微分方程全解

微分方程求通解
1、微分方程的通解公式：y=y1+y* = 1/2 + ae^(-x) +be^(-2x)，其中：a、b由初始条件确定，例：y''+3y'+2y = 1 ，其对应的齐次方程的特征方程为s^2+3s+2=0 ，因式分(s+1)(s+2)=0，两个根为：s1=-1 s2=-2。

2、y''+py'+qy=0，等式右边为零，为二阶常系数齐次线性方程；y''+py'+qy=f（x），等式右边为一个函数式，
为二阶常系数非齐次线性方程。

可见，后一个方程可以看为前一个方程添加了一个约束条件。

对于第一个微分方程，目标为求出y的表达式。

求解过程在课本中分门别类写得很清楚，由此得到的解，称为【通解】，
3、通解代表着这是解的集合。

我们中学就知道，M个变量，需要M个个约束条件才能全部解出。

例如，解三元一次方程组，需要三个方程。

由此，在变量相同的条件下，多一个约束条件f（y），就可以多确定一个解，此解就称为【特解】。

微分方程通解总结微分方程通解总结微分方程是数学中的一个重要分支，其应用广泛，涉及到物理、化学、工程等多个领域。

微分方程通解是解决微分方程问题的关键，本文将对微分方程通解进行全面详细的总结。

一、概念及分类1. 概念：微分方程通解是指能够满足给定微分方程所有初值条件的函数族。

2. 分类：（1）一阶常系数线性微分方程：dy/dx+ay=f(x)（2）一阶非齐次线性微分方程：dy/dx+p(x)y=q(x)（3）二阶常系数线性齐次微分方程：d²y/dx²+ay=0（4）二阶常系数线性非齐次微分方程：d²y/dx²+ay=f(x)二、求解方法1. 一阶常系数线性微分方程：（1）特征根法：先求出对应的齐次线性微分方程的通解，然后采用待定系数法求出非齐次线性微分方程的特殊解。

