二次根式的意义及基本性质

二次根式总结一、引言二次根式是数学中的一个重要概念，也是初等代数中一个基础的内容。

它在解方程、求根、化简表达式等问题中起着重要作用。

本文将对二次根式进行全面、深入的总结，包括重要观点、关键发现和进一步思考。

二、基本概念1. 二次根式的定义二次根式是指形如√a的表达式，其中a为非负实数。

当a为正实数时，√a有两个实数解；当a为零时，√0=0；当a为负实数时，√a没有实数解。

2. 二次根式的性质•非负实数的平方根仍为非负实数；•平方根具有唯一性，即对于任意非负实数a，√a唯一确定。

3. 二次根式的运算•加减法：对于两个二次根式√a和√b，如果它们的被开方数相同，则可以直接相加或相减；如果被开方数不同，则需要化简后再运算。

•乘法：对于两个二次根式√a和√b，它们的乘积可以化简为√ab。

•除法：对于两个二次根式√a和√b，它们的商可以化简为√a√b =√ab，其中b不能为零。

三、重要观点1. 二次根式的化简化简二次根式是解题中常见的操作。

可以利用平方根的性质，将二次根式化简为最简形式。

√8=√4⋅√2=2√2。

2. 二次根式的应用二次根式在解方程、求根、化简表达式等问题中经常出现。

在解关于x的方程时，可能会遇到形如x2=5的方程，需要求得x=±√5。

3. 二次根式与无理数二次根式通常是无理数。

无理数是指不能表示为两个整数的比值的实数。

π和e都是无理数。

而对于正实数a来说，如果其平方不是有理数，则其平方根一定是无理数。

四、关键发现1. 二次根式的图像二次根式的图像是一个开口向上或向下的抛物线。

当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。

图像关于x轴对称。

2. 二次根式的大小比较对于两个非负实数a和b，如果a<b，则√a<√b。

但当a<0时，√a没有实数解。

3. 二次根式的近似值可以使用计算器或牛顿迭代法等方法求得二次根式的近似值。

可以利用牛顿迭代法逼近√2的值。

二次根式知识点总结二次根式是高中数学中重要的知识点之一，它在解决一元二次方程、求解勾股定理以及图形的面积计算等问题中起到了重要的作用。

本文将对二次根式的定义、性质以及相关的数学运算进行总结，并探讨其在实际问题中的应用。

一、二次根式的定义二次根式是指形如√a的代数式，其中a为非负实数。

它可以表示为一个单独的根号表达式，也可以是两个或多个二次根式之间的运算。

二、二次根式的性质1. 二次根式与有理数的关系：二次根式可以是有理数或无理数。

当根号内的数可以化简为有理数时，二次根式即为有理数；否则，二次根式为无理数。

2. 二次根式的相等性：两个二次根式相等的条件是它们的被开方数相等。

3. 二次根式的大小比较：对于非负实数a和b，若a > b，则有√a >√b。

4. 二次根式的运算性质：对于非负实数a和b，有以下运算性质：- 加法：√a + √b = √(a + b)- 减法：√a - √b = √(a - b)，其中a ≥ b- 乘法：√a * √b = √(a * b)- 除法：√a / √b = √(a / b)，其中b ≠ 0三、二次根式的化简当二次根式存在可以化简的情况时，可以通过以下方法进行化简：1. 提取因子法：将根号内的数分解为两个数的乘积，其中一个数是完全平方数，并提取出完全平方数的根号作为整体。

