曲线曲面从参数表示的基础知识

常用曲线和曲面的方程及其性质曲线和曲面在三维空间中是常见的数学对象。

它们的方程可以通过几何性质描述它们的性质。

本文将介绍一些常用的曲线和曲面方程及其性质。

一、曲线方程1. 直线方程直线是一种最基本的曲线，它的方程可以写成一般式和斜截式两种形式。

一般式：$Ax+By+C=0$；斜截式：$y=kx+b$，其中$k$是直线的斜率，$b$是截距。

直线的斜率表示的是直线倾斜的程度，斜率越大表示直线越陡峭。

斜率等于零表示直线水平，而无限大则表示直线垂直于$x$轴。

2. 圆的方程圆是一种具有球面对称性质的曲线，它的方程可以写成两种形式：标准式和一般式。

标准式：$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$，其中$(a,b)$为圆心坐标，$r$为半径长度。

一般式：$x^2+y^2+Ax+By+C=0$，其中$A,B,C$是常数。

圆的标准式方程可以通过圆心和半径来描述圆的几何性质；而一般式方程则可以通过求圆的中心和半径来转化为标准式方程。

3. 椭圆的方程椭圆是一种内离于两个焦点的平面曲线，它的方程可以写成一般式和标准式两种形式。

标准式：$\frac{(x-a)^2}{a^2}+\frac{(y-b)^2}{b^2}=1$，其中$(a,b)$为椭圆中心坐标，$a$是横轴半径，$b$是纵轴半径。

一般式：$Ax^2+By^2+Cx+Dy+E=0$，其中$A,B,C,D,E$是常数。

椭圆的标准式方程中的$a$和$b$决定了椭圆的形状和大小。

当$a=b$时，椭圆变成了圆。

4. 抛物线的方程抛物线是一种开口朝上或朝下的U形曲线，它的方程可以写成两种形式：标准式和一般式。

标准式：$y=ax^2$，其中$a$是抛物线的参数。

一般式：$Ax^2+By+C=0$，其中$A,B,C$是常数。

抛物线的标准式方程中的参数$a$可以决定抛物线的开口方向，当$a>0$时开口向上，$a<0$时则开口向下。

5. 双曲线的方程双曲线是一种形状类似于抛物线的曲线，但它却有两个分支。

第二章 曲面论 §1 曲面的概念
1.1 简单曲面及参数表示 一 简单曲面 1 约当(Jordan)曲线: 平面上不自交的闭曲线。 2 初等区域：约当曲线把平面分成为两部分，有限的那部分区域 初等区域 叫初等区域。(约当曲线的内部) 3 简单曲面：平面上初等区域到三维空间的一一的、双方连续的 简单曲面 映射的像叫简单曲面。 二 （简单） 简单）曲面的参数方程 1 曲面的参数方程、 曲面的参数方程、曲纹坐标 设 G 是初等区域， G 中点的笛氏坐标是 (u,v) ,G 在空间的一一的 双方连续的像是曲面 S，S 上的点笛氏坐标为（x,y,z), 则 x,y,z 都是
r
r
r
r r r r ( ρ − r (u0 , v0 ), ru (u0 , v0 ), rv (u0 , v0 )) = 0
切平面方程用行列式表示为：
。
x − x(u0 , v0 ) xu (u0 , v0 ) xv (u0 , v0 )
y − y (u0 , v0 ) z − z (u0 , v0 ) yu (u0 , v0 ) zu (u0 , v0 ) = 0 yv (u0 , v0 )
是什么曲线?
θ -曲线：是垂直于 z 轴 的平面与旋转面的交线（纬线）
t - 曲线：是旋转面的母线（经线）
1.2 光滑曲面 曲面的切平面和法线 一 光滑曲面,正常点,正规坐标网 1 C k 类曲面: 如果曲面的分量函数有直到 k 阶的连续偏导数,则 称为 k 阶正则曲面或称为 C k 类曲面.
2
2 光滑曲面: C 类曲面叫做光滑曲面.以后假定讨论的曲面都是 光滑曲面. 3 正常点: 对曲面 S 上一点 P0 (u0 , v0 ) , 过 P0 的 u-曲线: r = r (u , v0 ) ,其切向量为 ru (u0 , v0 ) ； 过 P0 的 v-曲线: r = r (u0 , v) ,其切向量为 如果

