二元函数泰勒展开

§10.4 二元函数的泰勒公式一.高阶偏导数二元函数=z f ),(y x 的两个（一阶）偏导函数xz ∂∂，yz ∂∂ 仍是x 与y 的二元函数。

若他们存在关于x 和y 的偏导数，即x∂∂（xz ∂∂），y∂∂（xz ∂∂），x∂∂（yz ∂∂），y∂∂（yz ∂∂）.称它们是二元函数=z f ),(y x 的二阶偏导（函）数.二阶偏导数至多有22个。

通常将x∂∂（xz ∂∂）记为22xz ∂∂或''xx f ),(y x .y∂∂（x z ∂∂）记为y x z ∂∂∂2或''xy f ),(y x . (混合偏导数)x ∂∂（y z ∂∂）记为x y x ∂∂∂2或''yx f ),(y x . (混合偏导数)y∂∂（yz ∂∂）记为22yz ∂∂或''yy f ),(y x .一般地，二元函数=z f ),(y x 的1-n 阶偏导数的偏导数称为二元函数的n 阶偏导数.二元函数的n 阶偏导数至多有2n个.二元函数z=f (x,y)的n 阶偏导数的符号与二阶偏导数类似.例如,符号kk n nyxz ∂∂∂-或 )(n yxkkn f -),(y x表示二元函数=z f ),(y x 的n 阶偏导数，首先对x 求k n -阶偏导数,其次对y 求k 阶偏导数.二阶与二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.类似可定义三元函数、一般n 元函数的高阶偏导数.例1 求函数332233++-=xyy x y x z 的二阶偏导数.解 xz ∂∂=23263y xy y x +-，yz ∂∂=xy x y x 233223+-.22xz ∂∂=y xy663-.y x z ∂∂∂2=y x y x 26922+-.x y z ∂∂∂2=y x y x 26922+-. (yx z ∂∂∂2=xy z ∂∂∂2)22yz ∂∂=x y x 263+.例2 证明：若u=r1,r=222)()()(c z b y a x -+-+-,则22xu ∂∂+22yu ∂∂+22zu ∂∂=0.证明 由§10.3例2，有xu ∂∂=3ra x --，yu ∂∂=3rb y --，zu ∂∂=3rc z --.22xu ∂∂=6233)(rxr ra x r∂∂---(xr ∂∂=ra x -)=6233)(rra x ra x r----=31r-+53r2)(a x -.同样，可得22yu ∂∂=31r-+53r2)(b y -,22zu ∂∂=31r-+53r2)(c z -于是，22xu ∂∂+22yu ∂∂+22zu ∂∂=31r-53r+])()()[(222c z b y a x -+-+-=33r-+33r=0.由例1看到，yx z ∂∂∂2=xy z ∂∂∂2，即二阶混合偏导数（先对x 后对y 和先对y 后对x ）与求导的顺序无关。

多元函数的泰勒展开与应用泰勒展开是关于函数在某一点附近的近似展开式，它是将一个任意函数在某点附近展开成若干项幂函数之和的形式。

在单变量函数中，泰勒展开可以用于逼近函数的形状，计算极限以及研究函数的性质。

而在多元函数中，泰勒展开同样发挥着重要的作用。

一、多元函数的泰勒展开对于二元函数f(x,y)，其在点(a,b)处的二阶泰勒展开式为：f(x,y) ≈ f(a,b) + ∂f/∂x | (a,b)(x-a) + ∂f/∂y | (a,b)(y-b) + 1/2![∂^2f/∂x^2 | (a,b)(x-a)^2 + 2 (∂^2f/∂x∂y | (a,b) + ∂^2f/∂y^2 | (a,b))(x-a)(y-b) +1/2![∂^2f/∂y^2 | (a,b)(y-b)^2其中，∂f/∂x表示对x的偏导数，∂^2f/∂x^2表示对x的二阶偏导数，∂^2f/∂x∂y表示对x和y的混合二阶偏导数。

