运筹学课后习题答案(课堂PPT)

运筹学部分课后习题解答P47 1.1用图解法求解线性规划问题min z=2x 3x24为6x2 _ 6st ]4x1+2x2>4X i,X2 _0解：由图1可知，该问题的可行域为凸集MABC,且可知线段BA上的点都为3最优解，即该问题有无穷多最优解，这时的最优值为％=2 - 3P47 1.3用图解法和单纯形法求解线性规划问题max z=10x1 5x213为4x2乞9a )s.t」5为+2x2兰8x1, x^ 0解：由图1可知，该问题的可行域为凸集OABCO且可知B点为最优值点,即严+4卷=9斗|人3，即最优解为x」1,3(5X1 +2X2 =8 & =2 I 2丿这时的最优值为Z max = 10 1 5 -2 2原问题化成标准型为max z=10x1 5x23\ 4x2 x3 = 9 s.t <5^+2x2 +x4 =8X i,X2,X3,X4 —0z所以有—1,3 ,Z max=10 1 5I 2 丿 2 2P78 2.4已知线性规划问题：max z =2x 4x2x3x4/+3X2+x4兰82咅+x2<6彳x2+X3 +x4兰6X,+ x2+ X3<9XZX, X4 一0求：(1)写出其对偶问题；(2)已知原问题最优解为X^(2,2,410)，试根据对偶理论，直接求出对偶问题的最优解。

解：(1)该线性规划问题的对偶问题为：min w =8y, 6y26y39y4\i+2y2 +y4 兰23yr H y<H yr H y^4彳y^y^iy i, y2,y3,y4—0(2)由原问题最优解为X* =(2,2,4,0)，根据互补松弛性得：y1 2y2 y4 = 23y1 y2 y a y^4I y a + yU把X* = (2,2,4,0)代入原线性规划问题的约束中得第四个约束取严格不等号，即 2 2 4 =8 < 9 - y4=0y1 2y2 =2从而有+y2 +y a =4L ya =1得Y1 ,Y2 ,Y a = 1,y4 = 05 5所以对偶问题的最优解为y* =(4,3,1,0)T，最优值为W min =165 5P79 2.7考虑如下线性规划问题:min z = 60x i 40x2 80x3” 3x i + 2x2 + X3 兰24x i + X2 + 3x^ > 42x i +2X2 +2x3 兰3x i,x?,x^ >0(1)写出其对偶问题；(2)用对偶单纯形法求解原问题;解：(1)该线性规划问题的对偶问题为:max w = 2% 4y2 3y33% +4y2 +2y3 W60』2% +y2 +2y3 玄40y i 3y2 2y3 — 80[y i,y2,y^0(2)在原问题加入三个松弛变量X4,X5,X6把该线性规划问题化为标准型max z = -60旨-40X2-80X3—3x i — 2x? — X3 + X4 = -2~4x<i — x? — 3X3 + X5 ——4-2 X i — 2 X2 — 2 X3 + = _3X j "j =1川,6x* 5,?,O)T,Z max =60 540 - 80 06 3 6 3 3P81 2.12某厂生产A、B、C三种产品，其所需劳动力、材料等有关数据见下表。

《运筹学》课后答案《运筹学》是一门研究如何在有限资源下做出最佳决策的学科，它涉及到数学、统计学、经济学等多个学科的知识。

掌握运筹学的方法和技巧对于解决实际问题具有重要意义。

下面是《运筹学》课后习题的答案：1. 什么是线性规划问题？线性规划问题是指在一组线性约束条件下，求解一个线性目标函数的最优值的问题。

线性规划问题具有优化的特点，即找到一组满足约束条件的解，使得目标函数取得最大（最小）值。

2. 线性规划问题的标准形式是什么？线性规划问题的标准形式是指将目标函数和约束条件都写成标准形式，即目标函数为最大化（最小化）一个线性函数，约束条件为一组线性不等式和线性等式。

