2016考研数学：定积分、二重积分、三重积分以及曲线、曲面积分的联系和区别

二重积分三重积分曲线积分曲面积分二重积分二重积分的概念二重积分是微积分中的重要概念之一，它是对二元函数在一个有界闭区域上的积分运算。

二重积分可以看作是对一个平面区域的面积进行加权求和，其中权重由函数值决定。

二重积分的计算可以通过分割区域，将区域内的小面积元素加权求和的方式进行。

二重积分的计算方法二重积分的计算方法有多种，常见的有直角坐标系下的面积法和极坐标系下的面积法。

在直角坐标系下，二重积分可以通过将区域分割成小矩形，计算每个小矩形的面积乘以函数值的和来近似计算。

在极坐标系下，可以通过将区域分割成小扇形，计算每个小扇形的面积乘以函数值的和来近似计算。

二重积分的应用二重积分在物理学、统计学、经济学等领域有广泛的应用。

在物理学中，二重积分可以用来计算平面分布的物理量，如电荷密度、质量分布等。

在统计学中，二重积分可以用来计算二维随机变量的概率密度函数。

在经济学中，二重积分可以用来计算两个变量之间的相关性。

三重积分三重积分的概念三重积分是对三元函数在一个有界闭区域上的积分运算。

它可以看作是对一个空间区域的体积进行加权求和，其中权重由函数值决定。

三重积分的计算可以通过分割区域，将区域内的小体积元素加权求和的方式进行。

三重积分的计算方法三重积分的计算方法有多种，常见的有直角坐标系下的体积法和柱面坐标系下的体积法。

在直角坐标系下，三重积分可以通过将区域分割成小立方体，计算每个小立方体的体积乘以函数值的和来近似计算。

在柱面坐标系下，可以通过将区域分割成小柱体，计算每个小柱体的体积乘以函数值的和来近似计算。

三重积分的应用三重积分在物理学、流体力学、电磁学等领域有广泛的应用。

在物理学中，三重积分可以用来计算空间分布的物理量，如电荷密度、质量分布等。

在流体力学中，三重积分可以用来计算流体的质量、动量和能量等。

在电磁学中，三重积分可以用来计算电场和磁场的分布。

曲线积分曲线积分的概念曲线积分是对向量场沿曲线的积分运算。

曲线、曲面积分与定积分、重积分的关系作者：李雪峰
来源：《文理导航·教育研究与实践》 2018年第12期
【摘要】定积分、重积分、曲线与曲面积分是积分学的重要组成部分，它们之间有着千丝万缕的联系。

本文将重点阐述曲线、曲面积分与定积分、重积分的关系。

【关键词】曲线积分；曲面积分；定积分；重积分；关系从定义上看，它们都是通过“大化小，常代变，近似和，取极限”这四步得到一个特殊和式极限的形式，而这一形式可以统一写成：
前面我们分别介绍了第一类曲线积分与定积分，第二类曲线积分与定积分、二重积分，第一类曲面积分与二重积分，第二类曲面积分与二、三重积分的关系。

而书中又介绍了两类曲线积分之间的关系和两类曲面积分之间的关系，还有斯托克斯公式又说明了曲线与曲面积分的关系。

综上所述，充分说明了虽然曲线、曲面积分与定积分、重积分它们有着不同的定义、积分域与计算方法，但同时又有着密不可分的关系。

它们之间的转化真是妙趣无穷。

【参考文献】
[1]同济大学数学系编.高等数学（第六版）下册[M].北京：高等教育出版社，2007。

定积分、二重积分、三重积分、曲线和曲面积分统称为黎曼积分，是高等数学研究的热点。

定义了定积分、二重积分、三重积分、曲线积分和曲面积分的划分、逼近、求和、极值等概念。

最后，将它们简化为特定结构和公式的限制。

定义可以用统一的形式给出：从上述积分的概念形式和计算方法来看，定积分的积分区域是线性的，二重积分的区域是平坦的，三重积分的区域是主体。

上述三种积分的概念、性质和计算方法是相似的，在逼近过程中，得到的点是积分曲线或积分曲面上满足曲线或曲面方程的点。

因此，曲线和曲面积分转化为定积分或二重积分的方法可以用来计算曲线和曲面积分。

曲面积分的形式如下：\begin{equation*}\int{S}\stackrel→{F}·d\overArrowRow{a}\end{equation*}这意味着在向量场中，我们需要对向量场中的曲面s进行积分，D/stacklel→{a}表示曲面上任何一点垂直于Δs方向的方向向量（Δs代表微分曲面上的任何点），即它只代表一个方向。

