2011年上海春季高考数学试卷

2011年上海市春季高考数学试卷一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分．1．（4分）函数f（x）=lg（x﹣2）的定义域是．2．（4分）若集合A={x|x≥1}，B={x|x2≤4}，则A∩B=．3．（4分）在△ABC中，tanA=，则sinA=．4．（4分）若行列式=0，则x=．5．（4分）若，，则x=（结果用反三角函数表示）6．（4分）（x+）6的二项展开式的常数项为．7．（4分）两条直线l1：x﹣y+2=0与l2：x﹣y+2=0的夹角的大小是．8．（4分）若S n为等比数列{a n}的前n项的和，8a2+a5=0，则=．9．（4分）若椭圆C的焦点和顶点分别是双曲线的顶点和焦点，则椭圆C的方程是．10．（4分）若点O和点F分别为椭圆+y2=1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则|OP|2+|PF|2的最小值为．11．（4分）根据如图所示的程序框图，输出结果i=．12．（4分）2011年上海春季高考有8所高校招生，如果某3位同学恰好被其中2所高校录取，那么录取方法的种数为．13．（4分）有一种多面体的饰品，其表面右6个正方形和8个正三角形组成（如图），则AB与CD所成的角的大小是．14．（4分）为求方程x5﹣1=0的虚根，可以把原方程变形为（x﹣1）（x2+ax+1）（x2+bx+1）=0，由此可得原方程的一个虚根为．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．（5分）若向量，则下列结论正确的是（）A．B．C． D．16．（5分）f（x）=的图象关于（）A．原点对称B．直线y=x对称C．直线y=﹣x对称 D．y轴对称17．（5分）直线l：y=k（x+）与圆C：x2+y2=1的位置关系是（）A．相交或相切B．相交或相离C．相切D．相交18．（5分）若，，均为单位向量，则=（，）是++=（，）的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号规定区域内写出必要的步骤．19．（12分）已知向量=（sin2x﹣1，cosx），=（1，2cosx），设函数f（x）=•，求函数f（x）的最小正周期及x∈[0，]时的最大值．20．（14分）某甜品店制作蛋筒冰淇淋，其上半部分呈半球形，下半部分呈圆锥形（如图）．现把半径为10cm的圆形蛋皮分成5个扇形，用一个扇形蛋皮围成锥形侧面（蛋皮厚度忽略不计），求该蛋筒冰淇淋的表面积和体积（精确到0.01）．21．（14分）已知抛物线F：y2=4x（1）△ABC的三个顶点在抛物线F上，记△ABC的三边AB、BC、CA所在的直线的斜率分别为k AB，k BC，k CA，若A的坐标在原点，求k AB﹣k BC+k CA的值；（2）请你给出一个以P（2，1）为顶点、其余各顶点均为抛物线F上的动点的多边形，写出各多边形各边所在的直线斜率之间的关系式，并说明理由．22．（16分）定义域为R，且对任意实数x1，x2都满足不等式f（）≤的所有函数f（x）组成的集合记为M，例如，函数f（x）=kx+b∈M．（1）已知函数f（x）=，证明：f（x）∈M；（2）写出一个函数f（x），使得f（x0）∉M，并说明理由；（3）写出一个函数f（x）∈M，使得数列极限=1，=1．23．（18分）对于给定首项x0＞（a＞0），由递推公式x n+1=（x n+）（n ∈N）得到数列{x n}，对于任意的n∈N，都有x n＞，用数列{x n}可以计算的近似值．（1）取x0=5，a=100，计算x1，x2，x3的值（精确到0.01）；归纳出x n，x n+1，的大小关系；（2）当n≥1时，证明：x n﹣x n+1＜（x n﹣1﹣x n）；（3）当x0∈[5，10]时，用数列{x n}计算的近似值，要求|x n﹣x n+1|＜10﹣4，请你估计n，并说明理由．2011年上海市春季高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分．1．（4分）（2011•上海）函数f（x）=lg（x﹣2）的定义域是（2，+∞）．【分析】对数的真数大于0，可得答案．【解答】解：由x﹣2＞0，得x＞2，所以函数的定义域为（2，+∞）．故答案为：（2，+∞）．2．（4分）（2011•上海）若集合A={x|x≥1}，B={x|x2≤4}，则A∩B={x|1≤x ≤2} ．【分析】求解二次不等式化简集合B，然后直接利用交集运算求解．【解答】解：由A={x|x≥1}，B={x|x2≤4}={x|﹣2≤x≤2}，所以A∩B={x|x≥1}∩{x|﹣2≤x≤2}={x|1≤x≤2}．故答案为{x|1≤x≤2}．3．（4分）（2011•上海）在△ABC中，tanA=，则sinA=．【分析】由题意可得A为锐角，再由tanA==，sin2A+cos2A=1，解方程组求得sinA的值．【解答】解：在△ABC中，tanA=，则A为锐角，再由tanA==，sin2A+cos2A=1，求得sinA=，故答案为．4．（4分）（2011•上海）若行列式=0，则x=1．【分析】先根据行列式的计算公式进行化简，然后解指数方程即可求出x的值．【解答】解：∵=0，∴2×2x﹣4=0，即2x=2，∴x=1．故答案为：1．5．（4分）（2011•上海）若，，则x=（结果用反三角函数表示）【分析】利用反正弦函数的定义，由角的范围为，故可直接得到答案．【解答】解：由于，根据反正弦函数的定义可得x=故答案为6．（4分）（2011•上海）（x+）6的二项展开式的常数项为20．【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项．=•x6﹣r•x﹣r=•x6﹣2r．【解答】解：（x+）6的二项展开式的通项公式为T r+1令6﹣2r=0，求得r=3，故展开式的常数项为=20，故答案为20．7．（4分）（2011•上海）两条直线l1：x﹣y+2=0与l2：x﹣y+2=0的夹角的大小是．【分析】设两条直线的夹角为θ，求得tanθ=||的值，可得tan2θ的值，求得2θ 的值，可得θ的值．【解答】解：由于两条直线l1：x﹣y+2=0与l2：x﹣y+2=0的斜率分别为、1，设两条直线的夹角为θ，则tanθ=||=||==2﹣，∴tan2θ==，∴2θ=，θ=，故答案为．8．（4分）（2011•上海）若S n为等比数列{a n}的前n项的和，8a2+a5=0，则=﹣7．【分析】根据已知的等式变形，利用等比数列的性质求出q3的值，然后分别根据等比数列的通项公式及前n项和公式，即可求出结果．【解答】解：由8a2+a5=0，得到=q3=﹣8===﹣7故答案为：﹣7．9．（4分）（2011•上海）若椭圆C的焦点和顶点分别是双曲线的顶点和焦点，则椭圆C的方程是．【分析】先确定双曲线的顶点和焦点坐标，可得椭圆C的焦点和顶点坐标，从而可得椭圆C的方程【解答】解：双曲线的顶点和焦点坐标分别为（±，0）、（±3，0）∵椭圆C的焦点和顶点分别是双曲线的顶点和焦点，∴椭圆C的焦点和顶点坐标分别为（±，0）、（±3，0）∴a=3，c=∴∴椭圆C的方程是故答案为：10．（4分）（2011•上海）若点O和点F分别为椭圆+y2=1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则|OP|2+|PF|2的最小值为2．【分析】先求出左焦点坐标F，设P（x，y），根据P（x，y）在椭圆上可得到x、y的关系式，表示出|OP|2+|PF|2，再将x、y的关系式代入组成二次函数进而可确定答案．【解答】解：由题意，F（﹣1，0），设点P（x，y），则有+y2=1，解得y2=1﹣，因为|OP|2+|PF|2=x2+y2+（x+1）2+y2=x2+（x+1）2+2﹣x2=（x+1）2+2，此二次函数对应的抛物线的对称轴为x=﹣1，|OP|2+|PF|2的最小值为2．故答案为：2．11．（4分）（2011•上海）根据如图所示的程序框图，输出结果i=8．【分析】按要求一步步代入循环体，直到符合要求退出循环，即可得到结论．【解答】解：因为i=0，t=76；不满足t≤0，∴t=76﹣10=66，i=0+1=1；不满足t≤0，∴t=66﹣10=56，i=1+1=2；不满足t≤0，∴t=56﹣10=46，i=2+1=3；不满足t≤0，∴t=46﹣10=36，i=3+1=4；不满足t≤0，∴t=36﹣10=26，i=4+1=5；不满足t≤0，∴t=26﹣10=16，i=5+1=6；不满足t≤0，∴t=16﹣10=6，i=6+1=7；不满足t≤0，∴t=6﹣10=﹣4，i=7+1=8；满足t≤0，输出结果i=8．故答案为：8．12．（4分）（2011•上海）2011年上海春季高考有8所高校招生，如果某3位同学恰好被其中2所高校录取，那么录取方法的种数为168．【分析】解决这个问题得分三步完成，第一步把三个学生分成两组，第二步从8所学校中取两个学校，第三步，把学生分到两个学校中，再用乘法原理求解【解答】解：由题意知本题是一个分步计数问题，解决这个问题得分三步完成，第一步把三个学生分成两组，第二步从8所学校中取两个学校，第三步，把学生分到两个学校中，共有C31C22A82=168故答案为：168．13．（4分）（2011•上海）有一种多面体的饰品，其表面右6个正方形和8个正三角形组成（如图），则AB与CD所成的角的大小是．【分析】由图形补出正方体，可得所求的角即为ED与CD所成的角，在△CDE 中，由余弦定理可得答案．【解答】解：该饰品实际上就是正方体的8个顶角被切掉，切线经过正方体每条棱边的中点，如图：可得AB与CD所成的角即为ED与CD所成的角，设正方体的棱长为2，在△CDE中，可得CD=DE=，EC=，由余弦定理可得cos∠CDE==，故∠CDE=，故AB与CD所成的角为故答案为：14．（4分）（2011•上海）为求方程x5﹣1=0的虚根，可以把原方程变形为（x﹣1）（x2+ax+1）（x2+bx+1）=0，由此可得原方程的一个虚根为．【分析】化简方程的左边，比较系数，求出a，b，再求方程的虚根．【解答】解：由题可知（x﹣1）（x2+ax+1）（x2+bx+1）=（x﹣1）[x4+（a+b）x3+（2+ab）x2+（a+b）x+1]比较系数可得，∴∴原方程的一个虚根为，中的一个故答案为：．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．（5分）（2011•上海）若向量，则下列结论正确的是（）A．B．C． D．【分析】由给出的两个向量的坐标，求出的坐标，然后直接进行数量积的坐标运算求解．【解答】解：由，则．所以．则．故选C．16．（5分）（2011•上海）f（x）=的图象关于（）A．原点对称B．直线y=x对称C．直线y=﹣x对称 D．y轴对称【分析】先判断函数的定义域，然后利用函数奇偶性的定义进行判断．【解答】解：因为函数的定义域为R，所以定义域关于原点对称．f（x）==，则f（﹣x）=2﹣x﹣2x=﹣（2x﹣2﹣x）=﹣f（x），即函数f（x）为奇函数．故函数f（x）的图象关于原点对称．故选A．17．（5分）（2011•上海）直线l：y=k（x+）与圆C：x2+y2=1的位置关系是（）A．相交或相切B．相交或相离C．相切D．相交【分析】根据点到直线的距离求出圆心到直线的距离d，再根据d与半径r的大小关系，得出结论．【解答】解：由于圆心（0，0），半径等于1，圆心到直线l：y=k（x+）的距离为d===＜＜r=1，故直线和圆相交，故选D．18．（5分）（2011•上海）若，，均为单位向量，则=（，）是++=（，）的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】均为单位向量，若，=（，）不成立；若=（，）可推得，由此可得．【解答】解：均为单位向量，，若，，则=（，）不成立；若均为单位向量，=（，）可推得所以“”是“”的必要不充分条件，故选B三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号规定区域内写出必要的步骤．19．（12分）（2011•上海）已知向量=（sin2x﹣1，cosx），=（1，2cosx），设函数f（x）=•，求函数f（x）的最小正周期及x∈[0，]时的最大值．【分析】利用两个向量的数量积公式求得函数f（x）的解析式为sin（2x+），根据x∈[0，]，利用正弦函数的定义域和值域求函数的最大值．【解答】解：∵向量=（sin2x﹣1，cosx），=（1，2cosx），函数f（x）=•=（sin2x﹣1）+2cos2x=sin2x+cos2x=sin（2x+），故函数的周期为=π．∵x∈[0，]，∴≤2x+≤，故当2x+=时，函数取得最大值为．20．（14分）（2011•上海）某甜品店制作蛋筒冰淇淋，其上半部分呈半球形，下半部分呈圆锥形（如图）．现把半径为10cm的圆形蛋皮分成5个扇形，用一个扇形蛋皮围成锥形侧面（蛋皮厚度忽略不计），求该蛋筒冰淇淋的表面积和体积（精确到0.01）．【分析】设出蛋筒冰淇淋的底面半径和高，由圆形蛋皮的周长等于5倍圆锥的底面周长求得圆锥底面半径，进一步求出圆锥的高，然后直接利用表面积公式和体积公式求解．【解答】解：设圆锥的底面半径为r，高为h．因为，所以r=2．则．则圆锥的表面积S=．体积V=．故该蛋筒冰淇淋的表面积约为87.96cm2，体积约为57.80cm3．21．（14分）（2011•上海）已知抛物线F：y2=4x（1）△ABC的三个顶点在抛物线F上，记△ABC的三边AB、BC、CA所在的直线的斜率分别为k AB，k BC，k CA，若A的坐标在原点，求k AB﹣k BC+k CA的值；（2）请你给出一个以P（2，1）为顶点、其余各顶点均为抛物线F上的动点的多边形，写出各多边形各边所在的直线斜率之间的关系式，并说明理由．【分析】（1）设B（x1，y1），C（x2，y2），把B、C点左边代入抛物线方程，利用斜率公式计算k AB﹣k BC+k CA的值即可；（2）先研究△PBC，四边形PBCD，五边形PBCDE，再研究n=2k，n=2k﹣1（k∈N，k≥2）边形的情形，最后研究n边形P1P2…Pn（k∈N，k≥3），按由特殊到一般的思路逐步得到结论；【解答】解：（1）设B（x1，y1），C（x2，y2），∵，，∴k AB﹣k BC+k CA=+=﹣+=0；（2）①研究△PBC，k PB﹣k BC+k CP=﹣+=﹣+==1；②研究四边形PBCD，k PB﹣k BC+k CD﹣k DP=﹣+﹣=0；③研究五边形PBCDE，k PB﹣k BC+k CD﹣k DE+k EP=﹣+﹣==1；④研究n=2k边形P1P2…P2k（k∈N，k≥2），其中P1=P，有﹣…+=0，证明：左边=+===0=右边；⑤研究n=2k﹣1边形P1P2…P2k﹣1（k∈N，k≥2），其中P1=P，有+﹣…+（﹣1）2k﹣2=1，证明：左边=+===1=右边；⑥研究n边形P1P2…Pn（k∈N，k≥3），其中P1=P，有+﹣…+（﹣1）n﹣1=，证明：左边=+（﹣1）n﹣1=[1+（﹣1）n﹣1]==右边．22．（16分）（2011•上海）定义域为R，且对任意实数x1，x2都满足不等式f（）≤的所有函数f（x）组成的集合记为M，例如，函数f（x）=kx+b ∈M．（1）已知函数f（x）=，证明：f（x）∈M；（2）写出一个函数f（x），使得f（x0）∉M，并说明理由；（3）写出一个函数f（x）∈M，使得数列极限=1，=1．【分析】（1）分类讨论，验证f（）≤成立，即可得到结论；（2）利用条件，构造函数f（x）=﹣x2，f（x）∉M，再取值验证即可；（3）利用条件，构造函数f（x）=满足f（x）∈M，验证条件即可．【解答】解：（1）证明：由题意，当x1≤x2≤0或0≤x1≤x2时，f（）≤成立设x1≤0≤x2，且＜0，∵﹣f（）==0∴f（）≤成立设x1≤0≤x2，且≥0，∵﹣f（）==0∴f（）≤成立∴综上所述，f（x）∈M；（2）如函数f（x）=﹣x2，f（x）∉M取x1=﹣1，x2=1，则=﹣1，f（）=0此时f（）≤不成立；（3）f（x）=满足f（x）∈M，且==1，==1．23．（18分）（2011•上海）对于给定首项x0＞（a＞0），由递推公式x n+1=（x n+）（n∈N）得到数列{x n}，对于任意的n∈N，都有x n＞，用数列{x n}可以计算的近似值．（1）取x0=5，a=100，计算x1，x2，x3的值（精确到0.01）；归纳出x n，x n+1，的大小关系；（2）当n≥1时，证明：x n﹣x n+1＜（x n﹣1﹣x n）；（3）当x0∈[5，10]时，用数列{x n}计算的近似值，要求|x n﹣x n+1|＜10﹣4，请你估计n，并说明理由．【分析】（1）利用数列递推式，代入计算，即可得到结论，同时可猜想结论；（2）作差，利用条件，证明其大于0，即可得到结论；（3）由题意，只要，由此可估计n的值．【解答】（1）解：∵x0=5，a=100，x n+1=（x n+）∴x1=（5+）≈4.74同理可得x2≈4.67，x3≈4.65猜想x n＞x n+1；（2）证明：x n﹣x n+1﹣（x n﹣1﹣x n）==∵；∴x n﹣x n+1==＞0∴x n＞x n+1∴；（3）解：由（2）知＜…＜由题意，只要，即2n＞104（x0﹣x1）∵∴n＞=15.1∴n=16．。

