卫生管理运筹学第二版答案(薛迪,复旦大学出版社)
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卫生管理运筹学所有课件及课后答案
A B
C
x1 x2 350 2 x1 x2 600 中求出，即此线性规划问题的 最优解为： x1 250
x2 100
minZ=800 x1
图2-2 目标函数求最小值的线性规划问题图解法
三、线性规划问题的形式与特点
约束条件：
式中 c j ( j 1,2,, n) 称为价值系数；
aij (i 1,2,, m; j 1,2,, n) 称为技术系数；
bi (i 1,2,, m)
称为限定系数（或称右端系数）
三、 线性规划问题的标准型
（一）线性规划问题的标准形式（standard form of LP） 线性规划问题有不同的形式： 目标函数有的要求max，有的要求min; 约束条件可以是≤，也可以是≥，还可以是=； 决策变量一般是非负约束，但也允许任意实数取值;
n
• 矩阵形式 Max Z CX
AX b s.t. X 0 b 0
n
j 1
s.t.
其中C c1
c2 cn
x1 x2 X x n
b1 b2 b b n
表2-2
原 营养成分
蛋白质（单位/500克）
脂肪（单位/500克） 糖（单位/500克）
料 B2 B3
B1
5
3 8
6
4 5 12 25
8
6 4 8 30
维生素（单位/500克） 10 原料单价（单位/500 克）
20
解：设x1、x2、x3分别表示原料B1 、B2 、B3的用 量，Z表示食品的成本，则这一食品配制问题 变为：
x2
15 A
卫生管理运筹学第二版第二章课后答案
卫生管理运筹学第二版第二章课后答案1、3.高龄产妇中有（）都是剖腹产。
[单选题] *A.50%B.60%(正确答案)C.70%D.80%2、92、Ⅲ度烧伤面积达80%的病人，创面处理建议采取(? ?) *A、暴露疗法(正确答案)B、分次实施切痂植皮手术(正确答案)C、功能部位力争恢复功能(正确答案)D、肢体部位采取包扎疗法3、34.不属于全血标本检测的项目的是（）[单选题] *A.血常规B.血糖C.肌酐D.脂类(正确答案)4、46. 下列哪项食物不富含维生素A:（）[单选题] *A. 动物肝脏B. 全奶C. 豆类(正确答案)D. 水果5、56.使用心电监护最常用于观察的导联是（）[单选题] *A.Ⅰ导联B.Ⅱ导联(正确答案)C.Ⅲ导联D.Ⅳ导联6、1.进行口腔护理操作时昏迷、吞咽功能障碍的病人应采取什么体位（）[单选题] * A．坐位B.侧卧位(正确答案)C.仰卧位D.头高足低位7、46.乳房发生乳腺癌最常见的部位为(? ) [单选题] *A、乳头部位B、内上象限C、外上象限(正确答案)D、内下象限8、48.对尿失禁患者护理应（）*A.加强皮肤与心理护理(正确答案)B.指导患者多饮水，促进排尿反射(正确答案)C.长期尿失禁者可用留置尿管(正确答案)D.可轻轻按摩或热敷下腹部9、381.婴幼儿的1个睡眠周期只有（）个小时。
[单选题] *A.1～2(正确答案)B.2～3C.3～4D.4～510、14.尿失禁预防，可进行缩肛锻炼，即做收缩肛门的动作，每天（）次左右。
[单选题] *A.20B.30(正确答案)C.40D.5011、37. 成分输血的优点不包括:（）[单选题] *A. 一血多用B. 针对性强C. 无须进行交叉配血(正确答案)D. 便于运输和保存12、22.散步一小时可以帮助消耗大约（）千卡的能量。
[单选题] *A.200B.300C.400D.500(正确答案)13、15、下列饮食中属于基本饮食的是（）[单选题] *A.高热量饮食B.低盐饮食C.半流质饮食(正确答案)D.高纤维饮食14、86.频发室是指每分钟发生室早多于（）[单选题] *A. 1次B. 5次(正确答案)C. 10次D. 20次15、73．下列哪类患者的尿液中有烂苹果味: （）[单选题] *A．前列腺炎B．尿道炎C．膀胱炎D．糖尿病酸中毒(正确答案)16、12．关于乳管内乳头状瘤，下列哪一条不正确: （）[单选题] * A．肿瘤小，常不能触及B．多见于经产妇C．可从乳头溢出血性液D．属于良性病变，不会恶变(正确答案)17、33.一般（）乳汁充盈最旺盛，是挤母乳的最好时间。
卫生管理运筹学复习题与参考答案1 (1)
二、习题参考答案习题一1．设选用第1种、第2种、第3种、第4种、第5种饲料的量分别为12345,,,,x x x x x 。
Min 543218.03.07.04.02.0x x x x x Z ++++=12345123451234512345326187000.50.220.530..0.50.220.8100,,,,0x x x x x x x x x x s t x x x x x x x x x x ++++≥⎧⎪++++≥⎪⎨++++≥⎪⎪≥⎩2．设x ij 为生产第i 种食品所使用的第j 种原料数，i ＝1，2，3分别代表甲、乙、丙，j ＝1，2，3分别代表A 、B 、C 。