二者之间的数学关系是点乘，点乘的结果是矢量在垂直于Δs方向（即右箭头{a}）上任何一点的分量向量。

最后，利用{f}·D{a}对整个曲面进行积分，即不断增加曲面上每个点的点乘结果。

求某向量场中曲面s上垂直于Δs方向的所有子向量之和。

换句话说，曲面积分表示向量场{f}与曲面s相交的程度，因此，它也被生动地称为通量。

在这里，我们可以说明为什么麦克斯韦方程组的积分形式的二重积分也被称为电通量和磁通量。

根据点乘的几何定义，由于{f}与{a}D/stacklel→{a}之间存在点积\超右箭头{a}·\overarrowRow{b}=|\overarrow{a}| | \\ overArrowRow{b}| cos\theta\qquad（0≤\theta≤\pi）如果stacklel→{f}与s平行，则所有向量的方向垂直于{overarrowRow}的{a}，则cos ＜theta=cos（＜pi/2）=0，其中点积为0，表面积为0。

课题项目： 高等数学分层分类教学与新媒体辅助 教学探索。 项 目 编 号 ：2017JGZX07。
(通联：郑州科技学院基础部)
26 2019 第 3 期 下 （总 第 295 期 ）
Z HONG GUO NONG CUN JIAO YU
高等数学中五类积分之间的关联
王 涛 席祥祥
本文针对高等数学教学过程中的定积 分概念，利用密度函数与求不同几何物体的 质量，引入五类不同类型的积分定义与概 念，力求学生易于理解和掌握定积分概念。
一、引言 定积分是高等数学在最重要的基本内 容，但冗长的定义和难以理解的内涵往往 使学生望而生畏。本通过求不同几何物体 的质量，对高等数学中的五类积分的概念 进行分析和阐述，以期使学生易于理解和 掌握五类积分的基本概念和内涵。 二、五类抽象的积分 在高等数学教材中，分别有定积分、重 积分、线积分和面积分。我们通过对不同几 何形状和不同维数的物体求质量的问题， 引入如下问题： 问题 1：设有一直线型构件 ，其 放 在平 面 直 角坐 标 系 的 轴 上 所 占 区 间 为 [a，b]，且 其 线 密 度 ρ（x）在 [a，b]上 连 续 ，问 该 构 件 的 质量为多少？ 问题 2:（平 面 型构 件 的 质量 ）已 知 某平 面型构件在 xoy 面所占区域为 D，且 面 密 度 ρ（x，y）在 D 上连续，问如何求该构件的质量？ 问题 3:（空 间 型构 件 的 质量 ）已 知 某物 体 在 o-xyz 直 角 坐 标 系 中 所 占 空 间 区 域 为 Ω，且体 密 度 ρ（x，y，z）在 Ω 上 连 续，问 如 何 求该物体的质量？ 问题 4:（曲 线 型构 件 的 质量 ）已 知 某曲 线型构件在空间直角坐标系中所占空间曲 线为 Γ，且 线 密度 ρ（x，y，z）在 Γ 上 连 续 ，问 如何求该构件的质量？ 问题 5: （曲 面 型构 件 的 质量 ）已 知 某 曲面型构件在空间直角坐标系中所占空间 曲面为 Σ，且 面 密度 ρ（x，y，z）在 Σ 上 连续 ， 问如何求该构件的质量？ 分析上述五个问题会发现它们有一个 共同点，均为求物体质量的问题，不同点只 在于物体的形态以及涉及到的密度形式不 同，但质量计算的思想都是一样的（以下三 种形式之一）： 质量 = 线密度×长度；质量 = 面密 度×面积；质量 = 体密度×体积。 关于问题 1，学生已知的物理知识是密 度恒定来求质量，如：已知线密度 ρ，则质量 m= ρx（其中代表长度），引导学生如何 用已 知的思想来解决未知的事物。于是提出如 下的四部曲： ① 分 割 [a，b]：a=x0 ＜x1 ＜···xn=b，记 Δxi=xi-xi-1 ②近似：（由于 ρ（x）在[a，b]上连续，当 小区间[xi-1，xi]充分小的时候，ρ（x）在该区间

