正态总体的均值检验
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正态总体均值的假设检验
上一段中， H0:μ=μ0 ; H1: μ≠μ0 的对立假设为H1:μ≠μ0 ,该假设称为双边对立假设。
2. 单边检验 H0: μ=μ0; H1: μ>μ0而现在要处理的对立假设为 H1: μ>μ0, 称为右边对立假设。
类似地，H0: μ=μ0; H1: μ<μ0 中的对立假设H1: μ<μ0，假设称为左边对立假设。
右边对立假设和左边对立假设统称为单边对立假设，其检验为单边检验。
例如：工厂生产的某产品的数量指标服从正态分布，均值为μ0 ；采用新技术或新配方后，产品质量指标还服从正态分布，但均值为µ。
我们想了解“µ是否显著地大于μ”,即产品的质量指标是否显著地增加了。
8.2.2 两个正态总体N(µ1, σ12) 和N(µ2, σ22)均值的比较在应用上，经常会遇到两个正态总体均值的比较问题。
例如：比较甲、乙两厂生产的某种产品的质量。
将两厂生产的产品的质量指标分别看成正态总体N(µ1, σ12) 和N(µ2, σ22)。
比较它们的产品质量指标的问题，就变为比较这两个正态总体的均值µ1和µ2的的问题。
上面，我们假定 σ12=σ22。
当然，这是个不得已而强加上去的条件，因为如果不加此条件，就无法使用简单易行的 t 检验。
在实用中，只要我们有理由认为σ12和σ22相差不是太大，往往就可使用上述方法。
通常是：如果方差比检验未被拒绝(见下节), 就认为σ12和σ22相差不是太大。
J 说明小结本讲首先介绍假设检验的基本概念；然后讨论正态总体均值的各种假设检验问题，给出了检验的拒绝域及相关例题。
概率论与数理统计72正态总体的均值和方差的假设检验
0.19, 0.04, 0.08, 0.20, 0.12 假定处理前后含脂率都服从正态分布,且相互独立, 方差相等.问处理前后含脂率的均值有无显著差异
（ = 0.05）?
解 以X表示物品在处理前的含脂率,Y表示物品在
处理后的含脂率,且 X ~ N ( μ1,σ12 ),Y ~ N ( μ2,σ22 )
样本(Y1,Y2, ,Yn2 )来自总体Y .
1. 已知方差时两个正态总体均值的检验
σ12,σ22为已知, μ1, μ2未知的检验（U检验法）
1 假设 H0 : 1 2 , H1 : 1 2;
2 取检验统计量为
U (X Y)/
σ12 σ22 n1 n2
~ N (0,1)
(当H0成立时)
3 取显著性水平为 α. P{ U u/2 } ,
~
t(n1 n2
2),
(当H0成立时)
其中 Sw2
( n1
1)S1*n21 (n2 1)S2*n22 n1 n2 2
.
3° 给定显著水平 ( 0< < 1)
P{ | T | t /2(n1 n2 2) } ，
查表可得 tα / 2(n1 n2 2). 拒绝域：
W1 {( x1, x2,, xn1; y1, y2,, yn2 ) :| t | t/2(n1 n2 2)}
X
~
N
(
1
,
2 1
),Y
~
N
(
2
,
2 2
),
为了考察温度对材料断裂强力的影响，在70 C与80 C
下，分别重复作了8次试验，得数据如下：
选择统计量
U X 800 9 40
当H0成立时,U~N(0,1).对于 = 0.05,由正态分布函
（ = 0.05）?
解 以X表示物品在处理前的含脂率,Y表示物品在
处理后的含脂率,且 X ~ N ( μ1,σ12 ),Y ~ N ( μ2,σ22 )
样本(Y1,Y2, ,Yn2 )来自总体Y .
1. 已知方差时两个正态总体均值的检验
σ12,σ22为已知, μ1, μ2未知的检验（U检验法）
1 假设 H0 : 1 2 , H1 : 1 2;
2 取检验统计量为
U (X Y)/
σ12 σ22 n1 n2
~ N (0,1)
(当H0成立时)
3 取显著性水平为 α. P{ U u/2 } ,
~
t(n1 n2
2),
(当H0成立时)
其中 Sw2
( n1
1)S1*n21 (n2 1)S2*n22 n1 n2 2
.