参数方程知识点参数方程是用参数来表示平面曲线或者空间曲线的方程。

参数方程中的变量称为参数，通过改变参数的值来得到曲线上不同点的坐标。

参数方程在数学、物理等领域都有广泛的应用。

参数方程的基本形式为：x=f(t)y=g(t)其中，x和y是平面上的坐标，t是参数。

函数f(t)和g(t)表示x和y坐标与参数t之间的关系，可以是多项式函数、三角函数、指数函数等。

参数方程的优点是可以描述一些复杂的曲线，例如圆、椭圆、螺旋线等。

而直角坐标方程通常难以表示这些曲线。

具体地，参数方程可以应用在以下几个方面。

1. 平面曲线的参数方程对于平面曲线，常见的参数方程有圆的参数方程、椭圆的参数方程、双曲线的参数方程等。

例如，圆的参数方程为：x=r*cos(t)y=r*sin(t)其中，r为圆的半径，t为参数，取值范围是0到2π。

2. 空间曲线的参数方程对于空间曲线，参数方程可以用来描述空间中的曲线、曲面等。

例如，螺旋线的参数方程可以表示为：x=r*cos(t)y=r*sin(t)z=k*t其中，r为螺旋线的半径，k为螺旋线的高度，t为参数，取值范围是0到2π。

3. 曲线的方程和轨迹通过参数方程，可以求解曲线的方程和轨迹。

例如，通过给定曲线上的两个点，可以得到曲线的方程，然后可以推导出曲线的形状和性质。

另外，通过变换参数的取值范围，可以得到不同参数方程的曲线，从而得到曲线的轨迹。

4. 曲线的长度和曲率通过参数方程，可以计算曲线的长度和曲率等。

曲线的长度可以通过参数方程的导数来计算，即：L=∫√(dx/dt)²+(dy/dt)²dt其中，L为曲线的长度，dx/dt和dy/dt为参数方程对应的导数。

曲线的曲率可以通过曲线的参数方程和导数来计算，即：k=|d²y/dx²| / (1+(dy/dx)²)^(3/2)其中，k为曲线的曲率，dy/dx和d²y/dx²为参数方程对应的导数。

(v族)
微分方程: A(u, v)du2 +2B(u, v)dudv + C(u, v)dv 2 =0
当 [B(u, v)]2 A(u,v) C(u,v) >0时
表示曲面上的两族曲线——曲线网。
当 A C 0时，方程变为
dudv 0
它表示的曲线网就是曲面上的曲纹坐标网
谢谢观看！ 2020
v (1,2)
1 3,1,2
14
, ,2
|
4 2 (1,2)
过点（1，2）的切平面方程是
[R r(1,2)] n(1,2) 0.
即 3x+y-2z-4=0.
3. 曲面上的曲线族和曲线网
曲面 r r(u,v)S上的曲线用方程 u(t),v v(t)
或 r r[ut , vt ] rt
ru (u ，v ） r（v u ，v ） 0
此时U内两坐标曲线构成的网为曲面的正规坐标网 命题1：曲面在正则点的邻域中总可以有形如
z = z(x, y)的表示 因为 ru (u ，v ） r（v u ，v ） 0，至少有一分量不为零
假设 （ （xu， ，yv） ） 0， 一对单值连续函数
则有隐函数存在定理有唯一
u和v称曲面上的点的曲纹坐标曲面上的点的曲纹坐标uu常数或常数或v常数在曲面上的常数在曲面上的象称为曲面的曲面的坐标曲坐标曲u常数而常数而vv变动的曲线叫变动的曲线叫vv线v常数而常数而uu变动的曲线叫变动的曲线叫uu成的网称为曲面上的成的网称为曲面上的曲纹坐标网曲纹坐标网曲纹坐标网曲纹坐标网坐标曲线坐标曲线曲线z常数即它是垂直于轴的平面和原柱面的交线它们都是圆
u （ u x，y），v （v x，y）
代入则有z = z(x, y)

（4条消息）曲线曲面基本理论（二）一、Bezier曲线的生成生成一条Bezier 曲线实际上就是要求出曲线上的点。

下面介绍两种曲线生成的方法：1、根据定义直接生成 Bezier 曲线绘制Bezier曲线主要有以下步骤：2、Bezier 曲线的递推 (de Casteljau)算法根据 Bezier 曲线的定义确定的参数方程绘制 Bezier 曲线，因其计算量过大，不太适合在工程上使用。

de Casteljau 提出的递推算法则要简单得多。

Bezier 曲线上的任一个点(t)，都是其它相邻线段的同等比例( t ) 点处的连线，再取同等比例( t ) 的点再连线，一直取到最后那条线段的同等比例 ( t )处，该点就是Beizer曲线上的点( t ) 。

