线面垂直的判定定理(公开课)复习进程

线面垂直判定定理解析稿简介本文档旨在解析线面垂直判定定理，介绍其概念、原理和应用。

线面垂直判定定理是几何学中的基本定理之一，它描述了直线和平面之间的垂直关系。

通过理解和应用该定理，我们可以在几何问题中判断直线和平面是否垂直，从而解决相应的几何问题。

定理表述线面垂直判定定理表述如下：定理：如果一条直线与一个平面垂直，则它在该平面上的任意一条垂线也垂直于该平面。

如果一条直线与一个平面垂直，则它在该平面上的任意一条垂线也垂直于该平面。

定理证明定理的证明可以通过反证法进行。

假设直线与平面垂直，但存在一条直线在该平面上的垂线不垂直于该平面。

根据垂直的定义，直线与平面垂直时，它在该平面上的任意一条垂线都应该垂直于该平面。

因此，我们得出矛盾，假设不成立。

所以，定理得证。

定理应用线面垂直判定定理在实际问题中有广泛的应用。

以下是一些应用示例：1. 判断直线与平面的垂直关系通过使用线面垂直判定定理，我们可以判断一条直线与给定平面是否垂直。

这对于解决几何问题中的垂直关系非常有用。

2. 求解垂直平面的交点当我们已知一条直线与一个垂直平面相交时，我们可以使用线面垂直判定定理来确定交点的位置。

这有助于我们确定几何图形的具体位置。

3. 证明几何性质线面垂直判定定理可以用于证明其他几何性质。

通过将垂直关系引入证明过程，我们可以得出更多的结论和性质。

结论线面垂直判定定理是几何学中的重要定理，它描述了直线和平面之间的垂直关系。

通过理解和应用该定理，我们可以解决与直线和平面垂直关系相关的几何问题，并得出更多的几何性质和结论。

在实际应用中，我们可以利用该定理进行判断、求解和证明，从而解决复杂的几何问题。

高中数学线面垂直试讲教案
一、教学目标
1. 知识目标：
（1）掌握线面垂直的定义；
（2）学会判断线面垂直的条件；
（3）能够解题应用线面垂直的性质。

2. 能力目标：培养学生分析问题、解决问题的能力。

3. 情感目标：激发学生对数学的兴趣，提高学生对数学的自信心。

二、教学重点与难点
1. 教学重点：线面垂直的定义和性质的理解及应用。

2. 教学难点：线面垂直的条件判断。

三、教学过程
1. 导入
通过一个简单的问题引入线面垂直的概念，如柱体的侧面和底面之间的关系。

2. 理论学习
（1）引出线面垂直的定义；
（2）讲解线面垂直的条件判断；
（3）列举几个具体的例题，让学生理解并掌握线面垂直的性质。

3. 实例演练
让学生通过实例练习来加深对线面垂直性质的理解和掌握。

4. 错题讲解
对学生在实例演练中出现的错误进行解答和讲解，帮助学生纠正错误思路。

5. 拓展应用
引入一些更有挑战性的问题，让学生进行思考和解答，提高学生在应用线面垂直性质时的灵活性。

6. 总结和展望
对本节课内容进行总结，并展望接下来的学习内容，激发学生的学习热情。

四、板书设计
1. 线面垂直的定义
2. 线面垂直的条件
3. 线面垂直的性质和应用
五、布置作业
布置相关练习题让学生进行巩固和复习。

六、教学反思
通过学生的表现和反馈来评估本节课的教学效果，及时调整教学方式和内容，为下一节课的教学做好准备。

线面垂直●知识点1.直线和平面垂直定义 如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，就说这条直线和这个平面垂直.2.线面垂直判定定理和性质定理 判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面. 判定定理：如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一平面. 判定定理：一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面. 性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行.