浅谈定积分,二重积分与三重积分求体积
定积分与二重积分、三重积分等概念紧密相关，都涉及到求体积的问题，通过积分计算就可以得出结果。

下面让我们从定积分和二重积分三重积分来进行简单介绍：
一、定积分
定积分是在一定范围内，通过积分函数求出曲线下函数图形及其不等式的面积、曲面及其不等式的体积，称为定积分。

定积分的求解可采用分段积分法、蒙特卡洛法等方法来进行。

二、二重积分和三重积分
二重积分是指两个变量 x 和 y 的变化范围，在范围上内分别做积分。

三重积分则是三个变量 x、y、z 的变化范围，在范围上同时进行积分，通过二重积分或三重积分，可以求出曲面上这个不等式的体积。

三、求体积
利用定积分、二重积分、三重积分求出曲面下给定的不等式的体积，最常用的方法是将曲面拆分成四储较小的子面，由定积分在每个子面上求出面积，然后将子面的面积累加起来就是原曲面的体积。

或者采用蒙特卡洛法准确地求体积，其原理是对给定的曲面，随机地采样得到若干个点，根据点在曲面上不同位置，以其重心为原点绘制出一个小三角形，根据三角形的面积可以求出曲面的体积。

综上，定积分、二重积分、三重积分都是求体积的机制，它们都有一定的特点，可以根据不同的实际情况，来选择较适合的方法来求取曲面的体积。

积分（二重，三重积分，第一类曲线，曲面积分）的定义和性质CH 19 积分(二重，三重积分，第一类曲线，曲面积分)的定义和性质1(重积分的概念n(1) 定义:二重积分表示一种类型和式的极限,limf(,,,),,，三重积分表f(x,y)d,,iii,,,,0,1iDnf(x,y,z)dV示,limf(,,,,,),v,其值均取决于被积函数的对应规则和积分区,iiii,,,,,0,1iD域，而与积分变量的记号无关。

连续是可积的充分条件，二者的不同点是:二重积分的被积函数是定义在平面区域上的二元函数，而三重积分的被积函数是定义在空间区域上的三元函数。

D,f(x,y),0z,f(x,y)(2) 几何与物理意义:当时，表示以曲面为曲顶，以为Df(x,y)d,,,D,,f(x,y)f(x,y,z),0底的柱体体积，或表示以面积密度的平面薄片的质量。

当，D,,f(x,y,z)f(x,y,z)dV表示体密度的空间立体的质量。

,,,,D(3) 性质:重积分具有与定积分类似的线性性质，对区域的可加性，积分不等式，以及积分中值定理。

2(第一类曲线积分与第二类曲线积分的定义(1) 由曲线形构件的质量问题引入对弧长的曲线积分，其定义简记为n,limf(,,,),S f(x,y)ds,iii,,,0,1ilf(x,y)ll其中函数在曲线上有定义切有界，是对的任意分割下的段的长度，i,SS,0ii,,max{,S}。

i1,i,n(2) 由求变力沿曲线所作功等问题，可引入对坐标的曲线积分(第二类曲线积分)的概念，其定义简记为n,limP(,,,),x P(x,y)dx,iii,,,0,1iln,limQ(,,,),y Q(x,y)dy,iii,,,0,1il,ll ，的意义同前，，为小弧段在坐标轴上的投影，其正负与的方向有关。

,x,yii3(两类曲面积分的定义(1) 由计算曲面片的质量问题引入对面积的区面积分，其定义简记为nf(x,y,z)dS ,limf(,,,,,),S ,iiii,,,,0,1i,f(x,y,z)其中在曲面上有定义，是的任意分割下第块的面积(，)i,S,,S,0ii ,,max{,S的直径}。

