2020届苏北四市一模数学试卷及答案

徐州市2019-2020学年度高三年级第一次质量检测数学Ⅰ一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1.已知集合{|02}A x x =<<，{|11}B x x =-<<，则A B =U _____.2.已知复数z 满足24z =-，且z 的虚部小于0，则z =_____.3.若一组数据7,,6,8,8x 的平均数为7，则该组数据的方差是_____.4.执行如图所示的伪代码，则输出的结果为_____.5.函数2()log 2f x x =-的定义域为_____.6.某学校高三年级有,A B 两个自习教室，甲、乙、丙3名学生各自随机选择其中一个教室自习，则甲、乙两人不在同一教室上自习的概率为______.7.若关于x 的不等式230x mx -+<的解集是(1,3)，则实数m 的值为______.8.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2213x y -=的右准线与渐近线的交点在抛物线22y px =上，则实数p 的值为______.9.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，298a a +=，55S =-，则15S 的值为_____.10.已知函数3sin 2y x =的图象与函数cos2y x =的图象相邻的三个交点分别是,,A B C ，则ABC ∆的面积为_____.11.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:48120M x y x y +--+=，圆N 与圆M 外切与点(0,)m ，且过点(0,2)-，则圆N 的标准方程为______.12.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，其图象关于直线1x =对称，当(0,1]x ∈时，()ax f x e =-（其中e 是自然对数的底数），若(2020ln 2)8f -=，则实数a 的值为_____.13.如图，在ABC ∆中，,D E 是BC 上的两个三等分点，2AB AD AC AE ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r，则cos ADE ∠的最小值为____.14.设函数3()||f x x ax b =--，[1,1]x ∈-，其中,a b R ∈.若()f x M ≤恒成立，则当M 取得最小值时，a b +的值为______.二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15. （本小题满分14分）如图，在三棱锥P ABC -中，AP AB =，,M N 分别为棱,PB PC 的中点，平面PAB ⊥平面PBC .（1）求证：BC ∥平面AMN ； （2）求证：平面AMN ⊥平面PBC .16. （本小题满分14分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且5cos A =. （1）若5a =，25c =b 的值； （2）若4B π=，求tan2C 的值.17. （本小题满分14分）如图，在圆锥SO 中，底面半径R 为3，母线长l 为5.用一个平行于底面的平面区截圆锥，截面圆的圆心为1O ，半径为r ，现要以截面为底面，圆锥底面圆心O 为顶点挖去一个倒立的小圆锥1OO ，记圆锥1OO 的体积为V . （1）将V 表示成r 的函数； （2）求V 得最大值.18. （本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的右顶点为A ,过点A作直线l 与圆222:O x y b +=相切，与椭圆C 交于另一点P ，与右准线交于点Q .设直线l 的斜率为k .（1）用k 表示椭圆C 的离心率； （2）若0OP OQ ⋅=u u u r u u u r,求椭圆C 的离心率.19. （本小题满分16分） 已知函数1()()ln f x a x x=-()a R ∈.（1）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为10x y +-=，求a 的值； （2）若()f x 的导函数'()f x 存在两个不相等的零点，求实数a 的取值范围； （3）当2a =时，是否存在整数λ，使得关于x 的不等式()f x λ≥恒成立？若存在， 求出λ的最大值；若不存在，说明理由.20. （本小题满分16分）已知数列{}n a 的首项13a =，对任意的*n N ∈,都有11n n a ka +=-(0)k ≠，数列{1}n a -是公比不为1的等比数列. （1）求实数k 的值； （2）设4,1,n nn n b a n -⎧⎪=⎨-⎪⎩为奇数为偶数，数列{}n b 的前n 项和为n S ，求所有正整数m 的值，使得221mm S S -恰好为数列{}n b 中的项.徐州市2019-2020学年度高三年级第一次质量检测数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包含A 、B 、C 小题，请选定其中两题，并在答题卡相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两题评分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修4—2：矩阵与变换] （本小题满分10分）已知矩阵2M t ⎡=⎢⎣ 31⎤⎥⎦的一个特征值为4，求矩阵M 的逆矩阵1M -.B ．[选修4—4：坐标系与参数方程] （本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为(cos sin )12ρθθ+=，曲线C 的参数方程为2sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数，R θ∈）.在曲线C 上点M ,使点M 到l 的距离最小，并求出最小值.C ．[选修4—5：不等式选讲] （本小题满分10分）已知正数,,x y z 满足1x y z ++=，求111+222x y y z z x++++的最小值.第22题、第23题，每题10分，共计20分，请在答题卡指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22.（本小题满分10分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AA B B 为正方形，侧面11BB C C 为菱形，1160BB C ∠=o ，平面11AA B B ⊥平面11BB C C .（1）求直线1AC 与平面11AA B B 所成角的正弦值； （2）求二面角1B AC C --的余弦值.23.（本小题满分10分）已知n 为给定的正整数，设20122()3n n n x a a x a x a x +=++++L ，x R ∈. （1）若4n =，求0a ，1a 的值；（2）若13x =，求0()nk k k n k a x =-∑的值.徐州市2019-2020学年度高三年级第一次质量检测数学Ⅰ一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1.已知集合{|02}A x x =<<，{|11}B x x =-<<，则A B =U _____. 答案：{12}x x -<<解：由题意直接求解即可得A B =U {12}x x -<<2.已知复数z 满足24z =-，且z 的虚部小于0，则z =_____. 答案：2i -解: 24z =-,则2z i =±，又因为z 的虚部小于0，则2z i =- 3.若一组数据7,,6,8,8x 的平均数为7，则该组数据的方差是_____. 答案：45解：7++6+8+875x = 解得6x =，222222(77)(67)(67)(87)(87)455S -+-+-+-+-==4.执行如图所示的伪代码，则输出的结果为_____. 答案：205.函数2()log 2f x x =-的定义域为_____. 答案：[4,+)∞ 解：由题意得：2log 2x x >⎧⎨≥⎩，解得4x ≥，所以函数的定义域为[4,+)∞6.某学校高三年级有,A B 两个自习教室，甲、乙、丙3名学生各自随机选择其中一个教室自习，则甲、乙两人不在同一教室上自习的概率为______. 答案：12解：22222222212..A P A A A ==7.若关于x 的不等式230x mx -+<的解集是(1,3)，则实数m 的值为______. 答案：4解：由题意得：221303330m m ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，解得4m =8.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2213x y -=的右准线与渐近线的交点在抛物线22y px =上，则实数p 的值为______.答案：14解：由题意得：双曲线右准线与渐近线的交点为33(,)2±，代入22y px =得：14p = 9.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，298a a +=，55S =-，则15S 的值为_____. 答案：135解：298a a +=，55S =-，则388a a +=，355a =-，解得：31a =-，89a = 因为158********S a ==⨯=10.已知函数3sin 2y x =的图象与函数cos2y x =的图象相邻的三个交点分别是,,A B C ，则ABC ∆的面积为_____.答案：3π 11.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:48120M x y x y +--+=，圆N 与圆M 外切与点(0,)m ，且过点(0,2)-，则圆N 的标准方程为______. 答案：22(2)8x y ++=12.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，其图象关于直线1x =对称，当(0,1]x ∈时，()ax f x e =-（其中e 是自然对数的底数），若(2020ln 2)8f -=，则实数a 的值为_____.答案：3解：由题意得：4T = ，ln 2(2020ln 2)(ln 2)(ln 2)28a a f f f e -=-=-===，解得：3a =13.如图，在ABC ∆中，,D E 是BC 上的两个三等分点，2AB AD AC AE ⋅=⋅u u u r u u u ru u u r u u u r，则cos ADE ∠的最小值为____.答案：47解：323(2)2(2)AB AD AC AE AB AB AC AC AB AC ⋅=⋅⇒⋅+=⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r22222424c AB AC b AB AC c b =⋅+⇒⋅=-u u u r u u u r u u u r u u u r222222()(2)2cos |||2|442AB AC AB AC c b AB AC ADE AB AC AB AC c b AB AC b c AB AC-⋅+--⋅∠==-⋅+++⋅⋅+-⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u ru u ur u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 2222247(45)(3)b c b c b =≥--+14.设函数3()||f x x ax b =--，[1,1]x ∈-，其中,a b R ∈.若()f x M ≤恒成立，则当M 取得最小值时，a b +的值为______. 答案：34方法一：(1)|1|111()||282111()||282M f a b M f a b M f a b ⎧⎪≥=--⎪⎪≥=--⎨⎪⎪≥-=-+-⎪⎩所以111111362(1)()3()2|1|||3||2282822M f f f a b a b a b ≥+-+≥--+-+-+--≥ 当且仅当0b =，34a =时，上述等号成立，所以M 取最小值时，34a b +=. 方法二：由对称性可知，M 最小时，0b =，且3min ()1x ax a -=-(,(0,1))a x ∈ 所以3+1(1)x a x ≥+，即2min 3(1)4a x x =-+=，则34a b +=二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15. （本小题满分14分）如图，在三棱锥P ABC -中，AP AB =，,M N 分别为棱,PB PC 的中点，平面PAB ⊥平面PBC .（1）求证：BC ∥平面AMN ； （2）求证：平面AMN ⊥平面PBC .解：（1）在PBC △中，因为M ，N 分别为棱PB ，PC 的中点，所以MN // BC ． ………………………………3分 又MN ⊂平面AMN ，BC ⊄平面AMN ，所以BC //平面AMN ．…………………………6分 （2）在PAB △中，因为AP AB =，M 为棱PB 的中点，所以AM PB ⊥．………………………………8分又因为平面P AB ⊥平面PBC ，平面P AB I 平面PBC PB =，AM ⊂平面P AB ， 所以AM ⊥平面PBC ．…………………………………………………………12分 又AM ⊂平面AMN ，所以平面AMN ⊥平面PBC ． …………………………14分16. （本小题满分14分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且5cos A =. （1）若5a =，25c =b 的值； （2）若4B π=，求tan2C 的值.解：（1）在ABC △中，由余弦定理2222cos b c bc A a +-=得，2520225255b +-⨯=，即2450b b --=， …………………………4分 解得5b =或1b =-（舍），所以5b =． ………………………………………6分 （2）由5cos A =及0A <<π得，22525sin 1cos 1()5A A =-=-=，…8分所以210 cos cos(())cos()(cos sin)4210C A B A A Aπ=π-+=-+=--=，又因为0C<<π，所以2210310sin1cos1()10C C=-=-=，从而310sin10tan3cos1010CCC===，………………………………………………12分所以222tan233tan21tan134CCC⨯===---．………………………………………14分17. （本小题满分14分）如图，在圆锥SO中，底面半径R为3，母线长l为5.用一个平行于底面的平面区截圆锥，截面圆的圆心为1O，半径为r，现要以截面为底面，圆锥底面圆心O为顶点挖去一个倒立的小圆锥1OO，记圆锥1OO的体积为V.（1）将V表示成r的函数；（2）求V得最大值.解：（1）在SAO△中，2222534SO SA AO=-=-=，…………………………2分由1SNO△∽SAO△可知，1SO rSO R=，所以143SO r=，……………………4分所以1443OO r=-，所以223144()π(4)π(3),03339V r r r r r r=-=-<<．…7分（2）由（1）得234()π(3),039V r r r r=-<<，所以24()π(63)9V r r r'=-，令()0V r'=，得2r=，………………………9分当(0,2)r∈时，()0V r'>，所以()V r在(0,2)上单调递增；当(2,3)r∈时，()0V r'<，所以()V r在(2,3)上单调递减．所以当2r =时，()V r 取得最大值16π(2)9V =． 答：小圆锥的体积V 的最大值为16π9．………………………………………14分18. （本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的右顶点为A ,过点A作直线l 与圆222:O x y b +=相切，与椭圆C 交于另一点P ，与右准线交于点Q .设直线l 的斜率为k .（1）用k 表示椭圆C 的离心率； （2）若0OP OQ ⋅=u u u r u u u r,求椭圆C 的离心率.（1）直线l 的方程为)(a x k y -=，即0=--ak y kx ，因为直线l 与圆222b y x O =+：相切，所以b k ak=+-12，故2222b a b k -=． 所以椭圆C 的离心率222111b e a k =-=+4分（2）设椭圆C 的焦距为2c ，则右准线方程为2a x c=，由⎪⎩⎪⎨⎧=-=c ax a x k y 2)(得c ac a k a c a k y -=-=22)(，所以))(,(22c ac a k c a Q -，…6分 由⎪⎩⎪⎨⎧-==+)(12222a x k y b y a x 得02)(2224232222=-+-+b a k a x k a x k a b ， 解得222223k a b ab k a x p +-=，则22222222232)(k a b kab a k a b ab k a k y p +-=-+-=， 所以)2-2222222223k a b kab k a b ab k a P ++-，（，……………………………………………10分因为0=⋅OQ OP ，所以02)(222222222232=+-⋅-++-⋅k a b kab c ac a k k a b ab k a c a ，即)(2)(22222c a k b b k a a -=-，………………………………………………12分 由（1）知，2222b a b k -=，所以22422222)(2)(b a c a b b b a b a a --=--， 所以c a a 22-=，即c a 2=，所以21=a c ，故椭圆C 的离心率为21．