具有性质P ．（3）先论证充分性：若{}n b 为常数列，不妨设n b C =， 则1sin n n a C a +=+，若存在,p q 使得p q a a =，则11sin sin p p q q a C a C a a ++=+=+=，故{}n a 具有性质P ．再论证必要性：证法一（反证法）：假设{}n b 不是常数列，则存在k *∈N ，使得12k b b b b ==⋅⋅⋅==，而1k b b +≠．下面证明存在满足1sin n n n a b a +=+的{}n a ，使得121k a a a +==⋅⋅⋅=，但21k k a a ++≠． 设()sin f x x x b =--，取m *∈N ，使得m b π>，则()0f m m b π=π->，()0f m m b -π=-π-<，故存在c 使得()0f c =．取1a c =，因为1sin n n a b a +=+()1n k 剟，所以21sin a b c c a =+==， 依此类推，得121k a a a c +==⋅⋅⋅==，但2111s in s in s in k k k k a b a b c b c ++++=+=+≠+， 即21k k a a ++≠，所以{}n a 不具有性质P ，与假设矛盾，所以{}n b 是常数列．综上所述：“对任意1a ，{}n a 都具有性质P ”的充要条件为“{}n b 是常数列”． 证法二：考察连续函数()1sin f x x b x =--，其中1b 为任意实数， 因为()()1122sin 20f b b -=---<，()()1122sin 20f b b +=-+>， 所以存在()112,2t b b ∈-+，使得()1sin 0f t t b t =--=， 若对任意的1a ，{}n a 都具有性质P ，取1a t =，此时211sin a b a =+11sin b t t a =+==，从而会有32a a =，32a a =，⋅⋅⋅，1n n a a +=，⋅⋅⋅，因此对任意的*n ∈N ，都有121sin n n n b a a +++=-1sin n n n a a b +=-=，从而{}n b 是常数列．综上所述：“对任意1a ，{}n a 都具有性质P ”的充要条件为“{}n b 是常数列”． 评注 事实上，若对任意1a ，{}n a 具有性质P ，则211sin a b a =+，构造函数()1f x x b =-，()sin g x x =，由()(),f x g x 图像可得，对任意的1b ，二者图像必有一个交点（但这一点需要数学理论的论述），所以一定能找到一个1a ，使得111sin a b a -=，所以2111sin a b a a =+=，即1n n a a +=．故1211sin sin n n n n n n b a a a a b ++++=-=-=，所以{}n b 是常数列．题型154 数学归纳法证明——暂无1.（2015江苏23）已知集合{}1,2,3X =，{}1,2,3,,n Y n =…()*n ∈N ，设(){,n S a b a=整除b 或b 整除a ，},n a X b Y ∈∈，令()f n 表示集合n S 所含元素的个数．（1）写出()6f 的值；（2）当6n …时，写出()f n 的表达式，并用数学归纳法证明． 故22<+a a 与22<+b b 不可能同时成立.1.分析 其实解决此除了需要有良好的数学分类思维以外，还需下表辅助我们理解问题的本质．1234567891011121314151617186162636465661k k k k k k k k +++++++共………………组组第带标记的表示为3的倍数或约数（其实1是奇葩，其余的都是3的倍数），带标记的表示为2的倍数或约数，而则表示既是3的倍数或约数又是2的倍数或约数（即为6的倍数或约数，此题不作研究）．这样研究6n k =()*k ∈N 时，可直接得：()()()()63121112f n k k k k =++++=+， 当63n k =+()*k ∈N 时，可直接得：()()()()63311211117f n k k k k =+++++++=+．这就是本题的本质，以6为周期进行分类整合并进行数学归纳研究． 解析 （1）当6n =时，{}1,2,3X =，{}1,2,3,4,5,6n Y =，(),a b 可取()1,1，()1,2，()1,3，()1,4，()1,5，()1,6，()2,1，()2,2，()2,4，()2,6，()3,1，()3,3，()3,6，共13个，故()613f =．（2）当6n …时，()()*112,6113,61115,62117,63119,641110,65k n k k n k k n k f n k n k k n k k n k k +=⎧⎪+=+⎪+=+⎪=⎨+=+⎪⎪+=+⎪+=+∈⎩N ，证明：1︒当1k =时，枚举可得()613f =，()714f =，()816f =，()918f =，()1020f =，()1121f =，符合通式；2︒假设k t =时，成立，即()()*112,6113,61115,62117,63119,641110,65t n t t n t t n t f n t n t t n t t n t t +=⎧⎪+=+⎪+=+⎪=⎨+=+⎪⎪+=+⎪+=+∈⎩N 成立， 则当1k t =+时，此时66n t =+，此时()6f n +比()f n 多出有序数对11个， 即多出()1,61t +，()1,62t +，()1,63t +，()1,64t +，()1,65t +，()1,66t +，()2,62t +，()2,64t +，()2,66t +，()3,63t +，()3,66t +，从而()()()6111112f n f n t +=+=++，符合通式；另外，当67n t =+，68n t =+，69n t =+，610n t =+，611n t =+，同理可证，综上，即()()()()()()()()*1112,661113,671115,6861117,691119,61011110,611t n t t n t t n t f n t n t t n t t t n t ++=+⎧⎪++=+⎪⎪++=+⎪+=⎨++=+⎪⎪++=+⎪++=+⎪∈⎩N ， 即当1k t =+时也成立． 例如61n k =+时，16n k -=，则()111711311366n n f n k -+=+=⨯+=，综上所述：()()*1112,66117,616118,626119,6361110,646115,656n n k n n k n n k f n n n k n k k n n n k +⎧=⎪⎪+⎪=+⎪⎪+⎪=+⎪=⎨+⎪=+⎪⎪+⎪=+⎪⎪+=+⎪⎩∈N ．