其数学模型为：Max Z =)(0.1)(5.1)(2)(95.1)(45.2)(9.2332313322212312111333231232221131211x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++⨯-++⨯-++⨯-++⨯+++⨯+++⨯s.t. )3,2,1,3,2,1(,05.06.015.02.06.01200250020003332313323222123232221211312111313121111332313322212312111==≥≤++≤++≥++≤++≥++≤++≤++≤++j i x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ij3．将下列线性规划问题化为标准形式（1）引入剩余变量1s ，松弛变量2sMax 32142x x x Z ++=123112321231231225623215..327,,0,,0x x x s x x x s s t x x x x x x s s +--=⎧⎪+++=⎪⎨--+=⎪⎪≥≥⎩ （2）令'22x x =-，'''333x x x =-，引入松弛变量1sMax 33217785x x x x Z ''-'+'--= ⎪⎩⎪⎨⎧≥''''=''-'+'+=+''+'-'-0,,,,152245106..13321332113321s x x x x x x x x s x x x x t s4.（1）唯一最优解 1x =1.7143，2x ＝2.1429，Max Z =9.8571；（2）无可行解； （3）无界解；（4）无可行解；（5）多重最优解，Max Z=66，其中一个解为1x =4，2x ＝6； （6）唯一最优解，为1x =6.6667，2x ＝2.6667，Max Z =30.6667。
运筹学(第二版)课后答案
由单纯形表计算：
４０５
附录四习题参考答案
CB -M 0 -M σj -M 5 -M σj 1 0 -M σj
XB X6 X5 X7 X6 X2 X7 X3 X2 X7
4 X1 3 2 1 4+4M -1 2 -1 4-2M -1 2 -2 5-2M
5 X2 2 1 1 5+3M 0 1 0 0 0 1 0 0
（1） 、 （2）答案如下表所示，其中打三角符号的是基本可行解，打星 号的为最优解：
４０２
附录四习题参考答案
x1 x2 x3 x4 x5 z x1 x2 x3 △ 0 0 4 12 18 0 0 0 0 △ 4 0 0 12 6 12 3 0 0 6 0 -2 12 0 18 0 0 1 △ 4 3 0 6 0 27 -9/2 0 5/2 △ 0 6 4 0 6 30 0 5/2 0 *△ 2 6 2 0 0 36 0 3/2 1 4 6 0 0 -6 42 3 5/2 0 0 9 4 -6 0 45 0 0 5/2 1.3 (1)解：单纯形法 首先，将问题化为标准型。加松弛变量 x3，x4，得
1 0 1 0 0 （P 1，P 2，P 3，P 4，P 5）即 0 2 0 1 0 3 2 0 0 1 x1 x3 4 1 0 1 0 2 0 线性独立，故有 2 x 2 12 x 4 因（P 1，P 2，P 3） 3x 2 x 18 x 2 5 3 2 0 1 x1 x3 4 令非基变量 x4 , x5 0 得 2 x 2 12 → 3x 2 x 18 2 1
12400120300175max547543216543215443217654321?jxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxstxxxxxxxzj第二章对偶理论和灵敏度分析21对偶问题为1????????????????02211042010min2121212121yyyyyyyystyys2????????????????????????无约束32131321213213210013312245minyyyyyyyyyyyyystyyys3???????????????????????????无约束32132132132131321001373323232253minyyyyyyyyyyyyyystyyys4?????????????????????????无约束3213213213213210071036655552015maxyyyyyyyyyyyystyyys附录四习题参考答案410221因为对偶变量ycbb1第k个约束条件乘上0即b1的k列将为变化前的1由此对偶问题变化后的解y1y2
４０５
附录四习题参考答案
CB -M 0 -M σj -M 5 -M σj 1 0 -M σj
XB X6 X5 X7 X6 X2 X7 X3 X2 X7