●题型示例【例1】 如图所示，已知点S 是平面ABC 外一点，∠ABC =90°，SA ⊥平面ABC ，点A 在直线SB 和SC 上的射影分别为点E 、F ，求证：EF ⊥SC .【规范解答】【例2】 已知：平面M ∩平面N =AB ,PQ ⊥平面M 于Q ，PO ⊥平面N 于O ，OR ⊥平面M 于R ，求证：QR ⊥AB .例1题图【例3】 已知如图(1)所示，矩形纸片AA ′A ′1A 1,B 、C 、B 1、C 1 分别为AA ′,A 1A ′的三等分点，将矩形纸片沿BB 1,CC 1折成如图(2)形状（正三棱柱），若面对角线AB 1⊥BC 1，求证:A 1C ⊥AB 1.【例4】 空间三条线段AB ,BC ,CD ,AB ⊥BC ,BC ⊥CD ,已知AB =3,BC =4,CD =6,则AD 的取值范围是 .例3题图解(1) 例4题图●对应训练 分阶提升一、选择题1.设M 表示平面，a 、b 表示直线，给出下列四个命题：①M b M a b a ⊥⇒⎭⎬⎫⊥// ②b a M b M a //⇒⎭⎬⎫⊥⊥ ③⇒⎭⎬⎫⊥⊥b a M a b ∥M ④⇒⎭⎬⎫⊥b a M a //b ⊥M . 其中正确的命题是 ( )A.①②B.①②③C.②③④D.①②④2.下列命题中正确的是 ( )A.若一条直线垂直于一个平面内的两条直线，则这条直线垂直于这个平面B.若一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，则这条直线垂直于这个平面C.若一条直线平行于一个平面，则垂直于这个平面的直线必定垂直于这条直线D.若一条直线垂直于一个平面，则垂直于这条直线的另一条直线必垂直于这个平面3.如图所示，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、BC 的中点.现在沿DE 、DF 及EF 把△ADE 、△CDF 和△BEF 折起，使A 、B 、C 三点重合，重合后的点记为P .那么，在四面体P —DEF 中，必有 ( )A.DP ⊥平面PEFB.DM ⊥平面PEFC.PM ⊥平面DEFD.PF ⊥平面DEF4.设a 、b 是异面直线，下列命题正确的是 ( )A.过不在a 、b 上的一点P 一定可以作一条直线和a 、b 都相交B.过不在a 、b 上的一点P 一定可以作一个平面和a 、b 都垂直C.过a 一定可以作一个平面与b 垂直D.过a 一定可以作一个平面与b 平行5.如果直线l ,m 与平面α,β,γ满足:l =β∩γ,l ∥α,m ⊂α和m ⊥γ,那么必有( )A.α⊥γ且l ⊥mB.α⊥γ且m ∥βC.m ∥β且l ⊥mD.α∥β且α⊥γ6.AB 是圆的直径，C 是圆周上一点，PC 垂直于圆所在平面，若BC =1,AC =2,PC =1，则P 到AB 的距离为 ( ) A.1 B.2 C.552 D.553 7.有三个命题：①垂直于同一个平面的两条直线平行；②过平面α的一条斜线l 有且仅有一个平面与α垂直；第3题图③异面直线a 、b 不垂直，那么过a 的任一个平面与b 都不垂直其中正确命题的个数为 ( )A.0B.1C.2D.3二、填空题1.如图所示，△ABC 是直角三角形，AB 是斜边，三个顶点在平面α的同侧，它们在α内的射影分别为A ′，B ′，C ′，如果△A ′B ′C ′是正三角形，且AA ′＝3cm ，BB ′＝5cm ，CC ′＝4cm ，则△A ′B ′C ′的面积是 .三、解答题 1.如图所示，PA ⊥矩形ABCD 所在平面，M 、N 分别是AB 、PC 的中点.(1)求证：MN ∥平面PAD .(2)求证：MN ⊥CD .(3)若∠PDA ＝45°，求证：MN ⊥平面PCD .2.已知直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠ACB =90°,∠BAC =30°,BC =1，AA 1=6，M 是CC 1的中点，求证：AB 1⊥A 1M ．第15题图。