2.（2015安徽理18）设*n ∈N ，n x 是曲线221n y x +=+在点()1,2处的切线与x 轴交点的横坐标．（1）求数列{}n x 的通项公式；（2）记2221321n n T x x x -=，求证：14nT n…. 2. 解析 （1）()()2221122n n y x n x ++''=+=+，所以曲线221n y x +=+在点()1,2处的切线斜率为22n +，从而切线方程为()()2221y n x -=+-．令0y =，解得切线与x 轴的交点的横坐标1111n n x n n =-=++． （2）证法一：证明：由题设和（Ⅰ）中的计算结果知：22222213211321242n n n T x x x n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．当1n =时，114T =；当2n …时， 因为()()()()222221222121121222n n n n x n n n -----⎛⎫==>= ⎪⎝⎭2212n n n n --=，所以2112112234n n T n n-⎛⎫>⨯⨯⨯⨯=⎪⎝⎭． 综上可得对任意的*n ∈N ，均有14n T n…． 证法二：分析 证明数列不等式时，对于不等式两端含n 且一端是积的形式()()1n i i a f n =⎛⎫<> ⎪⎝⎭∏，可采用对称的思想，使其化为两个数列积的形式，再通过比较通项的大小，最后根据不等式“同向同正可乘”的基本性质，叠乘得以证明． 证明：设14n G n =是数列{}n b 的前n 项积，则当1n =时，114b =；当2n …时，()141n G n =-，所以11n n n G n b G n --==．由（1）可得，当1n =时，22111124x b ⎛⎫=== ⎪⎝⎭；当2n …时， 22212112n n n n xb n n ---⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭()()223221411044n n n n n n---=>，所以此时221n n x b ->， 所以可得222352123n n x x x b b b ->，综上可得22221352112314n n x x x x b b b b n -=…，即14n T n…． 3.（2015广东理21）数列{}n a 满足：*12122+4,2n n n a a na n -+++⋅⋅⋅=-∈N . (1) 求3a 的值；(2) 求数列{}n a 的前n 项和n T ； (3) 令11b a =，()11111223n n n T b a n n n -⎛⎫=++++⋅⋅⋅+ ⎪⎝⎭…，求证：数列{}n b 的前nn S 满足22ln n S n <+.3. 解析（1）由题可得()()3123123232a a a a a a =++-+=31213222344224--++⎛⎫---= ⎪⎝⎭，所以314a =． （2）由题可得当1n >时，()()12121221n n n na a a na a a n a -=+++-+++-=⎡⎤⎣⎦1242n n -+--211422n n n n --+⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以112n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭．又1012412a +=-=也适合此式， 所以112n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以数列{}n a 是首项为1，公比为12的等比数列， 故1111221212nn n T -⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭==- ⎪⎝⎭-．（3）由题可得()12111122n n n a a a b a n n n -+++⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭…， 所以1221122a b a ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭， 1233111323a a b a +⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，1234411114234a a a b a ++⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭，，所以1211112n n S b b b a n ⎛⎫=+++=++++ ⎪⎝⎭ 211111122n a a n n ⎛⎫⎛⎫++++++++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()121112n a a a n ⎛⎫++++++= ⎪⎝⎭1112n T n ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭11111222n n -⎛⎫⎛⎫+++-< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭11212n ⎛⎫⨯+++ ⎪⎝⎭．记()()()ln 111x f x x x x =+->-+，则()()()2211111x f x x x x '=-=+++． 当()1,0x ∈-时，()0f x '<，当()0,x ∈+∞时，()0f x '>，所以()f x 在()1,0-上单调递减，在()0,+∞上单调递增，所以当0x =时，()()min 00f x f ==，当0x ≠时，()()00f x f >=，所以()()ln 101xx x x +>≠+，所以()*11ln 11n n n ⎛⎫+>∈ ⎪+⎝⎭N ， 所以12ln 21<，13ln 32<，，1ln 1nn n <-， 即有11123ln ln lnln 23121nn n n +++<+++=-， 所以1112122ln 23n n ⎛⎫⨯++++<+ ⎪⎝⎭，即22ln n S n <+． 4.（2015湖北理22）已知数列{}n a 的各项均为正数，*1(1)()n n n b n a n n=+∈N ，e 为自然对数的底数．