2. 有理化分母法：对于含有二次根式的分数，可以通过有理化分母的方法化简，即将分母有理化为一个有理数或二次根式。

四、二次根式的应用1. 解一元二次方程：一元二次方程的形如ax^2 + bx + c = 0，其中a ≠ 0。

通过二次根式的求解方法，可以求得方程的解，并通过图像分析得到方程的根的性质。

2. 求解勾股定理：在平面几何中，勾股定理是指在直角三角形中，直角边的平方等于两个其他边的平方之和。

通过二次根式的运算，可以准确计算出直角三角形的边长。

3. 计算图形的面积：在几何问题中，经常需要计算图形的面积，而某些图形的面积计算涉及到二次根式。

二次根式总结一、引言二次根式是数学中一个重要的概念，涉及到对平方根的运算和性质。

掌握好二次根式的基本知识对于理解和解决数学问题至关重要。

本文将对二次根式进行总结，从定义、性质到应用方面进行探讨。

二、定义与基本性质二次根式可以表示为√a（其中a≥0），这里√a称为二次根，a称为被开方数。

在二次根式中，一些基本性质需要予以关注。

首先，二次根式满足乘法分配律。

对于任意的非负实数a和b，有√(ab)=√a × √b。

这个性质与平方根的性质一致，可以利用它对二次根式进行简化。

其次，二次根式可以进行合并化简。

如果a和b都是非负实数，则√a + √b可以合并成一个根式。

例如，√2 + √3 = √(2+3) = √5。

这一点在化简二次根式的过程中常常应用到。

另外，二次根式的乘法也有一定的规律。

对于任意非负实数a 和b，有(√a × √b) = √(ab)。

同样地，在乘法的过程中可以利用这一性质对二次根式进行化简。

三、进一步探讨与应用1. 二次根式的化简化简二次根式是使用二次根式的基本性质，将复杂的根式表示简化为更简洁的形式。

例如，√8可以化简为2√2，√5 × √3可以化简为√15。

化简二次根式有助于简化运算和解决数学问题。

在化简二次根式时，可以利用约束性质，并通过提取公因数的方式进行。

例如，对于√8，可以提取公因数2，即√(2 × 4) = 2√2。

2. 二次根式的加减运算二次根式的加减运算可以通过化简和合并根式进行。

对于√a + √b，如果a和b无法合并，则不能再继续进行简化。

例如，对于√2 + √3，不能再进行进一步的运算。

但是可以计算其近似值，如√2 ≈ 1.414，√3 ≈ 1.732，因此√2 + √3 ≈ 1.414 + 1.732 ≈ 3.146。

3. 二次根式的乘除运算二次根式的乘除运算可以利用乘法分配律和二次根式的乘法规律进行。

利用这两个性质，可以轻松地计算复杂的二次根式。

二次根式的概念及性质对于大多数人来说，学习数学常常会遇到许多难题，其中包括二次根式。

在本文中，我们将会详细探讨二次根式的概念及性质，以便更深刻地理解这一数学概念。

一. 二次根式概念二次根式，也就是平方根式，是指表达式中含有平方根的式子。

例如，我们可以将$\sqrt{2}$看做二次根式。

二次根式是一种特殊的无理数，也就是说它不能写成分数形式。

二次根式具有以下一些重要特征：1. 二次根式中的数值通常是无理数，因此不能表示为分数形式。

对于非完全平方数，无法化约，只能用$\sqrt{a}$表示。

2. 满足乘方的指数法则:$\sqrt{i} \times \sqrt{j} = \sqrt{ij}$。

3. 满足加减的公式:$\sqrt{i} \pm \sqrt{j}$是不能合并的。

二. 二次根式性质在接下来的内容中，将讨论二次根式的乘法、开方以及化简。

乘法我们来看一下下面这个式子:$(a+b\sqrt{2})(c+d\sqrt{2})$。

这是二次根式的乘法公式，可以化简为$ac+2bd+(ad+bc)\sqrt{2}$。

简易的乘法公式可概述为:$$\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab}$$同理，$$(a-b)\times \sqrt{c} = a\sqrt{c}-b\sqrt{c}$$开方当对一个平方根求值时,我们要找到它的平方是多少。

找到它的平方根就是简单的数学操作。

举个例子，如果是$\sqrt{9}$，平方是9，所以它的平方根就是3.而如果是$\sqrt{a^2 + b^2}$，则无法化简。

直接求这个平方根是十分困难的，所以我们往往采取近似求解或其他算法将其化简为另一个更容易求解的式子，在此不做详细讲解。

化简化简二次根式是化简至最简二次根式的过程。

例如，$\sqrt{8}$可以被化简为$2\sqrt{2}$。

我们可以通过合理运用乘法公式，将含有多个平方根的式子简化为最简的形式。

基础知识
1、二次根式的定义：
我们已经知道：每一个正实数有且只有两个平方根，一个记作a，称为a的。

算术平方根；另一个是a
我们把形如a的式子叫作二次根式，根号下的数a叫作被开方数.
由于在实数围，负实数没有平方根，因此只有当被开方数是非负实数时，二次根式才在实数围有意义．
2、二次根式的性质
3、二次根式的积的算数平方根的性质
4、最后的计算结果，具有以下特点：
（1）被开方数中不含开得尽方的因数（或因式）；
（2）被开方数不含分母.
我们把满足上述两个条件的二次根式，叫作最简二次根式.
注意：①化简二次根式时，最后结果要求被开方数中不含开得尽方的因数.
②化简二次根式时，最后结果要求被开方数不含分母.
③今后在化简二次根式时，可以直接把根号下的每一个平方因子去掉平
方号以后移到根号外（注意：从根号下直接移到根号外的数必须是非负数）.题型一、二次根式的概念和条件
【例1】
【例2】
【例3】
【例4】
【例5】
【例6】
题型二、二次根式的性质【例7】计算
【例8】
【例9】【练一练】
4、
5、
6、7、
8、
题型三积的算数平方根的性质【例10】
【例11】
【例12】
【例13】
【例14】
题型四二次根式的化简【例题精析】
【例15】
【例16】【例17】【例18】
【练一练】
4、
5、6、6、
7、。

专题01二次根式的概念和性质（知识点考点串编）【思维导图】◎考点1：二次根式的值例．（2022·浙江·九年级专题练习）当0x =的值等于（ ）A ．4B ．2CD ．0【答案】B【解析】【分析】把0x =解题即可【详解】◉知识点一：二次根式的定义知识点技巧：二次根式概念：一般地，我们把形如（a ≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号。