2011年全国普通高等学校统一招生考试上海 数学试卷（文史类）考生注意：1.答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、高考准考证号填写清楚，并在规定的区域内贴上条形码.2.本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间为120分钟.一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．若全集，集合，则．U R ={|1}A x x =≥U C A =2． ．3lim(1)3n nn →∞-=+3．若函数的反函数为，则．()21f x x =+1()fx -1(2)f --=4．函数的最大值为．2sin cos y x x =-5．若直线过点，且是它的一个法向量，则的方程为．l (3,4)(1,2)l 6．不等式的解为 ．11x<7．若一个圆锥的主视图（如图所示）是边长为，，的三角形，则该圆锥的侧面积是．3328．在相距2千米的、两点处测量目标，若，，则、两点之间的距离是A B C 75CAB ∠= 60CBA ∠=A C千米．9．若变量、满足条件，则的最大值为．x y 30350x y x y -≤⎧⎨-+≥⎩z x y =+10．课题组进行城市农空气质量调查，按地域把24个城市分成甲、乙、丙三组，对应城市数分别为、、4128．若用分层抽样抽取个城市，则丙组中应抽取的城市数为．611．行列式（）所有可能的值中，最大的是 ．a bc d,,,{1,1,2}a b c d ∈-12．在正三角形中，是上的点，，，则．ABC D BC 3AB =1BD =AB AD ⋅=13．随机抽取9个同学中，至少有2个同学在同一月出生的概率是 （默认每月天数相同，结果精确到）．0.00114．设是定义在上．以1为周期的函数，若在上的值域为，则在区()g x R ()()f x x g x =+[0,1][2,5]-()f x 间上的值域为．[0,3]二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，没题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15．下列函数中，既是偶函数，又是在区间上单调递减的函数为（）(0,)+∞．；．；．；..A 2y x -=B 1y x -=C 2y x =D 13y x =16．若，且，则下列不等式中，恒成立的是（）,a b R ∈0ab >．； ．； ．..A 222a b ab +>B a b +≥C 11a b +>D 2b aa b +≥17．若三角方程与的解集分别为和，则（）sin 0x =sin 20x =E F ．；．；．； ..A E F ≠⊂B E F ≠⊃C E F =D E F =∅ 18．设，，，是平面上给定的4个不同的点，则使成立的点的个1A 2A 3A 4A 12340MA MA MA MA +++=M 数为（）．0； ．1； ．2； . 4.A B C D 三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19.（本题满分12分）已知复数满足（为虚数单位），复数的虚部为，且是实数，求.1z 1(2)(1)1z i i -+=-i 2z 212z z ⋅2z 20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分.已知是底面边长为1的正四棱柱，高.求：1111ABCD A B C D -12AA =（1）异面直线与所成的角的大小（结果用反三角函数表示）；BD 1AB （2）四面体的体积.11AB D C 21.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知函数，其中常数，满足.()23xxf x a b =⋅+⋅a b 0ab ≠DBD 11B（1）若，判断函数的单调性；0ab >()f x （2）若，求时的取值范围.0ab <(1)()f x f x +>x 22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.已知椭圆（常数），点是上的动点，是的右顶点，定点的坐标为.222:1x C y m+=1m >P C M C A (2,0)（1）若与重合，求的焦点坐标；M A C （2）若，求的最大值与最小值；3m =||PA （3）若的最小值为，求的取值范围.||PA ||MA m 23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.已知数列和的通项公式分别为，（），将集合{}n a {}n b 36n a n =+27n b n =+*n N ∈中的元素从小到大依次排列，构成数列，，，，.**{|,}{|,}n n x x a n N x x b n N =∈=∈ 1c 2c 3c ⋅⋅⋅n c ⋅⋅⋅（1）求三个最小的数，使它们既是数列中的项，又是数列中的项；{}n a {}n b （2），，，，中有多少项不是数列中的项？说明理由；1c 2c 3c ⋅⋅⋅40c {}n b （3） 求数列的前项和（）.{}n c 4n 4n S *n N ∈2011年上海高考数学试题（文科）答案一、填空题：1.；2.；3.；4；5.；6.或；7.；{|1}x x <2-32-2110x y +-=0x <1x >3π8；9.；10.；11.；12.；13.；14..52261520.985[2,7]-二、选择题：15.；16.；17.；18..A D A B 三、解答题19、解：∵，∴.（4分）1(2)(1)1z i i -+=-12z i =-设.22,z a i a R =+∈.（8分）12(2)(2)(22)(4)z z i a i a a i =-+=++-∵ ，∴.12z z R ∈4a =∴ .（12分）242z i =+20、解：（1） 连，，，.BD 1AB 11B D 1AD ∵，，11//BD B D 11AB AD =∴ 为异面直线与所成角，记为.（3分）11AB D ∠BD 1AB α∵， （62221111111cos 2AB B D AD AB B D α+-==⋅∴异面直线与所成角为. （7BD 1AB （2）连，，，设正四棱柱的体积为，三棱锥的体积为AC 1CB 1CD 1111ABCD A B C D -1V 111C B C D -，则四面体的体积. （9分）2V 11AB D C 124V V V =- ， （10分）12V = . （12分）21112323V =⋅⋅= ∴所求体积. （14分）122433V =-⨯=21.解：（1）当时，因为都单调递增，0,0a b >>23xxa b ⋅⋅、所以函数单调递增； （3分）()f x 当时，因为都单调递减，0,0a b <<23x x a b ⋅⋅、DBD 11B所以函数单调递减. （6分）()f x （2）.(1)()2230x xf x f x a b +-=⋅+⋅>（i ）当时，，0,0a b <>3()22xa b>-解得； （10分）32log ()2ax b>-（ii ）当时，，0,0a b ><3()22xa b<-解得. （14分）32log (2ax b<-22.解：（1）∵与重合， ∴. （2分）M A 2m =∴椭圆方程为.2214x y +=∴半焦距，∴焦点坐标为和. （4分）c ==(（2）∵，∴椭圆方程为，3m =2219x y +=设动点，则.(,)P x y 222222891||(2)(2)1()(33)9942x PA x y x x x =-+=-+-=-+-≤≤ （6分）当时，；94x =||PA 当时，取得最小值. （10分）3x =-||PA 5（3）设动点，则(,)P x y . （12222222222222124||(2)(2)1()5()11x m m m PA x y x x m x m m m m m -=-+=-+-=--+-≤≤--分）∵ 的最小值在时取到，且，||PA x m =2210m m ->∴ . （14分）2221m m m ≥-∴且，解得2210m m --≤1m >11m <≤+∴的取值范围为. （16分）m (1,1+23、解：（1）三项分别为，，. （4分）91521（2），，，，分别为9，11,13,15,17,18,19,21,23,24,25,27,29,30,31,33,35,36,37,39,41,42,1c 2c 3c ⋅⋅⋅40c 43,45,47,48,49,51,53,54,55,57,59,60,61,63,65,66,67. （7分）∴，，，，连续四项中恰有一个数列的项，但不是数列的项.1c 2c 3c ⋅⋅⋅40c {}n a {}n b ∴，，，，中有10项不是数列中的项. （10分）1c 2c 3c ⋅⋅⋅40c {}n b （3）.32213123,43,42,*,41,4k k k n k kb a n k b n kc k N a n k b n k ---==-⎧⎪=-⎪=∈⎨=-⎪⎪=⎩这是因为，，，.32212(32)763k k b k k a --=-+=+=3165k b k -=+266k a k =+367k b k =+所以，. （14分）32213123,1,2,3k k k k k b a b a b k ---=<<<=⋅⋅⋅由于， （16分）43424142421k k k k c c c c k ---+++=+所以412344342414()()n n n n n S c c c c c c c c ---=++++++++ . （18分）2(1)242112332n n n n n +=⨯+=+。