4 X1 3 2 1 4+4M -1 2 -1 4-2M -1 2 -2 5-2M
5 X2 2 1 1 5+3M 0 1 0 0 0 1 0 0
（1） 、 （2）答案如下表所示，其中打三角符号的是基本可行解，打星 号的为最优解：
４０２
附录四习题参考答案
x1 x2 x3 x4 x5 z x1 x2 x3 △ 0 0 4 12 18 0 0 0 0 △ 4 0 0 12 6 12 3 0 0 6 0 -2 12 0 18 0 0 1 △ 4 3 0 6 0 27 -9/2 0 5/2 △ 0 6 4 0 6 30 0 5/2 0 *△ 2 6 2 0 0 36 0 3/2 1 4 6 0 0 -6 42 3 5/2 0 0 9 4 -6 0 45 0 0 5/2 1.3 (1)解：单纯形法 首先，将问题化为标准型。加松弛变量 x3，x4，得
1 0 1 0 0 （P 1，P 2，P 3，P 4，P 5）即 0 2 0 1 0 3 2 0 0 1 x1 x3 4 1 0 1 0 2 0 线性独立，故有 2 x 2 12 x 4 因（P 1，P 2，P 3） 3x 2 x 18 x 2 5 3 2 0 1 x1 x3 4 令非基变量 x4 , x5 0 得 2 x 2 12 → 3x 2 x 18 2 1
12400120300175max547543216543215443217654321?jxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxstxxxxxxxzj第二章对偶理论和灵敏度分析21对偶问题为1????????????????02211042010min2121212121yyyyyyyystyys2????????????????????????无约束32131321213213210013312245minyyyyyyyyyyyyystyyys3???????????????????????????无约束32132132132131321001373323232253minyyyyyyyyyyyyyystyyys4?????????????????????????无约束3213213213213210071036655552015maxyyyyyyyyyyyystyyys附录四习题参考答案410221因为对偶变量ycbb1第k个约束条件乘上0即b1的k列将为变化前的1由此对偶问题变化后的解y1y2
运筹学习题答案(第二章)
(g)
0
-5/4
(j)
第二章习题解答
2.4 给出线性规划问题 写出其对偶问题；(2)用图解法求解对偶问题；(3)利用(2)的结果及根据对偶问题性质写出原问题最优解。
最优解是：y1=-8/5,y2=1/5,目标函数值-19/5。
01
由于 y1=-8/5,y2=1/5都不等于零，原问题中的约束取等号。又上面第4个约束不等号成立，故x4=0，令x3=0就可以得到最优解： x1=8/5,x2=1/5。
3
2
5
0
0
0
CB
基
b
X1
X2
X3
X4
X5
X6
2
X2
15-7/4
1/4
1
0
0
0
1/4
5
X3
30+
3/2
0
1
0
1/2
0
0
X4
3 /2-5
-1
0
0
1
-1/2
-1/2
Cj－Zj
-7
0
0
-1
-2
0
第二章习题解答
第二章习题解答
2.14 某厂生产A，B，C三种产品，其所需劳动力、材料等有关数据见下表：
第二章习题解答
已知原问题最优解为X*=(2，2，4，0)，代入原问题，第4个约束不等式成立，故y4=0。有由于x1,x2,x3大于0，上面对偶问题前3个约束取等号，故得到最优解： y1=4/5, y2,=3/5, y3=1, y4=0
第二章习题解答
2.8 已知线性规划问题A和B如下：
01
01
02
2.6 已知线性规划问题
0
-5/4
(j)
第二章习题解答
2.4 给出线性规划问题 写出其对偶问题；(2)用图解法求解对偶问题；(3)利用(2)的结果及根据对偶问题性质写出原问题最优解。
最优解是：y1=-8/5,y2=1/5,目标函数值-19/5。
01
由于 y1=-8/5,y2=1/5都不等于零，原问题中的约束取等号。又上面第4个约束不等号成立，故x4=0，令x3=0就可以得到最优解： x1=8/5,x2=1/5。
3
2
5
0
0
0
CB
基
b
X1
X2
X3
X4
X5
X6
2
X2
15-7/4
1/4
1
0
0
0
1/4
5
X3
30+
3/2
0
1
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1/2
0
0
X4
3 /2-5
-1
0
0
1
-1/2
-1/2
Cj－Zj
-7
0
0
-1
-2
0
第二章习题解答
第二章习题解答
2.14 某厂生产A，B，C三种产品，其所需劳动力、材料等有关数据见下表：
第二章习题解答