以二次 Bezier 曲线为例，求曲线上t=1/3的点：当t 从0变到1时，它表示了由三顶点P0、P1、P2三点定义的一条二次Bezier曲线。

二次Bezier曲线P02可以定义为分别由前两个顶点(P0,P1)和后两个顶点(P1,P2)决定的一次Bezier曲线的线性组合。

由(n+1)个控制点Pi(i=0,1,...,n)定义的n次Bezier曲线P0n可被定义为分别由前、后n个控制点定义的两条(n-1)次Bezier曲线P0n-1与P1n-1的线性组合：这便是著名的de Casteljau算法。

用这一递推公式，在给定参数下，求Bezier曲线上一点P(t)非常有效。

de Casteljau算法稳定可靠，直观简便，可以编出十分简捷的程序，是计算Bezier曲线的基本算法和标准算法。

这一算法可用简单的几何作图来实现。

3、Bezier曲线的拼接几何设计中，一条Bezier曲线往往难以描述复杂的曲线形状。

这是由于增加特征多边形的顶点数，会引起Bezier曲线次数的提高，而高次多项式又会带来计算上的困难。

采用分段设计，然后将各段曲线相互连接起来，并在接合处保持一定的连续条件。

本讲任务上课内容一、关于形状数学描述的基本要求2.几何不变性上述三点，分别赋于参数u＝0，0.5，1，则可得过这三点的一条唯一的参数三次曲线。

p(u)＝2(u-0.5)(u-1)p0-4u(u-1)p1+2u(u-0.5)p2，其中p0, p1, p2, 分别为上述三点的位置矢量。

无论将这三点怎样同时旋转和平移，它们间的相对位置保持不变。

9/5211/52产品的形状总是有界的，形状的数学描述应易于定界。

这个要求能否得到满足也与描述形状的数学方法有关。

假如在某个xoy坐标系里一条曲线，一些x值对应多个y值，一些y值又对应多个x值。

若用标量函数描述这样一条曲线，要界定它的范围会是很困难的。

但若用参数矢函数p(u)＝[x(u) y(u)]描述，就可以简单地用a ≤u ≤b界定它的范围。

这里u＝a与u＝b分别为曲线在首末两端点的参数值。

一、关于形状数学描述的基本要求3.易于定界f (x , y ) = 0同样运用待定系数法求之！17/5212()[(),(),()]()()()[,]t x t y t z t x t y t z t t t t ==++∈p i j k ，]2,0[]sin ,[cos )(πθθθθ∈=p 例:]1,0[,)(332210∈+++=t t t t t a a a a p 曲线的表示1. 一般表示形式]0[][)(v /L ,t vt ,t sin a ,t cos a t ∈=ϖϖp 思考题：上面空间螺旋线的非参数方程表示形式是什么？Z,Y用X 表示，而参数化为Z,Y ,X 均用一个变量t 表示，简便，易懂圆螺旋线三次抛物线曲线被表示成参数u的矢函数p(u)=[x y x]=[x(u) y(u) z(u)]笛卡儿分量表示p(u)=x(u)i+y(u)j+z(u)k,其中i,j,k为单位矢量21/52Pz 0xatMNQ点P在圆柱面上等速地绕26/52矢函数：变矢量随着某个变化的标量即参数而变化，则称它为该参数的矢函数四、曲线论（导矢、自然参数方程、曲率）1.矢函数的导矢类似地，可以给出曲线在u=u 0处的高阶导矢。

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第五章：曲线与曲面
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第五章：曲线与曲面
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第五章：曲线与曲面
双三次参数曲面的代数形式
双三次参数曲面片: 由两个三次参数变量(u, w)定义的曲面片，最常用。
其代数形式、矩阵表示分别是:
最简单的参数曲线，P(t)=P1+(P2-P1)t t∈[0, 1]; 端点为P1、P2
圆
第一象限内的单位圆弧的非参数方程表示为：
y 1 x2
其参数形式可表示为：
0 x 1
1 t2 x (t ) , 2 1 t
y (t )
2t 1 t 2
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推导略
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第五章：曲线与曲面