3° 给定显著水平 ( 0< < 1)
P{ | T | t /2(n1 n2 2) } ，
查表可得 tα / 2(n1 n2 2). 拒绝域：
W1 {( x1, x2,, xn1; y1, y2,, yn2 ) :| t | t/2(n1 n2 2)}
X
~
N
(
1
,
2 1
),Y
~
N
(
2
,
2 2
),
为了考察温度对材料断裂强力的影响，在70 C与80 C
下，分别重复作了8次试验，得数据如下：
选择统计量
U X 800 9 40
当H0成立时,U~N(0,1).对于 = 0.05,由正态分布函
正态总体均值的假设检验
t不落在拒绝域中，故接受 H 0
即认为元件的平均寿 命不大于 225小时。
二、两个正态总体均值差的检验（t 检验N）o:
Image
设X1,X2,,Xn1是 来 自 正 态 总 体 N(m1,s2)的 样 本Y；1,Y2,,Yn2是 来 自 正 态 总 体 N(m2,s2)的 样 本 ， 且 设 两 样 立本 。独 又 分 别 记 它 们
1)
s
2 2
10 10 - 2
= 2.775,
t0.05 (18) = 1.7341,
故拒绝域为：
T = X -Y
Sp
11 10 10
- t 0.05 (18 ) = -1.7341 ,
可算得 T = -4.295 < -1.7341 , 故拒绝 H 0 ,
即 认为新方法能提高得率。
已知总 例体服从2正态某分布地，且区方差大高致相考同，负由抽样责获得人资料想如下：知道某年来自城市中学考生
当H0成 立 时T，~ t(n1 n2 -2)， 对 于 给 定 a 的
P{|T |>ta/2(n1 n2 -2)}=a,
故 拒 绝 域 为|T |>t a/2(n1 n2 -2).
说明： 1. 对于单侧检验 “ H0 : m1 - m2 ≤ m0 ” 和 “ H0 : m1- m2 ≥ m0 ”, 可以类似地讨论。 常用的是 m0 = 0。 2. 对于两个正态总体的方差均为已知时,
的 样 本 均 值 X，Y为， 样 本 方 差 S12为 ,S22， 并 设 m1,m2,s2 均未知。
检验H： 0:m1-m2 =m0，H1:m1-m2 m0,
取统2
其
中
S2p
=
(n1
-1)S12 (n2 -1)S22 n1 n2 -2
即认为元件的平均寿 命不大于 225小时。
二、两个正态总体均值差的检验（t 检验N）o:
Image
设X1,X2,,Xn1是 来 自 正 态 总 体 N(m1,s2)的 样 本Y；1,Y2,,Yn2是 来 自 正 态 总 体 N(m2,s2)的 样 本 ， 且 设 两 样 立本 。独 又 分 别 记 它 们
1)
s
2 2
10 10 - 2
= 2.775,
t0.05 (18) = 1.7341,
故拒绝域为：
T = X -Y
Sp
11 10 10
- t 0.05 (18 ) = -1.7341 ,
可算得 T = -4.295 < -1.7341 , 故拒绝 H 0 ,
即 认为新方法能提高得率。
已知总 例体服从2正态某分布地，且区方差大高致相考同，负由抽样责获得人资料想如下：知道某年来自城市中学考生
当H0成 立 时T，~ t(n1 n2 -2)， 对 于 给 定 a 的
P{|T |>ta/2(n1 n2 -2)}=a,
故 拒 绝 域 为|T |>t a/2(n1 n2 -2).
说明： 1. 对于单侧检验 “ H0 : m1 - m2 ≤ m0 ” 和 “ H0 : m1- m2 ≥ m0 ”, 可以类似地讨论。 常用的是 m0 = 0。 2. 对于两个正态总体的方差均为已知时,
的 样 本 均 值 X，Y为， 样 本 方 差 S12为 ,S22， 并 设 m1,m2,s2 均未知。
检验H： 0:m1-m2 =m0，H1:m1-m2 m0,
取统2
其
中
S2p
=
(n1
-1)S12 (n2 -1)S22 n1 n2 -2
正态总体均值和方差的假设检验
给定检验水平，查t(n-1)表得, t1-/2(n-1),使
得,
P{| T | t (n 1)}
即得,
1 2
P{|
x s
0
|
t 1
(n 1)}
n
2
拒绝域： 即
算出|Ｔ|与 t1比较，若 2 否则，接受H 0.
T ， t1拒 绝 ， H 0 2
例３ 在某砖厂生产的一批砖中,随机地抽取6块进 行抗断强度试验,测得结果(单位:kg/cm2)如下: 32.56, 29.66, 31.64, 30.00, 31.87, 31.03, 设砖的抗断强度服从正态分布．问这批砖的 平均抗断强度是否为32.50 (kg/cm2)？(=0.05)。
2 0
,
H1
:
2
2 0
给定检验水平 ，查 2 n 1 分布表得
2 (n 1),
使得 P 2 2 (n 1)
根据样本值计算统计量的值.