二、多元函数的泰勒展开的应用1. 函数极值通过泰勒展开，可以找到多元函数的驻点和极值点。

在一个驻点处，函数的一阶偏导数为零，二阶偏导数可通过泰勒展开的二阶项进行判断。

如果二阶偏导数为正，说明函数在该点处取得局部极小值；如果二阶偏导数为负，说明函数在该点处取得局部极大值；如果二阶偏导数为零，则无法判断。

通过这样的方法，可以帮助我们研究函数的极值性质。

2. 函数逼近多元函数的泰勒展开还可以用于逼近目标函数。

通过将目标函数在某一点附近进行泰勒展开，可以将原函数转化为一个简化的幂函数形式，从而研究原函数的性质。

这在实际问题中常常用于简化计算、优化算法以及数值逼近等领域。

3. 空间曲线的逼近对于给定的空间曲线，可以将其参数化，并通过泰勒展开求得其在某一点处的切线方程，从而对曲线的性质有进一步的了解。

通过计算曲线在某一点的切线，可以确定曲线的斜率以及运动方向，对于研究曲线的行为非常有用。

4. 函数的数值计算对于复杂的多元函数，往往难以直接求出其精确值。

§ 10.4.二元函数的泰勒公式若它们存在关于x 和y 的偏导数，即将它们表为:般地，二元函数z = f(x,y)的n-1阶偏导函数的偏导数称为二元函数的阶偏导数•二元函数的n 阶偏导数至多有2n 个.二元函数z 二f (x, y)的n 阶偏导数 的符号与二阶偏导数类似.例如，符号・n z或- n _k - kx :y表示二元函数z = f(x, y)的n 阶偏导数，首先对x 求n-k 阶偏导数，其次接着对y 求k 阶偏导数.二阶与二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数. 类似可定义三元函数、一般n 元函数的高阶偏导数例1.求函数z = x 'y 3 -3x 2y ' xy 2 3的二阶偏导数.、高阶偏导数二元函数z =f(x, y)的两个(一阶)偏导数—，—仍是x 与y 的二元函数.；x : y称它们是二元函数 z = f(x, y)的二阶偏导(函)数.二阶偏导数至多有22个.通常竺陰1表为c zc 2 dx 或f£(x,y).dx ©丿 竺俘［表为◎2Z或 fey)內5 )cx&y-2cz °z ! r ?、/—表为c z 或 f y ；(x, y)& ©丿 £y£x、-2cz —表为c z 2 或f y ；(x, y).©丿2(混合偏导数)(混合偏导数)A、 __________________________例 2.证明：若 u = -, r = ： (x - a)2 • (y - b)2 • (z - c)2,则 r.2. 2 .2r u ； u ； u cT T LJ . -2 . 2 . 2 x : y : z证明：由§ 10.3.例2,有；:u x - acuy - b ；:u z - c .x31q一r 刑3 1 r；zr 3 .；：2ur 3 _(x _a)3r 2；:r ；x■r -x-a 1一 2 -x6r:xrr 3 _(x _a)3r 2x -ar -1 . 3(x-a)2.6 r35rr 同样，可得-2「u _ -2 -y2132: u -35(y —b ),r r:z_ 1 —3r2(z-c)2 r33 2 2 2-飞 飞[(x-a)2(y-b)2 (z-c)2] r r=0.定理1.若函数f （x, y ）在点P （x o ，y o ）的邻域G 存在二阶混合偏导数f xy （x,y ） 与f y ；（x,y ），并且它们在点P （x °,y 。

二元函数的泰勒公式1、一元函数泰勒公式：对于较复杂的函数来说，为了简便研究，往往用一些简单的函数来近似表达（多项式近似表达函数）例如：1~+x e xx x ~)1ln(+ 上式只有当，误差才是比x 的高阶无穷小。

0→x 但是：不能具体估计出误差的大小。

泰勒定理（Taylor ）:函数)(x f y =在含有的开区间(a , b)内具有直到n+1阶导数,当x 在(a , b)内时，可以表示为x-的一个n 次多项式，与一个余项之和：0x )(x f y =0x )(x R n （1）n 阶泰勒公式： )(!1)()()(000x x x f x f x f -'+=+200)(!2)(x x x f -''+300)(!3)(x x x f -'''+400)4()(!4)(x x x f -+……+n n x x n x f )(!)(00)(-+ )(x R n （2）拉格朗日型余项：)(x R n =10)1()()!1()(++-+n n x x n f ξ （3）函数按x-的幂展开的n 次近似多项式：0x )(!1)(f )()(000x x x x f x f -'+=+200)(!2)(x x x f -''+3)00(!3)(x x x f -'''+400)4()(!4)(x x x f -+……+n n x )0-x n x f (!)(0)( 其中：=)(x R n 10)1()()!1()(++-+n n x x n f ξ ξ为与x 之间的某个值0x = )(x R n ])[(0n x x o -（4）迈克劳林公式当取=0，则0x ξ为0与x 之间，因此可以令x θξ=)10(<<θ从而使泰勒公式变成较简单的形式： )(!1)0()0()(x f f x f '+=+2)(!2)0(x f ''+3)(!3)0(x f '''+4)4()(!4)0(x f +……+n n x n f )(!)0()(+ 1)1()()!1()(+++n n x n x f θ )10(<<θ由此可以得到近似公式：)(!1)0()0()(x f f x f '+=+2)(!2)0(x f ''+3)(!3)0(x f '''+4)4()(!4)0(x f +……+n n x n f )(!)0()( 2、 二元函数泰勒公式：对于多元函数来说，也必须考虑用多个变量的多项式来近似表达一个给定的多元函数，并具体估算其误差的大小。