参数曲面的定义
一张矩形域上的参数曲面片
一张矩形域上由曲线边界包围具有一定连续性的点集面片，用双参数的
单值函数表示式为：x=x(u, w), y=y(u, w), z=z(u, w) u,w€[0,1] u,w为参 数。并可记为：p(u, w)=[x(u, w), y(u, w), z(u, w)]
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第五章：曲线与曲面

位置矢量、切矢量、法矢量、曲率和挠率
参数表示的三维曲线
有界点集，可写成一个带参数的、连续的、单值的数学函数x=x(t)，
y=y(t)，z=z(t)，0≤t≤1
位置矢量
图5.1.1所示，曲线上任一点的位置矢量可表示为P(t)=[x(t), y(t), z(t)]；其

图 3-1
的点是指向径 r(u0, v0) = OP(u0, v0) 的终点
P(u0, v0) = (x(u0, v0), y(u0, v0), z(u0, v0)) ∈ E3 ，
通常表示为向量值 r(u0, v0) 或参数值 (u0, v0) ．曲线r(u, v0) 称为参数曲面 S
上过点 P(u0, v0) 的 u 坐标曲线，简称 u 线；而曲线r(u0, v) 称为参数曲面 S
正则曲面的意义还在于能够方便
地确定曲面的所谓切向量和切平面，
以及法向量．
已知正则曲面 S: r = r(u, v) ．考虑
过 点 r(u0, v0) , r(u0+Δu, v0) 和 r(u0, v0+Δv) 的平面 Π 当 (Δu, Δv)→(0, 0) 时 的极限位置，亦即切平面的位置．由
图 3-5
r = r(u, v) = (cos u , sin u , v) ，(u, v)∈R2 ；
-2-
作者：王幼宁
其中参数值与位置向量的对应不是一一对应，但适当缩小定义域则可保证 一一对应．其整体也能定义成参数曲面，例如
r = r(w, t) = (
w w2 + t2 ,
t w2 + t2 , ln
w2 + t2 ) ，(w, t)∈R2−{(0, 0)} ．
曲线，类似于球面上的称呼，通常分别称为纬线和经线；此参数化方式，
通常称为旋转面的经纬参数化．球面、圆柱面、正圆锥面都是旋转面．
二．正则曲面 参数曲面比参数曲线更复杂，同样需要引进正则性．
定义 1 给定参数曲面 S: r = r(u, v) , (u, v)∈U ．若自然切向在点 (u0, v0) 满足 ru(u0, v0)×rv(u0, v0) = 0 ，则称 (u0, v0) 或其对应点 r(u0, v0) 为 S 的一个奇 （异）点；若 ru(u0, v0)×rv(u0, v0) ≠ 0 ，则称 (u0, v0) 或其对应点 r(u0, v0) 为 S 的一个正则点．若 S 之上点点正则，则称 S 为正则曲面，并称参数 (u, v) 为正则参数．

曲线构造方法
判断哪些是插值、哪些是逼近
曲线构造方法
插值法
线性插值：假设给定函数f(x)在两个不同点x1和x2的值，用 线形函数 ：y=ax+b，近似代替f(x)，称为的线性插值函 数。
插值法
抛物线插值(二次插值):
已知在三个互异点x1,x2,x3的函数值为y1,y2,y3，要求构造 函数 ￠ (x)=ax2+bx+c,使得￠(x)在xi处与f(x)在xi处的值相 等。
曲线曲面概述
自由曲线和曲面发展过程
自由曲线曲面的最早是出现在工作车间，为了获得特殊的曲线，人们 用一根富有弹性的细木条或塑料条（叫做样条），用压铁在几个特殊 的点（控制点）压住样条，样条通过这几个点并且承受压力后就变形 为一条曲线。人们调整不断调整控制点，使样条达到符合设计要求的 形状，则沿样条绘制曲线。
5.1.2 参数样条曲线和曲面的常用术语
在工程设计中，一般多采用低次的参数样条曲线。 这是因为高次参数样条曲线计算费时，其数学模型难于 建立且性能不稳定，即任何一点的几何信息的变化都有 可能引起曲线形状复杂的变化。
因此，实际工作中常采用二次或三次参数样条曲线，如： 二次参数样条曲线： P (t) = A0 + A1t + A2t2 三次参数样条曲线： P (t) = A0 + A1t + A2t2 + A3t3
a3
1 0] a2 a1 a0
三次参数样条曲线
P(k) a3 0 a2 0 a1 0 a0 P(k 1) a3 1 a2 1 a1 1 a0 P '(k) 3a3t2 2a2t a1 a1 P '(k 1) 3a3 2a2 a1
P0 0 0 0 1 a3