二重积分第一类曲面积分第二类曲线
二重积分（第一类）和曲面积分（第二类）是数学中的两个重要概念，分别与曲线和曲面上的函数相关。

1. 二重积分（第一类）：
二重积分是对平面上的函数进行积分的一种方法。

它用于计算平面区域内函数在该区域上的总体积、质量、重心等物理量。

第一类表示积分变量是平面上的面积元素，通常用两个变量表示。

例如，对于函数f(x, y)，在平面区域D 上的二重积分可以表示为∬D f(x, y) dA。

2. 曲面积分（第二类）：
曲面积分是对曲面上的函数进行积分的一种方法。

它用于计算曲面上的流量、电荷、质量等物理量。

第二类表示积分变量是曲面上的面积元素，通常用参数方程表示。

例如，对于函数f(x, y, z)，在曲面S 上的曲面积分可以表示为∬S f(x, y, z) dS。

3. 第一类曲线积分：
第一类曲线积分是对曲线上的函数进行积分的一种方法。

它用于计算曲线上的长度、质量、功等物理量。

第一类表示积分变量是曲线上的弧长元素，通常用参数方程表示。

例如，对于函数f(x, y, z)，在曲线C 上的第一类曲线积分可以表示为∮C f(x, y, z) ds。

总之，二重积分（第一类）和曲面积分（第二类）分别应用于平面和曲面上的函数积分，而第一类曲线积分用于曲线上的函数积分。

它们在数学和物理学等领域具有广泛的应用。

曲线积分和二重积分的区别
一般从几何意义上说，二重积分求的是曲面下方和xy平面围成的区域的代数体积。

就如同一元的定积分是曲线和坐标轴围成的曲边梯形的代数面积一样。

而曲面积分，顾名思义，曲面上的积分，不论第一型第二型，都是曲面上做的积分，具体的说，曲面本身就是一个“弯曲的”空间，在这个空间上有他的标架，你在这里面求积分。

这个曲面你“拉直”一些（数学上是做适当的参数变换，表示成适当的参数形式），变成“平直”的空间（也就是变成regular form），最后可以化成一个重积分进行计算。