3. 线性规划问题的解的存在性和唯一性是什么？线性规划问题的解的存在性和唯一性是由线性规划问题的特殊结构决定的。

如果线性规划问题有有界解（即目标函数有最大（最小）值），则存在解；如果线性规划问题的目标函数有最大（最小）值，且该最大（最小）值只有一个解，则解是唯一的。

4. 什么是单纯形法？单纯形法是一种解线性规划问题的常用方法，它通过迭代计算来逐步接近最优解。

单纯形法的基本思想是从一个初始可行解出发，通过一系列变换（包括基变换、基可行解的改进等）来逐步接近最优解。

5. 什么是对偶理论？对偶理论是线性规划问题的一个重要理论基础，它通过将原问题转化为对应的对偶问题来研究线性规划问题。

对偶理论可以帮助我们理解线性规划问题的性质和结构，并且可以通过对偶问题的解来得到原问题的解。

6. 什么是整数规划问题？整数规划问题是指在线性规划问题的基础上，将决策变量的取值限制为整数的问题。

整数规划问题具有更为复杂的性质，其解的搜索空间更大，求解难度更大。

7. 什么是分支定界法？分支定界法是解整数规划问题的一种常用方法，它通过将整数规划问题分解为一系列线性规划子问题，通过不断分支和约束来逐步缩小解的搜索空间，最终找到最优解。

8. 什么是动态规划？动态规划是一种解决多阶段决策问题的方法，它通过将问题分解为一系列子问题，并且利用子问题的解来构建整体问题的解。

第一章 线性规划1、由图可得：最优解为2、用图解法求解线性规划： Min z=2x 1+x 2⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≤≥+≤+-01058244212121x x x x x x解：由图可得：最优解x=1.6,y=6.4Max z=5x 1+6x 2⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+-≥-0,23222212121x x x x x x解：由图可得：最优解Max z=5x 1+6x 2, Max z= +∞Maxz = 2x 1 +x 2⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≤+≤0,5242261552121211x x x x x x x由图可得：最大值⎪⎩⎪⎨⎧==+35121x x x ， 所以⎪⎩⎪⎨⎧==2321x xmax Z = 8.1212125.max 23284164120,1,2maxZ .jZ x x x x x x x j =+⎧+≤⎪≤⎪⎨≤⎪⎪≥=⎩如图所示，在（4，2）这一点达到最大值为26将线性规划模型化成标准形式：Min z=x 1-2x 2+3x 3⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥-=++-≥+-≤++无约束321321321321,0,052327x x x x x x x x x x x x解：令Z ’=-Z,引进松弛变量x 4≥0，引入剩余变量x 5≥0，并令x 3=x 3’-x 3’’,其中x 3’≥0,x 3’’≥0Max z ’=-x 1+2x 2-3x 3’+3x 3’’⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≥≥≥≥-=++-=--+-=+-++0,0,0'',0',0,05232'''7'''5433213215332143321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x7将线性规划模型化为标准形式Min Z =x 1+2x 2+3x 3⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤-=--≥++-≤++无约束，321321321321,00632442392-x x x x x x x x x x x x解：令Z ’ = -z ，引进松弛变量x 4≥0,引进剩余变量x 5≥0,得到一下等价的标准形式。