（1）求函数()1e x f x x =+-的单调区间，并比较1(1)n n+与e 的大小；（2）计算11b a ，1212b b a a ，123123b b b a a a ，由此推测计算1212nnb b b a a a 的公式，并给出证明； （3）令112()nn n c a a a =，数列{}n a ，{}n c 的前n 项和分别记为n S ,n T , 证明：e n n T S <.4. 解析 （1）()f x 的定义域为(,)-∞+∞，()1e x f x '=-.当()0f x '>，即0x <时，()f x 单调递增；当()0f x '<，即0x >时，()f x 单调递减. 故()f x 的单调递增区间为(,0)-∞，单调递减区间为(0,)+∞. 当0x >时，()(0)0f x f <=，即1e x x +<.令1x n=，得111e n n +<，即1(1)e n n +<. ①（2）11111(1)1121b a =⋅+=+=；22212121212122(1)(21)32b b b b a a a a =⋅=⋅+=+=； 2333123312123123133(1)(31)43b b b b b b a a a a a a =⋅=⋅+=+=. 由此推测：1212(1).n nnb b b n a a a =+ ②下面用数学归纳法证明②.（1）当1n =时，左边=右边2=，②成立. （2）假设当n k =时，②成立，即1212(1)k kkb b b k a a a =+.当1n k =+时，1111(1)(1)1k k k b k a k +++=+++，由归纳假设可得： 111211211211211(1)(1)(1)(2)1k k k k k k k k k k k b b b b b bb b k k k a a a a a a a a k ++++++=⋅=+++=++. 所以当1n k =+时，②也成立.根据（1）（2），可知②对一切正整数n 都成立. 所以()11*22(1),n nnb b b n n a a a =+∈N .（3）由n c 的定义，②，算术-几何平均不等式，n b 的定义及①得：123n n T c c c c =++++=111131211212312()()()()nn a a a a a a a a a ++++=111131212312112()()()()2341nn b b b b b b b b b n +++++…12312112122334(1)nb b b b b b b b b n n ++++++++++=⨯⨯⨯+121111111[][]1223(1)2334(1)(1)n b b b n n n n n n +++++++++⋅=⨯⨯+⨯⨯++ 1211111(1)()()1211n b b b n n n n -+-++-<+++1212n b b b n +++1212111(1)(1)(1)12n n a a a n=++++++<12e e e na a a +++=e n S ，即e n n T S <.5.（2015浙江理20）已知数列{}n a 满足1a =12且()*21n n n a n a a +=-∈N ． （1）证明：()1*12n n a n a +∈N 剟；（2）设数列{}2n a 的前n 项和为n S ,证明()*112(2)2(1)nS n n n n +∈+N 剟. 5.解析 （1）由题意得21n n n n a a a a +=-…，所以1112n n a a a -⋅⋅⋅=剟?， 1(1)n n n a a a +=-，所以n a 与1n a +同号，又1102a =>，所以102n a <…， 所以11[1,2]1n n na a a +=∈-， （2）由题意得12+-=n n n a a a ，所以222121111...2n n n n S a a a a a a ++=+++=-=-， 又()1111111n n n n na a a a a +==+--，所以[]11111,21n n n a a a +-=∈- 所以11112n n n a a +-剟，因此1*11()2(1)2n a n n n +∈++N 剟， 所以 11,22(2)2(1)n n n n S a n n +⎡⎤=-∈⎢⎥++⎣⎦所以*11()2(2)2(1)nS n n nn ∈++N 剟．6.（2015重庆理22）在数列{}n a 中，13a =，()2*110n n n na a a a n λμ++++=∈N ． （1）若0λ=，2μ=-，求数列{}n a 的通项公式； （2）若()*0001,2k k k λ=∈N …，1μ=-，证明：010*********k a k k ++<<+++. 6. 解析 （1）由0λ=, 2μ=-,有()2*12n n n a a a n +=∈N .若存在某个*0n ∈N ，使得00=n a ，则由上述递推公式易得010n a -=．重复上述过程可得01=a ，此时与31=a 矛盾，所以对任意的*n ∈N ，0≠n a ． 从而()*12n n a a n +=∈N ，即{}n a 是一个公比2=q ，首项31=a 的等比数列．故()-1-1*132n n n a a qn ==∈N ．高考数学（理）试题分类汇编高考数学（理）试题分类汇编（2）由01k λ=，1μ=-，数列{}n a 的递推关系式变为211010n nn n a a a a k +++-=， 变形为()2*101n n n a a a n k +⎛⎫+=∈ ⎪⎝⎭N ．由上式及031>=a ，归纳可得12130n n a a a a +=>>>>>>．因为22200101111n nn n n a a k k a a a k k +-+===++0001111n n a k k k a -++， 所以对01,2,,n k =⋅⋅⋅求和得 ()()00011211k k k a a a a a a ++=+-++- =010000102011111111k a k k k k a k a k a ⎛⎫-⋅++++> ⎪ ⎪+++⎝⎭000000111112231313131k k k k k k ⎛⎫++++=+⎪++++⎝⎭个.另一方面，由上已证的不等式知001212k k a a a a +>>>>>，得：00110000102011111111k k a a k k k k a k a k a +⎛⎫=-⋅+++⋅⋅⋅+< ⎪ ⎪+++⎝⎭0000011112212121k k k k k ⎛⎫+++⋅⋅⋅+ ⎪+++⎝⎭个.综上所述：010011223121k k a k k ++<<+++．。