已知原问题最优解为X*=(2，2，4，0)，代入原问题，第4个约束不等式成立，故y4=0。有由于x1,x2,x3大于0，上面对偶问题前3个约束取等号，故得到最优解： y1=4/5, y2,=3/5, y3=1, y4=0
第二章习题解答
2.8 已知线性规划问题A和B如下：
01
01
02
2.6 已知线性规划问题
卫生管理运筹学习题与参考答案
《卫生管理运筹学》习题与参考答案/习题一\1 •某医学院动物房饲养某种动物供教学与研究使用，设每头该种动物每天至少需700g蛋白质，30g矿物质，100mg维生素。
现有5种饲料可供选用，各种饲料每公斤营养成分含量及单价如下表所示。
要求确定既满足动物生长的营养需要，又使费用最省的饲料选用方案？只建模不求解。
各种饲料营养成分含量及单价表\饲料蛋白质（g）矿物质（g）维生素（mg）价格（元/kg ）1312213146225182•某食品厂用原料A、B、C加工成3种不冋类型的食品甲、乙、丙。
已知各种类型食品中A、B C的含量，原料成本，各种原料每月的限制用量以及3种食品的单位加工费和售价（如下表所示）。
问该厂每月生产这3种类型食品各多少公斤，可得到利润最大？只建模不求解。
食品、原料、费用分析表原料食品原料成本每月限制用量甲乙丙(元/kg ) (kg) A60%15%/ ' 2000B无限制无限制无限制/ 2500C20%\ 60%50%/ 1200加工费（元/kg ）售价（元/kg ）3 •将下列线性规划问题化为标准形式(1)Max Z2X1X24X32x15X2X36A2x13X22X315s.tX13X22X37X1,X2,X30(2)Min Z5x18X27X36%X2X310s.t. 5%4X22x315X10,X20, x3无约束条件4 •用图解法求解下列线性规划问题，并指出哪个问题是具有唯一最优解、多重最优解、无界解或无可行解。
(1)Max Z2x13x2x12X26st5x,3x215X1, X20(2)Max Z4x18x22x12x210s.t.X1X28X1,X20(3)Max Z X1X28x16x224s. t.4x16x212 2x24X1,X20(4) Max Z3x12x2x1 X2 1s.t 2x 2x2 4x1, x20(5) Max Z 3x19X2X13x222X1X24s.t X262xi5x20X i,X2 0(6) Max Z 3x14X2X 2x28x1 2x212s.t ■2x j x216x-!, x205.已知线性规划问题:Max Z X13X2X1X35X1X2X41s.t.X2X54X i,X2,X3,X4,X5 0下表所列的解均满足第1至第3个约束条件，请指出表中那些解是可行解，那些是基本解，哪些是基本可行解。
运筹学课后答案2
运筹学（第2版）习题答案2第1章 线性规划 P36~40第2章 线性规划的对偶理论 P68~69 第3章 整数规划 P82~84 第4章 目标规划 P98~100 第5章 运输与指派问题 P134~136 第6章 网络模型 P164~165 第7章 网络计划 P185~187 第8章 动态规划 P208~210 第9章 排队论 P239~240 第10章 存储论 P269~270 第11章 决策论 Pp297－298 第12章 博弈论 P325~326 全书360页由于大小限制，此文档只显示第6章到第12章，第1章至第5章见《运筹学课后答案1》习题六6.1如图6－42所示，建立求最小部分树的0－1整数规划数学模型。
【解】边[i ，j ]的长度记为c ij ，设⎩⎨⎧=否则包含在最小部分树内边0],[1j i x ij数学模型为：,12132323243434364635365612132434343546562324463612132446362335244656121324354656m in 52,22,233344,510ij ijij i j ij Z c x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ==++≤++≤++≤++≤+++≤+++≤+++≤++++≤++++≤+++++≤=∑或,[,]i j ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩所有边6.2如图6－43所示，建立求v 1到v 6的最短路问题的0－1整数规划数学模型。
图6－42【解】弧(i ，j )的长度记为c ij ，设⎩⎨⎧=否则包含在最短路径中弧0),(1j i x ij数学模型为：,1213122324251323343524344546253545564656m in 100,00110,(,)ijiji jij Z cx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x i j =⎧+=⎪---=⎪⎪+--=⎪⎪+--=⎨⎪++-=⎪⎪+=⎪=⎪⎩∑或所有弧 6.3如图6－43所示，建立求v 1到v 6的最大流问题的线性规划数学模型。