初一参数方程知识点一、参数方程的概念参数方程是描述一个曲线或曲面的方程，其中各个变量都用一个参数来表示。

参数方程通常用于描述动态变化的对象，如粒子在空间中的运动轨迹。

在初一数学中，我们主要学习的是平面上的参数方程。

二、参数方程的表示方式 1. 参数方程的一般形式对于平面上的曲线，可以用参数方程的形式表示为： x = x(t) y = y(t) 其中，x和y分别表示曲线上的点的横坐标和纵坐标，t表示参数。

2.参数方程的图像特点参数方程的图像通常具有以下特点：•曲线的形状和走向可以通过调整参数的取值范围和步长来改变。

•曲线上的点的密集程度取决于参数的步长，步长越小，点越密集，曲线越平滑。

三、常见的参数方程曲线 1. 直线直线可以用参数方程表示为： x = at + b y = ct + d 其中a、b、c和d为常数。

2.抛物线抛物线可以用参数方程表示为： x = at^2 + bt + c y = dt^2 + et+ f 其中a、b、c、d、e和f为常数。

3.圆圆可以用参数方程表示为： x = r cos(t) y = r sin(t) 其中r为半径，t为参数。

四、参数方程的应用参数方程在数学以及其他学科中有广泛的应用，例如： - 物理学中描述粒子的运动轨迹。

- 计算机图形学中描述曲线和曲面的形状。

- 工程学中描述动态系统的变化过程。

五、参数方程的解析与绘图在解析参数方程时，可以通过消去参数的方法得到曲线的解析方程。

对于给定的参数方程，我们可以通过绘制曲线的图像来观察和研究曲线的性质和特点。

六、总结初一阶段，我们了解了参数方程的概念、表示方式和常见的参数方程曲线。

参数方程可以帮助我们更好地描述和理解曲线的形状和特性，同时也为后续学习更高级的数学知识打下了基础。

以上是关于初一参数方程知识点的简要介绍。

希望通过这篇文章的阅读，能让你对参数方程有一个初步的了解，并为你的学习提供一些帮助。

参数方程是数学中的重要内容，掌握了参数方程的基本知识，可以为今后的学习打下坚实的基础。

数学参数知识点总结1. 参数的概念参数是指用来表示一个系统中的特定量的数值并能引起系统变化的量。

在数学中，参数通常用来表示一个函数或方程中的固定值，它们可以影响函数的图像、性质及其他方面。

2. 参数的分类参数可以分为实数参数和向量参数两种类型。

实数参数是指在一个函数或方程中取任意实数值都会影响其图像和性质，而向量参数是指在函数或方程中取任意向量值都会产生影响。

3. 参数方程参数方程是用参数表示的一组方程，通常用来表示曲线或曲面。

参数方程将自变量用参数表示，可以方便地描述曲线的轨迹和变化规律。

4. 参数方程与一般方程的关系一般方程是通过自变量和参数之间的函数关系来描述对象的规律，而参数方程则将自变量表示为参数的函数，两者相互影响，可以相互转化。

5. 参数的应用参数在数学中有广泛的应用，如在微积分中用来描述曲线、曲面的变化规律，在几何中用来研究几何对象的性质、形状等方面。

6. 参数函数参数函数是指通过参数来表示的函数，其自变量和因变量之间的关系可以用参数来描述。

参数函数可以表达一些常规函数无法描述的变化规律。

7. 参数方程的图像参数方程描述了一个对象随参数的变化而产生的轨迹，因此可以通过参数方程得到对象的图像。

通过图像可以直观地了解对象的形状、特点等属性。

8. 参数方程的解对于已知的参数方程，可以通过求解参数来得到相应的对象的位置、形状等信息，这对于研究和应用具有重要意义。

9. 参数方程的应用参数方程的应用十分广泛，从物理学中的运动规律、天文学中的轨道运动，到工程中的设计、生活中的日常计算等都有涉及。

10. 参数方程的求解对于给定的参数方程，可以采用消元、代入、分离变量、定积分等方法来求解其解析解，这对进一步研究和应用具有重要意义。

11. 参数方程的性质参数方程的性质包括曲线的开口方向，曲线段的长度、曲率、斜率等，这些性质描述了曲线形状的重要特征。