2017 年高考数学理科真题汇编解析：第十四章推理与证明第十四章推理与证明第一节 合情推理与演绎推理1.（ 2017 全国 2 卷理科 7）甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老 成 的成 ．老：你 四人中有2 位 秀， 2 位良好，我 在 甲看乙、丙的成 ， 乙看丙的成 ，丁看甲的成 ．看后甲 大家 ：我 是不知道我的成 ．根据以上信息， （ ）.A ．乙可以知道四人的成B ．丁可以知道四人的成C ．乙、丁可以知道 方的成D ．乙、丁可以知道自己的成1．解析 四人所知只有自己看到，老 所 及最后甲 的 ．甲不知道自己成→ 乙、丙中必有一 一良（若 两 ，甲会知道自己成 ；两良亦然） .乙看了丙成 ，知道自己的成→ 丁看甲，甲、丁中也 一 一良，丁知道自己的成 ．故D.2.（ 2017 全国 1 卷理科 12）几位大学生响 国家的 号召，开 了一款 用 件 . 激大家学 数学的 趣，他 推出了 “解数学 取 件激活”的活 . 款 件的激活下面数学 的答案：已知数列 1， 1， 2， 1， 2，4， 1， 2， 4， 8，1， 2， 4， 8， 16 ， ⋯ ，其中第一 是20 ，接下来的两 是20 ， 21 ，再接下来的三 是 20 ， 21 ， 22 ，依此 推 .求 足如下条件的最小整数 N ： N100 且 数列的前 N 和 2的整数 .那么 款 件的激活 是（ ） .A. 440B. 330C. 220D. 1102. 解析 首 第1 ，接下来两 第2 ，再接下来三 第3 ，以此 推．n 1 nn 1 n100第 n 的 数 n ， n的 数和2，由 意得，N100 ，令2，1 2nn1得 n ≥ 14 且 n N *13 之后，第 n 的和 122，即 N出 在第， n 共的和2 1 2n2n12 nNn 1n1 n，若要使前 N和 2 的整数 ， 2的和 2k12与2 n互相反数， 即2k12n kN *，n ≥ 14， k log2n 3 ，得 n 的最小 n 29 ，k 5 ，29129 N25 440则.故选 A.题型 149归纳推理——暂无题型150类比推理——暂无题型 151 演绎推理第二节证明。

第十四章 推理与证明、新定义一．基础题组1.【2013年普通高等学校招生全国统一考试福建卷】设T S ,是R 的两个非空子集，如果存在一个从S 到T 的函数)(x f y =满足：)(i {}S x x f T ∈=)(；)(ii 对任意S x x ∈21,，当21x x <时，恒有)()(21x f x f <，那么称这两个集合“保序同构”，以下集合对不是“保序同构”的是（ ）A. N B N A ==*,B. {}{}1008,31≤<-==≤≤-=x x x B x x A 或C. {}R B x x A =<<=,10D. Q B Z A ==,2.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）】观察下列等式:211=22123-=-2221263+-=2222124310-+-=-…照此规律, 第n 个等式可为 .3.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）理】对区间I 上有定义的函数()g x ，记(){|(),}g I y y g x x I ==∈，已知定义域为[0,3]的函数()y f x =有反函数1()y f x -=，且11([0,1))[1,2),((2,4])[0,1)f f --==，若方程()0f x x -=有解0x ，则0_____x =二．能力题组4.【2013年普通高等学校招生全国统一考试数学浙江理】在空间中，过点A 作平面π的垂线，垂足为B ，记)(A f B π=.设βα,是两个不同的平面，对空间任意一点P ，)]([)],([21P f f Q P f f Q βααβ==,恒有21PQ PQ =，则（ ）A. 平面α与平面β垂直B. 平面α与平面β所成的（锐）二面角为045 C. 平面α与平面β平行 D.平面α与平面β所成的（锐）二面角为0605.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）】定义“正对数”：0,01ln ln ,1x x x x +<<⎧=⎨≥⎩，现有四个命题： ①若0,0a b >>，则()ln ln b a b a ++=；②若0,0a b >>，则()ln ln ln ab a b +++=+；③若0,0a b >>，则ln ln ln a a b b +++⎛⎫≥-⎪⎝⎭ ④若0,0a b >>，则()ln ln ln ln 2a b a b ++++≤++6.【2013年普通高等学校招生全国统一考试福建卷理】当1,<∈x R x 时，有如下表达式： xx x x n -=⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++1112 两边同时积分得：⎰⎰⎰⎰⎰-=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++2102102102210210111dx x dx x dx x xdx dx n从而得到如下等式：.2ln )21(11)21(31)21(21211132=⋅⋅⋅+⨯++⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯+n n 请根据以上材料所蕴含的数学思想方法，计算：=⨯++⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯+132210)21(11)21(31)21(2121n n n n n n C n C C C .231012n n n n n 1111111C C C C 2223212n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯+⨯+⨯++⨯ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭231123n +1n +1n +1n +1n +111111=C C C C n +12222n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⨯+⨯++⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ =11111n+12n +⎡⎤⎛⎫+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦113112n n +⎡⎤⎛⎫=-⎢⎥ ⎪+⎝⎭⎢⎥⎣⎦7.