卫生管理运筹学ppt课件和课后答案
动态规划的基本概念包括状态、状态转移方程和最优解。通过建立数学 模型，可以找到最优解，使得整个多阶段决策过程的总效益达到最优值。
动态规划的求解方法有多种，包括递归法、迭代法、自底向上法等。这 些方法可以用于解决各种实际问题，如医院床位使用情况、医疗设备更 新等。
排队论
排队论是一种数学方法，用于研究排队 系统中的问题。在卫生管理领域，排队 论可以用于医院门诊、急诊和手术室等
发展趋势
未来，卫生管理运筹学将更加注重跨学科的整合与协同创新，加强与其他领域的 合作与交流，同时不断引入新的理论和方法，以适应卫生领域日益复杂的挑战。
02 卫生管理运筹学基础知识
线性规划
线性规划是一种数学优化技术，用于在有限资源下最大化或最小化目标函数。在卫 生管理领域，线性规划可以用于资源分配、预算制定和决策分析等方面。
线性规划的基本概念包括决策变量、目标函数和约束条件。通过建立数学模型，可 以找到最优解，使得目标函数达到最优值，同时满足所有约束条件。
线性规划的求解方法有多种，包括单纯形法、椭球法、分解算法等。这些方法可以 用于解决各种实际问题，如医院床位分配、医疗资源配置等。
动态规划
动态规划是一种数学方法，用于解决多阶段决策问题。在卫生管理领域， 动态规划可以用于制定长期规划、优化资源配置和决策分析等方面。
特点
卫生管理运筹学具有跨学科性、实用性、系统性和量化性的特点。它综合运用 数学、统计学、计算机科学、经济学等多个学科的理论和方法，为卫生管理提 供科学的决策支持。
卫生管理运筹学的重要性
提高卫生系统效率
通过优化资源配置、降低成本、 提高服务效率等方面，卫生管理 运筹学有助于提高整个卫生系统
的效率。
提升卫生决策水平
详细描述
动态规划的求解方法有多种，包括递归法、迭代法、自底向上法等。这 些方法可以用于解决各种实际问题，如医院床位使用情况、医疗设备更 新等。
排队论
排队论是一种数学方法，用于研究排队 系统中的问题。在卫生管理领域，排队 论可以用于医院门诊、急诊和手术室等
发展趋势
未来，卫生管理运筹学将更加注重跨学科的整合与协同创新，加强与其他领域的 合作与交流，同时不断引入新的理论和方法，以适应卫生领域日益复杂的挑战。
02 卫生管理运筹学基础知识
线性规划
线性规划是一种数学优化技术，用于在有限资源下最大化或最小化目标函数。在卫 生管理领域，线性规划可以用于资源分配、预算制定和决策分析等方面。
线性规划的基本概念包括决策变量、目标函数和约束条件。通过建立数学模型，可 以找到最优解，使得目标函数达到最优值，同时满足所有约束条件。
线性规划的求解方法有多种，包括单纯形法、椭球法、分解算法等。这些方法可以 用于解决各种实际问题，如医院床位分配、医疗资源配置等。
动态规划
动态规划是一种数学方法，用于解决多阶段决策问题。在卫生管理领域， 动态规划可以用于制定长期规划、优化资源配置和决策分析等方面。
特点
卫生管理运筹学具有跨学科性、实用性、系统性和量化性的特点。它综合运用 数学、统计学、计算机科学、经济学等多个学科的理论和方法，为卫生管理提 供科学的决策支持。
卫生管理运筹学的重要性
提高卫生系统效率
通过优化资源配置、降低成本、 提高服务效率等方面，卫生管理 运筹学有助于提高整个卫生系统
的效率。
提升卫生决策水平
详细描述
管理运筹学第二版习题答案
12-2《管理运筹学》课后习题详解 第2章 线性规划的图解法1. （ 1）可行域为0, 3, A ，3围成的区域。
（2） 等值线为图中虚线所示。
（3） 如图，最优解为 A 点（12/7,15/7 ），对应最 优目标函数值 Z=69/7。
2.（ 1）有唯一最优解 A 点，对应最优目标函数 值 Z=3.6。
（2）无可行解。
（3）有无界解。
40.7 0-33X 1+ X2(4)无可行解。
9y -F 2.r, + 6 = 30 3x x+2X2 + s2 =13 2x{—2xi+6=9 gx”片宀宀二0max f = 一4形—— 0町—Os2(5)无可行解。
X22max最优解A点最优函数值3. (1)标准形式(2)标准形式Xj + 2X2 H-S2 = 107,v：—6.v* = 4M , .Y2 , % 出> O(3)标准形式|!_|_fifmax f = —x 1 + 2 屯—2 込—0® — 0^2—3x x * 5X 2 — 5X 2 + s x = 70 2x x — 5X 2 + 5X 2 = 50 3xj + 2X 2 — 2X 2 —=305x ；,歩1 .s 2 土 0max z = 10.^! + 5.Y 2 \ 0^t 1 0©3x 】十 4X 2 + S J = 95.巧 +2.Y 2 -b >s 2 = 8 x t ,x 2 ^s lr>s 2 > 04.解： (1)标准形式求解：3X 〔 4X 2 9 5X 〔 2X 28X , 1 X 21.5S , S 25.标准形式:x , x 2 6 x , 3.6 S 3 S 2 0 4x , 9x 2 16x 2 2.4s , 11.27. 模型: (1) X 1=150, X 2=150;最优目标函数值 Z=103000。