……16分19. （本小题满分16分） 已知函数1()()ln f x a x x=-()a R ∈.（1）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为10x y +-=，求a 的值； （2）若()f x 的导函数'()f x 存在两个不相等的零点，求实数a 的取值范围； （3）当2a =时，是否存在整数λ，使得关于x 的不等式()f x λ≥恒成立？若存在， 求出λ的最大值；若不存在，说明理由.解：（1）()2111()ln f x x a x x x'=+-，因为曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为10x y +-=，所以(1)11f a '=-=-，得0a =．……………………………………………2分（2）因为21ln ()ax x f x x-+'=存在两个不相等的零点． 所以()1ln g x ax x =-+存在两个不相等的零点，则1()g x a x'=+．①当0a ≥时，()0g x '>，所以()g x 单调递增，至多有一个零点．……4分②当0a <时，因为当1(0)x a∈-，时，()0g x '>，()g x 单调递增， 当1(+)x a∈-∞，时，()0g x '<，()g x 单调递减， 所以1x a =-时，max 11()()ln()2g x g a a=-=--． …………………………6分因为()g x 存在两个零点，所以1ln()20a-->，解得2e 0a --<<．………7分因为2e 0a --<<，所以21e 1a->>．因为(1)10g a =-<，所以()g x 在1(0)a-，上存在一个零点． …………8分 因为2e 0a --<<，所以211()a a->-．因为22111[()]ln()1g a a a-=-+-，设1t a =-，则22ln 1(e )y t t t =-->，因为20t y t-'=<，所以22ln 1(e )y t t t =-->单调递减，所以()2222ln e e 13e 0y <--=-<，所以22111[()]ln()10g a a a-=-+-<，所以()g x 在1()a-+∞，上存在一个零点． 综上可知，实数a 的取值范围为2(e ,0)--．…………………………………10分（3）当2a =时，1()(2)ln f x x x =-，()2211121ln ()ln 2x x f x x x x x x-+'=+-=， 设()21ln g x x x =-+，则1()20g x x'=+>．所以()g x 单调递增，且11()ln 022g =<，(1)10g =>，所以存在01(1)2x ∈，使得0()0g x =，……12分 因为当0(0)x x ∈，时，()0g x <，即()0f x '<，所以()f x 单调递减；当0(+)x x ∈∞，时，()0g x >，即()0f x '>，所以()f x 单调递增，所以0x x =时，()f x 取得极小值，也是最小值，此时()0000000111()(2)ln (2)12(4)4f x x x x x x x =-=--=-++，……………14分因为01(1)2x ∈，，所以0()(10)f x ∈-，， 因为()f x λ≥，且λ为整数，所以1λ-≤，即λ的最大值为1-．………16分20. （本小题满分16分）已知数列{}n a 的首项13a =，对任意的*n N ∈,都有11n n a ka +=-(0)k ≠，数列{1}n a -是公比不为1的等比数列. （1）求实数k 的值； （2）设4,1,n nn n b a n -⎧⎪=⎨-⎪⎩为奇数为偶数，数列{}n b 的前n 项和为n S ，求所有正整数m 的值，使得221mm S S -恰好为数列{}n b 中的项. 解：（1）由11n n a ka +=-，13a =可知，231a k =-，2331a k k =--，因为{1}n a -为等比数列，所以2213(1)(1)(1)a a a -=--，即22(32)2(32)k k k -=⨯--，即231080k k -+=，解得2k =或43k =，…2分 当43k =时，143(3)3n n a a +-=-，所以3n a =，则12n a -=， 所以数列{1}n a -的公比为1，不符合题意；当2k =时，112(1)n n a a +-=-，所以数列{1}n a -的公比1121n n a q a +-==-，所以实数k 的值为2． …………………………………………………………4分（2）由（1）知12n n a -=，所以4n n n n b n - , ⎧⎪=⎨2, ⎪⎩为奇数,为偶数,则22(41)4(43)4[4(21)]4m m S m =-++-+++--+L2(41)(43)[4(21)]444m m =-+-++--++++L L144(4)3m m m +-=-+，……………………………………………………6分则212244(4)3m m m m S S b m m --=-=-+，因为22+1324m m m b b m +=-+，又222+322+1()()3420m m m m m b b b b ++-+=⨯->，且2350b b +=>，130b =>，所以210m S ->，则20m S >，设2210,mt m S b t S -=>∈*N ，…………………………………………………………8分 则1,3t =或t 为偶数，因为31b =不可能，所以1t =或t 为偶数，①当2121=m m S b S -时，144(4)3344(4)3m m m m m m +--+=--+，化简得2624844m m m -+=--≤， 即242m m -+≤0，所以m 可取值为1，2，3，验证624135787,3,323S S S S S S ===得，当2m =时，413S b S =成立．…………………12分②当t 为偶数时，1222144(4)331443124(4)134m m m m mm m S S m m m m +---+==+--+--++， 设231244m m m m c -+-=，则211942214m m m m m c c ++-+-=，由①知3m >，当4m =时，545304c c --=<；当4m >时，10m m c c +->，所以456c c c ><<L ，所以m c 的最小值为5191024c -=， 所以22130151911024m m S S -<<+<-+，令22214m m S b S -==，则2314312414mm m +=-+-+， 即231240m m -+-=，无整数解．综上，正整数m 的值2．………………………………………………………16分徐州市2019-2020学年度高三年级第一次质量检测数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包含A、B、C小题，请选定其中两题，并在答题卡相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两题评分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．[选修4—2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知矩阵2Mt⎡=⎢⎣31⎤⎥⎦的一个特征值为4，求矩阵M的逆矩阵1M-.解：矩阵M的特征多项式为23()(2)(1)31f ttλλλλλ--==-----．…………2分因为矩阵M的一个特征值为4，所以(4)630f t=-=，所以2t=．…………5分所以2321⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M，所以11313213221324422112132213222--⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⨯-⨯⨯-⨯==⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⨯-⨯⨯-⨯⎣⎦⎣⎦M．……10分B．[选修4—4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为(cos sin)12ρθθ+=，曲线C的参数方程为2sinxyθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数，Rθ∈）.在曲线C上点M,使点M到l的距离最小，并求出最小值. 解：由:cos sin120lρθρϕ+-=，及cosxρθ=，sinyρθ=，所以l的直角坐标方程为120x y+-=．………………………………………2分在曲线C上取点()2sinMϕϕ，，则点M到l的距离124sin3dϕπ-+==，…………6分当6ϕπ=时，d取最小值8分此时点M的坐标为()3,1．………………………………………………………10分C．[选修4—5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知正数,,x y z满足1x y z++=，求111+222x y y z z x++++的最小值.解：因为x y z，，都为正数，且1x y z++=，所以由柯西不等式得，1113()222x y y z z x+++++111()[(2)(2)(2)]222x y y z z xx y y z z x=++⋅++++++++………………5分29=≥，当且仅当13x y z===时等号成立，所以111222x y y z z x+++++的最小值为3．…………………………………10分第22题、第23题，每题10分，共计20分，请在答题卡指定区域内作答，解答应写出文（第22题）BACxyzB 1 A 1C 1 字说明、证明过程或演算步骤．22.（本小题满分10分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AA B B 为正方形，侧面11BB C C 为菱形，1160BB C ∠=o ，平面11AA B B ⊥平面11BB C C .（1）求直线1AC 与平面11AA B B 所成角的正弦值； （2）求二面角1B AC C --的余弦值.解：（1）因为四边形11AA B B 为正方形，所以1AB BB ⊥，因为平面11AA B B ⊥平面11BB C C ，平面11AA B B I 平面111BB C C BB =，AB ⊂平面11AA B B ，所以AB ⊥平面11BB C C . ……………………………2分以点B 为坐标原点，分别以BA ,1BB 所在的直线为x ,y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系B xyz -.不妨设正方形11AA B B 的边长为2，则()2 0 0A ，，，()10 2 0B ，，． 在菱形11BB C C 中，因为1160BB C ∠=︒，所以1(0 1 3)C ，，，所以1( 2 1 3)AC =-u u u u r，，． 因为平面11AA B B 的法向量为()0 0 1=，，n ， 设直线1AC 与平面11AA B B 所成角为α，则1|3|6sin |cos ,|221AC α=<>==⨯u u u u r n ，即直线1AC 与平面11AA B B 6．………………………6分（2）由（1）可知，(0 1 3C -，，，所以()10 2 0CC =u u u u r，，． 设平面1ACC 的一个法向量为()1111 x y z =，，n ， 因为11110,0,AC CC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u ru u u u rn n 即()(()()111111 2 1 30 0 2 00x y z x y z ⎧⋅-=⎪⎨⋅=⎪⎩，，，，，，，，， 取13x =，10y =，11z =，即13 0 1⎫=⎪⎭，，n ． 设平面1ABC 的一个法向量为()2222 x y z =，，n ， 因为()2 0 0BA =u u u r ，，，(10 1 3BC =u u u u r，，，所以()()()(222222 2 0 00 0 1 0x y z x y z ⋅=⎧⎪⎨⋅=⎪⎩，，，，，，，，取()20 1=-，n ．…………8分 设二面角1B AC C --的平面角为θ，则121212 cos cos θ⋅=-<>=-==⋅，n n n n n n所以二面角1B AC C --．…………………………………10分23.（本小题满分10分）已知n 为给定的正整数，设20122()3n n n x a a x a x a x +=++++L ，x R ∈. （1）若4n =，求0a ，1a 的值；（2）若13x =，求0()nk k k n k a x =-∑的值.解：（1）因为4n =，所以0404216C ()=381a =，1314232C ()=327a =．……………………2分 （2）当13x =时，21C ()()33k k n k kk n a x -=，又因为11!(1)!C C !()!(1)!()!k k n n n n k k n n k n k k n k ---===---，………………………4分当1n =时，011022()C ()33nk k k n k a x =-==∑； …………………………………5分 当2n ≥时，0021()()C ()()33n nkk n k k k n k k n k a x n k -==-=-∑∑ 012121C ()()C ()()3333n nk n k k k n k k n n k k n k --===-∑∑1112121()C ()()3333n n k n k kn k n n ---==+-∑ 1111121C ()()333n k n k k n k n n ----==-∑1121()333n n n -=-+23n =，当1n =时，也符合．所以0()nk k k n k a x =-∑的值为23n ．………………………………………………10分。

江苏省苏北四市2021—2021 学年度高三第一次调研考试数学试题考前须知考生在答题前请认真阅读本考前须知及各题答题要求1．本试卷共 4 页，包含填空题〔第 1 题——第14 题〕、解答题〔第 15 题——第20 题〕。

本卷总分值160 分，考试时间为120 分钟。

考试结束后，请将本卷和答题卡一并交回。

2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0．5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。

3．请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效。

作答必须用 0．5 毫米黑色墨水的签字笔。

请注意字体工整，笔迹清楚。