其实这样看过来，重积分就是一种特别的第一型曲面积分，这个曲面是“平直”的欧式空间而已。

题主问二重积分，那就想象一块平直的板子，每一点处的密度由题主所说的二元函数决定，这个函数就是这块板子的密度函数，这个二重积分就是这块板子的重量。

第一型曲面积分那就是更一般，在一块儿弯弯曲曲的板子上做积分。

第二型曲面积分，那是对向量值函数的积分了。

定积分与曲线积分的区别与联系
x
定积分与曲线积分的区别与联系
定积分和曲线积分是数学中研究几何问题的有效方法，它们之间有很大的区别和联系。

定积分的定义为：定积分是求函数关于某一变量的积分，也就是求某一变量的增量和函数值乘积的累积和。

定积分利用变量取值进行求积分，其结果表现为一个定值，它可以用来求函数在某个区间上的积分值。

曲线积分的定义为：曲线积分是求曲线上某一点到某一点的函数值的积分。

曲线积分是求一个曲线上某一点到某一点的函数值的积分，它可以求出曲线在某一段区间上的积分值。

定积分与曲线积分有着诸多不同之处，首先，定积分是求给定变量x的增量和函数值乘积的累积和，而曲线积分是求曲线上某一点到某一点的函数值的积分。

其次，定积分的结果是一个定值，而曲线积分的结果是曲线在某一段区间上的积分值。

最后，定积分求的是变量的积分，而曲线积分求的是曲线上的积分。

定积分与曲线积分也有着诸多关系，首先，定积分和曲线积分均属于数学中的积分计算，它们的主要目的是求函数的积分值。

其次，定积分和曲线积分可以相互结合使用，如果某个函数先用定积分分段计算后，再用曲线积分计算，则可以取得更精确的结果。

最后，定积分和曲线积分都可以用于解决复杂的几何问题。

总之，定积分和曲线积分都是数学中研究几何问题的有效方法，它们之间有着千丝万缕的联系，在求解复杂的几何问题时，它们可以相辅相成，取得更为准确的结果。

第一一型曲面面积分 1.概念 2.性质.3 对称性 4 计算 5 技巧应用用 1.概念：物理理意义：以f（x，y）为面面密度的空间光滑曲面面的质量量 注意 1第一一型曲面面积分是由二二重积分推广广而而来，二二重积分定义在二二维平面面，第一一型曲面面积分定义在空间曲面面上。
2.dS>0 3.f(x,y,z)是一一个伪三元——f(x,y,z(x,y))
第一一型曲线积分：1.概念2.性质.3.对称性4.计算.5.技巧应用用 1.概念：物理理意义，以f（x，y，z）为线密度的（平面面）空间光滑曲线的质量量 注意 1.第一一型曲线积分是定积分的推广广，定积分定义（积分区域）在“直线段” 而而第一一型曲线积分定义在“曲线段” 2.ds>0，ds具体意义，弧微分。 3.f(x,y)是一一个伪二二元，f(x,y(x)) 2.性质：类比比二二重积分，三重积分（7个，这里里里只写第一一个） ! 求空间曲线的⻓长度（弧⻓长） 3.对称性：普通对称性，轮换对称性 4.计算（牢记：将边界方方程带入入）3种方方法——直接化成定积分，对称性，形心心公式逆用用 直接化成定积分（因其是定积分推广广的）主要是一一投二二代三计算 计算弧微分ds有空间曲线（参数式，对于空间曲线，只能求参数式）与平面面曲线（一一般式，参数式，极 坐标式） 5.技巧应用用： ! 注意将边界方方程带入入被积函数中（因其积分区域为边界） " 普通对称性与轮换对称性 # 形心心公式逆用用 Note：注意，若曲线是空间曲线，则要将其化成参数式，才能用用一一投二二代三计算
先一一后二二投影穿线法，先二二后一一平行行行截面面法（主要适用用于1.如只含有z的f（z）2.截面面为椭圆，圆，三⻆角 形，好求面面积） " 柱坐标 （说白白了了，就是直⻆角坐标的极坐标化）：投影区域极坐标化（先一一后二二投影穿线法） 截面面区域极坐标化 （先二二后一一平行行行截面面法）注意x，y，z的转化，dv的转化，定限注意区分投影区域与截面面区域 # 球坐标： 一一个过程（组合拳），——定三个变量量上下限， 两个记忆——x，y，z的转化与dv的转化 6.技巧应用用 $ 对称性 1.普通对称性与轮换对称性 % 形心心公式逆用用 & 平移变换——将偏心心球化成关于坐标面面对称的标准球 注：1.二二重积分与三重积分的积分区域不不仅是边界还有内部，故无无法把积分区域带入入。 2.直⻆角坐标中先二二后一一平行行行截面面法的适用用于1.如只含有z的f（z）2.截面面为椭圆，圆，三⻆角形，好求面面积 3.柱面面坐标的适用用：1.积分区域为旋转体，如柱体，锥体，旋转抛物体 2.被积函数，出现两个平方方和 （x2+y2） 4.球面面坐标的适用用：1.积分区域为球体，锥体或其一一部分2.被积函数为三个平方方和 5.注意一一个三重积分的常用用公式

二重积分与三重积分区别都是递进关系，从一重积分开始，只说几何意义吧。

一重积分(定积分)：只有一个自变量y = f(x)当被积函数为1时，就是直线的长度(自由度较大)∫(a→b) dx = L(直线长度)被积函数不为1时，就是图形的面积(规则)∫(a→b) f(x) dx = A(平面面积)另外，定积分也可以求规则的旋转体体积，分别是盘旋法(Disc Method)：V = π∫(a→b) f2(x) dx圆壳法(Shell Method)：V = 2π∫(a→b) xf(x) dx计算方法有换元积分法，极坐标法等，定积分接触得多，不详说了∫(α→β) (1/2)[A(θ)]2 dθ = A(极坐标下的平面面积)二重积分：有两个自变量z = f(x，y)当被积函数为1时，就是面积(自由度较大)∫(a→b) ∫(c→d) dxdy = A(平面面积)当被积函数不为1时，就是图形的体积(规则)、和旋转体体积∫(a→b) ∫(c→d) dxdy = V(旋转体体积)计算方法有直角坐标法、极坐标法、雅可比换元法等极坐标变换：{ x = rcosθ{ y = rsinθ{ α≤θ≤β、最大范围：0 ≤θ≤ 2π∫(α→β) ∫(h→k) f(rcosθ，rsinθ) r drdθ三重积分：有三个自变量u = f(x，y，z)被积函数为1时，就是体积、旋转体体积(自由度最大)∫(a→b) ∫(c→d) ∫(e→f) dxdydz = V(旋转体体积)当被积函数不为1时，就没有几何意义了，有物理意义等计算方法有直角坐标法、柱坐标切片法、柱坐标投影法、球面坐标法、雅可比换元法等极坐标变化(柱坐标)：{ x = rcosθ{ y = rsinθ{ z = z{ h ≤ r ≤ k{ α≤θ≤β、最大范围：0 ≤θ≤ 2π∫(α→β) ∫(h→k) ∫(z?→z?) f(rcosθ，rsinθ，z) r dzdrdθ极坐标变化(球坐标)：{ x = rsinφcosθ{ y = rsinφsinθ{ z = rcosφ{ h ≤ r ≤ k{ a ≤φ≤ b、最大范围：0 ≤φ≤π{ α≤θ≤β、最大范围：0 ≤θ≤ 2π∫(α→β) ∫(a→b) ∫(h→k) f(rsinφcosθ，rsinφsinθ，rcosφ) r2sin2φ drdφdθ所以越上一级，能求得的空间范围也越自由，越广泛，但也越复杂，越棘手，而且限制比上面两个都少，对空间想象力提高了。