(2) 第2、4车间有剩余。
剩余分别为： 330、15,均为松弛变量。
运筹学课后答案2
运筹学（第2版）习题答案2第1章 线性规划 P36~40第2章 线性规划的对偶理论 P68~69 第3章 整数规划 P82~84 第4章 目标规划 P98~100 第5章 运输与指派问题 P134~136 第6章 网络模型 P164~165 第7章 网络计划 P185~187 第8章 动态规划 P208~210 第9章 排队论 P239~240 第10章 存储论 P269~270 第11章 决策论 Pp297－298 第12章 博弈论 P325~326 全书360页由于大小限制，此文档只显示第6章到第12章，第1章至第5章见《运筹学课后答案1》习题六6.1如图6－42所示，建立求最小部分树的0－1整数规划数学模型。
【解】边[i ，j ]的长度记为c ij ，设⎩⎨⎧=否则包含在最小部分树内边0],[1j i x ij数学模型为：,12132323243434364635365612132434343546562324463612132446362335244656121324354656m in 52,22,233344,510ij ijij i j ij Z c x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ==++≤++≤++≤++≤+++≤+++≤+++≤++++≤++++≤+++++≤=∑或,[,]i j ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩所有边6.2如图6－43所示，建立求v 1到v 6的最短路问题的0－1整数规划数学模型。
图6－42【解】弧(i ，j )的长度记为c ij ，设⎩⎨⎧=否则包含在最短路径中弧0),(1j i x ij数学模型为：,1213122324251323343524344546253545564656m in 100,00110,(,)ijiji jij Z cx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x i j =⎧+=⎪---=⎪⎪+--=⎪⎪+--=⎨⎪++-=⎪⎪+=⎪=⎪⎩∑或所有弧 6.3如图6－43所示，建立求v 1到v 6的最大流问题的线性规划数学模型。
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习题参考答案习题一1．设选用第1种、第2种、第3种、第4种、第5种饲料的量分别为12345,,,,x x x x x 。
Min 543218.03.07.04.02.0x x x x x Z ++++=12345123451234512345326187000.50.220.530..0.50.220.8100,,,,0x x x x x x x x x x s t x x x x x x x x x x ++++≥⎧⎪++++≥⎪⎨++++≥⎪⎪≥⎩2．设x ij 为生产第i 种食品所使用的第j 种原料数，i ＝1，2，3分别代表甲、乙、丙，j ＝1，2，3分别代表A 、B 、C 。
其数学模型为：Max Z =)(0.1)(5.1)(2)(95.1)(45.2)(9.2332313322212312111333231232221131211x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++⨯-++⨯-++⨯-++⨯+++⨯+++⨯s.t. )3,2,1,3,2,1(,05.06.015.02.06.01200250020003332313323222123232221211312111313121111332313322212312111==≥≤++≤++≥++≤++≥++≤++≤++≤++j i x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ij3．将下列线性规划问题化为标准形式（1）引入剩余变量1s ，松弛变量2sMax 32142x x x Z ++=123112321231231225623215..327,,0,,0x x x s x x x s s t x x x x x x s s +--=⎧⎪+++=⎪⎨--+=⎪⎪≥≥⎩ （2）令'22x x =-，'''333x x x =-，引入松弛变量1sMax 33217785x x x x Z ''-'+'--= ⎪⎩⎪⎨⎧≥''''=''-'+'+=+''+'-'-0,,,,152245106..13321332113321s x x x x x x x x s x x x x t s4.（1）唯一最优解 1x =1.7143，2x ＝2.1429，Max Z =9.8571；（2）无可行解； （3）无界解；（4）无可行解；（5）多重最优解，Max Z=66，其中一个解为1x =4，2x ＝6； （6）唯一最优解，为1x =6.6667，2x ＝2.6667，Max Z =30.6667。