【2013年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷理科】古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数. 如三角形数1，3，6，10，， 第n 个三角形数为2(1)11222n n n n +=+. 记第n 个k 边形数为(,)(3)N n k k ≥，以下列出 了部分k 边形数中第n 个数的表达式：三角形数 211(,3)22N n n n =+， 正方形数 2(,4)N n n =，五边形数 231(,5)22N n n n =-， 六边形数 2(,6)2N n n n =-，………………………………………可以推测(,)N n k 的表达式，由此计算(10,24)N =_________.8.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）理科】设12,,,n P P P ⋅⋅⋅为平面α内的n 个点.在平面α内的所有点中，若点P 到点12,,,n P P P ⋅⋅⋅的距离之和最小，则称点P 为点12,,,n P P P ⋅⋅⋅的一个“中位点”.例如，线段AB 上的任意点都是端点,A B 的中位点.现有下列命题：①若三个点,,A B C 共线，C 在线段AB 上，则C 是,,A B C 的中位点；②直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点；③若四个点,,,A B C D 共线，则它们的中位点存在且唯一；④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点.其中的真命题是_______.（写出所有真命题的序）三．拔高题组9.【2013年普通高等学校统一考试江苏数学试题】设数列{}n a ：111,2,2,3,3,3,4,4,4,4,,(1),,(1)k k k k k --------⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅个，，即当(1)(1)()22k k k k n k N *-+<≤∈时，记1(1)k n a k -=-.记12()n n S a a a n N *=++⋅⋅⋅+∈. 对于l N *∈，定义集合{|l n p n S =是n a 的整数倍，n N *∈，且1}n l ≤≤.（1）求集合11p 中元素的个数；（2）求集合2000p 中元素的个数.而(1)(21)(22)(1,2,,22)i i j a i j i +++=-+=⋅⋅⋅+，∴(1)(21)(1)(21)(22)(21)(1)(22)i i j i i S S j i i i j i +++++=-+=++-+不是(1)(21)i i j a +++(1,2,,22)j i =⋅⋅⋅+的倍数， 故当(21)l i i =+时，集合l p 中元素的个数为213(21)i i ++⋅⋅⋅+-=，。

1.合情推理与演绎推理(1)归纳和类比都是合情推理，前者是由特殊到一般，部分到整体的推理，后者是由特殊到特殊的推理，但二者都能由已知推测未知，都能用于猜想，推理的结论不一定为真，有待进一步证明.(2)演绎推理与合情推理不同，是由一般到特殊的推理，是数学中证明的基本推理形式.也是公理化体系所采用的推理形式，另一方面，合情推理与演绎推理又是相辅相成的，前者是后者的前提，后者论证前者的可靠性.2.直接证明与间接证明直接证明和间接证明是数学证明的两类基本证明方法.直接证明的两类基本方法是综合法和分析法：综合法是从已知条件推导出结论的证明方法；分析法是由结论追溯到条件的证明方法，在解决数学问题时，常把它们结合起来使用，间接证法的一种方法是反证法，反证法是从结论反面成立出发，推出矛盾的证明方法.思考反证法通常适用于哪些问题？答案反证法是高中数学的一种重要的证明方法，在不等式和立体几何的证明中经常用到，它所反映出的“正难则反”的解决问题的思想方法更为重要.反证法主要证明：否定性、唯一性命题；至多、至少型问题；几何问题.3.数学归纳法数学归纳法主要用于解决与正整数有关的数学问题.证明时，它的两个步骤缺一不可.它的第一步(归纳奠基)n＝n0时结论成立.第二步(归纳递推)假设n＝k时，结论成立，推得n＝k＋1时结论也成立.数学归纳法原理建立在归纳公理的基础上，它可用有限的步骤(两步)证明出无限的命题成立.思考何为探索性命题？其解题思路是什么？答案探索性命题是试题中经常出现的一种题型，此类问题未给出问题结论，需要由特殊情况入手，猜想、证明一般结论的问题称为探求规律性问题，它的解题思想是：从给出的条件出发，通过观察、试验、归纳、猜想，探索出结论，然后再对归纳、猜想的结论进行证明.题型一合情推理及应用例1观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10等于()A.28B.76C.123D.199答案 C解析记a n＋b n＝f(n)，则f(3)＝f(1)＋f(2)＝1＋3＝4；f(4)＝f(2)＋f(3)＝3＋4＝7；f(5)＝f(3)＋f(4)＝11.通过观察不难发现f(n)＝f(n－1)＋f(n－2)(n∈N*，n≥3)，则f(6)＝f(4)＋f(5)＝18；f(7)＝f(5)＋f(6)＝29；f(8)＝f(6)＋f(7)＝47；f(9)＝f(7)＋f(8)＝76；f(10)＝f(8)＋f(9)＝123.所以a10＋b10＝123.反思与感悟归纳推理和类比推理是常用的合情推理，两种推理的结论“合情”但不一定“合理”，其正确性都有待严格证明.尽管如此，合情推理在探索新知识方面有着极其重要的作用.运用合情推理时，要认识到观察、归纳、类比、猜想、证明是相互联系的.在解决问题时，可以先从观察入手，发现问题的特点，形成解决问题的初步思路，然后用归纳、类比的方法进行探索、猜想，最后用逻辑推理方法进行验证.跟踪训练1自然数按下表的规律排列则上起第2 014行，左起第2 015列的数为()A.2 0142B.2 0152C.2 013×2 014D.2 014×2 015答案 D解析 经观察可得这个自然数表的排列特点：①第一列的每个数都是完全平方数，并且恰好等于它所在行数的平方，即第n 行的第1个数为n 2；②第一行第n 个数为(n －1)2＋1；③第n 行从第1个数至第n 个数依次递减1； ④第n 列从第1个数至第n 个数依次递增1.