【注意】1.二次根式，被开方数a 可以是一个具体的数，也可以是代数式。

2.二次根式是一个非负数。

3.二次根式与算术平方根有着内在联系，（a ≥0）就表示a 的算术平方根。

解：把0x =2=故选：B ．【点睛】本题考查了二次根式的定义和二次根式的性质，能灵活运用二次根式的性质进行计算是解题的关键．练习1．（2021·全国·八年级专题练习）当a 为实数时，下列各式中是二次根式的是（ ）个A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个【答案】B 【解析】【分析】0)a >的代数进行分析得出答案．【详解】共4个．故选：B ．【点睛】0)a >的代数式，正确把握定义是解题关键．练习2．（2021·河北·结果相同的是（ ）．A ．321-+B ．321+-C ．321++D ．321--【答案】A【解析】【分析】根据有理数运算和二次根式的性质计算，即可得到答案．【详解】2==∵3212-+=，且选项B 、C 、D 的运算结果分别为：4、6、0【点睛】本题考查了二次根式、有理数运算的知识；解题的关键是熟练掌握二次根式、含乘方的有理数混合运算的性质，即可得到答案．练习3．（2021·河南林州·八年级期末）已知当12a <<a -的值是（ ）A ．3-B ．12a -C ．32a -D ．23a -【答案】C【解析】【分析】由题意直接根据二次根式的性质以及去绝对值的方法，进行分析运算即可.【详解】解：∵12a <<，212132a a a a a a -=---=-+-=-.故选：C.【点睛】本题考查二次根式和去绝对值，熟练掌握二次根式的性质以及去绝对值的方法是解题的关键.◎考点2：求二次根式中的参数例．（2021·n 的最小值是（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】C【解析】【分析】=，则6n 是完全平方数，满足条件的最小正整数n 为6．【详解】解：=∴6n 是完全平方数；∴n 的最小正整数值为6．【点睛】本题主要考查了二次根式的定义，关键是根据乘除法则和二次根式有意义的条件，二次根式有意义的条件时被开方数是非负数进行解答练习1．（2020·甘肃·酒泉市第二中学八年级期中）若x 、y 为实数，且0x +=，则2019x y æöç÷èø的值( )A ．-2B ．1C ．2D ．-1【答案】D【解析】【分析】根据非负数的性质可求出x 、y 的值，然后把x 、y 的值代入所求式子计算即可．【详解】解：∵0x +=，∴x +2=0，y －2=0，∴x =﹣2，y =2，∴220190192=12x y -æöæöç÷è=-ç÷èøø．故选：D ．【点睛】本题主要考查了非负数的性质，明确实数绝对值和二次根式的非负性以及﹣1的奇次幂的性质是解题关键．练习2．（2020·江苏·丰县欢口镇欢口初级中学八年级阶段练习）如果3y ，则2x y -的平方根是（ ）A ．-7B ．1C ．7D ．±1【答案】D【解析】【分析】根据二次根式的性质求出x 、y 的值，再代入求解即可．解：由题意可得：24020x x -+¹＝，，解得：2x ＝，故3y ＝，则21x y -＝，故2x y -的平方根是：±1．故选：D ．【点睛】本题考查了关于二次根式的运算问题，掌握二次根式的性质、平方根的性质是解题的关键．练习3．（2021·全国·n 的值是( )A ．0B ．1C ．2D ．5【答案】D【解析】【分析】首先化简二次根式进而得出n 的最小值．【详解】=∴最小正整数n 的值是5．故选D ．【点睛】本题考查了二次根式的定义，正确化简二次根式得出是解题的关键．例．（2022·全国·九年级专题练习）在函数1y =中，自变量x 的取值范围是（ ）A ．x ＜2B ．x ≥2C ．x ＞2D ．x ≠2【答案】C 【解析】◉知识点二：二次根式有意义的条件知识点技巧：二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a ≧0时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。

第七讲二次根式的意义与性质一、内容提要数的开方与二次根式包括平方根、立方根、算术平方根、二次根式及实数、无理数的概念和相关性质．１、平方根的定义与性质：定义：如果x2=a，那么x叫做a的平方根.性质:一个正数有两个平方根,它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根.2、算术平方根的定义与性质:定义:正数a的正的平方根叫做a的算术平方根（0的算术平方根是0）.性质:双重非负性——被开方数非负、算术平方根非负.3、立方根的定义与性质:定义:如果x3=a，那么x叫做a的立方根.性质:一个正数的立方根是一个正数,0的立方根是0,一个负数的立方根是一个负数；.4、二次根式的定义与性质:定义:形如“ a （a≥0）”的式子叫做二次根式.性质:（1）（ a ）2=a（a≥0）；（2）a2 =│a│；（3）ab = a × b （a≥0，b≥0）；（4）ab=ab（a≥0，b>0）.二、赛题精讲【例1】已知y=1-x2+x2-1+2x+1，其中x、y为有理数,求（ 2 ）x+y的值.【例2】若一个正数的两个平方根是3x-1和-2x+2，求这个正数.【例3】已知A=m-nm+n+1 是m+n+1的算术平方根,B=m-2nm+2n 是m+2n的立方根,求B-2A的值. 【例4】若a、b满足3 a +5│b│=7，s=2 a -3│b│，求s的取值范围. 【例5】若实数x、y、z满足x +y-1 +z-2 =12（x+y+z），求代数式（x-yz）3的值.【例6】（1）证明: 2 是无理数.（2）已知a、b均为正有理数, a 、 b 均为无理数,求证: a + b 是无理数.【例7】已知7 =a，70 =b，用含a、b的代数式表示 4.9 .【例8】已知9+13 与9-13 的小数部分分别是a和b，求ab-3a+4b+8的值.【例9】比较大小（1）13-2与42（2）4- 2 与1+ 2（3）a+1a+2与a+2a+3（4）14 -13 与13 -12三、热身演练1、已知x=（-2a4+a-aaa--+-333）2005,求x的个位数字.2、若实数x、y、m满足关系式:3x+5y-2-m +2x+3y-m=x-199+y ·199-x-y ，试确定m的值.3、已知x、y是实数,且y<x-1 +1-x +1，化简1y-1y2-2y+1 .4、已知x +y-1 +z-2 =14（x+y+z+9），求x、y、z的值.5、化简（1）356356-++（2）56145614--+6、化简x-y x-y -x+y x+y ÷（x xy+y ＋y xy-x -x+yxy）7、已知实数2+12-1的整数部分是m,小数部分是n,求m+n m-n 的值.8、化简求值32,32-=+=--+++b a aba b ab bab ab a 其中9、把代数式aa ---11)1(根号外的因式移入根号内,求化简的结果.10、证明: 3 是无理数.11、已知 a （ a + b ）=3 b （23 a +4 b ），且ab ≠0，求a-5b+aba+b+ab 的值.12、已知3413+=x ，试求x 4-6x 3-2x 2+18x+23x 2-8x+15 的值.13、化简（1）3+210+14+15+21（2）1+23+5(1+3)(3+5)。