如果 2 2 (n 1)
则拒绝 H 0 , 接受 H1.
第一类错误
弃真错误
第二类错误
取伪错误
假设检验的两类错误
所作判断 真实情况
H0 为真 H0 为假
接受 H0
拒绝 H0
正确
第二类错误 (取伪)
第一类错误 (弃真)
正确
犯第一类错误的概率通常记为 犯第二类错误的概率通常记为
P
否定H0
H
为真
0
P第一类错误
P
不否定H0
H
为假
0
P第二类错误
若 T t，1拒绝 ，H接0 受
H1
T t1 ，接受 H，0 拒绝 H。1
３，４形式的检验成为右边检验．
§正态总体均值的假设检验
1 , 2 , 2 未知,
问新操作方法是否会增加钢的得率? (α=0.05)
解:
H 0 : 1 2 0,
n1 10, n2 10,
H 1 : 1 2 0
2 s1
x 76.23,
3.325,
y 79.43,
2 s2 2.225,
2 2 ( n 1 ) s ( n 1 ) s 2 1 2 2 sw 1 2.775, n1 n2 2
H1 : 0
(2) 选取检验统计量
X 0 Z n
在 H 0 成立的条件下， Z ~ N (0,1) (3) 给定的显著性水平α ,查正态分布表得临界值 z
2
P{ Z z 2 }
(4) 计算检验统计量与临界值比较；
(5) 拒绝域
x 0 z 2 , n
(1) 提出假设
H0 : 0 ,
H1 : 0
(2) 选取检验统计量
X 0 t S n
在 H 0 成立的条件下， t ~ t ( n 1) (3) 给定的显著性水平α ,找临界值
t 2 (n 1)
使
P{ t t 2 ( n 1)}
x 0 t 2 ( n 1), 下结论. s n
解：设两种方法处理后的羊皮含脂率分别为X 和Y，
X ~ N ( 1 , 2 ), Y ~ N ( 2 , 2 )
x 16.375, y 14.857,
sw 2.945,
H 0 : 1 2 0, H1 : 1 2 0
在H0成立下,
X Y T ~ t ( n1 n2 2) 1 1 SW n1 n2
正态总体均值的假设检验
假设检验
正态总体均值的假设检验
1.1 单个正态总体均值的假设检验
3．大样本单个正态总体均值的检验
设总体为 X ，它的分布是任意的，方差 2 未知， X1 ，X2 ， ，Xn 为 来自总体 X 的样本，H0 ： 0（ 0 已知）．当样本容量 n 很大（ n 30 ）
时，无论总体是否服从正态分布，统计量 t X 0 都近似服从正态分 S/ n
解 依题意，建立假设 由于 2 未知，故选取统计量
H0 ： 0 72，H1 ： 72 ． t X 0 ， S/ n
已知 0.05 ，故此检验问题的拒绝域为
W t | | t |
x 0
s/ n
t
/
2
(n
1)
．
又知 n 26，x 74.2，s 6.2，查表得 t /2 (25) t0.025 (25) 2.06 ，则有 | t | x 0 74.2 72 1.81 2.06 ， s/ n 6.2/ 26
解 依题意，建立假设 由于 2 未知，取检验统计量
H0 ： 0.8，H1 ： 0.8 ．
t X 0 ~ t(n 1) ， S/ n
已知 0.05 ，故此检验问题的拒绝域为
W t | t x 0 s/ n
t (n 1) ．
又知 n 16 ，x 0.92，s 0.32 ，查表得 t0.05 (16 1) t0.05 (15) 1.75，则有 t x 0 0.92 0.8 1.50 1.75 ， s/ n 0.32/ 16
假设检验 H0 ： 0 ，H1 ： 0 的拒绝域为 W {t | t t (n 1)}．
（7-8） （7-9）
假设检验
正态总体均值的假设检验
1.1 单个正态总体均值的假设检验
单个正态总体均值的检验两个正态总体均值差的检验小结布
，当 未知时，关于 的单边检验得拒绝域在课本
P153-154附表中已给出。
t t 上述利用 统计量得出的检验法称为 检验法。在实际中，正态总体的方差常
为未知，所以我们常用
t 检验法来检验关于正态总体均值的检验问题。
X 例1 某种电子元件的寿命 （以小时计）服从正态分布，
16只元件的寿命如下： 159 280 101 212 224 379 179 264 222 362 168 250 149 260 485 170
取显著性水平为 ，现在来求这个问题的拒绝域.