教材习题答案部分有图形的答案附在各章PPT文档的后面，请留意。

第1章线性规划第2章线性规划的对偶理论第3章整数规划第4章目标规划第5章运输与指派问题第6章网络模型第7章网络计划第8章动态规划第9章排队论第10章存储论第11章决策论第12章对策论习题一1.1 讨论下列问题：（1）在例1.1中，假定企业一周内工作5天，每天8小时，企业设备A有5台，利用率为0.8,设备B有7台，利用率为0.85,其它条件不变，数学模型怎样变化．（2）在例1.2中，如果设x j(j=1，2，…，7)为工作了5天后星期一到星期日开始休息的营业员，该模型如何变化．（3）在例1.3中，能否将约束条件改为等式；如果要求余料最少，数学模型如何变化；简述板材下料的思路．（4）在例1.4中，若允许含有少量杂质，但杂质含量不超过1％，模型如何变化．（5）在例1.6中，假定同种设备的加工时间均匀分配到各台设备上，要求一种设备每台每天的加工时间不超过另一种设备任一台加工时间1小时，模型如何变化．1.2 工厂每月生产A、B、C三种产品,单件产品的原材料消耗量、设备台时的消耗量、资源限量及单件产品利润如表1－22所示．310和130.试建立该问题的数学模型,使每月利润最大．【解】设x1、x2、x3分别为产品A、B、C的产量，则数学模型为123123123123123max 1014121.5 1.2425003 1.6 1.21400150250260310120130,,0Z x x x x x x x x x x x x x x x =++++≤⎧⎪++≤⎪⎪≤≤⎪⎨≤≤⎪⎪≤≤⎪≥⎪⎩ 1.3 建筑公司需要用6m 长的塑钢材料制作A 、B 两种型号的窗架．两种窗架所需材料规格及数量如表1－23所示：【解】设x j （j =1,2,…，14）为第j 种方案使用原材料的根数，则 （1）用料最少数学模型为14112342567891036891112132347910121314min 2300322450232400232346000,1,2,,14jj j Z x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x j ==⎧+++≥⎪++++++≥⎪⎪++++++≥⎨⎪++++++++≥⎪⎪≥=⎩∑ 用单纯形法求解得到两个基本最优解X (1)=( 50 ,200 ,0 ,0,84 ,0,0 ,0 ,0 ,0 ,0 ,200 ,0 ,0 );Z=534 X (2)=( 0 ,200 ,100 ,0,84 ,0,0 ,0 ,0 ,0 ,0 ,150 ,0 ,0 );Z=534 （2）余料最少数学模型为134131412342567891036891112132347910121314min 0.60.30.70.40.82300322450232400232346000,1,2,,14j Z x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x j =+++++⎧+++≥⎪++++++≥⎪⎪++++++≥⎨⎪++++++++≥⎪⎪≥=⎩ 用单纯形法求解得到两个基本最优解X (1)=( 0 ,300 ,0 ,0,50 ,0,0 ,0 ,0 ,0 ,0 ,200 ,0 ,0 );Z=0，用料550根 X (2)=( 0 ,450 ,0 ,0,0 ,0,0 ,0 ,0 ,0 ,0 ,200 ,0 ,0 );Z=0，用料650根 显然用料最少的方案最优。

运筹学部分课后习题解答P47 1.1 用图解法求解线性规划问题a）12121212min z=23466 ..424,0x xx xs t x xx x++≥⎧⎪+≥⎨⎪≥⎩解：由图1可知，该问题的可行域为凸集MABCN，且可知线段BA上的点都为最优解，即该问题有无穷多最优解，这时的最优值为min 3z=23032⨯+⨯= P47 1.3 用图解法和单纯形法求解线性规划问题a）12121212max z=10x5x349 ..528,0x xs t x xx x++≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩解：由图1可知，该问题的可行域为凸集OABCO，且可知B点为最优值点，即112122134935282xx xx x x=⎧+=⎧⎪⇒⎨⎨+==⎩⎪⎩，即最优解为*31,2Tx⎛⎫= ⎪⎝⎭这时的最优值为max335z=101522⨯+⨯=单纯形法： 原问题化成标准型为121231241234max z=10x 5x 349..528,,,0x x x s t x x x x x x x +++=⎧⎪++=⎨⎪≥⎩ j c →10 5B CB Xb 1x2x3x4x0 3x 9 3 4 1 0 04x8[5] 2 0 1 j j C Z -105 0 0 0 3x 21/5 0 [14/5] 1 -3/5 101x8/51 2/5 0 1/5 j j C Z -1 0 -2 5 2x 3/2 0 1 5/14 -3/14 101x11 0 -1/72/7j j C Z --5/14 -25/14所以有*max 33351,,1015222Tx z ⎛⎫==⨯+⨯= ⎪⎝⎭P78 2.4 已知线性规划问题：1234124122341231234max24382669,,,0z x x x x x x x x x x x x x x x x x x x =+++++≤⎧⎪+≤⎪⎪++≤⎨⎪++≤⎪≥⎪⎩求: (1) 写出其对偶问题；（2）已知原问题最优解为)0,4,2,2(*=X ，试根据对偶理论，直接求出对偶问题的最优解。