二次根式的定义及性质1、二次根式的定义形如)0(≥a a 的代数式叫二次根式（1）式子中含有二次根号“”；（2）a 可以表示数也可以表示代数式（3）二次根式)0(≥a a 表示非负数a 的算术平方根，0≥a ，即二次根式的两个非负性 二次根式的两个非负性：)0(≥a a ；0≥a ，具有非负性的还有02≥a ；0≥a ；几个非负数的和等于零，那么这几个非负数均为零。

2、二次根式的主要性质 （1）())0(2≥=a a a （2）⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==)0()0(0)0(2a a a aa a a3、分母有理化：把分母中的根号化去，叫做分母有理化.方法:①单项二次根式：利用a =来确定．②两项二次根式：利用平方差公式()()22b a b a ba -=-+来确定．如: aa4、最简二次根式：被开方数中不含分母，并且被开方数中不含开的尽方的因数或因式叫最简二次根式 最简二次根式的条件①号内不含有开的尽方的因数或因式，②根号内不含有分母，③分母不含有根号。

5、 同类二次根式：被开方数相同的最简二次根式叫做同类二次根式6、 乘法公式：)0,0______(≥≥=⋅b a b a ；反之：)0,0_______(≥≥=b a ab7、除法公式：)0,0______(>≥=b a ba ；反之：)0,0______(>≥=b a b a 8、合并同类二次根式：__________________;=-=+a n a m a n a m形如)0(≥a a 的代数式叫二次根式例1、下列式子中二次根式的个数有（ ）（1）31（2）3-（3）12+-x （4）38（5）2)31(-（6）)1(1>-x x A.2个 B.3个 C.4个 D.5个【变式练习】1、下列各式中，一定是二次根式的有______________________________① a ；②z y +；③6a ；④32+x ；⑤962++x x ；⑥12-x2、222++a a 是不是二次根式？___________（填“是”或“否”）二次根式)0(≥a a 表示非负数a 的算术平方根，0≥a ，即二次根式的两个非负性例2、（2012.德阳）使代数式12-x x 有意义的x 的取值范围是（ ） A.0≥x B.21≠x C.210≠≥x x 且 D.一切实数 例3、 函数1213-+-=x x y 的自变量x 的取值范围是_______________【变式练习】1、 使12--x x 在实数范围内有意义的x 的取值范围是______________ 2、（2012.杭州）已知0)3(<-a a ，若a b -=2，则b 的取值范围是___________3、若2)(11y x x x +=---，则______=-y x())0(2≥=a a a例4、计算： (1) (2) (3) (4)(b ≥0) (5)【变式练习】计算： (1)； (2)； (3)； (4). ⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==)0()0(0)0(2a a a a a a a例5、化简: (1)； (2)； (3)； (4).例6、2x =，则x 的取值范围是 。