2016考研数学大纲之数二考试范围考研数学让每一个要看数学的同学畏惧，尤其是对数学不好的同学，或许这其中就有选择考数二的原因，为什么呢？那是因为考数学二的同学，不需要复习概率，可以让自己轻松一点，心里偷偷的在笑，不过复习数二仅仅开心这一点还不够，要是你知道2016年对数学二的要求后你会更开心，下面我就来看看数二的考试范围吧！数二不考的内容：三重积分，曲线曲面积分，无穷级数（包括傅里叶级数），向量代数与空间解析几何，多元函数微分学中方向导数和梯度、空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线，导数的经济应用，定积分的经济应用，无界区域上简单的反常二重积分，常微分方程中的、全微分方程、欧拉方程、差分方程。

数二考的内容：导数应用中的曲率和曲率圆，导数的物理应用，定积分中有理函数的积分、三角函数的有理式积分、简单无理函数的积分，旋转体的侧面积与曲线弧长，平行截面积为已知的立体体积，定积分的物理应用（功，引力，压力，质心，形心等），可降阶的微分方程，高于二阶的某些常系数齐次线性方程，微分方程的物理应用。

这里没有提到的都是数学一二三共同考的，就不在赘述了，希望可以帮助到你。

2016年考研分析数学大纲之概率（一）佟庆英——数学教研室考研数学只有数学一和数学三还有我们的396经济联考会考察概率论与数理统计，下面凯程数学教研室带你一起来看看考研中的概率。

准确的说考研中概率分为概率论和数理统计两部分。

在这两部分之前我们必须认真研究概率的前沿——随机事件和概率。

在大纲中我们首先来研究一下数学一和数学三中前沿。

先来看看考试内容，主要考察随机事件与样本空间，事件的关系与运算，完备事件组，概率的概念，概率的基本性质。

古典型概率，几何型概率，条件概率，概率的基本公式，事件的独立性和独立重复试验。

对于上述内容并不是我们考研概率中的重点，只需要简单了解考试对这部分的要求即可，即1.了解样本空间（基本事件空间）的概念，理解随机事件的概念，掌握事件的关系及运算。

二重积分和曲线曲面的关系
在数学中，二重积分和曲线曲面之间存在着密切的关系。

二重积分是曲线或曲面上函数的平均值的推广，而曲线曲面则是在三维空间中描述函数变化的对象。

对于一个平面曲线，可以使用一重积分来计算其长度、弧长等性质。

一重积分是对曲线上函数的积分，表示函数在曲线上的加权累积。

例如，如果要计算曲线上一段距离为Δs的弧长，可以将弧长元素ds表示为函数f(x)对x的积分：
Δs = ∫ ds = ∫ √(1 + (dy/dx)²) dx
其中，dy/dx表示曲线的斜率。

而对于一个曲面，如一个闭合曲面或一个简单曲面，可以使用二重积分来计算其面积、体积等性质。

二重积分是对曲面上函数的积分，表示函数在曲面上的加权累积。

例如，如果要计算曲面上一片面积为ΔA的面积，可以将面积元素dA表示为函数f(x, y)对x和y的积分：
ΔA = ∬ dA = ∬ √(1 + (∂z/∂x)² + (∂z/∂y)²) dx dy
其中，(∂z/∂x)和(∂z/∂y)表示曲面在x和y方向的斜率。

因此，可以看出二重积分和曲线曲面之间存在着紧密的联系，二者都是对函数在一定区域上的累积性质的描述。

同时，通过二重积分可以计算曲线和曲面的长度、面积、体积等性质。

2016考研数学：定积分、二重积分、三重积分以及曲线、曲面积分的
联系和区别
定积分、二重积分、三重积分以及曲线、曲面积分统称为黎曼积分，是高等数学研究的重点内容，下面文都考研数学老师帮大家总结一下各种积分的概念和计算方法，便于大家复习时深刻理解它们之间的联系和区别。