因为 中的 全部都比 中的要小,从直观上看,
较合理的检验法应是：若观测值 与 的差
过分大，即
, 则我们拒绝 而接受 ，
因此拒绝域的形式为
（k 待定）.
由标准正态分布的分布函数
P{拒绝
为真 }
的单调性得到
所以要控制 P{拒绝
为真} ，只需
令
即得
，从而得检验问题 的拒绝域为
即
这与上节得到的检验问题
比较正态总体
在方差
的拒绝域是一致的。 已知时，对均值 的两种检验问题
和
我们看到尽管两者原假设 的形式不同，实际意义也不一样，但对于相同 的显著性水平它们的拒绝域是相同的。因此遇到形如
的检验问题，可归结为
来讨论。对于下面将要讨论的有关正态总体的参数的检验也有类似的结果。
2. 未知，关于 的检验（t检验）
一、单个总体
均值 的检验
1. 已知，关于 的检验（u检验）
在上一小节中已讨论过正态总体
,当
已知时关于
的检验问题.在这些检验问题中，我们都是利用 在为真时服从
分布
的统计量
7-2正态总体参数的检验
第二节 正态总体参数的假设检验
一、单个正态总体均值的检验 二、两个正态总体均值差的检验 三、正态总体方差的检验
同上节) 标准要求长度是32.5毫米 毫米. 例2(同上节 某工厂生产的一种螺钉 标准要求长度是 同上节 某工厂生产的一种螺钉,标准要求长度是 毫米
实际生产的产品，其长度 假定服从正态分布N( σ 未知， 实际生产的产品，其长度X 假定服从正态分布 µ,σ2 ) ,σ2 未知， 现从该厂生产的一批产品中抽取6件 得尺寸数据如下: 现从该厂生产的一批产品中抽取 件, 得尺寸数据如下
(1)与(4); (2)与(5)的拒绝域形式相同 与 的拒绝域形式相同. 与 的拒绝域形式相同
一、单个正态总体均值的检验
是来自N( σ 的样本 的样本, 设x1,…,xn是来自 µ,σ2)的样本 关于µ的三种检验问题是 (µ0是个已知数 是个已知数)
(1) H0 : µ ≤ µ0 vs H1 : µ > µ0 (2) H0 : µ ≥ µ0 vs H1 : µ < µ0 (3) H0 : µ = µ0 vs H1 : µ ≠ µ0
对于检验问题 对于检验问题
(2) H0 : µ ≥ µ0 vs H1 : µ < µ0
x − µ0
仍选用u统计量 u = 选用 统计量 相应的拒绝域的形式为: 相应的拒绝域的形式为
取显著性水平为α 取显著性水平为α，使c满足 P 0 (u ≤ c) = α 满足 µ
由于μ = μ 0时，u ~ N(0,1),故 c = uα,如图 故 , 因此拒绝域为: 因此拒绝域为 或等价地: 或等价地 φ(x)
检 H0 : µ = µ0 vs H1 : µ ≠ µ0 验
x − µ0 s/ n
接受域为: 接受域为
一、单个正态总体均值的检验 二、两个正态总体均值差的检验 三、正态总体方差的检验
同上节) 标准要求长度是32.5毫米 毫米. 例2(同上节 某工厂生产的一种螺钉 标准要求长度是 同上节 某工厂生产的一种螺钉,标准要求长度是 毫米
实际生产的产品，其长度 假定服从正态分布N( σ 未知， 实际生产的产品，其长度X 假定服从正态分布 µ,σ2 ) ,σ2 未知， 现从该厂生产的一批产品中抽取6件 得尺寸数据如下: 现从该厂生产的一批产品中抽取 件, 得尺寸数据如下
(1)与(4); (2)与(5)的拒绝域形式相同 与 的拒绝域形式相同. 与 的拒绝域形式相同
一、单个正态总体均值的检验
是来自N( σ 的样本 的样本, 设x1,…,xn是来自 µ,σ2)的样本 关于µ的三种检验问题是 (µ0是个已知数 是个已知数)
(1) H0 : µ ≤ µ0 vs H1 : µ > µ0 (2) H0 : µ ≥ µ0 vs H1 : µ < µ0 (3) H0 : µ = µ0 vs H1 : µ ≠ µ0
对于检验问题 对于检验问题
(2) H0 : µ ≥ µ0 vs H1 : µ < µ0
x − µ0
仍选用u统计量 u = 选用 统计量 相应的拒绝域的形式为: 相应的拒绝域的形式为
取显著性水平为α 取显著性水平为α，使c满足 P 0 (u ≤ c) = α 满足 µ
由于μ = μ 0时，u ~ N(0,1),故 c = uα,如图 故 , 因此拒绝域为: 因此拒绝域为 或等价地: 或等价地 φ(x)
检 H0 : µ = µ0 vs H1 : µ ≠ µ0 验
x − µ0 s/ n
接受域为: 接受域为
两个正态总体均值的检验.
