第七章 方差分析

z ( pˆ1 pˆ 2 ) ( p1 p2 )
pˆ1(1 pˆ1) pˆ 2 (1 pˆ 2 )
n1
n2
23
4. 总体方差的假设检验
2020/2/4
24
单个总体方差的假设检验
• 假设总体近似服从正态分布
• 检验的形式
– H0 ：σ²=σ0² H1 ：σ²≠σ0² (双侧检验) – H0 ：σ²≤σ0² H1 ：σ²＞σ0² （右侧检验） – H0 ：σ²≥σ0² H1 ：σ²＜σ0² (左侧检验)
• 检验统计量
–设有两总体X1 与X2，他们都服从正态分布：x 1～N (µ1, σ1²)， x2～N(µ2, σ2²)，从两总体中分别独立抽取容量为n1、 n 2的随机样本，其样本方差为S1²、S2²。
F

s12 s22

2 1

2 2
~ F (n1 1, n2 1)
26
5. 单因素方差分析
– 一般单一总体参数检验假设有以下几种类型：
• Ⅰ H0 ：θ=θ0
H1 ：θ≠θ0 双侧检验假设
• Ⅱ H0 ：θ=θ0 或θ≤θ0 H1 ：θ＞θ0 右侧检验假设
• Ⅲ H0 ：θ=θ0 或θ≥θ0 H1 ：θ＜θ0 左侧检验假设 6
假设检验的有关概念
• 检验统计量
–在假设检验中，必须借助样本的统计量进行推断 。所选 的检验统计量分布必须已知，而且必须是不包含任何其 他未知参数的样本的函数；对实际抽样，可以计算出它 的具体值，并可估计其发生的概率。
– 总体服从二项分布 – 可用正态分布来近似(大样本)
• 检验的 z 统计量
pˆ p
z
~ N (0,1)
p (1 p )

第一节 方差分析的基本原理
在科学研究中进行多个平均数间的 差异显著性检验，即方差分析。 方差分析的基本思想是将测量数据 的总变异按照变异原因不同分解为处 理效应和试验误差，并作出其数量估 计。

一、数学模型

假设有k组观测数据，每组有n个观 测值，则用线性可加模型来描述每 一个观测值，有：
xij i ij
F检验 若实际计算的F值大于 F0.05( df ,df )，则 F 值在α=0.05的水平上显著，我们以95% 的可靠性推断 代表的总体方差大于 S t2 S e2 代表的总体方差。这种用F值出现概率 的大小推断两个总体方差是否相等的 方法称为 F检验。 无效假设把各个处理的变量假设来自 同一总体，即H0:σt2=σe2，对HA:σt2≠σe2 。
在多因素试验中，实施在试验单位上的具体项 目是各因素的某一水平组合。例如进行3种饲
料和3个品种对猪日增重影响的两因素试验，
整个试验共有3×3=9个水平组合，实施在试 验单位(试验猪)上的具体项目就是某品种与某
种饲料的结合。所以，在多因素试验时，试验
因素的一个水平组合就是一个处理。
5、试验单位(experimental unit) 在试验中能接受不同试验处理的独立的试 验载体叫试验单位。 在畜禽、水产试验中， 一只家禽、 一头
2 ( x xi )( xi x ) 0
1
2
(x x)
1
n
2
( x x ) ( xi x )
2 1 1
n
n
2
把 k 个处理的离均差平方和累加，得：
( x )
1 1
k
n
2
n ( xi x ) ( x x )