定积分、二重积分、三重积分以及曲线、曲面积分它们的定义都是经过分割、近似、求和、去极限四步最后归结为一个特定结构和式的极限值，定义可以用统一形式给出：。

Pdydz Qdzdx Rdxdy

( P cos Q cos R cos )dS

理论上的联系
1.定积分与不定积分的联系（牛顿--莱布尼茨公式）

b
a
f ( x )dx F (b) F (a )
( F ( x ) f ( x ))
2.二重积分与曲线积分的联系（格林公式）

x d x d y d z
x d x
0 1
1 (1 x ) 2
0
0
1 x 2 y
dz
(1 x 2 y )d y
1 1 1 2 3 ( x 2 x x )d x 4 0 48
(２) 柱面坐标
x r cos , y r sin , z z.
O
1 x2 x
Y－型区域为：
c yd D ( x, y ) y 1 ( y) x y 2 ( y)
y
特点：平行于x轴的直线与区域边界交点不多于两个.
d
x=y1(y)
x=y2(y)
c
x
y
y 2 ( y)
1 ( y)
f ( x, y ) d x
例1. 计算 I x yd , 其中D 是直线 y＝1, x＝2, 及
0 i 1
n
L P( x, y)dx Q( x, y)dy
n 0 i 1
lim [ P ( i , i )xi Q( i , i )yi ]
L Pdx Qdy L ( P cos Q cos )ds

L
计
f ( x , y )ds

曲线、曲面积分与定积分、重积分的关系
积分是微积分学中最基础的概念，它涉及数学定义、计算方法以及引入空间等概念。

积分可以分为定积分和变积分，其中定积分主要围绕计算定义域中某函数的固定曲线或曲面的线长或面积，而变积分则涉及重积分的概念。

定积分所涉及的概念即是求定义域[a, b]中某函数f(x)在定义域上某条具体曲线或曲面（例如圆、椭圆等）的线长或面积，注意此时函数f(x)已被给定，而无需进行求解和求导等运算，并且可以采用特定的定积分算法（例如梯形积分、抛物积分等）来实现计算。

变积分涉及的概念则和变量多变，其通常指在定义域[a, b]上求函数f(x)的一阶、二阶及其他阶的重积分，通过计算f(x)对x的导数和次导数等，最终算求函数在定义域上某条曲线或曲面的线长或面积。

此外，变积分也可以把问题转化为定积分，从而采取特定的定积分算法实现计算。

从上文概述中可以看出，定积分主要围绕求某函数在定义域中某特定曲线或曲面上的线长或面积，而变积分则涉及函数f(x)的重积分，把求解的问题转化到求解定积分的问题上。

最后，由于重积分可以被视作是定积分的一种特殊形式，因此可以将二者统一起来，将积分一般化到定积分和变积分之间。

设各分点对应参数为 对应参数为
ti t i 1
点 ( i , i ) 即 ( i ,i ) ( ( i ), ( i ))
si
2 2 (t ) (t ) d t
2 2 ( i ) ( i ) t i ,
2 2 2 a k M d s L的质量 L
设重心坐标为 ( x , y , z )
有
2 1 2 2 a a k cos t d t 0 0 M
2 1 2 2 a a k sin t d t 0 0 M 2 1 2 2 k a k t d t 0 M
4R 2 2 R cos R d l 0 3
z
i k
i
c
i 1
k
f i ( x , y ) d s ci f i ( x , y ) d s
i 1 L
2. 若曲线 L 由曲线段 L1 , L2, …, Lk首尾相接而成，
且

Li
f ( x , y ) d s i = 1, 2, …, k 都存在，则 L f ( x , y ) d s
f ( x, y ) ds f [ (t ), (t )] 2 (t ) 2 (t ) d t f ( x, y ) ds f ( x, ( x) ) 1 2 ( x) d x a
b

• 对光滑曲线弧
• 对光滑曲线弧
L f ( x, y)ds
f (r ( ) cos , r ( ) sin ) r 2 ( ) r 2 ( ) d
x
0 1
y
y x2
B(1 , 1)