考虑如下线性规划问题

线性规划题及答案线性规划是一种数学优化方法，用于在给定的约束条件下，寻找一个线性目标函数的最优解。

在实际应用中，线性规划可以用于解决各种决策问题，如生产计划、资源分配、投资组合等。

以下是一个线性规划问题的示例：问题描述：某工厂生产两种产品A和B，每天的生产时间为8小时。

产品A每件需要2小时的加工时间，产品B每件需要3小时的加工时间。

每天的加工时间总共有16个小时。

产品A的利润为100元/件，产品B的利润为150元/件。

工厂的目标是最大化每天的总利润。

解决步骤：1. 定义变量：设产品A的生产数量为x，产品B的生产数量为y。

2. 建立目标函数：目标函数是每天的总利润，即：Z = 100x + 150y。

3. 建立约束条件：a) 加工时间约束：2x + 3y ≤ 16，表示每天的加工时间不能超过16小时。

b) 非负约束：x ≥ 0，y ≥ 0，表示产品的生产数量不能为负数。

4. 求解最优解：将目标函数和约束条件带入线性规划模型，使用线性规划算法求解最优解。

最优解及分析：经过计算，得到最优解为x = 4，y = 4，此时总利润最大为100 * 4 + 150 * 4 = 1000元。

通过最优解的分析可知，工厂每天应生产4件产品A和4件产品B，才能达到每天最大利润1000元。

同时，由于加工时间约束，每天的加工时间不能超过16小时，这也是生产数量的限制条件。

此外，也可以通过灵敏度分析来了解生产数量的变化对最优解的影响。

例如，如果产品A的利润提高到120元/件，而产品B的利润保持不变，那么最优解会发生变化。

在这种情况下，最优解为x = 6，y = 2，总利润为120 * 6 + 150 * 2 = 960元。

这表明，产品A的利润提高会促使工厂增加产品A的生产数量，减少产品B 的生产数量，以获得更高的总利润。

总结：线性规划是一种重要的数学优化方法，可以用于解决各种实际问题。

通过建立目标函数和约束条件，可以将实际问题转化为数学模型，并通过线性规划算法求解最优解。

线性规划常见疑问第一章线性规划常见疑问解答1.线性规划——这一运筹学重要分支的开创者是谁这里，必须谈到两个著名的人物，康托洛维奇和丹捷格。

1939年著名数理经济学者康托洛维奇发表了《生产组织和计划中的数学方法》这一运筹学的先驱性名著，其中已提到类似线性规划的模型和“解乘数求解法”。

但是他的工作直到1960年的《最佳资源利用的经济计算》一书出版后，才得到重视。

1975年，康托洛维奇与T .C . Koopmans 一起获得了诺贝尔经济学奖。

1947年G . B. Dantzig 在研究美国空军军事规划时提出了线性规划的模型和单纯形解法，并很快引起美国著名经济学家Koopmans的注意。

Koopmans为此呼吁当时年轻的经济学家要关注线性规划。

今天，单纯形法及其理论已成为了线性规划的一个重要的部分。

2.线性规划模型的形式是什么目标函数和约束条件都是线性的。

3.线性规划模型的三要素是什么就是资源向量b，价值向量c，系数矩阵A（一般都假设A是满秩的）。

其中，资源向量b表示了稀缺资源的种类和限度；价值向量c反映了单位产品（广义）所创造的收益或形成的成本；而系数矩阵A是现有生产技术、生产工艺、管理水平的具体体现。

只要这三个要素确定了，相应的线性规划模型就确定了。

4.线性规划模型的经济意义何在简言之，线性规划模型对于解决经济学研究的核心问题——资源有效配置有比较重要的意义。

它不仅为宏观或微观的经济研究提供了一个有效的解决问题的平台，而且，（曾经）为经济学家提供了一个解决资源优化配置的新的思路。

不仅如此，线性规划在企业的运作管理、物流管理、财务管理、人力资源管理、战略管理等诸多方面也能为管理者提供科学的决策支持。

5.线性规划的标准形式是怎样的线性规划的标准形式有三个特点：a)约束条件都是等式；b)等式约束的右端项为非负的常数；c)每个变量都要求取非负数值。

下面是线性规划标准形式的一般表达，6.线性规划标准形的向量矩阵形式是怎样的线性规划的标准形式如用向量矩阵形式可简洁表述为：7.在将线性规划的一般形式转化为标准形式时，要注意哪几点要注意两点：一是某一约束条件为“≤”或“≥”形式的不等式时，应“+”一个非负松弛变量或“－”非负松弛变量；二是某个变量不满足非负约束时，这个变量要用一到两个非负的新变量替换，以使标准型中所有的变量均满足非负要求。