1 1 k n
（7-4）
因此，得到表 7-1 类型资料平方和与自由度的分解式为： 总平方和=组间(处理间)平方和＋组内(误差)平方和
k n k k n
( xij x ) 2 n ( xt x ) 2 ( xij xt ) 2
1 1 i 1 1 1
（7-5） 记作：
第一节
方差分析基本原理
方差分析（analysis of variance，ANOVA）就是将试验数据的总变异分解为来源于不同因 素的相应变异，并作出数量估计，从而发现各个因素在总变异中所占的重要程度。即将试验 的总变异方差分解成各变因方差，并以其中误差方差作为和其他变因方差比较的标准，以推 断其他变因所引起变异量是否真实的一种统计分析方法。
二、F 分布与 F 测验
1．F 分布
设想在一正态总体 N（μ，σ2）中随机抽取样本容量为 n 的样本 k 个，将各样本观测值整 理成表 7-1 的形式。此时的各处理没有真实差异，各处理只是随机分的组。因此，由（7-8） 式算出的 st 和 se 都是误差方差 的估计量。以 se 为分母， st 为分子，求其比值。统计学
s e2
SS e2 DFe
[例 7.1] 设有 A、B、C、D、E5 个大豆品种（k=5） ，其中 E 为对照，进行大区比较试验， 成熟后分别在 5 块地测产，每块地随机抽取 4 个样点（n=4） ，每点产量（kg）列于表 7-2， 试作方差分析。
表 7-2 品 A B C D E 种 大豆品比试验结果（kg/小区） 取 1 23 21 22 19 15 2 21 19 23 20 16 样 点 3 24 18 22 19 16 4 21 18 20 18 17 Tt 89 76 87 76 64 392

3.观测值 每个水平下的样本数据称为观测值。本例不同行 业的投诉次数就是观测值 。
投诉次数——数值型变量
4.总体 因素的每一个水平可以看做是一个总体。如零售 业、旅游业等。 5.样本数据 调查得到的数据可以看做从总体中抽取的样本数 据。本例各行业的被投诉次数即为样本数据。
本例是只涉及一个分类型自变量——行业和数值 型因变量——被投诉次数，故是单因素方差分析； 是要研究“行业”对“投诉次数”的影响。 零售业、旅游业、航空公司、家电制造业是“行 业”这一分类型自变量的具体取值，“投诉次数” 是因变量，它是一个数值型变量，不同的投诉次 数就是因变量的具体取值。
消费者对四个行业的投诉次数
行业 观测值 零售业 旅游业 航空公司 家电制造业
1 2 3 4 5 6 7
57 66 49 40 34 53 44
68 39 29 45 56 51
31 49 21 34 40
44 51 65 77 58

分析四个行业的服务质量是否有显著差异，也就是要判 断“行业”对“投诉次数”是否有显著影响 一般而言，如果它们的均值相等，就意味着它们之间的 服务质量没有显著差异；如果均值不全相等，则意味着 它们之间的服务质量有显著差异。 要分析四个行业的服务质量是否有显著差异，可以归结 为检验这四个行业被投诉次数的均值是否相等。
第七章 方差分析方差分析在源自计方法中的地位统 描 回归分析 方差分析 推 参断 假 述 计 数统 设 统 方 计 估计 检 计 验 法
方差分析与假设检验、参数估计比较

假设检验、参数估计：
利用样本对总体进行某种推断 参数估计：样本 总体 假设检验：总体 样本

方差分析：

总体中某变量与另一变量之间有无关系、关系的强度 通过样本认识总体

(n较大时)
X
0
n
( 0已知时)
上例
如果抽测的36袋茶叶平均重量为100.57克,给定 α=0.2,由 P{| U | ≥ 0.10 }=0.20得
U a U 0.10 1.28
2
100 .57 100 3 1.15 / 6
3
于是小概率事件
＞ 0.10 1.28
H0: 1500 H1: 1500
例
改进生产工艺后，会使产品的废品率降低到2%以下。 – 属于研究中的假设 – 建立的原假设与备择假设应为
H0: 2% H1: 2%
例