（2）常数变易法：将未知常数看作变量，将原式变为一元函数，然后求导再代入原式得到一个关于未知常数的一阶常微分方程，解出后再代入原式得到通解。

2. 一阶非齐次线性微分方程：（1）常数变易法：同上。

（2）待定系数法：根据非齐次项的形式，猜测一个特殊解的形式，然后代入原式求出待定系数。

3. 二阶常系数线性齐次微分方程：（1）特征根法：先求出对应的齐次线性微分方程的通解，然后根据初始条件求出未知常数得到特定解，最终得到通解。

4. 二阶常系数线性非齐次微分方程：（1）待定系数法：根据非齐次项的形式猜测一个特殊解的形式，然后代入原式求出待定系数。

（2）常数变易法：将未知常数看作变量，将原式变为一元函数，然后求导再代入原式得到一个关于未知常数的二阶常微分方程，解出后再代入原式得到通解。

三、注意事项1. 求解过程中需要注意初始条件和边界条件的使用。

2. 待定系数法需要根据非齐次项猜测特殊解的形式，并且需要保证猜测的特殊解不在齐次方程的通解中。

3. 特征根法需要求出齐次微分方程的特征根和对应的特征向量，然后根据初始条件求出未知常数得到特定解。

微分方程的通解包含方程的全部解微分方程是数学中的一个重要分支，主要研究变量之间的关系以及方程的解。

通解是微分方程的解的一般形式，包含了方程的全部解。

下面将从微分方程的基本概念、求解方法以及通解的含义等方面进行介绍，希望能够对你有所帮助。

一、微分方程的基本概念微分方程是包含未知函数及其导数的方程，通常用符号表示。

例如，一阶线性常微分方程可以写成形式如下的方程：dy/dx + P(x)y = Q(x)其中，dy/dx是y关于x的导数，P(x)和Q(x)是给定的已知函数。

二、微分方程的求解方法1. 变量分离法：将微分方程中的变量分离到方程的两边，然后对两边进行积分，最后得到方程的通解。

2. 齐次方程法：当方程等号右边为零时，可以使用齐次方程法求解。

首先将方程转化为dy/dx = f(x)/g(y)的形式，然后通过变量代换将其变为分离变量的方程，最后进行积分求解。

3. 一阶线性常微分方程法：对于一阶线性常微分方程，可以使用积分因子法求解。

首先将方程转化为dy/dx + P(x)y = Q(x)的形式，然后求出方程的积分因子μ(x)，并将方程两边同时乘以积分因子，最后进行积分求解。

4. 变量替换法：当微分方程具有特殊形式时，可以通过变量替换将其转化为一种更简单的形式，然后使用已知的求解方法求解。

三、微分方程的通解的含义微分方程的通解是指包含方程的全部解的一般形式，它可以通过求解微分方程得到。

对于一些简单的微分方程，可以直接通过积分求得通解。

但是对于一些复杂的微分方程，通解往往比较难以求得，需要使用一些特殊的方法或者定理。

需要注意的是，通解中包含任意常数，这些常数的取值可以通过附加条件或者边界条件来确定。

通过给定特定的条件，可以从通解中确定出方程的特解。

四、相关参考内容1. 《高等数学》（下册）（同济大学数学系编著）：这本教材详细介绍了微分方程的基本概念、求解方法以及通解的相关知识，适合初学者学习。

2. 《数学分析》（任继愈著）：这本教材全面系统地介绍了微分方程的相关理论和方法，内容较为深入，适合深入学习微分方程的人士参考。

常微分方程解法大全在数学中，常微分方程是研究微积分的一个重要分支，常微分方程解法是数学中常见的问题之一。

通过对常微分方程解法的研究，可以帮助我们更好地理解数学中的微分方程。

在本文中，我们将探讨一些常见的常微分方程解法方法，帮助读者更好地理解和掌握这一领域。

常微分方程的定义在开始讨论常微分方程的解法之前，我们首先来了解一下常微分方程的定义。

常微分方程是指包含未知函数及其导数的方程，其中未知函数是一个变量，其导数是这个变量的函数。

通常常微分方程的一般形式可以表示为：F(x,y,y′,y″,...,y(n))=0其中，y是未知函数，y′是y的一阶导数，y″是y的二阶导数，n是常微分方程的阶数。

常微分方程的解法方法常微分方程的解法方法包括但不限于以下几种常见方法：1. 分离变量法分离变量法是求解一阶常微分方程的常用方法之一。

当常微分方程可以写成形式dy/dx=f(x)g(y)时，就可以使用分离变量法。

2. 含参微分法含参微分法是求解一阶常微分方程的一种方法。

当常微分方程可以写成形式dy/dx+P(x)y=Q(x)时，就可以使用含参微分法。

3. 齐次方程法齐次方程法是求解一阶常微分方程的一种方法。

当常微分方程可以写成形式dy/dx=f(y/x)时，就可以使用齐次方程法。

4. 一阶线性微分方程法一阶线性微分方程法是求解一阶常微分方程的一种方法。

当常微分方程可以写成形式dy/dx+P(x)y=Q(x)时，可以使用一阶线性微分方程法。

5. 求解高阶微分方程除了以上几种方法外，还有很多其他方法可以用来求解高阶常微分方程，例如特征方程法、常数变易法等。

结语通过本文的介绍，相信读者对常微分方程的解法有了更深入的了解。

常微分方程解法作为数学中一个重要的研究领域，有着广泛的应用。

希望读者通过学习本文，可以更好地掌握常微分方程的解法方法，提升自己在数学领域的能力。

如果读者对常微分方程解法还有其他疑问或想要了解更多相关知识，可以继续深入学习或咨询数学相关的专业人士。

第二章 微分方程本章学习目的：本章的主要目的在于：学习微分方程模型的建立、求解方法、分析结果及解决实际问题的全过程。

1．知道求解微分方程的解析法、数值解法以及图形表示解的方法；2．理解求微分方程数值解的欧拉方法，了解龙格——库塔方法的思想；3．熟练掌握使用MATLAB 软件的函数求微分方程的解析解、数值解和图形解；4．通过范例学习怎样建立微分方程模型和分析问题的思想。

§2.1 引例 在《大学物理》中，我们曾学习过简谐振动（如：弹簧振子、单摆）0222=+x dtx d ω，那就是一个典型的二阶常微分方程的模型。

这里我们讨论“倒葫芦形状容 器壁上的刻度问题”。

对于圆柱形状容器壁上的容积刻度，可以利用圆柱体体积公式：4/2H D V π=，其中容器的直径D 为常数，体积V 与相对于容器底部的任意高度H 成正比，因此在容器壁上可以方便地标出容积刻度。

而对于几何形状不规则的容器，比如“倒葫芦形状”的容器壁上如何标出容积刻度呢？如图所示，建立坐标系，由微元法分析可知：dx x D dV 2)(41π=，其中x 表示高度，直径是高度的函数，记为D （x ）。

可得微分方程：0)0()(412==V x D dx dV π如果该方程中的函数D(x)无解析表达式，只给出D(x)的部分测试数据，如何求解此微分方程呢？h=0.2;d=[0.04,0.11,0.26,0.56,1.04,1.17];x(1)=0;v(1)=0;for k=1:5x(k+1)=x(k)+h;v(k+1)=v(k)+(h/2)*(pi/4)*(d(k)^2+d(k+1)^2);endx=x(1:6),v=v(1:6),plot(x,v)x =Columns 1 through 50 0.2000 0.4000 0.6000 0.8000 Column 61.0000v =Columns 1 through 50 0.0011 0.0073 0.0373 0.1469 Column 60.3393§2.2 微分方程模型的建立在工程实际问题中，“改变”、“变化”、“增加”、“减少”等关键词提示我们注意什么量在变化，关键词“速率”、“增长”、“衰变”、“边际的”等常涉及到导数。