线性规划问题一、线性规划问题的基本概念先看几个典型实例 例1 生产计划问题某工厂拥有a 、b 两种原材料生产A 、B 两种产品，现有设备使用限量为8台时，已知每件产品的利润、所需设备台时及原材料的消耗如下表所示：试问：在计划期内应如何安排计划才能使工厂获得的利润最大？解 设x 1、x 2分别表示在计划期内产品A 、B 的产量，则所用设备的有效台时必须满足x 1＋2x 2≤8同样，由原材料的限量，可以得到4x 1≤16，4x 2≤12因此，生产计划就是满足如下约束条件的一组变量x 1、x 2的值：x1＋2x 2≤8， 4x 1≤16，4x 2≤12， x 1≥0，x 2≥0显然，可行的生产计划有限多个，现在问题就是要在很多个可行计划中找一个利润最大的，即求一组变量x 1、x 2的值，使它满足约束条件，并使目标函数L=2x 1＋3x 2的值最大（即利润最大）例2 资金分配问题某商店拥有100万元资金，准备经营A 、B 、C 三种商品，其中A 商品有A 1、A 2两种型号，B 商品有B 1、B 2两种型号，每种商品的利润率如下表所示：在经营中有以下限制：(1)经营A 或B 的资金各自都不能超过总资金的50%； (2)经营C 的资金不能少于经营B 的资金的25%； (3)经营A 2的资金不能超过经营A 的总资金的60%； 试问应怎样安排资金的使用才能使利润最大？解 设经营A 1、A 2、B 1、B 2、C 的资金分别为x 1，x 2,x 3,x 4，x 5（万元），这一问题的数学模型为求一组变量x 1、x 2，…，x 5的值，使它满足 x 1＋x 2＋…＋x 5=100， x 1＋x 2≤50， x 3＋x 4≤50，025x 3＋0.25x 4－x 5≤0 0.6x 1－0.4x 2≥0，x j ≥0 （j=1，2， (5)并使目标函数L=0.073x 1＋0.103x 2＋0.064x 4＋0.075x 4＋0.045x 5的值最大(利润最大)上面我们建立了几个实际问题的数学模型，虽然实际问题各不相同，但是它们的数学模型却有相同的数学形式，这就是：表示约束条件的数学式子都是线性等式或线性不等式，表示问题最优化指标的目标函数都是线性函数，因为约束条件和目标函数都是线性的，所以把具有这种模型的问题称为线性规划问题。