参考公式：样本数据 x1, x2 ,, x n的方差 s21n(xix)2，其中 x 1 n x i．n i1n i1一、填空题：本大题共14 小题，每题5 分，共计70 分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．．1．假设复数z11i ， z224i ，其中 i 是虚数单位，那么复数z1 z2的虚部是．2．集合 A( ,0] ， B{1,3,a} ，假设 A B，那么实数 a 的取值范围是．3．假设函数 f ( x)2m 为奇函数，那么实数m．开始2x14．假设抛物线的焦点坐标为(2,0) ，那么抛物线的标准方程S0,n1是．5．从某项综合能力测试中抽取10 人的成绩，统计如n ≤12N下表，那么这10 人成绩的方差为．Y输出 S 分数54321S S n人数31132结束n n26．如图是一个算法的流程图，那么最后输出的S〔第 6 题图〕．7．直线 l1： ax 3 y10 ， l 2： 2 x (a1)y10 ，假设 l1∥ l 2，那么实数 a 的值是．8．一个质地均匀的正四面体〔侧棱长与底面边长相等的正三棱锥〕玩具的四个面上分别标有1， 2， 3， 4 这四个数字．假设连续两次抛掷这个玩具，那么两次向下的面上的数字之积为偶数的概率是．π 3，π，那么 cos．9． cos()( , π)45210．函数 y f ( x)及其导函数 y f ( x) 的图象如下图，那么曲线 y f ( x) 在点 P 处的切线方程是．yy f (x)yf ( x)1OP(2,0)x〔第 10 题图〕11．在△ ABC 中，点 M 满足 MAMBMC0 ，假设 ABAC mAM 0 ，那么实数 m 的值为．12．设 m ， n 是两条不同的直线， ，，是三个不同的平面，给出以下命题：①假设 m ， ，那么 m ； ②假设 m// ， m ，那么 ；③假设 ， ，那么 ；④假设 m ， n ， m//n ，那么 // ．上面命题中，真命题 的序号是〔写出所有真命题的序号〕 ．．．．13．假设关于 x 的不等式 (2 x 1)2 ≤ ax 2 的解集中的整数恰有2 个，那么实数 a 的取值范围是．14．数列{ a n } ， { b n } 满足 a 11 ， a 22 ， b 1 2 ，且对任意的正整数i , j , k , l ，当12021i j kl 时，都有 a ib ja kb l ，那么 (a ib i ) 的值是．2021 i 1二、解答题：本大题共6 小题，共计90 分．请在答题卡指定位置 内作答，解答时应写出文．．．．．．．字说明、证明过程或演算步骤．15．〔本小题总分值 14 分〕如图，在△ ABC 中，AB3，AC6 ， BC7 ，AD是BAC 平分线．（ 1〕求证： DC 2BD ；〔 2〕求 AB DC 的值．ABDC〔第 15 题图〕16．〔本小题总分值14 分〕如图，在四棱锥P ABCD 中，四边形ABCD 是菱形，PB PD ，且E，F分别是BC， CD 的中点．求证：（1〕EF ∥平面PBD；（2〕平面PEF⊥平面 PAC ．PAFBE C〔第 16 题图〕17．〔本小题总分值14 分〕在各项均为正数的等比数列{ a n } 中， a22a1 3 ，且 3a2， a4， 5a3成等差数列．〔 1〕求数列 { a n } 的通项公式；〔 2〕设 b n log3 a n，求数列a n b n的前n项和S n．18．〔本小题总分值16 分〕椭圆 E：x2y21的左焦点为F，左准线l与x轴的交点是圆 C 的圆心，圆84C 恰好经过坐标原点O，设 G 是圆 C 上任意一点．〔 1〕求圆 C 的方程；〔 2〕假设直线 FG 与直线l交于点 T，且 G 为线段 FT 的中点，求直线FG 被圆 C 所截得的弦长；〔 3〕在平面上是否存在一点P，使得GF 1 ？假设存在，求出点P坐标；假设不存在，GP 2请说明理由．19．〔本小题总分值16 分〕如图 1，OA， OB 是某地一个湖泊的两条垂直的湖堤，线段CD 和曲线 EF 分别是湖泊中的一条栈桥和防波堤．为观光旅游需要，拟过栈桥 CD 上某点M分别修建与OA，OB 平行的栈桥MG ，MK ，且以 MG ，MK 为边建一个跨越水面的三角形观光平台MGK ．建立如图 2 所示的直角坐标系，测得CD 的方程是 x 2 y 20(0 x 20) ，曲线 EF 的方程是 xy 200( x 0) ，设点M的坐标为 (s, t) ．〔题中所涉及长度单位均为米，栈桥及防波堤都不计宽度〕〔 1〕求三角形观光平台MGK 面积的最小值；〔 2〕假设要使 MGK 的面积不小于320 平方米，求t 的范围．图 1图220．〔本小题总分值16 分〕函数 f ( x)e x ax 1〔 aR ，且 a 为常数〕．〔 1〕求函数 f ( x) 的单调区间；〔 2〕当 a 0 时，假设方程 f (x)0〔 3〕假设对所有x ≥ 0 都有 f ( x) ≥只有一解，求 a 的值；f ( x) ，求 a 的取值范围．数学Ⅱ 〔附加题〕21．【选做题】此题包括 A、 B、C、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作．．．．．．．．．．．．．．．．．．答．假设多做，那么按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．．A ．选修 4-1：几何证明选讲〔本小题总分值10 分〕如图， AB 是⊙O的直径，弦 BD 、CA的延长线相交于点E， EF 垂直 BA 的延长线于点 F．求证：E〔 1〕AED AFD ；D·FBA O〔 2〕 AB 2 BE BD AE AC ．B ．选修 4-2：矩阵与变换 〔本小题总分值10 分〕求曲 线 2x 22 xy 10 在矩 阵 MN 对应的变 换作用下得 到的曲线方 程，其中1 0 1M2 ， N．1 1C ．选修 4-4：坐标系与参数方程 〔本小题总分值 10 分〕 以直角坐标系的原点为极点， x 轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的单位长度．直线l 的极坐标方程为cos2 sin 0 ，曲线C 的参数方程为x 4cos , AB 的长．y2sin ( 为参数 ) ，又直线 l 与曲线 C 交于 A ， B 两点，求线段D．选修 4-5：不等式选讲〔本小题总分值10 分〕假设存在实数 x使3x 614 x a 成立，求常数a的取值范围．【必做题】第22 题、第 23 题，每题10 分，共计20 分．请在答题卡指定区域内作答，．．．．．．．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．〔本小题总分值10 分〕如图，在长方体 ABCD A1B1C1D1中，AB 4 ，AD 3 ， AA1 2 ，E，F分别是棱 AB ，BC 上的点，且EB FB 1．〔 1〕求异面直线 EC1与 FD1所成角的余弦值；〔〕试在面 A1B1C1D1上确定一点G ，使DG 平面D1EF．2D1C1GB1A1D CFA E B〔第 22 题图〕23．〔本小题总分值10 分〕设二项展开式C n( 3 1)2 n 1 ( n N *)的整数局部为A n，小数局部为B n．（1〕计算C1B1, C2B2的值；（2〕求C n B n．参考答案一、填空题．． a 0．．y 28x1 223 -14126． 367． -38．35．5429．1010． x y 2 0 11． -312．②13．9 , 25 14． 20214 9二、解答 15．〔 1〕在ABD 中，由正弦定理得16．〔 1〕因 E ， F 分 是 BC ， CD 的中点，所以 EF//BD ， ⋯⋯⋯⋯ 2 分所以 EF平面 PBD ，所以 EF//平面 PBD 。

江苏省苏北四市2020届高三上学期期末考试2020届高三模拟考试试卷数 学 2020.01(满分160分，考试时间120分钟)2020．1 参考公式：1. 样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差s 2＝1n ∑n i ＝1(x i －x)2，其中x ＝1n ∑ni ＝1x i； 2. 圆锥的体积V ＝13Sh ，其中S 是圆锥的底面圆面积，h 是圆锥的高．一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 已知集合A ＝{x|0<x<2}，B ＝{x|－1<x<1)，则A ∪B ＝________． S ←0 I ←1While I ＜6 I ←I ＋1 S ←S ＋I End While Print S(第4题)2. 已知复数z 满足z 2＝－4，且z 的虚部小于0，则z ＝________．3. 若一组数据7，x ，6，8，8的平均数为7，则该组数据的方差是________．4. 执行如图所示的伪代码，则输出的结果为________．5. 函数f(x)＝log 2x －2的定义域为________．6. 某学校高三年级有A ，B 两个自习教室，甲、乙、丙3名学生各自随机选择其中一个教室自习，则甲、乙两人不在同一教室上自习的概率为________．7. 若关于x 的不等式x 2－mx ＋3<0的解集是(1，3)，则实数m 的值为________．8. 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 23－y 2＝1的右准线与渐近线的交点在抛物线y 2＝2px 上，则实数p 的值为________．9. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 2＋a 9＝8，S 5＝－5，则S 15的值为________． 10. 已知函数y ＝3sin 2x 的图象与函数y ＝cos 2x 的图象相邻的三个交点分别是A ，B ，C ，则△ABC 的面积为________．11. 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆M ：x 2＋y 2－4x －8y ＋12＝0，圆N 与圆M 外切于点(0，m)，且过点(0，－2)，则圆N 的标准方程为______________．12. 已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，其图象关于直线x ＝1对称，当x ∈(0，1]时，f(x)＝－e ax (其中e 是自然对数的底数)．若f(2 020－ln 2)＝8，则实数a 的值为________．(第13题)13. 如图，在△ABC 中，D ，E 是BC 上的两个三等分点，AB →·AD →＝2AC →·AE →，则cos∠ADE 的最小值为________．14. 设函数f(x)＝|x 3－ax －b|，x ∈[－1，1]，其中a ，b ∈R .若f(x)≤M 恒成立，则当M 取得最小值时，a ＋b 的值为________．二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)如图，在三棱锥PABC 中，AP ＝AB ，点M ，N 分别为棱PB ，PC 的中点，平面PAB ⊥平面PBC.求证：(1) BC ∥平面AMN ；(2) 平面AMN ⊥平面PBC.16. (本小题满分14分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos A ＝55. (1) 若a ＝5，c ＝25，求b 的值； (2) 若B ＝π4，求tan 2C 的值．17. (本小题满分14分) 如图，在圆锥SO 中，底面半径R 为3，母线长l 为5.用一个平行于底面的平面去截圆锥，截面圆的圆心为O 1，半径为r.现要以截面为底面，圆锥底面圆心O 为顶点挖去一个倒立的小圆锥OO 1，记圆锥OO 1的体积为V.(1) 将V 表示成r 的函数； (2) 求V 的最大值．18. (本小题满分16分)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的右顶点为A ，过点A 作直线l 与圆O ：x 2＋y 2＝b 2相切，与椭圆C 交于另一点P ，与右准线交于点Q.设直线l 的斜率为k.(1) 用k 表示椭圆C 的离心率；(2) 若OP →·OQ →＝0，求椭圆C 的离心率．19. (本小题满分16分)已知函数f(x)＝(a －12)ln x(a ∈R )．(1) 若曲线y ＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为x ＋y －1＝0，求a 的值； (2) 若f(x)的导函数f′(x)存在两个不相等的零点，求实数a 的取值范围；(3) 当a ＝2时，是否存在整数λ，使得关于x 的不等式f(x)≥λ恒成立？若存在，求出λ的最大值；若不存在，请说明理由．20. (本小题满分16分)已知数列{a n }的首项a 1＝3，对任意的n ∈N *，都有a n ＋1＝ka n －1(k ≠0)，数列{a n －1}是公比不为1的等比数列．(1) 求实数k 的值；(2) 设b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4－n ，n 为奇数，a n －1，n 为偶数，数列{b n }的前n 项和为S n ，求所有正整数m 的值，使得S 2mS 2m －1恰好为数列{b n }中的项．2020届高三模拟考试试卷(四)数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A ，B ，C 三小题中只能选做两题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修42：矩阵与变换)已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤23t 1的一个特征值为4，求矩阵M 的逆矩阵M －1.B. (选修44：坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρ(cos θ＋sin θ)＝12，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝23cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数，θ∈R )．在曲线C 上求点M ，使点M 到l 的距离最小，并求出最小值．C. (选修45：不等式选讲)已知正数x ，y ，z 满足x ＋y ＋z ＝1，求1x ＋2y ＋1y ＋2z ＋1z ＋2x的最小值． 【必做题】 第22，23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 如图，在三棱柱ABCA 1B 1C 1中，侧面AA 1B 1B 为正方形，侧面BB 1C 1C 为菱形，∠BB 1C 1＝60°，平面AA 1B 1B ⊥平面BB 1C 1C.(1) 求直线AC 1与平面AA 1B 1B 所成角的正弦值； (2) 求二面角BAC 1C 的余弦值．23. 已知n 为给定的正整数，设(23＋x)n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，x ∈R .(1) 若n ＝4，求a 0，a 1的值；(2) 若x ＝13，求∑n k ＝0(n －k)a k x k 的值．2020届高三模拟考试试卷(四)(苏北四市)数学参考答案及评分标准1. {x|－1<x<2}2. －2i3. 454. 205. [4，＋∞)6. 127. 48. 149. 135 10.32π 11. (x ＋2)2＋y 2＝8 12. 3 13. 47 14. 3415. 证明：(1) 在△PBC 中，因为点M ，N 分别为棱PB ，PC 的中点，所以MN ∥BC.(3分)又MN ⊂平面AMN ，BC ⊄平面AMN ，所以BC ∥平面AMN.(6分)(2) 在△PAB 中，因为AP ＝AB ，点M 为棱PB 的中点，所以AM ⊥PB.(8分)因为平面PAB ⊥平面PBC ，平面PAB ∩平面PBC ＝PB ，AM ⊂平面PAB ，所以AM ⊥平面PBC.(12分)又AM ⊂平面AMN ，所以平面AMN ⊥平面PBC.(14分)16. 解：(1) 在△ABC 中，由余弦定理b 2＋c 2－2bccos A ＝a 2，得b 2＋20－2×25×55b ＝25，即b 2－4b －5＝0，(4分) 解得b ＝5或b ＝－1(舍)，所以b ＝5.(6分) (2) 由cos A ＝55及0<A<π，得sin A ＝1－cos 2A ＝1－（55）2＝255，(8分) 所以cos C ＝cos [π－(A ＋B)]＝－cos(A ＋π4)＝－22(cos A －sin A)＝1010.因为0<C<π，所以sin C ＝1－cos 2C ＝1－（1010）2＝31010， 从而tan C ＝sin Ccos C ＝310101010＝3，(12分)所以tan 2C ＝2tan C 1－tan 2C ＝2×31－32＝－34.(14分) 17. 解：(1) 在△SAO 中，SO ＝SA 2－AO 2＝52－32＝4.(2分)由△SNO 1∽△SAO 可知SO 1SO ＝r R ，所以SO 1＝43r ，(4分)所以OO 1＝4－43r ，所以V(r)＝13πr 2(4－43r)＝49π(3r 2－r 3)，0<r<3.(7分)(2) 由(1)得V(r)＝49π(3r 2－r 3)，0<r<3，所以V′(r)＝49π(6r －3r 2)，令V′(r)＝0，得r ＝2，(9分)当r ∈(0，2)时，V ′(r)>0，所以V(r)在(0，2)上单调递增； 当r ∈(2，3)时，V ′(r)<0，所以V(r)在(2，3)上单调递减． 所以当r ＝2时，V(r)取得最大值V(2)＝16π9.答：小圆锥的体积V 的最大值为16π9.(14分)18. 解：(1) 直线l 的方程为y ＝k(x －a)，即kx －y －ak ＝0.因为直线l 与圆O ：x 2＋y 2＝b 2相切，所以|－ak|k 2＋1＝b ，故k 2＝b 2a 2－b 2.所以椭圆C 的离心率e ＝1－b 2a 2＝1k 2＋1.(4分) (2) 设椭圆C 的焦距为2c ，则右准线方程为x ＝a 2c.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －a ），x ＝a 2c 得y ＝k(a 2c －a)＝k a 2－ac c ，所以Q(a 2c ，k （a 2－ac ）c)．(6分)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2＋y 2b 2＝1，y ＝k （x －a ）得(b 2＋a 2k 2)x 2－2a 3k 2x ＋a 4k 2－a 2b 2＝0， 解得x P ＝a 3k 2－ab 2b 2＋a 2k 2，则y P ＝k(a 3k 2－ab 2b 2＋a 2k 2－a)＝－2ab 2k b 2＋a 2k 2，所以P(a 3k 2－ab 2b 2＋a 2k 2，－2ab 2kb 2＋a 2k2)．(10分)因为OP →·OQ →＝0，所以a 2c ·a 3k 2－ab 2b 2＋a 2k 2＋k （a 2－ac ）c ·－2ab 2k b 2＋a 2k 2＝0，即a(a 2k 2－b 2)＝2b 2k 2(a －c)．(12分) 由(1)知k 2＝b 2a 2－b 2，所以a(a 2b 2a 2－b 2－b 2)＝2b 4（a －c ）a 2－b 2， 所以a ＝2a －2c ，即a ＝2c ，所以c a ＝12，故椭圆C 的离心率为12.(16分)19. 解：(1) f′(x)＝1x 2ln x ＋(a －1x )1x.因为曲线y ＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为x ＋y －1＝0，所以f′(1)＝a －1＝－1，解得a ＝0.