初中数学二次根式基础知识点
初中数学二次根式的基础知识点包括以下内容：
1. 二次根式的定义：二次根式是指形如√a（a≥0）的数，其中a被称为根式的被开方数。

2. 二次根式的化简：化简二次根式的方法为把根号内的被开方数分解成互素的因子，然后把每个因子的二次根式提取出来。

3. 二次根式的运算：二次根式之间可以进行加法、减法、乘法和除法运算。

运算法则如下：
- 加减法：只有当二次根式内的被开方数完全相同时，才可以进行加减法运算。

- 乘法：将二次根式的因子分别相乘，然后化简。

- 除法：将二次根式的被除数与除数进行有理化，即将分母有理化为整数，然后进行除法运算。

4. 二次根式的合并：合并二次根式是把其中相同根号内的被开方数合并在一起。

- 合并加减法：只有相同根号内的被开方数相同，才能进行合并加减法运算。

- 合并乘法：将二次根式的因子合并后再进行乘法运算。

5. 二次根式的定义域：二次根式的定义域是指使得根式有意义的实数集合。

对于二次根式来说，被开方数必须为非负实数，即定义域是非负实数集合[0,+∞)。

6. 二次根式的性质：二次根式具有以下性质：
- 非负性：二次根式的值大于等于0。

- 单调性：二次根式的值随着被开方数的增大而增大。

- 零点：当被开方数为0时，二次根式的值为0。

- 消去：二次根式的分子分母同时乘以相同的数，二次根式的值不变。

以上是初中数学二次根式的基础知识点，掌握了这些知识，可以进行二次根式的化简、运算和合并等操作。

二次根式的计算与性质二次根式是数学中的一个重要概念，在许多数学问题的解答中经常涉及。

它的计算和性质具有一定的规律和特点。

本文将深入探讨二次根式的计算方法和性质，并结合实例进行说明。

一、二次根式的定义与基本性质二次根式是指形如√a的数，其中a为非负实数，是它的被开方数。

二次根式具有以下基本性质：1. 当a≥0时，二次根式有意义。

2. 当a＞0时，√a＞0。

3. 当a＞b≥0时，有√a＞√b。

4. 二次根式的平方等于被开方数本身。

二、二次根式的四则运算1. 二次根式的加减运算：对于二次根式√a与√b，满足以下运算规律：√a ± √b = √(a ± b)。

这意味着可以通过合并二次根式进行简化。

举例：（1）化简√8 + √2。

解：√8 + √2 = √(4 × 2) + √2 = 2√2 + √2 = 3√2。

2. 二次根式的乘法运算：对于二次根式√a与√b，满足以下运算规律：√a × √b = √(a × b)。

这意味着可以通过合并二次根式进行简化。

举例：（1）化简√3 × √5。

解：√3 × √5 = √(3 × 5) = √15。

3. 二次根式的除法运算：对于二次根式√a与√b，满足以下运算规律：√a ÷ √b = √(a ÷ b)。

这意味着可以通过合并二次根式进行简化。

举例：（1）化简√16 ÷ √4。

解：√16 ÷ √4 = √(16 ÷ 4) = √4 = 2。

三、二次根式的化简与有理化1. 化简二次根式：对于二次根式√a，可以通过确定a的因式分解式来进行化简。

举例：（1）化简√72。

解：√72 = √(2 × 2 × 2 × 3 × 3) = √(2^2 × 3^2) = 2√2 × 3 = 6√2。

一、二次根式的概念和性质二次根式1.0a ≥）的式子叫做二次根式.说明：（1）被开方数是正数或0；（20a ≥）表示非负数a 的算术平方根. 2.二次根式的性质：（10； （2）2(0)a a =≥； （3(0)(0)(0)a a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩；（4）当0a ≥时，2=二、最简二次根式最简二次根式最简二次根式的定义：①被开方数的因数是整数，因式是整式（分母中不含根号）；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．这样的二次根式叫做最简二次根式． 最简二次根式的满足条件：（1）被开放数的因数是整数，因式是整式（被开方数不能存在小数、分数形式）； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式； （3）分母中不含二次根式．说明：二次根式的计算结果要写成最简根式的形式．三、二次根式的加减 同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫同类二次根式． 二次根式的加减二次根式知识点同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式．合并同类二次根式：(a b =+ 分母有理化分母有理化：把分母中的根号化去叫做分母有理化．互为有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，说这两个代数式互为有理化因式．0．四、二次根式综合运算二次根式的综合运算法则：先算乘除法，再算加减法，有括号的先算括号里面的，最终结果二次根式部分要化为最简二次根式．注意：在二次根式的计算题中，如果题目中没有明确说明字母的取值范围，按照字母使二次根式有意义来计算．五、二次根式化简求值二次根式的化简求值：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的加减乘除运算，化为较为简单的一个式子（或直接得出结果），最后代入未知数的值求解，有时候也会存在整体代入的情况．注意：对与二次根式的化简求值如果字母没有明确说明取值范围，必须要进行分类讨论．六、根式的大小比较 比较大小的方法1．作差法:比较a 、b 的大小，0,0,0,a b a b a b a b >>⎧⎪-==⎨⎪<<⎩２．作商法：比较a 、b 的大小，当0,0a b >>时，可以采用作商法，1,1,1,a b a a b b a b>>⎧⎪==⎨⎪<<⎩二次根式比较大小的方法 （1）0a b >>（2）二次根式比较大小：能直接比较大小的直接比较；不能直接比较大小的，先平方再比较．（3）估算法 （4）分子有理化 （5）倒数法七、二次根式的乘除 二次根式的乘除法=0a ≥，0b ≥）．=（0a ≥，0b >）． 说明：利用乘除法则时注意a 、b a 、b 都非负，否则不成立．一、 单选题1、（2015中考西城二模）函数2y x=-中，自变量的取值范围是（ ） A ．2x ≠ B ．2x ≥ C ．2x > D ．2x ≥-【答案】 B【解析】由二次根式有意义的条件可得20x -≥，即2x ≥，故答案为B ．2、（2013初二上期末房山区）下列各式中，计算正确的是（ ） A ．22=B 16=±C ．8D ．(26=【答案】 A【解析】该题考查的是二次根式的计算．x 例题A，22=，故A正确；B16，故B错误；C，8-，故C错误；D，(212=，故D错误．所以该题的答案是A．3）A．(1a-B．(1a-C．D．(1a-【答案】B【解析】(=-B选项．1a4、(2013初二上期末平谷区)下列二次根式中，最简二次根式是（）ABCD【答案】C【解析】该题考查最简二次根式．A =，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式；故本选项错误；BCD 故选C ．5、（2012初二下期末人大附中）如果最简二次根式b 那么a 、b 的值分别是（ ） A ．0a =，2b = B ．2a =，0b = C ．