故上起第2 014行，左起第2 015列的数，应是第2 015列的第2 014个数，即为[(2 015－1)2＋1]＋2 013＝2 014×2 015. 题型二 直接证明与间接证明例2 已知a ＞b ＞0，求证(a －b )28a ＜a ＋b 2－ab ＜(a －b )28b .证明 欲证(a －b )28a ＜a ＋b 2－ab ＜(a －b )28b ，只需证(a －b )28a ＜(a －b )22＜(a －b )28b ，∵a ＞b ＞0，∴只需证a －b 22a ＜a －b 2＜a －b22b ，即a ＋b 2a ＜1＜a ＋b2b， 欲证a ＋b 2a ＜1，只需证a ＋b ＜2a ，即b ＜a ，该式显然成立.欲证1＜a ＋b2b，只需证2b ＜a ＋b ，即b ＜a ，该式显然成立. ∴a ＋b 2a ＜1＜a ＋b2b成立. ∴(a －b )28a ＜a ＋b 2－ab ＜(a －b )28b成立.反思与感悟 直接证明方法可具体分为比较法、代换法、放缩法、判别式法、构造函数法等，应用综合法证明问题时，必须首先想到从哪里开始起步，分析法就可以帮助我们克服这种困难，在实际证明问题时，应当把分析法和综合法结合起来使用. 跟踪训练2 已知等差数列{a n }中，首项a 1＞0，公差d ＞0. (1)若a 1＝1，d ＝2，且1a 21，1a 24，1a 2m 成等比数列，求正整数m 的值；(2)求证对任意正整数n ，1a 2n ，1a 2n ＋1，1a 2n ＋2都不成等差数列.(1)解 ∵{a n }是等差数列，a 1＝1，d ＝2， ∴a 4＝7，a m ＝2m －1.∵1a 21，1a 24，1a 2m 成等比数列， ∴1492＝1(2m －1)2， 即2m －1＝49.∴m ＝25.(2)证明 假设存在n ∈N *，使1a 2n ，1a 2n ＋1，1a 2n ＋2成等差数列，即2a 2n ＋1＝1a 2n ＋1a 2n ＋2， ∴2a 2n ＋1＝1(a n ＋1－d )2＋1(a n ＋1＋d )2＝2a 2n ＋1＋2d2(a 2n ＋1－d 2)2， 化简得d 2＝3a 2n ＋1.(*)又∵a 1＞0，d ＞0，∴a n ＋1＝a 1＋nd ＞d ，∴3a 2n ＋1＞3d 2＞d 2，与(*)式矛盾，因此假设不成立，故命题得证. 题型三 数学归纳法及应用例3 已知a i ＞0(i ＝1,2，…，n )，考察： ①a 1·1a 1≥1；②(a 1＋a 2)⎝⎛⎭⎫1a 1＋1a 2≥4；③(a 1＋a 2＋a 3)⎝⎛⎭⎫1a 1＋1a 2＋1a 3≥9.归纳出对a 1，a 2，…，a n 都成立的类似不等式，并用数学归纳法加以证明.解 结论：(a 1＋a 2＋…＋a n )·⎝⎛⎭⎫1a 1＋1a2＋…＋1a n≥n 2(n ∈N *). 证明：①当n ＝1时，显然成立. ②假设当n ＝k 时，不等式成立，即(a 1＋a 2＋…＋a k )·⎝⎛⎭⎫1a 1＋1a2＋…＋1a k≥k 2. 当n ＝k ＋1时，(a 1＋a 2＋…＋a k ＋a k ＋1)·⎝⎛⎭⎫1a 1＋1a 2＋…＋1a k＋1ak ＋1＝(a 1＋a 2＋…＋a k )⎝⎛⎭⎫1a 1＋1a 2＋…＋1a k ＋a k ＋1·⎝⎛⎭⎫1a 1＋1a 2＋…＋1a k ＋1a k ＋1(a 1＋a 2＋…＋a k )＋1 ≥k 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1a 1＋a 1a k ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1a 2＋a 2a k ＋1＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1a k ＋a k a k ＋1＋1 ≥k 2＋2k ＋1＝(k ＋1)2.由①②可知，不等式对任意正整数n 都成立.反思与感悟 数学归纳法是推理逻辑，它的第一步称为奠基步骤，是论证的基础保证，即通过验证落实传递的起点，这个基础必须真实可靠；它的第二步称为递推步骤，是命题具有后继传递性的保证，两步合在一起为完全归纳步骤，这两步缺一不可，第二步中证明“当n ＝k ＋1时结论正确”的过程中，必须用“归纳假设”，否则就是错误的. 跟踪训练3 数列{a n }满足S n ＝2n －a n (n ∈N *). (1)计算a 1，a 2，a 3，a 4，并由此猜想通项公式a n ； (2)证明(1)中的猜想.(1)解 当n ＝1时，a 1＝S 1＝2－a 1，∴a 1＝1； 当n ＝2时，a 1＋a 2＝S 2＝2×2－a 2，∴a 2＝32；当n ＝3时，a 1＋a 2＋a 3＝S 3＝2×3－a 3，∴a 3＝74；当n ＝4时，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝S 4＝2×4－a 4， ∴a 4＝158.由此猜想a n ＝2n －12n 1(n ∈N *).(2)证明 ①当n ＝1时，a 1＝1，结论成立. ②假设n ＝k (k ≥1且k ∈N *)时，结论成立， 即a k ＝2k －12k －1，那么n ＝k ＋1时，a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝2(k ＋1)－a k ＋1－2k ＋a k ＝2＋a k －a k ＋1， ∴2a k ＋1＝2＋a k .∴a k ＋1＝2＋a k 2＝2＋2k －12k －12＝2k ＋1－12k .所以当n ＝k ＋1时，结论成立. 由①②知猜想a n ＝2n －12n －1(n ∈N *)成立.应用反证法证明问题时，因对结论否定不正确致误例4 已知x ，y ∈R ，且x 2＋y 2＝0，求证x ，y 全为0. 错解 假设结论不成立，则x ，y 全不为0，即x ≠0且y ≠0，∴x 2＋y 2＞0，与x 2＋y 2＝0矛盾，故x ，y 全为0.错因分析 x ，y 全为0的否定应为x ，y 不全为0，即至少有一个不是0，得x 2＋y 2＞0与已知矛盾.正解 假设x ，y 不全为0，则有以下三种可能： ①x ＝0，y ≠0，得x 2＋y 2＞0，与x 2＋y 2＝0矛盾； ②x ≠0，y ＝0，得x 2＋y 2＞0, 与x 2＋y 2＝0矛盾； ③x ≠0，y ≠0，得x 2＋y 2＞0，与x 2＋y 2＝0矛盾. ∴假设是错误的， ∴x ，y 全为0.防范措施 应用反证法证明问题时，首先要否定结论，假设结论的反面成立，当结论的反面呈现多样性时，需罗列出各种可能情形，否定一定要彻底.1.