线面垂直判定定理教案简介本教案旨在教授学生如何判定两个几何图形中的线段和面是否垂直。

学生将研究使用线面垂直判定定理来解决此类问题。

本教案适用于中学数学教育。

目标- 理解线面垂直判定定理的概念和原理- 能够应用线面垂直判定定理来判断线段和面的垂直关系- 解决实际问题时能够运用线面垂直判定定理教学内容1. 线面垂直判定定理的定义和表述- 线面垂直判定定理指出，如果一条线段与一个平面垂直相交，那么这条线段上的任意一条线都与这个平面垂直相交。

2. 线面垂直判定定理的证明- 通过几何图形和推理，证明线面垂直判定定理的正确性。

3. 判断线面垂直的方法- 学生将研究如何判断给定的线段和平面是否垂直相交。

教师将提供一些示例问题，引导学生运用线面垂直判定定理来解决。

4. 实际问题的应用- 学生将解决一些实际问题，例如判断建筑物的柱子是否与地面垂直相交等，以应用线面垂直判定定理。

教学步骤1. 引入线面垂直判定定理的概念- 教师将简要介绍线面垂直判定定理的概念，并提出一个简单的问题，引发学生思考。

2. 讲解线面垂直判定定理的定义和原理- 教师将详细讲解线面垂直判定定理的定义和原理，帮助学生理解其中的关键概念和推理过程。

3. 展示线面垂直判定定理的证明- 教师将通过几何图形和推理，展示线面垂直判定定理的证明过程，加深学生对该定理的理解和信任。

4. 指导学生判断线面垂直的方法- 教师将提供一些示例问题，引导学生应用线面垂直判定定理来判断线段和平面的垂直关系。

教师将指导学生分析问题，找出关键信息，并运用定理进行判断。

5. 解决实际问题- 教师将提供一些实际问题，让学生运用线面垂直判定定理来解决。

学生将应用所学的知识和技巧，分析问题并给出合理的判断。

6. 总结和讨论- 教师将对本节课的内容进行总结，并与学生讨论他们对线面垂直判定定理的理解和应用。

教学评估1. 练题- 学生将完成一些练题，以评估他们对线面垂直判定定理的理解和应用能力。

直线与平面垂直的判定和性质教学目标：1．理解线面垂直的定义，总结线面垂直的判定方法和性质，形成系统的知识结构；2．树立数学定理即数学模型的意识，能从实际问题情境中找到符合定理模型的基本元素，从而解决问题，提高数学建模和直观想象素养；3．通过应用定理解决实际问题，进一步强调等价转换和“降维”思想，体会数学定理作为一种基本模型的应用价值，提高逻辑推理素养；4．通过“鳖臑”的引入，体会我国古代数学家对人类的数学贡献，增强民族自信和民族自豪感。

教学重点与难点：1．从具体几何问题中分离出定理模型并找到符合定理模型的基本元素，解决问题；2．在解决问题时，渗透“立体问题平面化”的“降维”处理，培养学生的等价转换思想。

教学内容与过程：一、构建知识框架1.线面垂直的定义什么样的直线和平面是垂直关系呢？直线l与平面α内的任一条直线都垂直，则直线l与平面α垂直，此时直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面。

2.判定直线和平面垂直的方法（文字语言、符号语言、图形语言三种形式表达）如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.们为什么选定了这些作为定理呢？其实他们都是立体几何问题中的基本模型，我们在遇到复杂的几何问题时，都可以分离出这些基本的定理模型。

我们通过这节课的学习，就是要能够在具体问题中，确定需要的定理模型，并找到符合定理模型的基本元素，从而得到我们需要的结论。

4.牛刀小试我们掌握了那么多线面垂直的判定方法，现在就试着在图形中找找互相垂直的直线和平面有哪些吧。

如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为矩形，侧棱PD ⊥底面ABCD ,且PD =CD ,点E 是PC 的中点．你还能发现哪些线面垂直关系？对于这样简单的几何体，我们很快就可以从中看出定理模型，找到模型中所需的元素，得到想要的结论，那么我们在这个图上继续构造，让图形复杂起来，继续探究其中的垂直关系。