5．可行解：(A), (C), (E), (F) ；基本解：(A), (B), (F) ；基本可行解：(A), (F)6.（1）标准型为：Max 2195x x Z +=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=-+=++=++0,,,,65.01085.0..32121321221121s s s x x s x x s x x s x x t s （2）至少有2个变量的值取零，因为有3个基本变量、2个非基本变量，非基本变量的取值为零。
（3）在这个线性规划问题中，共有10种基本解。
（4）最优解X =（4，6，0，0，1）T，Max Z=74。
7．单纯形法求解下列线性规划问题 （1）（2）8．（1）a=7，b=-6，c=0，d=1，e=0，f=1/3，g=0； （2）表中给出最优解X *＝（0 0 7 0 5 0）T。
9．用大M 法求解结果：（1）无可行解；（2）最优解X *=（4 4）T，最优值为28； （3）有无界解；（4）最优解为X *=（4，0，0）T，最优值为8。
习题二1.（1）原问题的对偶问题为212010y y MinW +=s.t.⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧，11112y y y y 2y +++04222≥y y y 2110≥≥≥（2）原问题的对偶问题为321253y y y MaxW +-=s.t.⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧-1111432y y y y 1y +++，043222≤y y y 2y ---+，047323333≥y y y y 无约束34323y ≥-==≤（3）原问题的对偶问题为32152015y y y MaxW -+=s.t.⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧--11135y y y 1y +--，01065222≥y y y 2y --+，0333≤y y y 无约束3765y -=-≤-≥2．由教材表3-4与表3-5的对应关系，如图可知B=（x 4，x 1，x 2）列，B 1-=（x 4，x 5，x 6）列,故B= ⎝⎛001，，，113，，，⎪⎪⎪⎪⎭⎫-111，B -1= ⎝⎛001，，，2/12/11--，，，⎪⎪⎪⎪⎭⎫-2/12/12因最终单纯形表中非基变量的系数为B 1-N ，所以，(x 1*，x 2*，x 3*，b *)=B1-（N ，b ）=B -1(x 1，x 2，x 3，b)= ⎝⎛001，，，2/12/11--，，，⎪⎪⎪⎪⎭⎫-2/12/12 ⎝⎛113，，，111-，，，121-，，，⎪⎪⎪⎪⎭⎫201060= ⎝⎛010，，，100，，，2/32/11-，，，⎪⎪⎪⎪⎭⎫51510检验数j C =c j -C B P j =(0,0,-3/2,0,-3/2,-1/2)3．原问题的对偶问题为2134y y MaxZ += s.t.⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+≤+≤-≤+0,0332532322212121212121y y y y y y y y y y y y由松弛互补性质可知，在最优性条件下，*j v *j x =0和*i y *i u =0，这里*i u （i=1,2），*j v （j=1,2,3,4,5）分别为原问题的剩余变量及对偶问题的松弛变量。
由*1y =4/5>0,*2y =3/5>0,利用互补松弛定理*1y *1u =*2y *2u =0，得到*1u =*2u =0,即原问题的两个约束条件为等式约束条件。
将*1y =4/5,*2y =3/5代入对偶问题的约束条件，得到（2）式y 1*-y 2*=1/5<3，（3）式2y 1*+3y 2*=17/5<5，（4）式y 1*+y 2*=7/5<2，（2）、（3）、（4）三式为严格不等式，所以*2v >0，*3v >0，*4v >0，再利用一次互补松弛定理*2v *2x =*3v *3x =*4v *4x =0，得到*2x =*3x =*4x =0。
根据上述结果，原约束可以转化成二元一次线性方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=+=+****32435151x x x x 解方程组得x 1*=x 5*=1综上所得，原问题的最优解为X *=(1,0,0,0,1)，相应的目标函数最优值为*Z =*W =5。