下列推理正确的是( )A.把a (b ＋c )与log a (x ＋y )类比，则log a (x ＋y )＝log a x ＋log a yB.把a (b ＋c )与sin(x ＋y )类比，则sin(x ＋y )＝sin x ＋sin yC.把(ab )n 与(x ＋y )n 类比，则(x ＋y )n ＝x n ＋y nD.把(a ＋b )＋c 与(xy )z 类比，则(xy )z ＝x (yz ) 答案 D2.在△ABC 中，若sin A sin C ＞cos A cos C ，则△ABC 一定是( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不确定答案 D解析 由sin A sin C ＞cos A cos C ，得cos(A ＋C )＜0，即cos B ＞0, 所以B 为锐角，但并不能确定角A 和C 的情况，故选D.3.猜想数列12×4，14×6，16×8，18×10，…的通项公式是____________________.答案 a n ＝12n (2n ＋2)(n ∈N *)解析 分析式子12×4，14×6，16×8，18×10，…的规律，可得分子均为1，分母为连续相邻的两个偶数的乘积.4.如图是由花盆摆成的图案，根据图中花盆摆放的规律，第n 个图形中的花盆数a n ＝__________.答案 3n 2－3n ＋1解析 观察知每一个图案中间一行的花盆数为1,3,5，…，其中第n 个图案中间一行的花盆数为2n －1，往上一侧花盆数依次是2n －2,2n －3，…，它们的和为n (2n －1＋n )2＝n (3n －1)2，往下一侧(含中间一行)花盆数为n (3n －1)2，所以a n ＝2·n (3n －1)2－(2n －1)＝3n 2－3n ＋1.5.函数列{f n (x )}满足f 1(x )＝x1＋x 2(x ＞0)，f n ＋1(x )＝f 1(f n (x )). (1)求f 2(x )，f 3(x )；(2)猜想f n (x )的表达式，并证明. 解 (1)f 1(x )＝x1＋x 2(x ＞0)， f 2(x )＝x 1＋x 21＋x 21＋x 2＝x1＋2x 2， f 3(x )＝x 1＋2x 21＋x 21＋2x 2＝x 1＋2x 2＋x 2＝x1＋3x 2. (2)猜想f n (x )＝x 1＋nx 2(n ∈N *)， 下面用数学归纳法证明： ①当n ＝1时，命题显然成立； ②假设当n ＝k (k ∈N *)时，f k (x )＝x1＋kx 2， 那么f k ＋1(x )＝x 1＋kx 21＋x 21＋kx 2＝x 1＋kx 2＋x 2＝x1＋(k ＋1)x 2.这就是说当n ＝k ＋1时命题也成立. 由①②可知，f n (x )＝x 1＋nx2对所有n ∈N *均成立.故f n (x )＝x 1＋nx2(n ∈N *).转化与化归的思想方法是数学最基本的思想方法，数学中一切问题的解决都离不开转化与化归，转化与化归是数学思想方法的灵魂.在本章中，合情推理与演绎推理体现的是一般与特殊的转化，数学归纳法体现的是一般与特殊、有限与无限的转化，反证法体现的是对立与统一的转化.从特殊到一般的思想方法即由特殊情况入手，通过观察、试验、归纳、猜想，探索出结论，然后再对归纳、猜想的结论进行证明.与正整数n 有关的命题，经常要用到归纳猜想，然后用数学归纳法证明，这体现了从特殊到一般的探求规律的思想.一、选择题1.古希腊，毕达哥拉斯学派把1,3,6,10,15,21,28，…这些数叫做三角形数，因为这些数(除1外)对应的点可以排成一个正三角形，如图所示，则第n 个三角形数为( )A.nB.n (n ＋1)2C.n 2－1D.n (n －1)2答案 B解析 观察图形可知，这些三角形数的特点是第n 个三角形数是在前一个三角形数的基础上加上n ，于是第n 个三角形数为1＋2＋…＋n ＝n (n ＋1)2.2.有这样一段演绎推理“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”结论显然是错误的，是因为( ) A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误 答案 C解析 演绎推理的一般模式是三段论，大前提是已知的一般性原理，小前提是研究的特殊情况，结论是得出的判断.本题中并非所有的有理数都是真分数，所以推理形式错误.3.如图，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F (c,0)，当AB →⊥FB →时，由b 2＝ac 得其离心率为5－12，此类椭圆称为“黄金椭圆”.类比“黄金椭圆”，在“黄金双曲线”x 2a 21－y 2b 21＝1中，由b 21＝a 1c 1(c 1为黄金双曲线的半焦距)可推出“黄金双曲线”的离心率为( )A.5＋12 B.3＋12 C.5＋13D.7－12答案 A 解析 b 21＝a 1c 1，c 21－a 21＝b 21＝a 1c 1，∴c 21a 21－1＝c 1a 1，∴e 2－e －1＝0，∴e ＝5＋12(∵e ＞1).故选A.4.设函数f (x )＝2x ＋1x －1(x ＜0)，则f (x )( )A.有最大值B.有最小值C.为增函数D.为减函数答案 A解析 ∵x ＜0，∴－x ＞0，则 (－2x )＋⎝⎛⎭⎫－1x ≥2(－2x )⎝⎛⎭⎫－1x ＝22， ∴－⎣⎡⎦⎤(－2x )＋⎝⎛⎭⎫－1x ≤－2 2. ∴f (x )＝－⎣⎡⎦⎤(－2x )＋⎝⎛⎭⎫－1x －1≤－22－1. 当且仅当－2x ＝－1x ，即x ＝－22时取最大值.故选A.5.设集合S ＝{A 0，A 1，A 2，A 3}，在S 上定义运算为：A i A j ＝A k ，其中k 为i ＋j 被4除的余数，i ，j ＝0,1,2,3.则满足关系式(x x A 2＝A 0的x (x ∈S )的个数为( )A.1B.2C.3D.4 答案 B解析 当x ＝A 0时，(x xA 2＝A 2≠A 0，当x ＝A 1时，(x xA 2＝A 2A 2＝A 0，成立；当x ＝A 2时，(x xA 2＝A 0A 2＝A 2≠A 0；当x ＝A 3时，(x xA 2＝A 2A 2＝A 0，成立.故选B.6.O 是平面上一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，λ∈[0，＋∞)，则P 的轨迹一定通过△ABC 的( ) A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 答案 B解析 如图，AB →|AB →|为AB →上的单位向量，AC →|AC →|为AC →上的单位向量，则AB →|AB →|＋AC→|AC →|的方向为∠BAC的角平分线AD 的方向.