解 依题意, 两总体 X 和 Y 分别服从正态分布
2 , , 均为未知, N ( 1 , ) 和N ( 2 , ), 1 2
2 2
第八章
假设检验
*2 1
*2 2
需要检验假设 H 0 : 1 2 , H1 : 1 2 .
n1 8, n2 7,
2
§8.3 两个正态总体参数的假设检验
使得P{ Sw X Y 1 1 n1 n2 t / 2 ( n1 n2 2)}
故拒绝域为
W1 { sw ( x y) 1 1 n1 n2 t / 2 ( n1 n2 2)}
第八章
假设检验
§8.3 两个正态总体参数的假设检验
例2 有甲、乙两台机床加工相同的产品, 从这两台 机床加工的产品中随机地抽取若干件, 测得产品直 径(单位:mm)为 机床甲: 20.5, 19.8, 19.7, 20.4, 20.1, 20.0, 19.0, 19.9 机床乙: 19.7, 20.8, 20.5, 19.8, 19.4, 20.6, 19.2, 试比较甲、乙两台机床加工的产品直径有无显著 差异? 假定两台机床加工的产品直径都服从正态 分布, 且总体方差相等. ( 0.05)
x 24.4,
12
2 2
y 27
24.4 27 u ( x y) / 1.612 n1 n2 5 8 5 5 对 0.05, 查正态分布表得 u / 2 1.96,由于
| u | 1.612 1.96, 故接受原假设 H0 .
第八章
假设检验
§8.3 两个正态总体参数的假设检验
2.未知方差时两正态总体均值的检验 利用t检验法检验具有相同方差的两正态总体均 值差的假设. 设 X 1 , X 2 , , X n1 为 来 自 正 态 总 体 N ( 1 , 2 )的
2 , , 均为未知, N ( 1 , ) 和N ( 2 , ), 1 2
2 2
第八章
假设检验
*2 1
*2 2
需要检验假设 H 0 : 1 2 , H1 : 1 2 .
n1 8, n2 7,
2
§8.3 两个正态总体参数的假设检验
使得P{ Sw X Y 1 1 n1 n2 t / 2 ( n1 n2 2)}
故拒绝域为
W1 { sw ( x y) 1 1 n1 n2 t / 2 ( n1 n2 2)}
第八章
假设检验
§8.3 两个正态总体参数的假设检验
例2 有甲、乙两台机床加工相同的产品, 从这两台 机床加工的产品中随机地抽取若干件, 测得产品直 径(单位:mm)为 机床甲: 20.5, 19.8, 19.7, 20.4, 20.1, 20.0, 19.0, 19.9 机床乙: 19.7, 20.8, 20.5, 19.8, 19.4, 20.6, 19.2, 试比较甲、乙两台机床加工的产品直径有无显著 差异? 假定两台机床加工的产品直径都服从正态 分布, 且总体方差相等. ( 0.05)
x 24.4,
12
2 2
y 27
24.4 27 u ( x y) / 1.612 n1 n2 5 8 5 5 对 0.05, 查正态分布表得 u / 2 1.96,由于
| u | 1.612 1.96, 故接受原假设 H0 .