12. 参数方程与极坐标参数方程与极坐标有密切关系，它们都是用参数来表示曲线的方法，但参数方程是在笛卡尔坐标系中描述曲线的，而极坐标是在极坐标系中描述曲线的。

5.2 曲线分析
1）曲线上的活动坐标架
设曲线为P(t)=[x(t), y(t), z(t)]，则：
切矢量：P’(t)（当t为弧长时是单位矢），单位切矢记为T。 法矢量：
过曲线上任意一点，以切矢为法线的平面称为法平面。 主法矢：当以弧长为参数时，切矢的导矢是一个与切矢垂直的矢量，其单位矢 称为主法矢，记为N。 副法矢（记为B）B=T×N
左旋右旋螺旋线示例
当导圆柱轴线直立时，右旋螺旋线的可 见部分自左向右升高（图a）；左旋螺旋线 则自右向左升高（图b）。
5.4 曲线的插值、逼近与拟合
插值：给定一组有序的数据点Pi，i=0, 1, …, n，构造 一条曲线顺序通过这些数据点，称为对这些数 据点进行插值，所构造的曲线称为插值曲线。 逼近：构造一条曲线使之在某种意义下最接近给定的 数据点，称为对这些数据点进行逼近，所构造 的曲线称为逼近曲线。 拟合：插值与逼近统称为拟合。
4）Bezier曲线的递推算法
计算Bezier曲线上的点，可用Bezier曲线方程，但 使用de Casteljau（德 卡斯特里奥）提出的递推算法 则要简单得多，递推公式：
上式中：Pi0=Pi是定义Bezier曲线的控制点，P0n即 为曲线P(t)上具有参数t的点，(i+k)=n 。 几何递推：给定参数t∈[0,1]，就把定义域分成长 度为t:(1-t)的两段。依次对原始控制多边形每一边执行 同样的定比分割，所得分点就是第一级递推生成的中间 顶点Pi1(i=0,1,...,n-1)，对这些中间顶点构成的控制多边 形再执行同样的定比分割，得第二级中间顶点 Pi2(i=0,1,...,n-2)。重复进行下去，直到n级递推得到一 个中间顶点P0n即为所求曲线上的点P(t)。
2）Betnstein基函数的性质 ：

空间曲面知识点总结一、曲面的概念及分类1. 曲面的概念曲面是指在三维空间中的一种特殊的曲线形态，它是由平面或曲线在空间中移动所生成的一种特殊几何体。

曲面具有无限多个点，并且在每一点处都具有切平面。

2. 曲面的分类根据曲面的性质和特征，曲面可以分为以下几类：① 圆柱面：由一条曲线(母线)沿着一定方向移动形成的曲面，母线与运动方向垂直。

② 圆锥面：由一条曲线(母线)沿着一定方向移动形成的曲面，母线与运动方向夹角不垂直。

③ 椭球面：由一个椭圆绕两根相交的直线轴旋转一周而生成的曲面。

④ 双曲面：由一个椭圆绕两根相交的直线轴旋转一周而生成的曲面。

⑤ 抛物面：由一条抛物线绕其焦点旋转形成的曲面。

二、曲面的参数方程1. 曲面的参数方程概念曲面的参数方程是用参数形式来描述曲面上的所有点，其表达形式为：x = x(u, v)y = y(u, v)z = z(u, v)其中，u和v分别是曲面上的参数。

通过选取合适的参数u和v取值范围，可以描述出曲面上的所有点。

2. 曲面的常见参数方程2.1 圆柱面圆柱面的参数方程为：x = rcosθy = rsinθz = z其中，r和z为常数，θ为参数。

2.2 圆锥面圆锥面的参数方程为：x = rcosθy = rsinθz = kz其中，r和k为常数，θ为参数。

2.3 椭球面椭球面的参数方程为：x = acosucosvy = bcosusinvz = csinv其中，a、b、c为椭球的半轴长，u、v为参数。

2.4 双曲面双曲面的参数方程为：x = asinhucosvy = asinhusinvz = bvcosv其中，a、b为常数，u、v为参数。

2.5 抛物面抛物面的参数方程为：x = ucy = uvz = au^2+bv^2其中，a、b、c为常数，u、v为参数。

三、曲面的方程1. 曲面的一般方程曲面的一般方程一般为三元二次方程形式，表示为：Ax^2 + By^2 + Cz^2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0其中，A、B、C、D、E、F、G、H、I、J为常数。