微分方程求解-解微分方程微分方程求解求解微分方程：简单地说，就是去微分，将方程化成自变量与因变量关系的方程。

近来做毕业设计遇到微分方程问题，搞懂后，特发此文，来帮广大同学，网友。

1.最简单的例子：——————》求微分方程的通解。

dx解方程是可分离变量的，分离变量后得两端积分：得：从而：又因为。

仍是任意常数，可以记作C 。

非齐次线性方程2y 求方程的通解解：非齐次线性方程。

先求对应的齐次方程的通解。

5，，用常数变易法：把C换成u(x)，即令则有，dx12，代入原方程式中得两端积分，得。

33再代入式即得所求方程通解。

3法二：假设待求的微分方程是:我们可以直接应用下式得到方程的通解，其中，2，代入积分同样可得方程通解5，3232.微分方程的相关概念：(看完后你会懂得各类微分方程)一阶微分方程：或可分离变量的微分方程：一阶微分方程可以化为的形式，解法：得：称为隐式通解。

，即写成的函数，解法：dxxydydududxduy设，则，，分离变量，积分后将代替u，齐次方程：一阶微分方程可以写成即得齐次方程通解。

一阶线性微分方程：当时,为齐次方程，当时，为非齐次方程，，全微分方程：如果中左端是某函数的全微分方程，即：应该是该全微分方程的通解。

二阶微分方程：时为齐次时为非齐次二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：，其中p,q为常数；求解步骤：1、写出特征方程：，其中r2，r的系数及常数项恰好是(*)式中的系数；2、求出式的两个根r1,r23、根据r1,r2的不同情况，按下表写出(*)式的通解：，p,q为常数型，为常数；型3.工程中的解法：四阶定步长Runge-Kutta算法其中h 为计算步长，在实际应用中该步长是一个常数，这样由四阶Runge-Kutta算法可以由当前状态变量Xt 的值求解出下状态变量Xt +1 的值亲们，你们满意吗？一阶微分方程的解一阶微分方程的常数变易法的应用探析The exploration of linear ordinary differential equation of first order with method of leadingvariables作者：刘*专业：数学与应用数学指导老师：杜* *完成时间：2016年9月1号摘要常数变易法是作为求解一阶线性方程的解法给出的。

第二章 微分方程本章学习目的：本章的主要目的在于：学习微分方程模型的建立、求解方法、分析结果及解决实际问题的全过程。

1．知道求解微分方程的解析法、数值解法以及图形表示解的方法； 2．理解求微分方程数值解的欧拉方法，了解龙格——库塔方法的思想；3．熟练掌握使用MATLAB 软件的函数求微分方程的解析解、数值解和图形解；4．通过范例学习怎样建立微分方程模型和分析问题的思想。

§2.1 引例在《大学物理》中，我们曾学习过简谐振动（如：弹簧振子、单摆）0222=+x dtx d ω，那就是一个典型的二阶常微分方程的模型。

这里我们讨论“倒葫芦形状容 器壁上的刻度问题”。

对于圆柱形状容器壁上的容积刻度，可以利用圆柱体体积公式：4/2H D V π=，其中容器的直径D 为常数，体积V 与相对于容器底部的任意高度H 成正比，因此在容器壁上可以方便地标出容积刻度。

而对于几何形状不规则的容器，比如“倒葫芦形状”的容器壁上如何标出容积刻度呢？如图所示，建立坐标系，由微元法分析可知：dx x D dV 2)(41π=，其中x 表示高度，直径是高度的函数，记为D（x ）。

可得微分方程：0)0()(412==V x D dx dV π如果该方程中的函数D(x)无解析表达式，只给出D(x)的部分测试数据，如何求解此微分方程呢？h=0.2;d=[0.04,0.11,0.26,0.56,1.04,1.17];x(1)=0;v(1)=0;for k=1:5x(k+1)=x(k)+h;v(k+1)=v(k)+(h/2)*(pi/4)*(d(k)^2+d(k+1)^2);endx=x(1:6),v=v(1:6),plot(x,v)x =Columns 1 through 50 0.2000 0.4000 0.6000 0.8000 Column 61.0000v =Columns 1 through 50 0.0011 0.0073 0.0373 0.1469 Column 60.3393§2.2 微分方程模型的建立在工程实际问题中，“改变”、“变化”、“增加”、“减少”等关键词提示我们注意什么量在变化，关键词“速率”、“增长”、“衰变”、“边际的”等常涉及到导数。