2011年上海市春季高考数学试卷2011.01一. 填空题（本大题共14题，每题4分，满分56分） 1. 函数lg(2)y x 的定义域是2. 若集合{|1}A x x ，2{|4}B x x ，则A B3. 在△ABC中，若tan 3A，则sin A 4. 若行列式24012x，则x 5. 若1sin 3x，[,]22x ，则x （结果用反三角函数表示） 6. 61()x x的二项展开式的常数项为7.两条直线1:20l x 与2:20l x y 夹角的大小是 8. 若n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，2580a a ，则63S S 9. 若椭圆C 焦点和顶点分别是双曲线22154x y 的顶点和焦点，则椭圆C 的方程是10. 若点O 和点F 分别为椭圆2212x y 的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则22||||OP PF的最小值为11. 根据如图所示的程序框图，输出结果i 12. 2011年上海春季高考有8所高校招生，如果某3位同学恰好被其中2所高校录取，那么录取方法的种数为 13. 有一种多面体的饰品，其表面由6个正方形和8 个正三角形组成（如图），AB 与CD 所成角的大小 是14. 为求解方程510x 的虚根，可以把原方程 变形为432(1)(1)0x x x x x ，再变形为22(1)(1)(1)0x x ax x bx ，由此可得原方程的一个虚根为二. 选择题（本大题共4题，每15. 若向量(2,0)a，(1,1b A. 1a b B. 16. 函数41()2x xf x 的图象关A. 原点对称 B. 直线17. 直线1:()2l y k x 与圆A. 相交或相切 18. 若1a 、2a 、3a 均为单位向A. 充分不必要条件 C. 充分必要条件三. 解答题（本大题共5题，共19. 向量(sin 21,cos )a x x正周期及[0,]2x时的最大值20. 某甜品店制作一种蛋筒冰激径为10cm 的圆形蛋皮等分成求该蛋筒冰激凌的表面积和体题，每题5分，共20分）(1,1)，则下列结论正确的是（ ）||||a b C. ()a b b图象关于（ ） y x 对称 C. 直线y x 对称 22:1C x y 的位置关系为（ ）B. 相交或相离C. 相切单位向量，则133a是123a a aB. 必要不充分条件 D. 既不充分又不必要条件 12+14+14+16+18=74分）os ，(1,2cos )b x ，设函数()f x a b ，求函数最大值. 筒冰激凌，上部分是半球形，下半部分呈圆锥形（如分成5个扇形，用一个蛋皮围成圆锥的侧面（蛋皮厚度积和体积.（精确到0.01） D. a ∥b D. y 轴对称 D. 相交的（ ） 求函数()f x 的最小 （如图），现把半厚度忽略不计），21. 已知抛物线2:4F x y .（1）△ABC 的三个顶点在抛物线F 上，记△ABC 的三边AB 、BC 、CA 所在直线的斜率分别为AB k 、BC k 、CA k ，若点A 在坐标原点，求AB BC CA k k k 的值；（2）请你给出一个以(2,1)P 为顶点，且其余各顶点均为抛物线F 上的动点的多边形，写出 多边形各边所在直线的斜率之间的关系式，并说明理由. 说明：第（2）题将根据结论的一般性程度给与不同的评分.22. 定义域为R ，且对任意实数1x 、2x 都满足不等式1212()()(22x x f x f x f 的所有 函数()f x 组成的集合记为M ，例如()f x kx b M .（1）已知函数0()102x x f x x x，证明：()f x M ； （2）写出一个函数()f x ，使得()f x M ，并说明理由；（3）写出一个函数()f x M ，使得数列极限2()lim1n f n n，()lim 1n f n n.23.对于给定首项0x 0a ），由递推式11(2n n x x *n N ）得到数列{}n x ，且对于任意的*n N，都有n x，用数列{}n x的近似值.（1）取05x ，100a ，计算1x 、2x 、3x 的值（精确到0.01）， 并且归纳出n x 、1n x 的大小关系； （2）当1n 时，证明：111()2n n n n x x x x； （3）当0[5,10]x 时，用数列{}n x41||10n n x x ， 请你估计n ，并说明理由.2012年上海市春季高考数学试卷2012.01一. 填空题（本大题共14题，每题4分，满分56分）1. 已知集合{1,2,}A k ，{2,5}B ，若{1,2,3,5}A B ，则k2.函数y的定义域为3. 抛物线28y x 的焦点坐标为4. 若复数z 满足i 1i z （i 为虚数单位），则z5. 函数()sin(2)4f x x的最小正周期为6. 方程1420x x 的解为7. 若52345012345(21)x a a x a x a x a x a x ，则012345a a a a a a8. 若(2)()()x x m f x x为奇函数，则实数m9. 函数224log log y x x（[2,4]x ）的最大值 10. 若复数z满足|i|z （i 为虚数单位），则z 在复平面内所对应的图形的面积为11. 某校要从2名男生和4名女生中选出4人担任某游泳赛事的志愿者工作，则在选出的志 愿者中，男、女都有的概率为 （结果用数值表示）12. 若不等式210x kx k 对(1,2)x 恒成立，则实数k 的取值范围是 13. 已知等差数列{}n a 的首项及公差均为正数，令n b *n N ，2012n ）， 当k b 是数列{}n b 的最大项时，k 14. 若矩阵11122122a a a a满足：11a 、12a 、21a 、22{1,1}a ，且111221220a a a a ，则这样的互 不相等的矩阵共有 个二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）15. 已知椭圆221:1124x y C ，222:1168x y C，则（ ） A. 1C 与2C 顶点相同 B. 1C 与2C 长轴长相同 C. 1C 与2C 短轴长相同 D. 1C 与2C 焦距相等16. 记函数()y f x 的反函数为1()y f x ，如果函数()y f x 的图像过点(1,0)，那么函数1()1y f x 的图像过点（ ）A. (0,0)B. (0,2)C. (1,1)D. (2,0) 17. 已知空间三条直线l 、m 、n ，若l 与m 异面，且l 与n 异面，则（ ） A. m 与n 异面 B. m 与n 相交C. m 与n 平行D. m 与n 异面、相交、平行均有可能18. 设O 为△ABC 所在平面上一点，若实数x 、y 、z 满足0xOA yOB zOC（2220x y z ），则“0xyz ”是“点O 在△ABC 的边所在直线上”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件三. 解答题（本大题共5题，共12+14+14+16+18=74分） 19. 如图，正四棱柱1111ABCD A B C D 的底面边长为1，高为2，M 为线段AB 的中点，求：（1）三棱锥1C MBC 的体积； （2）异面直线CD 与1MC 所成角的大小. （结果用反三角函数值表示）20. 某环线地铁按内、外环线同时运行，内、外环线的长均为30千米. （忽略内、外环线长度差异）（1）当9列列车同时在内环线上运行时，要使内环线乘客最长候车时间为10分钟，求内环 线列车的最小平均速度；（2）新调整的方案要求内环线列车平均速度为25千米/小时，外环线列车平均速度为30千 米/小时，现内、外环线共有18列列车全部投入运行，要使内、外环线乘客的最长候车时间 之差不超过1分钟，问：内、外环线应名投入几列列车运行？21. 已知双曲线221:14y C x .（1）求与双曲线1C 有相同的焦点，且过点P 的双曲线2C 的标准方程；（2）直线:l y x m 分别交双曲线1C 的两条渐近线于A 、B 两点，当3OA OB时，求实数m 的值.22. 已知数列{}n a 、{}n b 、{}n c 满足11()()n n n n n a a b b c （*n N ）. （1）设36n c n ，{}n a 是公差为3的等差数列，当11b 时，求2b 、3b 的值； （2）设3n c n ，28n a n n ，求正整数k ，使得一切*n N 均有n k b b ；（3）设2nn c n ，1(1)2nn a ，当11b 时，求数列{}n b 的通项公式.23. 定义向量(,)OM a b的“相伴函数”为()sin cos f x a x b x ；函数()sin cos f x a x b x 的“相伴向量”为(,)OM a b（其中O 为坐标原点），记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为S . （1）设()3sin()4sin 2g x x x，求证：()g x S ；（2）已知()cos()2cos h x x x ，且()h x S ，求其“相伴向量”的模；（3）已知(,)M a b （0b ）为圆22:(2)1C x y 上一点，向量OM的“相伴函数”()f x 在0x x 处取得最大值，当点M 在圆C 上运动时，求0tan 2x 的取值范围.2013年上海市春季高考数学试卷2013.01一. 填空题（本大题共12题，每题3分，满分36分） 1. 函数2log (2)y x 的定义域是 2. 方程28x 的解是3. 抛物线28y x 的准线方程是4. 函数2sin y x 的最小正周期是5. 已知向量(1 )a k ，，(9 6)b k，，若a ∥b ，则实数k6. 函数4sin 3cos y x x 的最大值是7. 复数23i （i 是虚数单位）的模是8. 在△ABC 中，角A 、B 、C 所对边长分别为a 、b 、c ，若5a ，8c ，60B ， 则b9. 在如图所示的正方体1111ABCD A B C D 中， 异面直线1A B 与1B C 所成角的大小为 10. 从4名男同学和6名女同学中随机选取3人参 加某社团活动，选出的3人中男女同学都有的 概率为 （结果用数值表示）11. 若等差数列的前6项和为23，前9项和为57，则数列的前n 项和n S 12. 36的所有正约数之和可按如下方法得到：因为223623 ，所以36的所有正约数之 和为22222222(133)(22323)(22323)(122)133)91 （， 参照上述方法，可求得2000的所有正约数之和为二. 选择题（本大题共12题，每题3分，共36分） 13. 展开式为ad bc 的行列式是（ ）A. a b d cB. a c b dC. a d b cD. b a d c14. 设1()f x 为函数()f x）A. 1(2)2fB. 1(2)4fC. 1(4)2fD. 1(4)4f 15. 直线2310x y 的一个方向向量是（ ）A. (2,3)B. (2,3)C. (3,2)D. (3,2)16. 函数12()f x x的大致图像是（ ）A. B. C. D.17. 如果0a b ，那么下列不等式成立的是（ ） A.11a b B. 2ab b C. 2ab a D. 11a b18. 若复数1z 、2z 满足12z z ，则1z 、2z 在复数平面上对应的点1Z 、2Z （ ） A. 关于x 轴对称 B. 关于y 轴对称 C. 关于原点对称 D. 关于直线y x 对称 19. 10(1)x 的二项展开式中的一项是（ ）A. 45xB. 290xC. 3120xD. 4252x 20. 既是偶函数又在区间(0 ) ，上单调递减的函数是（ ）A. sin y xB. cos y xC. sin 2y xD. cos 2y x 21. 若两个球的表面积之比为1:4，则这两个球的体积之比为（ ） A. 1:2 B. 1:4 C. 1:8 D. 1:16 22. 设全集U R ，下列集合运算结果为R 的是（ ）A. U Z NB. U N NC. ()U UD. {0}U 23. 已知a 、b 、c R ，“240b ac ”是“函数2()f x ax bx c 的图像恒在x 轴 上方”的（ ）条件A. 充分非必要B. 必要非充分C. 充要D. 既非充分又非必要 24. 已知A 、B 为平面内两定点，过该平面内动点M 作直线AB 的垂线，垂足为N ，若2MN AN NB，其中 为常数，则动点M 的轨迹不可能是（ ）A. 圆B. 椭圆C. 抛物线D. 双曲线三. 解答题（本大题共7题，共7+7+8+13+12+13+18=78分） 25. 如图，正三棱锥111ABC A B C 中，16AA ，异面直线1BC 与1AA 所成角的大小为6，求该三棱柱的体积.26. 如图，某校有一块形如直角三角形ABC 的空地，其中B 为直角，AB 长40米，BC 长50米，现欲在此空地上建造一间健身房，其占地形状为矩形，且B 为矩形的一个顶点，求该健身房的最大占地面积.27. 已知数列{}n a 的前n 项和为2n S n n ，数列{}n b 满足2n a n b ，求12lim n n b b b（）.28. 已知椭圆C 的两个焦点分别为1(1,0)F 、2(1,0)F ，短轴的两个端点分别为1B 、2B . （1）若△112F B B 为等边三角形，求椭圆C 的方程；（2）若椭圆C 的短轴长为2，过点2F 的直线l 与椭圆C 相交于P 、Q 两点，且11F P F Q，求直线l 的方程.29. 已知抛物线2:4C y x 的焦点为F .（1）点A 、P 满足2AP FA，当点A 在抛物线C 上运动时，求动点P 的轨迹方程；（2）在x 轴上是否存在点Q ，使得点Q 关于直线2y x 的对称点在抛物线C 上？如果存在，求所有满足条件的点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由.30. 在平面直角坐标系xOy 中，点A 在y 轴正半轴上，点n P 在x 轴上，其横坐标为n x ，且{}n x 是首项为1、公比为2的等比数列，记1n n n P AP ，*n N .（1）若31arctan 3，求点A 的坐标；（2）若点A 的坐标为(0，求n 的最大值及相应n 的值.31. 已知真命题：“函数()y f x 的图像关于点(,)P a b 成中心对称图形”的充要条件为“函 数()y f x a b 是奇函数”.（1）将函数32()3g x x x 的图像向左平移1个单位，再向上平移2个单位，求此时图像 对应的函数解析式，并利用题设中的真命题求函数()g x 图像对称中心的坐标； （2）求函数22()log 4xh x x图像对称中心的坐标； （3）已知命题：“函数 ()y f x 的图像关于某直线成轴对称图像”的充要条件为“存在实数a 和b ，使得函数()y f x a b 是偶函数”，判断该命题的真假，如果是真命题， 请给予证明；如果是假命题，请说明理由，并类比题设的真命题对它进行修改，使之成为真 命题（不必证明）.2014年上海市春季高考数学试卷2014.01一. 填空题（本大题共12题，每题3分，满分36分） 1. 若416x ，则x2. 计算：i(1i) （i 为虚数单位）3. 1、1、2、2、5这五个数的中位数是4. 若函数3()f x x a 为奇函数，则实数a5. 点(0,0)O 到直线40x y 的距离是6. 函数11y x的反函数为 7. 已知等差数列{}n a 的首项为1，公差为2，则该数列的前n 项和n S 8. 已知1cos 3，则cos 2 9. 已知a 、b R ，若1a b ，则ab 的最大值是10. 在10件产品中，有3件次品，从中随机取出5件，则恰含1件次品的概率是 （结果用数值表示）11. 某货船在O 处看灯塔M 在北偏东30°方向，它以每小时18海里的速度向正北方向航 行，经过40分钟到达B 处，看到灯塔M 在北偏东75°方向，此时货船到灯塔M 的距离为 海里 12. 已知函数2()1x f x x与()1g x mx m 的图像相交于A 、B 两点，若动点P 满足 ||2PA PB，则P 的轨迹方程为二. 选择题（本大题共12题，每题3分，共36分） 13. 两条异面直线所成的角的范围是（ ）A. (0,)2B. (0,]2C. [0,)2D. [0,]214. 复数2i （i 为虚数单位）的共轭复数为（ ）A. 2iB. 2iC. 2iD. 12i 15. 如图是下列函数中某个函数的部分图像， 则该函数是（ ）A. sin y xB. sin 2y xC. cos y xD. cos 2y x16. 在4(1)x 的二项展开式中，2x 项的系数为（ ） A. 6 B. 4 C. 2 D. 1 17. 下列函数中，在R 上为增函数的是（ ）A. 2y xB. ||y xC. sin y xD. 3y x 18.cos sin sin cos（ ） A. cos 2 B. sin 2 C. 1 D. 1 19. 设0x 为函数()22x f x x 的零点，则0x （ ）A. (2,1)B. (1,0)C. (0,1)D. (1,2) 20. 若a b ，c R ，则下列不等式中恒成立的是（ ） A.11a b B. 22a b C. ||||a c b c D. 2211a bc c 21. 若两个球的体积之比为8:27，则它们的表面积之比为（ ）A. 2:3B. 4:9C. 8:27D. 22. 已知数列{}n a 是以q 为公比的等比数列，若2n n b a ，则数列{}n b 是（ ） A. 以q 为公比的等比数列 B. 以q 为公比的等比数列 C. 以2q 为公比的等比数列 D. 以2q 为公比的等比数列23. 若点P 的坐标为(,)a b ，曲线C 的方程为(,)0F x y ，则“(,)0F a b ”是“点P 在 曲线C 上”的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充分必要条件D. 既非充分又非必要条件 24. 如图，在底面半径和高均为1的圆锥中，AB 、CD是底面圆O 的两条互相垂直的直径，E 是母线PB 中点， 已知过CD 与E 的平面与圆锥侧面的交线是以E 为顶点 的抛物线的一部分，则该抛物线的焦点到圆锥顶点P 的 距离为（ ）A. 1B. 2C. 2D. 4三. 解答题（本大题共8题，共8+8+8+10+10+10+12+12=78分）30. 已知直角三角形ABC 的两直角边AC 、BC 的边长分别为b 、a ，如图，过AC 边的n 等分点i A 作AC 边的垂线i d ，过BC 边的n 等分点i B 和顶点A 作直线i l ，记i d 与i l 的交点 为i P （1,2,,1i n ），是否存在一条圆锥曲线，对任意的正整数2n ，点i P （1,2,,1i n ）都在这条曲线上？说明理由.31. 某人造卫星在地球赤道平面绕地球飞行，甲、乙两个监测点分别位于赤道上东经131° 和147°，在某时刻测得甲监测点到卫星的距离为1537.45千米，乙监测点到卫星的距离为 887.64千米，假设地球赤道是一个半径为6378千米的圆，求此时卫星所在位置的高度（结 果精确到0.01千米）和经度（结果精确到0.01°）.32. 如果存在非零常数c ，对于函数()y f x 定义域R 上的任意x ，都有()()f x c f x 成 立，那么称函数为“Z 函数”.（1）求证：若()y f x （x R ）是单调函数，则它是“Z 函数”； （2）若函数32()g x ax bx 是“Z 函数”，求实数a 、b 满足的条件.2015年上海市春季高考数学试卷2015.01一. 填空题（本大题共12题，每题3分，共36分）1. 设全集为{1,2,3}U ，{1,2}A ，若集合则U A2. 计算：1ii（其中i 为虚数单位） 3. 函数sin(24y x的最小正周期为4. 计算：223lim 2n n n n5. 以(2,6)为圆心，1为半径的圆的标准方程为6. 已知向量(1,3)a ，(,1)b m，若a b ，则m7. 函数224y x x ，[0,2]x 的值域为 8. 若线性方程组的增广矩阵为0201a b，解为21x y ，则a b 9. 方程lg(21)lg 1x x 的解集为 10. 在921()x x的二项展开式中，常数项的值为 11. 用数字组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为 （结果用数值表示） 12. 已知点(1,0)A ，直线:1l x ，两个动圆均过点A 且与l 相切，其圆心分别为1C 、2C ， 若动点M 满足22122C M C C C A，则M 的轨迹方程为二. 选择题（本大题共12题，每题3分，共36分） 13. 若0a b ，则下列不等式恒成立的是（ ） A.11a bB. a bC. 22a bD. 33a b 14. 函数2(1)y x x 的反函数为（ ）A. y (1)xB. y (1)xC. y (0)xD. y (0)x 15. 不等式2301xx 的解集为（ ）A. 3(,4B. 2(,3C. 2(,(1,)3D. 2(,1)316. 下列函数中，是奇函数且在(0,) 上单调递增的为（ ） A. 2y x B. 13y x C. 1y x D. 12y x17. 直线3450x y 的倾斜角为（ ） A. 3arctan4 B. 3arctan 4 C. 4arctan 3 D. 4arctan 318. 