(2分) (2) 因为f′(x)＝ax －1＋ln xx 2存在两个不相等的零点， 所以g(x)＝ax －1＋ln x 存在两个不相等的零点，则g′(x)＝1x ＋a.①当a ≥0时，g ′(x)>0，所以g(x)单调递增，至多有一个零点．(4分) ②当a<0时，因为当x ∈(0，－1a )时，g ′(x)>0，g(x)单调递增；当x ∈(－1a ，＋∞)时，g ′(x)<0，g(x)单调递减，所以x ＝－1a 时，g(x)max ＝g(－1a )＝ln(－1a)－2.(6分)因为g(x)存在两个零点，所以ln(－1a )－2>0，解得－e －2<a<0.(7分)因为－e －2<a<0，所以－1a>e 2>1.因为g(1)＝a －1<0，所以g(x)在(0，－1a )上存在一个零点．(8分)因为－e －2<a<0，所以(－1a )2>－1a.因为g((－1a )2)＝ln(－1a )2＋1a －1，设t ＝－1a ，则y ＝2ln t －t －1(t>e 2)．因为y′＝2－tt<0，所以y ＝2ln t －t －1(t>e 2)单调递减， 所以y<2ln(e 2)－e 2－1＝3－e 2<0，所以g((－1a )2)＝ln(－1a )2＋1a －1<0，所以g(x)在(－1a，＋∞)上存在一个零点．综上可知，实数a 的取值范围是(－e －2，0)．(10分)(3) 当a ＝2时，f(x)＝(2－1x )ln x ，f ′(x)＝1x 2ln x ＋(2－1x )1x ＝2x －1＋ln xx 2，设g(x)＝2x －1＋ln x ，则g′(x)＝1x ＋2>0，所以g(x)单调递增，且g(12)＝ln 12<0，g(1)＝1>0，所以存在x 0∈(12，1)使得g(x 0)＝0.(12分)因为当x ∈(0，x 0)时，g(x)<0，即f′(x)<0，所以f(x)单调递减； 当x ∈(x 0，＋∞)时，g(x)>0，即f′(x)>0，所以f(x)单调递增， 所以x ＝x 0时，f(x)取得极小值，也是最小值，此时f(x 0)＝(2－1x 0)ln x 0＝(2－1x 0)(1－2x 0)＝－(4x 0＋1x 0)＋4.(14分)因为x 0∈(12，1)，所以f(x 0)∈(－1，0)．因为f(x)≥λ，且λ为整数，所以λ≤－1，即λ的最大值为－1.(16分) 20. 解：(1) 由a n ＋1＝ka n －1，a 1＝3可知，a 2＝3k －1，a 3＝3k 2－k －1. 因为{a n －1}为等比数列，所以(a 2－1)2＝(a 1－1)(a 3－1)，即(3k －2)2＝2×(3k 2－k －2)，即3k 2－10k ＋8＝0，解得k ＝2或k ＝43.(2分)当k ＝43时，a n ＋1－3＝43(a n －3)，所以a n ＝3，则a n －1＝2，所以数列{a n －1}的公比为1，不符合题意；当k ＝2时，a n ＋1－1＝2(a n －1)，所以数列{a n －1}的公比q ＝a n ＋1－1a n －1＝2，所以实数k 的值为2.(4分) (2) 由(1)知a n －1＝2n ，所以b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4－n ， n 为奇数，2n ， n 为偶数，则S 2m ＝(4－1)＋4＋(4－3)＋42＋…＋[4－(2m －1)]＋4m＝(4－1)＋(4－3)＋…＋[4－(2m －1)]＋4＋42＋…＋4m ＝m(4－m)＋4m ＋1－43，(6分)则S 2m －1＝S 2m －b 2m ＝m(4－m)＋4m －43.因为b 2m ＋b 2m ＋1＝3－2m ＋4m ，又(b 2m ＋2＋b 2m ＋3)－(b 2m ＋b 2m ＋1)＝3×4m －2>0， 且b 2＋b 3＝5>0，b 1＝3>0，所以S 2m －1>0，则S 2m >0.设S 2mS 2m －1＝b t >0，t ∈N *，(8分) 则t ＝1，3或t 为偶数，因为b 3＝1不可能，所以t ＝1或t 为偶数．①当S 2mS 2m －1＝b 1时，m （4－m ）＋4m ＋1－43m （4－m ）＋4m －43＝3，化简得6m 2－24m ＋8＝－4m ≤－4， 即m 2－4m ＋2≤0，所以m 可能取值为1，2，3，验证S 2S 1＝73，S 4S 3＝3，S 6S 5＝8723，得当m ＝2时，S 4S 3＝b 1成立．(12分)②当t 为偶数时，S 2m S 2m －1＝m （4－m ）＋4m ＋1－43m （4－m ）＋4m －43＝1＋3－3m 2＋12m －44m ＋1， 设c m ＝－3m 2＋12m －44m ，则c m ＋1－c m ＝9m 2－42m ＋214m ＋1. 由①知m>3，当m ＝4时，c 5－c 4＝－345<0；当m>4时，c m ＋1－c m >0，所以c 4>c 5<c 6<…，所以c m 的最小值为c 5＝－191 024，所以0<S 2m S 2m －1<1＋3－191 024＋1<5.令S 2m S 2m －1＝4＝b 2，则1＋3－3m 2＋12m －44m＋1＝4，即－3m 2＋12m －4＝0，无整数解． 综上，正整数m 的值2.(16分)2020届高三模拟考试试卷(苏北四市) 数学附加题参考答案及评分标准21. A. 解：矩阵M 的特征多项式为f(λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2－3－t λ－1＝(λ－2)(λ－1)－3t.(2分)因为矩阵M 的一个特征值为4，所以f(4)＝6－3t ＝0，所以t ＝2.(5分)所以M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2321，所以M －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12×1－3×2－32×1－3×2－22×1－3×222×1－3×2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14 34 12－12.(10分) B. 解：由l ：ρcos θ＋ρsin φ－12＝0，及x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， 所以l 的直角坐标方程为x ＋y －12＝0. (2分)在曲线C 上取点M(23cos φ，2sin φ)，则点M 到l 的距离d ＝|23cos φ＋2sin φ－12|2＝⎪⎪⎪⎪4sin （φ＋π3）－122＝12－4sin （φ＋π3）2，(6分)当φ＝π6时，d 取最小值42，(8分)此时点M 的坐标为(3，1)．(10分)C. 解：因为x ，y ，z 都为正数，且x ＋y ＋z ＝1， 所以由柯西不等式，得3(1x ＋2y ＋1y ＋2z ＋1z ＋2x )＝(1x ＋2y ＋1y ＋2z ＋1z ＋2x )·[(x ＋2y)＋(y ＋2z)＋(z ＋2x)](5分) ≥(1x ＋2y·x ＋2y ＋1y ＋2z·y ＋2z ＋1z ＋2x·z ＋2x)2＝9， 当且仅当x ＝y ＝z ＝13时等号成立，所以1x ＋2y ＋1y ＋2z ＋1z ＋2x的最小值为3.(10分)22. 解：(1) 因为四边形AA 1B 1B 为正方形，所以AB ⊥BB 1.因为平面AA 1B 1B ⊥平面BB 1C 1C ，平面AA 1B 1B ∩平面BB 1C 1C ＝BB 1， AB ⊂平面AA 1B 1B ，所以AB ⊥平面BB 1C 1C. (2分)以点B 为坐标原点，分别以BA ，BB 1所在的直线为x ，y 轴，以过点B 且垂直于平面AA 1B 1B 的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz.不妨设正方形AA 1B 1B 的边长为2， 则A(2，0 ，0)，B 1(0，2，0)．在菱形BB 1C 1C 中，因为∠BB 1C 1＝60°，所以C 1(0，1，3)，所以AC 1→＝(－2，1，3)． 因为平面AA 1B 1B 的一个法向量为n ＝(0，0，1)， 设直线AC 1与平面AA 1B 1B 所成角为α， 则sin α＝|cos 〈AC 1→，n 〉|＝|3|22×1＝64，即直线AC 1与平面AA 1B 1B 所成角的正弦值为64.(6分) (2) 由(1)可知，C(0，－1，3)，所以CC 1→＝(0，2，0)． 设平面ACC 1的一个法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，因为⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AC 1→＝0，n 1·CC 1→＝0，即⎩⎨⎧（x 1，y 1，z 1）·（－2，1，3）＝0，（x 1，y 1，z 1）·（0，2，0）＝0，取x 1＝32，y 1＝0，z 1＝1，即n 1＝(32，0，1)． 设平面ABC 1的一个法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)， 因为BA →＝(2，0，0)，BC 1→＝(0，1, 3)，所以⎩⎨⎧（x 2，y 2，z 2）·（2，0，0）＝0，（x 2，y 2，z 2）·（0，1，3）＝0，取n 2＝(0，3，－1)．(8分)设二面角BAC 1C 的平面角为θ，则cos θ＝－cos 〈n 1，n 2〉＝－n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝－－134＋1·3＋1＝77， 所以二面角BAC 1C 的余弦值为77.(10分) 23. 解：(1) 因为n ＝4，所以a 0＝C 04(23)4＝1681，a 1＝C 14(23)3＝3227.(2分) (2) 当x ＝13时，a k x k ＝C k n (23)n －k (13)k ， 因为kC k n ＝k n ！k ！（n －k ）！＝n （n －1）！（k －1）！（n －k ）！＝nC k －1n －1，(4分) ＝n －13n(23＋13)n －1＝23n ，当n ＝1时，也符合． 所以(n －k)a k x k 的值为23n.(10分)。

（本部分满分160分，时间120分钟）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1.设复数122i ,i z z m =-=+(m ∈R ，i 为虚数单位),若12z z ⋅为实数,则m 的值为 ．2.已知集合{2,}A a a =+，{1,1,3}B =-，且A B ⊆，则实数a 的值是 ．3.某林场有树苗3000棵，其中松树苗400棵．为调查树苗的生长情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为150的样本，则样本中松树苗的棵数为 ．4.在ABC ∆的边AB 上随机取一点P , 记CAP ∆和CBP ∆的面积分别为1S 和2S ，则122S S >的概率是 ． 【答案】13【解析】5.已知双曲线22221x y a b-=的一条渐近线方程为20x y -=，则该双曲线的离心率为 ．6．右图是一个算法流程图，则输出S 的值是 ．考点：流程图和循环结构.7.函数()lg(23)x x f x =-的定义域为 ．8.若正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为1，则此三棱锥的体积为 ． 【答案】16【解析】试题分析：记正三棱锥为P ABC -，点P 在底面ABC 内的射影为点H ，则236(2)3AH =⨯⨯=，在Rt APH ∆中，223PH AP AH =-=，所以11331336P ABC ABC V S PH -∆=⋅=⨯⨯=. 考点：正三棱锥的性质和体积的计算.9.在△ABC 中，已知3AB =，o 120A =，且ABC ∆的面积为153，则BC 边长为 ．10.已知函数()2f x x x =-，则不等式(2)(1)f x f ≤的解集为 ．11.已知函数()2sin(2)(0)4f x x ωωπ=->的最大值与最小正周期相同，则函数()f x 在[11]-，上的单调增区间为 ． 【答案】13[,]44- 【解析】12.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若435a a a ，，成等差数列，且33k S =，163k S +=-，其中k N *∈，则2k S +的值为 ．13.在平面四边形ABCD 中，已知3AB =，2DC =，点,E F 分别在边,AD BC 上，且3AD AE =，3BC BF =，若向量AD 与DC 的夹角为060，则AB EF ⋅的值为 .14.在平面直角坐标系xOy 中，若动点(,)P a b 到两直线1:l y x =和2:1l y x =-+的距离之和为22，则22a b +的最大值是________.二、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.（本小题满分14分）已知向量(cos ,sin )θθ=a ，(2,1)=-b ．(1)若⊥a b ，求sin cos sin cos θθθθ-+的值；(2)若2-=a b ，(0,)2θπ∈，求sin()4θπ+的值．16.（本小题满分14分）如图，在三棱锥P ABC -中，点,E F 分别是棱,PC AC 的中点． (1)求证：PA //平面BEF ；(2)若平面PAB ⊥平面ABC ，PB BC ⊥，求证：BC PA ⊥．又PB BC ⊥，PD PB P =，PD ⊂平面PAB ，PB ⊂平面PAB ，所以BC ⊥平面PAB ， ……………………………………………………………12分17.（本小题满分14分）某单位拟建一个扇环面形状的花坛(如图所示)，该扇环面是由以点O 为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点O 的两条直线段围成．按设计要求扇环面的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米．设小圆弧所在圆的半径为x 米，圆心角为θ（弧度）． （1）求θ关于x 的函数关系式；（2）已知在花坛的边缘(实线部分)进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米．设花坛的面积与装饰总费用的比为y ，求y 关于x 的函数关系式，并求出x 为何值时，y 取得最大值？18.（本小题满分16分）已知ABC ∆的三个顶点(1,0)A -，(1,0)B ，(3,2)C ，其外接圆为H ． (1)若直线l 过点C ，且被H 截得的弦长为2，求直线l 的方程；(2)对于线段BH 上的任意一点P ，若在以C 为圆心的圆上都存在不同的两点,M N ，使得点M 是线段PN 的中点，求C 的半径r 的取值范围．19.（本小题满分16分）已知函数325()2f x x x ax b =+++（,a b 为常数），其图象是曲线C ． （1）当2a =-时，求函数()f x 的单调减区间；（2）设函数()f x 的导函数为()f x '，若存在唯一的实数0x ，使得00()f x x =与0()0f x ='同时成立，求实数b 的取值范围；（3）已知点A 为曲线C 上的动点，在点A 处作曲线C 的切线1l 与曲线C 交于另一点B ，在点B 处作曲线C 的切线2l ，设切线12,l l 的斜率分别为12,k k ．问：是否存在常数λ，使得21k k λ=？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．故当2512a =时，存在常数4λ=，使214k k =；当2512a ≠时，不存在常数λ，使21k k λ=．16分 考点：函数与方程、导数的综合应用.20.（本小题满分16分）已知数列{}n a 满足1a x =，23a x =，2*1132(2,)n n n S S S n n n +-++=+∈N ≥，n S 是数列{}n a 的前n 项和．(1)若数列{}n a 为等差数列． （ⅰ）求数列的通项n a ；（ⅱ）若数列{}n b 满足2n a n b =，数列{}n c 满足221n n n n c t b tb b ++=--，试比较数列{}n b 前n 项和n B 与{}n c 前n 项和n C 的大小；(2)若对任意*n ∈N ，1n n a a +<恒成立，求实数x 的取值范围．数学Ⅱ 附加题部分21.【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题．．．．．．．，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．(选修4—1：几何证明选讲)（本小题满分10分）如图，点D为锐角ABC∆的内切圆圆心，过点A作直线BD的垂线，垂足为F，圆D与边AC相切于点E．若50∠=，求DEFC∠的度数．B ．(选修4—2：矩阵与变换)（本小题满分10分）设矩阵00a b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M （其中00a b ＞，＞），若曲线C ：221xy在矩阵M 所对应的变换作用下得到曲线2214x C y '+=：，求a b +的值．C．(选修4—4：坐标系与参数方程)（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程是2 242x ty t⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，（t为参数）；以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆C的极坐标方程为2cos()4ρθπ=+．由直线l上的点向圆C引切线，求切线长的最小值．考点：直线的参数方程和圆的极坐标方程，圆的切线长.D．(选修4—5：不等式证明选讲)（本小题满分10分）已知,,a b c均为正数,证明：2222111()63a b ca b c+++++≥【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）某品牌汽车4S店经销,,A B C三种排量的汽车，其中,,A B C三种排量的汽车依次有５，4，3款不同车型．某单位计划购买3辆不同车型的汽车，且购买每款车型等可能．(1)求该单位购买的3辆汽车均为B种排量汽车的概率；(2)记该单位购买的3辆汽车的排量种数为X，求X的分布列及数学期望．23．（本小题满分10分）已知点(1,0)A -，(1,0)F ，动点P 满足2||AP AF FP ⋅=． (1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)在直线l ：22y x =+上取一点Q ，过点Q 作轨迹C 的两条切线，切点分别为,M N ．问：是否存在点Q ，使得直线MN //l ？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）24y x =；（2）1(,1)2Q -．【解析】试题分析：(1)设动点(,)P x y ，利用条件列式化简可得动点轨迹方程C ；（2）00(,)Q x y ，再求出切点弦的方程，利用其斜率为2，看方程是否有解即可.。