1a =-，1b = D ．1a =，2b =- 【答案】 A【解析】该题考查的是同类二次根式的概念．同类二次根式是被开方数相同的两个最简二次根式． ∴2322b a b b a -=⎧⎨=-+⎩，解得：02a b =⎧⎨=⎩．故选A ．6、下列运算中，正确的个数是（ ）①1251144251=；2=-；③214141161+=+④()442±=-5-A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【答案】B【解析】该题考查的是根式的运算．13111212=；=4，；⑤正确，故只有1个是正确的， 所以本题的答案是B ．7、( )A ．在9.1～9.2之间B ．在9.2～9.3之间C ．在9.3～9.4之间D ．在9.4～9.5之间【答案】 C【解析】9()x x +是小数部分；则有：()2988x +=，即：2187x x +=，得187x ≈，0.38x ≈，9.39.4～之间，故答案为C 选项．8、(2013初一上期末人民大学附属中学)已知正整数a 、b =那么a b -的值是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5B【解析】该题考查的是根式的性质和运算．方法一：)1==因此可得6,3a b==，故a b-的值是3．方法二：由题知正整数a、b=9a b+-918a bab+=⎧⎨=⎩解得6a=，3b=，故a b-的值是3．故本题答案为B．二、填空题9、(2013初一上期末人民大学附属中学)，则3223a ba b+=-____【答案】-18【解析】该题考查非负数的性质．==0．∴43ab=-⎧⎨=-⎩求出321823a ba b+=--．10、实数a、b a的化简结果为______【答案】b-b a该题考查的是代数式化简．由图中可得0a >，0b <，且a b <，则0a b +<a a b a a b a b =++=--+=-．11、=____________=______________． 【答案】25，9 【解析】25==，369+=12、（2013a =_________【答案】1±【解析】该题考查的是二次根式．满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式： （1）被开方数的因数是整数，因式是整式； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式． 根据题意可列：22461a a +=- 解得：1a =±13、（2013．【答案】【解析】该题考查的是二次根式的计算．原式==14、(2013初一上期末人民大学附属中学+=____【答案】【解析】该题考查根式的分母有理化．++=+=三、解答题15、（2014【答案】【解析】本题考察的是根式的计算．==16、(2013初二上期末门头沟区)【答案】【解析】该题考查的是二次根式计算．原式+2=-17、（2013初二上期中C理工附）（1（2）点Q、M之间的距离是_________．（3）点M关于点Q的对称点是__________．（4）若点P、Q、M、所对应的实数分别是p、q、m，q m-+【答案】（1）P、M、Q（2）M Q-（3）2Q M-（4）p m-【解析】该题考察的是实数与数轴．（1<P，M，Q；（2）MQdM Q=-；（3）若数轴上两个点关于某个点对称，则这两个点的平均数为中间的那个点所表示的数，故点M关于点Q的对称点为2Q M-；（4q m-+()22q p m q p q=---+-p m=-18、1()2x yz++，求x、y、z的值．【答案】1,2,3x y z===P MQ【解析】1()2x y z ++得：0x y z ---1(1)1(2)10x y z -+--+--=即：2221)1)1)0++=所以：1,2,3x y z ===19、．【答案】<【解析】1==1=>∴11<- <1、（2015中考平谷一模）函数y =中自变量的取值范围是（ ）A ．1x ≠B ．1x >C ．1x ≥D ．1x ≥-【答案】 B【解析】根据题意可知，10x ->，即1x >．故选B ．2、对于所有实数,a b ，下列等式总能成立的是（ ） A．2a b =+Ba b + C 22a b+D a b =+【答案】 C【解析】因为220a b +≥22a b +，故答案为C 选项．3、（2011中考大兴一模）函数y =中，自变量x 的取值范围是___________【答案】 2x >-【解析】根据题意可知，只需20x +>，即2x >-即可．随堂练习4、实数P____【答案】1【解析】该题考查的是实数运算．由数轴可得，23p <<， ∴20p ->，30p -<， 23231p p p p -+-=-+-=．5、计算：=⨯12172_________，=--)84)(213(_________， =⨯-03.027.02_________，_____________=．【答案】24；0.18-；5-【解析】=，(24⎛--==⎝，20.090.18-=--⨯=-，4335-⨯=-6、(2013初一上期末人民大学附属中学)化简：2____【答案】43x -12 34p【解析】该题考查根式的化简．212x -+∵由题得120x -≥，12x ≤33x x =-=-．∴原式12343x x x =-+-=-． 故答案为43x -．7、设A B ==A ____B ．【答案】 A B >【解析】2A =2B =< ∴22A B< ∴A B >8、（2013初二下期中北京第四中学）已知: 1x =，求223x x +-的值．【答案】 2-【解析】该题考查的是代数式求值．把1x =代入得：原式))21213=+-323=--2=-9、已知：,x y 为实数，且3y ，化简：3y -【答案】1-【解析】 由3y <得：1x =，3y <，所以31634341y y y y y y --+=---=-++-1、（2015中考大兴一模）函数y =x 的取值范围是（ ） A ．2x ≤且0x ≠ B ．2x ≤C ．2x <且0x ≠D ．0x ≠【答案】 A【解析】根据题意可知，20x -≥，且0x ≠．解得2x ≤，且0x ≠． 2、若A （ ）A ．24a +B ．22a +C ．()222a +D ．()224a +【答案】 A 【解析】 因为()224A a+24a =+，故答案为A 选项．3、（2015中考西城二模）若2(2)0m ++ 则m n -= ．课后作业【答案】 3-【解析】因为2(2)0m +=，所以2m =-，1n =，故3m n -=-．4、在下列二次根式中，最简二次根式有____________________．【答案】【解析】由最简二次根式的定义可知是最简二次根式．5、（2012初二上期末通州区）若最简二次根式a =__________【答案】 4【解析】本题考查的是最简二次根式的定义．∴3530a a -=+≥，解得4a =．6、0，则3223a ba b+=-____【答案】-18【解析】该题考查非负数的性质．000=0=0．∴43a b =-⎧⎨=-⎩求出321823a ba b+=--．7、（2013初二下期中北京第四中学）12．（填“>”、“<”或“=”）．【答案】>【解析】该题考查的是二次根式比大小．102==>102->，12>．8、(2013初二下期末清华大学附属中学)01)【答案】 011+=0……5分9、化简：（1（2【答案】（11（2【解析】（11=（2===。