底面半径为1，母线长为2的圆锥的体积为（ ）A. 2B.C.23D. 319. 以(3,0) 和(3,0)为焦点，长轴长为8的椭圆方程为（ ）A. 2211625x yB. 221167x yC. 2212516x yD. 221716x y20. 在复平面上，满足|1||i |z z （i 为虚数单位）的复数z 对应的点的轨迹为（ ） A. 椭圆 B. 圆 C. 线段 D. 直线21. 若无穷等差数列{}n a 的首项10a ，公差0d ，{}n a 的前n 项和为n S ，则（ ） A. n S 单调递减 B. n S 单调递增 C. n S 有最大值 D. n S 有最小值 22. 已知0a ，0b ，若4a b ，则（ ）A. 22a b 有最小值B. 有最小值C.11a b 有最大值 D. 有最大值23. 组合数122m m m nn n C C C (2,,)n m m n *N 恒等于（ ） A. 2m n C B. 12m n C C. 1m n C D. 11m n C24. 设集合21{|10}P x x ax ，22{|20}P x x ax ，21{|0}Q x x x b ， 22{|20}Q x x x b ，其中,a b R ，下列说法正确的是（ ）A.对任意a ，1P 是2P 的子集；对任意的b ，1Q 不是2Q 的子集B. 对任意a ，1P 是2P 的子集；存在b ，使得1Q 是2Q 的子集C. 存在a ，使得1P 不是2P 的子集；对任意的b ，1Q 不是2Q 的子集D. 存在a ，使得1P 不是2P 的子集；存在b ，使得1Q 是2Q 的子集三. 解答题（本大题共5题，共8+8+8+12+12=48分）25. 如图，在正四棱柱中1111ABCD A B C D ，1AB ，1D B 和平面ABCD 所成的角的大小为arctan 4，求该四棱柱的表面积.26. 已知a 为实数，函数24()x ax f x x是奇函数，求()f x 在(0,) 上的最小值及取到最小值时所对应的x 的值.27. 某船在海平面A 处测得灯塔B 在北偏东30 方向，与A 相距6.0海里，船由A 向正北方向航行8.1海里到达C 处，这时灯塔B 与船相距多少海里（精确到0.1海里）？B 在船的什么方向（精确到1 ）？28. 已知点1F 、2F 依次为双曲线2222:1x y C a b(,0)a b 的左右焦点，126F F ，1(0,)B b ，2(0,)B b .（1）若a ，以(3,4)d为方向向量的直线l 经过1B ，求2F 到l 的距离；（2）若双曲线C 上存在点P ，使得122PB PB，求实数b 的取值范围.29. 已知函数2()|22|x f x ()x R . （1）解不等式()2f x ；（2）数列{}n a 满足()n a f n ()n *N ，n S 为{}n a 的前n 项和，对任意的4n ，不等式12n n S ka恒成立，求实数k 的取值范围.附加题一. 选择题（本大题共3题，每题3分，共9分）1. 对于集合A 、B ，“A B ”是“A B A B ”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件2. 对于任意实数a 、b ，2()a b kab 均成立，则实数k 的取值范围是（ ） A. {4,0} B. [4,0] C. (,0] D. (,4][0,)3. 已知数列{}n a 满足413n n n n a a a a ()n *N ，那么（ ） A. {}n a 是等差数列 B. 21{}n a 是等差数列 C. 2{}n a 是等差数列 D. 3{}n a 是等差数列二. 填空题（本大题共3题，每题3分，共9分）4. 关于x 的实系数一元二次方程220x px 的两个虚数根为1z 、2z ，若1z 、2z 在复平 面上对应的点是经过原点的椭圆的两个焦点，则该椭圆的长轴长为5. 已知圆心为O ，半径为1的圆上有三点A 、B 、C ，若7580OA OB OC，则 ||BC6. 函数()f x 与()g x 的图像拼成如图所示“Z ”字形 折线段ABOCD ，不含(0,1)A ，(1,1)B ，(0,0)O ，(1,1)C ，(0,1)D 五个点，若()f x 的图像关于原点对称的图形即为()g x 的图像，则其中一个函数 的解析式可以为三. 解答题（本大题12分）7. 对于函数()f x 、()g x ，若存在函数()h x ，使得()()()f x g x h x ，则称()f x 是()g x 的“()h x 关联函数”.（1）已知()sin f x x ，()cos g x x ，是否存在定义域为R 的函数()h x ，使得()f x 是()g x 的“()h x 关联函数”？若存在，写出()h x 的解析式；若不存在，说明理由；（2）已知函数()f x 、()g x 的定义域为[1,) ，当[,1)x n n ()n N 时，()f x12sin1n xn，若存在函数1()h x 及2()h x ，使得()f x 是()g x 的“1()h x 关联函数”，且()g x 是()f x 的“2()h x 关联函数”，求方程()0g x 的解.2016年上海市春季高考（学业水平考试）数学试卷2016.01一. 填空题（本大题共12题，每题3分，共36分） 1. 复数34i （i 为虚数单位）的实部是 2. 若2log (1)3x ，则x 3. 直线1y x 与直线2y 的夹角为 4.函数()f x的定义域为5. 三阶行列式135400121中，元素5的代数余子式的值为 6. 函数1()f x a x的反函数的图像经过点(2,1)，则实数a 7. 在△ABC 中，若30A ，45B，BC ，则AC8. 4个人排成一排照相，不同排列方式的种数为 （结果用数值表示） 9. 无穷等比数列{}n a 的首项为2，公比为13，则{}n a 的各项和为 10. 若2i （i 为虚数单位）是关于x 的实系数一元二次方程250x ax 的一个虚根，则a11. 函数221y x x 在区间[0,]m 上的最小值为0，最大值为1，则实数m 的取值范围 是12. 在平面直角坐标系xOy 中，点A 、B 是圆22650x y x 上的两个动点，且满足||AB ，则||OA OB的最小值为二. 选择题（本大题共12题，每题3分，共36分） 13. 满足sin 0 且tan 0 的角 属于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限； 14. 半径为1的球的表面积为（ ） A.B. 43C. 2D. 415. 在6(1)x 的二项展开式中，2x 项的系数为（ ） A. 2 B. 6 C. 15 D. 2016. 幂函数2y x 的大致图像是（ ）A. B. C. D.17. 已知向量(1,0)a ，(1,2)b，则向量b 在向量a 方向上的投影为（ ）A. 1B. 2C. (1,0)D. (0,2) 18. 设直线l 与平面 平行，直线m 在平面 上，那么（ ） A. 直线l 平行于直线m B. 直线l 与直线m 异面 C. 直线l 与直线m 没有公共点 D. 直线l 与直线m 不垂直19. 用数学归纳法证明等式2123...22n n n ()n *N 的第（ii ）步中，假设n k 时原等式成立，那么在1n k 时，需要证明的等式为（ ） A. 22123...22(1)22(1)(1)k k k k k k B. 2123...22(1)2(1)(1)k k k kC. 22123...2(21)2(1)22(1)(1)k k k k k k kD. 2123...2(21)2(1)2(1)(1)k k k k k20. 关于双曲线221164x y 与221164y x 的焦距和渐近线，下列说法正确的是（ ）A. 焦距相等，渐近线相同B. 焦距相等，渐近线不相同C. 焦距不相等，渐近线相同D. 焦距不相等，渐近线不相同21. 设函数()y f x 的定义域为R ，则“(0)0f ”是“()y f x 为奇函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 22. 下列关于实数a 、b 的不等式中，不恒成立的是（ ） A. 222a b ab B. 222a b abC. 2()2a b ab D. 2()2a b ab 23. 设单位向量1e 与2e 既不平行也不垂直，对非零向量1112a x e y e ，2122b x e y e，有结论：① 若12210x y x y ，则a ∥b ；② 若12120x x y y ，则a b；关于以上两个结论，正确的判断是（ ）A. ①成立，②不成立B. ①不成立，②成立C. ①成立，②成立D. ①不成立，②不成立24. 对于椭圆22(,)22:1a b x y C a b (,0,)a b a b ，若点00(,)x y 满足2200221x y a b，则称该点在椭圆(,)a b C 内，在平面直角坐标系中，若点A 在过点(2,1)的任意椭圆(,)a b C 内或椭圆(,)a b C 上，则满足条件的点A 构成的图形为（ ）A. 三角形及其内部B. 矩形及其内部C. 圆及其内部D. 椭圆及其内部三. 解答题（本大题共5题，共8+8+8+12+12=48分）25. 如图，已知正三棱柱111ABC A B C 的体积为，底面边长为3，求异面直线1BC 与AC 所成的角的大小.26. 已知函数()sin f x x x ，求()f x 的最小正周期及最大值，并指出()f x 取得 最大值时x 的值.27. 如图，汽车前灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯口所在的圆面与反射镜的 轴垂直，灯泡位于抛物线的焦点F 处，已知灯口直径是24cm ，灯深10cm ，求灯泡与反射 镜的顶点O 的距离.28. 已知数列{}n a 是公差为2的等差数列. （1）若1a 、3a 、4a 成等比数列，求1a 的值；（2）设119a ，数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 满足11b ，11(2n n n b b ，记12n n n n c S b ()n *N ，求数列{}n c 的最小值0n c .（即0n n c c 对任意n *N 成立）29. 对于函数()f x 与()g x ，记集合{|()()}f g D x f x g x . （1）设()2||f x x ，()3g x x ，求f g D ；（2）设1()1f x x ，21()(313x x f x a ，()0h x ，如果12f h f h D D R ，求实 数a 的取值范围.附加题一. 选择题（本大题共3题，每题3分，共9分）1. 若函数()sin()f x x 是偶函数，则 的一个值是（ ） A. 0 B.2C.D. 22. 在复平面上，满足|1|4z 的复数z 所对应的点的轨迹是（ ） A. 两个点 B. 一条线段 C. 两条直线 D. 一个圆3. 已知函数()f x 的图像是折线段ABCDE ，如图，其中(1,2)A 、(2,1)B 、(3,2)C 、 (4,1)D 、(5,2)E ，若直线y kx b (,)k b R 与()f x 的图像恰有4个不同的公共点， 则k 的取值范围是（ ）A. (1,0)(0,1)B. 11(,)33 C. (0,1] D. 1[0,3二. 填空题（本大题共3题，每题3分，共9分）4. 椭圆221259x y 的长半轴的长为 5. 已知圆锥的母线长为10，母线与轴的夹角为30 ，则该圆锥的侧面积为 6. 小明用数列{}n a 记录某地区2015年12月份31天中每天是否下过雨，方法为：当第k 天 下过雨时，记1k a ，当第k 天没下过雨时，记1k a (131)k ；他用数列{}n b 记录该 地区该月每天气象台预报是否有雨，方法为：当预报第k 天有雨时，记1k b ，当预报第k 天 没有雨时，记1k b (131)k ；记录完毕后，小明计算出1122333131...a b a b a b a b25 ，那么该月气象台预报准确的总天数为三. 解答题（本大题12分）7. 对于数列{}n a 与{}n b ，若对数列{}n c 的每一项k c ，均有k k c a 或k k c b ，则称数列{}n c 是{}n a 与{}n b 的一个“并数列”.（1）设数列{}n a 与{}n b 的前三项分别为11a ，23a ，35a ，11b ，22b ，33b ， 若数列{}n c 是{}n a 与{}n b 的一个“并数列”，求所有可能的有序数组123(,,)c c c ； （2）已知数列{}n a 、{}n c 均为等差数列，{}n a 的公差为1，首项为正整数t ，{}n c 的前 10项和为30 ，前20项和为260 ，若存在唯一的数列{}n b ，使得{}n c 是{}n a 与{}n b 的 一个“并数列”，求t 的值所构成的集合.2017年上海市春季高考数学试卷2017.01一. 填空题（本大题共12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分） 1. 设集合{1,2,3}A ，集合{3,4}B ，则A B 2. 不等式|1|3x 的解集为3. 若复数z 满足2136i z （i 是虚数单位），则z4. 若1cos 3，则sin()25. 若关于x 、y 的方程组2436x y x ay无解，则实数a6. 若等差数列{}n a 的前5项的和为25，则15a a7. 若P 、Q 是圆222440x y x y 上的动点，则||PQ 的最大值为 8. 已知数列{}n a 的通项公式为3n n a ，则123limnn na a a a a9. 若2()n x x 的二项展开式的各项系数之和为729，则该展开式中常数项的值为10. 设椭圆2212x y 的左、右焦点分别为1F 、2F ，点P 在该椭圆上，则使得△12F F P 是等腰三角形的点P 的个数是11. 设1a 、2a 、…、6a 为1、2、3、4、5、6的一个排列，则满足1234||||a a a a56||3a a 的不同排列的个数为12. 设a 、b R ，若函数()af x x b x在区间(1,2)上有两个不同的零点，则(1)f 的取 值范围为二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13. 函数2()(1)f x x 的单调递增区间是（ ）A. [0,)B. [1,)C. (,0]D. (,1] 14. 设a R ，“0a ”是“10a”的（ ）条件 A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既非充分也非必要 15. 过正方体中心的平面截正方体所得的截面中，不可能的图形是（ ） A. 三角形 B. 长方形 C. 对角线不相等的菱形 D. 六边形16. 如图所示，正八边形12345678A A A A A A A A 的边长为2，若P 为该正八边形边上的动点，则131A A A P的取值范围为（ ）A. [0,8B. [C. [8D. [8三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 如图，长方体1111ABCD A B C D 中，2AB BC ，13AA . （1）求四棱锥1A ABCD 的体积； （2）求异面直线1AC 与1DD 所成角的大小.18. 设a R ，函数2()21x xaf x . （1）求a 的值，使得()f x 为奇函数； （2）若2()2a f x 对任意x R 成立，求a 的取值范围.19. 某景区欲建造两条圆形观景步道1M 、2M （宽度忽略不计），如图所示，已知AB AC ，60AB AC AD （单位：米），要求圆1M 与AB 、AD 分别相切于点B 、D ，圆2M 与AC 、AD 分别相切于点C 、D .（1）若60BAD ，求圆1M 、2M 的半径；（结果精确到0.1米）（2）若观景步道1M 与2M 的造价分别为每米0.8千元与每米0.9千元，如何设计圆1M 、2M 的大小，使总造价最低？最低总造价是多少？（结果精确到0.1千元）20. 已知双曲线222:1y x b(0)b ，直线:l y kx m (0)km ，l 与 交于P 、Q 两点，P 为P 关于y 轴的对称点，直线P Q 与y 轴交于点(0,)N n .（1）若点(2,0)是 的一个焦点，求 的渐近线方程；（2）若1b ，点P 的坐标为(1,0) ，且32NP P Q，求k 的值；（3）若2m ，求n 关于b 的表达式.21. 已知函数21()log 1xf x x. （1）解方程()1f x ；（2）设(1,1)x ，(1,)a ，证明：1(1,1)ax a x ，且11(()(ax f f x f a x a；（3）设数列{}n x 中，1(1,1)x ，1131(1)3n nn nx x x ，n *N ，求1x 的取值范围， 使得3n x x 对任意n *N 成立.2018年上海市春季高考数学试卷2018.01一. 填空题（本大题共12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分） 1. 不等式||1x 的解集为 2. 计算：31lim2n n n3. 设集合{|02}A x x ，{|11}B x x ，则A B4. 若复数1i z （i 是虚数单位），则2z z5. 已知{}n a 是等差数列，若2810a a ，则357a a a6. 已知平面上动点P 到两个定点(1,0)和(1,0) 的距离之和等于4，则动点P 的轨迹方程 为7. 如图，在长方体1111ABCD A B C D 中，3AB ，4BC ，15AA ，O 是11A C 的中点，则三棱锥11A A OB 的体积为（第7题） （第12题）8. 某校组队参加辩论赛，从6名学生中选出4人分别担任一、二、三、四辩，若其中学生 甲必须参赛且不担任四辩，则不同的安排方法种数为 （结果用数值表示） 9. 设a R ，若292(x x 与92(a x x的二项展开式中的常数项相等，则a 10. 设m R ，若z 是关于x 的方程2210x mx m 的一个虚根，则||z 的取值范围是11. 设0a ，函数()2(1)sin()f x x x ax ，(0,1)x ，若函数21y x 与()y f x 的 图像有且仅有两个不同的公共点，则a 的取值范围是12. 如图，正方形ABCD 的边长为20米，圆O 的半径为1米，圆心是正方形的中心，点P 、 Q 分别在线段AD 、CB 上，若线段PQ 与圆O 有公共点，则称点Q 在点P 的“盲区”中， 已知点P 以1.5米/秒的速度从A 出发向D 移动，同时，点Q 以1米/秒的速度从C 出发向B 移动，则在点P 从A 移动到D 的过程中，点Q 在点P 的盲区中的时长约为 秒 （精确到0.1）二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13. 下列函数中，为偶函数的是（ ）A. 2y xB. 13y xC. 12y x D. 3y x14. 如图，在直三棱柱111ABC A B C 的棱所在的直线中，与直线1BC 异面的直线的条数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 415. 设n S 为数列{}n a 的前n 项和，“{}n a 是递增数列”是“{}n S 是递增数列”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件16. 已知A 、B 为平面上的两个定点，且||2AB，该平面上的动线段PQ 的端点P 、Q ，满足||5AP ，6AP AB ，2AQ AP，则动线段PQ 所形成图形的面积为（ ）A. 36B. 60C. 72D. 108三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分） 17. 已知cos y x . （1）若1()3f，且[0,] ，求()3f的值； （2）求函数(2)2()y f x f x 的最小值.18. 已知a R ，双曲线222:1x y a.（1）若点(2,1)在 上，求 的焦点坐标；（2）若1a ，直线1y kx 与 相交于A 、B 两点，且线段AB 中点的横坐标为1，求实数k 的值.19. 利用“平行于圆锥母线的平面截圆锥面，所得截线是抛物线”的几何原理，某快餐店用两个射灯（射出的光锥为圆锥）在广告牌上投影出其标识，如图1所示，图2是投影射出的抛物线的平面图，图3是一个射灯投影的直观图，在图2与图3中，点O 、A 、B 在抛物线上，OC 是抛物线的对称轴，OC AB 于C ，3AB 米， 4.5OC 米. （1）求抛物线的焦点到准线的距离；（2）在图3中，已知OC 平行于圆锥的母线SD ，AB 、DE 是圆锥底面的直径，求圆锥的母线与轴的夹角的大小（精确到0.01°）.（图1） （图2） （图3）20. 设0a ，函数1()12xf x a. （1）若1a ，求()f x 的反函数1()f x ；（2）求函数()()y f x f x 的最大值（用a 表示）； （3）设()()(1)g x f x f x ，若对任意(,0]x ，()(0)g x g 恒成立，求a 取值范围.。