数学参数方程知识点总结数学是一门既抽象又具体的学科，其中的参数方程是一种特殊的表示方法。

它能够通过引入参数来描述一条曲线、曲面或者空间中的物体，为我们解决许多复杂问题提供了一种便捷的方式。

本文将总结数学参数方程的相关知识点，帮助读者更好地理解和应用这一概念。

一、参数方程的定义参数方程是将自变量和因变量都用参数表示的一种方程形式。

通常，我们用参数t来表示自变量，用x、y、z等表示因变量。

这样，我们可以通过给定参数t的取值范围，求解对应的x、y、z值，从而得到一条曲线、曲面或者空间中的物体。

二、参数方程的优点与一般方程相比，参数方程具有一些独特的优势：1. 参数方程能够表达复杂的几何图形。

通过引入参数，我们可以灵活地描述不规则曲线、曲面以及其他几何形体，使得对其性质和特征的研究更加方便。

2. 参数方程有利于求解隐函数。

有些函数方程很难直接解出，但通过引入参数，我们可以将其分解成一系列简单的参数方程，从而更容易求解。

3. 参数方程使得参数化积分和曲线积分的计算更加简单明了。

对于复杂的曲线和曲面，使用参数方程可以将积分问题转化为对参数的积分，简化计算过程。

三、参数方程的应用参数方程在数学和其它学科中有广泛的应用，以下列举几个常见的应用场景：1. 几何图形的描述：通过参数方程，我们可以描述圆、椭圆、抛物线、双曲线等曲线的形状和位置。

例如，圆的参数方程可以表示为：x = r*cos(t)y = r*sin(t)其中r为半径，t为参数。

2. 物体的运动轨迹：通过参数方程，我们可以描述物体在空间中的运动轨迹。

比如，一个以点(x0,y0,z0)为起始点，速度为(vx, vy, vz)的物体在t时刻的位置可以由参数方程表示为：x = x0 + vx*ty = y0 + vy*tz = z0 + vz*t这样，我们可以通过参数方程了解物体的位置、速度和加速度等信息。

3. 曲线长度的计算：参数方程可以使曲线的长度计算更加简单。

参数方程曲面的曲率曲面的曲率是描述曲面弯曲程度的重要指标。

在数学的研究中，曲面的曲率可以用参数方程表示。

本文将介绍参数方程曲面的曲率的概念和计算方法，并通过具体例子来说明。

一、参数方程曲面的曲率的概念曲率是描述曲线或曲面在某一点处弯曲程度的量。

对于参数方程曲面，曲率可以通过计算其法曲线的曲率来得到。

曲率在数学和物理学中有广泛的应用，包括工程、计算机图像和物理模拟等领域。

在本文中，我们将重点讨论二维曲面的情况。

二、计算参数方程曲面的曲率对于参数方程曲面x=x(u,v)，y=y(u,v)，z=z(u,v)，其中u和v是参数，我们可以通过以下步骤计算曲率：1. 计算曲面的切向量T(u,v)。

切向量是参数方程曲面在某一点处的切线方向的向量表示。

计算切向量的方法是求参数u和v对x、y和z 的偏导数，并将其规范化为单位向量。

2. 计算曲面的法向量N(u,v)。

法向量是垂直于曲面的向量，可以通过计算切向量的叉积来得到。

在计算叉积之前，我们需要先计算曲面的切线u方向上的偏导数T_u和v方向上的偏导数T_v，然后再将它们进行叉积运算。

3. 计算曲面的曲率K(u,v)。

曲率是法曲线的曲率半径的倒数，表示曲面在某一点的弯曲程度。

通过计算法曲线v方向上的曲率R_v(u,v)和u方向上的曲率R_u(u,v)，再将其求和得到曲率。

三、具体例子为了更好地理解参数方程曲线的曲率的计算，我们将通过一个具体的例子来说明。

考虑一个球面的参数方程曲面：x(u,v) = R * sin(u) * cos(v)y(u,v) = R * sin(u) * sin(v)z(u,v) = R * cos(u)其中，R是球面的半径，u表示纬度角，v表示经度角。