2020届苏北四市一模数学试卷(满分160分，考试时间120分钟)参考公式：2. 圆锥的体积V ＝13Sh ，其中S 是圆锥的底面圆面积，h 是高．一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1. 已知集合A ＝{x|0<x<2}，B ＝{x|－1<x<1}，则A ∪B ＝________．2. 已知复数z 满足z 2＝－4，且z 的虚部小于0，则z ＝________．3. 若一组数据7，x ，6，8，8的平均数为7，则该组数据的方差是________．4. 执行如图所示的伪代码，则输出的结果为________．5. 函数f(x)＝log 2x －2的定义域为________．6. 某学校高三年级有A ，B 两个自习教室，甲、乙、丙3名学生各自随机选择其中一个教室自习，则甲、乙两人不在同一教室上自习的概率为________．7. 若关于x 的不等式x 2－mx ＋3<0的解集是(1，3)，则实数m 的值为________．8. 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 23－y 2＝1的右准线与渐近线的交点在抛物线y 2＝2px 上，则实数p 的值为________．9. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 2＋a 9＝8，S 5＝－5，则S 15的值为________． 10. 已知函数y ＝3sin 2x 的图象与函数y ＝cos 2x 的图象相邻的三个交点分别是A ，B ，C ，则△ABC 的面积为________．11. 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆M ：x 2＋y 2－4x －8y ＋12＝0，圆N 与圆M 外切于点(0，m)，且过点(0，－2)，则圆N 的标准方程为______________．12. 已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，其图象关于直线x ＝1对称，当x ∈(0，1]时，f(x)＝－e ax (其中e 是自然对数的底数)，若f(2 020－ln 2)＝8，则实数a 的值为________．13. 如图，在△ABC 中，D ，E 是BC 上的两个三等分点，AB →·AD →＝2AC →·AE →，则cos ∠ADE 的最小值为________．14. 设函数f(x)＝|x 3－ax －b|，x ∈[－1，1]，其中a ，b ∈R .若f(x)≤M 恒成立，则当M 取得最小值时，a ＋b 的值为________．二、 解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)如图，在三棱锥PABC 中，AP ＝AB ，M ，N 分别为棱PB ，PC 的中点，平面PAB ⊥平面PBC.求证：(1) BC ∥平面AMN ；(2) 平面AMN ⊥平面PBC.16. (本小题满分14分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos A ＝55. (1) 若a ＝5，c ＝25，求b 的值； (2) 若B ＝π4，求tan 2C 的值．如图，在圆锥SO中，底面半径R为3，母线长l为5.用一个平行于底面的平面去截圆锥，截面圆的圆心为O1，半径为r.现要以截面为底面，圆锥底面圆心O为顶点挖去一个倒立的小圆锥OO1，记圆锥OO1的体积为V.(1) 将V表示成r的函数；(2) 求V的最大值．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的右顶点为A ，过点A 作直线l与圆O ：x 2＋y 2＝b 2相切，与椭圆C 交于另一点P ，与右准线交于点Q.设直线l 的斜率为k.(1) 用k 表示椭圆C 的离心率；(2) 若OP →·OQ →＝0，求椭圆C 的离心率．已知函数f(x)＝⎝⎛⎭⎫a －1x ln x(a ∈R )． (1) 若曲线y ＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为x ＋y －1＝0，求实数a 的值；(2) 若f(x)的导函数f′(x)存在两个不相等的零点，求实数a 的取值范围；(3) 当a ＝2时，是否存在整数λ，使得关于x 的不等式f(x)≥λ恒成立？若存在，求出λ的最大值；若不存在，请说明理由，已知数列{a n }的首项a 1＝3，对任意的n ∈N *，都有a n ＋1＝ka n －1(k ≠0)，数列{a n －1}是公比不为1的等比数列．(1) 求实数k 的值；(2) 设b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4－n ， n 为奇数，a n－1， n 为偶数，数列{b n }的前n 项和为S n ，求所有正整数m 的值，使得S 2mS 2m －1恰好为数列{b n }中的项．2020届高三年级第一次模拟考试(五)数学附加题(本部分满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】本题包括A ，B ，C 三小题，请选定其中两小题，并作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A. [选修4－2：矩阵与变换](本小题满分10分)已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤23t 1的一个特征值为4，求矩阵M 的逆矩阵M －1.B. [选修4－4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρ(cos θ＋sin θ)＝12，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝23cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数，θ∈R )．在曲线C 上求点M ，使得点M 到直线l 的距离最小，并求出最小值．C. [选修4－5：不等式选讲](本小题满分10分)已知正数x ，y ，z 满足x ＋y ＋z ＝1，求1x ＋2y ＋1y ＋2z ＋1z ＋2x的最小值．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22. (本小题满分10分) 如图，在三棱柱ABCA 1B 1C 1中，侧面AA 1B 1B 为正方形，侧面BB 1C 1C 为菱形，∠BB 1C 1＝60°，平面AA 1B 1B ⊥平面BB 1C 1C.(1) 求直线AC 1与平面AA 1B 1B 所成角的正弦值； (2) 求二面角BAC 1C 的余弦值．23. (本小题满分10分)已知n 为给定的正整数，设⎝⎛⎭⎫23＋x n＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，x ∈R . (1) 若n ＝4，求a 0，a 1的值；(2) 若x ＝13，求∑k ＝0n (n －k)a k x k 的值．2020届高三年级第一次模拟考试(五)(苏北四市)数学参考答案1. { |x －1<x<2 }2. －2i3. 454. 205. [4，＋∞)6. 127. 48. 14 9. 13510.3π2 11. (x ＋2)2＋y 2＝8 12. 3 13. 47 14. 3415. (1) 在△PBC 中，因为M ，N 分别为棱PB ，PC 的中点， 所以MN ∥BC. (3分)又MN ⊂平面AMN ，BC ⊄平面AMN ， 所以BC ∥平面AMN.(6分)(2) 在△PAB 中，因为AP ＝AB ，M 为棱PB 的中点， 所以AM ⊥PB.(8分)又因为平面PAB ⊥平面PBC ，平面PAB ∩平面PBC ＝PB ，AM ⊂平面PAB ，所以AM ⊥平面PBC.(12分) 又AM ⊂平面AMN ，所以平面AMN ⊥平面PBC. (14分)16. (1) 在△ABC 中，由余弦定理b 2＋c 2－2bccos A ＝a 2，得b 2＋20－2×25×55b ＝25，即b 2－4b －5＝0，(4分)解得b ＝5或b ＝－1(舍去)，所以b ＝5. (6分)(2) 由cos A ＝55及0<A<π得，sin A ＝1－cos 2A ＝1－⎝⎛⎭⎫552＝255，(8分)所以cos C ＝cos[π－(A ＋B)]＝－cos(A ＋π4)＝－22(cos A －sin A)＝1010.又因为0<C<π，所以sin C ＝1－cos 2C ＝1－⎝⎛⎭⎫10102＝31010，从而tan C ＝sin Ccos C ＝310101010＝3，(12分)所以tan 2C ＝2tan C 1－tan 2C ＝2×31－32＝－34.(14分) 17. (1) 在△SAO 中，SO ＝SA 2－AO 2＝52－32＝4, (2分)由△SNO 1∽△SAO 可知，SO 1SO ＝rR ，所以SO 1＝4r3，(4分)所以OO 1＝4－4r3，所以V(r)＝13πr 2⎝⎛⎭⎫4－43r ＝49π(3r 2－r 3)，0<r<3.(7分) (2) 由(1) 得V(r)＝49π(3r 2－r 3)，0<r<3，所以V′(r)＝49π(6r －3r 2)．令V′(r)＝0，得r ＝2.(9分) 当r ∈(0，2)时，V′(r)>0，所以V(r)在区间(0，2)上单调递增； 当r ∈(2，3)时，V′(r )<0，所以V(r)在区间(2，3)上单调递减，所以当r ＝2时，V(r)取得最大值V(2)＝16π9.故小圆锥的体积V 的最大值为16π9.(14分)18. (1) 直线l 的方程为y ＝k(x －a)，即kx －y －ak ＝0. 因为直线l 与圆O ：x 2＋y 2＝b 2相切，所以|－ak|k 2＋1＝b ，故k 2＝b 2a 2－b 2，所以椭圆C 的离心率e ＝1－b 2a2＝1k 2＋1.(4分) (2) 设椭圆C 的焦距为2c ，则右准线方程为x ＝a 2c ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －a ），x ＝a 2c ，得y ＝k ⎝⎛⎭⎫a 2c －a ＝k （a 2－ac ）c ，所以Q ⎝⎛⎭⎫a 2c ，k （a 2－ac ）c .(6分)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2＋y 2b 2＝1，y ＝k （x －a ），得(b 2＋a 2k 2)x 2－2a 3k 2x ＋a 4k 2－a 2b 2＝0， 解得x p ＝a 3k 2－ab 2b 2＋a 2k2，则y p ＝k(a 3k 2－ab 2b 2＋a 2k 2－a)＝－2ab 2kb 2＋a 2k 2，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3k 2－ab 2b 2＋a 2k 2，－2ab 2k b 2＋a 2k 2.(10分) 因为OP →·OQ →＝0，所以a 2c ·a 3k 2－ab 2b 2＋a 2k 2＋k （a 2－ac ）c ·－2ab 2k b 2＋a 2k 2＝0，即a(a 2k 2－b 2)＝2b 2k 2(a －c)．(12分) 由(1)知，k 2＝b 2a 2－b 2，所以a(a 2b 2a 2－b 2－b 2)＝2b 4（a －c ）a 2－b 2，所以a ＝2a －2c ，即a ＝2c ，所以c a ＝12，故椭圆C 的离心率为12.(16分)19. (1) f′(x)＝1x2ln x ＋⎝⎛⎭⎫a －1x 1x . 因为曲线y ＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为x ＋y －1＝0，所以f′(1)＝a －1＝－1，解得a ＝0.(2分) (2) 因为f′(x)＝ax －1＋ln xx 2存在两个不相等的零点，所以g(x)＝ax －1＋ln x 存在两个不相等的零点，则g′(x)＝1x ＋a.①当a ≥0时，g′(x)>0，所以g(x)单调递增，至多有一个零点；(4分)②当a<0时，因为当x ∈⎝⎛⎭⎫0 ，－1a 时，g′(x)>0，所以g(x)单调递增； 当x ∈⎝⎛⎭⎫－1a ， ＋∞时，g′(x)<0， 所以g(x)单调递减，所以x ＝－1a 时，g(x)max ＝g ⎝⎛⎭⎫－1a ＝ln(－1a )－2. (6分) 因为g(x)存在两个零点，所以ln ⎝⎛⎭⎫－1a －2>0，解得－e －2<a<0.(7分) 因为－e －2<a<0，所以－1a >e 2>1.因为g(1)＝a －1<0，所以g(x)在区间⎝⎛⎭⎫0 ，－1a 上存在一个零点. (8分) 因为－e －2<a<0，所以⎝⎛⎭⎫－1a 2>－1a. 因为g ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫－1a 2＝ln ⎝⎛⎭⎫－1a 2＋1a －1， 设t ＝－1a ，则y ＝2ln t －t －1(t>e 2)．因为y′＝2－tt<0， 所以y ＝2ln t －t －1(t>e 2)单调递减， 所以y<2ln(e 2)－e 2－1＝3－e 2<0， 所以g[⎝⎛⎭⎫－1a 2]＝ln ⎝⎛⎭⎫－1a 2＋1a－1<0， 所以g(x)在区间⎝⎛⎭⎫－1a ，＋∞上存在一个零点． 综上可知，实数a 的取值范围为(－e －2，0)．(10分) (3) 当a ＝2时，f(x)＝⎝⎛⎭⎫2－1x ln x ， 则f′(x)＝1x 2ln x ＋⎝⎛⎭⎫2－1x 1x ＝2x －1＋ln x x 2. 设g(x)＝2x －1＋ln x ，则g′(x)＝1x ＋2>0，所以g(x)单调递增．又g ⎝⎛⎭⎫12＝ln 12<0，g(1)＝1>0，所以存在x 0∈⎝⎛⎭⎫12， 1，使得g(x 0)＝0.(12分) 因为当x ∈(0 , x 0)时，g(x)<0，即f′(x)<0，所以f(x)单调递减；当x ∈(x 0 , ＋∞)时，g(x)>0，即f′(x)>0， 所以f(x)单调递增，所以当x ＝x 0时，f(x)取得极小值，也是最小值，此时f(x 0)＝⎝⎛⎭⎫2－1x 0ln x 0＝(2－1x 0)(1－2x 0)＝－⎝⎛⎭⎫4x 0＋1x 0＋4.(14分) 因为x 0∈⎝⎛⎭⎫12，1，所以f(x 0)∈(－1，0)，因为f(x)≥λ，且λ为整数，所以λ≤－1，即λ的最大值为－1.(16分)20. (1) 由a n ＋1＝ka n －1，a 1＝3可知，a 2＝3k －1，a 3＝3k 2－k －1. 因为{a n －1}为等比数列， 所以(a 2－1)2＝(a 1－1)(a 3－1)，即(3k －2)2＝2(3k 2－k －2)，即3k 2－10k ＋8＝0，解得k ＝2或k ＝43.(2分)当k ＝43时，a n ＋1－3＝43(a n －3)，所以a n ＝3，则a n －1＝2，所以数列{a n －1}的公比为1，不符合题意； 当k ＝2时，a n ＋1－1＝2(a n －1)， 所以数列{a n －1}的公比q ＝a n ＋1－1a n －1＝2， 所以实数k 的值为2. (4分) (2) 由(1) 知a n －1＝2n ，所以b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4－n ，n 为奇数，2n ， n 为偶数，则S 2m ＝(4－1)＋4＋(4－3)＋42＋…＋[4－(2m －1)]＋4m ＝(4－1)＋(4－3)＋…＋[4－(2m －1)]＋4＋42＋…＋4m ＝m(4－m)＋4m ＋1－43，(6分)则S 2m －1＝S 2m －b 2m ＝m(4－m)＋4m －43，因为b 2m ＋b 2m ＋1＝3－2m ＋4m ，又(b 2m ＋2＋b 2m ＋3)－(b 2m ＋b 2m ＋1)＝3×4m －2>0， 且b 2＋b 3＝5>0，b 1＝3>0， 所以S 2m －1>0，则S 2m >0. 设S 2m S 2m －1＝b t >0，t ∈N *，(8分) 则t ＝1，3或t 为偶数．因为b 3＝1不可能，所以t ＝1或t 为偶数．