二次根式的概念与性质二次根式是我们在数学学习过程中常常遇到的一种特殊形式的根式。

在本文中，我们将探讨二次根式的概念以及其重要的性质。

一、二次根式的概念二次根式是指具有“根号下一次方的数”的形式。

具体而言，若a为非负实数，则√a表示其非负平方根，而√(-a)表示其虚数平方根。

因此，二次根式包括了实数根式和虚数根式两种情况。

实数根式的概念是我们初中就已经学习过的，它表示的是可以找到一个非负实数，将其平方得到原始数。

例如，√4=2，√9=3，这些都是实数根式的例子。

虚数根式则是更加复杂一些。

它指的是无法找到一个非负实数来满足平方后得到原始数的情况。

例如，√(-4)=2i，其中i表示虚数单位。

虚数根式在进一步的数学学习中有着重要的应用。

二、二次根式的性质1. 二次根式的有理化：有理化是将含有根号的式子转化成不含根号的形式。

对于二次根式，我们常常利用有理化的方法将其转化为一个更加简洁的形式。

例如，对于√2，我们可以乘以√2/√2得到2/√2，这样就进行了有理化。

2. 二次根式的运算：二次根式在进行运算时有一些特殊的性质。

首先，根号下的数相同的二次根式可以进行加减运算。

例如，√2+√2=2√2，√3-√3=0。

其次，二次根式可以与有理数进行乘法运算。

例如，2√2*3=6√2，√3*4=4√3。

然而，二次根式的乘法运算并不满足交换律。

即，a√b*b√a不一定等于ab。

3. 二次根式的简化：对于二次根式，我们可以将其进行简化，使其表达更加方便。

例如，对于√8，我们可以简化成2√2。

4. 二次根式的大小比较：在进行大小比较时，二次根式也有一些规律。

如果a和b都是非负实数，则当a<b时，√a<√b；当a>b时，√a>√b；当a=b时，√a=√b。

这些规律在解决不等式问题时有着重要的应用。

结语：通过本文的学习，我们了解了二次根式的概念与性质。

二次根式的概念涵盖了实数根式和虚数根式两种情况，而其性质包括有理化、运算、简化以及大小比较等方面。

二次根式的概念和性质是什么二次根式的概念和性质是什么一般地，形如√a的代数式叫做二次根式，其中，a 叫做被开方数。

下面是店铺给大家整理的二次根式的概念和性质简介，希望能帮到大家!二次根式的概念和性质定义如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根。

a可以是具体的数，也可以是含有字母的代数式。

即：若，则叫做a的平方根，记作x=。

其中a叫被开方数。

其中正的平方根被称为算术平方根。

关于二次根式概念，应注意：被开方数可以是数，也可以是代数式。

被开方数为正或0的，其平方根为实数;被开方数为负的，其平方根为虚数。

最简二次根式最简二次根式条件：1.被开方数的因数是整数或字母，因式是整式;2.被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式。

二次根式化简一般步骤：1.把带分数或小数化成假分数;2.把开方数分解成质因数或分解因式;3.把根号内能开得尽方的因式或因数移到根号外;4.化去根号内的分母，或化去分母中的根号;5.约分。

算术平方根非负数的平方根统称为算术平方根，用(a≥0)来表示。

负数没有算术平方根，0的算术平方根为0。

二次根式的性质1. 任何一个正数的平方根有两个，它们互为相反数。

如正数a的算术平方根是，则a的另一个平方根为﹣;最简形式中被开方数不能有分母存在。

2. 零的平方根是零，即;3. 负数的.平方根也有两个，它们是共轭的。

如负数a的平方根是。

4. 有理化根式：如果两个含有根式的代数式的积不再含有根式，那么这两个代数式互为有理化根式，也称互为有理化因式。

5. 无理数可用连分数形式表示，如:。

6. 当a≥0时，;与中a取值范围是整个复平面。

7.[任何一个数都可以写成一个数的平方的形式;利用此性质可以进行因式分解。

8. 逆用可将根号外的非负因式移到括号内，如(a>0) ，(a<0)，(a≥0)，(a<0)。

9.注意：，然后根据绝对值的运算去除绝对值符号。

10.具有双重非负性，即不仅a≥0而且≥0。

教学重点二次根式的基本概念与性质二次根式（Quadratic Root）是数学中的一个重要概念。

它是指形如√a的数，其中a为非负实数。

本文将详细介绍二次根式的基本概念和性质。

一、二次根式的定义和基本概念二次根式是指具有形式√a（或简称根号a）的数，其中a为非负实数（即a≥0）。

根号符号表示一个非负实数的非负平方根。

例如，√4=2，√9=3。

二次根式有以下几种形式：1. 普通二次根式：形如√a的根式，其中a为非负实数。

例如，√4=2，√5等。

2. 分数二次根式：形如√(a/b)的根式，其中a为非负实数，b为正实数。

例如，√(4/9)等。

二、二次根式的性质二次根式有以下基本的性质：1. 二次根式的值为非负实数，即√a≥0。

2. 当a≥b时，√a≥√b。

即，较大的数的二次根式大于较小的数的二次根式。

3. 二次根式的平方等于它的被开方数。

即，(√a)²=a。

例如，(√4)²=4。

4. 若a≥0，则(√a)·(√a)=a。

即，二次根式与自身相乘等于它的被开方数。

例如，(√5)·(√5)=5。

5. 二次根式的乘法可以化简。

例如，√2·√3=√(2·3)=√6。

除了以上的基本性质外，二次根式还有一些特殊的性质：1. 二次根式的加减法不可合并。

例如，√2+√3是一个二次根式，无法合并成一个较简单的形式。

2. 可以对二次根式进行有理化处理。

有理化是指将含有二次根式的式子转化为不含二次根式的式子。

例如，对√(2/3)进行有理化处理，可以得到(√2)/(√3)。

三、二次根式的应用举例二次根式广泛应用于数学和物理的各个领域。

以下是一些常见的应用举例：1. 平方根的距离计算：当我们需要计算两个点之间的距离时，会使用到平方根。

例如，两个坐标点A(x₁,y₁)和B(x₂,y₂)之间的距离可以表示为√((x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²)。

2. 几何问题的求解：二次根式在几何问题中经常出现，例如计算三角形的边长、面积等。

第七讲二次根式的意义与性质二次根式是数学中重要的概念之一，它在代数学、几何学和物理学等领域中都有着广泛的应用，了解二次根式的意义与性质能够帮助我们更好地理解和运用它。