二、例题分析例. 如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为矩形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，且PD=CD ，E 是PC 的中点，EF ⊥PB ，垂足为F ，连接DE ,DF ,BD ,BE . （1）求证：PB ⊥平面DEF ；（2）试判断：四面体BDEF 中有几个面是直角三角形，并指出其中的直角；（3）设M 、N 分别为AD 、PB 的中点，连接MN ，MC ，NC ，求证：平面CMN ⊥平面PBC .引导分析：（1）要证明PB ⊥平面DEF ，你选择哪个模型？（“线面垂直判定定理”模型）模型中已经有哪个条件具备了？（已经有“EF ⊥PB ”）还缺的条件应该从哪里找？（“DF ⊥PB ”（共面垂直：从边长关系，中线长度等平面几何办法入手）)或者“DE ⊥PB ”（异面垂直：从平移成共面或线面垂直入手））。

教学过程设计猜想：是不是一条直线垂直于平面内的两条相交直线，此直线就垂直于该平面呢？2.动手操作——确认定理（学生实验）请同学们拿出一块三角形纸片，我们一起做一个试验：过三角形的顶点A翻折纸片，得到折痕AD（如图1），将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD、DC与桌面接触）问题1：（1）折痕AD与桌面垂直吗？（2）如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的平面垂直？问题2：在你翻折纸片的过程中，纸片的形状发生了变化，这是变的一面，那么不变的一面是什么呢？（可从线与线的关系考虑）如果我们把折痕抽象为直线，把BD、CD抽象为直线，把桌面抽象为平面(如图3)，那么你认为保证直线与平面垂直的条件是什么？问题3：根据上面的试验，结合两条相交直线确定一个平面的事实，你能给出直线与平面垂直的方法吗？（学生总结归纳）定理：（1）文字语言：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直（2）图形语言：（3）符号语言：,,,a b a b Oll a l bααα⊂⊂=⎫⇒⊥⎬⊥⊥⎭3.质疑反思——深化定理辨一辨：如果一条直线①与三角形的两边垂直；②与梯形两边垂直；那么直线是否与上述图形所在平面垂直？通过试验，引导学生独立发现直线与平面垂直的条件，培养学生的动手操作能力和几何直观能力，让学生在观察、对比和反思中，较快地对数学定理有一个感性认识。

引导学生根据直观感知及已有知识经验，进行合情推理，获得线面垂直判定定理。

通过辨析，强化定理中“两条相交直线”的条件。

教学过程设计（四）初步应用线面垂直的判定例1如图5，在长方体ABCD-A1B1C1D1中(1)请列举与平面ABCD垂直的直线；(2)请列举与直线A1A垂直的平面；(3)你还能找出一条与平面D1DBB1垂直的直线吗?思考：如图6，已知，则吗？请说明理由．师生活动：学生思考讨论，教师适时引导（五）练习巩固与升华1、下列命题正确的是（）①如果直线l与平面α内的无数条直线垂直,则l⊥α ;②如果直线l 与平面α内的一条直线垂直,则l⊥α;③如果直线不垂直于α,则α内没有直线与l垂直;④如果平面α内有一条直线与l 不垂直,则直线l 不垂直于平面α;⑤如果直线l 不垂直于α ,则α内也可以有无数条直线与l 垂直。