2011年上海市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每小题4分，满分56分）1．（4分）（2011•上海）若全集U=R，集合A={x|x≥1}，则∁U A={x|x＜1}．【考点】补集及其运算．【专题】计算题．【分析】由补集的含义即可写出答案．【解答】解：∵全集U=R，集合A={x|x≥1}，∴C U A={x|x＜1}．故答案为：{x|x＜1}．【点评】本题考查补集的含义．2．（4分）（2011•上海）计算=﹣2．【考点】极限及其运算．【专题】计算题．【分析】根据题意，对于，变形可得，分析可得，当n→∞时，有的极限为3；进而可得答案．【解答】解：对于，变形可得，当n→∞时，有→3；则原式=﹣2；故答案为：﹣2．【点评】本题考查极限的计算，需要牢记常见的极限的化简方法．3．（4分）（2011•上海）若函数f（x）=2x+1的反函数为f﹣1（x），则f﹣1（﹣2）=．【考点】反函数．【专题】计算题．【分析】问题可转化为已知f（x0）=﹣2，求x0的值，解方程即可【解答】解：设f（x0）=﹣2，即2x0+1=﹣2，解得故答案为【点评】本题考查反函数的定义，利用对应法则互逆可以避免求解析式，简化运算．4．（4分）（2011•上海）函数y=2sinx﹣cosx的最大值为．【考点】三角函数的最值．【专题】计算题．【分析】利用辅角公式对函数解析式化简整理，利用正弦函数的性质求得其最大值．【解答】解：y=2sinx﹣cosx=sin（x+φ）≤故答案为：【点评】本题主要考查了三角函数的最值．要求能对辅角公式能熟练应用．5．（4分）（2011•上海）若直线l过点（3，4），且（1，2）是它的一个法向量，则直线l的方程为x+2y﹣11=0．【考点】直线的点斜式方程；向量在几何中的应用．【专题】直线与圆．【分析】根据直线的法向量求出方向向量，求出直线的斜率，然后利用点斜式方程求出直线方程．【解答】解：直线的法向量是（1，2），直线的方向向量为：（﹣2，1），所以直线的斜率为：﹣，所以直线的方程为：y﹣4=﹣（x﹣3），所以直线方程为：x+2y﹣11=0．故答案为：x+2y﹣11=0．【点评】本题是基础题，考查直线的法向量，方向向量以及直线的斜率的求法，考查计算能力．6．（4分）（2011•上海）不等式的解为{x|x＞1或x＜0}．【考点】其他不等式的解法．【专题】计算题．【分析】通过移项、通分；利用两个数的商小于0等价于它们的积小于0；转化为二次不等式，通过解二次不等式求出解集．【解答】解：即即x（x﹣1）＞0解得x＞1或x＜0故答案为{x|x＞1或x＜0}【点评】本题考查将分式不等式通过移项、通分转化为整式不等式、考查二次不等式的解法．注意不等式的解以解集形式写出7．（4分）（2011•上海）若一个圆锥的主视图（如图所示）是边长为3，3，2的三角形，则该圆锥的侧面积为3π．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题．【分析】根据圆锥的主视图是边长为3，3，2的三角形，得到圆锥的母线长是3，底面直径是2，代入圆锥的侧面积公式，得到结果．【解答】解：∵圆锥的主视图是边长为3，3，2的三角形，∴圆锥的母线长是3，底面直径是2，∴圆锥的侧面积是πrl=π×1×3=3π，故答案为：3π【点评】本题考查由三视图求表面积和体积，考查圆锥的三视图，这是比较特殊的一个图形，它的主视图与侧视图相同，本题是一个基础题．8．（4分）（2011•上海）在相距2千米的A、B两点处测量目标点C，若∠CAB=75°，∠CBA=60°，则A、C两点之间的距离为千米．【考点】解三角形的实际应用．【专题】解三角形．【分析】先由A点向BC作垂线，垂足为D，设AC=x，利用三角形内角和求得∠ACB，进而表示出AD，进而在Rt△ABD中，表示出AB和AD的关系求得x．【解答】解：由A点向BC作垂线，垂足为D，设AC=x，∵∠CAB=75°，∠CBA=60°，∴∠ACB=180°﹣75°﹣60°=45°∴AD=x∴在Rt△ABD中，AB•sin60°=xx=（千米）答：A、C两点之间的距离为千米．故答案为：下由正弦定理求解：∵∠CAB=75°，∠CBA=60°，∴∠ACB=180°﹣75°﹣60°=45°又相距2千米的A、B两点∴，解得AC=答：A、C两点之间的距离为千米．故答案为：【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用．主要是利用了三角形中45°和60°这两个特殊角，建立方程求得AC．9．（4分）（2011•上海）若变量x，y 满足条件，则z=x+y得最大值为．【考点】简单线性规划．【专题】计算题．【分析】先画出满足约束条件的平面区域，然后求出目标函数z=x+y取最大值时对应的最优解点的坐标，代入目标函数即可求出答案．【解答】解：满足约束条件的平面区域如下图所示：由图分析，当x=，y=时，z=x+y取最大值，故答案为．【点评】本题考查的知识点是简单线性规划，其中画出满足约束条件的平面区域，找出目标函数的最优解点的坐标是解答本题的关键．10．（4分）（2011•上海）课题组进行城市空气质量调查，按地域把24个城市分成甲、乙、丙三组，对应的城市数分别为4，12，8，若用分层抽样抽取6个城市，则丙组中应抽取的城市数为2．【考点】分层抽样方法．【专题】计算题．【分析】根据本市的甲、乙、丙三组的数目，做出全市共有组的数目，因为要抽取6个城市作为样本，得到每个个体被抽到的概率，用概率乘以丙组的数目，得到结果．【解答】解：∵某城市有甲、乙、丙三组，对应的城市数分别为4，12，8．本市共有城市数24，∵用分层抽样的方法从中抽取一个容量为6的样本∴每个个体被抽到的概率是，∵丙组中对应的城市数8，∴则丙组中应抽取的城市数为×8=2，故答案为2．【点评】本题考查分层抽样，是一个基础题，解题的关键是理解在抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，做出一种情况的概率，问题可以解决．11．（4分）（2011•上海）行列式（a，b，c，d∈{﹣1，1，2}）所有可能的值中，最大的是6．【考点】二阶行列式的定义．【专题】计算题．【分析】先按照行列式的运算法则，直接展开化简得ad﹣bc，再根据条件a，b，c，d∈{﹣1，1，2}进行分析计算，比较可得其最大值．【解答】解：，∵a，b，c，d∈{﹣1，1，2}∴ad的最大值是：2×2=4，bc的最小值是：﹣1×2=﹣2，∴ad﹣bc的最大值是：6．故答案为：6．【点评】本题考查二阶行列式的定义、行列式运算法则，是基础题．12．（4分）（2011•上海）在正三角形ABC中，D是BC上的点．若AB=3，BD=1，则=．【考点】向量在几何中的应用．【专题】计算题；数形结合；转化思想．【分析】根据AB=3，BD=1，确定点D在正三角形ABC中的位置，根据向量加法满足三角形法则，把用表示出来，利用向量的数量积的运算法则和定义式即可求得的值．【解答】解：∵AB=3，BD=1，∴D是BC上的三等分点，∴，∴===9﹣=，故答案为．【点评】此题是个中档题．考查向量的加法和数量积的运算法则和定义，体现了数形结合和转化的思想．13．（4分）（2011•上海）随机抽取的9位同学中，至少有2位同学在同一月份出生的概率为0.985（默认每个月的天数相同，结果精确到0.001）【考点】古典概型及其概率计算公式．【专题】概率与统计．【分析】本题是一个古典概型，试验发生包含的事件数129，至少有2位同学在同一个月出生的对立事件是没有人生日在同一个月，共有A129种结果，根据对立事件和古典概型的概率公式得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件数129，至少有2位同学在同一个月出生的对立事件是没有人生日在同一个月，共有A129种结果，∴要求的事件的概率是1﹣=1﹣≈0.985，故答案为：0.985【点评】本题考查古典概型及其概率计算公式，考查对立事件的概率，是一个基础题，也是一个易错题，注意本题的运算不要出错．14．（4分）（2011•上海）设g（x）是定义在R上，以1为周期的函数，若函数f（x）=x+g（x）在区间[0，1]上的值域为[﹣2，5]，则f（x）在区间[0，3]上的值域为[﹣2，7]．【考点】函数的值域；函数的周期性．【专题】计算题；压轴题．【分析】先根据g（x）是定义在R 上，以1为周期的函数，令x+1=t进而可求函数在[1，2]时的值域，再令x+2=t 可求函数在[2，3]时的值域，最后求出它们的并集即得（x）在区间[0，3]上的值域．【解答】解：g（x）为R上周期为1的函数，则g（x）=g（x+1）函数f（x）=x+g（x）在区间[0，1]（正好是一个周期区间长度）的值域是[﹣2，5] (1)令x+1=t，当x∈[0，1]时，t=x+1∈[1，2]此时，f（t）=t+g（t）=（x+1）+g（x+1）=（x+1）+g（x）=[x+g（x）]+1所以，在t∈[1，2]时，f（t）∈[﹣1，6] (2)同理，令x+2=t，在当x∈[0，1]时，t=x+2∈[2，3]此时，f（t）=t+g（t）=（x+2）+g（x+2）=（x+2）+g（x）=[x+g（x）]+2所以，当t∈[2，3]时，f（t）∈[0，7] (3)由已知条件及（1）（2）（3）得到，f（x）在区间[0，3]上的值域为[﹣2，7]故答案为：[﹣2，7]．【点评】本题主要考查了函数的值域、函数的周期性．考查函数的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）15．（5分）（2011•上海）下列函数中，既是偶函数，又在区间（0，+∞）上单调递减的函数是（）A．y=x﹣2B．y=x﹣1C．y=x2D．【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．【专题】计算题．【分析】根据幂函数奇偶性与单调性与指数部分的关系，我们逐一分析四个答案中幂函数的性质，即可得到答案．【解答】解：函数y=x﹣2，既是偶函数，在区间（0，+∞）上单调递减，故A正确；函数y=x﹣1，是奇函数，在区间（0，+∞）上单调递减，故B错误；函数y=x2，是偶函数，但在区间（0，+∞）上单调递增，故C错误；函数，是奇函数，在区间（0，+∞）上单调递增，故D错误；故选A．【点评】本题考查的知识点是函数的单调性的判断与证明，函数奇偶性的判断，其中指数部分也幂函数性质的关系是解答本题的关键．16．（5分）（2011•上海）若a，b∈R，且ab＞0，则下列不等式中，恒成立的是（）A．a2+b2＞2ab B．C．D．【考点】基本不等式．【专题】综合题．【分析】利用基本不等式需注意：各数必须是正数．不等式a2+b2≥2ab的使用条件是a，b∈R．【解答】解：对于A；a2+b2≥2ab所以A错对于B，C，虽然ab＞0，只能说明a，b同号，若a，b都小于0时，所以B，C错∵ab＞0∴故选：D【点评】本题考查利用基本不等式求函数的最值时，必须注意满足的条件：已知、二定、三相等．17．（5分）（2011•上海）若三角方程sinx=0与sin2x=0的解集分别为E，F，则（）A．E⊊F B．E⊋F C．E=F D．E∩F=∅【考点】正弦函数的定义域和值域；集合的包含关系判断及应用．【专题】计算题；压轴题．【分析】利用正弦函数的零点进行转化求解是解决本题的关键，注意整体思想的运用，结合集合的包含关系进行判断验证．【解答】解：由题意E={x|x=kπ，k∈Z}，由2x=kπ，得出x=，k∈Z．故F={x|x=，k∈Z}，∀x∈E，可以得出x∈F，反之不成立，故E是F的真子集，A符合．故选A．【点评】本题考查正弦函数零点的确定，考查集合包含关系的判定，考查学生的整体思想和转化与化归思想，考查学生的推理能力，属于三角方程的基本题型．18．（5分）（2011•上海）设A1，A2，A3，A4是平面上给定的4个不同点，则使成立的点M的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．4【考点】向量的加法及其几何意义．【专题】计算题；压轴题．【分析】根据所给的四个固定的点，和以这四个点为终点的向量的和是一个零向量，根据向量加法法则，知这样的点是一个唯一确定的点．【解答】解：根据所给的四个向量的和是一个零向量，则，即，所以．当A1，A2，A3，A4是平面上给定的4个不同点确定以后，则也是确定的，所以满足条件的M只有一个，故选B．【点评】本题考查向量的加法及其几何意义，考查向量的和的意义，本题是一个基础题，没有具体的运算，是一个概念题目．三、解答题（共5小题，满分74分）19．（12分）（2011•上海）已知复数z1满足（z1﹣2）（1+i）=1﹣i（i为虚数单位），复数z2的虚部为2，且z1•z2是实数，求z2．【考点】复数代数形式的混合运算．【专题】计算题．【分析】利用复数的除法运算法则求出z1，设出复数z2；利用复数的乘法运算法则求出z1•z2；利用当虚部为0时复数为实数，求出z2．【解答】解：∴z1=2﹣i设z2=a+2i（a∈R）∴z1•z2=（2﹣i）（a+2i）=（2a+2）+（4﹣a）i∵z1•z2是实数∴4﹣a=0解得a=4所以z2=4+2i【点评】本题考查复数的除法、乘法运算法则、考查复数为实数的充要条件是虚部为0．20．（14分）（2011•上海）已知ABCD﹣A1B1C1D1是底面边长为1的正四棱柱，高AA1=2，求（1）异面直线BD与AB1所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；（2）四面体AB1D1C的体积．【考点】异面直线及其所成的角；棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】计算题；数形结合；分类讨论．【分析】（1）根据题意知DC1∥AB1∴∠BDC1就是异面直线BD 与AB1所成角，解三角形即可求得结果．（2）V A﹣B1D1C=V ABCD﹣A1B1C1D1﹣V B1﹣ABC﹣V D1﹣ACD﹣V DA1C1D1﹣V B﹣A1B1C1，而V ABCD﹣A1B1C1D1﹣V B1﹣ABC﹣V D1﹣ACD﹣V DA1C1D1﹣V B﹣A1B1C1易求，即可求得四面体AB1D1C 的体积．【解答】解：（1）连接DC1，BC1，易知DC1∥AB1，∴∠BDC1就是异面直线BD 与AB1所成角，在△BDC1中，DC1=BC1=，BD=，∴cos∠BDC1=，∴∠BDC1=arccos．（2）V A﹣B1D1C=V ABCD﹣A1B1C1D1﹣V B1﹣ABC﹣V D1﹣ACD﹣V DA1C1D1﹣V B﹣A1B1C1而V ABCD﹣A1B1C1D1=S ABCD•AA1=1×2=2，V B1﹣ABC=V D1﹣ACD=V DA1C1D1=V B﹣A1B1C1=∴V A﹣B1D1C=2﹣4×=．【点评】此题是个基础题．考查异面直线所成角和棱锥的体积问题，求解方法一般是平移法，转化为平面角问题来解决，和利用割补法求棱锥的体积问题，体现了数形结合和转化的思想．21．（14分）（2011•上海）已知函数f（x）=a•2x+b•3x，其中常数a，b满足a•b≠0（1）若a•b＞0，判断函数f（x）的单调性；（2）若a•b＜0，求f（x+1）＞f（x）时的x的取值范围．【考点】指数函数单调性的应用；指数函数的单调性与特殊点．【专题】计算题．【分析】（1）先把a•b＞0分为a＞0，b＞0与a＜0，b＜0两种情况；然后根据指数函数的单调性即可作出判断．（2）把a•b＜0分为a＞0，b＜0与a＜0，b＞0两种情况；然后由f（x+1）＞f（x）化简得a•2x＞﹣2b•3x，再根据a的正负性得＞或＜；最后由指数函数的单调性求出x的取值范围．【解答】解：（1）①若a＞0，b＞0，则y=a•2x与y=b•3x均为增函数，所以f（x）=a•2x+b•3x在R上为增函数；②若a＜0，b＜0，则y=a•2x与y=b•3x均为减函数，所以f（x）=a•2x+b•3x在R上为减函数．（2）①若a＞0，b＜0，由f（x+1）＞f（x）得a•2x+1+b•3x+1＞a•2x+b•3x，化简得a•2x＞﹣2b•3x，即＞，解得x＜；②若a＜0，b＞0，由f（x+1）＞f（x）可得＜，解得x＞．【点评】本题主要考查指数函数的单调性及分类讨论的方法．22．（16分）（2011•上海）已知椭圆C：=1 （常数m＞1），P是曲线C上的动点，M是曲线C上的右顶点，定点A的坐标为（2，0）（1）若M与A重合，求曲线C的焦点坐标；（2）若m=3，求|PA|的最大值与最小值；（3）若|PA|的最小值为|MA|，求实数m的取值范围．【考点】椭圆的简单性质．【专题】综合题；压轴题；转化思想．【分析】（1）根据题意，若M与A重合，即椭圆的右顶点的坐标，可得参数a的值，已知b=1，进而可得答案；（2）根据题意，可得椭圆的方程，变形可得y2=1﹣；而|PA|2=（x﹣2）2+y2，将y2=1﹣代入可得，|PA|2=﹣4x+5，根据二次函数的性质，又由x的范围，分析可得，|PA|2的最大与最小值；进而可得答案；（3）设动点P（x，y），类似与（2）的方法，化简可得|PA|2=（x﹣）2++5，且﹣m≤x≤m；根据题意，|PA|的最小值为|MA|，即当x=m时，|PA|取得最小值，根据二次函数的性质，分析可得，≥m，且m＞1；解可得答案．【解答】解：（1）根据题意，若M与A重合，即椭圆的右顶点的坐标为（2，0）；则m=2；椭圆的焦点在x轴上；则c=；则椭圆焦点的坐标为（，0），（﹣，0）；（2）若m=3，则椭圆的方程为+y2=1；变形可得y2=1﹣，|PA|2=（x﹣2）2+y2=x2﹣4x+4+y2=﹣4x+5；又由﹣3≤x≤3，根据二次函数的性质，分析可得，x=﹣3时，|PA|2=﹣4x+5取得最大值，且最大值为25；x=时，|PA|2=﹣4x+5取得最小值，且最小值为；则|PA|的最大值为5，|PA|的最小值为；（3）设动点P（x，y），则|PA|2=（x﹣2）2+y2=x2﹣4x+4+y2=（x﹣）2﹣+5，且﹣m≤x≤m；当x=m时，|PA|取得最小值，且＞0，则≥m，且m＞1；解得1＜m≤1+．【点评】本题考查椭圆的基本性质，解题时要结合二次函数的性质进行分析，注意换元法的运用即可．23．（18分）（2011•上海）已知数列{a n} 和{b n} 的通项公式分别为a n=3n+6，b n=2n+7 （n∈N*）．将集合{x|x=a n，n∈N*}∪{x|x=b n，n∈N*}中的元素从小到大依次排列，构成数列c1，c2，c3，…，c n，…（1）求三个最小的数，使它们既是数列{a n} 中的项，又是数列{b n}中的项；（2）数列c1，c2，c3，…，c40中有多少项不是数列{b n}中的项？请说明理由；（3）求数列{c n}的前4n 项和S4n（n∈N*）．【考点】等差数列的性质．【专题】计算题；压轴题．【分析】（1）分别由数列{a n} 和{b n} 的通项公式分别为a n和b n列举出各项，即可找出既是数列{a n} 中的项，又是数列{b n}中的项的三个最小的数；（2）根据题意列举出数列{c n}的40项，找出不是数列{b n}中的项即可；（3）表示出数列{b n}中的第3k﹣2，3k﹣1及3k项，表示出数列{a n} 中的第2k﹣1，及2k项，把各项按从小到大的顺序排列，即可得到数列{c n}的通项公式，并求出数列{c n}的第4k﹣3，4k﹣2，4k﹣1及4k项的和，把数列{c n}的前4n项和每四项结合，利用等差数列的前n项和的公式即可求出数列{c n}的前4n项和S4n．【解答】解：（1）因为数列{a n} 和{b n} 的通项公式分别为a n=3n+6，b n=2n+7，所以数列{a n}的项为：9，12，15，18，21，24，…；数列{b n} 的项为：9，11，13，15，17，19，21，23，…，则既是数列{a n} 中的项，又是数列{b n}中的项的三个最小的数为：9，15，21；（2）数列c1，c2，c3，…，c40的项分别为：9，11，12，13，15，17，18，19，21，23，24，25，27，29，30，31，33，35，36，37，39，41，42，43，45，47，48，49，51，53，54，55，57，59，60，61，63，65，66，67，则不是数列{b n}中的项有12，18，24，30，36，42，48，54，60，66共10项；（3）b3k﹣2=2（3k﹣2）+7=6k+3=a2k﹣1，b3k﹣1=6k+5，a2k=6k+6，b3k=6k+7，∵6k+3＜6k+5＜6k+6＜6k+7，∴c n=，k∈N+，c4k﹣3+c4k﹣2+c4k﹣1+c k=24k+21，则S4n=（c1+c2+c3+c4）+…+（c4n﹣3+c4n﹣2+c4n﹣1+c4n）=24×+21n=12n2+33n．【点评】此题考查学生掌握等差数列的性质，灵活运用等差数列的前n项和的公式化简求值，是一道中档题．。