二元函数泰勒定理二元函数泰勒定理是多元函数的泰勒定理的一种推广形式。

在微积分中，泰勒定理是一个非常重要的定理，它描述了一个可微函数在某一点附近的近似表示。

在一元函数的情况下，泰勒定理的公式比较简单且易于理解，但在多变量情况下，泰勒定理的形式则较为复杂。

下面我们将详细介绍二元函数的泰勒定理。

假设我们有一个二元函数 $f(x,y)$ ，它在点 $(x_0,y_0)$ 处具有所有二阶偏导数。

那么，泰勒定理告诉我们，在 $f(x,y)$ 附近的某一点 $(x,y)$ 处，可以用以下公式来近似表示：$$f(x,y) = f(x_0,y_0) + \frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)(x-x_0) + \frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)(y-y_0) +\frac{1}{2}\left(\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x_0,y_0)(x-x_0)^2 + 2\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}(x_0,y_0)(x-x_0)(y-y_0) + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(x_0,y_0)(y-y_0)^2\right) + R_2(x,y)$$其中，$R_2(x,y)$ 表示高阶无穷小，它满足以下形式：$$R_2(x,y) = o\left(\sqrt{(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2}\right)$$公式中的 $\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)$ 和$\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)$ 表示函数 $f(x,y)$ 在$(x_0,y_0)$ 处的偏导数，$\frac{\partial^2 f}{\partialx^2}(x_0,y_0)$、$\frac{\partial^2 f}{\partial x\partialy}(x_0,y_0)$ 和 $\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(x_0,y_0)$ 分别表示函数 $f(x,y)$ 在 $(x_0,y_0)$ 处的二阶混合偏导数。

二元函数的泰勒公式二元函数是数学中非常重要的一类函数，它的式子是一元多项式的幂函数形式。

它具有很高的数学意义和应用价值，所以学习它是有必要的。

在二元函数中，泰勒公式是最重要的一种，也是最有用的一种。

泰勒公式有多种形式，可以应用于许多领域，其中最重要的是无穷级数法、复变函数法以及数值计算法。

泰勒公式是事实上经常使用的一种关于函数表达式的展开式。

它是一种描述函数的技巧，可以用来测量函数的性质，也可以用来估计函数的值。

在求解函数的过程中，它可以帮助我们更加准确、有效地求解问题，用以解决各种实际应用中的问题。

泰勒公式常用来研究一般连续函数f(x)，它被定义为连续函数f(x)在x=a处的泰勒展开式，其形式为：f(x)=f(a)+f(a)(x-a)+f(a)(x-a)2/2!+f(a)(x-a)3/3!+…+f^(n)(a)(x-a)n/n!由此可见，泰勒公式的每一项都有着与它相关的求导数次数，所以二元函数的泰勒公式可以把连续函数f(x)表示为一个无穷级数，由此可以理解为一个与实际应用所属的某一领域有关的特殊函数。

泰勒公式实际上是一个重要的逐步近似技术，它可以用来计算函数f(x)在x=a附近的局部变化。

比如，当函数f(x)在x=a处求导结果为f′(a)，进一步求出f″(a)，以及更高阶的求导数，那么泰勒公式就可以利用它们来得到函数f(x)在x=a处的局部变化。

由于函数f(x)每一项都相互独立，在每一项求导数的次数均较少，因而可以节省计算量，这也是使用泰勒公式的原因之一。

而在应用中，泰勒公式可以用于数值计算、插值计算、积分运算等，还可以用于研究复变函数、无穷级数的收敛性等。

特别是在无穷级数的研究中，使用它就可以快速进行研究，大大减少了计算量。

综上所述，泰勒公式是一种用于研究特殊函数和无穷级数的重要方法。

从学习、研究上来说，了解泰勒公式对于更好地理解函数有着重要的意义，因此，认真学习泰勒公式是很有必要的。