4.（1）将原问题化为标准形式为321432x x x MaxW ---=s.t.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≥-=+-+--=+---5,2,1,04323253214321Λi x x x x x x x x x i建立这个问题的单纯形表并运算，具体见下表：表中b 列数字全为非负，检验数全为非正，故问题的最优解为*X =(11/5,2/5,0,0,0)若对应两个约束条件的对偶变量分别为y 1和y 2，则对偶问题的最优解为*Y =(8/5,1/5,0,0,9/5)（2）将原问题化为标准形式为：32123x x x MaxW ---=s.t.⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=≥-=++--=++-=+++62103466325314321，，，，Λi x x x x x x x x x x x i建立这个问题的单纯形表并计算，过程见下表:由上述表格可以看出基变量x 4行系数全为正，而其限定向量b 却存在负值，在x i ≥0,i=621，，，Λ的情况下不可能成立，故此题无解。
原问题的对偶规划如下：321346y y y Z Max ++='s.t.⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧1111y y y y ，0≤-+，222y y y 3y -+033≥y y 123≤≤≤显然，（0，0，0）为该对偶问题的可行解，则对偶问题为无界解。
5.（1）线性规划原问题的最优解X *=（0，0，8，0，6）T最优值*Z =b B C B 1-=（12，0）⨯⎪⎪⎭⎫⎝⎛68=96最优基B=⎝⎛33，，⎪⎪⎭⎫10 逆B -1=⎝⎛-13/1，，⎪⎪⎭⎫10 （2）原问题的对偶问题为：213024y y MinW +=s.t.⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥+≥+≥+0,123326624321212121y y y y y y y y y ，对偶问题的最优解Y *=（4，0，10，2，0）。
（3）若最优解不变，c 3变化Δc 3，则变化后的最终单纯形表为：由上表可以看出，在最优解不变的情况下，需满足下列不等式：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤∆--≤∆--≤∆--03/1403/1203/410333c c c ⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≥∆-≥∆-≥∆1262/15333c c c 得到3c ∆6-≥ 因此c 3=12+3c ∆≥6。
（4）由最终单纯形表可知1-B =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1,10,3/1，而b ∆=⎪⎭⎫ ⎝⎛∆20b ， 易见1-B b+1-Bb ∆=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛68+⎪⎭⎫ ⎝⎛∆20b =⎪⎭⎫ ⎝⎛∆+268b 。
因最优基变量不变,知6+2b ∆0≥,故2b ∆≥-6,而b 2*=b 2+2b ∆=30+2b ∆≥24，因此，当b 2*≥24时最优基变量不变。
（5）在原线性规划的约束条件上，增加下面的约束条件x 1+2x 2+2x 312≤,原问题变为：3211226x x x MaxZ ++=s.t.⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=≥≤++≤++≤++3,2,1,01222303622434321321321j x x x x x x x x x x j原最终单纯形表新增一行和一列，见表。
此时原最终单纯形表中的x 3和x 5的系数不再是单位向量了，所以继续进行行变换，保持原基变量不变。
在行变换后得到的新单纯形表中，检验数均小于等于零，但右端项出现负值，所以可用对偶单纯形法继续运算。
最后得最优解X *=(12/5,0,24/5,0,54/5,0)T ，最优值Z *=72。
6.（1）设y 的系数增加了∆y ，变化后的最优单纯形表为：因为保持最优生产计划不改变，所以，需满足下列不等式：⎪⎩⎪⎨⎧≤∆+-≤∆--02/1104/32/1y y ⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤∆-≥∆23/2y y ， 故2≥∆y 3/2-≥，所以，y 的系数的变化范围为∆y+2=（4/3，4）。