第八章
假设检验
§8.3 两个正态总体参数的假设检验
2.未知方差时两正态总体均值的检验 利用t检验法检验具有相同方差的两正态总体均 值差的假设. 设 X 1 , X 2 , , X n1 为 来 自 正 态 总 体 N ( 1 , 2 )的
两个正态总体的均值检验、配对样本均值检验
参数假设与检验统计量
参数假设
假设两个正态总体具有相同的方差 （即方差齐性），并且两个总体均值 的差值μ1-μ2为0（即无差假设）。
检验统计量
常用的检验统计量有t检验和z检验。t 检验适用于小样本或方差未知的情况 ，而z检验适用于大样本且方差已知的 情况。
实例分析
实例1
比较两组人群的身高均值是否存在显著差异。
两个正态总体的均值 检验、配对样本均值
检验
目录
• 两个正态总体的均值检验 • 配对样本均值检验 • 两种检验方法的比较与选择 • 相关统计概念与术语解释
01
两个正态总体的均值检验
定义与原理
定义
两个正态总体的均值检验是指比较两个独立正态总体均值的差异是否显著。
原理
基于大样本近似或中心极限定理，当样本量足够大时，样本均值的分布近似于 正态分布。通过比较两个独立样本的均值，可以推断两个总体的均值是否存在 显著差异。
参数假设
假设两个总体具有相同的方差，即方差齐性；两个总体均服 从正态分布。
检验统计量
配对样本均值检验的检验统计量一般为差值的平均值除以差 值的标准差，即z统计量或t统计量。
实例分析
实例1
比较两种新药对血压的影响。选取两组高血压患者，分别给予两种新药进行治疗，然后比较治疗前后血压的变化 差值是否具有统计学差异。
配对样本
配对样本是指两个或多个相关联的观测值，它们之间存在一定的关联或相似性。
在配对样本中，每个观测值都与其对应的另一个观测值有关联，因此它们的取值之间存在一定的依赖 关系。
THANKS
感谢观看
实例2
比较两种不同处理下植物的高度均值是否存在显著差异。
02
配对样本均值检验
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故可以将霍特林分布的统计量换算成F统计量。
对给定的显著性水平α，检验的规则
nk k(n 1)
T
2
F
(k , n
k ), 拒绝原假设
nk k(n 1)
T
2
F
(k , n
k ), 接受原假设。
某地区农村男婴的体格测量数据如下
编号 1
身高（cm） 78
胸围（cm） 60.6
上半臂长（cm） 16.5
2
读入数据 read.table("tige.txt")->tige > tige
V1 V2 V3 1 78 60.6 16.5 2 76 58.1 12.5 3 92 63.2 14.5 4 81 59.0 14.0 5 81 60.8 15.5 6 84 59.5 14.0
检验均值是否有关系
1 4
2
3
H1
:
1 6
1
,
1 4
2
,
3至少有两个不等
求C
2 1
3 0
0 6
则上面的假设可以表达为
H0 : C 0
H1 : C 0
二、统计量及方法
检验： H0 : C H1 : C 其 中 C 为 一 已 知 的 k×p 阶 矩 阵 ， k<p，
rank(C)=K，φ为已知的K维向量。根据多元正 态分布的性质可知,
§3 单个总体均值分量间结构关系的检验
一、问题引入 例 设 x ~ N p (,) (1,2,L , p )
x1, x2,L , xn
是取自该总体的样本。检验：
H0 : 1 L p H1 : 至少有一对i j
与上面的假设等价的是，寻找常数矩阵
1 1 0 L 0
C 1
0
1 L
0
M M M
76
58.1
12.5
3
92
63.2
14.5
4
81
59.0
14.0
5
81
60.8
15.5
6
84
59.5
14.0
检验三个指标的均值是否有关系
1 6
1
1 4
2
3
H0
:
1 6
1
1 4
2
3
H1
:
1 6
1,
1 4
2
,
3至少有两个不相等
T 2 n(Cx)CSC1 (Cx) ~ T (k,n 1)
F n k T 2 6 2 47.143=18.8572 k(n 1) 2(6 1)
与一元随机变量的情形相同，常常我们需要检验两个 总体的均值是否相等。
设从总体 N p (1,)和 Np (2,，) 中各自独立地抽取样 本 x (x1, x2,L , xn1 ) 和 y ( y1, y2,L , yn2 ) ， 0 。
考虑假设 H0 : 1 2 H1 : 1 2
根据两个样本可得μ1和μ2的无偏估计量为
n2
p
1), 接受原假设；
n1 n2 p(n1
p 1T n2 2)
2
F
(
p, n1
n2
p
1), 拒绝原假设；
成对试验的T2统计量
前面我们讨论的是两个独立样本的检验问 题，但是不少的实际问题中，两个样本的数据 是成对出现的。例如当讨论男女职工的工资收 入是否存在差异；一种新药的疗效等。