2.3.1直线与平面垂直的判定教学目标：知识与技能：了解、感受直线与平面垂直的定义；理解线面垂直判定定理。

过程与方法：亲身经历直观感知，操作，探究归纳的数学活动过程，学习“空间问题转化为平面问题”、“无限转化为有限”的化归思想方法，发展合情推理能力。

情感态度与价值观：体会从现实生活的经历与体验出发来学习数学，感受学习数学的乐趣，形成主动学习的态度。

教学重点:线面垂直的定义和判定定理的理解教学难点:线面垂直的判定定理的探究过程教学方法:采用“引导一探究式”教学方法教学工具：几何画板、PPT三角纸片教学过程:一、创设情境，启发定义1•通过复习空间直线与平面的位置关系和举生活实例及多媒体展示，让学生举感知直线与平面相交中线面垂直的位置关系，从而引出课题.2•让学生从与生活有关的直线与平面垂直现象的实例中抽象归纳出直线与平面垂直的定义，并展示随着太阳的东升西落国旗与其投影的关系，引导他们观察国旗与地面所有直线的位置关系，引出直线与平面垂直的定义.二、知识构建（一）直线与平面垂直的定义1•定义：如果直线1与平面〉内的任意一条直线都垂直，我们就说直线1与平面〉互相垂直.记作：1丄° .直线1叫做平面°的垂线，平面°叫做直线1的垂面.直线与平面垂直时, 它们唯一的公共点P叫做垂足。

2.图形语言：3.符号语言：m是平面 '内任a _ m4.重点强调：（“任意一条”，“所有的” “全部的”，“每一条”），并说明“无5.定义的两面性：口是平面'内任一直线1 - m线面垂直U＞线线垂直（二）线面垂直的判定定理1.思考：通过定义我们可以进行线面垂直的判定方便吗？（需要验证平面内的任意一条直线（所有直线）与已知直线垂直，工程浩大不可能而为之•）2.问题：平面〉内有一条直线与平面外的直线1垂直，那么平面是否与直线有两条呢？3.通过试验，探究直线与平面垂直的判定定理准备一个三角形纸片，三个顶点分别记作A, B , C .如图，过△ ABC的顶点叠纸片，得到折痕AD，将折叠后的纸片打开竖起放置在桌面上. （使BD、DC边与桌面接1：折痕AD与桌面一定垂直吗？2:如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的平面:垂直?3:为什么这样折折痕与桌面是垂直的？4:如果改变纸片打开的角度，折痕能与桌面保持垂直吗？5:我们就可以固定由此，你能总结出什么样的结论？让学生在操作过程中，通过不断的追问，最终确认并理解判定定理的条件.最后，引导学生从文字语言、符号语言、图形语言三个方面归纳直线和平面垂直的判定定理. 4.线面垂直的判定定理：文字语言：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直. 图形语言：符号语言.丨丄a ,丨丄b ,a ua ,b ua ,aQb = A=)l丄a强调：线不在多，相交就行（三）例题讲解•那么利用定义来得到直线与平面的垂直，.1垂直?问题问题问题问题问题产面ABD,另一个平面绕AD旋转,例 1.已知：a//b , a \ f.求证：b _ .（由教师在黑板板演并分析求证过程）证明：在平面:内作两条相交直线m , n.*** a 丄",则根据直线与平面垂直的定义知a _ m, a _ n .二b 丄m, bin .又、」m二:A, n二:二,m , n是两条相交直线,（请学生用文字语言将例1表示出来一一如果两条平行线中的一条直线与一个平面垂直，那么另外一条直线也与此平面垂直.然后教师板书其作为线面垂直判定定理的推论）练习1：如图，点P是平行四边形ABCD所在平面外一点,对角线AC与BD的交点，且PA =PC ,PB =PD . 求证：PQL平面ABCD证明：；PA二PC，点o是AC的中点POAC同理可知，PO_BD又叮AC门BD = O ,且AC, BD u平面ABCD.得证PO _平面ABCD练习2:如图，三菱锥P-ABC ,且PA— AC,PA - AB, AC _ BC求证：(1) PA—平面ABC(2) BC—平面PAC（四）总结问题1:通过本节课的学习，你学会了哪些判断直线与平面垂直的方法问题2:在证明直线与平面垂直时应注意哪些问题？问题3:本节课涉及到哪些数学思想和方法？问题4:本节课你还有哪些疑问？（五）布置作业分层作业（六）板书设计（七）教学反思PC。