①当S 2mS 2m －1＝b 1时，m （4－m ）＋4m ＋1－43m （4－m ）＋4m －43＝3，化简得6m 2－24m ＋8＝－4m ≤－4，即m 2－4m ＋2≤0，所以m 可取值为1，2，3.验证S 2S 1＝73，S 4S 3＝3，S 6S 5＝8723得，当m ＝2时，S 4S 3＝b 1成立；(12分)②当t 为偶数时，S 2m S 2m －1＝m （4－m ）＋4m ＋1－43m （4－m ）＋4m －43＝1＋3－3m 2＋12m －44m ＋1.设c m ＝－3m 2＋12m －44m ，则c m ＋1－c m ＝9m 2－42m ＋214m ＋1， 由①知m>3，当m ＝4时，c 5－c 4＝－345<0；当m>4时，c m ＋1－c m >0， 所以c 4>c 5<c 6<…，所以c m 的最小值为c 5＝－191 024，所以0<S 2m S 2m －1<1＋3－191 024＋1<5.令S 2m S 2m －1＝4＝b 2，则1＋3－3m 2＋12m －44m＋1＝4， 即－3m 2＋12m －4＝0，无整数解． 综上，正整数m 的值为2.(16分)21. A. 矩阵M 的特征多项式为f(λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2－3－t λ－1＝(λ－2)(λ－1)－3t.(2分)因为矩阵M 的一个特征值为4，所以f(4)＝6－3t ＝0，所以t ＝2，(5分)所以M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2321，B. 由直线l ：ρcos θ＋ρsin θ－12＝0，及x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， 得直线l 的直角坐标方程为x ＋y －12＝0. (2分) 在曲线C 上取点M ()23cos φ，2sin φ，则点M 到l 的距离d ＝||23cos φ＋2sin φ－122＝⎪⎪⎪⎪4sin ⎝⎛⎭⎫φ＋π3－122＝12－4sin ⎝⎛⎭⎫φ＋π32.(6分)当φ＝π6时，d 取得最小值42，(8分)此时点M 的坐标为(3，1)．(10分)C. 因为x ，y ，z 都为正数，且x ＋y ＋z ＝1， 所以由柯西不等式得，3(1x ＋2y ＋1y ＋2z ＋1z ＋2x )＝⎝⎛⎭⎫1x ＋2y ＋1y ＋2z ＋1z ＋2x ·[(x ＋2y)＋(y ＋2z)＋(z ＋2x)](5分)≥(1x ＋2y·x ＋2y ＋1y ＋2z·y ＋2z ＋1z ＋2x·z ＋2x)2＝9， 当且仅当x ＝y ＝z ＝13时等号成立，所以1x ＋2y ＋1y ＋2z ＋1z ＋2x的最小值为3.(10分)22. (1) 因为四边形AA 1B 1B 为正方形， 所以AB ⊥BB 1.因为平面AA 1B 1B ⊥平面BB 1C 1C ，平面AA 1B 1B ∩平面BB 1C 1C ＝BB 1，AB ⊂平面AA 1B 1B ， 所以AB ⊥平面BB 1C 1C. (2分)以点B 为坐标原点，分别以BA ，BB 1所在的直线为x 轴，y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz.不妨设正方形AA 1B 1B 的边长为2， 则A(2，0，0)，B 1(0，2，0)．在菱形BB 1C 1C 中，因为∠BB 1C 1＝60°，所以C 1(0，1，3)，所以AC 1→＝(－2，1，3)． 因为平面AA 1B 1B 的法向量为n ＝(0，0，1)， 设直线AC 1与平面AA 1B 1B 所成的角为α， 则sin α＝|cos 〈AC 1→，n 〉|＝|3|22×1＝64，即直线AC 1与平面AA 1B 1B 所成角的正弦值为64.(6分) (2) 由(1)可知，C(0，－1，3)， 所以CC 1→＝(0，2，0)．设平面ACC 1的一个法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，因为⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AC 1→＝0，n 1·CC 1→＝0，即⎩⎨⎧（x 1，y 1，z 1）·（－2，1，3）＝0，（x 1，y 1，z 1）·（0，2，0）＝0.取x 1＝32，y 1＝0，z 1＝1，即n 1＝⎝⎛⎭⎫32，0，1. 设平面ABC 1的一个法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)． 因为BA →＝(2，0，0)，BC 1→＝(0，1，3)， 所以⎩⎨⎧（x 2，y 2，z 2）·（2，0，0）＝0，（x 2，y 2，z 2）·（0，1，3）＝0，取n 2＝()0，3，－1.(8分) 设二面角BAC 1C 的平面角为θ， 则cos θ＝－cos 〈n 1，n 2〉＝－n 1·n 2||n 1·||n 2＝－－134＋1×3＋1＝77， 所以二面角BAC 1C 的余弦值为77.(10分)23. (1) 因为n ＝4，所以a 0＝C 04⎝⎛⎭⎫234＝1681，a 1＝C 14⎝⎛⎭⎫233＝3227.(2分)(2) 当x ＝13时，a k x k ＝C kn ⎝⎛⎭⎫23n －k ⎝⎛⎭⎫13k .又因为kC k n ＝k·n ！k ！（n －k ）！＝n （n －1）！（k －1）！（n －k ）！＝nC k －1n －1，(4分)。

江苏省苏北四市2020届高三上学期期末考试(满分160分，考试时间120分钟)参考公式：1. 样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差s 2＝1n ∑n i ＝1(x i －x)2，其中x ＝1n ∑ni ＝1x i ； 2. 圆锥的体积V ＝13Sh ，其中S 是圆锥的底面圆面积，h 是圆锥的高．一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 已知集合A ＝{x|0<x<2}，B ＝{x|－1<x<1)，则A ∪B ＝________．S←0 I←1While I ＜6 I←I ＋1 S←S ＋I End While Print S2. 已知复数z 满足z 2＝－4，且z 的虚部小于0，则z ＝________．3. 若一组数据7，x ，6，8，8的平均数为7，则该组数据的方差是________．4. 执行如图所示的伪代码，则输出的结果为________．5. 函数f(x)＝log 2x －2的定义域为________．6. 某学校高三年级有A ，B 两个自习教室，甲、乙、丙3名学生各自随机选择其中一个教室自习，则甲、乙两人不在同一教室上自习的概率为________．7. 若关于x 的不等式x 2－mx ＋3<0的解集是(1，3)，则实数m 的值为________． 8. 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 23－y 2＝1的右准线与渐近线的交点在抛物线y 2＝2px上，则实数p 的值为________．9. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 2＋a 9＝8，S 5＝－5，则S 15的值为________． 10. 已知函数y ＝3sin 2x 的图象与函数y ＝cos 2x 的图象相邻的三个交点分别是A ，B ，C ，则△ABC 的面积为________．11. 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆M ：x 2＋y 2－4x －8y ＋12＝0，圆N 与圆M 外切于点(0，m)，且过点(0，－2)，则圆N 的标准方程为______________．12. 已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，其图象关于直线x ＝1对称，当x ∈(0，1]时，f(x)＝－e ax (其中e 是自然对数的底数)．若f(2 020－ln 2)＝8，则实数a 的值为________． 13. 如图，在△ABC 中，D ，E 是BC 上的两个三等分点，AB →·AD →＝2AC →·AE →，则cos ∠ADE 的最小值为________．(第13题)14. 设函数f(x)＝|x 3－ax －b|，x ∈[－1，1]，其中a ，b ∈R .若f(x)≤M 恒成立，则当M 取得最小值时，a ＋b 的值为________．二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)如图，在三棱锥PABC 中，AP ＝AB ，点M ，N 分别为棱PB ，PC 的中点，平面PAB ⊥平面PBC.求证：(1) BC ∥平面AMN ；(2) 平面AMN ⊥平面PBC.16. (本小题满分14分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos A ＝55. (1) 若a ＝5，c ＝25，求b 的值； (2) 若B ＝π4，求tan 2C 的值．如图，在圆锥SO中，底面半径R为3，母线长l为5.用一个平行于底面的平面去截圆锥，截面圆的圆心为O1，半径为r.现要以截面为底面，圆锥底面圆心O为顶点挖去一个倒立的小圆锥OO1，记圆锥OO1的体积为V.(1) 将V表示成r的函数；(2) 求V的最大值．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的右顶点为A ，过点A 作直线l 与圆O ：x 2＋y 2＝b 2相切，与椭圆C 交于另一点P ，与右准线交于点Q.设直线l 的斜率为k.(1) 用k 表示椭圆C 的离心率；(2) 若OP →·OQ →＝0，求椭圆C 的离心率．已知函数f(x)＝(a －12)ln x(a ∈R )．(1) 若曲线y ＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为x ＋y －1＝0，求a 的值； (2) 若f(x)的导函数f′(x)存在两个不相等的零点，求实数a 的取值范围；(3) 当a ＝2时，是否存在整数λ，使得关于x 的不等式f(x)≥λ恒成立？若存在，求出λ的最大值；若不存在，请说明理由．已知数列{a n }的首项a 1＝3，对任意的n ∈N *，都有a n ＋1＝ka n －1(k≠0)，数列{a n －1}是公比不为1的等比数列．(1) 求实数k 的值；(2) 设b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4－n ，n 为奇数，a n－1，n 为偶数，数列{b n }的前n 项和为S n ，求所有正整数m 的值，使得S 2mS 2m －1恰好为数列{b n }中的项．2020届高三模拟考试试卷(四)数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A ，B ，C 三小题中只能选做两题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修42：矩阵与变换)已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤23t 1的一个特征值为4，求矩阵M 的逆矩阵M －1.B. (选修44：坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρ(cos θ＋sin θ)＝12，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝23cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数，θ∈R )．在曲线C 上求点M ，使点M 到l 的距离最小，并求出最小值．C. (选修45：不等式选讲)已知正数x ，y ，z 满足x ＋y ＋z ＝1，求1x ＋2y ＋1y ＋2z ＋1z ＋2x的最小值．【必做题】 第22，23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 22. 如图，在三棱柱ABCA 1B 1C 1中，侧面AA 1B 1B 为正方形，侧面BB 1C 1C 为菱形，∠BB 1C 1＝60°，平面AA 1B 1B ⊥平面BB 1C 1C.(1) 求直线AC 1与平面AA 1B 1B 所成角的正弦值； (2) 求二面角BAC 1C 的余弦值．23. 已知n 为给定的正整数，设(23＋x)n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，x ∈R .(1) 若n ＝4，求a 0，a 1的值；(2) 若x ＝13，求∑n k ＝0(n －k)a k x k 的值．2020届高三模拟考试试卷(四)(苏北四市)数学参考答案及评分标准1. {x|－1<x<2}2. －2i3. 454. 205. [4，＋∞)6. 127. 48. 149. 135 10. 32π11. (x ＋2)2＋y 2＝8 12. 3 13. 47 14. 3415. 证明：(1) 在△PBC 中，因为点M ，N 分别为棱PB ，PC 的中点，所以MN ∥BC.(3分)又MN ⊂平面AMN ，BC ⊄平面AMN ，所以BC ∥平面AMN.(6分)(2) 在△PAB 中，因为AP ＝AB ，点M 为棱PB 的中点，所以AM ⊥PB.(8分)因为平面PAB ⊥平面PBC ，平面PAB∩平面PBC ＝PB ，AM ⊂平面PAB ，所以AM ⊥平面PBC.(12分)又AM ⊂平面AMN ，所以平面AMN ⊥平面PBC.(14分) 16. 解：(1) 在△ABC 中，由余弦定理b 2＋c 2－2bccos A ＝a 2，得b 2＋20－2×25×55b ＝25，即b 2－4b －5＝0，(4分) 解得b ＝5或b ＝－1(舍)，所以b ＝5.(6分) (2) 由cos A ＝55及0<A<π，得sin A ＝1－cos 2A ＝1－（55）2＝255，(8分) 所以cos C ＝cos[π－(A ＋B)]＝－cos(A ＋π4)＝－22(cos A －sin A)＝1010.因为0<C<π，所以sin C ＝1－cos 2C ＝1－（1010）2＝31010， 从而tan C ＝sin Ccos C ＝310101010＝3，(12分)所以tan 2C ＝2tan C 1－tan 2C ＝2×31－32＝－34.(14分)17. 解：(1) 在△SAO 中，SO ＝SA 2－AO 2＝52－32＝4.(2分)由△SNO 1∽△SAO 可知SO 1SO ＝r R ，所以SO 1＝43r ，(4分)所以OO 1＝4－43r ，所以V(r)＝13πr 2(4－43r)＝49π(3r 2－r 3)，0<r<3.(7分)(2) 由(1)得V(r)＝49π(3r 2－r 3)，0<r<3，所以V′(r)＝49π(6r －3r 2)，令V′(r)＝0，得r ＝2，(9分)当r ∈(0，2)时，V′(r)>0，所以V(r)在(0，2)上单调递增； 当r ∈(2，3)时，V′(r)<0，所以V(r)在(2，3)上单调递减． 所以当r ＝2时，V(r)取得最大值V(2)＝16π9.答：小圆锥的体积V 的最大值为16π9.(14分)18. 解：(1) 直线l 的方程为y ＝k(x －a)，即kx －y －ak ＝0.因为直线l 与圆O ：x 2＋y 2＝b 2相切，所以|－ak|k 2＋1＝b ，故k 2＝b 2a 2－b 2.所以椭圆C 的离心率e ＝1－b 2a2＝1k 2＋1.(4分) (2) 设椭圆C 的焦距为2c ，则右准线方程为x ＝a 2c.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －a ），x ＝a 2c 得y ＝k(a 2c －a)＝k a 2－ac c ，所以Q(a 2c ，k （a 2－ac ）c )．(6分)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2＋y 2b 2＝1，y ＝k （x －a ）得(b 2＋a 2k 2)x 2－2a 3k 2x ＋a 4k 2－a 2b 2＝0， 解得x P ＝a 3k 2－ab 2b 2＋a 2k 2，则y P ＝k(a 3k 2－ab 2b 2＋a 2k 2－a)＝－2ab 2k b 2＋a 2k 2，所以P(a 3k 2－ab 2b 2＋a 2k 2，－2ab 2kb 2＋a 2k2)．(10分)因为OP →·OQ →＝0，所以a 2c ·a 3k 2－ab 2b 2＋a 2k 2＋k （a 2－ac ）c ·－2ab 2k b 2＋a 2k 2＝0，即a(a 2k 2－b 2)＝2b 2k 2(a －c)．(12分) 由(1)知k 2＝b 2a 2－b 2，所以a(a 2b 2a 2－b 2－b 2)＝2b 4（a －c ）a 2－b 2， 所以a ＝2a －2c ，即a ＝2c ，所以c a ＝12，故椭圆C 的离心率为12.(16分)19. 解：(1) f′(x)＝1x 2ln x ＋(a －1x )1x.因为曲线y ＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为x ＋y －1＝0，所以f′(1)＝a －1＝－1，解得a ＝0.(2分)(2) 因为f′(x)＝ax －1＋ln xx 2存在两个不相等的零点，所以g(x)＝ax －1＋ln x 存在两个不相等的零点，则g′(x)＝1x ＋a.①当a≥0时，g′(x)>0，所以g(x)单调递增，至多有一个零点．