n2
(n2 1)S2 (yi y)(yi y) i1
统计量T
2
n1n2 n1 n2
(x
y )Sp1 ( x
y)
当原假设为真的条件下，
F
n1 n2 p(n1
p 1T n2 2)
2
~
F(
p, n1
n2
p
1)
检验的规则为：
n1 n2 p(n1
p 1T n2 2)
2
F
(
p, n1
检验的统计量为 T 2 ndSd1d
其中 d x y
Sd
1 n 1
n i1
(di
d)(di
d)
当原假设为真时
F n p T 2 ~ F( p,n p) p(n 1)
n p p(n 1)
T
2
F
(
p, n
p), 拒绝原假设
n p p(n 1)
T
2
F
(
p, n
p), 接受原假设
例1 一组学生共5人，采用两种不同的方式进行教学， 然后对5个学生进行测验，得如下得分数：
1 6
1
1 4
2
3
n<-nrow(tige)
p<-ncol(tige)
xbar<-apply(tige,2,mean)Leabharlann S<-var(tige)
C<-matrix(c(2,-3,0,1,0,-6),2,3,byrow=T)
C
[,1] [,2] [,3]
[1,] 2 -3 0
[2,] 1 0 -6
学生序号
1 2 3 4 5
数学 89 98 75 76 90
教学方式
A 物理
数学
90
82
88
80
69
61
70
67
76
63
B 物理 85 83 70 66 65
分析不同的教学方式是否有差异。
分析
数据输入> score
nCx ~ Nk (C,CC)
(n 1)CSC ~ Wk (n 1,CΣC)
T 2 (n 1) n(Cx φ)(n 1)CSC1 n(Cx φ) n(Cx φ)CSC1 (Cx φ) ~ T (k,n 1)
当H0 : C 为真时，
F n k T 2 ~ F(k,n k) k(n 1)
ht2<-n*t(C%*%xbar)%*%solve(C%*%S%*%t(C))%*%(C%*%xbar) ht2
47.1434 计算阈值，比较与ht2大小，小于ht2,则拒绝原假设。 critical<-((n-1)*p)*qf(0.95,p,n-p)/(n-p)
§4 两个总体均值的检验
一、两个独立样本的情形
M
1 0 0 L 1
H0 : C 0 H1 : C 0
注：矩阵C不是唯一的，
1 1 0 L 0
C 0
1
1 L
0
M M M
M
0 0 0 L 1
在例4.2.1中，假定人类的体形有这样一 个一般规律的身高、胸围和上臂围平均尺寸比 例为6:4:1。检验比例是否符合这一规律。检验：
H0
:
1 6
1
1 n1
x n1 i1 xi
1 n2
y
n2
yi
i1
X
Y
~
Np
0,
(
1 n2
1 n2
)
n1n2
n1 n2
XY
~ N p 0,
又 n1 n2 2Sp (n1 1)S1 (n2 1)S2 ~ Wp (n1 n2 2,)
其中
n1
(n1 1)S1 (xi x)(xi x) i1
思考:两独立样本和成对样本的观测值有何不同。
设(xi,yi),i=1,2,3,…,n，时成对的试验数 据，由于总体X和Y均服从p维正态分布，且协 方差相等。
令di xi yi ,则di ~ N p ( ,d ),δ μ1 μ2。
假设检验 H0 : 1 2, H1 : 1 2 H0 : 0, H1 : 0
对给定的显著性水平α，检验的规则
nk k(n 1)
T
2
F
(k , n
k ), 拒绝原假设
nk k(n 1)
T
2
F
(k , n
k ), 接受原假设。
某地区农村男婴的体格测量数据如下
编号 1
身高（cm） 78
胸围（cm） 60.6
上半臂长（cm） 16.5
2
读入数据 read.table("tige.txt")->tige > tige
V1 V2 V3 1 78 60.6 16.5 2 76 58.1 12.5 3 92 63.2 14.5 4 81 59.0 14.0 5 81 60.8 15.5 6 84 59.5 14.0
检验均值是否有关系
1 4
2
3
H1
:
1 6
1
,
1 4
2
,
3至少有两个不等
求C
2 1
3 0
0 6
则上面的假设可以表达为
H0 : C 0
H1 : C 0
二、统计量及方法
检验： H0 : C H1 : C 其 中 C 为 一 已 知 的 k×p 阶 矩 阵 ， k<p，
rank(C)=K，φ为已知的K维向量。根据多元正 态分布的性质可知,
§3 单个总体均值分量间结构关系的检验
一、问题引入 例 设 x ~ N p (,) (1,2,L , p )
x1, x2,L , xn
是取自该总体的样本。检验：
H0 : 1 L p H1 : 至少有一对i j