2011年上海市高考数学试题（理科）一.填空题（56分） 1.函数1()2f x x =-的反函数为1()f x -= . 【测量目标】反函数．【考查方式】直接利用函数的表达式，解出用y 表示x 的式子，即可得到答案． 【难易程度】容易 【参考答案】12x+ 【试题解析】设12y x =-，可得21xy y -=， （步骤1） ∴12xy y =+，可得12y x y+=，将x 、y 互换得112()x f x x -+=． （步骤2）∵原函数的值域为{}|0y y y ∈≠，∴112()(0)xfx x x-+=≠. （步骤3） 2.若全集U =R ，集合{}{}=|1|0A x x x x 厔，则U A =ð .【测量目标】集合的基本运算（补集）.【考查方式】集合的表示法（描述法）求集合的补集. 【难易程度】容易【参考答案】{|01}x x <<【试题解析】∵集合{}{}{}=|1|0|10A x x x xx x x = 或厔厔∴U A =ð{|01}x x <<. 3.设m 为常数，若点(0,5)F 是双曲线2219y x m -=的一个焦点，则m = . 【测量目标】双曲线的简单几何性质.【考查方式】利用双曲线标准方程中的分母与焦点（非零坐标）的关系，列出关于m 的方程，通过解方程求出m 的值． 【难易程度】容易 【参考答案】16【试题解析】由于点(0,5)F 是双曲线2219y x m -=的一个焦点， 故该双曲线的焦点在y 轴上，从而0m ＞． 从而得出m +9=25，解得m =16． 4.不等式13x x+…的解为 . 【测量目标】解一元二次不等式.【考查方式】通过移项解一元二次不等式.【难易程度】容易【参考答案】0x <或12x …【试题解析】原不等式同解于130x x +-…，同解于(12)00x x x -⎧⎨≠⎩…，即2200x x x ⎧-⎨≠⎩…，解得 0x <或12x ….5.在极坐标系中，直线(2cos sin )2ρθθ+=与直线cos 1ρθ=的夹角大小为 . 【测量目标】简单曲线的极坐标方程.【考查方式】先转换得到直角坐标系，再利用直线的直角坐标方程求出它们的夹角即可． 【难易程度】容易 【参考答案】1arctan2【试题解析】∵(2cos sin )2ρθθ+=，cos 1ρθ=， ∴转化到直角坐标系得到：220x y +-=与x =1. （步骤1） ∴220x y +-=与x =1夹角的正切值为12， （步骤2） 直线(2cos sin )2ρθθ+=与直线cos 1ρθ=的夹角大小为1arctan2.(步骤3) 6.在相距2千米的A 、B 两点处测量目标C ，若75,60CAB CBA ∠=∠= ，则A 、C 两点之间的距离是 千米.【测量目标】解三角形的实际应用.【考查方式】用三角形内角和求得ACB ∠，进而表示出AD ，进而在Rt ABD △中，表示出AB 和AD 的关系求得.【难易程度】容易【试题解析】由A 点向BC 作垂线，垂足为D ，设AC x =， （步骤1） ∵75,60CAB CBA ∠=∠= ，∴180756045ACB ∠=--=∴AD x =. （步骤2） ∴在Rt ABD △中，sin 602AB x ==（步骤3）x =. （步骤4）第6题图7.若圆锥的侧面积为2π，底面积为π，则该圆锥的体积为 .【测量目标】柱、锥、台、球的体积.【考查方式】求出圆锥的底面周长，然后利用侧面积求出圆锥的母线，求出圆锥的高，即可求出圆锥体积． 【难易程度】容易【试题解析】根据题意，圆锥的底面面积为π，则其底面半径是1，底面周长为2π.（步骤1）又π2πrl =，∴圆锥的母线为2（步骤2）所以圆锥的体积1π3= （步骤3） 8.函数ππsin()cos()26y x x =+-的最大值为 【测量目标】三角函数的最值.【考查方式】利用诱导公式和积化和差公式对解析式化简，进而根据正弦函数的值域求得函数的最大值． 【难易程度】容易【参考答案】24+ 【试题解析】ππsin()cos()26y x x =+-=πcos cos()6x x -=1ππcos cos(2)266x ⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦=1πcos(2)26x -. 9.马老师从课本上抄录一个随机变量ε的概率分布律如下表请小牛同学计算ε的数学期望，尽管“!”处无法完全看清，且两个“?”处字迹模糊，但能肯定这两个“?”处的数值相同.据此，小牛给出了正确答案E ε= .【测量目标】离散型随机变量的期望与方差．【考查方式】(1)(3)(2)1P P P εεε=+=+==，然后根据期望求法即可求得结果. 【难易程度】容易 【参考答案】2【试题解析】设(1)(3),(2),P P a P b εεε====== 则21,232(2)2a b E a b a a b ε+==++=+=.10.行列式a bc d（,,,{1,1,2}a b c d ∈-）的所有可能值中，最大的是 . 【测量目标】矩阵与行列式.【考查方式】按照行列式的运算法则，化简得ad bc -，再根据条件进行分析计算，比较可得其最大值． 【难易程度】容易 【参考答案】6 【试题解析】a bad bc c d=-， ∵,,,{1,1,2}a b c d ∈-∴ad 的最大值是：2⨯2=4，bc 的最小值是：122-⨯=-， ∴ad bc -的最大值是6．11.在正三角形ABC 中，D 是BC 上的点，3,1AB BD ==，则AB AD =.【测量目标】平面向量在平面几何中的应用.【考查方式】把AD 用,AB BC表示出来，利用向量的数量积的运算法则即可求得AB AD 的值．【难易程度】容易【参考答案】152【试题解析】∵3AB =,1BD =,∴D 是BC 上的三等分点， （步骤1） ∴13AD AB BD AB BC =+=+, （步骤2）∴2111115()9933322AB AD AB AD AB AB BC AB AB BC ==+=+=-⨯⨯=. （步骤3） 12.随机抽取9个同学中，至少有2个同学在同一月出生的概率是 （默认每月天数相同，结果精确到0.001）.【测量目标】古典概型.【考查方式】先求事件发生总数，再求出所求事件的对立事件总数，继而得到结果. 【难易程度】容易 【参考答案】0.985【试题解析】事件发生总数为912，至少有2位同学在同一个月出生的对立事件是没有人生日在同一个月，共有912P 种结果，∴要求的事件的概率是9129P 3850110.98512248832-=-=.13.设()g x 是定义在R 上、以1为周期的函数，若()()f x x g x =+在[3,4]上的值域为[2,5]-，则()f x 在区间[10,10]-上的值域为 . 【测量目标】函数的周期性；函数的值域.【考查方式】根据题意条件，研究函数()()f x x g x =+的性质，得()()11f x f x +-=，由此关系求出函数值域.【难易程度】容易 【参考答案】[15,11]-【试题解析】由题意()()f x x g x -=在R 上成立， 故()()()111f x x g x +-+=+ 所以()()11f x f x +-=，由此知自变量增大1，函数值也增大1 故()f x 在[10,10]-上的值域为[15,11]-14.已知点(0,0)O 、0(0,1)Q 和0(3,1)R ，记00Q R 的中点为1P ，取01Q P 和10PR 中的一条，记其端点为1Q 、1R ，使之满足11(||2)(||2)0OQ OR --<；记11Q R 的中点为2P ，取12Q P 和21P R 中的一条，记其端点为2Q 、2R ，使之满足22(||2)(||2)0OQ OR --<；依次下去，得到点12,,,,n P P P ……，则0lim ||n n Q P →∞= . 【测量目标】数列的极限与运算.【考查方式】由题意推导下去，则1122;Q R Q R 、、中必有一点在的左侧，一点在右侧，然后退出12n ,P P P ，的极限，继而求出结果. 【难易程度】中等【试题解析】由题意11(||2)(||2)0OQ OR --<，所以第一次只能取10PR 一条，22(||2)(||2)0OQ OR --<．依次下去，则1122;Q R Q R 、、…中必有一点在的左侧，一点在右侧，由于12n ,,,,P P P ，……是中点，根据题意推出12n ,P P P ，…,，…，的极限为：），所以001lim n n Q P Q P →∞==二、选择题（20分）15.若,a b ∈R ，且0ab >，则下列不等式中，恒成立的是 （ ）A.222a b ab +> B.a b +… C.11a b +>D.2b a a b +… 【测量目标】基本不等式.【考查方式】根据基本不等式使用条件和定义逐个排除得到结果． 【难易程度】容易 【参考答案】D【试题解析】对于A ，222a b ab +…所以A 错；对于B ，C ，虽然0ab >，只能说明a ，b 同号，若a ，b 都小于0时，所以B ，C 错 ∵0ab >∴2b aa b+…，故选D. 16.下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0,)+∞上单调递减的函数为 （ ） A.1ln||y x = B.3y x = C.||2x y = D.cos y x = 【测量目标】函数单调性的判断；函数奇偶性的判断.【考查方式】再结合偶函数的定义判断出为偶函数；求出导函数判断出导函数的符号，判断出函数的单调性．【难易程度】容易 【参考答案】A 【试题解析】对于1ln||y x =，函数的定义域为x ∈R 且0x ≠，（步骤1） 将x 用x -代替，解析式不变，所以是偶函数. （步骤2） 当(0,)x ∈+∞时，11lnln ||y x x==，10y x '=-<∴1ln||y x =在区间(0,)+∞上单调递减的函数，故选A ． （步骤3） 17.设12345,,,,A A A A A 是空间中给定的5个不同的点，则使123450MA MA MA MA MA ++++=成立的点M 的个数为 （ ）A.0B.1C.5D.10 【测量目标】向量的线性运算.【考查方式】把M 的坐标用其他5个点的坐标表示出来，进而判断M 的坐标x 、y 的解的组数，进而转化可得答案【难易程度】容易 【参考答案】B【试题解析】根据题意，设M 的坐标为()x y ,，x 、y 解得组数即符合条件的点M 的个数， 再设12345,,,,A A A A A 的坐标依次为11(,)x y ，22(,)x y ，33(,)x y ，44(,)x y ，55(,)x y ；若123450MA MA MA MA MA ++++= 成立，则123455x x x x x x ++++=，123455y y y y y y ++++=； 只有一组解，即符合条件的点M 有且只有一个；故选B ．18.设{}n a 是各项为正数的无穷数列，i A 是边长为1,i i a a +的矩形面积（1,2,i = ），则{}n A 为等比数列的充要条件为 （ ） A ． {}n a 是等比数列.B ． 1321,,,,n a a a -……或242,,,,n a a a ……是等比数列.C ． 1321,,,,n a a a -……和242,,,,n a a a ……均是等比数列.D ． 1321,,,,n a a a -……和242,,,,n a a a ……均是等比数列，且公比相同. 【测量目标】充分、必要条件；等比数列的性质.【考查方式】结合等比数列的性质，先判断必要性，再判断充分性得到结果. 【难易程度】容易 【参考答案】D【试题解析】依题意可知1i i i A a a += ，∴12i i i A a a ++= ， （步骤1） 若{}n A 为等比数列则12i i i iA a q A a ++==（q 为常数），则1321,,,,n a a a -……和242,,,,n a a a ……均是等比数列，且公比均为q ； （步骤2） 反之要想{}n A 为等比数列则12i i i iA a A a ++=需为常数，即需要1321,,,,n a a a -……和242,,,,n a a a ……均是等比数列，且公比相等；（步骤3）故{}n A 为等比数列的充要条件是1321,,,,n a a a -……和242,,,,n a a a ……均是等比数列，且公比相同． 故选D. （步骤4） 三、解答题（74分）19.（12分）已知复数1z 满足1(2)(1i)1i z -+=-（i 为虚数单位），复数2z 的虚部为2，12z z 是实数，求2z .【测量目标】复数代数形式的运算．【考查方式】利用复数的除法运算法则求出1z ，设出复数2z ；利用复数的乘法运算法则求出12z z ；利用当虚部为0时复数为实数，求出2z ． 【难易程度】中等【试题解析】1(2)(1i)1i z -+=-⇒12i z =- （步骤1）设22i,z a a =+∈R ，则12(2i)(2i)(22)(4)i z z a a a =-+=++-，（步骤2） ∵ 12z z ∈R ，a =4∴ 242i z =+ （步骤3）20.（12分）已知函数()23x x f x a b =+ ，其中常数,a b 满足0ab ≠. ⑴ 若0ab >，判断函数()f x 的单调性； ⑵ 若0ab <，求(1)()f x f x +>时x 的取值范围. 【测量目标】函数单调性的判断.【考查方式】先把0ab >分为0,0a b >>与0,0a b <<两种情况，然后根据指数函数的单调性即可作出判断；把0ab <分为0,0a b ><与0,0a b <>两种情况；然后由(1)()f x f x +>化简得223x xa b +，最后由指数函数的单调性求出x 的取值范围． 【难易程度】中等【试题解析】⑴ 当0,0a b >>时，任意1212,,x x x x ∈<R ， 则121212()()(22)(33)x x x xf x f x a b -=-+-. （步骤1）∵ 121222,0(22)0xxxxa a <>⇒-<，121233,0(33)0xxxxb b <>⇒-<， ∴ 12()()0f x f x -<，函数()f x 在R 上是增函数. （步骤2） 当0,0a b <<时，同理，函数()f x 在R 上是减函数. （步骤3） ⑵ (1)()223x x f x f x a b +-=+> （步骤4） 当0,0a b <>时，32()2xb a <-，则322log ()bx a >-； （步骤5） 当0,0a b ><时，32()2xb a >-，则322log ()bx a <-. （步骤6） 21.（14分）已知1111ABCD A BC D -是底面边长为1的正四棱柱，1O 是11AC 和11B D 的交点. ⑴ 设1AB 与底面1111A B C D 所成的角的大小为α，二面角111A B D A --的大小为β.求证：tan βα=； ⑵ 若点C 到平面11AB D 的距离为43，求正四棱柱1111ABCD A BC D -的高.第21题图【测量目标】空间直角坐标系；点、线、面间的距离公式. 【考查方式】利用线面角及二面角的定义求出α，β；借助面面垂直找到点C 在平面11AB D 的位置，利用三角形的相似解出． 【难易程度】中等【试题解析】（1）设正四棱柱的高为h .连1AO ，1AA ⊥底面1111A B C D 于1A ， ∴ 1AB 与底面1111A B C D 所成的角为11AB A ∠，即11AB A α∠=∵ 11AB AD =，1O 为11B D 中点，∴111AO B D ⊥，又1111AO B D ⊥， ∴ 11AO A ∠是二面角111A B D A --的平面角，即11AO A β∠= ∴ 111tan AA h A B α==，111tan AA AO βα===.第21题（1）图⑵ 建立如图空间直角坐标系，有11(0,0,),(1,0,0),(0,1,0),(1,1,)A h B D C h11(1,0,),(0,1,),(1,1,0)AB h AD h AC =-=-=设平面11AB D 的一个法向量为(,,)n x y z =，∵ 111100n AB n AB n AD n AD ⎧⎧⊥=⎪⎪⇔⎨⎨⊥=⎪⎪⎩⎩，取1z =得(,,1)n h h = ∴ 点C 到平面11AB D的距离为||43||n AC d n === ，则2h =.第21题（2）图22.（18分）已知数列{}n a 和{}n b 的通项公式分别为36n a n =+，27n b n =+（*n ∈N ），将集合**{|,}{|,}n n x x a n x x b n =∈=∈N N 中的元素从小到大依次排列，构成数列123,,,,,n c c c c .⑴ 求1234,,,c c c c ；⑵ 求证：在数列{}n c 中、但不在数列{}n b 中的项恰为242,,,,n a a a ……； ⑶ 求数列{}n c 的通项公式.【测量目标】等差数列的通项公式；数列的概念及其表示.【考查方式】利用两个数列的通项公式求出前3项，按从小到大挑出4项；对于数列{}n a ，对n 进行分类讨论，判断是否能写成27n +的形式；对{}n a 中的n 进行分类讨论，对{}n b 中的n 从被3除的情况分类讨论，判断项的大小，求出数列的通项． 【难易程度】较难【试题解析】⑴ 13169a =⨯+=，12179b =⨯+=，232612a =⨯+=，222711b =⨯+=，333612a =⨯+=，323713b =⨯+=，12349,11,12,13c c c c ====；⑵ ① 任意*n ∈N ，设213(21)66327n k a n n b k -=-+=+==+，则32k n =-，即2132n n a b --=② 假设26627n k a n b k =+==+⇔*132k n =-∈N （矛盾），∴ 2{}n n a b ∉ ∴ 在数列{}n c 中、但不在数列{}n b 中的项恰为242,,,,n a a a ……. ⑶ 32212(32)763k k b k k a --=-+=+=，3165k b k -=+，266k a k =+，367k b k =+∵ 63656667k k k k +<+<+<+ ∴ 当1k =时，依次有111222334,,,b a c b c a c b c =====，…∴ *63(43)65(42),66(41)67(4)n k n k k n k c k k n k k n k +=-⎧⎪+=-⎪=∈⎨+=-⎪⎪+=⎩N .23.（18分）已知平面上的线段l 及点P ，在l 上任取一点Q ，线段PQ 长度的最小值称为点P 到线段l 的距离，记作(,)d P l .⑴ 求点(1,1)P 到线段:30l x y --=（35x 剟）的距离(,)d P l ；⑵ 设l 是长为2的线段，求点集{|(,)D P d P l =…}1所表示图形的面积；⑶ 写出到两条线段12,l l 距离相等的点的集合12{|(,)(,)}P d P l d P l Ω==，其中12,l AB l CD ==， ,,,A B C D 是下列三组点中的一组.对于下列三组点只需选做一种，满分分别是①2分，②6分，③8分；若选择了多于一种的情形，则按照序号较小的解答计分.①(1,3),(1,0),(1,3),(1,0)A B C D --.②(1,3),(1,0),(1,3),(1,2)A B C D ---.③(0,1),(0,0),(0,0),(2,0)A B C D .【测量目标】点到直线的距离公式；空间中点、线、面的位置关系.【考查方式】用两点之间的距离公式求解；集合{|(,)D P d P l =}1…表示一个半圆，据此求出面积；写出两条直线的方程，从直线方程中看出这两条直线之间的平行关系，得到结果．【难易程度】较难【试题解析】⑴ 设(,3)Q x x -是线段:30l x y --=（35x 剟）上一点，则||PQ ==35x 剟），当3x =时，min (,)||d P l PQ =⑵ 设线段l 的端点分别为,A B ，以直线AB 为x 轴，AB 的中点为原点建立直角坐标系，则(1,0),(1,0)A B -，点集D 由如下曲线围成12:1(1),:1(1)l y x l y x==-剟，221:(1)1C x y ++=，(1)x -…，222:(1)1C x y -+=，(1)x …其面积为4πS =+.第23题（2）图⑶ ① 选择(1,3),(1,0),(1,3),(1,0)A B C D --，{(,)|0}x y x Ω==第23题（3）图② 选择(1,3),(1,0),(1,3),(1,2)A B C D ---. {}{}{}2(,)|0,0(,)|4,20(,)|10,1x y x y x y y x y x y x y x Ω===-<++=> 厔第23题（3）图③ 选择(0,1),(0,0),(0,0),(2,0)A B C D .{}{}(,)|0,0(,)|,01x y x y x y y x x Ω==< 剟?{}{}2(,)|21,12(,)|4230,2x y x y x x y x y x =-<--=> …第23题（3）图。