学生中经常上网的人数超过90%吗?
-属于研究中的假设，先提出备择假设

提出原假设: H0: 90
不同：可信区间——量的问题 假设检验——质的问题 1.可信区间亦可用于回答假设检验的问题 2.可信区间比假设检验提供更多的信息,可以 回答有无统计学意义，还可回答有无实际意义.
进行假设检验应注意的问题
（1） 检验假设是针对总体而言，而不是针对样本；
（2）做假设检验之前，应注意资料本身是否有可比性。 （3）当差别有统计学意义时应注意这样的差别在实际中 有无意义。 （4）根据资料类型和特点选用正确的假设检验方法。 （5）根据专业及经验确定是选用单侧检验还是双侧检验。 （6）当检验结果为拒绝无效假设时，应注意有发生I类错 误的可能性，即错误地拒绝了本身成立的H0，发生这种 错误的可能性预先是知道的，即检验水准那么大；当检 验结果为不拒绝无效假设时，应注意有发生II类错误的 可能性，即仍有可能错误地接受了本身就不成立的H0， 发生这种错误的可能性预先是不知道的，但与样本含量 和I类错误的大小有关系。

表示
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二、方差分析的数据结构模型
y = µ + αi + β j + γ k + L + ε
其中：y是所观测的变量 µ为常数，代表共同的环境对观测变量的影响，称为平 均效应 αβγ则代表各个因子的某个水平对观测的变量的影响 ε代表实验观测的随机误差，独立同分布于正态分布
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三、方差分析的意义
一个因子的各个水平作用是否相同，即这个 因子对所观察变量的影响是否显著。 如果是显著的找出该最佳的水平或者各个显 著因子的最佳配合
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第二节 单因子方差分析
单因子数据结构模型 模型参数估计 单因子方差分析表 各水平效应的多重比较
第四节 两个因子方差分析
两个因子数据结构模型 模型参数的估计 方差分析表的构造 各个水平效应的多重比较
调查分析师资格培训--天津商业大学
一、随机区组因子数据结构模型
yijk = µ + α i + β j + (αβ ) ij + ε ijk i = 1, L p; j = 1, L , q; k = 1, L , n
检验假设
H 0 : α1 = α 2 = L = α m = 0 H1 : 至少α i ≠ 0 or H 0 : µ1 = µ 2 = L = µ m
m ni m
H1 : 至少µi ≠ 0
m ni
总变动平方和分解（SST=SSA+SSE）
( yij − y ) 2 = ∑ ni ( yi − y ) 2 + ∑∑ ( yij − yi ) 2 ∑∑
i =1 j =1 i =1 i =1 j =1

2020/6/19
7.2 固定效应模型
7.2.1 线性统计模型
在固定效应模型中，αi是处理平均数与总体 平均数的离差，是个常量，故：∑αi=0（i=1，
2，…n），要检验a个处理效应的相等性，就 要判断各αi是否都等于0。若各αi都等于0，则
各处理效应之间无差异。因此，零假设为：H0： α1=α2= … =αa =0 备择假设为：HA： αi≠0（至少有一个i）
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7.3.3 不等重复时平方和的计算
• 上述情况，无论是固定效应模型，还是随机效 应模型，各处理的观测次数都是相同的。若不 同处理观测次数不同，以上的方差分析方法仍 然适用，但在计算平方和时，公式要作改动。
• 检验程序及结果分析同上述讨论。
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7.4 多重比较(multiple comparison)
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7.1 方差分析的基本原理
7.1.1 方差分析的一般概念
方 差 分 析 （ analysis of variance ， ANOV）是一类特定情况下的统计假设检验， 平均数差异显著性检验----成组数据 t检验的一 种引伸。t检验可以判断两组数据平均数间的差 异显著性，而方差分析则可以同时判断多组数 据平均数之间的差异显著性。当然，在多组数 据的平均数之间做比较时，可以在平均数的所 有对之间做t检验。但这样做会提高犯Ⅰ型错误 的概率，因而是不可取的。
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7.2.3 均方期望与统计量F
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7.2.4 平方和的简易计算方法
• 实际应用时，总的平 方和与处理平方和一 般按右式计算：
• 式中的被减数C通常被称 为校正项（correction) ：
• 误差平方由右式算出 ： • 用SAS软件更简便