(4分) ②当a<0时，因为当x ∈(0，－1a )时，g′(x)>0，g(x)单调递增；当x ∈(－1a ，＋∞)时，g′(x)<0，g(x)单调递减，所以x ＝－1a 时，g(x)max ＝g(－1a )＝ln(－1a)－2.(6分)因为g(x)存在两个零点，所以ln(－1a )－2>0，解得－e －2<a<0.(7分)因为－e －2<a<0，所以－1a>e 2>1.因为g(1)＝a －1<0，所以g(x)在(0，－1a )上存在一个零点．(8分)因为－e －2<a<0，所以(－1a )2>－1a.因为g((－1a )2)＝ln(－1a )2＋1a －1，设t ＝－1a ，则y ＝2ln t －t －1(t>e 2)．因为y′＝2－tt<0，所以y ＝2ln t －t －1(t>e 2)单调递减， 所以y<2ln(e 2)－e 2－1＝3－e 2<0，所以g((－1a )2)＝ln(－1a )2＋1a －1<0，所以g(x)在(－1a，＋∞)上存在一个零点．综上可知，实数a 的取值范围是(－e －2，0)．(10分)(3) 当a ＝2时，f(x)＝(2－1x )ln x ，f′(x)＝1x 2ln x ＋(2－1x )1x ＝2x －1＋ln xx 2，设g(x)＝2x －1＋ln x ，则g′(x)＝1x ＋2>0，所以g(x)单调递增，且g(12)＝ln 12<0，g(1)＝1>0，所以存在x 0∈(12，1)使得g(x 0)＝0.(12分)因为当x ∈(0，x 0)时，g(x)<0，即f′(x)<0，所以f(x)单调递减； 当x ∈(x 0，＋∞)时，g(x)>0，即f′(x)>0，所以f(x)单调递增， 所以x ＝x 0时，f(x)取得极小值，也是最小值，此时f(x 0)＝(2－1x 0)ln x 0＝(2－1x 0)(1－2x 0)＝－(4x 0＋1x 0)＋4.(14分)因为x 0∈(12，1)，所以f(x 0)∈(－1，0)．因为f(x)≥λ，且λ为整数，所以λ≤－1，即λ的最大值为－1.(16分) 20. 解：(1) 由a n ＋1＝ka n －1，a 1＝3可知，a 2＝3k －1，a 3＝3k 2－k －1.因为{a n －1}为等比数列，所以(a 2－1)2＝(a 1－1)(a 3－1)，即(3k －2)2＝2×(3k 2－k －2)，即3k 2－10k ＋8＝0，解得k ＝2或k ＝43.(2分)当k ＝43时，a n ＋1－3＝43(a n －3)，所以a n ＝3，则a n －1＝2，所以数列{a n －1}的公比为1，不符合题意；当k ＝2时，a n ＋1－1＝2(a n －1)，所以数列{a n －1}的公比q ＝a n ＋1－1a n －1＝2，所以实数k 的值为2.(4分) (2) 由(1)知a n －1＝2n ，所以b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4－n ， n 为奇数，2n ， n 为偶数，则S 2m ＝(4－1)＋4＋(4－3)＋42＋…＋[4－(2m －1)]＋4m＝(4－1)＋(4－3)＋...＋[4－(2m －1)]＋4＋42＋ (4)＝m(4－m)＋4m ＋1－43，(6分)则S 2m －1＝S 2m －b 2m ＝m(4－m)＋4m －43.因为b 2m ＋b 2m ＋1＝3－2m ＋4m ，又(b 2m ＋2＋b 2m ＋3)－(b 2m ＋b 2m ＋1)＝3×4m －2>0， 且b 2＋b 3＝5>0，b 1＝3>0，所以S 2m －1>0，则S 2m >0. 设S 2mS 2m －1＝b t >0，t ∈N *，(8分) 则t ＝1，3或t 为偶数，因为b 3＝1不可能，所以t ＝1或t 为偶数．①当S 2mS 2m －1＝b 1时，m （4－m ）＋4m ＋1－43m （4－m ）＋4m －43＝3，化简得6m 2－24m ＋8＝－4m ≤－4， 即m 2－4m ＋2≤0，所以m 可能取值为1，2，3，验证S 2S 1＝73，S 4S 3＝3，S 6S 5＝8723，得当m ＝2时，S 4S 3＝b 1成立．(12分)②当t 为偶数时，S 2m S 2m －1＝m （4－m ）＋4m ＋1－43m （4－m ）＋4m －43＝1＋3－3m 2＋12m －44m ＋1， 设c m ＝－3m 2＋12m －44m ，则c m ＋1－c m ＝9m 2－42m ＋214m ＋1. 由①知m>3，当m ＝4时，c 5－c 4＝－345<0；当m>4时，c m ＋1－c m >0，所以c 4>c 5<c 6<…，所以c m 的最小值为c 5＝－191 024，所以0<S 2m S 2m －1<1＋3－191 024＋1<5.令S 2m S 2m －1＝4＝b 2，则1＋3－3m 2＋12m －44m＋1＝4，即－3m 2＋12m －4＝0，无整数解． 综上，正整数m 的值2.(16分)2020届高三模拟考试试卷(苏北四市) 数学附加题参考答案及评分标准21. A. 解：矩阵M 的特征多项式为f(λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2－3－t λ－1＝(λ－2)(λ－1)－3t.(2分) 因为矩阵M 的一个特征值为4，所以f(4)＝6－3t ＝0，所以t ＝2.(5分)所以M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2321，所以M －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12×1－3×2－32×1－3×2－22×1－3×222×1－3×2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14 34 12－12.(10分) B. 解：由l ：ρcos θ＋ρsin φ－12＝0，及x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以l 的直角坐标方程为x ＋y －12＝0. (2分)在曲线C 上取点M(23cos φ，2sin φ)，则点M 到l 的距离 d ＝|23cos φ＋2sin φ－12|2＝⎪⎪⎪⎪4sin （φ＋π3）－122＝12－4sin （φ＋π3）2，(6分)当φ＝π6时，d 取最小值42，(8分)此时点M 的坐标为(3，1)．(10分)C. 解：因为x ，y ，z 都为正数，且x ＋y ＋z ＝1，所以由柯西不等式，得3(1x ＋2y ＋1y ＋2z ＋1z ＋2x)＝(1x ＋2y ＋1y ＋2z ＋1z ＋2x )·[(x ＋2y)＋(y ＋2z)＋(z ＋2x)](5分) ≥(1x ＋2y·x ＋2y ＋1y ＋2z·y ＋2z ＋1z ＋2x·z ＋2x)2＝9， 当且仅当x ＝y ＝z ＝13时等号成立，所以1x ＋2y ＋1y ＋2z ＋1z ＋2x的最小值为3.(10分)22. 解：(1) 因为四边形AA 1B 1B 为正方形，所以AB ⊥BB 1.因为平面AA 1B 1B ⊥平面BB 1C 1C ，平面AA 1B 1B∩平面BB 1C 1C ＝BB 1， AB ⊂平面AA 1B 1B ，所以AB ⊥平面BB 1C 1C. (2分)以点B 为坐标原点，分别以BA ，BB 1所在的直线为x ，y 轴，以过点B 且垂直于平面AA 1B 1B 的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz.不妨设正方形AA 1B 1B 的边长为2， 则A(2，0 ，0)，B 1(0，2，0)．在菱形BB 1C 1C 中，因为∠BB 1C 1＝60°，所以C 1(0，1，3)，所以AC 1→＝(－2，1，3)． 因为平面AA 1B 1B 的一个法向量为n ＝(0，0，1)， 设直线AC 1与平面AA 1B 1B 所成角为α， 则sin α＝|cos 〈AC 1→，n 〉|＝|3|22×1＝64，即直线AC 1与平面AA 1B 1B 所成角的正弦值为64.(6分) (2) 由(1)可知，C(0，－1，3)，所以CC 1→＝(0，2，0)． 设平面ACC 1的一个法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，因为⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AC 1→＝0，n 1·CC 1→＝0，即⎩⎨⎧（x 1，y 1，z 1）·（－2，1，3）＝0，（x 1，y 1，z 1）·（0，2，0）＝0，取x 1＝32，y 1＝0，z 1＝1，即n 1＝(32，0，1)． 设平面ABC 1的一个法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)， 因为BA →＝(2，0，0)，BC 1→＝(0，1, 3)，所以⎩⎨⎧（x 2，y 2，z 2）·（2，0，0）＝0，（x 2，y 2，z 2）·（0，1，3）＝0，取n 2＝(0，3，－1)．(8分)设二面角BAC 1C 的平面角为θ，则cos θ＝－cos 〈n 1，n 2〉＝－n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝－－134＋1·3＋1＝77， 所以二面角BAC 1C 的余弦值为77.(10分) 23. 解：(1) 因为n ＝4，所以a 0＝C 04(23)4＝1681，a 1＝C 14(23)3＝3227.(2分) (2) 当x ＝13时，a k x k ＝C k n (23)n －k (13)k， 因为kC k n ＝k n ！k ！（n －k ）！＝n （n －1）！（k －1）！（n －k ）！＝nC k －1n －1，(4分)＝n －13n(23＋13)n －1＝23n ，当n ＝1时，也符合． 所以(n －k)a k x k 的值为23n.(10分)。

苏北四市2019-2020学年度高三年级第一次质量检测（徐州市、淮安市、连云港、宿迁市）数学Ⅰ一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．． 1．已知集合{|02}A x x =<<，{|11}B x x =-<<，则AB =___________．2．已知复数z 满足24z =-，且z 的虚部小于0，则z =___________． 3．若一组数据7,,6,8,8x 的平均数为7，则该组数据的方差是___________． 4．执行如图所示的伪代码，则输出的结果为___________．5．函数()f x =___________．6．某学校高三年级有,A B 两个自习教室，甲、乙、丙3名学生各自随机选择其中一个教室自习，则甲、乙两人不在同一教室上自习的概率为___________．7．若关于x 的不等式230x mx -+<的解集是(1,3)，则实数m 的值___________．8．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2213x y -=的右准线与渐近线的交点在抛物线22y px =上，则实数p 的值为___________．9．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，298a a +=，55S =-，则15S 的值为___________．10．已知函数2y x =的图象与函数cos2y x =的图象相邻的三个交点分别是,,A B C ，则ABC ∆的面积为___________．11．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:48120M x y x y +--+=，圆N 与圆M 外切与点(0,)m ，且过点(0,2)-，则圆N 的标准方程为___________．12．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，其图象关于直线1x =对称，当(0,1]x ∈时，()ax f x e =-（其中e 是自然对数的底数），若(2020ln 2)8f -=，则实数a 的值为___________．13．如图，在ABC ∆中，,D E 是BC 上的两个三等分点，2AB AD AC AE ⋅=⋅，则cos ADE ∠的最小值为___________．14．设函数3()||f x x ax b =--，[1,1]x ∈-，其中,a b R ∈.若()f x M ≤恒成立，则当M 取得最小值时，a b +的值为___________．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15．（本小题满分14分）如图，在三棱锥P —ABC 中，AP AB =，,M N 分别为棱,PB PC 的中点，平面PAB ⊥平面PBC ．（1）求证：BC ∥平面AMN ； （2）求证：平面AMN ⊥平面PBC .16．（本小题满分14分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且cos A =．（1）若5a =，c =b 的值； （2）若4B π=，求tan2C 的值.17．（本小题满分14分）如图，在圆锥SO 中，底面半径R 为3，母线长l 为5.用一个平行于底面的平面区截圆锥，截面圆的圆心为1O ，半径为r ，现要以截面为底面，圆锥底面圆心O 为顶点挖去一个倒立的小圆锥1OO ，记圆锥1OO 的体积为V ．（1）将V 表示成r 的函数； （2）求V 得最大值．18．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的右顶点为A ,过点A 作直线l 与圆222:O x y b +=相切，与椭圆C 交于另一点P ，与右准线交于点Q .设直线l 的斜率为k ． （1）用k 表示椭圆C 的离心率； （2）若0OP OQ ⋅=,求椭圆C 的离心率．19．（本小题满分16分）已知函数1()()ln f x a x x=-()a R ∈.（1）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为10x y +-=，求a 的值； （2）若()f x 的导函数'()f x 存在两个不相等的零点，求实数a 的取值范围； （3）当2a =时，是否存在整数λ，使得关于x 的不等式()f x λ≥恒成立？若存在， 求出λ的最大值；若不存在，说明理由．20．（本小题满分16分）已知数列{}n a 的首项13a =，对任意的*n N ∈,都有11n n a ka +=-(0)k ≠，数列{1}n a -是公比不为1的等比数列． （1）求实数k 的值；（2）设4,1,n n n n b a n -⎧⎪=⎨-⎪⎩为奇数为偶数，数列{}n b 的前n 项和为n S ，求所有正整数m 的值，使得221m m S S -恰好为数列{}n b 中的项．徐州市2019-2020学年度高三年级第一次质量检测数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包含A 、B 、C 小题，请选定其中两题，并在答题卡相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两题评分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修4—2：矩阵与变换] （本小题满分10分）已知矩阵2M t ⎡=⎢⎣ 31⎤⎥⎦的一个特征值为4，求矩阵M 的逆矩阵1M -.B ．[选修4—4：坐标系与参数方程] （本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为(cos sin )12ρθθ+=，曲线C 的参数方程为2sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数，R θ∈）.在曲线C 上点M ,使点M 到l 的距离最小，并求出最小值.C ．[选修4—5：不等式选讲] （本小题满分10分） 已知正数,,x y z 满足1x y z ++=，求111+222x y y z z x++++的最小值.第22题、第23题，每题10分，共计20分，请在答题卡指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AA B B 为正方形，侧面11BB C C 为菱形，1160BB C ∠=，平面11AA B B ⊥平面11BB C C ．（1）求直线1AC 与平面11AA B B 所成角的正弦值； （2）求二面角1B AC C --的余弦值．23.（本小题满分10分）已知n 为给定的正整数，设20122()3n n n x a a x a x a x +=++++，x R ∈.（1）若4n =，求0a ，1a 的值；（2）若13x =，求0()nkk k n k a x =-∑的值.苏北四市2019-2020学年度高三年级第一次质量检测参考答案数学Ⅰ一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．． 1．答案：{12}x x -<<解析：由题意直接求解即可得A B ={12}x x -<<2．答案：2i -解析：24z =-,则2z i =±，又因为z 的虚部小于0，则2z i =- 3．答案：45解析：7++6+8+875x = 解得6x =，222222(77)(67)(67)(87)(87)455S -+-+-+-+-==4．答案：20 5．答案：[4,+)∞解析：由题意得：2log 2x x >⎧⎨≥⎩，解得4x ≥，所以函数的定义域为[4,+)∞6．答案：12解析：22222222212..A P A A A ==7．答案：4解析：由题意得：221303330m m ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，解得4m =8．