又λ∈[0，＋∞)，∴λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|的方向与AB →|AB →|＋AC →|AC →|的方向相同.而OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，∴点P 在AD 上移动，∴P 的轨迹一定通过△ABC 的内心. 二、填空题7.已知p ＝a ＋1a －2(a ＞2)，q ＝2－a 2＋4a －2(a ＞2)，则p ，q 的大小关系为______.答案 p ＞q解析 p ＝a －2＋1a －2＋2≥2(a －2)·1a －2＋2＝4，－a 2＋4a －2＝2－(a －2)2＜2，∴q ＜22＝4≤p .8.α，β是两个不同的平面，m ，n 是平面α及平面β外两条不同的直线，给出下列四个论断： ①m ⊥n ；②α⊥β；③n ⊥β；④m ⊥α.以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出一个你认为正确的命题__________. 答案 ②③④⇒①(或①③④⇒②)9.若二次函数f (x )＝4x 2－2(p －2)x －2p 2－p ＋1在区间[－1,1]内至少存在一点c ，使f (c )＞0，则实数p 的取值范围是__________. 答案 ⎝⎛⎭⎫－3，32 解析 方法一(补集法)：令⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)≤0，f (1)≤0即⎩⎪⎨⎪⎧ －2p 2＋p ＋1≤0，－2p 2－3p ＋9≤0即⎩⎨⎧ p ≤－12或p ≥1，p ≤－3或p ≥32.∴p ≤－3或p ≥32，符合题意的解是－3＜p ＜32. 方法二(直接法)：依题意，有f (－1)＞0或f (1)＞0，即2p 2－p －1＜0或2p 2＋3p －9＜0，∴－12＜p ＜1或－3＜p ＜32，∴－3＜p ＜32. 10.设函数y ＝f (x )在(0，＋∞)内有定义，对于给定的正数K ，定义函数f K (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，f (x )≤K ，K ，f (x )＞K ，若函数f (x )＝ln x ＋1e x，且恒有f K (x )＝f (x )，则K 的最小值为______________. 答案 1e解析 由于f (x )＝ln x ＋1e x ，所以f ′(x )＝1x －ln x －1e x ，令g (x )＝1x－ln x －1，则g ′(x )＝－x －2－1x＜0，所以g (x )在(0，＋∞)上单调递减，而g (1)＝0，所以当x ∈(0,1)时，g (x )＞0，此时，f ′(x )＞0，当x ∈(1，＋∞)时，g (x )＜0，此时f ′(x )＜0，所以f (x )在(0,1)上单调递增，f (x )在(1，＋∞)上单调递减，故f (x )max ＝f (1)＝1e ，又函数f (x )＝ln x ＋1e x，且恒有f K (x )＝f (x )，结合新定义可知，K 的最小值为1e. 三、解答题11.如图所示，设在四面体P ABC 中，∠ABC ＝90°，P A ＝PB ＝PC ，D 是AC 的中点，求证：PD ⊥平面ABC .证明 要证明PD ⊥平面ABC ，只需证明PD 与平面ABC 内的两条相交直线垂直即可，由于已知△ACP 为等腰三角形，AP ＝PC ，D 为AC 的中点，故PD ⊥AC ，从而有△P AD 为直角三角形，且AD ＝BD ，PD ＝PD ，AP ＝PB ，于是△APD ≌△BPD .因此∠PDA ＝∠PDB ＝90°，∴PD ⊥BD .又知AC 交BD 于D ，可知PD ⊥平面ABC .12.求证：不论x ，y 取何非零实数，等式1x ＋1y ＝1x ＋y总不成立.证明 假设存在非零实数x ，y 使得等式1x ＋1y ＝1x ＋y成立. 于是有y (x ＋y )＋x (x ＋y )＝xy ，即x 2＋y 2＋xy ＝0，即⎝⎛⎭⎫x ＋y 22＋34y 2＝0. 由y ≠0，得34y 2＞0. 又⎝⎛⎭⎫x ＋y 22≥0， 所以⎝⎛⎭⎫x ＋y 22＋34y 2＞0. 与x 2＋y 2＋xy ＝0矛盾，故原命题成立.13.在数列{a n }，{b n }中，a 1＝2，b 1＝4，且a n ，b n ，a n ＋1成等差数列，b n ，a n ＋1，b n ＋1成等比数列(n ∈N *).(1)求a 2，a 3，a 4及b 2，b 3，b 4，由此猜测{a n }，{b n }的通项公式，并证明你的结论；(2)求证1a 1＋b 1＋1a 2＋b 2＋…＋1a n ＋b n ＜512. (1)解 由条件得2b n ＝a n ＋a n ＋1，a 2n ＋1＝b n b n ＋1，a 1＝2，b 1＝4.由此可得a 2＝6，b 2＝9，a 3＝12，b 3＝16，a 4＝20，b 4＝25.猜测a n ＝n (n ＋1)，b n ＝(n ＋1)2.用数学归纳法证明：①当n ＝1时，由上可得结论成立.②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，结论成立，即a k ＝k (k ＋1)，b k ＝(k ＋1)2，那么，当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝2b k －a k ＝2(k ＋1)2－k (k ＋1)＝(k ＋1)(k ＋2)，b k ＋1＝a 2k ＋1b k＝(k ＋2)2. ∴当n ＝k ＋1时，结论也成立.由①②可知a n ＝n (n ＋1)，b n ＝(n ＋1)2对一切正整数n 都成立.(2)证明 当n ＝1时，1a 1＋b 1＝16＜512. n ≥2时，由(1)知a n ＋b n ＝(n ＋1)(2n ＋1)＞2(n ＋1)n .∴1a n ＋b n ＜12⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1， ∴1a 1＋b 1＋1a 2＋b 2＋…＋1a n ＋b n＜16＋12⎝⎛⎭⎫12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1 ＝16＋12⎝⎛⎭⎫12－1n ＋1＜16＋14＝512.综上，对n ∈N *，1a 1＋b 1＋1a 2＋b 2＋…＋1a n ＋b n ＜512成立.。