进一步的问题...
• 当方差分析拒绝了原假设时，即认为至少有两个 总体的均值存在显著性差异时，须进一步确定是 哪两个或哪几个均值显著不同，则需要进行多重 比较来检验。多重比较是指在因变量的三个或这 三个以上水平下均值之间进行的两两比较检验。
• 多重比较问题：
H0: mi mj H1: mi mj
选择拒绝域xi xj c, c?
• 因此，至少一次错误的概率为1-0.735=0.265。总之，如 果我们用t分布分别做6次独立的检验，至少有一样本错 误发生的概率从0.05上升到了0.265。显然我们需要用更 好的办法来而非6次t检验，方差分析允许我们同时比较 多个处理的均值并且避免了第一类错误概率的增加。
7.1 单因素方差分析
• 方差分析（Analysis of Variance，ANOVA）是英国统计学家 罗纳德·费歇尔(Ronald Fisher)20世纪年代发展起来的一种在实 践中被广泛运用的统计方法。
• 从形式上看，方差分析是比较多个总体的均值是否相等，但 本质上，它所研究的是分类型自变量对数量型因变量的影响 ，这使得它同后面一章介绍的回归分析关系密切，但是又不 完全相同。
涉及的检验: H0: m1=…=mp
公式:总平方和=组间平方和+组内平方和
p
p n i
S S T S S B S S E n i(yi y)2 (y ij yi)2
i 1
i 1j 1
其中, SST 有自由度 n-1, SSB有自由度 p-1,
SSE 有自由度 n-p,在正态分布的假设下, 如
• 有时我们会看到p值下面的数值显示*和**。在脚注中会解 释一个星号表示它的p值小于0.05，而两个星号则表示p值小于0.01。统计表的缺点是它无法提供精确的p-值；它 一般只能给出p是小于某些值的。但是，我们可以用统计 软件求出精确的p-值。比如可以在Excel中通过 “=FDIST(42.6,2,21)”命令求得小麦产量方差分析的p-值就 为0.00000004。精确的p-值能够提供更多的信息，因为我 们能知道它究竟比0.05或比0.01小多少，也可以知道在拒 绝零假设时的把握有多大。

SST SSA SSE
其中，SST为观测变量的总离差平方和；SSA为组间离差平方和，是 由控制变量不同水平造成的观测变量的变差；SSE为组内平方和，是由抽 样误差引起的观测变量的变差。
其中：
SST ( xij x )
i 1 j 1
k ni k
k
ni
2
SSA ( xi x ) 2 ni ( xi x ) 2
2、将观测变量选择到Dependent List框。 3、将控制变量选择到Factor框。控制变量有几个不同的取值 表示控制变量有几个水平。 至此，SPSS便自动分解观测变量的方差，计算组间方 差、组内方差、F统计量以及对应的概率p值，完成单因素 方差分析的相关计算，并将结果显示到输出窗口中。
7.2.4 单因素方差分析的应用举例
给定显著性水平与p值做比较：如果p值小于显著性水平 ，则应该拒绝原假设，反之就不能拒绝原假设。
7.2.3 单因素方差分析的基本操作步骤
在利用SPSS进行单因素方差分析时，应注意数据的组织形式。 SPSS要求定义两个变量分别存放观测变量值和控制变量的水平值。基本 操作步骤如下： 1、选择菜单Analyze－Compare means－One-Way ANOVA，出现窗口
2、控制变量的不同水平：控制变量的不同取值或水平，称为控制变量的不 同水平。如甲品种、乙品种；10公斤化肥、20公斤化肥、30公斤化肥等。
3、观测变量：受控制变量和随机变量影响的变量称为观测变量，如农作物 的产量等。 方差分析就是从观测变量的方差入手，研究诸多控制变量中哪些变量 是对观测变量有显著影响的变量以及对观测变量有显著影响的各个控制变 量其不同水平以及各水平的交互搭配是如何影响观测变量的一种分析方法 。