线性规划经典例题引言概述：线性规划是一种运筹学方法，用于解决线性约束条件下的最优化问题。

它在各个领域都有广泛的应用，包括生产计划、资源分配、运输问题等。

本文将介绍几个经典的线性规划例题，以帮助读者更好地理解和应用线性规划方法。

一、生产计划问题1.1 最大利润问题在生产计划中，一个常见的线性规划问题是最大利润问题。

假设一个公司有多个产品，每个产品的生产和销售都有一定的成本和利润。

我们需要确定每个产品的生产数量，以最大化整体利润。

1.2 生产能力限制另一个常见的问题是生产能力限制。

公司的生产能力可能受到设备、人力资源或原材料等方面的限制。

我们需要在这些限制下，确定每个产品的生产数量，以实现最大化的利润。

1.3 市场需求满足除了考虑利润和生产能力，还需要考虑市场需求。

公司需要根据市场需求确定每个产品的生产数量，以满足市场需求，并在此基础上最大化利润。

二、资源分配问题2.1 资金分配问题在资源分配中，一个常见的线性规划问题是资金分配问题。

假设一个公司有多个项目，每个项目需要一定的资金投入，并有相应的回报。

我们需要确定每个项目的资金分配比例，以最大化整体回报。

2.2 人力资源分配另一个常见的问题是人力资源分配。

公司的人力资源可能有限，而各个项目对人力资源的需求也不同。

我们需要在人力资源有限的情况下，确定每个项目的人力资源分配比例，以实现最大化的效益。

2.3 时间分配除了资金和人力资源，时间也是一种有限资源。

在资源分配中，我们需要合理安排时间，以满足各个项目的需求，并在此基础上实现最大化的效益。

三、运输问题3.1 最小成本运输问题在运输领域，线性规划可以用于解决最小成本运输问题。

假设有多个供应地和多个需求地，每个供应地和需求地之间的运输成本不同。

我们需要确定每个供应地和需求地之间的货物运输量，以实现最小化的总运输成本。

3.2 运输能力限制另一个常见的问题是运输能力限制。

运输公司的运输能力可能受到车辆数量、运输距离或运输时间等方面的限制。

简单的线性规划典型例题求不等式｜x－1｜+｜y－1｜≤2表示的平面区域的面积.某矿山车队有4辆载重量为10 t的甲型卡车和7辆载重量为6 t的乙型卡车，有9名驾驶员此车队每天至少要运360 t矿石至冶炼厂.已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次甲型卡车每辆每天的成本费为252元，乙型卡车每辆每天的成本费为160元.问每天派出甲型车与乙型车各多少辆，车队所花成本费最低?参考答案例1：依据条件画出所表达的区域，再根据区域的特点求其面积.｜x－1｜+｜y－1｜≤2可化为或其平面区域如图：或或∴面积S=×4×4=8画平面区域时作图要尽量准确，要注意边界.例2：弄清题意，明确与运输成本有关的变量的各型车的辆数，找出它们的约束条件，列出目标函数，用图解法求其整数最优解.设每天派出甲型车x辆、乙型车y辆，车队所花成本费为z元，那么z=252x+160y，作出不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图作出直线l0：252x+160y=0，把直线l向右上方平移，使其经过可行域上的整点，且使在y轴上的截距最小.观察图形，可见当直线252x+160y=t经过点（2，5）时，满足上述要求.此时，z=252x+160y取得最小值，即x=2，y=5时，zmin=252×2+160×5=1304.答：每天派出甲型车2辆，乙型车5辆，车队所用成本费最低.用图解法解线性规划题时，求整数最优解是个难点，对作图精度要求较高，平行直线系f（x，y）=t的斜率要画准，可行域内的整点要找准，最好使用“网点法”先作出可行域中的各整点.篇二：不等式线性规划知识点梳理及经典例题及解析线性规划讲义【考纲说明】（1）了解线性规划的意义、了解可行域的意义；（2）掌握简单的二元线性规划问题的解法．（3）巩固图解法求线性目标函数的最大、最小值的方法；（4）会用画网格的方法求解整数线性规划问题．（5）培养学生的数学应用意识和解决问题的能力．【知识梳理】简单的线性规划问题一、知识点1. 目标函数: Ｐ＝２ｘ＋ｙ是一个含有两个变量ｘ和ｙ的函数，称为目标函数． 2.可行域:约束条件所表示的平面区域称为可行域. 3. 整点:坐标为整数的点叫做整点．4.线性规划问题:求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，通常称为线性规划问题．只含有两个变量的简单线性规划问题可用图解法来解决．5. 整数线性规划:要求量取整数的线性规划称为整数线性规划．二、疑难知识导析线性规划是一门研究如何使用最少的人力、物力和财力去最优地完成科学研究、工业设计、经济管理中实际问题的专门学科.主要在以下两类问题中得到应用：一是在人力、物力、财务等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务. 1.对于不含边界的区域，要将边界画成虚线．2.确定二元一次不等式所表示的平面区域有多种方法，常用的一种方法是“选点法”：任选一个不在直线上的点，检验它的坐标是否满足所给的不等式，若适合，则该点所在的一侧即为不等式所表示的平面区域；否则，直线的另一侧为所求的平面区域．若直线不过原点，通常选择原点代入检验．3. 平移直线ｙ＝－kｘ＋Ｐ时，直线必须经过可行域．4.对于有实际背景的线性规划问题，可行域通常是位于第一象限内的一个凸多边形区域，此时变动直线的最佳位置一般通过这个凸多边形的顶点．5.简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，无论此类题目是以什么实际问题提出，其求解的格式与步骤是不变的：（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；（3）在可行域内求目标函数的最优解.积储知识：一．1.点P(x0,y0)在直线Ax+By+C=0上，则点P坐标适合方程，即Ax0+By0+C=02. 点P(x0,y0)在直线Ax+By+C=0上方（左上或右上），则当B0时，Ax0+By0+C当B0时，Ax0+By0+C03. 点P(x0,y0)在直线Ax+By+C=0下方（左下或右下），当B0时，Ax0+By0+C当B0时，Ax0+By0+C0 注意：（1）在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点，把它的坐标(x,y)代入Ax+By+C,所得实数的符号都相同,（2）在直线Ax+By+C=0的两侧的两点，把它的坐标代入Ax+By+C,所得到实数的符号相反,即：1.点P(x1,y1)和点Q(x2,y2)在直线Ax+By+C=0的同侧，则有（Ax1+By1+C）( Ax2+By2+C)02.点P(x1,y1)和点Q(x2,y2)在直线Ax+By+C=0的两侧，则有（Ax1+By1+C）( Ax2+By2+C)0 二.二元一次不等式表示平面区域:①二元一次不等式Ax+By+C0（或0）在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域. 不．包括边界;②二元一次不等式Ax+By+C≥0（或≤0）在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域且包括边界;注意：作图时,不包括边界画成虚线;包括边界画成实线. 三、判断二元一次不等式表示哪一侧平面区域的方法: 方法一:取特殊点检验; “直线定界、特殊点定域原因:由于对在直线Ax+By+C=0的同一侧的所有点(x,y),把它的坐标(x,y)代入Ax+By+C,所得到的实数的符号都相同,所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x0,y0),从Ax0+By0+C的正负即可判断Ax+By+C0表示直线哪一侧的平面区域.特殊地, 当C≠0时，常把原点作为特殊点，当C=0时，可用（0，1）或（1，0）当特殊点，若点坐标代入适合不等式则此点所在的区域为需画的区域，否则是另一侧区域为需画区域。