首先，我们需要明确二次根式的概念。

在代数学中，二次根式是指形如√a的表达式，其中a是一个实数。

这里的√符号称为根号，表示正的平方根。

二次根式通常用于求解一些方程或方程组，以及在几何问题中计算线段的长度、计算图形的面积等。

二次根式具有以下几个重要的性质：1.二次根式可以是正数、负数或零。

当a大于零时，√a是一个正数；当a小于零时，√a是一个虚数；当a等于零时，√a等于零。

2. 如果a和b都是非负实数，那么√(ab)等于(√a)(√b)。

这个性质称为二次根式的乘法性质。

例如，√4×√9=2×3=63.如果a和b都是非负实数，那么√(a/b)等于(√a)/(√b)。

这个性质称为二次根式的除法性质。

例如，√9/√4=3/24.如果a和b都是非负实数，且a大于b，那么√a大于√b。

这个性质表示，二次根式随着被开方数的增大而增大。

例如，√4=2，√9=3，显然2小于35.如果a和b都是非负实数，那么√(a+b)不等于√a+√b。

这个性质表示，二次根式的加法没有简化的形式。

例如，√2+√3不能简化为一个更简单的表达式。

6.二次根式可以进行化简。

对于非完全平方数，可以将其分解为一个完全平方数和一个非完全平方数的乘积。

例如，√10=√(2×5)=√2×√5了解了二次根式的意义与性质，我们可以应用它们来解决一些实际问题。

1.计算线段的长度：假设有一条线段AB，其坐标分别为A(x1,y1)和B(x2,y2)，则线段AB的长度可以用二次根式来表示，即√((x2-x1)²+(y2-y1)²)。

这个公式可以推广到三维空间中的点和线段的计算。

2. 计算图形的面积：例如，正方形的面积可以用边长的平方来表示，即√a²=a；矩形的面积可以用长和宽的乘积来表示，即√(ab)。

二次根式的性质与计算二次根式是数学中一个重要的概念，它涉及到了根号以及平方等运算，具有一些特殊的性质和计算规律。

本文将介绍二次根式的一些基本性质和计算方法，帮助读者更好地理解和应用这个概念。

一、二次根式的定义二次根式是指形如√a的数，其中a是一个非负实数。

在二次根式中，根号下的数被称为被开方数。

被开方数的值必须大于等于零，否则二次根式就没有意义。

二、二次根式的性质1. 二次根式的值：对于二次根式√a，它的值是满足b^2 = a的非负实数b。

例如，√9的值是3，因为3^2等于9。

2. 二次根式的性质：(a) 任意非负实数a和b，有以下性质成立：a)√(a*b) = √a * √b；b)√(a/b) = √a / √b。

(b) 对于任意的非负实数a和b，有以下性质成立：a) √(a + b) ≠ √a + √b；b) √(a - b) ≠ √a - √b。

(c) 对于任意非负实数a，有以下性质成立：a) √(a^2) = |a|。

3. 二次根式的化简：当被开方数是特殊形式时，我们可以通过化简来简化二次根式的计算。

常见的化简规则包括：(a) 约分：如果被开方数能够被某个因数整除，那么可以将该因数提出到根号外。

(b) 分解因式：将被开方数分解成多个因数的乘积，然后将相同的因数提出到根号外。

(c) 完全平方数：如果被开方数是一个完全平方数，那么可以直接将其开方并化简。

三、二次根式的基本计算方法1. 二次根式的加减法：当两个二次根式相加或相减时，如果它们的被开方数相同，那么可以直接将系数相加或相减，并保持根号下的数不变。

例如，√3 + √3 =2√3，√5 - √2 = √5 - √2。

2. 二次根式的乘法：当两个二次根式相乘时，可以将它们的被开方数相乘，并保持根号下的数不变。

例如，√3 * √5 = √15，√2 * √2 = 2。

3. 二次根式的除法：当两个二次根式相除时，可以将它们的被开方数相除，并保持根号下的数不变。

二次根式的定义和基本性质二次根式，也称为平方根，是数学中常见的一种运算。

它的定义和基本性质在代数学和几何学中有着广泛的应用。

本文将介绍二次根式的定义，并探讨其基本性质。

在此之前，我们先来了解一下二次根式的定义。

二次根式的定义：二次根式是指一个数的平方根，如√x表示x的平方根，其中x为一个非负实数。

当x小于0时，√x是一个虚数。

在计算平方根时，我们通常提取其中的正根，即非负实数解。

基本性质：1. 非负数的平方根：对于非负实数a，它的平方根√a是一个非负实数。

例如，√9 = 3，因为3的平方等于9。

2. 平方根的乘法：对于非负实数a和b，有以下运算规则：√(a * b) = √a * √b例如，√(4 * 9) = √4 * √9 = 2 * 3 = 63. 平方根的除法：对于非负实数a和b（b不等于0），有以下运算规则：√(a / b) = √a / √b例如，√(25 / 4) = √25 / √4 = 5 / 2 = 2.54. 平方根的加法与减法：对于非负实数a和b，有以下运算规则：√a ± √b 通常不能进行化简，可以合并成一个复合根。

例如，√2 + √3 无法化简，但可以合并为一个复合根√(2 + 3) = √55. 平方根的乘方：对于非负实数a和正整数n，有以下运算规则：(√a)^n = a^(1/n)例如，(√9)^2 = 9^(1/2) = 36. 平方根的传递性：对于非负实数a和b，如果a小于b，则√a小于√b。

例如，√4小于√9，因为4小于9。

通过以上基本性质，我们可以在实际问题中用到二次根式。

例如，在几何学中，可以通过求解平方根来计算物体的边长或面积；在代数学中，平方根可以用来求解方程的解等。

需要注意的是，对于负数的平方根，我们引入了虚数单位i。

虚数单位i定义为√(-1)，它满足i^2 = -1。

负数的平方根被称为虚数，属于复数的一种。

虚数在物理学和电气工程等领域有着重要的应用。