……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………绝密★启用前2011年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学（文科）副标题考试范围：xxx ；考试时间：100分钟；命题人：xxx题号 一 二 三 总分 得分注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。

3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I 卷（选择题）一、单选题（本大题共4小题，共20.0分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0,+∞)上单调递减的函数为( ) A. y = x −2B. y = x −1C. y = x 2D.2. 若a ，b ∈R ，且ab >0.则下列不等式中，恒成立的是( ) A. a 2+ b 2>2 ab B.C.D.3. 若三角方程sin x =0与sin 2 x =0的解集分别为E ，F ，则( ) A. EFB. E FC. E = FD. E ∩ F =4. 设A 1，A 2，A 3，A 4是平面上给定的4个不同点，则使成立的点M 的个数为…( )A. 0B. 1C. 2D. 4第II 卷（非选择题）二、填空题（本大题共14小题，共56.0分）5. 若全集U =R ，集合A ={x| x ≥1}，则? U A =________．……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………6. 计算________．7. 若函数f(x)=2 x +1的反函数为f −1(x)，则f −1(−2)=________． 8. 函数y =2sin x −cos x 的最大值为________．9. 若直线l 过点(3,4)，且(1,2)是它的一个法向量，则l 的方程为________． 10. 不等式的解为________．11. 若一个圆锥的主视图(如图所示)是边长为3，3，2的三角形，则该圆锥的侧面积是________．12. 在相距2千米的A 、B 两点处测量目标点C ，若∠ CAB =75°，∠ CBA =60°，则A 、C 两点之间的距离为______千米．13. 若变量x ，y 满足条件，则z = x + y 的最大值为________．14. 课题组进行城市空气质量调查，按地域把24个城市分成甲、乙、丙三组，对应的城市数分别为4，12，8，若用分层抽样抽取6个城市，则丙组中应抽取的城市数为________．15. 行列式 (a ，b ，c ，d ∈{−1,1,2})所有可能的值中，最大的是______．16. 在正三角形ABC 中，D 是BC 上的点．若AB =3，BD =1，则=______．17. 随机抽取的9个同学中，至少有2个同学在同一月份出生的概率是______(默认每个月的天数相同，结果精确到0.001)．18. 设g(x)是定义在R 上、以1为周期的函数．若函数f(x)= x + g(x)在区间[0,1]上的值域为[−2,5]，则f(x)在区间[0,3]上的值域为________．三、解答题（本大题共5小题，共74.0分。