互补松弛性孙敏 枣庄学院考虑如下互为对偶的一组线性规划问题⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧+==+=≤=≥+=≤+=≥=⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧+=+=≤=≥+=≥+=≤====nt j c yp t s j c yp s j c yp m q i y q p i y p i y n t j x t s j x s j x m q i b x a q p i b x a p i b x a ybW cx Z j j j j j j i i i j j j i i i i i i ,,1,,,1,,,1,,,1,0,,1,0,,1, s.t. ,,1,,,1,0,,1,0,,1,,,1,,,1, s.t.min max (DP) (LP) 无符号限制无符号限制对偶问题原问题其中[]n m n m R p p p a a a A ⨯∈=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡= 2121。

定理（互补松弛/紧性） 设1*⨯∈n Rx 与mRy ⨯∈1*分别是问题（LP ）与问题（DP ）的可行解，则它们分别是问题（LP ）与问题（DP ）的最优解的充要条件是，对一切m i ,,1 =和一切n j ,,1 =有⎪⎩⎪⎨⎧=-==-=0)(0)(****j j j ji i i i c p y x v y x a b u 证明 首先由1*⨯∈n Rx 与mRy ⨯∈1*分别是问题（LP ）与问题（DP ）的可行解得对一切m i ,,1 =和一切n j ,,1 =有0,0≥≥j i v u 。

定义0,011≥=≥=∑∑==nj j mi i v v u u因此，0=u 当且仅当),,1(0m i u i ==，0=v 当且仅当),,1(0n j v j ==，也就是0=+v u 当且仅当),,1(0),,,1(0n j v m i u j i ====。

于是为了证明命题成立，只需要证明*x 与*y 分别是问题（LP ）与问题（DP ）的最优解的充要条件是0=+v u 。

线性规划经典例题一、问题描述某公司生产两种产品A和B，每个产品的生产需要消耗不同的资源。

现在公司希望通过线性规划来确定每种产品的生产数量，以最大化利润。

已知产品A每个单位的利润为10元，产品B每个单位的利润为15元。

同时，产品A每个单位需要消耗2个资源X和3个资源Y，产品B每个单位需要消耗4个资源X和1个资源Y。

公司总共有40个资源X和30个资源Y可供使用。

二、数学建模1. 假设产品A的生产数量为x，产品B的生产数量为y。

2. 目标函数：最大化利润。

利润可以表示为10x + 15y。

3. 约束条件：a) 资源X的约束条件：2x + 4y ≤ 40b) 资源Y的约束条件：3x + y ≤ 30c) 非负约束条件：x ≥ 0，y ≥ 0三、求解过程1. 根据数学建模中的目标函数和约束条件，可以得到如下线性规划模型：最大化：10x + 15y约束条件：2x + 4y ≤ 403x + y ≤ 30x ≥ 0，y ≥ 02. 使用线性规划求解方法，可以得到最优解。

通过计算，得到最优解为x = 6，y = 6，利润最大化为180元。

四、结果分析根据最优解，可以得知最大利润为180元，其中产品A的生产数量为6个，产品B的生产数量为6个。

同时，资源X还剩余28个，资源Y还剩余24个。

五、灵敏度分析对于线性规划问题，灵敏度分析可以帮助我们了解目标函数系数和约束条件右端项的变化对最优解的影响。

1. 目标函数系数的变化：a) 如果产品A的利润提高到12元，产品B的利润保持不变，重新求解线性规划模型可以得到新的最优解。

新的最优解为x = 8，y = 4，利润最大化为168元。

b) 如果产品A的利润保持不变，产品B的利润提高到20元，重新求解线性规划模型可以得到新的最优解。

新的最优解为x = 4，y = 7，利润最大化为190元。

2. 约束条件右端项的变化：a) 如果资源X的数量增加到50个，资源Y的数量保持不变，重新求解线性规划模型可以得到新的最优解。