与上面的假设等价的是，寻找常数矩阵
1 1 0 L 0
C 1
0
1 L
0
M M M
76
58.1
12.5
3
92
63.2
14.5
4
81
59.0
14.0
5
81
60.8
15.5
6
84
59.5
14.0
检验三个指标的均值是否有关系
1 6
1
1 4
2
3
H0
:
1 6
1
1 4
2
3
H1
:
1 6
1,
1 4
2
,
3至少有两个不相等
T 2 n(Cx)CSC1 (Cx) ~ T (k,n 1)
F n k T 2 6 2 47.143=18.8572 k(n 1) 2(6 1)
与一元随机变量的情形相同，常常我们需要检验两个 总体的均值是否相等。
设从总体 N p (1,)和 Np (2,，) 中各自独立地抽取样 本 x (x1, x2,L , xn1 ) 和 y ( y1, y2,L , yn2 ) ， 0 。
考虑假设 H0 : 1 2 H1 : 1 2
根据两个样本可得μ1和μ2的无偏估计量为
n2
p
1), 接受原假设；
n1 n2 p(n1
p 1T n2 2)
2
F
(
p, n1
n2
p
1), 拒绝原假设；
成对试验的T2统计量
前面我们讨论的是两个独立样本的检验问 题，但是不少的实际问题中，两个样本的数据 是成对出现的。例如当讨论男女职工的工资收 入是否存在差异；一种新药的疗效等。
n2
(n2 1)S2 (yi y)(yi y) i1
统计量T
2
n1n2 n1 n2
(x
y )Sp1 ( x
y)
当原假设为真的条件下，
F
n1 n2 p(n1
p 1T n2 2)
2
~
F(
p, n1
n2
p
1)
检验的规则为：
n1 n2 p(n1
p 1T n2 2)
2
F
(
p, n1
检验的统计量为 T 2 ndSd1d
其中 d x y
Sd
1 n 1
n i1
(di
d)(di
d)
当原假设为真时
F n p T 2 ~ F( p,n p) p(n 1)
n p p(n 1)
T
2
F
(
p, n
p), 拒绝原假设
n p p(n 1)
T
2
F
(
p, n
p), 接受原假设
例1 一组学生共5人，采用两种不同的方式进行教学， 然后对5个学生进行测验，得如下得分数：
1 6
1
1 4
2
3
n<-nrow(tige)
p<-ncol(tige)
xbar<-apply(tige,2,mean)Leabharlann S<-var(tige)
C<-matrix(c(2,-3,0,1,0,-6),2,3,byrow=T)
C
[,1] [,2] [,3]
[1,] 2 -3 0
[2,] 1 0 -6
学生序号
1 2 3 4 5
数学 89 98 75 76 90
教学方式
A 物理
数学
90
82
88
80
69
61
70
67
76
63
B 物理 85 83 70 66 65
分析不同的教学方式是否有差异。
分析
数据输入> score
nCx ~ Nk (C,CC)
(n 1)CSC ~ Wk (n 1,CΣC)
T 2 (n 1) n(Cx φ)(n 1)CSC1 n(Cx φ) n(Cx φ)CSC1 (Cx φ) ~ T (k,n 1)
当H0 : C 为真时，
F n k T 2 ~ F(k,n k) k(n 1)
ht2<-n*t(C%*%xbar)%*%solve(C%*%S%*%t(C))%*%(C%*%xbar) ht2
47.1434 计算阈值，比较与ht2大小，小于ht2,则拒绝原假设。 critical<-((n-1)*p)*qf(0.95,p,n-p)/(n-p)
§4 两个总体均值的检验
一、两个独立样本的情形
M
1 0 0 L 1
H0 : C 0 H1 : C 0
注：矩阵C不是唯一的，
1 1 0 L 0
C 0
1
1 L
0
M M M
M
0 0 0 L 1
在例4.2.1中，假定人类的体形有这样一 个一般规律的身高、胸围和上臂围平均尺寸比 例为6:4:1。检验比例是否符合这一规律。检验：
H0
:
1 6
1
1 n1
x n1 i1 xi
1 n2
y
n2
yi
i1
X
Y
~
Np
0,
(
1 n2
1 n2
)
n1n2
n1 n2
XY
~ N p 0,
又 n1 n2 2Sp (n1 1)S1 (n2 1)S2 ~ Wp (n1 n2 2,)
其中
n1
(n1 1)S1 (xi x)(xi x) i1
思考:两独立样本和成对样本的观测值有何不同。
设(xi,yi),i=1,2,3,…,n，时成对的试验数 据，由于总体X和Y均服从p维正态分布，且协 方差相等。
令di xi yi ,则di ~ N p ( ,d ),δ μ1 μ2。
假设检验 H0 : 1 2, H1 : 1 2 H0 : 0, H1 : 0