=0.05
（2）计算检验统计量
XT X C q S XT X C XT XC 1 1 MS误 差 n n C T ，v v误 差
MS误差 （
1 1 1 1 ） 0.2099( ) 0.2049 nT nc 10 10
表 7-11 例7-2资料的Dunnett-t 检验计算表
表7-1 三种不同喂养方式下大白鼠体重喂养前后差值(g)
图7-1 例7-1大白鼠体重差值变异分解示意图
总变异：
SS总 ( X ij X )
i j
2
总 N 1
组内变异：
完全是各组内个体间的差异，体现为 每组的原始数据与该组均数的差异，因此 可以认为是随机误差，又称误差变异。
第七章 方差分析
林爱华 2012-12-11
问题的提出 ：
比较两个均数 ---- t检验或u检验
多个均数？ 问题：多个均数比较时能否
直接两两之间作t 检验？ -----方差分析 (analysis of variance，ANOVA)
以五个样本均数的比较为例： 进行t 检验时，α=0.05，则5个均数的 两两比较将进行10次，这时，10次比较都 不犯（Ⅰ类）错误的概率为：
方差分析的前提条件
从理论上讲，进行方差分析的数据应满足 如下两个基本假设： (1) 各样本是相互独立的随机样本，均服从 正态分布； (2) 各样本的总体方差相等，即方差齐性。
H 0 ：三组不同喂养方式下大白鼠体重改变的总体平均水平相同
H1 ：三组不同喂养方式下大白鼠体重改变的总体平均水平不全相同
0.05
(2) 计算检验统计量
(3) 确定P值并作出推断结论
查附表3-1，得 F0.05(2,32) 3.29, F0.01(2,32) 5.34 。 由F = 31.36 知P < 0.01。按 = 0.05水准，差别有

A．t 测验，II 类错误 B．F 测验，I 类错 误 C．u 测验，I 类错误 D．t 测验，I 类错 误
自由度等于 （A ）。
A． 观察值个数减约束条件个数 B． n-1 C． n-2 D． n-k
系统分组资料的方差分析可分解出 （B ）。
A． 系统误差 B． 两个误差项 C． 两 个处理效应 D． 互作项
不同品种母猪的平均窝产仔数多重比较表 ( SSR 法 )
品.0 10.2 9.6 8.2
-8.2
4.8 ** 3.8 **
2.0 1.4
为研究雌激素对子宫发育的影响，现有 4 窝不同品系未成年的大白鼠，每窝 3 只， 随机分别注射不同剂量的雌激素，然后在相 同条件下试验，并称得它们的子宫重量，见 下表。品系与不同剂量的雌激素之间有无差 异 （ ）。
C．
D． 21. 一般的饲养试验及品种比较试验等均 属 (C )。 A． 随机模型 B． 混合模型 C． 固定 模型 D． 混料模型 22． 为研究中国猪种的繁殖性能的变异情 况，从大量地方品种中随机抽取部分品种为 代表进行试验、观察其结果推断中国猪种的 繁殖性能的变异情况，这属于（ A）。 A．随机模型 B．固定模型 C．混合模 型 D．线性模型
第七章 方差分析
方差分析的主要目的是（B ）。
A．分解平方和 B．进行多个平均数的假 设测验 C．分解自由度 D．进行 F 测验
进行方差分析，第一步需要进行（C ）。
A．平方和分解 B．自由度分解 C．A＋B D．方差分解
设有 k 组数据，每组皆有 n 个观察值，该资 料共有 nk 个观察值，其总平方和可分解为 （B ）。
品系 ( A )
A1 A2 A3
雌激素注射剂量 (mg/100g)( 因B 为) A 因素的 F 值 23.77 ＞ F