2011年上海市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每小题4分，满分56分）1．（4分）（2011•上海）若全集U=R，集合A={x|x≥1}，则∁U A={x|x＜1}．【考点】补集及其运算．【专题】计算题．【分析】由补集的含义即可写出答案．【解答】解：∵全集U=R，集合A={x|x≥1}，∴C U A={x|x＜1}．故答案为：{x|x＜1}．【点评】本题考查补集的含义．2．（4分）（2011•上海）计算=﹣2．【考点】极限及其运算．【专题】计算题．【分析】根据题意，对于，变形可得，分析可得，当n→∞时，有的极限为3；进而可得答案．【解答】解：对于，变形可得，当n→∞时，有→3；则原式=﹣2；故答案为：﹣2．【点评】本题考查极限的计算，需要牢记常见的极限的化简方法．3．（4分）（2011•上海）若函数f（x）=2x+1的反函数为f﹣1（x），则f﹣1（﹣2）=．【考点】反函数．【专题】计算题．【分析】问题可转化为已知f（x0）=﹣2，求x0的值，解方程即可【解答】解：设f（x0）=﹣2，即2x0+1=﹣2，解得故答案为【点评】本题考查反函数的定义，利用对应法则互逆可以避免求解析式，简化运算．4．（4分）（2011•上海）函数y=2sinx﹣cosx的最大值为．【考点】三角函数的最值．【专题】计算题．【分析】利用辅角公式对函数解析式化简整理，利用正弦函数的性质求得其最大值．【解答】解：y=2sinx﹣cosx=sin（x+φ）≤故答案为：【点评】本题主要考查了三角函数的最值．要求能对辅角公式能熟练应用．5．（4分）（2011•上海）若直线l过点（3，4），且（1，2）是它的一个法向量，则直线l的方程为x+2y﹣11=0．【考点】直线的点斜式方程；向量在几何中的应用．【专题】直线与圆．【分析】根据直线的法向量求出方向向量，求出直线的斜率，然后利用点斜式方程求出直线方程．【解答】解：直线的法向量是（1，2），直线的方向向量为：（﹣2，1），所以直线的斜率为：﹣，所以直线的方程为：y﹣4=﹣（x﹣3），所以直线方程为：x+2y﹣11=0．故答案为：x+2y﹣11=0．【点评】本题是基础题，考查直线的法向量，方向向量以及直线的斜率的求法，考查计算能力．6．（4分）（2011•上海）不等式的解为{x|x＞1或x＜0}．【考点】其他不等式的解法．【专题】计算题．【分析】通过移项、通分；利用两个数的商小于0等价于它们的积小于0；转化为二次不等式，通过解二次不等式求出解集．【解答】解：即即x（x﹣1）＞0解得x＞1或x＜0故答案为{x|x＞1或x＜0}【点评】本题考查将分式不等式通过移项、通分转化为整式不等式、考查二次不等式的解法．注意不等式的解以解集形式写出7．（4分）（2011•上海）若一个圆锥的主视图（如图所示）是边长为3，3，2的三角形，则该圆锥的侧面积为3π．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题．【分析】根据圆锥的主视图是边长为3，3，2的三角形，得到圆锥的母线长是3，底面直径是2，代入圆锥的侧面积公式，得到结果．【解答】解：∵圆锥的主视图是边长为3，3，2的三角形，∴圆锥的母线长是3，底面直径是2，∴圆锥的侧面积是πrl=π×1×3=3π，故答案为：3π【点评】本题考查由三视图求表面积和体积，考查圆锥的三视图，这是比较特殊的一个图形，它的主视图与侧视图相同，本题是一个基础题．8．（4分）（2011•上海）在相距2千米的A、B两点处测量目标点C，若∠CAB=75°，∠CBA=60°，则A、C两点之间的距离为千米．【考点】解三角形的实际应用．【专题】解三角形．【分析】先由A点向BC作垂线，垂足为D，设AC=x，利用三角形内角和求得∠ACB，进而表示出AD，进而在Rt△ABD中，表示出AB和AD的关系求得x．【解答】解：由A点向BC作垂线，垂足为D，设AC=x，∵∠CAB=75°，∠CBA=60°，∴∠ACB=180°﹣75°﹣60°=45°∴AD=x∴在Rt△ABD中，AB•sin60°=xx=（千米）答：A、C两点之间的距离为千米．故答案为：下由正弦定理求解：∵∠CAB=75°，∠CBA=60°，∴∠ACB=180°﹣75°﹣60°=45°又相距2千米的A、B两点∴，解得AC=答：A、C两点之间的距离为千米．故答案为：【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用．主要是利用了三角形中45°和60°这两个特殊角，建立方程求得AC．9．（4分）（2011•上海）若变量x，y 满足条件，则z=x+y得最大值为．【考点】简单线性规划．【专题】计算题．【分析】先画出满足约束条件的平面区域，然后求出目标函数z=x+y取最大值时对应的最优解点的坐标，代入目标函数即可求出答案．【解答】解：满足约束条件的平面区域如下图所示：由图分析，当x=，y=时，z=x+y取最大值，故答案为．【点评】本题考查的知识点是简单线性规划，其中画出满足约束条件的平面区域，找出目标函数的最优解点的坐标是解答本题的关键．10．（4分）（2011•上海）课题组进行城市空气质量调查，按地域把24个城市分成甲、乙、丙三组，对应的城市数分别为4，12，8，若用分层抽样抽取6个城市，则丙组中应抽取的城市数为2．【考点】分层抽样方法．【专题】计算题．【分析】根据本市的甲、乙、丙三组的数目，做出全市共有组的数目，因为要抽取6个城市作为样本，得到每个个体被抽到的概率，用概率乘以丙组的数目，得到结果．【解答】解：∵某城市有甲、乙、丙三组，对应的城市数分别为4，12，8．本市共有城市数24，∵用分层抽样的方法从中抽取一个容量为6的样本∴每个个体被抽到的概率是，∵丙组中对应的城市数8，∴则丙组中应抽取的城市数为×8=2，故答案为2．【点评】本题考查分层抽样，是一个基础题，解题的关键是理解在抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，做出一种情况的概率，问题可以解决．11．（4分）（2011•上海）行列式（a，b，c，d∈{﹣1，1，2}）所有可能的值中，最大的是6．【考点】二阶行列式的定义．【专题】计算题．【分析】先按照行列式的运算法则，直接展开化简得ad﹣bc，再根据条件a，b，c，d∈{﹣1，1，2}进行分析计算，比较可得其最大值．【解答】解：，∵a，b，c，d∈{﹣1，1，2}∴ad的最大值是：2×2=4，bc的最小值是：﹣1×2=﹣2，∴ad﹣bc的最大值是：6．故答案为：6．【点评】本题考查二阶行列式的定义、行列式运算法则，是基础题．12．（4分）（2011•上海）在正三角形ABC中，D是BC上的点．若AB=3，BD=1，则=．【考点】向量在几何中的应用．【专题】计算题；数形结合；转化思想．【分析】根据AB=3，BD=1，确定点D在正三角形ABC中的位置，根据向量加法满足三角形法则，把用表示出来，利用向量的数量积的运算法则和定义式即可求得的值．【解答】解：∵AB=3，BD=1，∴D是BC上的三等分点，∴，∴===9﹣=，故答案为．【点评】此题是个中档题．考查向量的加法和数量积的运算法则和定义，体现了数形结合和转化的思想．13．（4分）（2011•上海）随机抽取的9位同学中，至少有2位同学在同一月份出生的概率为0.985（默认每个月的天数相同，结果精确到0.001）【考点】古典概型及其概率计算公式．【专题】概率与统计．【分析】本题是一个古典概型，试验发生包含的事件数129，至少有2位同学在同一个月出生的对立事件是没有人生日在同一个月，共有A129种结果，根据对立事件和古典概型的概率公式得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件数129，至少有2位同学在同一个月出生的对立事件是没有人生日在同一个月，共有A129种结果，∴要求的事件的概率是1﹣=1﹣≈0.985，故答案为：0.985【点评】本题考查古典概型及其概率计算公式，考查对立事件的概率，是一个基础题，也是一个易错题，注意本题的运算不要出错．14．（4分）（2011•上海）设g（x）是定义在R上，以1为周期的函数，若函数f（x）=x+g （x）在区间[0，1]上的值域为[﹣2，5]，则f（x）在区间[0，3]上的值域为[﹣2，7]．【考点】函数的值域；函数的周期性．【专题】计算题；压轴题．【分析】先根据g（x）是定义在R 上，以1为周期的函数，令x+1=t进而可求函数在[1，2]时的值域，再令x+2=t可求函数在[2，3]时的值域，最后求出它们的并集即得（x）在区间[0，3]上的值域．【解答】解：g（x）为R上周期为1的函数，则g（x）=g（x+1）函数f（x）=x+g（x）在区间[0，1]（正好是一个周期区间长度）的值域是[﹣2，5] (1)令x+1=t，当x∈[0，1]时，t=x+1∈[1，2]此时，f（t）=t+g（t）=（x+1）+g（x+1）=（x+1）+g（x）=[x+g（x）]+1所以，在t∈[1，2]时，f（t）∈[﹣1，6] (2)同理，令x+2=t，在当x∈[0，1]时，t=x+2∈[2，3]此时，f（t）=t+g（t）=（x+2）+g（x+2）=（x+2）+g（x）=[x+g（x）]+2所以，当t∈[2，3]时，f（t）∈[0，7] (3)由已知条件及（1）（2）（3）得到，f（x）在区间[0，3]上的值域为[﹣2，7]故答案为：[﹣2，7]．【点评】本题主要考查了函数的值域、函数的周期性．考查函数的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）15．（5分）（2011•上海）下列函数中，既是偶函数，又在区间（0，+∞）上单调递减的函数是（）A．y=x﹣2B．y=x﹣1C．y=x2D．【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．【专题】计算题．【分析】根据幂函数奇偶性与单调性与指数部分的关系，我们逐一分析四个答案中幂函数的性质，即可得到答案．【解答】解：函数y=x﹣2，既是偶函数，在区间（0，+∞）上单调递减，故A正确；函数y=x﹣1，是奇函数，在区间（0，+∞）上单调递减，故B错误；函数y=x2，是偶函数，但在区间（0，+∞）上单调递增，故C错误；函数，是奇函数，在区间（0，+∞）上单调递增，故D错误；故选A．【点评】本题考查的知识点是函数的单调性的判断与证明，函数奇偶性的判断，其中指数部分也幂函数性质的关系是解答本题的关键．16．（5分）（2011•上海）若a，b∈R，且ab＞0，则下列不等式中，恒成立的是（）A．a2+b2＞2ab B．C．D．【考点】基本不等式．【专题】综合题．【分析】利用基本不等式需注意：各数必须是正数．不等式a2+b2≥2ab的使用条件是a，b∈R．【解答】解：对于A；a2+b2≥2ab所以A错对于B，C，虽然ab＞0，只能说明a，b同号，若a，b都小于0时，所以B，C错∵ab＞0∴故选：D【点评】本题考查利用基本不等式求函数的最值时，必须注意满足的条件：已知、二定、三相等．17．（5分）（2011•上海）若三角方程sinx=0与sin2x=0的解集分别为E，F，则（）A．E⊊F B．E⊋F C．E=F D．E∩F=∅【考点】正弦函数的定义域和值域；集合的包含关系判断及应用．【专题】计算题；压轴题．【分析】利用正弦函数的零点进行转化求解是解决本题的关键，注意整体思想的运用，结合集合的包含关系进行判断验证．【解答】解：由题意E={x|x=kπ，k∈Z}，由2x=kπ，得出x=，k∈Z．故F={x|x=，k∈Z}，∀x∈E，可以得出x∈F，反之不成立，故E是F的真子集，A符合．故选A．【点评】本题考查正弦函数零点的确定，考查集合包含关系的判定，考查学生的整体思想和转化与化归思想，考查学生的推理能力，属于三角方程的基本题型．18．（5分）（2011•上海）设A1，A2，A3，A4是平面上给定的4个不同点，则使成立的点M的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．4【考点】向量的加法及其几何意义．【专题】计算题；压轴题．【分析】根据所给的四个固定的点，和以这四个点为终点的向量的和是一个零向量，根据向量加法法则，知这样的点是一个唯一确定的点．【解答】解：根据所给的四个向量的和是一个零向量，则，即，所以．当A1，A2，A3，A4是平面上给定的4个不同点确定以后，则也是确定的，所以满足条件的M只有一个，故选B．【点评】本题考查向量的加法及其几何意义，考查向量的和的意义，本题是一个基础题，没有具体的运算，是一个概念题目．三、解答题（共5小题，满分74分）19．（12分）（2011•上海）已知复数z1满足（z1﹣2）（1+i）=1﹣i（i为虚数单位），复数z2的虚部为2，且z1•z2是实数，求z2．【考点】复数代数形式的混合运算．【专题】计算题．【分析】利用复数的除法运算法则求出z1，设出复数z2；利用复数的乘法运算法则求出z1•z2；利用当虚部为0时复数为实数，求出z2．【解答】解：∴z1=2﹣i设z2=a+2i（a∈R）∴z1•z2=（2﹣i）（a+2i）=（2a+2）+（4﹣a）i∵z1•z2是实数∴4﹣a=0解得a=4所以z2=4+2i【点评】本题考查复数的除法、乘法运算法则、考查复数为实数的充要条件是虚部为0．20．（14分）（2011•上海）已知ABCD﹣A1B1C1D1是底面边长为1的正四棱柱，高AA1=2，求（1）异面直线BD与AB1所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；（2）四面体AB1D1C的体积．【考点】异面直线及其所成的角；棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】计算题；数形结合；分类讨论．【分析】（1）根据题意知DC1∥AB1∴∠BDC1就是异面直线BD 与AB1所成角，解三角形即可求得结果．（2）V A﹣B1D1C=V ABCD﹣A1B1C1D1﹣V B1﹣ABC﹣V D1﹣ACD﹣V DA1C1D1﹣V B﹣A1B1C1，而V ABCD﹣A1B1C1D1﹣V B1﹣ABC﹣V D1﹣ACD﹣V DA1C1D1﹣V B﹣A1B1C1易求，即可求得四面体AB1D1C 的体积．【解答】解：（1）连接DC1，BC1，易知DC1∥AB1，∴∠BDC1就是异面直线BD 与AB1所成角，在△BDC1中，DC1=BC1=，BD=，∴cos∠BDC1=，∴∠BDC1=arccos．（2）V A﹣B1D1C=V ABCD﹣A1B1C1D1﹣V B1﹣ABC﹣V D1﹣ACD﹣V DA1C1D1﹣V B﹣A1B1C1而V ABCD﹣A1B1C1D1=S ABCD•AA1=1×2=2，V B1﹣ABC=V D1﹣ACD=V DA1C1D1=V B﹣A1B1C1=∴V A﹣B1D1C=2﹣4×=．【点评】此题是个基础题．考查异面直线所成角和棱锥的体积问题，求解方法一般是平移法，转化为平面角问题来解决，和利用割补法求棱锥的体积问题，体现了数形结合和转化的思想．21．（14分）（2011•上海）已知函数f（x）=a•2x+b•3x，其中常数a，b满足a•b≠0（1）若a•b＞0，判断函数f（x）的单调性；（2）若a•b＜0，求f（x+1）＞f（x）时的x的取值范围．【考点】指数函数单调性的应用；指数函数的单调性与特殊点．【专题】计算题．【分析】（1）先把a•b＞0分为a＞0，b＞0与a＜0，b＜0两种情况；然后根据指数函数的单调性即可作出判断．（2）把a•b＜0分为a＞0，b＜0与a＜0，b＞0两种情况；然后由f（x+1）＞f（x）化简得a•2x＞﹣2b•3x，再根据a的正负性得＞或＜；最后由指数函数的单调性求出x的取值范围．【解答】解：（1）①若a＞0，b＞0，则y=a•2x与y=b•3x均为增函数，所以f（x）=a•2x+b•3x 在R上为增函数；②若a＜0，b＜0，则y=a•2x与y=b•3x均为减函数，所以f（x）=a•2x+b•3x在R上为减函数．（2）①若a＞0，b＜0，由f（x+1）＞f（x）得a•2x+1+b•3x+1＞a•2x+b•3x，化简得a•2x＞﹣2b•3x，即＞，解得x＜；②若a＜0，b＞0，由f（x+1）＞f（x）可得＜，解得x＞．【点评】本题主要考查指数函数的单调性及分类讨论的方法．22．（16分）（2011•上海）已知椭圆C：=1 （常数m＞1），P是曲线C上的动点，M是曲线C上的右顶点，定点A的坐标为（2，0）（1）若M与A重合，求曲线C的焦点坐标；（2）若m=3，求|PA|的最大值与最小值；（3）若|PA|的最小值为|MA|，求实数m的取值范围．【考点】椭圆的简单性质．【专题】综合题；压轴题；转化思想．【分析】（1）根据题意，若M与A重合，即椭圆的右顶点的坐标，可得参数a的值，已知b=1，进而可得答案；（2）根据题意，可得椭圆的方程，变形可得y2=1﹣；而|PA|2=（x﹣2）2+y2，将y2=1﹣代入可得，|PA|2=﹣4x+5，根据二次函数的性质，又由x的范围，分析可得，|PA|2的最大与最小值；进而可得答案；（3）设动点P（x，y），类似与（2）的方法，化简可得|PA|2=（x﹣）2++5，且﹣m≤x≤m；根据题意，|PA|的最小值为|MA|，即当x=m时，|PA|取得最小值，根据二次函数的性质，分析可得，≥m，且m＞1；解可得答案．【解答】解：（1）根据题意，若M与A重合，即椭圆的右顶点的坐标为（2，0）；则m=2；椭圆的焦点在x轴上；则c=；则椭圆焦点的坐标为（，0），（﹣，0）；（2）若m=3，则椭圆的方程为+y2=1；变形可得y2=1﹣，|PA|2=（x﹣2）2+y2=x2﹣4x+4+y2=﹣4x+5；又由﹣3≤x≤3，根据二次函数的性质，分析可得，x=﹣3时，|PA|2=﹣4x+5取得最大值，且最大值为25；x=时，|PA|2=﹣4x+5取得最小值，且最小值为；则|PA|的最大值为5，|PA|的最小值为；（3）设动点P（x，y），则|PA|2=（x﹣2）2+y2=x2﹣4x+4+y2=（x﹣）2﹣+5，且﹣m≤x≤m；当x=m时，|PA|取得最小值，且＞0，则≥m，且m＞1；解得1＜m≤1+．【点评】本题考查椭圆的基本性质，解题时要结合二次函数的性质进行分析，注意换元法的运用即可．23．（18分）（2011•上海）已知数列{a n} 和{b n} 的通项公式分别为a n=3n+6，b n=2n+7（n∈N*）．将集合{x|x=a n，n∈N*}∪{x|x=b n，n∈N*}中的元素从小到大依次排列，构成数列c1，c2，c3，…，c n，…（1）求三个最小的数，使它们既是数列{a n} 中的项，又是数列{b n}中的项；（2）数列c1，c2，c3，…，c40中有多少项不是数列{b n}中的项？请说明理由；（3）求数列{c n}的前4n 项和S4n（n∈N*）．【考点】等差数列的性质．【专题】计算题；压轴题．【分析】（1）分别由数列{a n} 和{b n} 的通项公式分别为a n和b n列举出各项，即可找出既是数列{a n} 中的项，又是数列{b n}中的项的三个最小的数；（2）根据题意列举出数列{c n}的40项，找出不是数列{b n}中的项即可；（3）表示出数列{b n}中的第3k﹣2，3k﹣1及3k项，表示出数列{a n} 中的第2k﹣1，及2k 项，把各项按从小到大的顺序排列，即可得到数列{c n}的通项公式，并求出数列{c n}的第4k ﹣3，4k﹣2，4k﹣1及4k项的和，把数列{c n}的前4n项和每四项结合，利用等差数列的前n项和的公式即可求出数列{c n}的前4n项和S4n．【解答】解：（1）因为数列{a n} 和{b n} 的通项公式分别为a n=3n+6，b n=2n+7，所以数列{a n}的项为：9，12，15，18，21，24，…；数列{b n} 的项为：9，11，13，15，17，19，21，23，…，则既是数列{a n} 中的项，又是数列{b n}中的项的三个最小的数为：9，15，21；（2）数列c1，c2，c3，…，c40的项分别为：9，11，12，13，15，17，18，19，21，23，24，25，27，29，30，31，33，35，36，37，39，41，42，43，45，47，48，49，51，53，54，55，57，59，60，61，63，65，66，67，则不是数列{b n}中的项有12，18，24，30，36，42，48，54，60，66共10项；（3）b3k﹣2=2（3k﹣2）+7=6k+3=a2k﹣1，b3k﹣1=6k+5，a2k=6k+6，b3k=6k+7，∵6k+3＜6k+5＜6k+6＜6k+7，∴c n=，k∈N+，c4k﹣3+c4k﹣2+c4k﹣1+c k=24k+21，则S4n=（c1+c2+c3+c4）+…+（c4n﹣3+c4n﹣2+c4n﹣1+c4n）=24×+21n=12n2+33n．【点评】此题考查学生掌握等差数列的性质，灵活运用等差数列的前n项和的公式化简求值，是一道中档题．。

2011年上海高考数学答案（文科)一、填空题1、{|1}x x <；2、2-；3、32-；4；5、2110x y +-=；6、0x <或1x >；7、3π； 8；9、52；10、2；11、6；12、152；13、0.985；14、[2,7]-。

二、选择题15、A ；16、D ；17、A ；18、B 。

三、解答题19、解： 1(2)(1)1z i i -+=-⇒12z i =-………………（4分）设22,z a i a R =+∈，则12(2)(2)(22)(4)z z i a i a a i =-+=++-，………………（12分） ∵ 12z z R ∈，∴ 242z i =+ ………………（12分）20、解：⑴ 连1111,,,BD AB B D AD ，∵ 1111//,B D B D A B A D=， ∴ 异面直线BD 与1AB 所成角为11AB D ∠，记11AB D θ∠=，2221111111cos 2AB B D AD AB B D θ+-==⨯ ∴ 异面直线BD 与1AB所成角为。

⑵ 连11,,AC CB CD ，则所求四面体的体积11111111242433ABCD A B C D C B C D V V V --=-⨯=-⨯=。

21、解：⑴ 当0,0a b >>时，任意1212,,x x R x x ∈<，则121212()()(22)(33)x x x x f x f x a b -=-+-∵ 121222,0(22)0xxxxa a <>⇒-<，121233,0(33)0xxxxb b <>⇒-<， ∴ 12()()0f x f x -<，函数()f x 在R 上是增函数。

当0,0a b <<时，同理，函数()f x 在R 上是减函数。

⑵ (1)()223xx f x f x a b +-=⋅+⋅>DBD 11B当0,0a b <>时，3()22x a b >-，则 1.5log ()2ax b >-；当0,0a b ><时，3()22x a b <-，则 1.5log ()2ax b<-。

2011年上海市高考数学试题（理科）一、填空题（56分） 1、函数1()2f x x =-的反函数为1()f x -= 。

2、若全集U R =，集合{|1}{|0}A x x x x =≥≤，则U C A = 。

3、设m 为常数，若点(0,5)F 是双曲线2219y x m -=的一个焦点，则m = 。

4、不等式13x x+<的解为 。

5、在极坐标系中，直线(2cos sin )2ρθθ+=与直线cos 1ρθ=的夹角大小为 。

6、在相距2千米的A 、B 两点处测量目标C ，若0075,60CAB CBA ∠=∠=，则A 、C 两点之间的距离是 千米。

7、若圆锥的侧面积为2π，底面积为π，则该圆锥的体积为 。

8、函数sin()cos()26y x x ππ=+-的最大值为 。

9、马老师从课本上抄录一个随机变量ε的概率分布律如下表请小牛同学计算ε的数学期望，尽管“！”处无法完全看清，且两个“？”处字迹模糊，但能肯定这两个“？”处的数值相同。

据此，小牛给出了正确答案E ε= 。

10、行列式a bc d（,,,{1,1,2}a b c d ∈-）的所有可能值中，最大的是 。

11、在正三角形ABC 中，D 是BC 上的点，3,1AB BD ==，则AB AD ⋅= 。

12、随机抽取9个同学中，至少有2个同学在同一月出生的概率是 （默认每月天数相同，结果精确到0.001）。

13、设()g x 是定义在R 上、以1为周期的函数，若()()f x x g x =+在[3,4]上的值域为[2,5]-，则()f x 在区间[10,10]-上的值域为 。

14、已知点(0,0)O 、0(0,1)Q 和0(3,1)R ，记00Q R 的中点为1P ，取01Q P 和10PR 中的一条，记其端点为1Q 、1R ，使之满足11(||2)(||2)0OQ OR --<；记11Q R 的中点为2P ，取12Q P 和21P R 中的一条，记其端点为2Q 、2R ，使之满足22(||2)(||2)0OQ OR --<；依次下去，得?!?321P(ε=x )x到点12,,,,n P P P ，则0lim ||n n Q P →∞= 。

2011年高考上海卷理科数学解析版一、填空题（56分） 1．函数1()2f x x =-的反函数为1()fx -= 。

【命题意图】考查反函数的概念与求法，考查运算求解能力，属简单题. 【解析】函数()f x 的值域为{y |y ≠0}，由y =12x -得，12x y=+，∴1()fx -=12x+（x ≠0）.【答案】1()f x -=12x+（x ≠0）2．若全集U R =，集合{|1}{|0}A x x x x =≥≤ ，则U C A = 。

【命题意图】本题考查集合的运算—补集，解题时可用数轴法，属送分题. 【解析】∵{|1}{|0}A x x x x =≥≤ ，∴U C A ={x |0＜x ＜1｝. 【答案】{x |0＜x ＜1｝.3．设m 为常数，若点(0,5)F 是双曲线2219yxm-=的一个焦点，则m = 。

【命题意图】本题考查双曲线的性质及其应用，解题时注意焦点的位置，属容易题. 【解析】∵点(0,5)F 是双曲线2219yxm-=的一个焦点，∴295m +=，解得m =16.【答案】16 4．不等式13x x+<的解为 。

【命题意图】本题考查简单分式不等式的解法，考查等价转化思想，是容易题. 【解析】13x x+<⇔210x x ->⇔(21)0x x ->，解得{x |x ＜0或x ＞12}【答案】{x |x ＜0或x ＞12}5．在极坐标系中，直线(2cos sin )2ρθθ+=与直线c o s 1ρθ=的夹角大小为 。

【命题意图】本题考查极坐标方程与直角坐标方程互化、两直线夹角的计算，考查学生转化化归能力，是中档题.【解析】将极坐标方程化为直角坐标系下方程，两直线方程分别为22x y +=和1x =，如图所示，∵直线22x y +=的斜率为－2，∴其倾斜角β=arctan 2π-， ∴这两直线夹角α=arctan 22π-.【答案】arctan 22π-.6．在相距2千米的A ．B 两点处测量目标C ，若0075,60C AB C BA ∠=∠=，则A ．C 两点之间的距离是千米。