1. 计算切向量：T(u,v) = (x_u, y_u, z_u) = (R * cos(u) * cos(v), R * cos(u) * sin(v), -R * sin(u))T(u,v) = (x_v, y_v, z_v) = (-R * sin(u) * sin(v), R * sin(u) * cos(v), 0)2. 计算法向量：N(u,v) = T_u x T_v= (cos(u) * cos(v), cos(u) * sin(v), sin(u))3. 计算曲率：R_u = ||T_u|| / ||N||= (R * cos(u) * sin(v))^2 / R= R * cos(u) * sin(v)R_v = ||T_v|| / ||N||= (R * sin(u))^2 / R= R * sin(u)K = R_u + R_v= R * cos(u) * sin(v) + R * sin(u)= R * (cos(u) * sin(v) + sin(u))根据上述计算公式，我们可以得到该球面在任意点处的曲率。

千里之行，始于足下。

参数方程学问点总结参数方程是描述曲线的一种方法，它使用一个参数变量来表示曲线上的点的位置。

参数方程广泛应用于数学、物理、工程等领域，对于描述简单的几何外形以及曲线运动具有很大的优势。

本文将对参数方程的基本概念、性质、应用以及参数方程与直角坐标系的转化等方面进行总结。

一、参数方程的基本概念参数方程是一种将自变量$t$与变量$x$、$y$相关联的函数表示曲线上点的位置的方法。

设函数$x=f(t)$和$y=g(t)$在区间$I$上有定义，其中$f$和$g$是定义在$I$上的连续函数。

那么由$x=f(t)$和$y=g(t)$确定的点$(x,y)$称为参数方程的一个解。

曲线的参数方程通常表示为 $(x=f(t), y=g(t)), t\\in I$。

二、参数方程与直角坐标系的关系参数方程经常与直角坐标系的方程相关，通过转化可在两者之间进行切换。

设直角坐标系中的方程为$y=f(x)$，通过将$x$和$y$分别表示为$t$的函数，可以得到参数方程。

由于参数方程存在多种表示形式，因此通过不同的参数方程也可以得到相同的直角坐标系的方程。

三、参数方程的性质1. 参数方程是表示曲线上任意一点的方法，因此可以用参数方程来描述简单的几何外形，如椭圆、双曲线等。

2. 参数方程具有较强的机敏性，可以通过对参数的变化来描述曲线的不同性质，如曲线的方向、速度、加速度等。

3. 参数方程能够表示曲线上的无穷多个点，因此对于描述曲线上的点的分布、密度等性质具有很大的优势。

四、参数方程的图形表示与分类第1页/共2页锲而不舍，金石可镂。

1. 参数方程的图形可以通过给定参数的取值范围来确定。

可以通过转变参数的取值范围来对曲线进行缩放、平移等操作。

2. 参数方程可以通过给定参数的函数表达式来确定曲线的外形。

例如，当$x(t) = a\\cos(t)$，$y(t) = b\\sin(t)$时，参数方程描述了一个椭圆外形的曲线。

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样条函数的本质是：一致通 过型值点的 二阶连续可导的 三 次 分段函数。
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三次样条曲线构造
三次样条曲线的构作
定义：在区间[x0,xn]上给定一个分割：x0＜x1＜…＜xn-1＜xn 插值条件为： x y x0 y0 x1 y1 x2 … … … xn-1 xn y2 … … … yn-1 yn
i 1 i
ci 3(i
yi yi 1 y y i i 1 i ) hi hi 1
得到
ci i mi 1 2mi i mi 1 ,(i 1, 2,, n 1)
此式称为样条函数的m关系式
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m关系式是包含 m0 , m1,, mn 共 n 1 个未知数的 线性方程组，方程的个数为n-1 为求解这个方程组必须添加两个条件，这两个条 件通常是根据对边界节点x0和xn处的附加要求来提供， 称为端点条件：常用的有以下几种： 1） 已知曲线在两端点处的斜率m0和mn，这时就成 为了关于n-1个未知量的 m1, m2 ,, mn1 共 n 1 个线 性方程。第一个方程为：
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hi 1 hi h y yi 1 hi y y mi 1 2mi mi 1 3( i 1 i i 1 i ) hi hi 1 hi hi 1 hi hi 1 hi hi hi 1 hi 1
引入记号
i
hi 1 , hi hi 1
其中
1 0 Mc 3 2
0 0 3 2
0 1 2 1
0 0 1 1
F0 (u), F 1 (u ), G0 (u ), G 1 (u )
称为Hermit基函数或三次混合 基函数。
作用：控制曲线段两端点的位置矢量和一阶导矢对曲线 形状的影响。