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13
4、各种方差、F值的计算：
各种方差的计算： （1）组间方差：
s
2 A
SS A df A
（2）组内方差：
s
2 e
SS e df e
F检验及其实质： F
s
2 A
s
2 e
本质差异
＝ —————
试验误差
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14
第二节 单方面分类的方差分析
例：整地深度（A,cm）对比试验，试分析不同的 整地深度对苗木的高生长有否显著的影响？
5*5拉丁方设计
D BC A E E DACB A CBED B AEDC C EDBA
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20
第二节 三方面分类的方差分析
分析造成差异的原因？ 1、横行间 2、直行间 3、处理间（类间） 4、机误
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21
第二节 三方面分类的方差分析
三方面分类的方差分析：
SS总=SS横行间+SS直行间+ SS类间+SS误差 即
小：0.05
结论的可靠性
低：统计量的自由 高：统计量的自由度大 度小（df =18） （df =45）
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3
第一节 方差分析的基本原理
二、方差分析的种类：
1、单因子试验的方差分析 （1）单方面分类的方差分析----完全随机排列、成组法等 （2）双方面分类的方差分析----随机区组设计、配对法等 （3）三方面分类的方差分析----拉丁方设计 2、复因子试验的方差分析 （1）无交互作用的方差分析 （2）有交互作用的方差分析
d
m
LS 0.0D 5t0.05 sd
LS 0.0D 1 t0.01 sd

5.当组数等于2时,对于同一资料,方差分析结果与t检验结果( )
A.完全等价且F=t
B.完全等价且t=√F
C.t检验结果更准确
D.方差分析结果更准确
答案：B
6.无重复试验的方差分析中,一定有( )
A. MST=MSA+ MSB+MSE
B .SST≤SSA+SSB+SSE
C.MST≤MSA+MSB+MSE
D.SST=SSA+SSB+SSE
答案：D
7.单因素方差分析中的SSA表示( )
A.某因素效应与抽样误差综合结果
B.某因素效应大小
C.抽样误差大小
D.不可预见的误差
答案：A
8.在方差分析中,如果P≤a,则( )
A.各个总体均数全相等
B.至少有两个样本均数不等
C.至少有两个总体均数不等
D.各个样本均数不全相等
答案：C
34.在方差分析中,方差分析的目的是( )
A.分析各个正态总体的方差是否相同B.分析各个正态总体的标准差是否相同
C.分析来自正态总体各组的样本均值是否相同D.分析各个正态总体的均值是否相同E.无正确选项
答案：D
二、填空题
1.方差分析用于两个或多个总体均数间的比较、分析两个或多个因素的交互作用、_____________________的假设检验和方差齐性检验。
答案：C
9.方差分析的前提条件不包括（）
A.独立性
B.正态性
C.均匀性
D.方差齐性
答案：C
10.方差分析的主要目的是
A.判断各总体是否存在方差
B.比较各总体的方差是否相等
C.分析各样本数据之间是否存在显著差异

15
三、方差分析的原理
所有数据的误差称总平方和（
sum of squares for total），或总变异，记为SST。
SST xij x
c j 1 i 1
nj

2
例如：所抽取的20家专卖市场销售额之间的误差 平方和称总变异，反映全部观测值的离散程度。
SST=SS因子+SSE
商业区
超市位置
居民小区
写字楼
3个以上 470 500 390 430 420 530 240 270 320
2
第七章 方差分析

你是一名研究人员，会考虑从哪几方面进行分析呢？

你可以考虑单独分析超市位置的影响、竞争者数量的 影响，或是超市位置和竞争者数量搭配在一起的影响。
如果只考虑超市位置对销售额是否有显著的影响，实 际上也是要判断不同位置超市的销售均值是否相同。 若它们的均值相同，就意味着超市位置对销售额没有 显著影响；若均值不相同，则意味着超市位置对销售 额有显著的影响。 在这里超市位置和竞争者数量是定性自变量，销售额 售额是定量因变量。

2

…
N r ,

2

x11 , x12 ,...,x1n j x21 , x22 ,...,x2n j
…
xr1, xr 2 ,...,xrn j
x1 , s
2 1
x2 , s
2 2
…
xr , s
2 r
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二、单因素方差分析的步骤
Step1：建立假设
H0 : 1 2
r
16
三、方差分析的原理

将各类误差除以自身的自由度，以消除观测值对 其影响，得到均方（mean square），分别称为组 间方差或因子均方(MS因子)、组内方差或残差均方 (MSE)。 如果因子中不同水平对因变量没有影响，则组间 方差只有随机误差而没有系统误差，此时，组间 误差和组内误差应该很接近，两个比值接近1。 当H0为真时，两个比值可建构检验统计量F 进行 假设检验。