答案：14解析：由题意得：双曲线右准线与渐近线的交点为3(,2，代入22y px =得：14p =9．答案：135解析：298a a +=，55S =-，则388a a +=，355a =-，解得：31a =-，89a = 因为158********S a ==⨯=10．答案：211．答案：22(2)8x y ++=解析：圆M 中，令x ＝0，y ＝m ＝2或612．答案：3解析：由题意得：T ＝4，ln 2(2020ln 2)(ln 2)(ln 2)28a a f f f e -=-=-===，解得：3a =13．答案：47解析：323(2)2(2)AB AD AC AE AB AB AC AC AB AC ⋅=⋅⇒⋅+=⋅+ 22222424c AB AC b AB AC c b =⋅+⇒⋅=- 2222()(2)2cos |||2|442AB AC AB AC c b AB ACADE AB AC AB AC AB AC b c AB AC-⋅+--⋅∠==-⋅+⋅⋅+-⋅247=≥14．答案：34解析：（解法1）(1)|1|111()||282111()||282M f a b M f a b M f a b ⎧⎪≥=--⎪⎪≥=--⎨⎪⎪≥-=-+-⎪⎩所以111111362(1)()3()2|1|||3||2282822M f f f a b a b a b≥+-+≥--+-+-+--≥当且仅当0b =，34a =时，上述等号成立，所以M 取最小值时，34a b +=.（解法2）由对称性可知，M 最小时，0b =，且3min ()1x ax a -=-(,(0,1))a x ∈所以3+1(1)x a x ≥+，即2min 3(1)4a x x =-+=，则34a b += 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15．（本小题满分14分）解：（1）在PBC △中，因为M ，N 分别为棱PB ，PC 的中点，所以MN // BC ． ………………………………3分 又MN ⊂平面AMN ，BC ⊄平面AMN ，所以BC //平面AMN ．…………………………6分 （2）在PAB △中，因为AP AB =，M 为棱PB 的中点， 所以AM PB ⊥．………………………………8分又因为平面P AB ⊥平面PBC ，平面P AB 平面PBC PB =，AM ⊂平面P AB ， 所以AM ⊥平面PBC ．…………………………………………………………12分 又AM ⊂平面AMN ，所以平面AMN ⊥平面PBC ． …………………………14分16．（本小题满分14分）解：（1）在中，由余弦定理2222cos b c bc A a +-=得，2202255b +-⨯=，即2450b b --=， …………………………4分 解得5b =或1b =-（舍），所以5b =． ………………………………………6分 （2）由cos A =及0A <<π得，sin A ===，…8分所以cos cos(())cos()sin )42C A B A A A π=π-+=-+=-- 又因为0C <<π，所以sin C =从而sin tan 3cos C C C ===，………………………………………………12分所以222tan 233tan 21tan 134C C C ⨯===---．………………………………………14分17．（本小题满分14分）解：（1）在SAO △中，4SO ==， …………………………2分ABC △由1SNO △∽SAO △可知，1SO r SO R =，所以143SO r =，……………………4分 所以1443OO r =-，所以223144()π(4)π(3),03339V r r r r r r =-=-<<．…7分（2）由（1）得234()π(3),039V r r r r =-<<，所以24()π(63)9V r r r '=-，令()0V r '=，得2r =，………………………9分当(0,2)r ∈时，()0V r '>，所以()V r 在(0,2)上单调递增； 当(2,3)r ∈时，()0V r '<，所以()V r 在(2,3)上单调递减．所以当2r =时，()V r 取得最大值16π(2)9V =．答：小圆锥的体积V 的最大值为16π9．………………………………………14分18．（本小题满分16分）解：（1）直线l 的方程为)(a x k y -=，即0=--ak y kx ，因为直线l 与圆222b y x O =+：相切，所以b k ak =+-12，故2222b a b k -=．所以椭圆C的离心率e =………………………………4分 （2）设椭圆C 的焦距为2c ，则右准线方程为2ax c=，由⎪⎩⎪⎨⎧=-=c a x a x k y 2)(得c ac a k a c a k y -=-=22)(，所以))(,(22c ac a k c a Q -，…6分由⎪⎩⎪⎨⎧-==+)(12222a x k y b y a x 得02)(2224232222=-+-+b a k a x k a x k a b ， 解得222223k a b ab k a x p +-=，则22222222232)(k a b kab a k a b ab k a k y p +-=-+-=，所以)2-2222222223k a b kab k a b ab k a P ++-，（，……………………………………………10分 因为0=⋅，所以02)(222222222232=+-⋅-++-⋅ka b k ab c ac a k k a b ab k a c a ， 即)(2)(22222c a k b b k a a -=-，………………………………………………12分由（1）知，2222b a b k -=，所以22422222)(2)(b a c a b b b a b a a --=--，所以c a a 22-=，即c a 2=，所以21=a c ，故椭圆C 的离心率为21．……16分19．（本小题满分16分）解：（1）()2111()ln f x x a x x x'=+-，因为曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为10x y +-=，所以(1)11f a '=-=-，得0a =．……………………………………………2分（2）因为21ln ()ax xf x x -+'=存在两个不相等的零点．所以()1ln g x ax x =-+存在两个不相等的零点，则1()g x ax'=+． ①当0a ≥时，()0g x '>，所以()g x 单调递增，至多有一个零点．……4分②当0a <时，因为当1(0)x a∈-，时，()0g x '>，()g x 单调递增， 当1(+)x a ∈-∞，时，()0g x '<，()g x 单调递减，所以1x a =-时，max 11()()ln()2g x g a a=-=--． …………………………6分因为()g x 存在两个零点，所以1ln()20a-->，解得2e 0a --<<．………7分因为2e 0a --<<，所以21e 1a->>．因为(1)10g a =-<，所以()g x 在1(0)a-，上存在一个零点． …………8分 因为2e 0a --<<，所以211()a a->-．因为22111[()]ln()1g a a a -=-+-，设1t a =-，则22ln 1(e )y t t t =-->，因为20t y t-'=<，所以22ln 1(e )y t t t =-->单调递减，所以()2222ln e e 13e 0y <--=-<，所以22111[()]ln()10g a a a-=-+-<，所以()g x 在1()a-+∞，上存在一个零点．综上可知，实数a 的取值范围为2(e ,0)--．…………………………………10分（3）当2a =时，1()(2)ln f x x x =-，()2211121ln ()ln 2x x f x x x x x x -+'=+-=，设()21ln g x x x =-+，则1()20g x x'=+>．所以()g x 单调递增，且11()ln 022g =<，(1)10g =>，所以存在01(1)2x ∈，使得0()0g x =，……12分因为当0(0)x x ∈，时，()0g x <，即()0f x '<，所以()f x 单调递减； 当0(+)x x ∈∞，时，()0g x >，即()0f x '>，所以()f x 单调递增， 所以0x x =时，()f x 取得极小值，也是最小值，此时()0000000111()(2)ln (2)12(4)4f x x x x x x x =-=--=-++，……………14分因为01(1)2x ∈，，所以0()(10)f x ∈-，， 因为()f x λ≥，且λ为整数，所以1λ-≤，即λ的最大值为1-．………16分20．（本小题满分16分）解：（1）由11n n a ka +=-，13a =可知，231a k =-，2331a k k =--， 因为{1}n a -为等比数列，所以2213(1)(1)(1)a a a -=--，即22(32)2(32)k k k -=⨯--，即231080k k -+=，解得2k =或43k =，…2分 当43k =时，143(3)3n n a a +-=-，所以3n a =，则12n a -=， 所以数列{1}n a -的公比为1，不符合题意；当2k =时，112(1)n n a a +-=-，所以数列{1}n a -的公比1121n n a q a +-==-， 所以实数k 的值为2． …………………………………………………………4分（2）由（1）知12nn a -=，所以4n nn n b n - , ⎧⎪=⎨2, ⎪⎩为奇数,为偶数, 则22(41)4(43)4[4(21)]4m m S m =-++-+++--+2(41)(43)[4(21)]444m m =-+-++--++++144(4)3m m m +-=-+，……………………………………………………6分则212244(4)3m m m m S S b m m --=-=-+，因为22+1324mm m b b m +=-+，又222+322+1()()3420m m m m m b b b b ++-+=⨯->，且2350b b +=>，130b =>，所以210m S ->，则20m S >，设2210,mt m S b t S -=>∈*N ，…………………………………………………………8分 则1,3t =或t 为偶数，因为31b =不可能，所以1t =或t 为偶数，①当2121=mm S b S -时，144(4)3344(4)3m mm m m m +--+=--+，化简得2624844m m m -+=--≤， 即242m m -+≤0，所以m 可取值为1，2，3，验证624135787,3,323S S S S S S ===得，当2m =时，413S b S =成立．…………………12分②当t 为偶数时，1222144(4)331443124(4)134m m m m mm m S S m m m m +---+==+--+--++， 设231244m m m m c -+-=，则211942214m m m m m c c ++-+-=，由①知3m >，当4m =时，545304c c --=<；当4m >时，10m m c c +->，所以456c c c ><<，所以m c 的最小值为5191024c -=， 所以22130151911024m m S S -<<+<-+，令22214m m S b S -==，则2314312414mm m +=-+-+， 即231240m m -+-=，无整数解．综上，正整数m 的值2．………………………………………………………16分徐州市2019-2020学年度高三年级第一次质量检测数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包含A 、B 、C 小题，请选定其中两题，并在答题卡相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两题评分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修4—2：矩阵与变换] （本小题满分10分）解：矩阵M 的特征多项式为23()(2)(1)31f t t λλλλλ--==-----．…………2分 因为矩阵M 的一个特征值为4，所以(4)630f t =-=，所以2t =．…………5分所以2321⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M ，所以11313213221324422112132213222--⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⨯-⨯⨯-⨯==⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⨯-⨯⨯-⨯⎣⎦⎣⎦M ．……10分 B ．[选修4—4：坐标系与参数方程] （本小题满分10分）解：由:cos sin 120l ρθρϕ+-=，及cos x ρθ=，sin y ρθ=，所以l 的直角坐标方程为120x y +-=． ………………………………………2分在曲线C上取点()2sin M ϕϕ，，则点M 到l 的距离124sin 3d ϕπ-+===，…………6分 当6ϕπ=时，d 取最小值…………………………………………………8分此时点M 的坐标为()3,1．………………………………………………………10分C ．[选修4—5：不等式选讲] （本小题满分10分）解：因为x y z ，，都为正数，且1x y z ++=，所以由柯西不等式得，1113(222x y y z z x +++++111([(2)(2)(2)]222x y y z z x x y y z z x=++⋅++++++++………………5分29=≥，当且仅当13x y z ===时等号成立，所以111222x y y z z x +++++的最小值为3．…………………………………10分 第22题、第23题，每题10分，共计20分，请在答题卡指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）解：（1）因为四边形11AA B B 为正方形，所以1AB BB ⊥，因为平面11AA B B ⊥平面11BB C C ，平面11AA B B 平面111BB C C BB =，AB ⊂平面11AA B B ，所以AB ⊥平面11BB C C 以点B 为坐标原点，分别以BA ,1BB 所在的直线为x ,y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系B xyz -. 不妨设正方形11AA B B 的边长为2，则()2 0 0A ，，，()10 2 0B ，，． 在菱形11BB C C 中，因为1160BB C ∠=︒， 所以1(0 1C ，，所以1( 2 1 AC =-，． 因为平面11AA B B 的法向量为()0 0 1=，，n ， 设直线1AC 与平面11AA B B 所成角为α，则1sin |cos ,|AC α=<>==n ，即直线1AC 与平面11AA B B．………………………6分（2）由（1）可知，(0 1 C -，，所以()10 2 0CC =，，． 设平面1ACC 的一个法向量为()1111 x y z =，，n ， 因为11110,0,AC CC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即()(()()111111 2 1 0 0 2 00x y z x y z ⎧⋅-=⎪⎨⋅=⎪⎩，，，，，，，，取1x =，10y =，11z =，即1 0 1⎫=⎪⎭，，n ． 设平面1ABC 的一个法向量为()2222 x y z =，，n ， 因为()2 0 0BA =，，，(10 1 BC =，， 所以()()()(222222 2 0 00 0 1 0x y z x y z ⋅=⎧⎪⎨⋅=⎪⎩，，，，，，，，取()20 1=-，n ．…………8分 设二面角1B AC C --的平面角为θ，则121212 cos cos θ⋅=-<>=-==⋅，n n n n n n 所以二面角1B AC C --．…………………………………10分23．（本小题满分10分）解：（1）因为4n =，所以0404216C ()=381a =，1314232C ()=327a =．……………………2分 （2）当13x =时，21C ()()33k k n k k k n a x -=， 又因为11!(1)!C C !()!(1)!()!k k n n n n k k n n k n k k n k ---===---，………………………4分当1n =时，011022()C ()33nk k k n k a x =-==∑； …………………………………5分当2n ≥时，0021()()C ()()33n nk k n k kk n k k n k a x n k -==-=-∑∑012121C ()()C ()()3333n nk n k k k n k k n n k k n k --===-∑∑1112121()C ()()3333n n k n k kn k n n ---==+-∑ 1111121C ()()333n k n k k n k n n ----==-∑1121()333n n n -=-+23n =，当1n =时，也符合．所以0()nkk k n k a x =-∑的值为23n ．………………………………………………10分。