【问题】系统微分方程的求解方法有哪些？
【知识点】系统微分方程的求解
【解题思路】
线性连续时间系统的分析，归结为建立并且求解线性微分方程。

在系统的微分方程中，包含有表示激励和响应的时间函数以及它们对于时间的各阶导数的线性组合
在分析过程中，如果不经过任何变换，则所涉及的函数的变量都是时间t，这种分析方法称为时域分析法
如果为了便于求解方程而将时间变量变换成其他变量，则相应地称为变换域分析法
【问题解答】
微分方程的求解方法有：
1、时域经典法：
系统的全解＝齐次解＋特解
齐次解的形式由齐次方程的特征根确定；
特解的形式由方程右边激励信号的形式确定。

2、系统的全响应＝零输入响应＋零状态响应
系统的零输入响应由微分方程直接求解得到（可以利用算子法）。

系统的零状态响应可以利用卷积积分的方法。

3、变换域的分析方法。

在变换域中，将复杂的微分运算变为简单的线性运算。

【小结】线性时不变系统可以用线性常系数的微分方程来描述，因此系统的求解等价于相应微分方程的求解。

凑全微分法解微分方程关于解微分方程，书上有的方法我也就不多说了~！这里重点说说不常提到的凑全微分法~。

由于凑全微分会涉及下一学期的内容，所以本色书上没有提到~。

但是对于解微分方程，凑全微分确实是一个很方便很实用的方法。

下面来举个例子~：求微分方程0)22()12(=+++dy y x dx y 通项。

【解】将方程改写为02)(2=+++dx ydy yd xdy0)()(22=++dx y d xy d 即0)2(2=++x xy y d 亦即从而原方程的通解就是C x xy y =++22注意：凑全微分法通常较为简捷，但要求熟悉未分公式并能正确分组。

熟记下面的微分关系式对使用这个方法是很有帮助的。

)()4()()3()](21[)2()()1(2222xy d x ydx xdy yx d y xdy ydx y x d ydy xdx xy d xdy ydx =--+=+=+但并不是所有的微分方程都可以凑得全微分形式的。

对于微分方程0),(),(=+dy y x Q dx y x P ，它能凑得全微分（即 是全微分方程）的充要条件为x Q y P ∂∂=∂∂。

（若满足全微分方程条件，则其通项为⎰⎰=+x x yy C dy y x Q dx y x P 00),(),(0 或⎰⎰=+y y xx C dx y x P dy y x Q 00),(),(0 这不需要记，记一下全微分方程的充要条件即可~） 下面来解释一下xQ y P ∂∂=∂∂： 它的意思是：P 函数对y 求导的结果等于Q 函数对x 求导的结果。

P 对y 求导的时候，x 作为常数来考虑。

即y y x P ∂∂),(可相当于dyy x dP ),(0来处理。

如： 设y x yP xy x P y y x y x P 22),(222+=∂∂=∂∂+=，。

则 （对于xQ y P ∂∂=∂∂，只许记住结论即可，它的证明，还需涉及曲线积分的知识~）下面来看一个稍复杂的例子：求解一阶线性微分方程)()(00x Q y x P dxdy =+ 这是教材上的式子。

全微分的通解
全微分的通解是指在给定函数的全微分形式下，找到使得全微分等于给定形式的函数表达式。

一般来说，全微分的通解可以通过对给定的全微分方程进行积分来获得。

全微分的一般形式为：
df = ∂f/∂x dx + ∂f/∂y dy + ∂f/∂z dz
其中，f表示待求的函数，x、y、z表示自变量，∂f/∂x、∂f/∂y、∂f/∂z表示f对应自变量的偏导数，dx、dy、dz表示自变量的微小变化量。

要求全微分的通解，可以将全微分方程与已知的偏导数进行对比，然后根据已知的偏导数关系来求解未知函数f。

以下是一个示例，假设已知全微分方程为：
df = 2xdx + 3ydy + 4zdz
我们需要找到满足上述全微分方程的函数f。

根据已知的偏导数关系，可以得到：
∂f/∂x = 2x
∂f/∂y = 3y
∂f/∂z = 4z
对x进行积分，得到：
f = x^2 + g(y, z)
其中g(y, z)表示关于y和z的任意可微函数。

所以，全微分的通解为：
f = x^2 + g(y, z)
这里的g(y, z)可以是任意可微函数，它的具体形式可以根据实
际问题或附加条件来确定。

需要注意的是，全微分的通解是一个包含任意常数或任意可微函数的表达式，这是由于全微分方程本身的性质决定的。

具体的问题和附加条件将决定确定这些常数或函数的值。